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统计指标培训课件统计指标培训课件统计指标是衡量和评估某一现象或者问题的重要工具。
在各个领域，统计指标被广泛应用于数据分析、决策制定和问题解决等方面。
为了帮助大家更好地理解和运用统计指标，本次培训课件将介绍统计指标的基本概念、常用指标及其计算方法，并通过实例演示如何应用统计指标进行数据分析。
一、统计指标的基本概念统计指标是对某一现象或问题进行量化和描述的指标。
它可以帮助我们了解数据的特征、趋势和关系，从而为决策提供参考依据。
统计指标通常包括中心趋势指标、离散程度指标和相关性指标等。
1. 中心趋势指标中心趋势指标用于描述数据的集中程度，常见的有平均值、中位数和众数等。
平均值是将所有数据求和后除以数据个数得到的数值，它可以反映数据的总体水平。
中位数是将数据按大小排序后，位于中间位置的数值，它可以减少异常值对数据的影响。
众数是数据中出现次数最多的数值，它可以反映数据的典型特征。
2. 离散程度指标离散程度指标用于描述数据的分散程度，常见的有方差、标准差和极差等。
方差是每个数据与平均值之差的平方的平均值，它可以反映数据的离散程度。
标准差是方差的平方根，它可以衡量数据的波动程度。
极差是最大值与最小值之差，它可以反映数据的变化范围。
3. 相关性指标相关性指标用于描述两个或多个变量之间的关系，常见的有相关系数和回归分析等。
相关系数是衡量两个变量之间线性相关程度的指标，它的取值范围为-1到1，正值表示正相关，负值表示负相关，接近0表示无相关。
回归分析可以通过建立数学模型来预测一个变量对另一个变量的影响，从而揭示变量之间的因果关系。
二、常用统计指标及其计算方法在实际应用中，我们经常会用到一些常用的统计指标，下面将介绍其中几个重要的指标及其计算方法。
1. 平均值的计算方法平均值的计算方法是将所有数据求和后除以数据个数，即平均值 = 总和 / 数据个数。
例如，有一组数据为1、2、3、4、5，那么平均值 = (1+2+3+4+5) / 5 = 3。
第六章 判 别 分 析判别分析就是在已知要判别的类型和数目的情况下，根据样品的各种特性来判断该样品属于哪一种类型。
用统计语言来说，就是已知k 个总体12,,,k πππ，它们的分布函数分别为12(),(),,()k F x F x F x ，其中)(x F i 为m 维分布函数，k i ≤≤1，对给定的一个样品，要判断它来自哪个总体。
Discriminate analysis第六章判别分析贝叶斯判别费歇判别距离判别§1 贝叶斯（Bayes ）判别Bayes 判别分析的标志是：凡用到先验概率（信息）的方法统称为Bayes 判别分析。
损失函数：已知)(x p i 为总体i π的密度函数，样品来自i π的先验概率为i q ，属于j π被误判为i π的损失称为损失函数，记作)|(j i C 。
希望所给的准则误判概率越小越好，更确切的说，误判带来的平均损失越小越好。
显然，平均损失最小的准则是最优的，贝叶斯判别恰恰是这样一种准则。
一、两个总体判别设1π、2π为两个m 维总体，其分布密度分别为)(1x p 、)(2x p 。
),,(21'=m x x x x 一样品，它只可能来自1π和2π，且来自1π的概率为1q ,且来自2π的概率为2q （1q +2q =1）。
1q 、2q 通常称为先验概率。
为了判断),,(21'=m x x x x 属于哪个总体，我们按某种方式将m 维空间m R 分成两部分1R 和2R ，且m R R R =21 ，φ=21R R ，记),(21R R =R 为空间mR 的一个分划（有时也称为判别）。
即},|,{212121φ===R R R R R R R R mm由R 规定的判别准则如下：如果x 落在1R 内，则判其来自总体1π； 如果x 落在2R 内，则判其来自总体2π。
给定分划的损失函数及平均损失设)2|1(C 为样品x 来自总体2π而误判为总体1π的损失，这一误判的概率记为),2|1(R P ， 其中R ),(21R R =； )1|2(C 为样品x 来自总体1π而误判为总体2π的损失，误判的概率记为),1|2(R P 。
于是有 ),1|2(R P ⎰=2)(1R d P x x （6-1）),2|1(R P ⎰=1)(2R d P x x （6-2）积分（6-1）、（6-2）为m 重积分。
1π 2πoλo 判别R ),(21R R =的平均损失定义为)1|2(),(121C q R R g =),1|2(R P +2q )2|1(C ),2|1(R P （6-3） 所谓Bayes 判别就是使平均损失),(21R R g 达最小的判别。
定理6-1 使平均损失),(21R R g 达最小的Bayes 判别为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥=12211)1|2()2|1()()(:q C q C P P R x x x ⎭⎬⎫⎩⎨⎧<=12212)1|2()2|1()()(:q C q C P P R x x x （6-4） 证明：设),(21R R =R 由（6-4）给出，),(*2*1*R R =R 为m R 的任一划分，即 m R R R =*2*1 ，φ=*2*1R R 。
)1|2(),(121C q R R g =),1|2(R P +2q )2|1(C ,2|1(P )R)1|2(1C q =⎰2)(1R d P x x +2q )2|1(C ⎰1)(2R d P xx)1|2(),(121C q R R g =⎰2)(1R d P x x +2q )2|1(C ⎰1)(2R d P x x )1|2(1C q =))()((*12*2211⎰⎰+R R R R d P d P x x x x +2q )2|1(C ))()((*11*2122⎰⎰+R R R R d P d P x x x x 同理 )1|2(),(1*2*1C q R R g =))()((1*22*211⎰⎰+R R R R d P d P x x x x +2q )2|1(C ))()((1*12*122⎰⎰+R R R R d P d P x x x x 于是),(),(*2*121R R g R R g -⎰-=2*1))()2|1()()1|2((2211R R d P C q P C q x x x ⎰-+1*2))()1|2()()2|1((1122R R d P C q P C q xx x由式（6-4）知，2q )2|1(C -)(2x P 0)()1|2(11≤x P C q ，当1R x ∈； 0)()2|1()()1|2(2211≤-x x P C q P C q ， 当2R x ∈。
因此0),(),(*2*121≤-R R g R R g ，即),(),(*2*121R R g R R g ≤，故),(21R R R =为贝叶斯判别。
在实际问题中，损失)1|2(C 、)2|1(C 往往不容易给出，这时常取=)1|2(C 1)2|1(=C 。
推论6-1 如果1)1|2(=C ，1)2|1(=C 则贝叶斯判别为)}()(:{22111x x x P q P q R ≥=)}()(:{22112x x x P q P q R <= （6-5）将（6-4）、（6-5）所规定的判别准则修改为 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=<∈>∈12211221212211)1|2()2|1()()(,)1|2()2|1()()(,)1|2()2|1()()(,q C q C P P q C q C P P q C q C P P x x x x x x x x 如果待判如果如果ππ （6-6） ⎪⎩⎪⎨⎧=<∈>∈)()(,)()(,)()(,22112211222111x P q P q x P q P q x P q P q x x x x x 如果待判如果如果ππ （6-7）如果1)1|2(=C ，1)2|1(=C ，且不考虑先验概率，则有⎪⎩⎪⎨⎧=<∈>∈)()(,)()(,)()(,21212211x P P x P P x P P x x x x x 如果待判如果如果ππ例6-1设2,1==k m ，)1,0(~1N X ，)2,3(~22N X ，试就1)1|2(=C ，1)2|1(=C ，且不考虑先验概率的情况下判别样品2，1属于哪个总体，并求出),(21R R R =。
例6-1设2,1==k m ，)1,0(~1N X ，)2,3(~22N X ，试就1)1|2(=C ，1)2|1(=C ，且不考虑先验概率的情况下判别样品2，1属于哪个总体，并求出),(21R R R =。
解：}/)(21ex p{21)(22i i i i x x p σμσπ--= 2,1=i ，054.021})02(21ex p{21)2(221==--=-e p ππ176.0221}4/)32(21ex p{221)2(8/122==--=-e p ππ由于)2()2(21p p <，所以2属于2π； 242.021})01(21ex p{21)1(2/121==--=-e p ππ 120.0221}4/)31(21ex p{221)1(2/122==--=-e p ππ)1()1(21p p >，所以1属于1π。
由}21ex p{21)(21x x p -=π}2/)3(21ex p{221)(222--==x x p π即 )}96(81ex p{}21ex p{222+--=-x x x )96(81212ln 22+--=-x x x 解得42.11=x ，41.32-=x ， 所以([ 3.41,1.42],(, 3.41)(1.42.))R =--∞-+∞。
例6-2 已知1π，2π的先验概率分别为531=q ，522=q ，1)1|2(=C ，1)2|1(=C ，且 ⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤<==其它,021,210,)(11x x x x x p f⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤<-==其它,053,4/)5(31,4/)1()(22x x x x x p f试判别591=x ，22=x 所属的总体。
)(1x p )(2x po 1 2 3 4 5 x解： 5/15/92)5/9(1=-=p ⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤<==其它,021,210,)(11x x x x x p f ⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤<-==其它,053,4/)5(31,4/)1()(22x x x x x p f 5/14/)159()5/9(2=-=p 252515225351532211=⨯=>=⨯=p q p q 所以判591=x 属于1π。
同理判22=x 属于2π。
022)2(1=-=p 4/14/)12()2(2=-=p 101415202211=⨯=<=p q p q二、多个总体判别 设12,,k πππ为k 个总体，具有m 维分布密度12(),(),,()k p p p x x x ，12(,,,)m x x x '=x 为一个样品，它只可能来自12,,k πππ，且来自i π的概率为i q ，即先验概率为k q q q ,,,21 （11=∑=ki i q ）。
给定m R 的一个划分R ),,,(21k R R R =，即m k i i RR 1==，),,2,1,,(k j i j i R R j i =≠=φ， 由R 规定的判别准则如下：i π∈x ，如果x 落在i R 内（k i ,,2,1 =）。
设)|(i j C 为样品x 来自总体i π而误判为总体j π的损失，这一误判的概率记为),|(R i j P ，),,2,1,,(k j i j i =≠。
规定0)|(=i i C ，于是有),|(R i j P ⎰=jR i d P x x )(),,2,1,,(k j i j i =≠ （6-8）积分（6-8）为m 重积分。
样品x 来自总体i π而被判属为i π的概率为 ),|(R i i P ⎰=iR i d P x x )(，),,2,1(k i = （6-9）判别R ),,,(21k R R R =的平均损失定义为∑∑===kj k i i k i j P i j C q R R R g 1121),|()|(),,,(R （6-10）使),,,(21k R R R g 达最小的判别称为Bayes 判别。
定理6-2 使),,,(21k R R R g 达最小的Bayes 判别为(){:()(),,1,2,,}i i j R h h j i j k =<≠=x x x x 1,2,,i k = （6-11） 其中，∑==ki i i j P i j C q h 1)()|()(x x （6-12）证明：xx d h k j R j j )(1∑⎰==∑⎰∑===kj R i k i i k j d P i j C q R R R g 1121)()|(),,,(xx ∑∑⎰===k i i i k j R d P i j C q j 11)()|(x x如果空间m R 有另一个划分),,,(**2*1*k R R R =R 则它的平均损失为),,,(**2*1k R R R g x x d h k j R j j )(1*∑⎰==-),,,(21k R R R g ),,,(**2*1k R R R g x x d h ki R i i )(1∑⎰==xx d h kj R j j )(1*∑⎰=-x x d h k i k j R R i j i )(11*∑∑⎰===x x d h k i k j R R j ji )(11*∑∑⎰==-x x x d h h j k i k j R R i j i ))()((11*-=∑∑⎰==由（6-11），在i R 上，)()(x x j i h h ≤对一切j 成立，故-),,,(21k R R R g 0),,,(**2*1≤k R R R g 即 ≤),,,(21k R R R g ),,,(**2*1k R R R g 所以R ),,,(21k R R R =为Bayes 判别。
