第二章数理统计初步基本概念参数估计假设检验学习目的数理统计的内容十分丰富，本章主要介绍它的基本概念、参数估计和假设检验。
通过本章的学习应初步掌握用数理统计处理随机现象的基本思想和方法，提高运用数理统计方法分析和解决实际问题能力。
frist6基本要求1．理解总体、个体、简单随机样本和统计量的概念。
2．了解频率分布表、直方图的作法。
3．理解样本均值、样本方差的概念，掌握根据数据计算样本均值、样本方差的方法。
4．了解产生2χ变量、t变量、F变量的典型模式；理解2χ分布、t分布和F分布的分位数，会查相应的数值表。
5．了解正态总体的某些常用抽样分布，如正态总体样本产生的标准正态分布、2χ分布、t分布、F 分布等。
6．理解参数的点估计、估计量与估计值的概念。
掌握矩估计法（一阶、二阶矩）与极大似然估计法。
7．了解无偏性、有效性和一致性（相合性）的概念，并会验证估计量的无偏性、有效性。
8．理解区间估计的概念，会求单个正态总体的均值和方差的置信区间，会求两个正态总体的均值差和方差比的置信区间。
9．理解假设检验的基本思想，掌握假设检验的基本步骤，了解假设检验可能发生的两类错误。
10．了解单个和两个正态总体的均值和方差的假设检验。
11．了解总体分布假设的2 检验法，会应用该方法进行分布拟合优度检验。
重点1．样本、统计量和估计量等概念的理解。
2．矩估计法和极大似然估计法。
3．估计量的评选标准（无偏性、有效性）。
4．正态总体的均值和方差的置信区间。
5．假设检验的基本思想方法、步骤及两类错误。
难点1．统计量和估计量等概念的理解。
2．极大似然估计法的基本思想的理解。
3．统计量的分布及不同情况下临界值的确定。
§2.1数理统计的基本概念一．总体、样品、样本二．的联合分布四．几种常用统计量的分布nX X X ,,21返回三．统计量及其数字特征一．总体、样品、样本样品：从总体中随机抽取的一个个体；总体：要研究对象的全体；样本：由若干个样品构成，样本中包含样品的个 数称为样本长度。
（1）总体是一个v r ⋅，记为X ，其分布函数F x ()称为总体分布函数；（2）样品也是一个v r ⋅，它与总体同分布；（3）样本是由若干独立同分布的r v ⋅所构成，样品的个数称为样本长度。
Population Sample Sample size设X 为一个总体，n X X X ，，， 21为来自总体的一个长度为n 的样本，它的观察值为n x x x ,,,21 。
由n X X X ，，， 21的独立性知，若X 的分布函数为)(x F ，则n X X X ，，， 21的联合分布函数为 二．n X X X ，，， 21的联合分布 *F (n x x x ,,,21 )=∏=ni i x F 1)( （2-1）Allied Distribution若X 的分布密度为)(x f ，则n X X X ，，， 21的联合分布密度为*f (n x x x ,,,21 )=f x i i n()=∏1 （2-2）若X 是离散型随机变量，其概率分布为 ,,2,1),( ===k x X P p k k 则X X X n 12，，， 的联合概率分布为 n n i i i i n i i p p p x X x X x X P 2121},,,{21====,2,1,,,21=n i i i例2-1 设总体),1(~p B X ，即x x p p x X P --==1)1(}{ （x =10，）， 321X X X ，，为X 的一个样本，求样本321X X X ，，的联合概率分布。
解 由于321X X X ，，相互独立，且它们的概率分 布分别为j i j i j x x i j p p x X P --==1)1(}{ （3,2,1;01==j x j i ，），故样本321X X X ，，的联合概率分布为 },,{321321i i i x X x X x X P ===∏===31}{j i j j x X P 332211111)1()1()1(i i i i i i x x x x x x p p p p p p ----⨯-⨯-= )(3321321)1(i i i i i i x x x x x x p p ++-++-= )01(，=j i x 。
定义2-1 设n X X X ,,21 ，为总体X 的一个样本，g (n x x x ,,,21 )为连续函数，如果 g(n X X X ，，， 21)不包含任何未知参数，则称其为一个统计量。
例如),(~2σμN X ，其中μ已知，σ2未知，n X X X ，，， 21为总体X 的一个样本，则∑=-n i i X 12)(μ是一个统计量， 但∑=n i i X 1/σ不是一个统计量。
常用的统计量 样本均值、样本方差和样本矩。
三、 统计量及样本数字特征 Statistic定义2-2 设n X X X ，，， 21是来自总体X 长度为n 的一个样本，则称∑==n i i X n X 11 （2-3） ∑=--=n i i X X n S 122)(11 （2-4） ∑==n i k i k X n m 11 )21( ，，=k （2-5） ∑=-='n i k i k X X n m 1)(1 )21( ，，=k （2-6） 分别为样本均值、样本方差、样本k 阶原点矩和样本k 阶中心矩。
为了讨论问题方便，我们称总体X 的k 阶矩为总体k 阶矩。
例如EX 称为总体均值，DX 称为总体方差。
Sample mean Sample variance Central moments Origin moments证明：由于i X 与总体X 同分布，因而μ=i EX ，=i DX 2σ，n i ，，， 21=,所以定理2-1 设EX =μ,DX =2σ,n X X X ,,21 ，是来自X 的一个样本,则μ=X E ,n X D 2σ=,22σ=ES 。
μ===∑∑==ni i n i i EX n X n E X E 111)1(n DX n X n D X D n i i n i i 21211)1(σ===∑∑==])(11[122∑=--=n i i X X n E ES =∑=+--n i i i X X X X n E 122)]2(11[ =∑=--n i i X n X E n 122)(11 =∑=+-+-n i i i X E X D n EX DX n 122)])(())(([11222122)]()([11σμσμσ=+-+-=∑=nn n n i 还可证明： k k p k EX m μ=−→−k kp k X E m μμ'=-−→−')(顺序统计量 设n X X X ,,,21 是取自总体X 的一个样本，将样本观测值x x x n 12,,, 按大小递增的顺序排序：)()2()1(n x x x ≤≤≤ Order StatisticObserved value 特别地分别称{}i n i X X ≤≤=1)1(min {}i ni n X X ≤≤=1)(max 为最小顺序统计量和最大顺序统计量。
当n X X X ,,,21 取值为x x x n 12,,, 时，定义)()2()1(,,,n X X X 取值为)()2()1(,,,n x x x ，则称)()2()1(,,,n X X X 为由n X X X ,,,21 导出的一组顺序统计量，称)(k X 为第k 个顺序统计量，经验分布函数设n X X X ,,,21 是取自总体X 的一个样本，将样本观测值x x x n 12,,, 按大小递增的顺序排成)()2()1(n x x x ≤≤≤ ，并作函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<≤<=+x x x x x n k x x x F n k k n )()1()()1(1,,0)( 则称)(x F n 为总体X 的经验分布函数。
定理* （格列汶科ΓЛИВеΗО） 设总体X 的分布函数为)(x F ，经验分布函数为)(x F n ，则当∞→n 时有1}0|)()(|sup lim {==-+∞<<∞-∞→x F x F P n x n四、几种常用统计量的分布Sampling distrbution 统计量是样本的函数，它是一个随机变量，统计量的分布称为抽样分布。
以下介绍来自正态总体的几个常用统计量的分布。
分布1．22．t分布3．F分布1．2χ分布设n X X X ，，， 21是来自正态总体)10(~，N X 的一个样本，则称统计量2χ22221n X X X +++=服从自由度为n 的2χ分布，记为)(~22n χχ。
此处，自由度是指上式右端包含独立变量的个数。
)(2n χ分布的概率密度为122/210()2(/2)0n x n x e x f x n --⎧>⎪=Γ⎨⎪⎩，，其它 （2-7） ()f x 的图形如图2-1所示，)(x Γ为Γ函数。
y αo λ x y 1=n5=n 10=no x 图2-1 对于给定的正数α()01<<α，称满足条件 2{}()P f x dx λχλα+∞>==⎰的点λ为)(2n χ分布的上α分位点，如图2-2所示。
图 2-2有时也称λ为随机变量2χ的1-α分位数（或临界值）。
不同的αn 、对应的λ值已制成表格（见附表4）。
Critical value2χ分布随机变量有如下性质：1．设)(~1221n χχ，)(~2222n χχ且相互独立，则有 )(~2122221n n ++χχχ 2．设22~()n χχ，则2(())E n n χ=，n n D 2))((2=χ3．设)(~121n Q χ，)(~222n Q χ，21n n >，则21Q Q -与2Q 相互独立，且)(~21221n n Q Q --χ。
例2-2设X X X n 12，，， 是来自总体),(~2σμN X 长度为n 的一个样本，且μ=EX ，DX =σ2，记S n X X i i n 22111=--=∑()，证明)1(~)1(2222--=n S n χσχ。
证明：由于S n X X i i n 22111=--=∑() ∑=----=n i i X X n 12)]()[(11μμS n X X i i n22111=--=∑()∑=----=ni i X X n 12)]()[(11μμ∑=----=ni i X n X n 122])()([11μμ 于是22122)/()()1(n X X Sn ni i σμσμσ---=-∑= 又),(~2σμN X i ,标准化得)1,0(~N X i σμ-，而X X X n 12，，， 相互独立，故 σμσμσμ---n X X X ,,,21 相互独立， 从而由2χ分布定义知)(~)(221n X ni i χσμ∑=-又)1,0(~/N nX σμ-，所以)1(~)/(22χσμnX -由2χ分布的性质3得)1(~)1(2222--=n Sn χσχ利用线性代数中正交变换的方法还可以证明：X 与2S 相互独立。
