广东省东莞市届高三文科数学《数列》专题测试

高三文科数学小综合专题练习——数列一、选择题 1.已知数列}2{nn +，欲使它的前n 项的乘积大于36，则n 的最小值为 A ．7B ．8C ．9D ．102．已知数列}{n a 满足)(133,0*11N n a a a a n n n ∈+-==+，则20a =A 0B 3-C 3 D23 3.如果数列{a n }是公差为d 的等差数列，则数列{a 3k-1}(k ∈N *) A ．仍是公差为d 的等差数列B ．是公差为3d 的等差数列C ．是等差数列，但公差无法确定D ．不一定是等差数列4. 已知）（，n n n a a n a a -==+111,则数列{}n a 的通项公式=n a A. 12-n B. 11-+n nn ）（C. 2nD. n 5．等比数列｛}n a 中 13a =，424a =，则345a a a ++=( )A ． 33B ． 72C ． 84D ． 189 二、填空题6．等差数列}{n a 中，3a = 2 ，则该数列的前5项的和为 ． 7．数列{}n a 中，11,111+==-n n a a a ，则=4a .8．已知等比数列｛a n ｝中，a 1＋a 2=9，a 1a 2a 3=27,则｛a n ｝的前n 项和 S n = ___ __. 9．在等差数列{}n a 中，3a 、8a 是方程2350x x --=的两个根，则=+101a a . 10． 两个等差数列{}{},,n n b a ,327......2121++=++++++n n b b b a a a n n 则55b a= .三、解答题11．已知数列{}n a 的前n 项和248n S n n =-.(1)求数列的通项公式； (2)求n S 的最大或最小值.12．已知等差数列{}n a 的首项11=a ，公差1=d ，前n 项和为n S ，nn S b 1=. （1）求数列{}n b 的通项公式； （2）求证：221<+++n b b b13．设{a n }是正数组成的数列，其前n 项和为S n ，并且对于所有的nN +，都有2)2(8+=n n a S .（1）求数列{a n }的通项公式(写出推证过程)；（2）设14+⋅=n n n a a b ，n T 是数列{b n }的前n 项和，求使得20mT n <对所有n N +都成立的最小正整数m 的值.14.在等比数列{}n a 中，1a 最小，且128,66121==+-n n a a a a ，前n 项和126=n S ， 求n 和公比q15.在等差数列{a n }中，已知a 1=n 项和为S n ，且S 10=S 15， 求当n 取何值时，S n 取得最大值，并求出它的最大值.16．设数列{}n a 的前项n 和为n S ，若对于任意的正整数n 都有n a S n n 32-=. （1）设3n n b a =+，求证：数列{}n b 是等比数列，并求出{}n a 的通项公式. （2）求数列{}n na 的前n 项和.17．在等比数列{}n a 中, 53512),1,0(),(,0a a a a q N n a n +∈∈>*且公比+,2582=a a又a 3和a 5 .2的等比中项为(1) 求数列{}n a 的通项公式(2) 设{}n n n b a b 数列,log 2=的前n 项和为S n ,求数列{}n S 的通项公式.(3) 当ns s s s n +⋅⋅⋅+++321321最大时,求n 的值.18． 设{}n a 为等比数列，11a =，23a =．（1）求最小的自然数n ，使2007n a ≥； （2）求和：212321232n nn T a a a a =-+--．19．数列}{n a 满足11=a ，111122n na a +=+（*N n ∈）.（12分） （1）求证1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列； （2）若331613221>++++n n a a a a a a ，求n 的取值范围.已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且满足211=a ，)2(021≥-n S S a n n n ＝＋． （1）数列}1{nS 是否为等差数列？并证明你的结论； （2）求n S 和n a（3）求证：nS S S S n 41212232221-≤+⋅⋅⋅+++高三文科数学小综合专题练习——数列参考答案一、选择题1．B 2．B 3．B 4．D 5．C 二、填空题6．10 7．35 8．⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-=n n S 21112 9．－5 10． 6512三、解答题11．解：（1）1147(1)249(2)n nn S n a S S n n -⎧=-=⎪=⎨-==-≥⎪⎩249n =-(2)由2490n a n =-≤，得24n ≤.∴当n=24时, 2(24)576n S n =--有最小值:-57612. 解：（1） 等差数列{}n a 中11=a ,公差1=d ,()22121nn d n n na S n +=-+=∴nn b n +=∴22（2）()1222+=+=n n n n b n ()⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++⨯+⨯+⨯=++++∴114313212112321n n b b b b n⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++-+-+-=111413131212112n n⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=1112n0>n , 1110<+<∴n , 211120<⎪⎭⎫ ⎝⎛+-<∴n ,221<+++∴n b b b13．解:(1)∵28(2)n n S a =+∴2118(2)(1)n n S a n --=+>两式相减得: 2218(2)(2)n n n a a a -=+-+ 即2211440n n n n a a a a -----=也即11()(4)0n n n n a a a a --+--= ∵0n a >∴14n n a a --= 即{}n a 是首项为2,公差为4的等差数列 ∴2(1)442n a n n =+-⋅=- (2)1441111()(42)(42)(21)(21)2(21)(21)n n n b a a n n n n n n +====-⋅-+-+-+∴12111111[(1)()()]2335(21)(21)n n T b b b n n =+++=-+-++--+11111(1)2212422n n =-=-<++ ∵20n mT <对所有n N +∈都成立， ∴1202m ≥，即10m ≥故m 的最小值是10.14．解：因为{}n a 为等比数列，所以64,2,,128661111121==≤⎩⎨⎧==+∴=-n n n n n n a a a a a a a a a a a a 解得且 依题意知1≠q21261,1261=⇒=--∴=q qqa a S n n6,6421=∴=-n q n15.解：∵a 1=10=S 15，∴10×d=15×d ， ∴d=-35.∴a n =n-1）×(-35)=-35n+365. ∴a 13=0. 即当n ≤12时，a n ＞0,n ≥14时，a n ＜0.∴当n=12或13时，S n 取得最大值，且最大值为S 12=S 13=12×⨯(-35)=130.16．解：（1）n a S n n 32-= 对于任意的正整数都成立，()13211+-=∴++n a S n n两式相减，得()n a n a S S n n n n 3213211+-+-=-++ ∴32211--=++n n n a a a ， 即321+=+n n a a()3231+=+∴+n n a a ，即1323n n n a b a ++==+对一切正整数都成立.∴数列{}n b 是等比数列.由已知得 3211-=a S 即11123,3a a a =-∴=∴首项1136b a =+=，公比2=q ，162n n b -∴=⋅.1623323n n n a -∴=⋅-=⋅-.232341231(2)323,3(1222322)3(123),23(1222322)6(123),3(2222)323(123),2(21)3(1)3622123(1)(66)26.2n n n n n n n n n n n n n na n n S n n S n n S n n n n n n n S n ++=⨯⋅-∴=⋅+⋅+⋅++⋅-++++=⋅+⋅+⋅++⋅-++++-=++++-⋅+++++-+=⋅-⋅+-+∴=-⋅+-17. 解：(1)∵a 1a 5+2a 3a 5+a 2a 8 =25,∴a 32+2a 3a 5 +a 52=25 又a n >0, ∴a 3+a 5=5又a 3与a 5的等比中项为2, ∴a 3a 5=4 而1,4,),1,0(5353==∴>∴∈a a a a q.16,211==∴a q n n n a --=⎪⎭⎫⎝⎛⨯=∴5122116(2)1,5log 12-=-∴-==+n n n n b b n a b{}2)9(,1,41n n S b b n n -=∴-=∴为公差的等差数列为首项是以 （3)312928,0;9,0;9,089,.123n n n n n S n n S S Sn n n n n nSS S S n n-=∴≤>==><∴=+++⋅⋅⋅+当时当时当时当或时最大18．解：（1）由已知条件得112113n n n a a a --⎛⎫== ⎪⎝⎭，因为67320073<<，所以，使2007n a ≥成立的最小自然数8n =． （2）因为223211234213333n n nT -=-+-+-，…………①2234212112342123333333n n n n nT --=-+-++-，…………② +①②得：2232124111121333333n n n nT -=-+-+--2211231313nn n -=-+ 22333843n nn --=所以22223924163n n nnT +--=19．解：（1）由111122n n a a +=+可得：1112n na a +=+ 所以数列}1{n a 是等差数列，首项111=a ，公差2d = ∴12)1(111-=-+=n d n a a n ∴121-=n a n（2）∵)121121(21)12)(12(11+--=+-=+n n n n a a n n∴)12112151313111(2113221+--++-+-=++++n n a a a a a a n n 11(1)22121n n n =-=++ ∴ 162133n n >+ 解得16n >解：（1）2111==a S ，211=S2≥n 时，112---=-=n n n n n S S S S a 所以，2111=--n n S S 即}1{nS 是以2为首项，公差为2 的等差数列． （2）由（1）得：n n S n22)1(21=⋅-+= nS n 21=当2≥n 时，12--=n n n S S a )1(21--=n n ．当1=n 时，211=a ，所以， ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥--==)2()1(21)1(21n n n n a n （3）当1=n 时，141214121⨯-==S ，成立． 当2≥n 时，22222322214134124141nS S S S n ⨯+⋅⋅⋅+⨯+⨯+=+⋅⋅⋅+++ ＝)131211(41222n+⋅⋅⋅+++n n )1(13212111(41-+⋅⋅⋅+⨯+⨯+≤ nn 4121)111(41-=-+=所以，nS S S S n 41212232221-≤+⋅⋅⋅+++.。

高考文科数学数列专题复习数列常用公式数列的通项公式与前n 项的和的关系a n s , n 11s s ,n 2n n 1( 数列{a n} 的前n 项的和为s n a1 a2 a n ).等差数列的通项公式*a a1 (n 1)d dn a1 d(n N ) ；n等差数列其前n 项和公式为n(a a ) n(n 1)1 ns na1 d n2 2 d 12n (a d)n .12 2等比数列的通项公式an 1 1 n *a a1q q (n N )nq；等比数列前n 项的和公式为na (1 q )1s 1 qn , q 1或sna a q1 n1 q,q 1na ,q 1 1 na ,q 1 1一、选择题1.( 广东卷) 已知等比数列{a n} 的公比为正数，且a3 ·a9 =2 2a ，a2 =1，则a1 =5A. 12B.22C. 2D.22.（安徽卷）已知为等差数列，，则等于A. -1B. 1C. 3D.7 3（. 江西卷）公差不为零的等差数列{a n} 的前n项和为S n .若a4 是a3与a7 的等比中项, S8 32, 则S等于10A. 18B. 24C. 60D. 904（湖南卷）设S n 是等差数列a n 的前n 项和，已知a2 3，a6 11，则S7 等于【】第1页/ 共8页A ．13 B．35 C．49 D．633.（辽宁卷）已知a为等差数列，且a7 －2 a4 ＝－1, a3 ＝0, 则公差d＝n（A）－2 （B）－12 （C）12（D）24.（四川卷）等差数列｛a n ｝的公差不为零，首项a1 ＝1，a2 是a1 和a5 的等比中项，则数列的前10 项之和是A. 90B. 100C. 145D. 1905.（湖北卷）设x R, 记不超过x 的最大整数为[ x ], 令{x }= x -[ x ]，则{ 52 1} ，[ 521],521A.是等差数列但不是等比数列B.是等比数列但不是等差数列C.既是等差数列又是等比数列D.既不是等差数列也不是等比数列6.（湖北卷）古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种性状来研究数，例如：他们研究过图1 中的1，3，6，10，⋯，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数;类似地，称图2中的1，4，9，16⋯这样的数成为正方形数。

广东省东莞市（新版）2024高考数学部编版测试(押题卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中国传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题.大衍数列的前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，则此数列的第30项为（）A．366B．422C．450D．600第(2)题设i为虚数单位，若复数z满足，则z的虚部为（）A．B．C．1D．2第(3)题双曲线的焦点坐标是A．，B．，C．，D．，第(4)题已知函数满足，且，则（）A．16B．8C．4D．2第(5)题函数的单调递减区间为（）A ．，B．，C ．，D．，第(6)题在四棱锥中，底面ABCD为正方形，平面ABCD，，E为线段PB的中点，F为线段BC上的动点，则（）A．直线∥平面PCD B．直线AF与平面PBC所成角的最小值是C．直线直线PC D．三棱锥的体积随BF的增大而减小第(7)题集合，，则（）A．B．C．D．第(8)题若直线与直线垂直，则实数a的值为（）A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题已知复数，则下列命题正确的是（）A．若，则B．若，则C．若是非零复数，且，则D．若是非零复数，则第(2)题已知复数和，则下列命题是真命题的有（）A．若满足，则其在复平面内对应点的轨迹是圆．B．若满足，则其在复平面内对应点的轨迹是椭圆．C．若满足，则其在复平面内对应点的轨迹是双曲线．D．若满足，则其在复平面内对应点的轨迹是抛物线．第(3)题在平面直角坐标系中，已知点在双曲线的右支上运动，平行四边形的顶点，分别在的两条渐近线上，则下列结论正确的为（）A．直线，的斜率之积为B ．的离心率为2C．的最小值为D．四边形的面积可能为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题两姐妹同时推销某一商品，现抽取他们其中8天的销售量（单位：台），得到的茎叶图如图所示，已知妹妹的销售量的平均数为14，姐姐的销售量的中位数比妹妹的销售量的众数大2，则的值为______.第(2)题，则_________.第(3)题如图，在等腰梯形中，，，，则______．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题如图，开车从站到站有3条路线.甲、乙、丙路线分别为.开车从站到站需要3分钟，从站到站需要2分钟，从站到站需要2分钟，从站到站需要，2.5分钟，从站到站需要分钟，从站到站需要分钟，从站到站需要分钟，从站到站需要分钟，受路上的红绿灯影响，都是随机变量，且分布列如下.2 2.50.40.61.52.50.50.523m230.50.5(1)若选择甲路线，开车从站到站的总时间为分钟，求的分布列；(2)小张从这3条路线中选择1条，他在每站选择前进的方向时，都会等可能地选择其中一个方向，在他开车经过站的前提下，若他开车从站到站的总时间少于5分钟的概率为0.4，求的值；(3)以各条路线开车需要的总时间的期望为依据，若三条路线中只有丙路线最快捷，求的取值范围.第(2)题如图，在三棱锥中，，，点D为BC的中点，点E在线段AC上，且．(1)求证：平面；(2)若，且，求二面角A－PD－E的余弦值．第(3)题如图，平面平面，，，，为上一点，且平面.（1）证明：平面；（2）若平面与平面所成锐二面角为，求.第(4)题设为数列的前项和，已知，.若数列满足，，.(1)求数列和的通项公式；(2)设，求数列的前项的和.第(5)题已知数列的前n项和为，正项等比数列的首项为，且．(1)求数列和的通项公式；(2)求使不等式成立的所有正整数n组成的集合．。

2010届高三文科数学小综合专题练习——数列东莞市第一中学老师提供1. 已知数列{}()n a n N *∈是等比数列,且130,2,8.n a a a >==(1)求数列{}n a 的通项公式; (2)求证:11111321<++++na a a a ； (3)设1log 22+=n n ab ,求数列{}n b 的前100项和.2.数列{a n }中，18a =，42a =，且满足21n n a a ++-=常数C (1)求常数C 和数列的通项公式； (2)设201220||||||T a a a =+++， (3) 12||||||n n T a a a =+++,n N +∈3. 已知数列n n 2,n a =2n 1,n ⎧⎨⎩为奇数；－为偶数；， 求2n S4 .已知数列{}n a 的相邻两项1,+n n a a 是关于x 的方程022=+-n n b x x ∈n (N )*的两根,且11=a .(1) 求证: 数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧⨯-n n a 231是等比数列; (2) 求数列{}n b 的前n 项和n S .5.某种汽车购车费用10万元，每年应交保险费、养路费及汽油费合计9千元，汽车的维修费平均为第一年2千元，第二年4千元，第三年6千元，…，各年的维修费平均数组成等差数列，问这种汽车使用多少年报废最合算（即使用多少年时，年平均费用最少）？6. 从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少51，本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加41.(1)设n 年内(本年度为第一年)总投入为a n 万元，旅游业总收入为b n 万元，写出a n ,b n 的表达式；(2)至少经过几年，旅游业的总收入才能超过总投入？7. 在等比数列{a n }(n ∈N*)中，已知a 1＞1，q ＞0．设b n =log 2a n ，且b 1＋b 3＋b 5=6，b 1b 3b 5=0．(1)求数列{a n }、{b n }的通项公式a n 、b n ；(2)若数列{b n }的前n 项和为S n ，试比较S n 与a n 的大小．8. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n 是S n 与2的等差中项，数列{b n }中，b 1=1， 点P （b n ，b n+1）在直线x -y +2=0上。

2014届高三文科数学小综合专题练习-------数列东莞高级中学覃涛老师提供一、选择题1.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且满足548213510S a a -+=,则下列数中恒为常数的是（ ） A ．8aB. 9SC. 17aD. 17S2.设数列{}n a 是公差不为零的等差数列，它的前n 项和为n S ，且1S 、2S 、4S 成等比数列，则31a a 等于（ ）A ．2B ．3C ．4D ．53.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且24S =,420S =,则该数列的公差d =( )A ．2B . 3C ．6D ．74.在各项都为正数的等比数列{}n a 中，13a =，前三项的和为21，则345a a a ++= （ ）A ．33B ．72C ．84D ．1895.已知等比数列{}n a 的首项,11=a 公比2=q ，则=+++1122212log log log a a a （ ）A. 50B. 35C. 55D. 46 二、填空题6.设等差数列{n a }有前n 项和为912,243n S S S =+若，则数列n a }的公差d 为_________ 7.已知数列{}n a 的前n 项和21n n S a =-，则数列的通项公式为n a = .*()n N ∈8.设数列{}{},n n a b 都是等差数列,若11337,21a b a b +=+=，则55a b +=__________ 9.在数列{}n a 中，11=a ，nn n a a a +=+11（*∈N n ），试归纳出这个数列的通项=n a ．10.已知等差数列{n a },满足381,6a a ==,则此数列的前10项的和10S = .三、解答题11.已知n S 为数列{}n a 的前n 项和,且有111,1n n a S a +=+=(*n ∈N ).(1) 求数列{}n a 的通项n a ；(2) 若nn a nb 4=,求数列{}n b 的前n 项和n T .12.设数列{}n a 的各项都是正数，且对任意*N n ∈，都有n n n S a a 4)3)(1(=+-，其中n S 为数列{}n a 的前n 项和.（1）求证数列{}n a 是等差数列； （2）若数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫-142n a 的前n 项和为n T ,求n T .13.已知数列}{n a 满足：2,7,20221-=-==+n n a a a a . （1）求43,a a ，并求数列}{n a 通项公式；（2）记数列}{n a 前n 2项和为n S 2，当n S 2取最大值时，求n 的值．14.在等差数列{}n a 和等比数列{}n b 中，111==b a ，84=b ，{}n a 的前10项和5510=S （1）求n a 和n b ；（2）现分别从{}n a 和{}n b 的前3项中各随机抽取一项，，求这两项的值相等的概率； （3）设{}n n b a 的前n 和为n T ，求n T .15.已知数列{}n a 前n 项和为11,,,2n n n S a a S 首项为且，成等差数列. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）数列满足，)(log )(log 322122++⨯=n n n a ab 求证：123111112n b b b b ++++<.16.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1()2n n n na a c c S *=+-∈是常数,n N ，26a =. （1）求c 的值及{}n a 的通项公式； （2）证明：1223111118n n a a a a a a ++++<.17.已知数列{}n a 满足111,2 1.2n n a a a +=-= （1）求{}n a 的通项公式； （2）证明：12...1na a a n+++<.18.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11=a ，13n S +是6与2n S 的等差中项（*N n ∈）. （1）证明数列}23{-n S 为等比数列；（2）求数列{}n a 的通项公式；（3）是否存在正整数k ，使不等式()21nn n k a S -<（*N n ∈）恒成立，若存在，求出k 的最大值；若不存在，请说明理由.2014届高三文科数学小综合专题练习-------数列参考答案一、选择题 DDBCC 二、填空题 6.94 7. 12-n 8. 35 9. n110. 35 三、解答题11.解： (1) 当1n =时,211112a S a =+=+=；当2n ≥时,11n n S a ++=,11n n S a -+=,相减得12n n a a +=.又212a a =, 所以{}n a 是首项为1,公比为2的等比数列,所以12-=n n a .(2) 由(1) 知12-=n n a ,所以112244+-=⋅==n n n n nn a n b 所以23411232222n n n T +=++++ 12n T = 34121212222n n n n++-++++两式相减得2341211111222222n n n n T ++=++++-=2221111222122212n n n n n ++⎛⎫- ⎪+⎝⎭-=--, 所以1212n n n T ++=-(或写成11122n n n T ⎛⎫=-+⋅ ⎪⎝⎭,11122nn n n T +=--.12.解：（1）∵n n n S a a 4)3)(1(=+-，当2≥n 时，1114)3)(1(---=+-n n n S a a ，两式相减，得n n n n n a a a a a 4221212=-+---，即0)2)((11=--+--n n n n a a a a ，又0>n a ，∴21=--n n a a .当1=n 时,1114)3)(1(a a a =+-,∴0)3)(1(11=-+a a ,又01>a ,∴31=a . 所以,数列{}n a 是以3为首项,2为公差的等差数列.（2）由（1）, 2,31==d a ,∴ 12+=n a n .设241n n b a =-,*∈N n ； ∵12+=n a n ， ∴)1(412+=-n n a n ∴ 41114(1)(1)1n b n n n n n n ===-+++123n n T b b b b ∴=+++⋅⋅⋅+=11111(1)()()2231n n -+-++-+ =1111nn n -=++13.解：（1）5,1843==a a .由题意可得数列}{n a 奇数项、偶数项分别是以2-为公差的等差数列 ∴n a =（2）n S =n n 2922+-结合二次函数的性质可知，当7=n 时，n S 2取最大值.14.解：（1）设{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q ，由题意得：8,552910103410===⨯+=q b d S ，解得：2,1==q d 12,-==∴n n n b n a（2）分别从{}n a 和{}n b 的前3项中各随机抽取一项，得到的基本事件有9个：()()()()()()()()()4,3,2,3,1,34,22,21,2,4,1,2,1,1,1，，，，，，，，，合题意的基本事件有 两个：()()2,2,1,1，，所以所求的概率为：92=P . （3）由错位相减得：n T ()121+-=nn .15.解：（1）1,2n n a S ，成等差数列,∴122n n a S =+.1111112,22n a a a ==+∴=当时，；当111122;222n n n n n s a s a --≥=-=-时，, 两式相减得：11122,2nn n n n n n a a s s a a a ---=-=-∴= 所以数列{}n a 是首项为12，公比为2的等比数列，12122n n n a a --=⨯=.（2）2122322123222222log log log log (21)(21)n n n n a a n b n n +-+-++=⨯=⨯=-+111111()212122121n b n n n n =⨯=--+-+1231111111111[1+-++)]23352121n b b b b n n ++++=---+（）（）（=111(1)2212n -<+.16.解：（1）因为12n n n na a c S =+-所以当n=1时，11112a a c S =+-，解得12a c =， 当n=2时，222a a c S =+-，即1222a a a c +=-，解得23a c =，所以36c =， 解得2c =；则14a =，数列{}n a 的公差212d a a =-=， 所以1(1)22n a a n d n =+-=+. （2）证明：因为12231111n n a a a a a a ++++＝1114668(22)(24)n n +++⨯⨯++＝111111111()24626822224n n ⎛⎫⎛⎫-+-++- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭＝1111111()246682224n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+-++- ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎣⎦＝()111112424842n n ⎛⎫-=- ⎪++⎝⎭.因为0>n ，所以1223111118n n a a a a a a ++++<17.解：（1）()11111,2121,221,211,2n n n n n n a a a a a a a +++=-==--=--=- 211-=a ， ∴数列{}1n a -是以12-为首项，12为公比的等比数列，∴111122n n a -⎛⎫-=-⨯ ⎪⎝⎭，∴112nn a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭证明：（2）∵212111......222nn a a a n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+++=-+++⎢⎥⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦111222112nn ⎛⎫-⨯ ⎪⎝⎭=--112nn ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭∴1211 (2)1nn a a a n n⎛⎫- ⎪+++⎝⎭=-， ∵n 是正整数，∴1012n ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，1112011,02nnn ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭<-<> ⎪⎝⎭， ∴12...1na a a n +++<.18.解：因为13n S +是6与2n S 的等差中项， 所以1626n n S S ++=（*N n ∈），即1311+=+n n S S ，（*N n ∈） 由此得)23(31213123)131(231-=-=-+=-+n n n n S S S S （*N n ∈），又21232311-=-=-a S ，所以 3123231=--+n n S S （*N n ∈）， 所以数列}23{-n S 是以21-为首项，31为公比的等比数列.（2）由（1）得1)31(2123-⨯-=-n n S ，即1)31(2123--=n n S （*N n ∈），所以，当2≥n 时，121131])31(2123[])31(2123[----=---=-=n n n n n n S S a ，又1=n 时，11=a 也适合上式， 所以)(31*1N n a n n ∈=-.（3）原问题等价于()()21111113323n n nk --⎡⎤⎛⎫⎛⎫-<-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦（*N n ∈）恒成立. 当n 为奇数时，对任意正整数k 不等式恒成立； 当n 为偶数时，等价于()2111123033n n k --⎛⎫⎛⎫+-< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭恒成立，令113n t -⎛⎫= ⎪⎝⎭，103t <<，则等价于2230kt t +-<恒成立，因为k 为正整数，故只须21123033k ⎛⎫+-< ⎪⎝⎭，解得012k <<，*k N ∈， 所以存在符合要求的正整数k ，且其最大值为11.。

广东省东莞市2024高三冲刺（高考数学）人教版真题(冲刺卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题已知集合，，则（）A．B．C．D．第(2)题复数的虚部是（）A．B．C．D．第(3)题已知在中，角，，的对边分别为，，，且满足，，则（）A．B．C．D．第(4)题若，则（）．A．B．C．D．第(5)题数列中，是其前项的和，若对任意正整数，总存在正整数，使得，则称数列为“某数列”现有如下两个命题：①等比数列为“某数列”；②对任意的等差数列，总存在两个“某数列”和，使得.则下列选项中正确的是（）A．①为真命题，②为真命题B．①为真命题，②为假命题C．①为假命题，②为真命题D．①为假命题，②为假命题第(6)题已知函数f（x）＝ax2＋(a＋2)x＋a2为偶函数，则不等式(x－2)f（x）<0的解集为（）A．(－，)∪(2，＋∞)B．(－，＋∞)C ．(2，＋∞)D．(－，2)第(7)题已知向量，若间的夹角为，则（）A．B．C．D．第(8)题在半径为的中，弦的长度为，则的值为（）A．B．C．D．与有关二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题如图，在直三棱柱中，，，则（）A．平面B．平面平面C．异面直线与所成的角的余弦值为D．点，，，均在半径为的球面上第(2)题意大利著名数学家莱昂纳多．斐波那契（ Leonardo Fibonacci）在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，该数列的特点是：前两个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它的前面两个数的和，人们把这样的一列数称为“斐波那契数列”．同时，随着趋于无穷大，其前一项与后一项的比值越来越逼近黄金分割，因此又称“黄金分割数列”，记斐波那契数列为，则下列结论正确的有（）A．B．C．D．第(3)题如图，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是边长为2的正方形，侧棱长为3，E，F分别是AB，BC的中点，过点D1，E，F的平面记为α，则（）A．平面α截直四棱柱ABCD-A1B1C1D1所得截面的形状为四边形B．平面α截直四棱柱ABCD-A1B1C1D1所得截面的面积为C．平面α将直四棱柱分割成的上、下两部分的体积之比为47∶25D．点B到平面α的距离与点A1到平面α的距离之比为1∶3三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题已知，则________．第(2)题若两个单位向量，满足，则___________.第(3)题在正方体中，以点A为球心，棱AB为半径的球将正方体截为P（含球心的部分）和Q两部分，则四边形被球A截得的区域面积与P的表面积之比为______.四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题如图，正方体的棱长为1，E，F是线段上的两个动点．(1)若平面，求的长度；(2)若，求直线与平面所成角的正弦值．第(2)题已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是，接下来的两项是，，再接下来的三项是，，，依此类推．设该数列的前项和为，规定：若，使得，则称为该数列的“佳幂数”．(1)将该数列的“佳幂数”从小到大排列，直接写出前4个“佳幂数”；(2)试判断50是否为“佳幂数”，并说明理由；(3)（ⅰ）求满足的最小的“佳幂数”；（ⅱ）证明：该数列的“佳幂数”有无数个．第(3)题在平面直角坐标系中，曲线C 1的参数方程为（为参数，），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为.(1)求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程；(2)设C 1与C2的公共点分别为A，B，，求a的值.第(4)题已知函数.(1)画出的图象；(2)若函数的最小值为m，x，y，满足，求证：.第(5)题在数列中，，其中．(1)证明数列是等差数列，并写出证明过程；(2)设，数列的前n项和为，求；(3)已知当且时，，其中，求满足等式的所有n的值之和．。

广东省东莞市高考数学真题分类汇编专题04：数列（基础题）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、数列 (共9题；共13分)1. （2分）等差数列前n项和为，满足，则下列结论中正确的是（）A . 是中的最大值B . 是中的最小值C . =0D . =02. （2分）已知正项等比数列满足：，若存在两项使得，则的最小值为（）A .B .C .D . 不存在3. （2分）“a=b”是“直线y=x+2与圆(x-a）2+（y-b）2=2相切”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充分必要条件D . 既不充分也不必要条件4. （2分） (2017高一下·武汉期中) 学校餐厅每天供应500名学生用餐，每星期一有A、B两种菜可供选择．调查表明，凡是在这星期一选A种菜的，下星期一会有20%改选B种菜；而选B种菜的，下星期一会有30%改选A菜．用an ， bn分别表示在第n个星期选A的人数和选B的人数，若a1=300，则a20=（）A . 260B . 280C . 300D . 3205. （1分） (2016高二上·济南期中) 若两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别是Sn ， Tn ，已知 =，则等于________．6. （1分） (2018高三上·丰台期末) 等差数列的公差为2，且成等比数列，那么________，数列的前9项和 ________．7. （1分）(2013·江苏理) 在正项等比数列{an}中，，a6+a7=3，则满足a1+a2+…+an＞a1a2…an 的最大正整数n的值为________．8. （1分） (2016高三上·连城期中) 已知a，b∈R，且，则数列{an+b}前100项的和为________．9. （1分）已知数列{an}的前n项和为Sn ，且a1=1，则S2016=________参考答案一、数列 (共9题；共13分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、。

1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上2023-2024学年广东省东莞市高中数学人教A 版选修二第四章 数列专项提升(1)姓名：____________ 班级：____________学号：____________考试时间：120分钟满分：150分题号一二三四五总分评分*注意事项：阅卷人得分一、选择题（共12题，共60分）无最小项，无最大项无最小项，有最大项有最小项，无最大项有最小项，有最大项1. 已知各项均为正数的数列满足 ，，则数列（）A. B. C. D. 12342. 用数学归纳法证明对任意的自然数都成立，则的最小值为（ ）A. B. C. D.3. 等差数列的前 项和为，若 ，则 （ ）A. B. C. D.4. 已知等差数列 中，则 （ ）A. B. C. D.585756555. “中国剩余定理”又称“孙子定理”，1852年英国来华传教士伟烈亚利将《孙子算法》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”，“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1至2022这2022个数中，能被5除余1且被7除余1的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列 ， 则此数列的项数为（ ）A. B. C. D. 有最大项，有最小项有最大项，无最小项无最大项，有最小项无最大项，无最小项6. 在等差数列中，，．记，则数列（ ）．A. B. C. D.128 或7. 等比数列 中， ， ，则 的值为（ ）A. B. C. D. 0﹣10﹣158. 等差数列{a n }的前n 项和为S n ， 且S 3=6，S 6=3，则S 10=（ ）A.B. C. D. -60-80-100-1209. 已知等差数列的公差不为零，， 是和的等比中项，设 ， 则的最小值为（ ）A. B. C. D. 5552392610. 《张丘建算经》卷上第22题为“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月日织九匹三丈．”其意思为：现有一善于织布的女子，从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布，第1天织了5尺布，现在一月（按30天计算）共织390尺布，记该女子一月中的第n 天所织布的尺数为a n ， 则a 14+a 15+a 16+a 17的值为 （ ）A. B. C. D. 363024111. 已知数列 是等差数列，，则（ ）A. B. C. D. 万元万元万元万元12. 现存人银行8万元，年利率为 ，若采用一年期自动转存业务，则第十年末的本利和为（ ）A.B.C.D.13. 数列7，77，777，7 777，77 777，…的通项公式为 ．14. 设{a n }是公差不为0的等差数列，a 1=2且a 1 ， a 3 ， a 6成等比数列，则{a n }的前a 项和s n = ．15. 已知数列中， ， ， 则数列的通项公式是 .16. 如图数表，它的第一行数由正整数从小到大排列得到，此后下一行数由前一行每两个相邻的数的和写在这两个数正中间下方得到.依次类推，则该数表中，第n 行第1个数是 .阅卷人得分三、解答17. 在下列条件：①数列 的任意相邻两项均不相等，且数列 为常数列，② ，③中，任选一个，补充在横线上，并回答下面问题.已知数列 的前n 项和为 ，___________.(1) 求数列 的通项公式和前n 项和；(2) 设，数列 的前n 项和记为，证明：.18. 设 ，正项数列的前n 项和为 ，已知 ，___________．请在① ， ， 成等比数列；②，，成等差数列；③ 这三个条件中任选一个补充在上面题干中，并解答下面问题．(1) 求数列 的通项公式；(2) 若，记数列前n 项和为，求．19. 已知等比数列 的前 项和为 ，公比 ， ， ．(1) 求等比数列 的通项公式；(2) 设，求 的前 项和 ．20. 已知数列 的前 项的和 ，满足 ，且 .(1) 求数列 的通项公式；(2) 若数列满足：，求数列 的前N 项的和 .21. 设p 为实数．若无穷数列{a n }满足如下三个性质，则称{a n }为R P 数列：：① ，；② ；③（m=1，2，…；n=1，2，…） ．(1) 如果数列{a n }的前4项2，-2，-2，-1的数列，那么{a n }是否可以为 数列？说明理由；(2) 若数列是数列，求；(3) 设数列{a n }的前n 项和为S n ， 是否存在 数列，对恒成立 ？若存在，求出所有这样的p ；若不存在，说明理由．答案及解析部分1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.15.16.17.(1)(2)18.(1)(2)19.(1)(2)20.(1)(2)21.(1)(2)(3)。

广东省东莞市2024高三冲刺（高考数学）苏教版测试(评估卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题数列满足，，则等于（）A．B．C．D．第(2)题定义一个集合，集合中的元素是空间内的点集，任取，存在不全为0的实数，使得．已知，则的充分条件是（）A．B．C．D．第(3)题数列满足，，且，则该数列前31项的和（）A．5550B．5650C．5760D．5900第(4)题已知定义在R上的函数满足且当时，则=（）A．0B．1C．-2D．-1第(5)题已知内角的对边分别为，动点位于线段上，则的最小值为（）A．0B．C．D．第(6)题若（为虚数单位），则（）A．2B．C．4D．8第(7)题已知集合，则中元素的个数为（）A．B．C．D．第(8)题已知，，，点P是圆上的一点，则的最小值为（）A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题已知椭圆：，过椭圆的左焦点的直线交于A，B两点（点在轴的上方），过椭圆的右焦点的直线交于C，D两点，则（）A．若，则的斜率B．的最小值为C．以为直径的圆与圆相切D．若，则四边形面积的最小值为函数（且），（且），则（）A ．当时，与有唯一的公共点B ．当时，与没有公共点C．当时，与有唯一公共点D．当时，与有两公共点第(3)题已知的外接圆的圆心为O，半径为2，，且，下列结论正确的是（）A．在方向上的投影长为B．C．在方向上的投影长为D．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题已知集合，，则集合中元素的个数为_______.第(2)题已知实数，满足不等式组，则的最小值为______．第(3)题已知的内角，，的对边分别为，，，且，若，，则的值是______．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题在平面直角坐标系中，以原点为极点，轴为极轴建立极坐标系，曲线的方程为（为参数），曲线的极坐标方程为，若曲线与相交于两点．（1）求的值；（2）求点到两点的距离之积．第(2)题如图，某巡逻艇在A处发现北偏东30°相距海里的B处有一艘走私船，正沿东偏南45°的方向以3海里小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以海里小时的速度沿着正东方向直线追去，1小时后，巡逻艇到达C处，走私船到达D处，此时走私船发现了巡逻艇，立即改变航向，以原速向正东方向逃窜，巡逻艇立即加速以海里小时的速度沿着直线追击(1)当走私船发现了巡逻艇时，两船相距多少海里(2)问巡逻艇应该沿什么方向去追，才能最快追上走私船第(3)题已知，函数，.（1）当，时，证明：；（2）若函数有三个不同的极值点，，.①求的取值范围；②证明：.注：.空间中由若干平面多边形所圈成的封闭的立体叫做多面体，这些平面多边形称为多面体的面，这些多边形的边和顶点分别称为多面体的棱和顶点．我们称一个多面体为凸多面体，当且仅当该多面体全部位于其每一面所决定的平面的同一侧．例如：四面体平行六面体、棱锥、棱柱、棱台都是凸多面体．设多面体恰有100条棱．（1）当为凸多面体时，求最大整数，使得存在某个平面恰与的条棱相交．（2）当为非凸多面体时，证明：（i）存在和平面使得恰与的98条棱相交．（ii）不存在和平面使得与的100条棱均相交．第(5)题已知函数和有相同的最小值．(1)求的最小值；(2)设，方程有两个不相等的实根，，求证：．。

广东省东莞市2024高三冲刺（高考数学）人教版质量检测(强化卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题已知全集，，，则（）A．B．C．D．第(2)题已知数列中，，下列说法正确的是（）.A．存在实数，使数列单调递减B．若存在正整数，使，则C．当时，对任意正整数，都有D．若对任意正整数，都有，则第(3)题已知为第二象限角，则（）A．B．C．D．第(4)题函数，，若与的图像恰有三个公共点，则a的取值范围为（）A．B．C．D．第(5)题在三棱锥，若平面，，，，，则三棱锥外接球的表面积是（）A．100πB．50πC．144πD．72π第(6)题波斯诗人奥马尔•海亚姆于十一世纪发现了一元三次方程的几何求解方法.在直角坐标系中，两点在轴上，以为直径的圆与抛物线：交于点，.已知是方程的一个解，则点的坐标为（）A．B．C．D．第(7)题设全集，若集合满足．则（）A．B．C．D．第(8)题已知双曲线的左，右顶点分别为，，点M在直线上运动，若的最大值为，则双曲线的离心率（）A．B．2C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题众所周知的“太极图”，其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，也被称为“阴阳鱼太极图”.如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”.整个图形是一个圆形.其中黑色阴影区域在轴右侧部分的边界为一个半圆，给出以下命题:其中所有正确结论的序号是（）A．在太极图中随机取一点，此点取自黑色阴影部分的概率是；B ．当时，直线与白色部分有公共点；C．黑色阴影部分（包括黑白交界处）中一点，则的最大值为；D．若点，为圆过点的直径，线段是圆所有过点的弦中最短的弦，则的值为.第(2)题下列说法正确的是（）A．线性回归方程中，若线性相关系数r越大，则两个变量的线性相关性越强B．若，若函数为偶函数，则C．根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到，依据的独立性检验（），可判断X与Y有关且犯错误的概率不超过0.05D．已知，，若，则第(3)题正方体的棱长为3，、为底面内的动点，且，直线与所成角为，下列说法正确的是（）A．动点轨迹长度为B．C．线段的长度最小值为D．三棱锥的体积可以取值为3三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题若行列式中，元素的代数余子式大于,则满足的条件是__________．第(2)题一个袋中装有9个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1，2，…，9，随机依次摸出两个球（不放回），则两个球编号之和大于9的概率是___________（结果用分数表示）.第(3)题______四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题某大型跨国公司在年末举办员工抽奖活动，抽奖规则如下：①不透明的抽奖箱中有红、黄、蓝、白四种颜色的卡片共张，每种颜色的卡片均有五张，且标号均为，每张卡片的形状、大小均相同；②每位员工只能抽奖一次，员工在抽奖时，一次从抽奖箱中抽出三张卡片；③若抽出的三张卡片颜色相同，且编号连续，则为特等奖，奖金元；若三张卡片编号相同，则为一等奖，奖金元；若三张卡片的编号连续，但颜色不是同一种颜色（可以有两张卡片同色，也可以三张颜色两两不同），则为二等奖，奖金元；若三种卡片有两张编号相同，第三张编号不相同，则为三等奖，奖金元；其余情况为阳光普照奖，奖金元．(1)某位员工打算用所得奖金买一部价值元的手机，求该员工得偿所愿的概率；(2)若该公司共有员工人，求该公司举办此抽奖活动需要发出的奖金总额的数学期望．第(2)题疫情期间，某校使用一家公司的三种软件来上网课，分别为在线课堂、视频会议、在线直播．根据效果，首选在线课堂，当在线课堂进不去时选视频会议，当在线课堂和视频会议均进不去后再选在线直播．当该校不是该软件的会员时，老师们上网课能够进入在线课堂、视频会议、在线直播的概率分别为，，；当该校充值为会员时，老师们上网课能够进入在线课堂、视频会议、在线直播的概率均为．设在线课堂、视频会议、在线直播的网课效果得分分别记为5分，3分，2分．(1)调查知前7天能完成全部网课的班级数y如下表所示：第t天1234567y3434768已知y与t具有线性相关关系，求y关于t的线性回归方程；（t的系数精确到0.01）(2)请你计算后判断学校充值为会员后，网课效果得分的数学期望是否有提高．参考公式：在线性回归方程中，，参考数据：．第(3)题已知等差数列的首项为1，公差，前项和为，且为常数．(1)求数列的通项公式；(2)令，证明：．第(4)题已知函数.(1)当时，讨论函数的单调性；(2)当时，证明：对任意的，；第(5)题已知，设函数，．（1）试讨论的单调性；（2）设函数，是否存在实数，使得存在两个极值点，，且满足？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由．注：.。

广东省东莞市2024高三冲刺（高考数学）部编版考试(综合卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题在等差数列中，，则（）A．8B．9C．11D．12第(2)题已知函数，若关于的方程有四个不等实根，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．第(3)题若是周期为π的奇函数，则可以是（）A．B．C．D．第(4)题在数列中，第9个数是（）A．B．3C．D．10第(5)题已知集合，，则（）A．B．C．D．第(6)题已知函数的定义域为，其导函数为，对恒成立，且，则不等式的解集为（）A．B．C．D．第(7)题已知函数，各项均不相等的数列满足，记.①若，则；②若是等差数列，且，则对恒成立.关于上述两个命题，以下说法正确的是（）A．①②均正确B．①②均错误C．①对②错D．①错②对第(8)题把物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度是，空气的温度是，那么分钟后物体的温度（单位：）满足等式，其中为常数.现有62℃的物体放到22℃的空气中冷却2分钟后，物体的温度为42℃，再经过4分钟冷却，该物体的温度可以冷却到（）A．22B．24.5C．25D．27二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题已知函数，则下列说法正确的有（）A．的图象关于点中心对称B ．的图象关于直线对称C ．在上单调递减D．将的图象向左平移个单位，可以得到的图象第(2)题已知直四棱柱，，底面是边长为1的菱形，且，点E，F，G分别为，，的中点，点H是线段上的动点（含端点）.以为球心作半径为R的球，下列说法正确的是（）A．直线与直线所成角的正切值的最小值为B．存在点H，使得平面C．当时，球与直四棱柱的四个侧面均有交线D．在直四棱柱内，球外放置一个小球，当小球体积最大时，球直径的最大值为第(3)题已知直线：与圆：，若存在点，过点向圆引切线，切点为，，使得，则可能的取值为（）A．2B．0C．D．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题已知实数满足，若，则的最大值为___________．第(2)题取一根5米长的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得的两段的长都不小于2米的概率为______．第(3)题已知函数的两个相邻的零点之差的绝对值为，且是的最小正零点，则__________.四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题英国数学家泰勒发现的泰勒公式有如下特殊形式：当在处的阶导数都存在时，．注：表示的2阶导数，即为的导数，表示的阶导数，该公式也称麦克劳林公式.(1)根据该公式估算的值，精确到小数点后两位；(2)由该公式可得：．当时，试比较与的大小，并给出证明（不使用泰勒公式）；(3)设，证明：.第(2)题在三棱锥中，，直线与平面所成角为，直线与平面所成角为．(1)求三棱锥体积的取值范围；(2)当直线与平面所成角最小时，求二面角的平面角的余弦值.第(3)题如图所示，在平面直角坐标系中，角的顶点在原点，始边与轴的非负半轴重合，终边交单位圆于点A，，将角的终边绕原点逆时针方向旋转交单位圆于点B，过B作轴于C.（1）若点A纵坐标为，求点的横坐标；（2）求面积S的最大值.第(4)题已知在中，为中点，，，(1)求的值；(2)求的值.第(5)题已知椭圆的焦距为，且过点.（1）求椭圆的标准方程；（2）过椭圆的右焦点作直线交椭圆于、两点，交轴于点，若，，求证：为定值.。

广东省东莞市（新版）2024高考数学统编版质量检测(综合卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题已知数列的通项公式为，前n项和为，前n项积为.则下列结论正确的个数为（）①既有最小值，又有最大值，②满足的n的值共有6个；③使取得最小值的n为7；④有最小值，无最大值；A．1B．2C．3D．4第(2)题在中，，，，点P是所在平面内一点，，且满足，若，则的最小值是（）A．B．C．1D．第(3)题在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F分别是棱C1D1，B1C1的中点，P是上底面A1B1C1D1内一点，若AP∥平面BDEF，则线段AP长度的取值范围是（）A．[，]B．[，]C．[，]D．[，]第(4)题已知，则（）A．B．C．D．第(5)题如图，在直三棱柱中，，，则与平面所成角的正弦值等于（）A．B．C．D．第(6)题某校运动会，一位射击运动员10次射击射中的环数依次为：7，7，10，9，7，6，9，10，7，8．则下列说法错误的是（）A．这组数据的平均数为8B．这组数据的众数为7C．这组数据的极差为4D．这组数据的第80百分位数为9第(7)题已知，则的实部是（）A．B．i C．0D．1第(8)题定义域为的函数满足，当时，，若时，恒成立，则实数的取值范围是A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题（多选题）下列命题中的真命题是（）A．B．C．D．第(2)题已知，，则下列说法正确的是（）A．两圆位置关系是相交B．两圆的公共弦所在直线方程是C．上到直线的距离为的点有四个D．若为上任意一点，则第(3)题已知曲线C上任意一点P到，的距离之比为2，直线l：与曲线C交于两点，若，则下列说法正确的是（）A．曲线C的轨迹是圆B．曲线C的轨迹方程为C．D．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题设非零向量，，满足，且，则，的夹角为__________.第(2)题函数满足：（1）定义域为；（2）偶函数；（3）在上单调递增．则满足上述三个条件的一个函数式为_________．（答案不唯一，正确即可．）第(3)题若平面向量，，则的最小值为________．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题已知双曲线C：的离心率为e，点在C上，，分别为C的左、右顶点，C的右焦点F到渐近线的距离为，过点F的直线l与C交于A，B两点（异于顶点），直线，分别与y轴交于点M，N.(1)求双曲线C的标准方程；(2)当时，求以MN为直径的圆的方程.第(2)题已知函数．(1)讨论函数的单调性；(2)若a，b为两个不相等的实数，且满足，求证：．第(3)题已知等差数列和正项等比数列满足：，，．(1)求数列的通项公式；(2)记，数列的前项和为，求．第(4)题如果项数相同的数列满足，且为奇数时，；为偶数时，，其中，那么就称为“互补交叉数列”，记为的“互补交叉数列对”，为的前项和.(1)若，且，写出所有满足条件的“互补交叉数列对"；(2)当为“互补交叉数列”时，（i）证明：取最大值时，存在；（ii）当为偶数时，求的最大值.第(5)题已知数列的前项和．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）令，求数列的前项和.。

广东省东莞市（新版）2024高考数学统编版模拟(巩固卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题已知数列满足，数列满足，其中，则数列的前项和为（）A．B．C．D．第(2)题某乡镇为推动乡村经济发展，优化产业结构，逐步打造高品质的农业生产，在某试验区种植了某农作物.为了解该品种农作物长势，在实验区随机选取了100株该农作物苗，经测量，其高度（单位：cm）均在区间内，按照，，，，分成5组，制成如图所示的频率分布直方图，记高度不低于16cm的为“优质苗”.则所选取的农作物样本苗中，“优质苗”株数为（）A．20B．40C．60D．80第(3)题已知函数有零点，函数有零点，且，则实数的取值范围是A．B．C．D．第(4)题已知函数，若函数有5个零点，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．第(5)题如图，在平面四边形中，，，，，，，若点F为边AD上的动点，则的最小值为（）A．1B．C．D．2第(6)题设集合，且，则集合可以为（）A．B．C．D．第(7)题若正数满足，则的最小值为（）A．B．C．2D．第(8)题为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分如图所示，假设得分值的中位数为，众数为，平均值为，则（ ）A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题为丰富老年人的业余生活，某小区组建了合唱、朗诵、脱口秀、舞蹈、太极拳五个兴趣社团，该小区共有2000名老年人，每位老人依据自己兴趣爱好最多可参加其中一个，各个社团的人数比例的饼状图如图所示，其中参加朗诵社的老人有8名，参加太极拳社团的有12名，则（）A．这五个社团的总人数为100B．脱口秀社团的人数占五个社团总人数的20%C．这五个社团总人数占该小区老年人数的4%D．从这五个社团中任选一人，其来自脱口秀社团或舞蹈社团的概率为40%第(2)题如图，若正方体的棱长为1，点是正方体的侧面上的一个动点（含边界），是棱的中点，则下列结论正确的是（）A．沿正方体的表面从点到点的最短路程为B．若保持，则点在侧面内运动路径的长度为C．三棱锥的体积最大值为D．若在平面内运动，且，点的轨迹为线段第(3)题已知直线经过椭圆的一个焦点和一个顶点，且与在第四象限交于点的左、右焦点分别为，则（）A．离心率为B．的周长为C．以为直径的圆过点D．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题已知抛物线（）的焦点为F，斜率为1的直线l与抛物线相交于A、B两点，若，，则_______．第(2)题如图所示，正方体的棱长为1，E､F分别是棱是，的F中点，过直线EF的平面分别与棱，交于M，N，设，使得四边形MENF的面积最小时的x的值为___________.第(3)题函数，的值域是______.四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题已知函数．(1)讨论函数的单调性；(2)当时，证明：函数在上有两个零点．第(2)题数列中，，，且，(1)求数列的通项公式；(2)数列的前项和为，且满足，，求．第(3)题设函数．（1）求不等式的解集；（2）若的解集不是空集，求实数的取值范围．第(4)题如图，平面平面ABC，，，D分别为PA的中点，，．(1)设平面平面，若直线，证明：O为AC中点；(2)在（1）的条件下，求点P到平面BOD的距离．第(5)题如图所示，已知圆是的外接圆，圆的直径.设，，，在下面给出条件中选一个条件解答后面的问题，①；②；③的面积为.选择条件______.(1)求的值；(2)求的周长的取值范围.。

广东省东莞市（新版）2024高考数学人教版质量检测(培优卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题已知正项等比数列的前项和为，若，则的最小值为（）A．8B．C．D．10第(2)题生物丰富度指数是河流水质的一个评价指标，其中分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由提高到，则（）A．B．C．D．第(3)题某商场有三层楼，最初规划一层为生活用品区，二层为服装区，三层为餐饮区，招商工作结束后，共有100家商家入驻，各楼层的商铺种类如下表所示，若从所有商铺中随机抽取一家，该商铺所在楼层与最初规划不一致的概率为（）生活用品店服装店餐饮店一层2573二层4274三层6123A．0.75B．0.6C．0.4D．0.25第(4)题为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点A．向左平行移动个单位长度B ．向右平行移动个单位长度C．向左平行移动个单位长度D．向右平行移动个单位长度第(5)题已知复数满足，则的最大值为（）A．B．C．4D．第(6)题已知椭圆的长轴长为20，离心率为，左､右焦点为，若上的点满足，则的面积是（）A．B．C．D．第(7)题已知集合，，则（）A．B．C．D．第(8)题已知等腰梯形，，，圆为梯形的内切圆，并与，分别切于点，，如图所示，以所在的直线为轴，梯形和圆分别旋转一周形成的曲面围成的几何体体积分别为，，则值为（）A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题已知复数（为虚数单位）在复平面内的对应的点为，复数满足在复平面内对应的点为，则下列结论正确的有（）A．复数的虚部为B．C．的最大值D．的最小值为第(2)题已知函数（，且），则（）A．当时，恒成立B．当时，有且仅有一个零点C．当时，有两个零点D．存在，使得存在三个极值点第(3)题已知函数，则下列说法正确的是（）A．的图象关于点中心对称B．在区间上单调递减C．在上有且仅有1个最小值D．的值域为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题已知同一平面内的单位向量，，，满足，则______.第(2)题已知为正四棱锥，从O，A，B，C，D五点中任取三点，则取到的三点恰好在同一个侧面的概率为_________．第(3)题已知数列满足，，则______．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题在中，内角的对边分别为.(1)若，求的面积；(2)求的值.第(2)题已知的三个内角的对边分别为的外接圆半径为，且.(1)求;(2)求的内切圆半径的取值范围第(3)题已知双曲线E：与直线l：相交于A、B两点，M为线段AB的中点．(1)当k变化时，求点M的轨迹方程；(2)若l与双曲线E的两条渐近线分别相交于C、D两点，问：是否存在实数k，使得A、B是线段CD的两个三等分点？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．第(4)题如图，在四棱锥中，底面为正方形，，为线段的中点，平面底面．(1)求证：平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值．第(5)题在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，过椭圆C的焦点F作长轴的垂线，交椭圆于点P，且．(1)求椭圆C的方程；(2)假设直线与椭圆C交于A，B两点．若原点O到直线l的距离为1，并且，当时，求的面积S的取值范围．。

广东省东莞市（新版）2024高考数学部编版质量检测(综合卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题下列函数中，是偶函数且在上单调递减的是（）A．B．C．D．第(2)题某学校组队参加辩论赛，在1名男生和4名女生中选出4人分别担任一、二、三、四辩，在男生入选的条件下，男生担任一辩的概率是（）A．B．C．D．第(3)题能被3个半径为1的圆形纸片完全覆盖的最大的圆的半径是（）A．B．C．D．第(4)题设集合，集合，则（）A．B．C．D．第(5)题若，，，则与的夹角为（）A．B．C．D．第(6)题已知集合，，则（）．A．B．C．D．第(7)题已知复数，则的值为（）A．B．C．0D．1第(8)题古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数．如将一定数目的点在等距离的排列下可以形成一个等边三角形，这样的数被称为三角形数．如图所示，三角形数，，，……在这个自然数中三角形数的个数是（）A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题已知全集，集合，，则（）A．B．C．D．的真子集个数是7第(2)题设复数且，则下列结论正确的是（）A．可能是实数B．恒成立C．若，则D．若，则第(3)题已知点是函数的图象的一个对称中心，且的图象关于直线对称，在单调递减，则（）A．函数的最小正周期为B．函数为奇函数C ．若的根为，则D．若在上恒成立，则的最大值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题在单调递增，则的范围是__________．第(2)题如图，在半径为的中,弦AB，CD 相交于点P，PA=PB=2，PD=1，圆心O 到弦CD 的距离为__________第(3)题已知直线与圆相交于A、B两点．若为直角三角形，则的值为________．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题已知函数.（1）若函数的图象在处的切线为，求的极值；（2）若恒成立，求实数的取值范围.第(2)题已知抛物线的焦点为，直线过点交于两点，在两点的切线相交于点的中点为，且交于点．当的斜率为1时，．(1)求的方程；(2)若点的横坐标为2，求；(3)设在点处的切线与分别交于点，求四边形面积的最小值．第(3)题已知抛物线的焦点为F，过点F与x轴垂直的直线交抛物线的弦长为2．(1)求抛物线N的方程；(2)点和点为两定点，点A和点B为抛物线N上的两动点，线段AB的中点Q在直线OM上，求△ABC面积的最大值．第(4)题在平面直角坐标系中，已知点，点为动点，点为线段的中点，直线与的斜率之积为.(1)求动点的轨迹的方程；(2)设过点且不与坐标轴垂直的直线与交于两点，线段的垂直平分线与轴交于点，若点的横坐标，求的取值范围.第(5)题已知数列满足（且），且.(1)求数列的通项公式；(2)设数列的前n项和为，求证：.。

广东省东莞市（新版）2024高考数学统编版质量检测(拓展卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题已知等差数列的前n项和为，“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件第(2)题设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A．若，，，则B．若，，，则C．若，是两条不同的异面直线，，，，则D．若，，则与所成的角和与所成的角互余第(3)题若，，成等比数列，则（ ）A．B．C．D．第(4)题已知为椭圆与双曲线公共的焦点，且在第一象限内的交点为P，若的离心率满足，则（）A．B．C．D．第(5)题某电影院中有如图所示A至J共10个座位，现有一对夫妇带领2个孩子（一男孩和一女孩）观看电影《八角笼中》，要求妈妈和女儿不坐在同一行也不坐在同一列，爸爸和儿子不坐在同一行也不坐在同一列，则不同的就座方法总数为（）A B C D EF G H I JA．480B．960C．1040D．1120第(6)题设集合，则图中阴影部分可表示（）A．B．C．D．第(7)题设，，，则的最小值为（ ）A．B．C．D．3第(8)题设是等比数列的前项和，若，则（）A．2B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题设是直线与曲线的两个交点的横坐标，则（）A．B．C．D．第(2)题下列命题正确的是（）A．若样本数据的频率分布直方图为单峰不对称，且在右边“拖尾”，则样本数据的平均数大于中位数B．若散点图的散点均落在一条斜率非0的直线上，则决定系数C．数据的均值为4，标准差为1，则这组数据中没有大于5的数D．数据12，23，35，47，61的75百分位数为47第(3)题近期羽毛球价格的上涨引起了广泛热议.小郅同学调查了甲、乙两种有较大影响力品牌的羽毛球在2024年3月~7月的各月平均价格（单位：打/元）如下表，甲、乙两球的受众群体分别约占总群体的30%与70%，则以甲、乙两球为样本，对其和样本的平均值与方差的数值的计算结果正确的是：（）.月34567甲708095105130乙5560707585A．B．C．D．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题若，则的值为___________.第(2)题过点的直线将圆分割成弧长比值为的两段圆弧，则的斜率为_________．第(3)题已知直线是双曲线的一条渐近线，则该双曲线的离心率为__________.四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题已知等差数列的前n项和为，且也是等差数列．(1)求数列的公差；(2)若，求数列的前n项和．第(2)题如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，平面，是中点，是中点.(1)证明：直线平面；(2)若，求平面与平面的夹角的余弦值.第(3)题为了解中学生是否近视与性别的相关性，某研究机构分别调查了甲、乙、丙三个地区的100名中学生是否近视的情况，得到三个列联表如表所示．甲地区乙地区丙地区近视不近视合计近视不近视合计近视不近视合计男212950男252550男232750女193150女153550女173350合计4060100合计4060100合计4060100（1）分别估计甲、乙两地区的中学男生中男生近视的概率；（2）根据列联表的数据，在这三个地区中，中学生是否近视与性别关联性最强与最弱的地区分别是哪个地区？附：，其中．第(4)题已知椭圆的短轴长为，一个焦点为．(1)求椭圆的方程和离心率；(2)设直线与椭圆交于两点，点在线段上，点关于点的对称点为．当四边形的面积最大时，求的值．第(5)题如图，在四棱锥中，底面ABCD是平行四边形，平面ABCD，，，且M，N分别为PD，AC的中点．(1)求证：平面PBC；(2)求三棱锥的体积．。

广东省东莞市（新版）2024高考数学人教版质量检测(综合卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题已知棱长为1的正方体分别是AB和BC的中点，则MN到平面的距离为（）A．B．C．D．第(2)题设等差数列的前项和为，若，则（）A．150B．120C．75D．68第(3)题直线与圆x2＋y2＝4相交于A，B两点，则弦AB的长度等于( )A．B．C．D．1第(4)题已知双曲线过点，且一条渐近线的倾斜角为，则双曲线的方程为（）A．B．C．D．第(5)题若复数z满足，则的值为（）．A．B．C．4D．第(6)题我国古代名著《张邱建算经》中记载：“今有方锥，下广二丈，高三丈．欲斩末为方亭，令上方六尺．问：斩高几何？”大致意思是：“有一个正四棱锥的下底面边长为二丈，高为三丈，现从上面截去一段，使之成为正四棱台，且正四棱台的上底面边长为六尺，则截去的正四棱锥的高是多少？”按照上述方法，截得的该正四棱台的体积为（）（注：1丈尺）A．11676立方尺B．3892立方尺C．立方尺D．立方尺第(7)题已知四棱锥的各顶点在同一球面上，若，为正三角形，且面面，则该球的表面积为（）A．B．C．D．第(8)题在平面直角坐标系中，已知双曲线：的右焦点为，P为C上一点，以为直径的圆与C的两条渐近线相交于异于点O的M，N两点.若，则C的离心率为（）A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题在平面直角坐标系xOy中，长、短轴所在直线不与坐标轴重合的椭圆称为“斜椭圆”，将焦点在坐标轴上的椭圆绕着对称中心顺时针旋转，即得“斜椭圆”，设在上，则（）A．“斜椭圆”的焦点所在直线的方程为B．的离心率为C．旋转前的椭圆标准方程为D．第(2)题设，则下列命题正确的有（）A ．若，则B．若，则C ．若，则D．若，则第(3)题设是抛物线弧上的一动点，点是的焦点，，则（）A．B．若，则点的坐标为C．的最小值为D ．满足面积为的点有2个三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题设，在约束条件下，目标函数的最大值小于2，则的取值范围为．第(2)题已知等比数列的前项和为，若，为实数，则______.第(3)题某程序框图如右图所示，该程序运行后输出的值是________.四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题如图所示，是正三角形，平面，，，，且F为的中点．(1)求证：平面；(2)求三棱锥的体积．第(2)题已知椭圆的离心率为，过定点的直线l与椭圆E相交于A，B两点，C为椭圆的左顶点，当直线l过点时，（O为坐标原点）的面积为．（1）求椭圆E的方程；（2）求证：当直线l不过C点时，为定值．第(3)题已知数列，满足.（1）求数列，的通项公式；（2）分别求数列，的前项和，.第(4)题已知抛物线上一点到准线的距离为，焦点为，坐标原点为，直线与抛物线交于、两点（与点均不重合）．(1)求抛物线的方程；(2)若以为直径的圆过原点，求与的面积之和的最小值．第(5)题已知等差数列的前项和为，且，．(1)求的通项公式；(2)若，求的前项和．。

广东省东莞市（新版）2024高考数学人教版质量检测(拓展卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题设，则（）A．B．C．D．第(2)题一组数据，，，，，，，的中位数为（）A．B．C．和D．第(3)题某校高三年级有（1），（2），（3）三个班，一次期末考试后，统计得到每班学生的数学成绩的优秀率（数学成绩在120分以上的学生人数与该班学生总人数之比）如表所示：班级（1）（2）（3）优秀率则下列说法错误的是（）A．（2）班学生的数学成绩的优秀率最高B．（3）班学生的数学成绩优秀人数不一定最少C．该年级全体学生数学成绩的优秀率为D．若把（1）班和（2）班的数学成绩放在一起统计，得到优秀率为，则（1）班人数少于（2）班人数第(4)题已知等比数列的前三项和为56，，则（）A．4B．2C．D．第(5)题2022年6月5日上午10时44分，我国在酒泉卫星发射中心使用长征二号F运载火箭，将神舟十四号载人飞船和3名中国航天员送入太空这标志着中国空间站任务转入建造阶段后的首次载人飞行任务正式开启.火箭在发射时会产生巨大的噪音，已知声音的声强级（单位：）与声强（单位：）满足.若人交谈时的声强级约为，且火箭发射时的声强与人交谈时的声强的比值约为，则火箭发射时的声强级约为（）A．B．C．D．第(6)题体积为的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为A．B．C．D．第(7)题在中，，则（）A．B．C．D．第(8)题已知函数的定义域为，且为偶函数，为奇函数．若，则（）A．23B．24C．25D．26二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题星形线又称为四尖瓣线，是数学中的瑰宝，在生产和生活中有很大应用，便是它的一种表达式，下列有关说法正确的是（）A．星形线关于对称B．星形线图象围成的面积小于2C．星形线上的点到轴，y轴距离乘积的最大值为D．星形线上的点到原点距离的最小值为第(2)题已知当时，，并且满足，则下列关于函数说法正确的是（）A．B．周期C．的图象关于对称D．的图象关于对称第(3)题已知椭圆的左右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点，则（）A．的周长为4B．的取值范围是C．的最小值是3D．若点在椭圆上，且线段中点为，则直线的斜率为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率为________．第(2)题的展开式中，的系数为______．（用数字作答）第(3)题已知函数则________.四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题已知数列是公比的等比数列，前三项和为39，且成等差数列．(1)求数列的通项公式；(2)设，求的前项和．第(2)题已知函数．(1)当时，求的最大值；(2)若存在极大值点，且极大值不大于，求a的取值范围．第(3)题数列满足，.(1)求数列通项公式；(2)设，求数列的前项和.第(4)题已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，以为直径的圆过焦点．（1）求椭圆的方程；（2）若椭圆的右顶点为，与轴不垂直的直线交椭圆于，两点（，与点不重合），且满足，点为中点，求直线与的斜率之积的取值范围．第(5)题如图，四棱锥中，菱形所在的平面，，是中点，是的中点.（1）求证：平面平面；（2）若是上的中点，且，求三棱锥的体积.。