贝叶斯分析在风险型决策中的应用
姓名：王义成
班级：12级数学与应用数学四班
摘要：本文介绍了风险型决策的概念，特点及公式，简述了贝叶斯分析的基本理论，并通过一个具体生活实例，阐明了贝叶斯分析在风险型决策中的应用。
关键词：风险型决策贝叶斯分析期望损失
引言：决策分析就是应用管理决策理论，对管理决策问题，抽象出系统模型，提出一套解决方法，指导决策主体作出理想的决策。
由于市场环境中存在着许多不确定因素,使决策者的决策带有某种程度的风险。
而要做出理想的抉择，在决策的过程中不仅要意识到风险的存在，还必须增加决策的可靠性。
在风险决策中，给出了很多如何确定信息的价值以及如何提高风险决策可靠性的方法。
根据不同的风险情况，要采取不同的风险决策分析的方法。
贝叶斯决策分析就是其中的一种。
一、风险型决策
风险决策就是不完全信息下的决策,是根据风险管理的目标,在风险识别和风险衡量的基础上,对各种风险管理方法进行合理的选择和组合,并制定出风险管理的具体方案的过程。
风险决策贯穿于整个风险管理过程,它依据对风险和损失的科学分析选择合理的风险处理技术和手段,从若干备选方案中选择一个满意的方案。
风险型决策的特点是：决策人无法确知将来的真实自然状态，但他能给出各种可能出现的自然状态，还可以给出各种状态出现的可能性，即通过设定各种状态的（主观）概率来量化不
确定性。
构成一个统计决策有三个基本要素：①可控参数统计结构（Α，Β，{pθ：θ∈Θ}，
其中参数空间中每个元素就是自然界或社会可能处的状态；②行动空间（∆，Β∆），其中∆={a}是为解决某统计决策问题时，人们对自然界（或社会）可能作出的一切行动的全体。
∆中的每个元素表示一个行动。
是∆上的某个σ代数，这是为以后扩充概念而假设的；③损失函数L（θ，a），它是定义在Θ×∆上的二元函数。
从这三个要素出发,可以得到不同的风险情景空间。
例如,要开发一种新产品,在市场需求无法准确预测的情况下,要确定生产或不生产,生产多少等问题就是一个风险决策问题。
状态集就是市场销售情况,如销路好、销路一般、销路差等,这些状态不受决策者控制,而决策者做出某种决策后,后果也不确定,带有风险。
所以,在风险型决策中,准确而又充分地估计信息的价值,合理地在信息的收集上增加投入来获取不断变化的市场信息,及时掌握各种自然状态的发生情况,可以使决策方案的选择更可靠，进而增加经济效益。
二、贝叶斯风险与贝叶斯规则
⑴风险函数
给定自然状态θ，采取决策规则δ时损失函数L（θ,δ（x））,对随机试验后果x的期望值成为风险函数（risk function），记作R(θ,δ)
⑵贝叶斯风险
当自然状态的先验概率为π（θ），决策人采用策略δ时，风险函数R(δ，θ),关于自然状态θ的期望值称为贝叶斯风险，记作R（π，δ）如果R（π，δ1）＜ R（π，δ2）则称
记作δ1＞δ2
策略δ1优于δ
2，
⑶贝叶斯决策规则
先验分布为π（θ）时，若策略空间∆存在某个策略δπ，能够使∀δ∈∆，有R π，δπ≤
R π，δ ，则称δπ是贝叶斯规则，亦称贝叶斯策略。
三、贝叶斯分析
A．正规型贝叶斯分析
根据贝叶斯决策规则，当观察值为x，先验分布为π（θ）时，最优的决策规则是贝叶斯规则δπ：R π，δπ=minδ∈∆ r（π，δ）选δπ使r（π，δ）达到极小，这就是贝叶斯正规型。
B．贝叶斯分析的扩展型
由于用贝叶斯分析的正规型解实际问题时，直接求δπ往往十分困难，Schlaifer（1961）提出了贝叶斯分析的扩展型：对每个观察值x，选择行动a,使之对给定x时自然状态θ的后验分布(θ/x)的期望损失为最小，或者使r极小化，即可求得贝叶斯规则δπ，其中
R=L（θ，δ（x））f（x︱θ）∙
θ∈Θ
π（θ）dθ。
四、贝叶斯公式在风险决策中的应用
某工厂的产品每100件装成一箱运交顾客，在顾客交货前面临如下两个行动。
a1：一箱中逐一检查；
a2：一箱中都不检查。
若工厂选择行动a1，则可保证交货时每件产品都是合格品。
但因为每件产品的检查费为0.8元，为此工厂要支付检查费80元/箱。
若工厂选择行动a2，工厂可免付每箱检查费80元，但顾客发现不合格品时，按合同不仅允许更换，而且每件还要支付12.5元的赔偿费。
按此算得：
若一箱中不合格品不超过6件，赔偿费不超过75元，那选择行动a2比a1有利；
若一箱中不合格品不少于7件，赔偿费不低于87.5元，那选择行动a1比a2有利；
为了得知一箱中的不合格品率θ，工厂决定先在每箱中抽取两件进行检查，X为其不合格品的件数，根据X的取值（可能0,1,2三种）再选择行动a1或a2。
这时工厂的支付函数可算得
W（θ，a）=80 a=a1
1.6+1250θ， a=a2
（3.1）
如何依据抽样结果和支付函数作出决策，使工厂的支付费用最少呢?这是一个典型的统计决策问题。
我们讨论了一个二行动线性统计决策问题。
在那里有两个行动可供选择，一是每箱100件产品逐一检查（a1）；另一是每箱中一件都不检查（a2），工厂决定：先从每箱中任取两件检查，然后根据检查结果再作决策，这里抽样检查结果为0,1,2等不合格品件数。
由此可见，从Α={0,1,2}到∆={a1，a2}上的任一变换都是该统计决策问题的决策函数。
由此决策函数共有8个，它们是
譬如，δ52（一件都不查），而x在为1或2时采取行动a1（逐一检查），或者写为
δ5（x）=a1，x=1,2 a2，x=0
在抽检两件产品后，工厂为每箱的支付函数W（θ，a）已在3.1中指出，还可以将其改成如下损失函数
L（θ，a1）=78.4−1250θ，θ≤θ0 0，θ〉θ0
L（θ，a2）=0，θ≤θ0−78.4+1250θ，θ〉θ0
其中θ0=0.06272.另外若设X为抽取两件产品中的不合格品的件数，则X服从二项分布b （2，θ），即
P（X=x）=2
x
θx（1−θ）2−x，x=0,1,2
由此可算得8个决策函数的风险函数。
譬如a5x的风险函数为
R（θ,δ5（x））=E
x︱θ
L（θ,δ5（x））
=L（θ,δ5（0））Pθ（X=0）+ L（θ,δ5（1））Pθ（X=1）+ L（θ,δ5（2））Pθ（X=2）
=L（θ,a2）（1−θ）2
+ L（θ,a1）·2θ（1-θ）+ L（θ,a1）θ2
把损失函数代入，当θ≤θ0时
R（θ,δ5（x））=(78.4-1250θ)【1-（1−θ）2】
当θ〉θ0时
R（θ,δ5（x））=(-78.4+1250θ)【1-（1−θ）2】
类似地可写出其它几个决策函数的风险函数，这些风险函数在θ=0（0.02）0.12的值列为下表3.1中。
表3.1 8个风险函数值（θ=0（0.02）0.12）（单位：元）
由表3.1可以看出：
1.若该厂的不合格品率θ在0到0.12之间，那在此8个决策函数组成的类中不存在一致最优决策函数。
2. 若该厂的不合格品率θ在0到0.06之间，那在此决策函数类中
δ8x=a2（一件也不检查）是一致最优决策函数。
3. 若该厂的不合格品率θ在0.07到0.12之间，那在此决策函数类中
δ1x=a1（逐件检查）是一致最优决策函数。
4. 若该厂的不合格品率θ在0.04到0.08之间，用“先抽样，后决策”的方法可以使平均损失大为减少。
但仍选不出一致最优决策函数。
根据该厂的近一年的历史资料整理，该厂不合格率θ不会超过0.12，而位于区间（0.04,0.08）内占80％，而低于0.04或高于0.08的各占10％，这样一来我们就得到如下图所示的先验分布π（θ）。
π（θ）=
2.5,0<θ≤0.04 20.0，0.04<θ≤0.08 2.5，0.08<θ≤0.12
0,其它
利用这个先验分布我们可以在这8个决策函数中寻找贝叶斯决策函数。
逐一计算它们对此先验分布的平均风险。
譬如,δ1x和δ2（x）的平均风险分别为
Rπδ1=78.4−1250θπθdθ=11.7925
θ0
Rπδ2=78.4−1250θ−78.4θ2+1250θ3πθdθ
θ0
+−78.4θ2+1250θ3πθdθ
0.12
θ0
=11.8467
其中θ0=0.06272，类似地可计算另外6个平均风险，可得
Rπδ3=12.4092 Rπδ4=12.4634
Rπδ5=7.7215Rπδ6 =7.7758
Rπδ7=8.3382 Rπδ8=8.3925
比较这8个平均风险，可以看出δ5x的平均风险最小，故在统计决策问题中
δ5x是在此先验分布下θ的贝叶斯决策函数。
总结：本文主要从信息价值的经济效用的角度,讨论贝叶斯公式在风险决策中的应用。
首先根据期望值原则,以先验概率为基础,找到最优方案及其期望损益值和风险系数,然后用决策信息修正先验分布,得到状态变量的后验分布,并用后验分布概率计算各方案的期望损益值,找出最满意方案,并计算其风险系数(这里计算的风险系数应比仅有先验条件下计算的风险系数要小),最后求出掌握了全部决策信息值的期望损益值。
用全部决策信息值的期望损益值减去没有考虑决策信息时的期望收益,就得到了决策信息的价值。
参考文献：【1】茆诗松，王静龙，濮晓龙.高等数理统计.北京：高等教育出版社，2012 【2】韦来生.数理统计北京：科学出版社，2012
【3】岳超源.决策理论与方法[M],科学出版社，2003。
