1.库仑力作用下的叠加和平衡问题

库仑力作用下得平衡问题库仑力作为一种新得作用力，就是在电场中首次被接触到得。

但它就是一种特殊得电场力,原因就是它仅仅适用于点电荷之间。

对于一个力，首先要会计算大小,会判断方向.但既然就是力,那么与我们之前学习过得重力、摩擦力就没什么区别。

也就就是说：存在我们在力学中都会遇到得平衡问题与动力学问题库仑力作用下得平衡问题有两类：第一类：三电荷得平衡问题结论：三点共线、两同一异、两大一小、近小远大.但就是只能用来定性得分析一些选择题。

如果要具体计算电荷得位置与电荷量大小，只能对其做受力分析了。

第二类:库仑力作用下得三力平衡问题(静态平衡问题与动态平衡问题）静态平衡问题单体得静态平衡问题：单直线上得平衡问题（库仑力方向与重力方向共线）不在同一直线上得平衡问题（三力平衡问题)。

处理方法:矢量三角形法与正交分解法单体得动态平衡问题：最常见得就是一种漏电问题(相似三角形解）多题得静态平衡问题:整体法与隔离法分析库仑力作用下得动力学问题:对于两个电荷得运动问题一般可以采取整体法与隔离法分析.典型例题剖析例1:★★★a、b两个点电荷,相距4０cm，电荷量分别为ｑ１与q２,且q1=9q2，都就是正电荷；现引入点电荷ｃ,这时a、b、ｃ三个电荷都恰好处于平衡状态。

试问：点电荷c得性质就是什么？电荷量多大?它放在什么地方?【分析】：1、引入新得电荷,先分析这个点电荷应该在什么地方，(根据所受库仑力得方向定性判断）c为正、负电荷时分别讨论2、再分析可能受了平衡得位置,（两个位置)，定性分析库仑力大小,确定一个位置３、列方程计算（若算c得电荷量，不能以c为研究对象(a或者b均可）)【答案】：ｃ带负电；距离a3０cm；电荷量大小9／16ｑ2【结论】：两同夹一异，两大夹一小，近小远大.从新来瞧上面得问题:c只能在ａb得中间，靠近ｂ远离a。

知识点三：库仑定律作用下物体得平衡问题例２:★★如图所示，一个挂在丝线下端得带正电得小球B静止在图示位置。

专题3 库伦力作用下的平衡问题1.如图所示，两根细线挂着两个质量相同的小球A、B，原来两球不带电时，上、下两根细线的拉力分别为F A、F B，现在两球都带上同种电荷，上、下两根细线的拉力分别为F A′、F B′，则（）A.F A＝F A′，F B＞F B′B.F A＝F A′，F B＜F B′C.F A＜F A′，F B＞F B′D.F A＞F A′，F B＞F B′【答案】B【解析】选取A、B整体为研究对象，在两种情况下有F A＝（m A＋m B）g，F A′＝（m A＋m B）g，所以F A＝F A′；选取B为研究对象，当A、B不带电时，FB＝m B g；当A、B带上同种电荷时，F B′＝m B g＋F库，所以F B ＜F B′.2.如图所示，A、B两个点电荷的电荷量分别为＋Q和＋q，放在光滑绝缘水平面上，之间用绝缘的轻弹簧相连接，当系统平衡时，弹簧的伸长量为x0，若弹簧发生的均是弹性形变，则（）A. 保持Q不变，将q变为2q，平衡时弹簧的伸长量为2x0B. 保持q不变，将Q变为2Q，平衡时弹簧的伸长量小于2x0C. 保持Q不变，将q变为－q，平衡时弹簧缩短量等于x0D. 保持q不变，将Q变为－Q，平衡时弹簧缩短量小于x0【答案】B【解析】由库仑定律F＝k和胡克定律F＝kx以及同种电荷相互排斥，异种电荷相互吸引，可得B正确.3.（换）如图所示，用两根等长的绝缘细线各悬挂质量分别为m A和m B的小球，悬点为O，两小球均带正电荷，当小球由于静电力作用张开一角度时，A球悬线与竖直线夹角为α，B球悬线与竖直线夹角为β，则两小球质量之比m A:m B为（）A. sinβ∶sinαB. cosα∶cosβC. tanβ∶tanαD. tanα∶tanβ【答案】A4.如图所示，两个固定的带正电的点电荷q1、q2，电荷量之比为1∶4，相距为d，引入第三个点电荷q3，要使q3能处于平衡状态，对q3的位置、电性和电荷量的要求，以下叙述正确的是（）A.q3在q1和q2连线之间距离q1为处，且为负电荷，对电荷量无要求B.q3在q1和q2连线之间距离q1为处，且为正电荷，对电荷量无要求C.q3在q1和q2连线之间距离q1为处，对电性和电荷量均无要求D.q3在q1和q2连线的延长线上，位于q1左侧处，对电性和电荷量均无要求【答案】C【解析】由题意知，电荷一定在两正电荷之间，根据平衡有：k＝k，解得＝，即r1＝d，q3在q1和q2连线之间距离q1为处，对电性和电荷量均无要求.故C正确.5.（多选）如图所示，在一条直线上有两个相距0.4 m的点电荷A、B，A带电荷量为＋Q，B带电荷量为-9Q。

第2节 库仑定律一、探究库仑力与电荷量，距离的关系1、点电荷：（1）定义：当带电体间的距离比它们自身的大小大得多，以致带电体的形状、大小及电荷分布状况对它们之间的作用力的影响可以忽略时，这样的带电体就可以看做带电的点，叫做点电荷（2）条件______________________________________________________________________（3）理解：①点电荷是只有电荷量，没有大小、形状的理想化模型，类似于力学中的质点，实际上并不存在．②一个带电体能否看做点电荷，是相对于具体问题而言的，不能单凭其大小和形状确定．例1.下列关于点电荷的说法中，正确的是( )A ．体积大的带电体一定不是点电荷B ．当两个带电体的形状对它们间相互作用力的影响可忽略时，这两个带电体可看做点电荷C ．点电荷就是体积足够小的电荷D ．点电荷是电荷量和体积都很小的带电体2、库仑实验例2用控制变量法，可以研究影响电荷间相互作用力的因素．如图2所示，O 是一个带电的物体，若把系在丝线上的带电小球先后挂在横杆上的P 1、P 2、P 3位置，可以比较小球在不同位置所受带电物体的作用力的大小，这个力的大小可以通过丝线偏离竖直方向的角度θ显示出来．若物体O 的电荷量用Q 表示，小球的电荷量用q 表示，物体与小球间距离用d 表示，物体和小球之间的作用力大小用F 表示．则以下对该实验现象的判断正确的是 ( )A ．保持Q 、q 不变，增大d ，则θ变大，说明F 与d 有关B ．保持Q 、q 不变，减小d ，则θ变大，说明F 与d 成反比C ．保持Q 、d 不变，减小q ，则θ变小，说明F 与q 有关D ．保持q 、d 不变，减小Q ，则θ变小，说明F 与Q 成正比二、库仑定律1．内容：真空中两个静止点电荷之间的相互作用力，与它们的电荷量的乘积成正比，与它们的距离的二次方成反比，作用力的方向在它们的连线上．2．表达式：F ＝k q 1q 2r 2 q 为电量的绝对值，r 指两点电荷间的距离．对可视为点电荷的两个均匀带电球，r 为两球心间距．k ＝9.0×109 N·m 2/C 2，叫做静电力常量．卡文迪许通过扭秤实验测得3．适用条件：真空中的点电荷．三 、库仑定律的理解和应用例3 如图4所示，两个质量均为m 的完全相同的金属球壳a 与b ，其壳层的厚度和质量分布均匀，将它们固定于绝缘支架上，两球心间的距离为l ，为球壳外半径r 的3倍．若使它们带上等量异种电荷，使其所带电荷量的绝对值均为Q ，那么a 、b 两球之间的万有引力F 1与库仑力F 2 ( )A ．F1＝G m 2l 2，F 2＝k Q 2l 2 B ．F 1≠G m 2l 2，F 2≠k Q 2l 2 C ．F 1≠G m 2l 2，F 2＝k Q 2l 2 D ．F 1＝G m 2l 2，F 2≠k Q 2l 2突破训练1 使两个完全相同的金属小球(均可视为点电荷)分别带上－3Q 和＋5Q 的电荷后，将它们固定在相距为a 的两点，它们之间库仑力的大小为F 1.现用绝缘工具使两小球相互接触后，再将它们固定在相距为2a 的两点，它们之间库仑力的大小为F 2.则F 1与F 2之比为 ( )A ．2∶1B ．4∶1C ．16∶1D ．60∶1突破训练2．关于库仑定律的公式F ＝k q 1q 2r 2，下列说法正确的是 ( ) A ．当真空中的两个点电荷间的距离r →∞时，它们之间的静电力F →0B ．当真空中的两个电荷间的距离r →0时，它们之间的静电力F →∞C ．当真空中的两个电荷之间的距离r →∞时，库仑定律的公式就不适用了D ．当真空中的两个电荷之间的距离r →0时，电荷不能看成是点电荷，库仑定律的公式就不适用了四、常见题型分析1．库仑力的叠加原理例4．如图所示，等边三角形ABC ，边长为L ，在顶点A 、B 处有等量异种点电荷QA 、QB .QA ＝＋Q ，QB ＝－Q ，求在顶点C 处的点电荷QC 所受的静电力．(静电力常量为k )库仑力的叠加原理：对于两个以上的点电荷，其中每一个点电荷所受的总的库仑力，等于其他点电荷分别单独存在时对该点电荷的作用力的矢量和．库仑力的合成和分解仍满足力的平行四边形定则．任一带电体都可以看成是由许多点电荷组成的，如果知道带电体上的电荷分布，根据库仑定律和力的合成法则，可以求出带电体间的静电力的大小和方向2 库仑力作用下的平衡问题例5 可以自由移动的点电荷q 1、q 2、q 3放在光滑绝缘水平面上，如图6所示，已知q 1与q 2之间的距离为l 1，q 2与q 3之间的距离为l 2，且每个电荷都处于平衡状态．(1)如果q 2为正电荷，则q 1为________电荷，q 3为________电荷．(2)q 1、q 2、q 3三者电荷量大小之比是________．处理平衡问题的常用方法：(1)库仑力作用下电荷的平衡问题与力学中物体的平衡问题相同，可以将力进行合成与分解．(2)恰当选取研究对象，用“隔离法”或“整体法”进行分析．(3)对研究对象进行受力分析，注意比力学中多了一个库仑力．(4)列平衡方程，注意(1)合成法，(2)正交分解法．3、库仑力作用下的动力学问题例6两根光滑绝缘棒在同一竖直平面内，两棒与水平面间均成45°角，棒上各穿有一个质量为m 、带电荷量为Q 的相同小球，如图7所示．现让两球同时从同一高度由静止开始下滑，则当两球相距多远时，小球的速度达到最大值？L ＝Q k mg .例7 如图7所示，竖直平面内有一圆形光滑绝缘细管，细管截面半径远小于半径R ，在中心处固定一带电荷量为＋Q 的点电荷．质量为m 、带电荷量为＋q 的带电小球在圆形绝缘细管中做圆周运动，当小球运动到最高点时恰好对细管无作用力，求当小球运动到最低点时对管壁的作用力是多大？答案 6mg巩固练习1．在探究两电荷间相互作用力的大小与哪些因素有关的实验中，一同学猜想可能与两电荷的间距和带电量有关．他选用带正电的小球A 和B ，A 球放在可移动的绝缘座上，B 球用绝缘丝线悬挂于玻璃棒C 点，如图所示．实验时，先保持两球电荷量不变，使A 球从远处逐渐向B 球靠近，观察到两球距离越小，B 球悬线的偏角越大；再保持两球距离不变，改变小球所带的电荷量，观察到电荷量越大，B 球悬线的偏角越大．实验表明：两电荷之间的相互作用力，随其距离的________而增大，随其所带电荷量的________而增大．此同学在探究中应用的科学方法是________(选填“累积法”、“等效替代法”、“控制变量法”或“演绎法”)．2.两根绝缘细线分别系住a 、b 两个带电小球，并悬挂在O 点，当两个小球静止时，它们处在同一水平面上，两细线与竖直方向间夹角分别为α、β，α<β，如图12所示．现将两细线同时剪断，则( )A ．两球都做匀变速运动B ．两球下落时间相同C ．落地时两球水平位移相同D ．a 球落地时的速度小于b 球落地时的速度3.A 、B 两带电小球，质量分别为m A 、m B ，电荷量分别为q A 、q B ，用绝缘不可伸长的细线如图悬挂，静止时A 、B 两球处于同一水平面．若B 对A 及A 对B 的库仑力分别为F A 、F B ，则下列判断正确的是 ( )A ．F A <F BB ．细线OC 的拉力F T C ＝(m A ＋m B )gC ．细线AC 对A 的拉力F T A ＝m A 2g D ．同时烧断细线AC 、BC 后，A 、B 在竖直方向的加速度相同4．如图8所示，把一个带电小球A 固定在光滑的水平绝缘桌面上，在桌面的另一处放置带电小球B .现给B 一个沿垂直AB 方向的水平速度v 0，下列说法中正确的是( )A ．若A 、B 为异种电荷，B 球一定做圆周运动B ．若A 、B 为异种电荷，B 球可能做匀变速曲线运动C ．若A 、B 为同种电荷，B 球一定做远离A 的变加速曲线运动D ．若A 、B 为同种电荷，B 球的动能一定会减小5．如图9所示，正电荷q 1固定于半径为R 的半圆光滑轨道的圆心处，将另一带正电、电荷量为q 2、质量为m 的小球，从轨道的A 处无初速度释放，求：(1)小球运动到B 点时的速度大小；(2)小球在B 点时对轨道的压力．6.如图所示，在光滑绝缘水平面上放置3个所带电荷量均为q (q >0)的相同小球，小球之间用劲度系数均为k 0的绝缘轻质弹簧连接．当3个小球处在静止状态时，每根弹簧长度为l .已知静电力常量为k ，，则每根弹簧的原长为( )答案例3 D 突破训练1 D 突破训练2AD 例5答案(1)负 负 (2)(l 1＋l 2l 2)2∶1∶(l 1＋l 2l 1) 巩固练习1 减小 增大 控制变量法 2答案BD 3 BD 4C 5答案 (1)2gR (2)3mg ＋k q 1q 2R 2，方向竖直向下 6 CA ．l ＋5kq22k 0l 2 B ．l －kq 2k 0l 2C ．l －5kq 24k 0l 2 D ．l －5kq 22k 0l 2。

2023届高三物理一轮复习多维度导学与分层专练专题43 库仑定律、电场强度和电场线导练目标 导练内容目标1 库仑定律及库仑力作用下的平衡问题目标2 电场强度的叠加与计算 目标3有关电场线的综合问题一、库仑定律及库仑力作用下的平衡问题 1.库仑定律(1)内容：真空中两个静止点电荷之间的相互作用力，与它们的电荷量的乘积成正比，与它们的距离的二次方成反比，作用力的方向在它们的连线上。

(2)表达式：F ＝k q 1q 2r 2，式中k ＝9.0×109 N·m 2/C 2，叫做静电力常量。

(3)适用条件：真空中的点电荷。

(4)当两个电荷间的距离r →0时，电荷不能视为点电荷，它们之间的静电力不能认为趋于无限大。

(5)对于两个带电金属球，要考虑表面电荷的重新分布，如图所示。

①同种电荷：F ＜k q 1q 2r 2 ；②异种电荷：F ＞k q 1q 2r2 。

2.库仑力作用下的平衡问题(1)四步解决库仑力作用下的平衡问题：(2)三个自由点电荷的平衡问题：①平衡条件：每个点电荷受另外两个点电荷的合力为零或每个点电荷平衡的位置是另外两个点电荷的合场强为零的位置。

②平衡规律：(3)利用三角形相似法处理带电小球的平衡问题：常见模型几何三角形和力的矢量三角形比例关系G T F OA OB d ==122kq qmg F rh d r==11m g T FOC OA AC==22m g T FOC OB BC='=【例1】如图所示，光滑绝缘的水平面上放着三个带电小球（可看成点电荷），三个小球处在同一条直线上，要使三个小球都处于静止状态，则它们的电荷量分别为（）A．Q A=4Q、Q B=4Q、Q C=4QB．Q A=4Q、Q B=-5Q、Q C=3QC．Q A=9Q、Q B=-4Q、Q C=36QD．Q A=-4Q、Q B=2Q、Q C=-3Q【答案】C【详解】A．由“两同夹异”可知,小球A、C带同种电荷，小球B与A/C带异种电荷，A错误；B．由“两大夹小”可知，B项错误；CD．三个自由电荷位置如题图所示，根据平衡列出方程组，对于A有2A BkQ QAB=2A CkQ QAC对于B 有2A B kQ Q AB =2B C kQ Q BC 对于C 有2A C kQ Q AC =2B C kQ Q BC 解得CB Q Q CAQ Q 由几何关系得AC=AB+BC A C Q Q A B Q Q B C Q Q C 正确，D 项错误。

库仑定律和电场强度特训目标特训内容目标1库仑力作用下的平衡问题(1T-4T)目标2库仑力作用下的动力学问题(5T-8T)目标3三维空间的电场强度的叠加(9T-12T)目标4对称法求电场强度(13T-16T)目标5割补法求电场强度(17T-20T)【特训典例】一、库仑力作用下的平衡问题1如图所示，表面光滑的半球形绝缘物体固定在水平面上，其正上方固定一根长度与半球形物体半径相等的竖直绝缘支架，带正电的小球Q固定在支架上边，带负电的小球P重力为G，静止在半球形物体上。

现将小球Q的电荷量增加一些，小球P沿球面上滑少许重新平衡(小球P未到达半球最高点前)，以下说法正确的是()A.两球间库仑力变小B.小球对半球的压力变小C.小球对半球的压力大小为2GD.小球对半球的压力大小为G2【答案】D【详解】A．对小球P受力分析，如图所示将小球Q的电荷量增加一些，小球P沿球面上滑少许重新平衡，由相似三角形可得G2R=F NR=Fr而两球之间的距离r变小，则两球间库仑力变大，故A错误；BCD．半球对小球的支持力为F N=G2根据牛顿第三定律可知小球对半球的压力为G2，大小保持不变，则BC错误，D正确。

故选D。

2如图所示，同一直线上的三个点电荷q1、q2、q3，恰好都处在平衡状态，除相互作用的静电力外不受其他外力作用。

已知q1、q2间的距离是q2、q2间距离的2倍。

下列说法正确的是()A.若q 1、q 3为正电荷，则q 2为负电荷B.若q 1、q 2为负电荷，则q 3为正电荷C.q 1:q 2:q 3=36:4:9D.q 1:q 2:q 3=9:6:36【答案】AC【详解】AB ．三个自由电荷在同一直线上处于平衡状态，则一定满足“两同夹异，两大夹小，近小远大”，所以q 1、q 3为同种电荷，q 2为异种电荷，故A 正确，B 错误；CD ．根据库仑定律和矢量的合成，则有kq 1q 22r 2=kq 1q 33r 2=kq 2q 3r 2解得q 1：q 2：q 3=36：4：9故C 正确，D 错误；故选AC 。

高中物理静电场知识点高中物理静电场知识点【要点解读】1．库仑定律适用条件的三点理解（1）对于两个均匀带电绝缘球体，可以将其视为电荷集中于球心的点电荷，r为两球心之间的距离。

（2）对于两个带电金属球，要考虑金属球表面电荷的重新分布。

（3）不能根据公式错误地推论：当r→0时，F→∞。

其实，在这样的条件下，两个带电体已经不能再看成点电荷了。

2．应用库仑定律的四条提醒（1）在用库仑定律公式时，无论是正电荷还是负电荷，均代入电荷量的绝对值。

（2）作用力的方向判断根据：同性相斥，异性相吸，作用力的方向沿两电荷连线方向。

（3）两个点电荷间相互作用的库仑力满足牛顿第三定律，大小相等、方向相反。

（4）库仑力存在极大值，由公式可以看出，在两带电体的间距及电荷量之和一定的条件下，当q1＝q2时，F最大。

重点2 电场强度电场线【要点解读】1．电场强度三个表达式的比较表达式比较E＝E＝k E＝公式意义电场强度定义式真空中点电荷的电场强度决定式匀强电场中E与U的关系式适用条件一切电场①真空匀强电场②点电荷决定因素由电场本身决定，与检验电荷q无关由场源电荷Q和场源电荷到该点的距离r共同决定由电场本身决定，d为两点沿电场方向的距离2．电场的叠加（1）叠加原理：多个电荷在空间某处产生的电场为各电荷在该处所产生的电场强度的矢量和。

（2）运算法则：平行四边形定则。

3．计算电场强度常用的五种方法（1）电场叠加合成法。

（2）平衡条件求解法。

（3）对称法。

（4）补偿法。

（5）等效法。

4．电场线的三个特点（1）电场线从正电荷或无限远处出发，终止于无限远或负电荷处；（2）电场线在电场中不相交；（3）在同一幅图中，电场强度较大的地方电场线较密，电场强度较小的地方电场线较疏。

5．六种典型电场的电场线【规律总结】电场线与带电粒子在电场中运动轨迹的关系1．电场线与带电粒子运动轨迹重合的条件一般情况下带电粒子在电场中的运动轨迹不会与电场线重合，只有同时满足以下三个条件时，两者才会重合。

专题强化1库仑力作用下的平衡问题一、库仑力作用下带电体的平衡例1如图1所示，真空中两个相同的小球带有等量同种电荷，质量均为0.1 g，分别用10 cm长的绝缘细线悬挂于绝缘天花板上的一点，当平衡时B球偏离竖直方向60°，A球竖直悬挂且与绝缘墙壁接触(两带电小球均可视为点电荷)，取g＝10 m/s2，求：(1)两个小球所带电荷量；(2)墙壁受到的压力；(3)每条细线的拉力的大小．针对训练1如图2所示，质量为m、带电荷量为＋q的小球A用绝缘细线悬挂于O点，细线长为l.当将电荷量为－q的点电荷B置于空间某位置时，小球A静止，细线与竖直方向的夹角θ＝30°，A、B连线与竖直方向的夹角恰好也为30°，重力加速度为g，静电力常量为k，则A、B之间的距离为()A．l B．q3kmg C．q3kmg D．q3k2mg二、同一直线上带电体的平衡例2如图3所示，带电荷量分别为＋q和＋4q的两点电荷A、B，相距L，问：图3(1)若A、B固定，在何处放置点电荷C，才能使C处于平衡状态？(2)在(1)中的情形下，C的电荷量和电性对C的平衡有影响吗？(3)若A、B不固定，在何处放一个什么性质的点电荷，才可以使三个点电荷都处于平衡状态？针对训练2(多选)如图4所示，光滑绝缘水平面上有三个带电小球a、b、c(可视为点电荷)，三小球沿一条直线摆放，且仅在它们之间的静电力作用下静止，则以下判断正确的是() A．a对b的静电力一定是引力B．a对b的静电力可能是斥力C．a的电荷量可能比b的少D．a的电荷量一定比b的多1.(库仑力作用下的平衡)如图5所示，把一带正电的小球a放在光滑绝缘斜面上，欲使球a 能静止在斜面上，需在MN间放一带电小球b，则b应()A．带负电，放在A点B．带正电，放在B点C．带负电，放在C点D．带正电，放在C点2．(库仑力作用下的平衡)(多选)两个质量分别为m1、m2的小球，各用丝线悬挂在同一点，当两球分别带同种电荷，且电荷量分别为q1、q2时，两丝线张开一定的角度θ1、θ2，如图6所示，此时两个小球处于同一水平面上，则下列说法正确的是()A．若m1＞m2，则θ1＞θ2B．若m1＝m2，则θ1＝θ2C．若m1＜m2，则θ1＞θ2D．若q1＝q2，则θ1＝θ23．(库仑力作用下的平衡)电荷量为4×10－6 C的小球绝缘固定在A点，质量为0.2 kg、电荷量为－5×10－6 C的小球用绝缘细线悬挂，静止于B点．A、B间距离为30 cm，AB连线与竖直方向夹角为60°.静电力常量为9.0×109 N·m2/C2，重力加速度g＝10 m/s2，(小球可视为点电荷)下列图示正确的是()4.(同一直线上带电体的平衡)如图7所示，两个点电荷，所带电荷量分别为q1＝4×10－9C 和q2＝－9×10－9 C，分别固定于相距20 cm的a、b两点，有一个点电荷q放在a、b所在直线上且静止不动，该点电荷所处的位置是()A．在a点左侧40 cm处B．在a点右侧8 cm处C．在b点右侧20 cm处D．无法确定1．一端固定在天花板上的绝缘细线的另一端与一带正电的小球M相连接，在小球M下面的一绝缘水平面上固定了另一个带电小球N，在图中，小球M能处于静止状态的是()2.如图1所示，A 为带正电的金属板，其所带电荷量为Q ，在金属板的垂直平分线上，距板r 处有一质量为m 、电荷量为q 的小球，小球用绝缘细线悬挂于O 点，小球受水平向右的静电力，偏转θ角保持静止，静电力常量为k ，重力加速度为g ，则小球与金属板之间的库仑力大小为( ) A ．k Qq r 2B ．k Qq rC.mg sin θD ．mg tan θ3.如图2所示，悬挂在O 点的一根不可伸长的绝缘细线下端有一个带电荷量不变的小球A .在两次实验中，均缓慢移动另一带同种电荷的小球B .当B 到达悬点O 的正下方并与A 在同一水平线上，A 处于受力平衡时，悬线偏离竖直方向的角度为θ，若两次实验中B 的电荷量分别为q 1和q 2，θ分别为30°和45°(两带电小球均可视为点电荷)．则q 2q 1为( )A ．2B ．3C ．2 3D ．3 34．(多选)如图3所示，质量分别为m 1、m 2，电荷量分别为q 1、q 2的两小球，分别用绝缘轻丝线悬挂起来，两丝线与竖直方向的夹角分别为α和β(α＞β)，两小球恰在同一水平线上，那么( )A ．两球一定带异种电荷B ．q 1一定大于q 2C ．m 1一定小于m 2D ．m 1所受的库仑力一定大于m 2所受的库仑力5.如图4所示，光滑绝缘的水平地面上有相距为L 的点电荷A 、B ，带电荷量分别为－4Q 和＋Q ，现引入第三个点电荷C ，使三个点电荷都处于平衡状态，则C 的电荷量和放置的位置是( )A ．－Q ，在A 左侧距A 为L 处B ．－2Q ，在A 左侧距A 为L2处C ．－4Q ，在B 右侧距B 为L 处D ．＋2Q ，在A 右侧距A 为3L2处6.如图5所示，质量为m 、电荷量为q 的带电小球A 用绝缘细线悬挂于O 点，带电荷量也为q 的小球B 固定在O 点正下方绝缘柱上．其中O 点与小球A 的间距为l ，O 点与小球B 的间距为3l .当小球A 平衡时，悬线与竖直方向夹角θ＝30°.带电小球A 、B 均可视为点电荷．静电力常量为k ，重力加速度为g ，则( ) A ．A 、B 间库仑力大小F ＝kq 22l 2B ．A 、B 间库仑力大小F ＝3mg3C ．细线拉力大小T ＝kq 23l 2D ．细线拉力大小T ＝3mg7.(多选)如图6所示，用三根长度相同的绝缘细线将三个带电小球(可视为点电荷)连接后悬挂在空中．三个带电小球质量相等，A 球带正电，平衡时三根绝缘细线都是直的，但拉力都为0.则( )A ．B 球和C 球都带负电荷 B ．B 球带负电荷，C 球带正电荷 C ．B 球和C 球所带电荷量不一定相等D ．B 球和C 球所带电荷量一定相等8．如图7所示，A 、B 是两个带等量同种电荷的小球，A 固定在竖直放置的10 cm 长的绝缘支杆上，B 静止于光滑绝缘的倾角为30°的斜面上且恰与A 等高，若B 的质量为30 3 g ，则B 带电荷量是多少？(取g ＝10 m /s 2，带电小球A 、B 均可视为点电荷，k ＝9×109 N·m 2/C 2)图7专题强化1 库仑力作用下的平衡问题[学习目标] 1.进一步掌握库仑力的计算公式及库仑力的方向判定.2.会进行库仑力作用下带电体的受力分析.3.会运用合成法、分解法处理共点力作用下的平衡问题．一、库仑力作用下带电体的平衡例1 如图1所示，真空中两个相同的小球带有等量同种电荷，质量均为0.1 g ，分别用10 cm 长的绝缘细线悬挂于绝缘天花板上的一点，当平衡时B 球偏离竖直方向60°，A 球竖直悬挂且与绝缘墙壁接触(两带电小球均可视为点电荷)，取g ＝10 m/s 2，求：图1(1)两个小球所带电荷量； (2)墙壁受到的压力； (3)每条细线的拉力的大小． 答案 (1)13×10－7 C(2)32×10－3 N ，方向水平向左 (3)1.5×10－3 N 1×10－3 N解析 (1)对B 球受力分析如图甲所示：B 球受力平衡，则重力与库仑力的合力大小等于细线拉力，方向与细线拉力方向相反，由几何知识可知：F ＝mg ＝T B .根据库仑定律：F ＝k q 2L 2＝mg代入数据，解得q ＝13×10－7 C(2)对A 球受力分析如图乙所示：A 球受力平衡，所以：N ＝F sin 60°＝mg sin 60°＝32×10－3 N ．由牛顿第三定律可知，墙受到小球的压力大小为32×10－3 N ，方向水平向左． (3)A 球受力平衡，则有： T A ＝mg ＋F cos 60°＝1.5×10－3 N 由(1)分析知T B ＝mg ＝1×10－3 N.针对训练1 (2019·湖州市期中)如图2所示，质量为m 、带电荷量为＋q 的小球A 用绝缘细线悬挂于O 点，细线长为l .当将电荷量为－q 的点电荷B 置于空间某位置时，小球A 静止，细线与竖直方向的夹角θ＝30°，A 、B 连线与竖直方向的夹角恰好也为30°，重力加速度为g ，静电力常量为k ，则A 、B 之间的距离为( )图2A ．lB ．q 3kmgC ．q 3kmgD ．q 3k 2mg答案 B解析 对小球A 受力分析如图所示，由平衡条件得F ＝T ＝mg 2cos θ，而F ＝kq 2r 2，联立可得距离r ＝q3kmg，选项B 正确．分析静电力作用下点电荷的平衡问题时，方法仍然与力学中物体的平衡方法一样，具体步骤如下：(1)确定研究对象：如果有几个物体相互作用时，要依据题意，适当选取“整体法”或“隔离法”.(2)对研究对象进行受力分析，此时多了静电力(F ＝kQ 1Q 2r 2).(3)根据F 合＝0列方程，若采用正交分解，则有F x ＝0，F y ＝0. (4)求解方程.二、同一直线上带电体的平衡例2 如图3所示，带电荷量分别为＋q 和＋4q 的两点电荷A 、B ，相距L ，问：图3(1)若A 、B 固定，在何处放置点电荷C ，才能使C 处于平衡状态？ (2)在(1)中的情形下，C 的电荷量和电性对C 的平衡有影响吗？(3)若A 、B 不固定，在何处放一个什么性质的点电荷，才可以使三个点电荷都处于平衡状态？ 答案 见解析解析 (1)由平衡条件，对C 进行受力分析，C 应在A 、B 的连线上且在A 、B 之间，设C 与A 相距r ， 则k ·q ·q C r 2＝k ·4q ·q C (L －r )2解得：r ＝L 3(2)距离A 为L3处，不论C 为正电荷还是负电荷，A 、B 对其作用力的合力均为零，故C 的电荷量大小和电性对其平衡无影响．(3)若将C 放在A 、B 电荷两边，A 、B 对C 同为向左(或向右)的力，C 都不能平衡；若将C 放在A 、B 之间，C 为正电荷，则A 、B 都不能平衡，所以C 为负电荷．设放置的点电荷的电荷量大小为Q ，与A 相距r 1，分别对A 、B 受力分析，根据平衡条件，对点电荷A 有：k ·4q ·qL 2＝kQ ·q r 12对点电荷B 有：k ·4q ·q L 2＝kQ ·4q(L －r 1)2联立可得：r 1＝L 3，Q ＝49q (负电荷)即应在AB 连线上且在A 的右边，与点电荷A 相距L 3处放置一个电荷量为49q 的负电荷．针对训练2 (多选)(2020·辛集中学月考)如图4所示，光滑绝缘水平面上有三个带电小球a 、b 、c (可视为点电荷)，三小球沿一条直线摆放，且仅在它们之间的静电力作用下静止，则以下判断正确的是( )图4A ．a 对b 的静电力一定是引力B ．a 对b 的静电力可能是斥力C ．a 的电荷量可能比b 的少D ．a 的电荷量一定比b 的多 答案 AD解析 根据电场力方向来确定各自电性，从而得出“两同夹一异”的结论，因此A 正确，B 错误；由平衡条件来确定各电荷量的大小关系，因此在大小上一定为“两大夹一小”，故D 正确，C 错误．共线的三个点电荷在静电力作用下平衡的特点1．平衡条件：每个点电荷受到的两个库仑力必须大小相等，方向相反． 2．平衡规律可概括为：“三点共线”——三个点电荷分布在同一条直线上； “两同夹异”——正、负电荷相互间隔； “两大夹小”——中间电荷的电荷量最小； “近小远大”——中间电荷靠近电荷量较小的电荷．3．只要其中两个点电荷平衡，第三个点电荷一定平衡，只需根据平衡条件对其中的两个点电荷列式即可．1.(库仑力作用下的平衡)如图5所示，把一带正电的小球a放在光滑绝缘斜面上，欲使球a 能静止在斜面上，需在MN间放一带电小球b，则b应()图5A．带负电，放在A点B．带正电，放在B点C．带负电，放在C点D．带正电，放在C点答案 C解析小球a受到重力、支持力和库仑力的作用处于平衡状态时，才能静止在斜面上．小球b带负电、放在C点或小球b带正电、放在A点均可使小球a所受合力为零，故选C. 2．(库仑力作用下的平衡)(多选)两个质量分别为m1、m2的小球，各用丝线悬挂在同一点，当两球分别带同种电荷，且电荷量分别为q1、q2时，两丝线张开一定的角度θ1、θ2，如图6所示，此时两个小球处于同一水平面上，则下列说法正确的是()图6A．若m1＞m2，则θ1＞θ2B．若m1＝m2，则θ1＝θ2C．若m1＜m2，则θ1＞θ2D．若q1＝q2，则θ1＝θ2答案BC解析以m1为研究对象，对m1受力分析如图所示．由共点力平衡得tan θ1＝F 库m 1g ，同理tan θ2＝F 库m 2g，因为不论q 1、q 2大小如何，两带电小球所受库仑力都属于作用力与反作用力，大小永远相等，故从tan θ＝F 库mg 知，m 大，则tan θ小，θ也小(θ＜π2)，m 相等，θ也相等，故选项B 、C正确．3．(库仑力作用下的平衡)(2018·浙江11月选考)电荷量为4×10－6 C 的小球绝缘固定在A 点，质量为0.2 kg 、电荷量为－5×10－6 C 的小球用绝缘细线悬挂，静止于B 点．A 、B 间距离为30 cm ，AB 连线与竖直方向夹角为60°.静电力常量为9.0×109 N·m 2/C 2，重力加速度g ＝10 m/s 2，(小球可视为点电荷)下列图示正确的是( )答案 B解析 A 、B 间的库仑力F AB ＝k Q A Q Br 2＝9.0×109×4×10－6×5×10－6(0.3)2 N ＝2 N ，G B ＝mg ＝2 N ，对B 受力分析如图所示，可知A 对B 的库仑力与B 的重力相等，所以F AB 与G B 的合力与竖直方向的夹角为60°.4.(同一直线上带电体的平衡)如图7所示，两个点电荷，所带电荷量分别为q 1＝4×10－9 C 和q 2＝－9×10－9 C ，分别固定于相距20 cm 的a 、b 两点，有一个点电荷q 放在a 、b 所在直线上且静止不动，该点电荷所处的位置是( )图7A ．在a 点左侧40 cm 处B ．在a 点右侧8 cm 处C ．在b 点右侧20 cm 处D ．无法确定 答案 A解析 q 1的电荷量比q 2的电荷量小，所以第三个电荷不论正负，只有放在a 点的左侧才能处于平衡；且q 1与q 2对点电荷q 的库仑力大小应相等，设q 距q 1的距离为r ，则有：kq 1qr 2＝kq 2q(r ＋0.2)2，代入数据解得：r ＝0.4 m ，即点电荷q 所处的位置是：在ab 连线上，a 点左侧40cm 处，故选A.1．一端固定在天花板上的绝缘细线的另一端与一带正电的小球M 相连接，在小球M 下面的一绝缘水平面上固定了另一个带电小球N ，在图中，小球M 能处于静止状态的是( )答案 B2.(2019·唐山一中高二上月考)如图1所示，A 为带正电的金属板，其所带电荷量为Q ，在金属板的垂直平分线上，距板r 处有一质量为m 、电荷量为q 的小球，小球用绝缘细线悬挂于O 点，小球受水平向右的静电力，偏转θ角保持静止，静电力常量为k ，重力加速度为g ，则小球与金属板之间的库仑力大小为( )图1A ．k Qq r 2B ．k Qq rC.mg sin θ D ．mg tan θ答案 D解析 A 为带正电的金属板，此时不能将其看成点电荷，所以不能使用库仑定律求小球受到的库仑力，故A 、B 错误；小球受到的静电力方向向右，重力竖直向下，则小球的受力情况如图所示，由平衡条件得F ＝mg tan θ，故C 错误，D 正确．3.如图2所示，悬挂在O 点的一根不可伸长的绝缘细线下端有一个带电荷量不变的小球A .在两次实验中，均缓慢移动另一带同种电荷的小球B .当B 到达悬点O 的正下方并与A 在同一水平线上，A 处于受力平衡时，悬线偏离竖直方向的角度为θ，若两次实验中B 的电荷量分别为q 1和q 2，θ分别为30°和45°(两带电小球均可视为点电荷)．则q 2q 1为( )图2A ．2B ．3C ．2 3D ．3 3 答案 C解析 对A 受力分析，如图所示，可得F ＝mg tan θ，由库仑定律得F ＝kq A q Br 2，式中r ＝l sin θ(l为悬线长度)，由以上三式可解得q B ＝mgl 2sin 2θtan θkq A ，因q A 、m 、l 、g 、k 不变， 则q 2q 1＝sin 2 45°tan 45°sin 2 30°tan 30°＝2 3. 4．(多选)如图3所示，质量分别为m 1、m 2，电荷量分别为q 1、q 2的两小球，分别用绝缘轻丝线悬挂起来，两丝线与竖直方向的夹角分别为α和β(α＞β)，两小球恰在同一水平线上，那么( )图3A ．两球一定带异种电荷B ．q 1一定大于q 2C ．m 1一定小于m 2D ．m 1所受的库仑力一定大于m 2所受的库仑力 答案 AC解析 由于两带电小球相互吸引，所以一定带异种电荷，选项A 正确．设轻丝线与竖直方向的夹角为θ，根据平衡条件可得两球之间的库仑力F ＝mg tan θ，则m 1g tan α＝m 2g tan β，α>β，因此m 1g ＜m 2g ，即m 1＜m 2，选项C 正确．5.如图4所示，光滑绝缘的水平地面上有相距为L 的点电荷A 、B ，带电荷量分别为－4Q 和＋Q ，现引入第三个点电荷C ，使三个点电荷都处于平衡状态，则C 的电荷量和放置的位置是( )图4A ．－Q ，在A 左侧距A 为L 处B ．－2Q ，在A 左侧距A 为L 2处C ．－4Q ，在B 右侧距B 为L 处D ．＋2Q ，在A 右侧距A 为3L2处 答案 C解析 要使三个点电荷处于平衡，可知C 应放在B 的右侧，且与A 电性相同带负电，对点电荷B ，其受力平衡，则有F AB ＝F CB ，即k 4Q 2L 2＝k Q C Qr BC 2；对点电荷C ，其受力也平衡，则F AC＝F BC 得k 4QQ C (r BC ＋L )2＝k QQ Cr BC 2；联立解得r BC ＝L ，Q C ＝4Q ，故选项C 正确．6.如图5所示，质量为m 、电荷量为q 的带电小球A 用绝缘细线悬挂于O 点，带电荷量也为q 的小球B 固定在O 点正下方绝缘柱上．其中O 点与小球A 的间距为l ，O 点与小球B 的间距为3l .当小球A 平衡时，悬线与竖直方向夹角θ＝30°.带电小球A 、B 均可视为点电荷．静电力常量为k ，重力加速度为g ，则( )图5A ．A 、B 间库仑力大小F ＝kq 22l 2B ．A 、B 间库仑力大小F ＝3mg3C ．细线拉力大小T ＝kq 23l 2D ．细线拉力大小T ＝3mg 答案 B解析 带电小球A 受力如图所示，由几何知识得OC ＝32l ，即C 点为OB 中点，根据对称性AB ＝l .由库仑定律知A 、B 间库仑力大小F ＝kq 2l 2，细线拉力大小T ＝F ＝kq 2l 2，选项A 、C错误；根据平衡条件有F cos 30°＝12mg ，可得F ＝3mg 3，则细线拉力大小T ＝3mg3，选项B正确，D 错误．7.(多选)(2019·云南建水高二上期中)如图6所示，用三根长度相同的绝缘细线将三个带电小球(可视为点电荷)连接后悬挂在空中．三个带电小球质量相等，A 球带正电，平衡时三根绝缘细线都是直的，但拉力都为0.则( )图6A ．B 球和C 球都带负电荷B．B球带负电荷，C球带正电荷C．B球和C球所带电荷量不一定相等D．B球和C球所带电荷量一定相等答案AD解析以B为研究对象，B球受重力及A、C对B球的静电力而处于平衡状态，则A、C球对B球的静电力的合力应与B球重力大小相等、方向相反，而静电力的方向只能沿两球的连线方向，则A对B的静电力应指向A，C对B的静电力应指向B的左侧，由此可知，B、C都应带负电荷，A对，B错．由受力分析图可知，A对B的静电力F AB应为C对B静电力F CB的2倍，故C所带电荷量应为A所带电荷量的一半；同理分析C可知，B所带电荷量也应为A所带电荷量的一半，故B、C所带电荷量相等，C错，D对．8．如图7所示，A、B是两个带等量同种电荷的小球，A固定在竖直放置的10 cm长的绝缘支杆上，B静止于光滑绝缘的倾角为30°的斜面上且恰与A等高，若B的质量为30 3 g，则B带电荷量是多少？(取g＝10 m/s2，带电小球A、B均可视为点电荷，k＝9×109 N·m2/C2)图7答案1×10－6 C解析因为B静止于光滑绝缘的倾角为30°的斜面上且恰与A等高，设A、B之间的水平距离为L，依据题意可得：tan 30°＝hL则L＝htan 30°＝1033cm＝10 3 cm对B受力分析如图所示，由于小球B受力平衡，则库仑力F＝mg tan 30°＝303×10－3×10×3 3N＝0.3 N，由库仑定律F ＝k Q 1Q 2r 2得：F ＝k Q 2L 2.代入数据解得：Q ＝1×10－6 C.。

库仑力作用下的平衡问题库仑力作为一种新的作用力，是在电场中首次被接触到的.但它是一种特殊的电场力,原因是它仅仅适用于点电荷之间。

对于一个力，首先要会计算大小,会判断方向。

但既然是力，那么和我们之前学习过的重力、摩擦力就没什么区别。

也就是说：存在我们在力学中都会遇到的平衡问题和动力学问题库仑力作用下的平衡问题有两类：第一类：三电荷的平衡问题结论：三点共线、两同一异、两大一小、近小远大。

但是只能用来定性的分析一些选择题。

如果要具体计算电荷的位置和电荷量大小，只能对其做受力分析了.第二类：库仑力作用下的三力平衡问题（静态平衡问题和动态平衡问题）静态平衡问题单体的静态平衡问题：单直线上的平衡问题（库仑力方向与重力方向共线）不在同一直线上的平衡问题（三力平衡问题）.处理方法：矢量三角形法和正交分解法单体的动态平衡问题：最常见的是一种漏电问题(相似三角形解)多题的静态平衡问题:整体法和隔离法分析库仑力作用下的动力学问题:对于两个电荷的运动问题一般可以采取整体法和隔离法分析。

典型例题剖析例1:★★★a、b两个点电荷,相距40cm,电荷量分别为q1和q2，且q1＝9q2,都是正电荷;现引入点电荷c，这时a、b、c三个电荷都恰好处于平衡状态.试问:点电荷c的性质是什么？电荷量多大?它放在什么地方？【分析】：1.引入新的电荷，先分析这个点电荷应该在什么地方，（根据所受库仑力的方向定性判断）c为正、负电荷时分别讨论2.再分析可能受了平衡的位置，（两个位置)，定性分析库仑力大小，确定一个位置3、列方程计算（若算c的电荷量，不能以c为研究对象(a或者b均可））【答案】:c带负电;距离a30cm；电荷量大小9/16q2【结论】:两同夹一异，两大夹一小,近小远大。

从新来看上面的问题：c只能在ab的中间,靠近b远离a。

知识点三:库仑定律作用下物体的平衡问题例2:★★如图所示，一个挂在丝线下端的带正电的小球B静止在图示位置。

固定的带正电荷的A球电荷量为Q，B球质量为m、电荷量为q,丝线与竖直方向的夹角为θ，A和B在同一水平线上，整个装置处在真空中,求A、B两球间的距离。