南京大学线性代数期中考试试题及参考答案

线性代数参考题一答案：（注：为了大家共同的利益，我做了每一道题，希望你发现有做错处及时告诉我，谢谢，你的朋友冯国晨 gcfeng@ ）一. 填空题(每小题3分,满分30分)1．42342311a a a a 与44322311a a a a -；2.b a =；3.)(211E A A -=-；4.可逆阵或满秩阵或非奇异阵；5.特征根为0；6.1-=α；7.)()(T r A r =；8.3R ；9.负定；10.25≠t二. 陈治中版《线性代数》例题1.5.7（p.26）答案：nn bc ad D )(2-=三. 令⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=130231,3512,343122321C B A 则⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=--2115.053,2153,1115.235.123111X BA四. 令),,,(4321αααα=A ，则⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----==0000310020101013130631120140121),,,(4321ααααA 因而3)(=A r ，321,,ααα构成一个极大无关组，且321432αααα+-=五. 陈治中版《线性代数》习题4.6（p.121）答案：p.211 六. 将二次型f 化成矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------=211121112A ，显然A 为实对称阵，可以正交对角化的，即 由特征方程0||=-E A λ，得01=λ，33,2=λ当01=λ 对应的特征向量为T)1,1,1(1=α，标准化为T)1,1,1(311=η；当33,2=λ 对应的特征向量为T)0,1,1(2-=α和T)1,0,1(3-=α正交化T)0,1,1(22-==αβ，标准化为T)0,1,1(212-=ηT)1,1,0(,,2222333-=⋅><><-=ββββααβ，标准化T)1,1,0(213-=η因而),,(321ηηη=P ，且232233y y f += 七. 令αααααααααααααααβββββL n nn=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋅⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++++++=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=3213213212113211111111111............由 1||=L 以及n αα,,1 线性无关得n ββ,,1 线性无关。

线性代数习题及解答完整版线性代数习题及解答HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】线性代数习题一说明：本卷中，A -1表示方阵A 的逆矩阵，r (A )表示矩阵A 的秩，||α||表示向量α的长度，αT表示向量α的转置，E 表示单位矩阵，|A |表示方阵A 的行列式. 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1．设行列式111213212223313233a a a a a a a a a =2，则111213313233213122322333333a a a a a a a a a a a a ------=（） A ．-6 B ．-3 C ．3D ．62．设矩阵A ，X 为同阶方阵，且A 可逆，若A （X -E ）=E ，则矩阵X =（） A ．E +A -1B ．E -AC ．E +AD ．E -A -13．设矩阵A ，B 均为可逆方阵，则以下结论正确的是（）A ．??A B 可逆，且其逆为-1-1A B B ．??A B 不可逆 C ．??A B 可逆，且其逆为-1-1?? ???B AD ．??A B 可逆，且其逆为-1-1??A B 4．设α1，α2，…，αk 是n 维列向量，则α1，α2，…，αk 线性无关的充分必要条件是（）A ．向量组α1，α2，…，αk 中任意两个向量线性无关B ．存在一组不全为0的数l 1，l 2，…，l k ，使得l 1α1+l 2α2+…+l k αk ≠0C ．向量组α1，α2，…，αk 中存在一个向量不能由其余向量线性表示D ．向量组α1，α2，…，αk 中任意一个向量都不能由其余向量线性表示5．已知向量2(1,2,2,1),32(1,4,3,0),T T+=---+=--αβαβ则+αβ=（） A ．（0，-2，-1，1）TB ．（-2，0，-1，1）TC ．（1，-1，-2，0）TD ．（2，-6，-5，-1）T6．实数向量空间V ={(x , y , z )|3x +2y +5z =0}的维数是（）A ．1B ．2C ．3D ．47．设α是非齐次线性方程组Ax =b 的解，β是其导出组Ax =0的解，则以下结论正确的是（）A ．α+β是Ax =0的解B ．α+β是Ax =b 的解C ．β-α是Ax =b 的解D ．α-β是Ax =0的解8．设三阶方阵A 的特征值分别为11,,324，则A -1的特征值为（） A ．12,4,3 B ．111,,243C ．11,,324D ．2,4,39．设矩阵A =121-，则与矩阵A 相似的矩阵是（）A ．11123--B ．01102C ．211- D ．121-10．以下关于正定矩阵叙述正确的是（） A ．正定矩阵的乘积一定是正定矩阵 B ．正定矩阵的行列式一定小于零 C ．正定矩阵的行列式一定大于零D ．正定矩阵的差一定是正定矩阵二、填空题（本大题共10小题，每空2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案，错填、不填均无分。

一．计算题（共50分）1．（6分）设200111313A⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦,计算（1）TAA，（2）T A A.2. （6分）计算行列式100 010 000 5432 xxxx+.3.（6分）计算行列式12222 22222 2232222212 2222nn-.《线性代数》课程期中考试卷学院＿＿＿年级＿＿姓名＿＿＿＿学号＿＿＿＿主考教师：试卷类型：（A卷）4. （6分）设1231212011311042025k A ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦，()3R A =,求k .. 5.（6分）设123,,,,αβγγγ都是4维列向量，矩阵123,,,5,A αγγγ==矩阵123,,,2B βγγγ==-，求2A B +.6. （10分）设A,B,C,D 均为n 阶矩阵，E 为n 阶单位矩阵，A 是可逆矩阵. 如果分块矩阵110,,0E A B E A B P Q R CA E C D E --⎡⎤-⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦， （1）计算PQR,（2）证明矩阵Q 可逆的充分必要条件是1D CA B --是可逆的.7（10分）已知矩阵11101123351Aa⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦与矩阵11101023151Baa⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦等价，确定常数a的取值范围.二. （10分）证明cos112cos1cos12cos112cosnD nααααα==.三.（15分）设A,B,C 为4阶矩阵，满足1132TA BC AB --+=，其中0100101100101101,0001111010000111B C ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 求A .四. （20分）设1012,2,211aαβγ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦，若,T TA Bαββα==，求解方程22A x Bxγ=+.五.(5分) 设 []12,,,n A ααα=是n 阶矩阵，满足T A A E =且1A =，又[]12,,,Tn c c c β=满足1T n βα=，证明[]121,,,,n B αααβ-=可逆，并求B .二． 计算题（共50分）1．（6分）设200111313A ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦,计算（1）T AA ，（2）T A A . 解（1）T AA =4264228210-⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，（2）T A A =14484228210-⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦。

线性代数习题册答案第一章 行列式练习 一班级 学号 姓名1．按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数： （1）τ(3421)= 5 ; （2）τ(135642)= 6 ;（3）τ(13…(2n-1)(2n)…42) = 2+4+6+…+（2 n-2）= n （n-1）.2．由数字1到9组成的排列1274i56j9为偶排列，则i= 8 、j= 3 .3．在四阶行列式中，项12233441a a a a 的符号为 负 .4．00342215= －24 .5．计算下列行列式：（1）122212221-----= －1＋（－8）＋（－8）－（－4）－（－4）―（－4）= －5或（2）111111λλλ---= －3λ＋1＋1－（－λ）－（－λ）―（－λ） = －3λ＋3λ+2=2(2)(1)λλ-+练习 二班级 学号 姓名 1．已知3阶行列式det()ij a =1，则行列式det()ij a -= －1 . 3(1)11-⋅=-2． 1112344916= 2 .3．已知D=1012110311101254--,则41424344A A A A +++= —1 .用1，1，1，1替换第4行4． 计算下列行列式： (1)111ab c a b c abc +++= 13233110110011,0110111111r r r r c c a b c bcabcabc-----+-==++++++(2) xy x y y x y x x yxy+++(3)130602121476----(4)1214012110130131-5．计算下列n 阶行列式：(1)n xa a a x a D aax=（每行都加到第一行，并提公因式。

）(2)131111n +(3) 123123123n n n a ba a a a ab a a a a a a b+++练习 三班级 学号 姓名 1．设线性方程组123123123111x x x x x x x x x λλλ--=⎧⎪++=⎨⎪-++=⎩有惟一解，则λ满足的条件是什么？1,0,1λλλ≠-≠≠2. 求解线性方程组12341234123412345242235232110x x x x x x x x x x x x x x x x +++=⎧⎪+-+=-⎪⎨---=-⎪⎪+++=⎩3.已知齐次线性方程组123123123000x x x x x x x x x λλλ--=⎧⎪-++=⎨⎪--+=⎩有非零解，求λ的值。

试 卷 六一.单项选择题（每题3分，共18分）1．向量组s ααα，，，21)2(≥s 线性无关，向量组s βββ，，， 21能线性表示 向量组s ααα，，，21，则以下结论中不能成立的是 (A). 向量组s βββ，，，21线性无关； (B). 对任一个j α)0(s j ≤≤，向量组s j ββα，，，2线性相关； (C). 存在一个j α)0(s j ≤≤，向量组s j ββα，，，2线性无关； (D). 向量组s ααα，，，21与向量组s βββ，，， 21等价． 2．设B A ，为n 阶可逆矩阵，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=B A C 00，则C 的伴随矩阵=*C (A)．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛**B A 00； (B)．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛*-*-B A A B 11||00||； (C)．⎪⎪⎭⎫⎝⎛**B A A B 00； (D)．⎪⎪⎭⎫⎝⎛**B B A A 00． 3．设向量组321,,ααα是三维线性空间V 的基，则 也是V 的基.(A). 32133122112,,αααβααβααβ++=+=+=； (B)．213212112,,ααβααβαβ-=+==；(C)．32133222113,,2αααβααβααβ++=+=+=； (D)．3213322211,,αααβααβααβ++=-=-=． 4．设A 为n m ⨯实矩阵，n A r =)(，则 ．(A)．A A T 必合同于n 阶单位矩阵； (B)．T AA 必等价于m 阶单位矩阵；(C)．A A T 必相似于n 阶单位矩阵； (D)．T AA 是m 阶单位矩阵． 5．设A 为n m ⨯矩阵，0)(≠=b m A r ，，则线性方程组b Ax = ．(A)．可能无解； (B)．一定无解； (C)．可能有解； (D)．一定有解．6．已知向量组s ααα，，，21可由向量组t βββ，，， 21 线性表示，则 ． (A)．当t s >时，向量组s ααα，，，21必线性相关； (B)．当t s >时，向量组t βββ，，，21必线性相关； (C)．当t s <时，向量组s ααα，，，21必线性相关； (D)．当t s <时，向量组t βββ，，，21必线性相关． 二.填空题（每题3分，共18分）1．设B A ，为三阶方阵，行列式⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-==02012B A C B A 矩阵，，，则行列式=C ．2．已知B A ，为n 阶方阵，1±=λ不是B 的特征值，且E B A AB =--，则=-1A ．3．实二次型322123222132122),,(x x a x x x x x x x x f ++++=是正定二次型，则常数 a 的取值范围为 ．4．若三阶方阵A 有特征值 2,1,1，则行列式=+*-A A 21 ．5．设A 为三阶方阵，2)(=A r ，321ααα，，是线性方程组)0(,≠=b b Ax 的解， 已知 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+13121αα，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0103α，则线性方程组b Ax =的通解为=α ．6．已知b 为一常数，设集合⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧∈⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛++==R b a a b a a a a V ，，，212121αα， 若V 是向量空间3R 的子空间，则=b ．1．设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=301220211A ，已知多项式12)(23--=x x x g ，求行列式)(A g . 2．已知线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=-=+bx ax x x x x x 321312111， (1) 常数b a ，取何值时，方程组有无穷多解、唯一解、无解？ (2) 当方程组有无穷多解时，求出其通解．3．设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=111111111A ，(1) 若矩阵B 满足AB B A =+，试求矩阵B ； (2) 若列向量α满足T A αα=，试求ααT ． 4．求正交变换Qy x =,将二次型23212221321433),,(x x x x x x x x f +-+=化为标准形．5．设三维列向量 T），，121(=α，(1) 求三维列向量γβ，，使γβα，，为正交向量组；(2) 证明γβα，，是3R 的基，并求向量T），，111(=η在γβα，，下的坐标.6．设向量组⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=111101011321ααα，，； ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=10010001321a βββ，，(1) 问：a 取何值时向量组321βββ，，是向量空间3R 的基，为什么？ (2) 求3R 中基321ααα，，到基321βββ，，的过渡矩阵．1. 设=f Ax x T 是n 元实二次型,存在n 维实列向量21x x ，,使11x A x T0>， 22x A x T0<, 证明: 存在n 维实列向量00≠x ,使00x A x T =0.2．设n 阶方阵A 即是正交矩阵又是正定矩阵，证明：A 为n 阶单位矩阵．试 卷 六------答案一．B C D A D A二．1．16- 2．1))((-+-E B E B 3．2<a 4．2125 5．⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛111010k 6．0三．1．A 的特征值为4,1,1 ………4分)(A g 的特征值为 31,2,2-- …7分124)(=A g …………8分2．（1）A E A B A B E A 1)(,)(--==- ……2分A B 21212121212121212121=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----= …………4分（2）()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∴=-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=111111111αααTA ……6分3111)111(=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=∴ααT…………8分或 A A T T T T T TT)()()(2αααααααααααααα==== …6分333333333332=∴=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=ααT AA ………8分3．（1）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→120001101011b a A ………………2分 1,2==b a 无穷多解； 2≠a 唯一解； 1,2≠=b a 无解 ……5分（2）R k k x x x ∈⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛,111001321 ……………………8分4．特征值为5,1,1 ……………………2分对应的特征向量⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛011,100,011 …………5分 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∴0100021212121Q ， 或⎪⎩⎪⎨⎧=+=-=2332112123211211y x y y x y y x ……7分标准形为 2322215y y y f ++= ………………8分5．（1）⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==++101,0120221321ξξx x x 正交化⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=521012γβ, 4分（2）说明γβα,,线性无关，是3R 的基 ………………5分⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∴⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-15151321321321111501212121x x x x x x ,)(γβαη ……8分 注：答案不唯一6．（1）a 为任意值都使321,,βββ线性无关，所以是基 …………3分 （2）A )()(321321αααβββ= …………5分⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+------==-a a a A 11111121)()(3211321βββααα……8分四．1．因为 00>>q p 且，，所以f 的规范形为22122221r p p y y y y y f ---+++=+ ………………4分取T y ），，，，，，，001001(0 =，则有000≠=Py x ，使0001001000=----+++== Ax x f Tx ……7分 ……8分2．A 为正交阵E A A T =∴ 又A 正定A E A A A T ⇒=∴=∴2的特征值为1± A 正定，A ∴的特征值只为1 ………………4分 因A 是实对称阵，∃∴可逆阵P ，有E PP A E AP P ==∴=--11……8分试 卷 七一、单项选择题（每题3分，共15分）1._____________2)(2101210211的值为则，的秩若矩阵a A r a a A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---= 1或者1．-(D)1；-(C)1；-0或(B)0；(A)2._____________1||*=-=A A A 伴随矩阵则，，且为正交矩阵设 A．-(D)••••••••••••••A； (C)；A -(B)•••••••••••； A (A)T T3.设βα，是n 维列向量,0≠βαT ,n 阶方阵T E A αβ+=,3≥n ，则在A 的n 个特征值中,必然______________(A) 有n 个特征值等于1； (B) 有1-n 个特征值等于1； (C) 有1个特征值等于1； (D) 没有1个特征值等于1．4.______________)()(，则阶方阵，且秩相等，既为，设B r A r n B A = ．r(B)r(A)B),r(A (D)；r(A)2B),r(A (C)；r(A)2B)r(A (B)；0r(A－B)(A)+≤==+=5．设n A 为阶矩阵，且0232=+-E A A ，则矩阵A E A E --与2(A) 同时为可逆矩阵； (B) 同时为不可逆矩阵； (C) 至少有一个为零矩阵； (D) 最多有一个为可逆矩阵．二、填空题（每题3分，共15分）1．设*A 是n 阶方阵A 的伴随矩阵，行列式2||=A ，则 |2|*A =___________． 2. 行列式D 中第二行元素的代数余子式的和∑=412j j A =__________ ,其中1111111111111111---=D3. 已知实二次型32212322213212224)(x x x ax x x x x x x f ++++=，，为正定二次型，则实常数a 的取值范围为________________． 4. 2n 阶行列式 AB BA D =＝ ,其中n 阶矩阵 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=a a a A 0000000， ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=000000b b b B 。

线性代数试题及答案解析一、选择题（每题4分，共40分）1. 矩阵A和矩阵B相乘，得到的结果矩阵的行列数为（）。

A. A的行数乘以B的列数B. A的行数乘以B的行数C. A的列数乘以B的列数D. A的列数乘以B的行数答案：D解析：矩阵乘法中，结果矩阵的行数等于第一个矩阵的行数，列数等于第二个矩阵的列数。

2. 向量α和向量β线性相关，则下列说法正确的是（）。

A. α和β可以是零向量B. α和β可以是任意向量C. α和β中至少有一个是零向量D. α和β中至少有一个是另一个的倍数答案：D解析：线性相关意味着存在不全为零的系数，使得这些系数乘以对应的向量和为零向量，因此至少有一个向量是另一个向量的倍数。

3. 对于n阶方阵A，下列说法不正确的是（）。

A. A的行列式可以是0B. A的行列式可以是负数C. A的行列式可以是正数D. A的行列式一定是正数答案：D解析：方阵的行列式可以是正数、负数或0，因此选项D不正确。

4. 矩阵A和矩阵B相等，当且仅当（）。

A. A和B的对应元素相等B. A和B的行数相等C. A和B的列数相等D. A和B的行数和列数都相等答案：A解析：两个矩阵相等，必须满足它们具有相同的行数和列数，并且对应元素相等。

5. 向量组α1，α2，…，αn线性无关的充分必要条件是（）。

A. 由这些向量构成的矩阵的行列式不为0B. 这些向量不能构成齐次方程组的非零解C. 这些向量不能构成齐次方程组的非平凡解D. 这些向量可以构成齐次方程组的平凡解答案：C解析：向量组线性无关意味着它们不能构成齐次方程组的非平凡解，即唯一的解是零向量。

6. 矩阵A可逆的充分必要条件是（）。

A. A的行列式不为0B. A的行列式为1C. A的行列式为-1D. A的行列式为任何非零数答案：A解析：矩阵可逆当且仅当其行列式不为0。

7. 矩阵A的特征值是（）。

A. 矩阵A的行数B. 矩阵A的列数C. 矩阵A的对角线元素D. 满足|A-λI|=0的λ值答案：D解析：矩阵的特征值是满足特征方程|A-λI|=0的λ值。

【1】填空题(1)(2)(3)(4)(5)答案:【2】(1)A-3 ；(2) 《线性代数》习题集（含答案）二阶行列式二阶行列式二阶行列式三阶行列式三阶行列式l.ab(a-b) 选择题若行列式B-2 ; C2;若行列式abcos sina bi2aA -1 , .2 ;B 2.1D3osincosa bi3. a=0，.2 ；34. x则x=则x=()。

()o第一章3z 3xyz ；5.4abc。

C 1,、、223 (3)三阶行列式503 20152A -70 ;B -63 ;C 70;D 82。

/ 、n 1A0; Bn !; C (-1 ) • n !; D 1?n!。

答案：1.D ; 2.C ; 3.A ; 4.B ; 5.D 。

【3】证明【4】计算下列9级排列的逆序数，从而确定他们的奇偶性： （1） 134782695；（2）217986354；（3）987654321。

答案：（1） （ 134782695）=10,此排列为偶排列。

（2） （ 217986354）=18,此排列为偶排列。

（3） （ 987654321）=36，此排列为偶排列。

【5】计算下列的逆序数：（1）135L （2n-1）246L （2n ）；（2）246L （2n ）135L （2n-1 ）。

1 1 答案：（1） — n （n-1 ）；（2） — n （n+1） 22【6】确定六阶行列式中，下列各项的符号：a0 0 （4）行列式 0 a b 0 b ab 0 0 2b0 a =()。

A a 4 b 2C bD a 4b 4。

0 1 0 L0 0 2 L （5） n 阶行列式M M M0 0 0 Ln 0 0 L0 0 M n 1 0=()。

1 298 =()。

3a 15a 23a 32a 44a 51a 66；( 2)a 21a 53a 16a 42 a 65a 34；( 3)(1)正号；(2)负号。

根据定义计算下列各行列式:0 0 L 0 1 0 0 0 L 2 0 0 MMM M M n 1 0 L 0 0 0 0 0 L0 0 n3|1923332 a44a 14a 22a 33a 41n(n 1)(n 1)(n 2)(1)^ ?n! ； (4) ( 1)2n!。

2011级材料 学院《线性代数》期中考试试卷时间：120分钟 满分：100分一、单项选择题 (共10小题，每小题3分，共30分)1. 在下列构成5阶行列式展开式的各项中，取“－”的为 ( )(A) 5144322315a a a a a (B) 5344322511a a a a a (C) 3442155321a a a a a (D) 2544133251a a aa a2. 已知矩阵34 6 2 4 2 1 6 3 1 1 2 3- 0 21 1 1 1 1 =A ，则.)(=A r；1 )(A；2 )(B；3 )(C5 )(D3. 设四阶行列式111201110011111------=x D ，则其中x 的一次项的系数为 ( )(A) 1 (B) －1 (C) 2 (D) －24. 行列式0=nD 的一个必要条件是 ( )(A) D n 中各行元素之和等于零 (B) D n 中有一行(列)元素全为零(C) D n 中有两行(列)元素对应成比例 (D) 系数行列式为D n 的齐次线性方程组有非零解5. 设A , B 皆为n 阶方阵，且A 可逆，则下列运算一定正确的是 ( ) (A)kk kBA AB =)( (B)AA -=- (C)))((22A B A B AB-+=- (D)1**1)()(--=A A6. 设A , B 皆为n 阶方阵，则必有 ( )(A)BAAB = (B)AB B A -=- (C)BA B A +=+ (D)BA B A ⋅=⋅7. 设分块矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=231A AO AA ，其中的子块A 1, A 2为方阵，O 为零矩阵，若A 可逆，则 ( )(A) A 1可逆，A 2不一定可逆 (B) A 2可逆，A 1不一定可逆 (C) A 1,A 2都可逆(D) A 1,A 2都不一定可逆 8. 用初等矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛01100001左乘矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=642113112A ，相当于对A 进行如下何种初等变换( )(A)21r r ↔ (B)32r r ↔ (C)21c c ↔ (D)32c c ↔9. 设A 为5×3矩阵，且2)(=A R ，下三角矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=424212347437221P ，则)(PA R 等于 ( )(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 5 10. 非齐次线性方程组bx A=⨯55在以下哪种情形下有无穷多解. ( )(A)5),( ,4)(==b A A R R (B)4),( ,3)(==b A A R R (C)4),( ,4)(==b A A R R (D)5),( ,5)(==b A A R R二、填空题 (共5小题，每空3分，共15分)1. 设x 1,x 2,x 3,x 4是四次方程0234=+++c bxaxx的根，则行列式=0752340000014321x x x x ________.2. 若n 阶下三角行列式1111111111=nD)2(≥n ，则所有．．元素的代数余子式之和等于_____.3. 设A , B 皆为n 阶方阵，2=A ，3=B，则=-1*3BA_____.4. 设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=004300002000010A ，则=-1A.5. 设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n n n n n n b a b a b a b a b a b a b a b a b a212221212111A ，且02121≠n n b b b a aa ，则________)(=A R .三、计算题 (共5小题，每小题6分，共30分)1.yy x x x y y xyy x =+++x2. 设五次多项式1111111111111111111111111)(+++++=x x x x x x f ，求：①x 5的系数；②x 4的系数；③常数项.3. 设四阶矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1612841296386424321A ，求A 99=__________4. 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=21110001A ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=322154B ，利用矩阵的初等变换．．．．．．．求矩阵X ，使得AX =B .5. 已知矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=k k 12115210611A 的秩等于2，求k 的值.四、证明题 (共2小题，每小题6分，共12分)1. 已知TTA ααββ=+，Tα为α的转置，Tβ为β的转置.（1）求证2≤)(A R ；（2）若,αβ线性相关，则2<)(A R .2. 设A 为n 阶矩阵，且AA =2，证明：n R R =-+)()(A E A .五、解答题 (13分)用克莱姆法则解方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++-=----=+-+=+++01123253224254321432143214321x xx x x x x x x x x x x x x x一、单项选择题 (10×3=30分) 1. (D)；解：选项(A)和(B)的行标排列为标准次序，列标排列的逆序数分别为8和4(偶排列)；选项(C)的行标、列标排列都不是标准次序，调整相乘元素的次序，使行标排列为标准次序，则列标排列的逆序数为6(偶排列)；选项(D)的列标排列为标准次序，行标排列的逆序数分别为7(奇排列)，故选项(D)正确。