几何模型与最值问题

专题最值问题—— 1（几何模型）一、归于几何模型，这类模型又分为以下情况：1. 归于“两点之间的连线中，线段最短”。

凡属于求“变动的两线段之和的最小值”时，大都应用这一模型。

2.归于“三角形两边之差小于第三边”。

凡属于求“变动的两线段之差的最大值”时，大都应用这一模型。

3.利用轴对称知识（结合平移）。

4. 应用“点到直线的距离，垂线段最短。

”性质。

5. 定圆中的所有弦中，直径最长；以及直线与圆相切的临界位置等等。

二、基础知识模型（一）“将军饮马”问题1.如图1,将军骑马从A出发，先到河边a喝水，再回驻地B，问将军怎样走路程最短？2.如图,一位将军骑马从驻地M出发，先牵马去草地OA吃草，再牵马去河边OB喝水，最后回到驻地M，问：这位将军怎样走路程最短?图1 图23. 如图，A为马厩，B为帐篷，将军某一天要从马厩牵马，先到草地一处牧马，再到河边饮马，然后回到帐篷，请你帮助确定这一天的最短路线。

（二）“造桥选址”问题（选自人教版七年级下册）1. 如图1，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，桥造在何处才能使从A到B的路径AMNB最短？（假设河两岸1l、l2平行,桥MN 与河岸垂直）练习:1. 如图，在边长为2㎝的正方形ABCD中，点Q为BC边的中点，点P为对角线AC上一动点，连接PB、PQ，则△PBQ周长的最小值为____________㎝（结果不取近似值）.1题图2题图2.已知点A是半圆上的一个三等分点，点B是弧AN的中点，点P是半径ON上的动点，若⊙O的半径长为1，则AP+BP的最小值为__________.3.如图3，已知点A的坐标为（-4,8），点B的坐标为（2，2）,请在x轴上找到一点P，使PA+PB最小，并求出此时P点的坐标和PA+PB的最小值。

变式1:如图，已知点A 的坐标为（-4,8），点B 的坐标为（2，2）,点C 的坐标为（-2，0）.把点A 和点B 向左平移 m 个单位，得到点A '和点B ',使C B C A '+'最短，求m 的值.变式2:如图，已知点A 的坐标为（-4,8），点B 的坐标为（2，2）,点C 的坐标为（-2，0），点D 的坐标为（-4，0）. 把点A 和点B 向左或向右平移m 个单位，得到点A '和点B ',使四边形A 'B 'CD 的周长最短，求m 的值.中考真题练习2.如图（1），抛物线3518532+-=x x y 和y 轴的交点为A ，M 为OA 的中点，若有一动点P ，自M 点处出发，沿直线运动到x 轴上的某点（设为点E ），再沿直线运动到该抛物线对称轴上的某点（设为点F ），最后又沿直线运动到点A ，求使点P 运动的总路程最短的点E ，点F 的坐标，并求出这个最短路程的长。

初中数学几何模型与最值问题专题9 一元二次方程在实际应用中的最值问题【应用呈现】1、 近年来，某县为发展教育事业，加大了对教育经费的投入，2009年投入6000万元，2011年投入8640万元．（1）求2009年至2011年该县投入教育经费的年平均增长率；（2）该县预计2012年投入教育经费不低于9500万元，若继续保持前两年的平均增长率，该目标能否实现？请通过计算说明理由．2、如图，要建造一个四边形花圃ABCD ，要求AD 边靠墙，CD ⊥AD ，AD ∥BC ，AB ∶CD ＝5∶4，且三边的总长为20 m ．设AB 的长为5x m . (1)请求AD 的长；(用含字母x 的式子表示)(2)若该花圃的面积为50 m 2，且周长不大于30 m ，求AB 的长．【方法总结】一、一元二次方程判别式求解1、已知x 、y 为实数，且满足x y m ++=5，xy ym mx ++=3，求实数m 最大值与最小值。

2、已知m ，n 是关于x 的一元二次方程x 2﹣2tx +t 2﹣2t +4=0的两实数根，则（m +2）（n +2）的最小值是（ ） A ．7 B ．11 C ．12 D ．16二、配方法求最值1、设a 、b 为实数，那么a ab b a b 222++--的最小值为_______。

2、将形状、大小完全相同的两个等腰三角形如图所示放置，点D 在AB 边上，△DEF 绕点D 旋转，腰DF 和底边DE 分别交△CAB 的两腰CA ，CB 于M ，N 两点，若CA =5，AB =6，AB =1：3，则MD +的最小值为 ．三、 “夹逼法”求最值1、不等边三角形∆ABC 的两边上的高分别为4和12且第三边上的高为整数，那么此高的最大值可能为________。

1、国家实施“精准扶贫”政策以来，很多贫困人口走向了致富的道路．某地区2017年底有贫困人口1万人，通过各方面的共同努力，2019年底该地区贫困人口减少到0.25万人，求该地区2017年底至2019年底贫困人口年平均下降的百分率．2、某商场销售一批名牌衬衫，平均每天能售出20件，每件盈利50元．经调查发现：这种衬衫的售价每降低1元，平均每天能多售出2件，设每件衬衫降价x元．（1）降价后，每件衬衫的利润为元，平均每天的销量为件；（用含x的式子表示）（2）为了扩大销售，尽快滅少库存，商场决定采取降价措施，但需要平均每天盈利1600元，那么每件衬衫应降价多少元？3、2020年，我国脱贫攻坚在力度、广度、深度和精准度上都达到了新的水平，重庆市深度贫困地区脱贫进程明显加快，作风治理和能力建设初见成效，精准扶贫、精准脱贫取得突破性进展．为助力我市脱贫攻坚，某村村委会在网上直播销售该村优质农产品礼包，该村在今年1月份销售256包，2、3月该礼包十分畅销，销售量持续走高，在售价不变的基础上，3月份的销售量达到400包．（1）若设2、3这两个月销售量的月平均增长率为a%，求a的值；（2）若农产品礼包每包进价25元，原售价为每包40元，该村在今年4月进行降价促销，经调查发现，若该农产品礼包每包降价1元，销售量可增加5袋，当农产品礼包每包降价多少元时，这种农产品在4月份可获利4620元？4、某商场第一年销售某品牌手机5000部，如果每年的销售量比上年增长相同的百分率x，且第三年比第二年多销售了1200部，求x的值．5、某通讯公司规定：一名客户如果一个月的通话时间不超过A分钟，那么这个月这名客户只要交10元通话费；如果超过A分钟，那么这个月除了仍要交10元通话费外，超过部分还要按每分钟元交费．（Ⅰ）某名客户7月份通话90分钟，超过了规定的A分钟，则超过部分应交通话费元（用含A的代数式表示）；（Ⅱ）下表表示某名客户8月份、9月份的通话情况和交费情况：月份通话时间/分钟通话费总数/元8月份80 259月份45 10根据上表的数据，求A的值．6、在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角，墙DF足够长，墙DE长为9米，现用20米长的篱笆围成一个矩形花园ABCD，点C在墙DF上，点A在墙DE上，（篱笆只围AB，BC两边）．（Ⅰ）根据题意填表；BC（m） 1 3 5 7矩形ABCD面积（m2）（Ⅱ）能够围成面积为100m2的矩形花园吗？如能说明围法，如不能，说明理由．专题9 一元二次方程在实际应用中的最值问题 答案【应用呈现】2、 近年来，某县为发展教育事业，加大了对教育经费的投入，2009年投入6000万元，2011年投入8640万元．（1）求2009年至2011年该县投入教育经费的年平均增长率；（2）该县预计2012年投入教育经费不低于9500万元，若继续保持前两年的平均增长率，该目标能否实现？请通过计算说明理由．【解析】（1）设每年平均增长的百分率为x ． 60002)1(x +=8640，2)1(x +=1.44，∵1+x ＞0， ∴1+x =1.2， x =20%．答：每年平均增长的百分率为20%；（2）2012年该县教育经费为8640×（1+20%）=10368（万元）＞9500万元． 故能实现目标．2、如图，要建造一个四边形花圃ABCD ，要求AD 边靠墙，CD ⊥AD ，AD ∥BC ，AB ∶CD ＝5∶4，且三边的总长为20 m ．设AB 的长为5x m . (1)请求AD 的长；(用含字母x 的式子表示)(2)若该花圃的面积为50 m 2，且周长不大于30 m ，求AB 的长．【解析】(1)作BH ⊥AD 于点H ，则AH ＝3x ，由BC ＝DH ＝20－9x 得AD ＝20－6x (2)由2(20－9x )＋3x ＋9x ≤30得x ≥53，由12[(20－9x )＋(20－6x )]×4x ＝50得3x 2－8x ＋5＝0，∴x 1＝53，x 2＝1(舍去)，∴5x ＝253.答：AB 的长为253米 【方法总结】一、一元二次方程判别式求解1、已知x 、y 为实数，且满足x y m ++=5，xy ym mx ++=3，求实数m 最大值与最小值。

专题16 动点最值之瓜豆模型模型一、运动轨迹为直线问题1：如图，P 是直线BC 上一动点，连接AP ，取AP 中点Q ，当点P 在BC 上运动时，Q 点轨迹是？解析：当P 点轨迹是直线时，Q 点轨迹也是一条直线．理由：分别过A 、Q 向BC 作垂线，垂足分别为M 、N ，在运动过程中，因为AP=2AQ ，所以QN 始终为AM 的一半，即Q 点到BC 的距离是定值，故Q 点轨迹是一条直线． 问题2：如图，点C 为定点，点P 、Q 为动点，CP=CQ ，且∠PCQ 为定值，当点P 在直线AB 上运动，Q 的运动轨迹是？解析：当CP 与CQ 夹角固定，且AP =AQ 时，P 、Q 轨迹是同一种图形，且PP 1=QQ 1 理由：易知△CPP 1≌△CPP 1，则∠CPP 1=CQQ 1，故可知Q 点轨迹为一条直线. 模型总结：条件：主动点、从动点与定点连线的夹角是定量； 主动点、从动点到定点的距离之比是定量．结论：① 主动点、从动点的运动轨迹是同样的图形； ② 主动点路径做在直线与从动点路径所在直线的夹角等于定角③当主动点、从动点到定点的距离相等时，从动点的运动路径长等于主动点的运动路径长；例1.如图，在平面直角坐标系中，A（－3，0），点B是y轴正半轴上一动点，点C、D在x正半轴上，以AB为边在AB的下方作等边△ABP，点B在y轴上运动时，求OP的最小值．【答案】【解析】求OP最小值需先作出P点轨迹，根据△ABP是等边三角形且B点在直线上运动，故可知P点轨迹也是直线．取两特殊时刻：（1）当点B与点O重合时，作出P点位置P1；（2）当点B在x轴上方且AB与x轴夹角为60°时，作出P点位置P2．连接P1P2，即为P点轨迹．根据∠ABP＝60°，可知：与y轴夹角为60°，作OP⊥，所得OP长度即为最小值，OP2＝OA＝3，所以．例2.如图，已知点A是第一象限内横坐标为的一个定点，AC⊥x轴于点M，交直线y＝－x于点N，若点P是线段ON上的一个动点，∠APB＝30°，BA⊥PA，则点P在线段ON上运动时，A点不变，B点随之运动．求当点P从点O运动到点N时，点B运动的路径长是________．【分析】∵∠PAB＝90°，∠APB＝30°，∴可得：AP:AB＝，故B点轨迹也是线段，且P点轨迹路径长与B，P点轨迹长ON，故B【变式训练1】如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上一点，且BE＝1，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边△EFG，连接CG，求CG的最小值是多少？【解析】同样是作等边三角形，区别于上一题求动点路径长，本题是求CG最小值，可以将F点看成是由点B向点A运动，由此作出G点轨迹：考虑到F点轨迹是线段，故G点轨迹也是线段，取起点和终点即可确定线段位置，初始时刻G点在位置，最终G点在位置（不一定在CD边），即为G点运动轨迹．CG最小值即当CG⊥的时候取到，作CH⊥于点H，CH即为所求的最小值．根据模型可知：与AB夹角为60°，故⊥．过点E作EF⊥CH于点F，则HF＝＝1CG的最小值为【变式训练2】如图，△ABC是边长为6的等边三角形，点E在AB上，点D为BC的中点，△EDM为等边三角形．若点E从点B运动到点A，则M点所经历的路径长为6．【解答】解：当点E在B时，M在AB的中点N处，当点E与A重合时，M的位置如图所示，所以点E从点B运动到点A，则M点所经历的路径为MN的长，△△ABC是等边三角形，D是BC的中点，△AD△BC，△BAD＝30°，△AB＝6，△AD＝＝3，△△EDM是等边三角形，△AM＝AD＝3，△DAM＝60°，△△NAM＝30°+60°＝90°，△AN＝AB＝3，在Rt△NAM中，由勾股定理得：MN＝＝＝6，则M点所经历的路径长为6，故答案为：6．【变式训练3】如图，在矩形ABCD中，AB＝4，△DCA＝30°，点F是对角线AC上的一个动点，连接DF，以DF为斜边作△DFE＝30°的直角三角形DEF，使点E和点A位于DF 两侧，点F从点A到点C的运动过程中，点E的运动路径长是．【解答】解：E的运动路径是线段EE'的长；△AB＝4，△DCA＝30°，△BC＝，当F与A点重合时，在Rt△ADE'中，AD＝，△DAE'＝30°，△ADE'＝60°，△DE'＝，△CDE'＝30°，当F与C重合时，△EDC＝60°，△△EDE'＝90°，△DEE'＝30°，在Rt△DEE'中，EE'＝；故答案为．【变式训练4】如图，已知线段AB ＝12，点C 在线段AB 上，且△ACD 是边长为4的等边三角形，以CD 为边的右侧作矩形CDEF ，连接DF ，点M 是DF 的中点，连接MB ，则线段MB 的最小值为 .【答案】6【解析】如图所示，∵∠FCB ＝30º，∴F 的路径是定射线DF ，又∵点M 是DF的中点，∴∵D 点为定点，F 点为主动点，M 点为从动点，由瓜豆原理内容可知M 点的路径亦是一条射线，取CD 的中点N ，连接NM 并延长，则射线NM 就是M 点的路径，且NM ∥CF ， 作BG ⊥NM 于点G ，交CF 于点H ，则BG ⊥CF ，故BG ＝BH ＋HG ＝BH ＋CN ＝4＋2＝6， ∴线段BM 的最小值即为BG ，最小值为6. 模型二、运动轨迹为圆问题1.如图，P 是圆O 上一个动点，A 为定点，连接AP ，Q 为AP 中点．当点P 在圆O 上运动时，Q 点轨迹是？解析：Q 点轨迹是一个圆QPOM理由：Q 点始终为AP 中点，连接AO ，取AO 中点M ，则M 点即为Q 点轨迹圆圆心，半径MQ 是OP 一半，任意时刻，均有△AMQ △△AOP ，1=2QM AQ PO AP ． 问题2.如图，△APQ 是直角三角形，∠PAQ=90°且AP=2AQ ，当P 在圆O 运动时，Q 点轨迹是？解析：Q 点轨迹是一个圆理由：∵AP △AQ ，∴Q 点轨迹圆圆心M 满足AM △AO ；又∵AP ：AQ =2：1，∴Q 点轨迹圆圆心M 满足AO ：AM =2：1．即可确定圆M 位置，任意时刻均有△APO △△AQM ，且相似比为2． 模型总结： 条件：两个定量主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（∠PAQ 是定值）； 主动点、从动点到定点的距离之比是定量（AP:AQ 是定值）．结论：（1）主、从动点与定点连线的夹角等于两圆心与定点连线的夹角：∠PAQ=∠OAM ； （2）主、从动点与定点的距离之比等于两圆心到定点的距离之比：AP:AQ=AO:AM ，也等于两圆半径之比．例1.如图，点P （3，4），圆P 半径为2，A （2.8，0），B （5.6，0），点M 是圆P 上的动点，点C 是MB 的中点，则AC 的最小值是_______．OPQM A【答案】1.5【解析】由题意可知M 点为主动点，C 点为从动点，B 点为定点．∵C 是BM 中点，可知C 点轨迹为取BP 中点F ，以F 为圆心，FC 为半径作圆，即为点C 轨迹，如图所示：由题中数据可知OP ＝5，又∵点A 、F 分别是OB 、BP 的中点，∴AF 是△BPO 的中位线，∴AF ＝2.5，当M 运动到如图位置时，AC 的值最小，此时A 、C 、O 三点共线，∴AC ＝2.5－1＝1.5. 例2.如图，A 是⊙B 上任意一点，点C 在⊙B 外，已知AB ＝2，BC ＝4，⊙ACD 是等边三角形，则BCD △的面积的最大值为（ ）A ．4 B ．4 C ．8 D ．6【答案】A【详解】解：如图，以BC 为边向上作等边三角形BCM ，连接DM ，⊙60DCA MCB ∠=∠=︒，⊙DCA ACM MCB ACM ∠-∠=∠-∠，即DCM ACB =∠∠ 在DCM △和ACB △中，DC AC DCM ACB MC BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，⊙()DCM ACB SAS ≅，⊙2DM AB ==，⊙点D 的运动轨迹是以点M 为圆心，DM 长为半径的圆， 要使BCD △面积最大，则求出点D 到线段BC 的最大距离， ⊙BCM 是边长为4的等边三角形，⊙点M 到BC的距离是⊙点D 到BC的最大距离是2，⊙BCD △的面积最大值是()14242⨯⨯=．故选：A ．例3.如图，正方形ABCD中，AB O 是BC 边的中点，点E 是正方形内一动点，OE =2，连接DE ，将线段DE 绕点D 逆时针旋转90°得DF ，连接AE 、CF ．求线段OF 长的最小值．【解析】E 是主动点，F 是从动点，D 是定点，E 点满足EO =2， 故E 点轨迹是以O 为圆心，2为半径的圆．考虑DE △DF 且DE =DF ，故作DM △DO 且DM =DO ，F 点轨迹是以点M 为圆心，2为半径的圆．直接连接OM ，与圆M 交点即为F 点，此时OF 最小．可构造三垂直全等求线段长，再利用勾股定理求得OM ，减去MF 即可得到OF的最小值．答案为【变式训练1】如图，在等腰Rt △ABC 中，AC ＝BC＝P 在以斜边AB 为直径的半圆上，M 为PC 的中点，当半圆从点A 运动至点B 时，点M 运动的路径长为________．OABCDE F【答案】π【解析】当点P 位于弧AB 的中点时，M 为AB 的中点，，设分别为AC 、BC 的中点，连接交CP 于点O ，如图所示：∵，当点P 沿半圆从点A 运动至点B 时 ，点M 的运动路径是以O 为圆心，1为半径的半圆，如图蓝色半圆，∴点M 的运动路径长为π.【变式训练2】如图，AB 为O 的直径，C 为O 上一点，其中6AB =，120AOC ∠=︒，P 为O 上的动点，连AP ，取AP 中点Q ，连CQ ，则线段CQ 的最大值为（ ）A ．B ．32+C ．2+D ．32【答案】D【详解】如图，连接OQ ，作CH⊙AB 于H ．⊙AQ ＝QP ，⊙OQ⊙PA ，⊙⊙AQO ＝90°，⊙点Q 的运动轨迹为以AO 为直径的⊙K ，连接CK ，当点Q 在CK 的延长线上时，CQ 的值最大,⊙120AOC ∠=︒⊙⊙COH ＝60°在Rt⊙OCH 中，⊙⊙COH ＝60°，OC=12AB=3，⊙OH ＝12OC ＝32，CH在Rt⊙CKH 中，CK =⊙CQ 的最大值为32，故选：D ． 【变式训练3】如图， ABC 中， ,6,AB AC BC AD BC ==⊥ 于点 ,4,D AD P = 是半径为2的A 上一动点， 连结 PC ， 若E 是PC 的中点， 连结DE ， 则DE 长的最大值为（ ）A ．3B ．3.5C ．4D ．4.5【答案】B【详解】解：如图，可知P 在BA 延长线与A 的交点时此时DE 长的最大，证明如下：连接BP ,⊙,6,AB AC BC AD BC ==⊥,⊙BD =DC , ⊙E 是PC 的中点， ⊙DE //BP , 12DE BP =, 所以当BP 的长最大时，DE 长的最大， 由题意可知P 在BA 延长线与A 的交点时BP 的长最大此时DE 长的最大，⊙BC =6,AD =4,⊙BD =DC =3,BA =5, ⊙A 的半径为2，即AP =2,⊙BP =5+2=7, ⊙13.52DE BP ==. 故选：B. 课后训练1.如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90º，∠A ＝30º，BC ＝2，D 是AB 上一动点，以DC 为斜边向右侧作等腰Rt △DCE ，使∠CED ＝90º，连接BE ，则线段BE 的最小值为 .【解答】【解析】由题意可知C 为定点，D 点为主动点，路径为线段AB ，点E 为从动点，∵△DCE 是等腰直角三角形，∴∠DCE ＝45º，，结合瓜豆原理内容可知从动点E 的路径为一条线段，可以看成是由线段AB 先绕着定点C 逆时针旋转45º，再以定点C 为位似比缩小来的，如图，将BE 的最小距离转化为点到线的最小距离（点B 到的最短距离），，，中，有，则，∴线段BE 的最小值为.3.如图，6AB =，点O 在线段AB 上，2AO =，O 的半径为1，点P 是O 上一动点，以BP 为一边作等边BPQ ，则AQ 的最小值为_____．【答案】1【详解】解：如图，在AB 上方以OB 为一边作等边OBC ，连接,,OP CQ AC ，OBC 和BPQ 都是等边三角形，,,60OB CB BP BQ OBC PBQ ∴==∠=∠=︒，OBC PBC PBQ PBC ∴∠-∠=∠-∠，即OBP CBQ ∠=∠，在OBP 和CBQ △中，OB CB OBP CBQ BP BQ =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()OBP CBQ SAS ∴≅，1CQ OP ∴==，∴点Q 在以点C 为圆心，CQ 长为半径的圆上，如图，设AC 与C 交于点D ，过点C 作CM AB ⊥于点M ，则1CD =，则当点Q 与点D 重合时，AQ 取得最小值，最小值为AD ， 2,6AO AB ==，4OB AB AO ∴=-=，OBC 是等边三角形，CM AB ⊥，14,22OC OB OM OB ∴====，4CM AM AO OM ∴=+=， 在Rt ACM △中，AC1AD AC CD =-=，即AQ的最小值为1，故答案为：1．4.点A 是双曲线在第一象限上的一个动点，连接AO 并延长交另一交令一分支点B ，以AB 为斜边作等腰Rt △ABC ，点C 在第二象限，随着点A 的运动，点C 的位置也在不断变化，但始终在某函数图像上运动，则这个函数的解析式为 .【答案】 【解析】连接OC ，作CD ⊥轴于点D ，AE ⊥轴于点E ，如图所示：设点A 的坐标为，∵A 、B 两点是正比例函数图像与反比例函数图像的交点，∴点A 与点B 关于原点对称，∴OA ＝OB ，∵△ABC 为等腰直角三角形，∴OC ＝OA ，OC ⊥OA ，∴∠DOC ＋∠AOE ＝90º，∵∠DOC ＋∠DCO ＝90º，∴∠DCO ＝∠AOE ，在△COD 与△OAE 中，，∴△COD ≌△OAE （AAS ），，∴点C 在反比例函数的图像上.7．如图，AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，其中AB ＝2，⊙AOC ＝120°，P 为⊙O 上的动点，连AP ，取AP 中点Q ，连CQ ，则线段CQ 的最大值为____________．【详解】解：如图，连接OQ ，作CH⊙AB 于H ．⊙AQ=QP ，⊙OQ⊙PA ，⊙⊙AQO=90°⊙点Q 的运动轨迹为以AO 为直径的⊙K ，连接CK当点Q 在CK 的延长线上时，CQ 的值最大，在Rt OCH 中，⊙⊙COH=60°，OC=1，⊙OH=1122OC =，CH =在Rt CKH 中，CK =，⊙CQ ． 8.如图，已知点M （0，4），N （4，0），开始时，△ABC 的三个顶点A 、B 、C 分别与点M 、N 、O 重合，点A在y轴上从点M开始向点O滑动，到达点O结束运动，同时点B沿着x轴向右滑动，则在此运动过程中，点C的运动路径长4．【解答】解：过点C'作C'D△x轴，C'E△y轴△点M（0，4），N（4，0），△OM＝ON，△△CA'C'+45°＝△EAB+△MGB＝45°+△MGB，△△EA'C'＝△B'GB，△△B'GB+△GB'B＝45°，△GB'B+△DB'C'＝45°，△△EA'C'＝△DB'C'，又△A'C'＝B'C'，△Rt△A'C'E△Rt△B'C'D（HL），△EC'＝DC'，△C'在第四象限的角平分线上，△C的运动轨迹是线段AC，△C的运动路径长为4；故答案为4；9.如图，已知在扇形AOB中，OA＝3，∠AOB＝120º，C是在上的动点，以BC为边作正方形BCDE，当点C从点A移动至点B时，求点D运动的路径长？【解析】将圆O补充完整，延长BO交圆O于点F，取的中点H，连接FH、HB、BD，如图所示：由题意可得△FHB是等腰直角三角形，HF＝HB，∠FHB＝90º，∵∠FDB＝45º∠FHB，∴点D在圆H上运动，轨迹如图中蓝色虚线，∴∠HFG＝∠HCF＝15º，∴∠FHG＝150º，∴∠CHB＝120º，∴∴点D。

专题09 最值模型---将军饮马最值问题在中考数学常以压轴题的形式考查，将军饮马问题是由轴对称衍生而来，同时还需掌握平移型将军饮马，主要考查转化与化归等的数学思想。

在各类考试中都以中高档题为主，中考说明中曾多处涉及。

本专题就最值模型中的将军饮马问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

在解决几何最值问题主要依据是：①两点之间，线段最短；②垂线段最短，涉及的基本方法还有：利用轴对称变换化归到“三角形两边之和大于第三边”、“三角形两边之差小于第三边”等。

模型1.求两条线段和的最小值（将军饮马模型）【模型解读】在一条直线m 上，求一点P ，使PA +PB 最小；（1）点A 、B 在直线m 两侧： （2）点A 、B 在直线同侧：【最值原理】两点之间线段最短。

上图中A’是A 关于直线m 的对称点。

例1．（2022·湖南娄底·中考真题）菱形ABCD 的边长为2，45ABC ∠=︒，点P 、Q 分别是BC 、BD 上的动点，CQ PQ +的最小值为______．【分析】过点C 作CE ⊥AB 于E ，交BD 于G ，根据轴对称确定最短路线问题以及垂线段最短可知CE 为FG +CG 的最小值，当P 与点F 重合，Q 与G 重合时，PQ +QC 最小，在直角三角形BEC 中，勾股定理即可求解．m A Bm m A Bm【详解】解：如图，过点C 作CE ⊥AB 于E ，交BD 于G ，根据轴对称确定最短路线问题以及垂线段最短可知CE 为FG +CG 的最小值，当P 与点F 重合，Q 与G 重合时，PQ +QC 最小，菱形ABCD 的边长为2，45ABC ∠=︒，Rt BEC ∴中，EC ==∴PQ +QC 【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，轴对称的性质，掌握轴对称的性质求线段和的最小值是解题的关键．例2．（2022·四川眉山·中考真题）如图，点P 为矩形ABCD 的对角线AC 上一动点，点E 为BC的中点，连接PE ，PB ，若4AB =，BC =PE PB +的最小值为________．【答案】6【分析】作点B 关于AC 的对称点B '，交AC 于点F ，连接B E '交AC 于点P ，则PE PB +的最小值为B E '的长度；然后求出B B '和BE 的长度，再利用勾股定理即可求出答案．【详解】解：如图，作点B 关于AC 的对称点B '，交AC 于点F ，连接B E '交AC 于点P ，则PE PB +的最小值为B E '的长度；⊥AC 是矩形的对角线，⊥AB =CD =4，⊥ABC =90°，在直角⊥ABC 中，4AB =，BC =⊥tanAB ACB BC ∠==，⊥30ACB ∠=︒，由对称的性质，得2B B BF '=，B B AC '⊥，⊥12BF BC ==⊥2B B BF '==⊥BE EF ==60CBF ∠=︒，⊥⊥BEF 是等边三角形，⊥BE BF B F '==，⊥BEB '∆是直角三角形，⊥6B E '，⊥PE PB +的最小值为6；故答案为：6．【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，特殊角的三角函数值，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的找到点P 使得PE PB +有最小值．例3．（2022·贵州铜仁·中考真题）如图，在边长为2的正方形ABCD 中，点E 为AD 的中点，将△CDE 沿CE 翻折得△CME ，点M 落在四边形ABCE 内．点N 为线段CE 上的动点，过点N 作NP //EM 交MC 于点P ，则MN +NP 的最小值为________．【答案】85【分析】过点M 作MF ⊥CD 于F ，推出MN +NP 的最小值为MF 的长，证明四边形DEMG 为菱形，利用相似三角形的判定和性质求解即可．【详解】解：作点P 关于CE 的对称点P ′，由折叠的性质知CE 是⊥DCM 的平分线，⊥点P ′在CD 上，过点M 作MF ⊥CD 于F ，交CE 于点G ，⊥MN +NP =MN +NP ′≤MF ，⊥MN +NP 的最小值为MF 的长，连接DG ，DM ，由折叠的性质知CE 为线段 DM 的垂直平分线，⊥AD =CD =2，DE =1，⊥CE⊥12CE ×DO =12CD ×DE ， ⊥DO ⊥EO ⊥MF ⊥CD ，⊥EDC =90°，⊥DE ⊥MF ，⊥⊥EDO =⊥GMO ，⊥CE 为线段DM 的垂直平分线，⊥DO =OM ，⊥DOE =⊥MOG =90°，⊥⊥DOE ⊥⊥MOG ，⊥DE =GM ，⊥四边形DEMG 为平行四边形，⊥⊥MOG =90°，⊥四边形DEMG 为菱形，⊥EG =2OE GM = DE =1，⊥CG ， ⊥DE ⊥MF ，即DE ⊥GF ，⊥⊥CFG ⊥⊥CDE ，⊥FG CG DE CE =，即1FG = ⊥FG =35，⊥MF =1+35=85， ⊥MN +NP 的最小值为85．故答案为：85． 【点睛】此题主要考查轴对称在解决线段和最小的问题，熟悉对称点的运用和画法，知道何时线段和最小，会运用勾股定理和相似三角形的判定和性质求线段长度是解题的关键． 例4．（2022·江苏南京·模拟预测）【模型介绍】古希腊有一个著名的“将军饮马问题”，大致内容如下：古希腊一位将军，每天都要巡查河岸同侧的两个军营,A B ．他总是先去A 营，再到河边饮马，之后，再巡查B 营．如图①，他时常想，怎么走才能使每天走的路程之和最短呢？大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题．如图②，作点B 关于直线l 的对称点B '，连结AB '与直线l 交于点P ，连接PB ，则AP BP +的和最小．请你在下列的阅读、理解、应用的过程中，完成解答．理由：如图③，在直线l 上另取任一点P '，连结'AP ，BP '，B P ''，⊥直线l 是点B ，B '的对称轴，点P ，P '在l 上，（1）⊥PB =__________，P B '=_________，⊥AP PB AP PB '+=+=____________．在AP B ''∆中，⊥AB AP P B ''''<+，⊥AP PB AP P B '''+<+，即AP BP +最小．【归纳总结】在解决上述问题的过程中，我们利用轴对称变换，把点,A B 在直线同侧的问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”，即转化为“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决（其中点P 为AB '与l 的交点，即A ，P ，B '三点共线）．由此，可拓展为“求定直线上一动点与直线同侧两定点的距离和的最小值”问题的数学模型．【模型应用】（2）如图④，正方形ABCD 的边长为4，E 为AB 的中点，F 是AC 上一动点．求EF FB +的最小值．解析：解决这个问题，可借助上面的模型，由正方形对称性可知，点B 与D 关于直线AC 对称，连结DE 交AC 于点F ，则EF FB +的最小值就是线段ED 的长度，则EF FB +的最小值是__________．（3）如图⑤，圆柱形玻璃杯，高为14cm ，底面周长为16cm ，在杯内离杯底3cm 的点C 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在外壁，离杯上沿4cm 与蜂蜜相对的点A 处，则蚂蚁到达蜂的最短路程为_____cm ．（4）如图⑥，在边长为2的菱形ABCD 中，60ABC ∠=︒，将ABD ∆沿射线BD 的方向平移，得到A B D '''∆，分别连接A C '，A D '，B C '，则A C B C ''+的最小值为____________．（4）⊥在边长为2的菱形ABCD 中，60ABC ∠=︒，将ABD ∆沿射线BD 的方向平移，得到模型2.平移型将军饮马（将军过桥模型）【模型解读】已知，如图1将军在图中点A 处，现要过河去往B 点的军营，桥必须垂直于河岸建造，问：桥建在何处能使路程最短？考虑MN 长度恒定，只要求AM +NB 最小值即可．问题在于AM 、NB 彼此分离，所以首先通过平移，使AM 与NB 连在一起，将AM 向下平移使得M 、N 重合，此时A 点落在A ’位置（图2 ）．问题化为求A ’N +NB 最小值，显然，当共线时，值最小，并得出桥应建的位置（图3）．图1 图2 图3【最值原理】两点之间线段最短。

专题11 最值模型-阿氏圆问题最值问题在中考数学常以压轴题的形式考查，“阿氏圆”又称“阿波罗尼斯圆”，主要考查转化与化归等的数学思想。

在各类考试中都以高档题为主，中考说明中曾多处涉及。

本专题就最值模型中的阿氏圆问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

【模型背景】已知平面上两点A、B，则所有满足PA=k·PB（k≠1）的点P的轨迹是一个圆，这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”。

【模型解读】如图 1 所示，⊙O的半径为r，点A、B都在⊙O外，P为⊙O上一动点，已知r=k·OB，连接PA、PB，则当“PA+k·PB”的值最小时，P点的位置如何确定？如图2，在线段OB上截取OC使OC=k·r，则可说明△BPO与△PCO相似，即k·PB=PC。

故本题求“PA+k·PB”的最小值可以转化为“PA+PC”的最小值，其中与A与C为定点，P为动点，故当A、P、C三点共线时，“PA+PC”值最小。

如图3所示：注意区分胡不归模型和阿氏圆模型：在前面的“胡不归”问题中，我们见识了“k·P A+PB”最值问题，其中P点轨迹是直线，而当P点轨迹变为圆时，即通常我们所说的“阿氏圆”问题．【最值原理】两点之间线段最短及垂线段最短解题。

例1．（2022·安徽·九年级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝7，AC＝9，以C 为圆心、3为半径作⊙C ，P 为⊙C 上一动点，连接AP 、BP ，则13AP ＋BP 的最小值为（ ）A ．7B ．C．4D．例2．（2020·广西中考真题）如图，在Rt 中，AB ＝AC ＝4，点E ，F 分别是AB ，AC 的中点，点P 是扇形AEF 的上任意一点，连接BP ，CP ，则BP +CP 的最小值是_____．ABC V »EF12．【分析】在AB 上取一点T ，使得AT ＝1，连接PT ，P A ，CT ．证明，推出＝＝，推出PT ＝PB ，推出PB +CP ＝CP +PT ，根据PC +PT ≥TC ，求出CT即可解决问题．【详解】解：在AB 上取一点T ，使得AT ＝1，连接PT ，P A，CT ．∵P A ＝2．AT ＝1，AB ＝4，∴P A 2＝AT •AB ，∴＝， ∵∠P AT＝∠P AB ，∴，∴＝＝，∴PT ＝PB ，∴PB +CP＝CP +PT ，∵PC +PT ≥TC ，在Rt 中，∵∠CAT ＝90°，AT ＝1，AC ＝4， ∴CT PB +PC ，∴PB +PC ．故答．【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，三角形相似的判定与性质，勾股定理的应用，三角形的三边关系，圆的基本性质，掌握以上知识是解题的关键．例3．（2022·四川成都·模拟预测）如图，已知正方ABCD 的边长为6，圆B 的半径为3，点P 是圆B 上的一个动点，则12PD PC −的最大值为_______．PAT BAP V V ∽PT PB AP AB 1212124=PA ATABPA PAT BAP V V ∽PT PB AP AB 121212ACT V 1212例4．（2022·浙江·舟山九年级期末）如图，矩形ABCD 中，4,2AB AD ==，以B 为圆心，以BC 为半径画圆交边AB 于点E ，点P 是弧CE 上的一个动点，连结,PD PA ，则12AP DP +的最小值为（ ）A BC D【点睛】本题考查矩形和圆的基本性质，相似三角形的性质和判定，解题的关键是构造相例5．（2022·广东·广州市第二中学九年级阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，A (2，0)，B (0，2)，C (4，0)，D (5，3)，点P 是第一象限内一动点，且135APB ∠=︒，则4PD +2PC 的最小值为_______．例6．（2021·浙江金华·一模）问题提出：如图1，在等边△ABC中，AB＝9，⊙C半径为3，P为圆上一动点，连结AP，BP，求AP+13BP的最小值(1)尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路，通过构造一对相似三角形，将13BP转化为某一条线段长，具体方法如下：(请把下面的过程填写完整)如图2，连结CP，在CB上取点D，使CD＝1，则有13== CD CP CP CB又∵∠PCD＝∠△∽△∴13=PDBP∴PD＝13BP∴AP+13BP＝AP+PD∴当A，P，D三点共线时，AP+PD取到最小值请你完成余下的思考，并直接写出答案：AP+13BP的最小值为．(2)自主探索：如图3，矩形ABCD中，BC＝6，AB＝8，P为矩形内部一点，且PB＝4，则1AP+PC的最小值为．(请在图3中添加相应的辅助线)2(3)拓展延伸：如图4，在扇形COD中，O为圆心，∠COD＝120°，OC＝4．OA＝2，OB＝3，点P是»CD上一点，求2P A+PB的最小值，画出示意图并写出求解过程．例7．（2022·广东·二模）（1）初步研究：如图1，在△P AB中，已知P A=2，AB=4，Q为AB 上一点且AQ=1，证明：PB=2PQ；（2）结论运用：如图2，已知正方形ABCD的边长为4，⊙A的半径为2，点P是⊙A上的一个动点，求2PC+PB的最小值；（3）拓展推广：如图3，已知菱形ABCD的边长为4，∠A=60°，⊙A的半径为2，点P是⊙A上的一个动点，求2PC−PB的最大值．（3）如图，在AB 上取一点，使得AQ =1，连接AP ，PQ ，P ′，过点C 作CH 垂直AB 的延长线于点H ．易得AP =2，AB 由（1）得PB =2PQ ，∴2=2PC −2PQ =2(PC −PQ ) ，∵PC −PQ ≤QC ，∴当点P 交⊙A 的点P ′时，PC −PQ 的值最大．例8．（2022·江苏·苏州九年级阶段练习）阅读以下材料，并按要求完成相应的任务.已知平面上两点AB 、，则所有符合0(PAk k PB=>且1)k ≠的点P 会组成一个圆.这个结论最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，称阿氏圆. 阿氏圆基本解法：构造三角形相似.【问题】如图1，在平面直角坐标中，在x 轴，y 轴上分别有点()(),0,0,C m D n ，点P 是平面内一动点，且OP r =，设OPk OD=，求PC kPD +的最小值.阿氏圆的关键解题步骤：第一步：如图1，在OD 上取点M ，使得::OM OP OP OD k ==；第二步：证明kPD PM =；第三步：连接CM ，此时CM 即为所求的最小值. 下面是该题的解答过程(部分)：解：在OD 上取点M ，使得::OM OP OP OD k ==， 又,POD MOP POMDOP ∠=∠∴.任务：()1将以上解答过程补充完整.()2如图2，在Rt ABC V 中，90,4,3,ACB AC BC D ∠=︒==为ABC V 内一动点，满足2CD =，利用()1中的结论，请直接写出23AD BD +的最小值.课后专项训练1．（2022·福建南平九年级期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝7，AC＝9，以C为圆心、3为半径作⊙C，P为⊙C上一动点，连接AP、BP，则13AP+BP的最小值为（）B．C．D．A．【点睛】本题考查相似三角形，解直角三角形；懂得依题意作辅助线构造相似三角形是解题的关键．2．（2022·江苏·无锡市九年级期中）如图，⊙O与y轴、x轴的正半轴分别相交于点M、点N，⊙O半径为3，点A（0，1），点B（2，0），点P在弧MN上移动，连接P A，PB，则3P A+PB的最小值为___．3．（2022·陕西·三模）如图，在四边形ABCD中，AB=，，设•=∠=∠=︒260AC BAC ACD=，则k的最小值为___________．AD k BD1##1−在Rt ACJ V 中，260AC CAJ =∠=︒，，∴∴AB CD ∥，∵BM CD CJ AB ⊥⊥，，∴四边形BJCM4．（2022·湖北武汉·模拟预测）【新知探究】新定义：平面内两定点A, B ，所有满足PA PB=k ( k 为定值)的P 点形成的图形是圆，我们把这种圆称之为“阿氏圆”，【问题解决】如图，在△ABC 中，CB = 4 ，AB= 2AC ，则△ABC 面积的最大值为_____．5．（2022·浙江·九年级期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，D、E 分别是边BC、AC上的两个动点，且DE＝4，P是DE的中点，连接P A，PB，则P A+PB 的最小值为．【解答】解：如图，在CB上取一点F，使得CF＝，连接PF，AF．∵∠DCE＝90°，DE＝4，DP＝PE，∴PC＝DE＝2，∵＝，＝，∴＝，∵∠PCF＝∠BCP，∴△PCF∽△BCP，∴＝＝，∴PF＝PB，∴P A+PB＝P A+PF，∵P A+PF≥AF，AF＝＝＝，∴P A+PB≥，∴P A+PB的最小值为，故答案为．6．（2022·江苏·苏州九年级阶段练习）如图，正方形ABCD的边长为4，点E为边AD上一个动点，点F在边CD上，且线段EF＝4，点G为线段EF的中点，连接BG、CG，则BG +12CG 的最小值为 _____．7．（2022·山西·九年级专题练习）如图，在ABC V 中，90,2B AB CB ∠=︒==，以点B 为圆心作圆B 与AC 相切，点P 为圆B 上任一动点，则PA PC 的最小值是___________．8．（2022·湖北·九年级专题练习）如图，已知正方形ABCD的边长为4，⊙B的半径为2，PC的最大值为_____．点P是⊙B上的一个动点，则PD﹣129．（2022·北京·九年级专题练习）如图，边长为4的正方形，内切圆记为⊙O，P是⊙O上A＋PB的最小值为________．OP＝r＝12BC＝2，OB＝∵222OPOI==，OBOP=∴22PI OIPB OP==，∴PI10．（2022·山东·九年级专题练习）如图，在Rt ABC V 中，90ACB ∠=︒，4CB =，6CA =，圆C 半径为2，P 为圆上一动点，连接,2,1A A P P P P B B +最小值__________．13BP AP +最小值__________．11．（2022·重庆·九年级专题练习）（1）如图1，已知正方形ABCD的边长为9，圆B的半径为6，点P是圆B上的一个动点，那么PD＋23PC的最小值为__，PD﹣23PC的最大值为__．（2）如图2，已知菱形ABCD的边长为4，∠B＝60°，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，那么PD＋12PC的最小值为__，PD﹣12PC的最大值为__．如图3中，在BC 上取一点6342PB BG ==Q，BC PB PBG CBP ∴V :V ，∴221PB BG ==Q，422BC PB ==，PBG CBP ∴V :V ，PG BG PC PB ∴=PD PG DG +≥Q （当且仅当G 12．（2022·江苏淮安·九年级期中）问题提出：如图1，在等边△ABC 中，AB =12，⊙C 半径为6，P 为圆上一动点，连结AP ，BP ，求AP +12BP 的最小值．（1）尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图2，连接CP ，在CB 上取点D ，使CD =3，则有CD CP =CP CB=12，又∵∠PCD =∠BCP ，∴△PCD ∽△BCP ，∴PD BP =12，∴PD =12BP ，∴AP +12BP =AP +PD ．请你完成余下的思考，并直接写出答案：AP +12BP的最小值为．（2）自主探索：如图1，矩形ABCD中，BC=7，AB=9，P为矩形内部一点，且PB=3，1 3AP+PC的最小值为．（3）拓展延伸：如图2，扇形COD中，O为圆心，∠COD=120°，OC=4，OA=2，OB=3，点P是»CD上一点，求2PA+PB的最小值，画出示意图并写出求解过程．13．（2022·湖北·九年级专题练习）（1）如图1，已知正方形ABCD 的边长为4，圆B 的半径为2，点P 是圆B 上的一个动点，求12PD PC +4PC +的最小值，12PD PC −的最大值．（2）如图2，已知正方形ABCD 的边长为9，圆B 的半径为6，点P 是圆B 上的一个动点，求23PD PC +的最小值，23PD PC −的最大值，PC 的最小值．（3）如图3，已知菱形ABCD 的边长为4，=60B ∠︒，圆B 的半径为2，点P 是圆B 上的一个动点，求12PD PC +的最小值和12PD PC −的最大值．PC 的最小值PB BC2414．（2022·山东聊城·二模）如图，抛物线2y x bx c =−++经过点()4,4A −−，()0,4B ，直线AC 的解析式为162y x =−−，且与y 轴相交于点C ，若点E 是直线AB 上的一个动点，过点E 作EF x ⊥轴交AC 于点F ．（1）求抛物线2y x bx c =−++的解析式；（2）点H 是y 轴上一动点，连结EH ，HF ，当点E 运动到什么位置时，四边形EAFH 是矩形?求出此时点E ，H 的坐标；（3）在（2）的前提下，以点E 为圆心，EH 长为半径作圆，点M 为E e 上以动点，求12AM CM +的最小值．15．（2022·江苏泰州·一模）如图，已知Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，6AC =，9AB =，E 是AB 上的一点，5BE =，点D 是线段BC 上的一个动点，沿AD 折叠ACD ∆，点C 与C '重合，连接BC '．(1)求证：AEC AC B ''∆∆∽；(2)若点F 是BC 上的一点，且BF =，①若BC F '∆与BC E '∆2）中作出折叠后的AC D '∆（保留作图痕迹，不写作法）；②求32BC FC ''+的最小值．②如图，由（1）知：△AEC′∽△AC′B，∴AE ACAC AB'='=6293=，∴EC′=23BC′，∵BC′+32FC′=32(23BC′+FC′)=32(EC′+FC′），当E、C′、F三点共线时，EC′+FC′最短，即EC′+∴BC′+32FC′的最小值为32EF，在Rt△ABC中，由勾股定理得：BC=22AB AC−过点E作EG⊥CB于G，∴∠C=∠EGB=90°，∴ACBC AB AC16．（2022·广东·九年级专题练习）如图1，已知正方形ABCD，AB＝4，以顶点B为直角顶点的等腰Rt△BEF绕点B旋转，BE＝BF AE，CF．(1)求证：△ABE ≌△CBF ．(2)如图2，连接DE ，当DE ＝BE 时，求S △BCF 的值．（S △BCF 表示△BCF 的面积）(3)如图3，当Rt △BEF 旋转到正方形ABCD 外部，且线段AE 与线段CF 存在交点G 时，若M 是CD 的中点，P 是线段DG+PG 的值最小时，求MP 的值． 【答案】(1)见解析(2)2或【分析】（1）由“SAS ”可证△ABE ≌△CBF ；（2）由“SSS ”可证△ADE ≌△ABE ，可得∠DAE ＝∠BAE ＝45°，可证AH ＝EH ，由勾股定理可求BE 的长，即可求解；（3）先确定点P 的位置，过点B 作BQ ⊥CF 于Q ，由勾股定理可求CE 的长，由平行线分线段成比例可求解．(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝BC ，∠ABC ＝90°， ∵∠EBF ＝90°＝∠ABC ，∴∠ABE ＝∠CBF ， 又∵BE ＝BF ，AB ＝BC ，在△ABE 和△CBF 中，AB CB ABE CBF BE BF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABE ≌△CBF （SAS ）； (2)解：如图2，过点E 作EH ⊥AB 于H ，∵△ABE ≌△CBF ，∴S △ABE ＝S △CBF ，∵AD ＝AB ，AE ＝AE ，DE ＝BE ，∴△ADE ≌△ABE （SSS ）， ∴∠DAE ＝∠BAE ＝45°，∵EH ⊥AB ，∴∠EAB ＝∠AEH ＝45°，∴AH ＝EH ，17．（2022·河北·九年级专题练习）如图1，在RT△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝4，CA＝6，圆C的半径为2，点P为圆上一动点，连接AP，BP，求：①12AP BP+，②2AP BP+，③13AP BP+，④3AP BP+的最小值．【点睛】本题考查圆的基本性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理．正确的作出辅助线，并且理解三点共线时线段最短是解答本题的关键．。

初中数学几何模型与最值问题专题8瓜豆原理中动点轨迹不确定型最值问题【专题说明】动点轨迹非圆或直线时，基本上将此线段转化为一个三角形中，（1）利用三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求最值。

（2）在转化较难进行时，可借助直角三角形斜边上的中线及中位线或构建全等图形进一步转化求最值。

【知识精讲】所谓“瓜豆原理”，就是主动点的轨迹与从动点的轨迹是相似性，根据主、从动点与定点连线形成的夹角以及主、从动点到定点的距离之比，可确定从动点的轨迹，而当主动点轨迹是其他图形时，从动点轨迹必然也是．【例题】如图，在反比例函数的图像上有一个动点A，连接AO并延长交图像的另一支于点B，在第一象限内有一点C，满足AC=BC，当点A运动时，点C始终在函数的图像上运动，若tan∠CAB=2，则k的值为（）A．2B．4C．6D．8【模型】一、借助直角三角形斜边上的中线1、如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=2，点A、C分别在x轴、y轴上，当点A在x轴上运动时，点C随之在y轴上运动，在运动过程中，点B到原点的最大距离是（）A．6B．C．D．【模型】二、借助三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边1、如图，已知等边三角形ABC边长为A、B分别在平面直角坐标系的x轴负半轴、轴的正半轴上滑动，点C在第四象限，连接OC，则线段OC长的最小值是（）A-1B．3C．3D．2、如图，∠MON=90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM、ON上，当B在边ON上运动时，A随之在OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=4，BC=2.运动过程中点D到点O的最大距离是______．3、如图，在ABC △中，90ACB ∠=︒，30CAB ∠=︒，6AB =，以线段AB 为边向外作等边ABD △，点E 是线段AB 的中点，连结CE 并延长交线段AD 于点F .(1)求证：四边形BCFD 为平行四边形；(2)求平行四边形BCFD 的面积；(3)如图，分别作射线CM ，CN ，如图中ABD △的两个顶点A ，B 分别在射线CN ，CM 上滑动，在这个变化的过程中，求出线段CD 的最大长度.4、如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=，将ABC ∆绕顶点C 逆时针旋转得到'',A B C M ∆是BC 的中点，N 是''A B 的中点，连接MN ，若4,60BC ABC =∠=︒，则线段MN 的最大值为（）A ．4B ．8C ．D ．6【模型】三、借助构建全等图形1、如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝5，点P是AC上的动点，连接B P，以B P为边作等边△B P Q，连接CQ，则点P在运动过程中，线段CQ长度的最小值是______．2、如图，边长为12的等边三角形ABC中，M是高CH所在直线上的一个动点，连结MB，将线段BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连结HN．则在点M运动过程中，线段HN长度的最小值是（）A．6B．3C．2D．1．5【模型】四、借助中位线1、如图，在等腰直角∆ABC中，斜边AB的长度为8，以AC为直径作圆，点P为半圆上的动点，连接B P，取B P的中点M，则CM的最小值为（）A．B．C-D．2、如图，抛物线2119y x =-与x 轴交于A B ，两点，D 是以点()0,4C 为圆心，1为半径的圆上的动点，E 是线段AD 的中点，连接,OE BD ，则线段OE 的最小值是（）A ．2B ．322C ．52D ．3专题8瓜豆原理中动点轨迹不确定型最值问题答案【专题说明】动点轨迹非圆或直线时，基本上将此线段转化为一个三角形中，（1）利用三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求最值。

求最值中的几何模型题型解读｜模型构建｜通关试练模型01 将军饮马模型将军饮马模型在考试中主要考查转化与化归等的数学思想，该题型综合考查学生的理解和数形结合能力具有一定的难度，也是学生感觉有难度的题型.在解决几何最值问题主要依据是：①将军饮马作对称点；②两点之间，线段最短；③垂线段最短，涉及的基本知识点还有：利用轴对称变换化归到“三角形两边之和大于第三边”、“三角形两边之差小于第三边”等；希望通过本专题的讲解让大家对这类问题有比较清晰的认识. 模型02 建桥选址模型建桥选址模型，即沿一个方向平移的定长线段两端到两个定点距离和最小，解题时需要理清楚是否含有定长平移线段，且利用平移求出最短路径位置．求解长度时若有特殊角，通常采用构造直角三角形利用勾股定理求解的方法.该题型主要考查了在最短路径问题中的应用，涉及到的主要知识点有矩形的性质、平行四边形的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理，解题的关键在于如何利用轴对称找到最短路径.模型03 胡不归模型胡不归PA+k·PB”型的最值问题：当k等于1时，即为“PA+PB”之和最短问题，可用我们常见的“将军饮马”问题模型来处理，即可以转化为轴对称问题来处理.当k不等于1时，若再以常规的轴对称思想来解决问题，则无法进行，因此必须转换思路.此类问题的处理通常以动点P所在图象的不同来分类，一般分为两类研究.即点P在直线上运动和点P在圆上运动.其中点P在直线上运动的类型通常为“胡不归”问题.模型01将军饮马模型考｜向｜预｜测将军饮马模型问题该题型主要以选择、填空形式出现，综合性大题中的其中一问，难度系数较大，在各类考试中都以中高档题为主.本题考查的是轴对称--最短路线问题、勾股定理、等边三角形的判定和性质、含30°角的直角三角形的性质、垂线段最短，解这类问题的关键是将所给问题抽象或转化为数学模型，把两条线段的和转化为一条线段，属于中考选择或填空题中的压轴题.答｜题｜技｜巧 第一步： 观察所求为横向还是纵向的线段长度（定长），将线段按照长度方向平移第二步： 同侧做对称点变异侧，异侧直接连线第三步： 结合两点之间，线段最短；垂线段最短；三角形两边之和大于第三边等常考知识点 第四步： 利用数学的转化思想，将复杂模型变成基本模型（1）点A 、B 在直线m 两侧两点连线，线段最短例1．（2023·四川）如图，等边三角形ABC 的边BC 上的高为6，AD 是BC 边上的中线，M 是线段AD 上的-一个动点，E 是AC 中点，则EM CM +的最小值为 ．【答案】6【详解】解：连接BE ，与AD 交于点M ．∵AB=AC ，AD 是BC 边上的中线，mA B P m AB∴B 、C 关于AD 对称，则EM+CM=EM+BM ，则BE 就是EM+CM 的最小值．∵E 是等边△ABC 的边AC 的中点，AD 是中线∴BE=AD=6，∴EM+CM 的最小值为6，故答案为：6．（2）点A 、B 在直线同侧例2.（2022·安徽）如图，在锐角△ABC 中，AB ＝6，∠ABC ＝60°，∠ABC 的平分线交AC 于点D ，点P ，Q 分别是BD ，AB 上的动点，则AP ＋PQ 的最小值为（ ）A ．6B ．C ．3D ．【答案】D 【详解】解：如图，在BC 上取E ，使BE ＝BQ ，连接PE ，过A 作AH ⊥BC 于H ，∵BD 是∠ABC 的平分线，∴∠ABD ＝∠CBD ，∵BP ＝BP ，BE ＝BQ ，∴△BPQ ≌△BPE （SAS ），m ABm∴PE ＝PQ ，∴AP ＋PQ 的最小即是AP ＋PE 最小，当AP ＋PE ＝AH 时最小，在Rt △ABH 中，AB ＝6，∠ABC ＝60°，∴AH ＝33，∴AP ＋PQ 的最小为33， 故选：D ．模型02 建桥选址模型考｜向｜预｜测建桥选址模型该题型也主要以选择、填空的形式出现，一般较为靠后，有一定难度，该题型主要考查轴对称－－－最短路径问题、勾股定理、三角形及平行四边形的判定与性质，要利用“两点之间线段最短”等，但许多实际问题没这么简单，需要我们将一些线段进行转化，即用与它相等的线段替代，从而转化成两点之间线段最短的问题．目前，往往利用对称性、平行四边形的相关知识进行转化．答｜题｜技｜巧 第一步： 观察点或图形的变化规律，根据图形的变化规律求出已知关键点的坐标；第二步： 分析变化规律得到一般的规律看是否具有周期性（如点变的循环规律或点运动的循环规律，点的横、纵坐标的变化规律等）第三步： 周期性的求最小周期看余数，不是周期性的可以罗列求解几组以便发现规律，根据最后的变化次数或者运动时间登，确定要求的点与哪个点重合或在同一象限，或与哪个关键点的横纵坐标相等；第四步： 利用有理数的运算解题（1）两个点都在直线外侧：辅助线：连接AB 交直线m 、n 于点P 、Q ，则PA +PQ +QB 的最小值为AB .例1．（2022·湖北）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠ABC ＝30°，AC ＝2，以BC 为边向左作等边△BCE ，点D 为AB 中点，连接CD ，点P 、Q 分别为CE 、CD 上的动点．求PD +PQ +QE 的最小值为 ．n QP n mAP'Q'【答案】4．【详解】如图，连接,PA QB ，BCE QV 和ADC 都是等边三角形，60BCE ∴∠=︒，60ACD ∠=︒，1302ACE ACB BCE ACD ∴∠=∠−∠=︒=∠，CE ∴垂直平分AD ，PA PD ∴=， 同理可得：CD 垂直平分BE ，QB QE ∴=，PD PQ QE PA PQ QB ∴++=++，由两点之间线段最短可知，当点,,,A P Q B 共线时，PA PQ QB ++取得最小值AB ，故PD PQ QE ++的最小值为4．（2）一个点在内侧，一个点在外侧：辅助线：过点B 作关于定直线n 的对称点B’，连接AB’交直线m 、n 于点P 、Q ，则PA +PQ +QB 的最小值为AB ’.例2．（2023·山东）如图，在ABC 中，6AB =，7BC =，4AC =，直线m 是ABC 中BC 边的垂直平分线，P 是直线m 上的一动点，则APC △的周长的最小值为_________．n mn【答案】10【详解】解：∵直线m 垂直平分BC ，∴B 、C 关于直线m 对称，设直线m 交AB 于D ，∴当P 和D 重合时，AP ＋CP 的值最小，最小值等于AB 的长，∴△APC 周长的最小值是6＋4＝10．故答案为：10．（3）如图3，两个点都在内侧：辅助线：过点A 、B 作关于定直线m 、n 的对称点A’ 、B’ ，连接A’B’ 交直线m 、n 于点P 、Q ，则PA +PQ +QA 的最小值为A ’B’.例3．（2023.浙江）如图所示，∠AOB ＝50°，∠BOC ＝30°，OM ＝12，ON ＝4．点P 、Q 分别是OA 、OB 上动点，则MQ +PQ +NP 的最小值是 ．【答案】4【详解】解：如图，作点N 关于OA 的对称点N ′，则NP ＝N ′P ，nmn作点M关于OB的对称点M′，则MQ＝M′Q，∴MQ+PQ+NP＝M′Q+PQ+N′P，当N′M′在同一条直线上时取最小值，连接ON′，OM′，∵∠AOB＝50°，∠BOC＝30°则∠N′OA＝∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝20°，∠BOM′＝∠BOA＝50°，∴∠N′OM′＝2×20°+30°+50°＝120°，∵ON′＝ON＝4，OM′＝OM＝12，∴∠AON＝∠AOB﹣∠BOC＝50°﹣30°＝20°，先作射线ON'与射线ON关于OA对称，由对称的性质可知∠AON'＝20°，PN＝PN'，同理作射线OM'与射线OM关于OB对称，同理∠BOM'＝50°，QM＝QM′，当N'、P、Q、M'四点共线时，MQ+PQ+NP最小，则∠N′OM′＝∠N′OP+∠AOB+∠BPM′＝20°+50°+50°＝120°，作N'垂直OM'的延长线交于点E，∴∠EON'＝60°，∴ON'＝ON＝4，在Rt△N'OE中，∠EN'O＝30°，根据30°角所对的直角边是斜边的一半可知OE＝2，则EN'＝2，OM＝OM'＝12，∴EM′＝OE+OM′＝12+2＝14，则N′M＝＝＝4．故答案为：4．模型03胡不归模型考｜向｜预｜测胡不归模型可看作将军饮马衍生，主要考查转化与化归等的数学思想，近年在中考数学和各地的模拟考中常以压轴题的形式考查，学生不易把握.本专题就最值模型中的胡不归问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握.在解决胡不归问题主要依据是：点到线的距离垂线段最短.答｜题｜技｜巧第一步：构造与kPB相等的线段，将“PA+kPB”型问题转化为“PA+PC”型；第二步：借助三角函数，构造锐角α，将另一个系数也化为1；第三步：利用“垂线段最短”原理构造最短距离；第四步：数形结合解题【答案】42【详解】解：如图，过点P 作PE ⊥AD ，交AD 的延长线于点E ，∵AB CD ∥，∴∠EDP=∠DAB=45°，∴sin EP EDP DP ∠==，∴EP PD =，∴2PB PD PB PE +=+， ∴当点B ，点P ，点E 三点共线且BE ⊥AD 时，PB+PE 有最小值，即最小值为BE ，∵sin BE A AB ∠=，∴BE AB =故答案为：1．（2023·江苏扬州）如图所示，军官从军营C 出发先到河边（河流用AB 表示）饮马，再去同侧的D 地开会，应该怎样走才能使路程最短？你能解决这个著名的“将军饮马”问题吗?下列给出了四个图形，你认为符合要求的图形是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【详解】解：由选项D 中图可知：作D 点关于直线AB 的对称点D ¢，连接CD '交AB 于点N ，由对称性可知，DN D N '=，CN DN CN D N CD ∴+=≥''+，当C 、N 、D ¢三点共线时，CN DN +的距离最短，故选：D2．（2023.浙江）如图，等边△ABC 的边长为4，AD 是BC 边上的中线，F 是AD 边上的动点，E 是AC 边上一点，若AE ＝2，当EF ＋CF 取得最小值时，则∠ECF= .【答案】∠ECF ＝30º【详解】过E 作EM ∥BC ，交AD 于N ，如图所示：∵AC ＝4，AE ＝2，∴EC ＝2＝AE ，∴AM ＝BM ＝2，∴AM ＝AE ，∵AD 是BC 边上的中线，△ABC 是等边三角形，∴AD ⊥BC ，∵EM ∥BC ，∴AD ⊥EM ，∵AM ＝AE ，∴E 和M 关于AD 对称，连接CM 交AD 于F ，连接EF ，则此时EF ＋CF 的值最小， ∵△ABC 是等边三角形，∴∠ACB ＝60º，AC ＝BC ，∵AM ＝BM ，∴∠ECF ＝∠ACB ＝30º.故答案为30°3．（2022·安徽）如图，在平面直角坐标系中，∠AOB ＝30°，P （5，0），在OB 上找一点M ，在OA 上找一点N ，使△PMN 周长最小，则此时△PMN 的周长为 ．【答案】5【详解】作点P 关于OB 的对称点C ，作P 点关于AO 的对称点D ，连接CD 交OA 于N ，交OB 于M ，连接MP ，NP ，OC ，OD ，∴CM ＝MP ，NP ＝DN ，∴PM+PN+MN ＝CM+MN+DN≥CD ，∴当C 、M 、N 、D 点共线时，△PMN 的周长最小，∵∠BOA ＝30°，OP ＝OC ＝OB ，∴∠COD ＝60°，∴△OCD 是等边三角形，∴CD ＝OP ，∵P （5，0），∴OP ＝5，∴CD ＝5，∴△PMN 的周长最小值为5，故答案为：5．4．（2023·广东）如图，在Rt ABC 中，ACB 90∠=︒，AC 9=，BC 12=，15AB =，AD 是BAC ∠的平分线，若点P 、Q 分别是AD 和AC 上的动点，则PC PQ +的最小值是 ．【答案】365【详解】解：如图，作Q 关于AP 的对称点O ，则PQ=PO ，所以O 、P 、C 三点共线时，CO=PC+PO=PC+PQ ，此时PC+PQ 有可能取得最小值，∵当CO 垂直于AB 即CO 移到CM 位置时，CO 的长度最小，∴PC+PQ 的最小值即为CM 的长度， ∵111591222ABC S AB CM AC CB CM =⨯=⨯∴=⨯，，∴CM=91236155⨯=，即PC+PQ 的最小值为 365， 故答案为365．5．（2023·江苏）如图，高速公路的同一侧有A ，B 两城镇，它们到高速公路所在直线MN 的距离分别为2km AC =，4km BD =，8km CD =．要在高速公路上C ，D 之间建一个出口P ，使A ，B 两城镇到P 的距离之和最小，则这个最短距离为 ．【答案】10km【详解】解：如图所示：作A 点关于直线MN 的对称点A '，再连接A B '，交直线MN 于点P ，则此时AP PB +最小，过点B 作BE CA ⊥交延长线于点E ，∵2km AC =，4km BD =，8km CD =．∴m 422k AE =−=，4km AA '=，∴6km A E '=，km 8BE CD ==，在Rt A EB '△中，10km A B '==，则AP PB +的最小值为10km ．故答案为：10km ．【答案】B【详解】解：如图：等腰Rt △DEF 中，过点D 作DM ⊥EF 于点M ，过E 、F 分别作∠MEP=∠MFP=30°，则EM=DM=1，故cos30°=EM EP ，解得：，则PM=，故DP=1﹣，则PD+PE+PF=2×+1﹣1． 故选B ．A ．42B ．33 【答案】A 【详解】解：延长AD ，过点B 作BE AD ⊥交CD 于点P ，∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AB CD ∥，∴45DEP DAB ∠=∠=︒，∵BE AD ⊥，∴DE PE =，则22222DE PE DE PD +==，则2DE PD =，同理可得：BE AB =，∴2PB PD PB PE +=+，∴当点E 、P 、B 在同一条直线上时，PB PD 的值最小，∵8AB =，∴22P E BE A B PD B P B P +===+=故选：A ．8．（2023·四川）如图，在ABC 中，90,60,4BAC B AB ∠=︒∠=︒=，若D 是BC 边上的动点，则2AD DC +的最小值是（ ）A ．6B ．8C ．10D ．12【答案】D 【详解】解：过点C 作射线CE ，使30BCE ∠=︒，再过动点D 作DF CE ⊥，垂足为点F ，连接AD ，如图所示：在t R DFC △中，30DCF ∠=︒，∴12DF DC =，∵122()2AD DC AD DC +=+＝2()AD DF +，∴当A ，D ，F 在同一直线上，即AF CE ⊥时，AD DF +的值最小，最小值等于垂线段AF 的长， 此时，60B ADB ︒∠=∠=，∴ABD △是等边三角形，∴4===AD BD AB ，在t R ABC 中，90,60,4A B AB ∠=∠=︒=︒，∴8BC =，∴4DC =，∴12,2DF DC ==，∴426AF AD DF =+=+=，∴2()212AD DF AF +==，∴2()AD DC +的最小值为12，故选：D ．9．（2023·湖南）某班级在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：直线l 同旁有两个定点A 、B ，在直线l 上存在点P ，使得PA PB +的值最小．解法：如图1，作A 点关于直线l 的对称点A '，连接A B '，则A B '与直线l 的交点即为P ，且PA PB +的最小值为A B '．请利用上述模型解决下列问题：(1)几何应用：如图2，ABC 中，90C ∠=︒，2AC BC ==，E 是AB 的中点，P 是BC 边上的一动点，则PA PE+的最小值为 ；(2)几何拓展：如图3，ABC 中，2AC =，30A ∠=︒，若在AB 、AC 上各取一点M 、N 使CM MN +的值最小，画出图形，求最小值并简要说明理由．【答案】【详解】（1）解：如图2所示，作点A 关于BC 的对称点A '，连接A E '交BC 于P ，此时PA PE +的值最小．连接BA '，由勾股定理得， BA BA '==∵E 是AB 的中点，∴12BE BA ===∵90C ∠=︒，2AC BC ==，∴45A BC ABC '∠=∠=︒，∴90A BA '∠=︒，∴PA PE +的最小值A E '===；（2）解：如图3，作点C 关于直线AB 的对称点C '，作C N AC '⊥于N ，交AB 于M ，连接AC '，则2C A CA '==，30C AB CAB '∠=∠=︒，60C AC '∴∠=︒∴C AC '△为等边三角形，∴30AC N '∠=︒，∴112AN C A '==，∴CM MN +的最小值为C N '=10．（2023·陕西）在学习对称的知识点时，我们认识了如下图所示的“将军饮马”模型求最短距离． 问题提出：(1)如图1所示，已知A ，B 是直线l 同旁的两个定点．在直线l 上确定一点P ，并连接AP 与BP ，使PA PB +的值最小．问题探究：(2)如图2所示，正方形ABCD 的边长为2，E 为AB 的中点，P 是AC 上一动点．连接EP 和BP ，则PB PE +的最小值是___________；问题解决：(3)某地有一如图3所示的三角形空地AOB ，已知45AOB ∠=︒，P 是AOB 内一点，连接PO 后测得10PO =米，现当地政府欲在三角形空地AOB 中修一个三角形花坛PQR ，点Q R ，分别是OA OB ，边上的任意一点（不与各边顶点重合），求PQR 周长的最小值．【答案】(1)见解析(3)【详解】（1）解：如图所示，当P 点在如图所示的位置时，PA PB +的值最小；（2）解：如下图所示，∵四边形ABCD 是正方形，∴AC 垂直平分BD ，∴PB PD =，由题意易得：PB PE PD PE DE +=+≥，当D 、P 、E 共线时，在ADE V 中，根据勾股定理得，DE =（3）解：如下图所示，分别作点P 关于OA ，OB 的对称点M N ，，连接OM ON MN ，，，MN 交OA ，OB 于点Q R ，，连接PR PQ ，，此时PQR 周长的最小值等于MN ．由轴对称性质可得，10OM ON OP MOA POA NOB POB ===∠=∠∠=∠，，，∴224590MON AOB ∠=∠=⨯︒=︒，在Rt MON △中，MN ===即PQR 周长的最小值等于上一动点，则ACBD【答案】A【详解】解：连接CD ，设,CD AB 交于点G ，如图所示，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴CG GD =，AG GB =，∵()0,8A ，()0,2B −∴()0,3G ，∴当CG 取得最小值时，CD 取得最小值，∴当CG EF ⊥时，CG 取得最小值，∵()05E ,，()5,0F −，∴OE OF =，2EG =,∴OEF 是等腰直角三角形，∴此时CGE 是直角三角形，且EG 是斜边，∵2EG =,∴CG =ACBD 的对角线CD 的最小值是，故选：A ．2．（2023·上虞市）如图，点P 是∠AOB 内任意一点，OP =6cm ，点M 和点N 分别是射线OA 和射线OB 上的动点，若△PMN 周长的最小值是6 cm ，则∠AOB 的度数是（ ）A ．15B ．30C ．45D ．60【答案】B 【详解】分别作点P 关于OA 、OB 的对称点C 、D ，连接CD ，分别交OA 、OB 于点M 、N ，连接OC 、OD 、PM 、PN 、MN ，如图所示：∵点P 关于OA 的对称点为D ，关于OB 的对称点为C ，∴PM=DM ，OP=OD ，∠DOA=∠POA ； ∵点P 关于OB 的对称点为C ，∴PN=CN ，OP=OC ，∠COB=∠POB ，∴OC=OP=OD ，∠AOB=12∠COD ， ∵△PMN 周长的最小值是6cm ，∴PM+PN+MN=6，∴DM+CN+MN=6，即CD=6=OP ，∴OC=OD=CD ，即△OCD 是等边三角形，∴∠COD=60°，∴∠AOB=30°，故选：B ．【答案】B 【详解】解：如图，过点G 作GH ⊥AB 于H ，过点G 作MN ∥AB ，∵四边形ABCD 是矩形，AB ＝112，BC ＝3，∴∠B ＝90°，CD ＝112，AD ＝3，∵AE ＝1，∴BE ＝92，∵∠GHE ＝∠A ＝∠GEF ＝90°，∴∠GEH ＋∠EGH ＝90°，∠GEH ＋∠FEA ＝90°，∴∠EGH ＝∠FEA ，又∵GE ＝EF ，∴△GEH ≌△EFA （AAS ），∴GH ＝AE ＝1，∴点G 在平行AB 且到AB 距离为1的直线MN 上运动，∴当F 与D 重合时，CG 有最小值，此时AF ＝EH ＝3，∴CG52， 故选B ．【答案】B 【详解】解：连接AM 、AC ，AM 交BD 于P ，此时PM+PC 最小，连接CP ，∵四边形ABCD 是菱形，∴OA=OC ，AC ⊥BD ，∴C 和A 关于BD 对称，∴AP=PC ，∵∠A=120°，∴∠ABC=60°，∴△ABC 是等边三角形，∴AC=AB=2，∵M 是BC 的中点，∴AM ⊥BC ，∴∠BAM=30°，∴BM=1，∴故选B ．5．（2023·湖北）如图，将△ABC 沿AD 折叠使得顶点C 恰好落在AB 边上的点M 处，D 在BC 上，点P 在线段AD 上移动，若AC ＝6，CD ＝3，BD ＝7，则△PMB 周长的最小值为 ．【答案】18【详解】解：由翻折的性质可知，AM =AC ，PM =PC ，∴M 点为AB 上一个固定点，则BM 长度固定， ∵△PMB 周长=PM +PB +BM ，∴要使得△PMB 周长最小，即使得PM +PB 最小，∵PM =PC ，∴满足PC +PB 最小即可，显然，当P 、B 、C 三点共线时，满足PC +PB 最小，如图所示， 此时，P 点与D 点重合，PC +PB =BC ，∴△PMB 周长最小值即为BC +BM ，此时，作DS ⊥AB 于S 点，DT ⊥AC 延长线于T 点，AQ ⊥BC 延长线于Q 点，由题意，AD 为∠BAC 的角平分线，∴DS =DT ，∵1122ACD S AC DT CD AQ ==，1122ABD S AB DS BD AQ ==， ∴11221122ABDACD AB DS BD AQ S S AC DT CD AQ ==，即：AB BD AC CD =，∴763AB =，解得：AB =14， ∵AM =AC =6，∴BM =14-6=8，∴△PMB 周长最小值为BC +BM =3+7+8=18，故答案为：18．6．（2023·北京）如图，P 是AOB ∠内一定点，点M ，N 分别在边OA ，OB 上运动，若30AOB ∠=︒，3OP =，则PMN 的周长的最小值为 .【答案】3【详解】如图，作P 关于OA ，OB 的对称点C ，D ．连接OC ，OD ．则当M ，N 是CD 与OA ，OB 的交点时，△PMN 的周长最短，最短的值是CD 的长．∵点P 关于OA 的对称点为C ，∴PM=CM ，OP=OC ，∠COA=∠POA ；∵点P 关于OB 的对称点为D ，∴PN=DN ，OP=OD ，∠DOB=∠POB ，∴OC=OD=OP=3，∠COD=∠COA+∠POA+∠POB+∠DOB=2∠POA+2∠POB=2∠AOB=60°，∴△COD 是等边三角形，∴CD=OC=OD=3．∴△PMN 的周长的最小值=PM+MN+PN=CM+MN+DN≥CD=3．【答案】【详解】解：如图，过点P 作PE ⊥AB 于点E ，过点D 作DF ⊥AB 于点F,∵四边形ABCD 是菱形，且∠B ＝120°,∴∠DAC ＝∠CAB ＝30°,∴PE ＝12AP;∵∠DAF ＝60°,∴∠ADF ＝30°,∴AF ＝12AD ＝12×6＝3;∴DF ＝ ∵12AP+PD ＝PE+PD,∴当点D ，P ，E 三点共线且DE ⊥AB 时,PE+DP 的值最小，最小值为DF 的长,∴12AP+PD 的最小值为故答案为： 8．（2023·广东）如图，在Rt ABC △中，90BAC ∠=︒，2AB =，4AC =.D ，E 分别是边AB ，AC 上的动点，且2CE AD =，则2BE CD +的最小值为 ．【答案】【详解】如图，作Rt CEF ADC ∽，连接BF ，过B 点作BG AC ⊥的延长线与G 点，Rt Rt CEF ADC ∽，且2CE AD =，21CF EF EC AC DC AD ∴===，282,CF AC EF DC ∴===，2BE CD BE EF ∴+=+．BE EF BF +≥，∴当B 、E 、F 三点共线时，BE EF BF +=，此时2BE CD +的值最小，为BF ．90FCA ∠=︒，90ACG ∴∠=︒．又90A ∠=︒，90BGC ∠=︒，∴四边形ABGC 是矩形，4BG AC ∴==，2GC AB ==，8210FG FC CG ∴=+=+=，BF ∴==故答案为：9．（2023·内蒙古）如图，已知菱形ABCD的边长为8，点M是对角线AC上的一动点，且∠ABC=120°，则MA+MB+MD的最小值是________．【答案】【详解】解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，连接BD，∵菱形ABCD中，∠ABC=120°，∠MAE=30°，∴∠DAB=60°，AD=AB=DC=BC，MD=MB，∴△ADB是等边三角形，∵∠MAE=30°，∴AM=2ME，∵MD=MB，∴MA+MB+MD=2ME+2DM=2DE，根据垂线段最短，此时DE MA+MB+MD最小，∵菱形ABCD的边长为8，∴=∴MA+MB+MD的最小值是故答案为：10．（2023·浙江）如图，河的两岸有A，B两个水文观测点，为方便联络，要在河上修一座木桥MN（河的两岸互相平行，MN垂直于河岸），现测得A，B两点到河岸的距离分别是5米，4米，河宽3米，且A，++的最小值是米．B两点之间的水平距离为12米，则AM MN NB【答案】18【详解】作BB '垂直于河岸，使BB '等于河宽，连接AB '，与靠近A 的河岸相交于M ，作MN 垂直于另一条河岸， 过点A 作'⊥AC BB 交BB '的延长线于点C ，则MN BB '∥且MN BB '=，于是MNBB '为平行四边形，故MB BN '=，当AM MB AB '+=时，AM BN +最小，也就是AM MN NB ++最短，∵12AC =（米），54312BC =++=（米），1239B C '=−=（米）∴在Rt AB C '△中，15AB '（米），∴AM MN NB ++的最小值为：15318+=（米）故答案为：18 ．11．（2023·广东）如图所示，已知O 为坐标原点，矩形ABCD （点A 与坐标原点重合）的顶点D 、B 分别在x 轴、y 轴上，且点C 的坐标为()4,8−，连接BD ，将ABD △沿直线BD 翻折至A BD '，交CD 于点E ．(1)求点A '坐标．(2)试在x 轴上找点P ，使A P PB '+的长度最短，请求出这个最短距离．【答案】(1)3216,55A ⎛⎫'− ⎪⎝⎭；(2)A P PB '+的长度的最短距离为．【详解】（1）点C 的坐标为(4,8)−，4OD BC ∴==，8CD OB ==，连接AA '，与BD 交于点G ，过A '作A F OB '⊥于点F ，由折叠知，8A B OA '==，OG A G '=，OA BD '⊥， ∴11··22OBD S BD OG OD OB ==，∴·OD OB OG BD ==，∴2OA OG '==， 设OF x =，则8BF x =−，22222OA OF A F A B BF '''−==−，即()222288x x −=−−⎝⎭， 解得，165x =，即165OF =，∴325A F '==， 3216,55A ⎛⎫∴− ⎪⎝⎭'；（2）作A '点关于x 轴的对称点A '，连接BA ''，与x 轴交于点P ，则A P PB A P PB A B '''''+=+=的值最小，3216,55A ⎛⎫∴−−' ⎝'⎪⎭， (0,8)B ，∴A B =='' 故A P PB '+的长度的最短距离为．吉林）数学兴趣活动课上，小致将等腰的底边，在中，，在中，作在中，，得到线段ABC ABC 120︒ABP ABC 60【答案】（1）2；（2；（3）3．【详解】（1）如图，过点A 作，此时AP 的值最小．∵，，，故答案为：2．（2）根据小致的思路作出图形，可知当时的值最小，如图：∵，，∴，∵，∴（3）如图3中，在上取一点，使得，连接，．，，，，，，，，，时，的值最小，最小值为3，的最小值为3．13．（2023·河南）唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马问题：如图1所示，诗中将军在观望烽火之后从山脚下的A 点出发，走到河旁边的P 点饮马后再到B 点宿营．请问怎样走才能使总的路程最短？作法如下：如图1，从B 出发向河岸引垂线，垂足为D ，在BD 的延长线上，取B 关于河岸的对称点B '，连接AB '，与河岸线相交于P ，则P 点就是饮马的地方，将军只要从A 出发，沿直线走到P ，饮马之后，再由P 沿直线走到B ，所走的路程就是最短的．⊥AP BC 4,120AB AC BAC ==∠=︒30ABC ∴∠=︒122AP AB ∴==PN AB ⊥PE EF +30ABC ∠=︒122AP AB ==BP =1122BP AP AB PN ⋅=⋅PN =AB K AK AC =CK DK 90ACB ∠=︒30B ∠=︒60CAK ∴∠=︒PAD CAK ∴∠=∠PAC DAK ∴∠=∠PA DA =CA KA =()PAC DAK SAS ∴△≌△PC DK ∴=KD BC ⊥KD PC ∴(1)观察发现如图2，在等腰梯形ABCD 中，2,120AB CD AD D ===∠=︒，点E 、F 是底边AD 与BC 的中点，连接EF ，在线段EF 上找一点P ，使BP AP +最短．作点B 关于EF 的对称点，恰好与点C 重合，连接AC 交EF 于一点，则这点就是所求的点P ，故BP AP +的最小值为_______．(2)实践运用如图3，已知O 的直径1MN =，点A 在圆上，且AMN ∠的度数为30︒，点B 是弧AN 的中点，点P 在直径MN 上运动，求BP AP +的最小值．(3)拓展迁移如图，已知抛物线()20y ax bx c a =++≠的对称轴为1x =，且抛物线经过()()1,00,3A C −−、两点，与x 轴交于另一点B ．①求这条抛物线所对应的函数关系式；②在抛物线的对称轴直线1x =上找到一点M ，使ACM △周长最小，请求出此时点M 的坐标与ACM △周长最小值．【答案】(1)(2)PA PB +的最小值为(3)①2=23y x x −−；②点M 的坐标为()12−，；ACM △【详解】（1）解：过点A 作AM BC ⊥于点M ，作DN BC ⊥于点N ，如图所示：则AM DN ∥，∵四边形ABCD 为等腰梯形，∴AD BC ∥，120BAD ADC ∠=∠=︒，∴18060ABM BAD ∠=︒−∠=︒，18060DCN ADC ∠=︒−∠=︒，∴1cos 60212BM AB =⨯︒=⨯=，sin 602AM AB =⨯︒== 1cos 60212CN CD =⨯︒=⨯=，∵AD BC ∥，AM DN ∥，∴四边形AMND 为平行四边形，∴2MN AD ==，∴123CM CN MN =+=+=，∴AC ==即BP AP +的最小值为故答案为：（2）解：取点A 关于MN 的对称点A '，连接OA '、OB 、OA 、MB 、A B '，MN 与A B '交于点P '，当点P 在点P '时，PA PB +最小，且最小值为A B '，如图所示：∵A 关于MN 的对称点A '，MN 为直径，∴点A '在O 上，∵30AMN ∠=︒，∴260AON AMN ∠=∠=︒，∵点A 关于MN 的对称点A '，∴60A ON AON '∠=∠=︒，∵点B 是弧AN 的中点， ∴1152BMN AMN ∠=∠=︒， ∴230BON BMN ∠=∠=︒，∴603090BOA '∠=︒+︒=︒，∵直径1MN =， ∴12OA OB '==，∴A B =='， 即PA PB +的最小值为2．（3）解：①∵抛物线()20y ax bx c a =++≠的对称轴为1x =，且抛物线经过()1,0A −， ∴抛物线与x 轴的另外一个交点B 的坐标为：()3,0， ∴抛物线的解析式为：()()13y a x x =+−， 把()0,3C −代入得：()()30103a −=+−，解得：1a =，∴抛物线的解析式为：()()21323y x x x x =+−=−−．②连接CB 交直线1x =于一点，该点即为点M ，连接AM ，AC ，如图所示：∵点A 、B 关于直线1x =对称，∴AM BM =，∴AM CM CM BM +=+，∵两点之间线段最短，∴CM BM +最小，即AM CM +最小，∵AC 为定值，∴此时ACM △的周长最小，∵AC =BC = ∴ACM △；设直线BC 的解析式为()0y kx b k =+≠，把()0,3C −，()3,0B 代入得：330b k b =−⎧⎨+=⎩，解得：13k b =⎧⎨=−⎩，∴直线BC 的解析式为3y x =−，把1x =代入得：132y =−=−，∴点M 的坐标为()12−，．。

一.已知两定点模型①：将军饮马问题：在直线l上求作点P，使PA＋PB最小。

原理：两点之间，线段最短模型②：在直线l上求作点P，使|PA－PB|最大．原理：两边之差小于第三边，|PA－PB|最大值即为AB长模型③：在直线l上求作点P，使|PA－PB|最小模型④：在直线m、n上分别找两点P、Q，使PA+PQ+QB最小（1）两点都在直线外侧；（2）一个点在内侧，一个点在外侧；（3）两个点都在内侧模型⑤：台球两次碰：已知点A、B位于角的内部，在角的两边上分别找点C、D，使得围成的四边形ABCD周长最小变式…模型⑥：已知点A位于直线m、n内侧，在直线上分别找P、Q，使△APQ 周长最小二.一个动点，一个定点模型⑦：动点在直线上运动点A是定点，动点B在直线n上运动，在直线m上找一点P使PA+PB最小模型⑧：点A是定点，动点B在圆上运动，在直线m上找一点P，使PA+PB最小模型⑨：点A是定点，动点B在直线n上运动，在直线m上找一点P使AB+PB 最小三.两个定点、两个动点模型⑩：P，Q为OA，OB的定点，在OA，OB上求作点M，N，使PN＋NM＋MQ最小．模型11：用平移+对称来解决已知A、B是两个定点，P、Q是直线上两个动点，P在Q的左侧，且PQ之间的长度为定值不变，在直线上找两点P、Q，使得PA+PQ+QB的值最小问题情境：将军从军营A出发，去河边l饮马，饮马完在河边牵马散步a米，回军营B。

模型12：造桥选址问题：直线m∥n，在m上求作点M，在n上求作点N，MN⊥m，且MN为定值；使AM＋MN＋NB最小．四.转化为某个变量的函数，模型13：模型①：如图，已知点A（1，1），B（3，2），且P为x轴上一动点，则△ABP 周长的最小值为_____菱形ABCD中，AB＝2，∠BAD＝60°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE＋PB的最小值是____在边长为2㎝的正方形ABCD中，点Q为BC边的中点，点P为对角线AC上一动点，连接PB、PQ，则△PBQ周长的最小值为_______㎝在△ABC 中，点A 、B 、C 的坐标分别为（x ，0）、（0，1）和（3，2），则当△ABC 的周长最小时，x 的值为_____在平面直角坐标系中，有A （3，－2），B （4，2）两点，现另取一点C （1，n ），当n =______时，AC + BC 的值最小．模型②：已知点A （-1，0），C(0,-3)，在直线x=1上确定一点P 使得|PA-PC|最大，则P 点坐标为__________已知点A （1，3），B （5，-2），在x 轴上找一点P 使|PA-PB|最大，则P 点坐标为__________模型③:去冬今春，济宁市遭遇了200年不遇的大旱,某乡镇为了解决抗旱问题，要在某河道建一座水泵站，分别向河的同一侧张村A 和李村B 送水．经实地勘查后，工程人员设计图纸时，以河道上的大桥O 为坐标原点，以河道所在的直线为x 轴建立直角坐标系（如图），两村的坐标分别为A （2，3），B (12，7)． 水泵站建在距离大桥O 多远的地方，可使它到张村、李村的距离之差最小 模型④：在河中有A （-4，-5）、B （2，-1）两岛（如图），六年级一班组织一次划船比赛，规则要求船从A 岛出发，必须先划到甲岸（y=-6)，又到乙岸(x 轴），再到B 岛，最后回到A 岛，试问应选择怎样的路线才能使路程最短？请在图中画出来，并求出最短路程是多少？模型⑤：如图，已知平面直角坐标系，A 、B 两点的坐标分别为A （2，－3），B （4，－1）。

学生： 科目： 数 学 教师： 谭 前 富知识框架在平面几何问题中，当某几何元素在给定条件变动时，求某几何量（如线段的长度、图形的面积、角的度数）的最大值或最小值问题，称为最值问题。

最值问题的解决方法通常有两种： （1） 应用几何性质：① 三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边； ② 两点间线段最短；③ 连结直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短； ④ 定圆中的所有弦中，直径最长。

⑵运用代数证法：① 运用配方法求二次三项式的最值； ② 运用一元二次方程根的判别式。

【例题精讲】一. 最短路径和几何不等式问题： 考查知识点----：“两点之间线段最短”，“两边之和大于第三边”，“斜边大于直角边”，“垂线段最短”，“点关于线对称”，“线段的平移”。

原型----“饮马问题”，“造桥选址问题”。

考的较多的还是“饮马问题”，出题背景变式有角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等。

最短路径和几何不等式问题的两种基本模型----：Ⅰ、归于函数模型：即利用一次函数的增减性和二次函数的对称性及增减性，确定某范围内函数的最大或最小值Ⅱ、归于几何模型，这类模型又分为两种情况：（1）归于“两点之间的连线中，线段最短”。

凡属于求“变动的两线段之和的最小值”时，大都应用这一模型。

（2）归于“三角形两边之差小于第三边”凡属于求“变动的两线段之差的最大值”时，大都应用这一模型。

解题总思路----找点关于线的对称点实现“折”转“直”，较难的会出现“三折线”转“直”等变式问题考查。

二．最短距离中的数形结合：例：求代数式9)12(422+-++x x 的最小值.课 题几何模型之二：图形中的最短距离、定值及不等式问题教学内容三．立体几何中的最短路径问题：（1）台阶问题 如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于5cm ，3cm 和1cm ，A 和B 是这个台阶的两个相对的端点，A 点上有一只蚂蚁，想到B 点去吃可口的食物.请你想一想，这只蚂蚁从A 点出发，沿着台阶面爬到B 点，最短线路是多少？（2）圆柱问题 有一圆形油罐底面圆的周长为24m ，高为6m ，一只老鼠从距底面1m 的A 处爬行到对角B 处吃食物，它爬行的最短路线长为多少？变式1：有一圆柱形油罐，已知油罐周长是12m ，高AB 是5m ，要从点A 处开始绕油罐一周建造梯子，正好到达A 点的正上方B 处，问梯子最短有多长？变式2： 桌上有一个圆柱形玻璃杯（无盖），高为12厘米，底面周长18厘米，在杯口内壁离杯口3厘米的A 处有一滴蜜糖，一只小虫从桌上爬至杯子外壁，当它正好爬至蜜糖相对方向离桌面3厘米的B 处时，突然发现了蜜糖。

专题12 最值模型-费马点问题最值问题在中考数学常以压轴题的形式考查，费马点问题是由全等三角形中的手拉手模型衍生而来，主要考查转化与化归等的数学思想。

在各类考试中都以中高档题为主，中考说明中曾多处涉及。

本专题就最值模型中的费马点问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

【模型背景】皮耶·德·费马，17世纪法国数学家，有“业余数学家之王”的美誉，之所以叫业余并非段位不够，而是因为其主职是律师，兼职搞搞数学．费马在解析几何、微积分等领域都有卓越的贡献，除此之外，费马广为人知的是以其名字命名的“费马小定理”、“费马大定理”等．费马点：三角形内的点到三个顶点距离之和最小的点。

【模型解读】结论1：如图，点M 为△ABC 内任意一点，连接AM 、BM 、CM ，当M 与三个顶点连线的夹角为120°时，MA +MB +MC 的值最小。

注意：上述结论成立的条件是△ABC 的最大的角要小于120º，若最大的角大于或等于120º，此时费马点就是最大角的顶点A 。

（这种情况一般不考，通常三角形的最大顶角都小于120°）【模型证明】以AB 为一边向外作等边三角形△ABE ，将BM 绕点B 逆时针旋转60°得到BN ，连接EN ．△△ABE 为等边三角形，△AB ＝BE ，△ABE ＝60°．而△MBN ＝60°，△△ABM ＝△EBN ．在△AMB 与△ENB 中，△AB BEABM EBN BM BN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△△AMB △△ENB （SAS ）． 连接MN ．由△AMB △△ENB 知，AM ＝EN ．△△MBN ＝60°，BM ＝BN ，△△BMN 为等边三角形．△BM ＝MN ．△AM +BM +CM ＝EN +MN +CM ．△当E 、N 、M 、C 四点共线时，AM +BM +CM的值最小．此时，△BMC ＝180°﹣△NMB ＝120°；△AMB ＝△ENB ＝180°﹣△BNM ＝120°；△AMC ＝360°﹣△BMC ﹣△AMB ＝120°．费马点的作法：如图3，分别以△ABC 的AB 、AC 为一边向外作等边△ABE 和等边△ACF ，连接CE 、BF ，设交点为M ，则点M 即为△ABC 的费马点。

初中数学几何模型与最值问题专题11 二次函数在实际应用中的最值问题1、某水果店在两周内，将标价为10元/斤的某种水果，经过两次降价后的价格为8.1元/斤，并且两次降价的百分率相同．（1）求该种水果每次降价的百分率；（2）从第一次降价的第1天算起，第x天（x为整数）的售价、销量及储存和损耗费用的相关信息如表所示．已知该种水果的进价为4.1元/斤，设销售该水果第x（天）的利润为y（元），求y与x（1≤x＜15）之间的函数关系式，并求出第几天时销售利润最大？（3）在（2）的条件下，若要使第15天的利润比（2）中最大利润最多少127.5元，则第15天在第14天的价格基础上最多可降多少元？2、农经公司以30元/千克的价格收购一批农产品进行销售，为了得到日销售量p（千克）与销售价格x（元/千克）之间的关系，经过市场调查获得部分数据如下表：（1）请你根据表中数据，用所学过一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定p与x之间的函数表达式（2）农经公司应该如何确定这批农产品的销售价格，才能使日销售利润最大？（3）若农经公司每销售1千克这种农产品需支出a元（a＞0）的相关费用，当40≤x≤45时，农经公司的日获利的最大值为2430元，求a的值．（日获利=日销售利润﹣日支出费用）3、怡然美食店的A、B两种菜品，每份成本均为14元，售价分别为20元、18元，这两种菜品每天的营业额共为1120元，总利润为280元．（1）该店每天卖出这两种菜品共多少份；（2）该店为了增加利润，准备降低A种菜品的售价，同时提高B种菜品的售价，售卖时发现，A种菜品售价每降0.5元可多卖1份；B种菜品售价每提高0.5元就少卖1份，如果这两种菜品每天销售总份数不变，那么这两种菜品一天的总利润最多是多少．4、“五一”期间，恒大影城隆重开业，影城每天运营成本为1000元，试营业期间统计发现，影城每天售出的电影票张数y（张）与电影票售价x（元/张）之间满足一次函数：y=﹣4x+220（10≤x≤50，且x是整数），设影城每天的利润为w（元）（利润=票房收入﹣运营成本）．（1）试求w与x之间的函数关系式；（2）影城将电影票售价定为多少元/张时，每天获利最大？最大利润是多少元？5、把函数21:23(0)C y ax ax a a =--≠的图象绕点(,0)P m 旋转180，得到新函数2C 的图象，我们称2C 是1C 关于点P 的相关函数．2C 的图象的对称轴与x 轴交点坐标为(,0)t ．（1）填空：t 的值为 （用含m 的代数式表示） （2）若1a =-，当12x t ≤≤时，函数1C 的最大值为1y ，最小值为2y ，且121y y -=，求2C 的解析式； （3）当0m =时，2C 的图象与x 轴相交于,A B 两点（点A 在点B 的右侧）．与y 轴相交于点D ．把线段AD原点O 逆时针旋转90，得到它的对应线段''A D ，若线''A D 与2C 的图象有公共点，结合函数图象，求a 的取值范围．6、湖州素有鱼米之乡之称，某水产养殖大户为了更好地发挥技术优势，一次性收购了淡水鱼，计划养殖一段时间后再出售．已知每天放养的费用相同，放养天的总成本为万元；放养天的总成本为万元（总成本=放养总费用+收购成本）．（1）设每天的放养费用是万元，收购成本为万元，求和的值；（2）设这批淡水鱼放养天后的质量为（），销售单价为元/．根据以往经验可知：与的函数关系为；与的函数关系如图所示．①分别求出当和时，与的函数关系式；①设将这批淡水鱼放养天后一次性出售所得利润为元，求当为何值时，最大？并求出最大值．（利润=销售总额-总成本）7、某农场拟建一间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠现有墙（墙足够长），已知计划中的建筑材料可建围墙的总长度为50m．设饲养室为长为x（m），占地面积为．（1）如图，问饲养室为长x为多少时，占地面积y最大？（2）如图，现要求在图中所示位置留2m的门，且仍使饲养室占地面积最大．小敏说：“只要饲养室长比（1）中的长多2m就行了．”请你通过计算，判断小敏的说法是否正确．8、铁岭“荷花节”举办了为期15天的“荷花美食”厨艺秀．小张购进一批食材制作特色美食，每盒售价为50元，由于食材需要冷藏保存，导致成本逐日增加，第x天（1≤x≤15且x为整数）时每盒成本为p元，已知p与x之间满足一次函数关系；第3天时，每盒成本为21元；第7天时，每盒成本为25元，每天的销售量为y盒，y与x之间的关系如下表所示：（1）求p与x的函数关系式；（2）若每天的销售利润为w元，求w与x的函数关系式，并求出第几天时当天的销售利润最大，最大销售利润是多少元？（3）在“荷花美食”厨艺秀期间，共有多少天小张每天的销售利润不低于325元？请直接写出结果．9、2016年12月29日至31日，黔南州第十届旅游产业发展大会在“中国长寿之乡”﹣﹣罗甸县举行，从中寻找到商机的人不断涌现，促成了罗甸农民工返乡创业热潮，某“火龙果”经营户有A、B两种“火龙果”促销，若买2件A种“火龙果”和1件B种“火龙果”，共需120元；若买3件A种“火龙果”和2件B种“火龙果”，共需205元．（1）设A，B两种“火龙果”每件售价分别为a元、b元，求a、b的值；（2）B种“火龙果”每件的成本是40元，根据市场调查：若按（1）中求出的单价销售，该“火龙果”经营户每天销售B种“火龙果”100件；若销售单价每上涨1元，B种“火龙果”每天的销售量就减少5件．①求每天B种“火龙果”的销售利润y（元）与销售单价（x）元之间的函数关系？①求销售单价为多少元时，B种“火龙果”每天的销售利润最大，最大利润是多少？10、鄂州某个体商户购进某种电子产品的进价是50元/个，根据市场调研发现售价是80元/个时，每周可卖出160个，若销售单价每个降低2元，则每周可多卖出20个．设销售价格每个降低x元（x为偶数），每周销售为y个．（1）直接写出销售量y个与降价x元之间的函数关系式；（2）设商户每周获得的利润为W元，当销售单价定为多少元时，每周销售利润最大，最大利润是多少元？（3）若商户计划下周利润不低于5200元的情况下，他至少要准备多少元进货成本？11、鄂州某个体商户购进某种电子产品的进价是50元/个，根据市场调研发现售价是80元/个时，每周可卖出160个，若销售单价每个降低2元，则每周可多卖出20个．设销售价格每个降低x元（x为偶数），每周销售为y个．（1）直接写出销售量y个与降价x元之间的函数关系式；（2）设商户每周获得的利润为W元，当销售单价定为多少元时，每周销售利润最大，最大利润是多少元？（3）若商户计划下周利润不低于5200元的情况下，他至少要准备多少元进货成本？12、某驻村扶贫小组实施产业扶贫，帮助贫困农户进行西瓜种植和销售.已知西瓜的成本为6元/千克，规定销售单价不低于成本，又不高于成本的两倍.经过市场调查发现，某天西瓜的销售量y(千克)与销售单价x(元/千克)的函数关系如下图所示：(1)求y与x的函数解析式(也称关系式)；(2)求这一天销售西瓜获得的利润的最大值.13、我市某化工材料经销商购进一种化工材料若干千克，成本为每千克30元，物价部门规定其销售单价不低于成本价且不高于成本价的2倍，经试销发现，日销售量y（千克）与销售单价x（元）符合一次函数关系，如图所示．（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）若在销售过程中每天还要支付其他费用450元，当销售单价为多少时，该公司日获利最大？最大获利是多少元？专题11 二次函数在实际应用中的最值问题 答案1、某水果店在两周内，将标价为10元/斤的某种水果，经过两次降价后的价格为8.1元/斤，并且两次降价的百分率相同．（1）求该种水果每次降价的百分率；（2）从第一次降价的第1天算起，第x 天（x 为整数）的售价、销量及储存和损耗费用的相关信息如表所示．已知该种水果的进价为4.1元/斤，设销售该水果第x （天）的利润为y （元），求y 与x （1≤x ＜15）之间的函数关系式，并求出第几天时销售利润最大？（3）在（2）的条件下，若要使第15天的利润比（2）中最大利润最多少127.5元，则第15天在第14天的价格基础上最多可降多少元？ 【解析】（1）设该种水果每次降价的百分率是x ，10（1﹣x ）2=8.1，x =10%或x =190%（舍去）． 答：该种水果每次降价的百分率是10%；（2）当1≤x ＜9时，第1次降价后的价格：10×（1﹣10%）=9，①y =（9﹣4.1）（80﹣3x ）﹣（40+3x ）=﹣17.7x +352，①﹣17.7＜0，①y 随x 的增大而减小，①当x =1时，y 有最大值，y 大=﹣17.7×1+352=334.3（元）； 当9≤x ＜15时，第2次降价后的价格：8.1元，①y =（8.1﹣4.1）（120﹣x ）﹣（3x 2﹣64x +400）=﹣3x 2+60x +80=﹣3（x ﹣10）2+380，①﹣3＜0，①当9≤x ≤10时，y 随x 的增大而增大，当10＜x ＜15时，y 随x 的增大而减小，①当x =10时，y 有最大值，y 大=380（元）．综上所述，y 与x （1≤x ＜15）之间的函数关系式为： 217.7352(19){ 36080(915)x x y x x x -+≤<=-++≤<，第10天时销售利润最大；（3）设第15天在第14天的价格基础上最多可降a 元，由题意得：380﹣127.5≤（4﹣a ）（120﹣15）﹣（3×152﹣64×15+400），252．5≤105（4﹣a ）﹣115，a ≤0.5． 答：第15天在第14天的价格基础上最多可降0.5元．2、农经公司以30元/千克的价格收购一批农产品进行销售，为了得到日销售量p （千克）与销售价格x （元/千克）之间的关系，经过市场调查获得部分数据如下表：（1）请你根据表中数据，用所学过一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定p 与x 之间的函数表达式 （2）农经公司应该如何确定这批农产品的销售价格，才能使日销售利润最大？（3）若农经公司每销售1千克这种农产品需支出a 元（a ＞0）的相关费用，当40≤x ≤45时，农经公司的日获利的最大值为2430元，求a 的值．（日获利=日销售利润﹣日支出费用） 【解析】（1）假设P 与x 的一次函数关系,设函数关系式p kx b =+,则3060040300k b k b +=⎧⎨+=⎩,解得301500k b =-⎧⎨=⎩,①301500p x =-+,检验:当35,450x P ==,当45,150,x P ==当50,0x P ==,均符合一次函数解析式 ①所求的函数关系式301500p x =-+,（2）设日销售利润()()()3030150030w P x x x =-=-+-,即()223024004500030403000w x x x =-+-=--+,当40x =时,w 有最大值为3000元, 故这批农产口的销售价格定为40元,才能使日销售利润最大, （3）日获利()()()3030150030w p x a x x a =--=-+--, 即()()230240030150045000w x a x a =-++-+,对称轴这()2400301402302a x a +=-=+⨯-,若10a >,则当45x =时,w 有最大值,即22501502430w a =-<（不合题意）, 若10a <,则当1402x a =+时,w 有最大值, 把1402x a =+代入,可得2130101004w a a ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭, 当2430w =时,21243030101004a a ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭,解得12a =,238a =（舍去）, 综上所述,a 的值为2.3、怡然美食店的A 、B 两种菜品，每份成本均为14元，售价分别为20元、18元，这两种菜品每天的营业额共为1120元，总利润为280元． （1）该店每天卖出这两种菜品共多少份；（2）该店为了增加利润，准备降低A 种菜品的售价，同时提高B 种菜品的售价，售卖时发现，A 种菜品售价每降0.5元可多卖1份；B 种菜品售价每提高0.5元就少卖1份，如果这两种菜品每天销售总份数不变，那么这两种菜品一天的总利润最多是多少． 【解析】(1)、设该店每天卖出A 、B 两种菜品分别为x 、y 份，根据题意得：()()2018112020141814280x y x y +=⎧⎪⎨-+-=⎪⎩，解得：2040x y =⎧⎨=⎩，答：该店每天卖出这两种菜品共60份；(2)、设A 种菜品售价降0.5a 元，即每天卖（20+a ）份，总利润为w 元，因为两种菜品每天销售总份数不变，所以B 种菜品卖（40﹣a ）份，每份售价提高0.5a 元． 则w=（20﹣14﹣0.5a ）（20+a ）+（18﹣14+0.5a ）（40﹣a ）=（6﹣0.5a ）（20+a ）+（4+0.5a ）（40﹣a ）=（﹣0.5a 2﹣4a +120）+（﹣0.5a 2+16a +160） =﹣a 2+12a +280=﹣（a ﹣6）2+316， 当a =6，w 最大，w=316答：这两种菜品每天的总利润最多是316元．4、“五一”期间，恒大影城隆重开业，影城每天运营成本为1000元，试营业期间统计发现，影城每天售出的电影票张数y （张）与电影票售价x （元/张）之间满足一次函数：y =﹣4x +220（10≤x ≤50，且x 是整数），设影城每天的利润为w （元）（利润=票房收入﹣运营成本）． （1）试求w 与x 之间的函数关系式；（2）影城将电影票售价定为多少元/张时，每天获利最大？最大利润是多少元？ 【解析】（1）根据题意，得：w =（﹣4x +220）x ﹣1000=﹣4x 2+220x ﹣1000；（2）①w =﹣4x 2+220x ﹣1000=﹣4（x ﹣27.5）2+2025，①当x =27或28时，w 取得最大值，最大值为2024，答：影城将电影票售价定为27或28元/张时，每天获利最大，最大利润是2024元．5、把函数21:23(0)C y ax ax a a =--≠的图象绕点(,0)P m 旋转180，得到新函数2C 的图象，我们称2C 是1C 关于点P 的相关函数．2C 的图象的对称轴与x 轴交点坐标为(,0)t ．（1）填空：t 的值为 （用含m 的代数式表示） （2）若1a =-，当12x t ≤≤时，函数1C 的最大值为1y ，最小值为2y ，且121y y -=，求2C 的解析式； （3）当0m =时，2C 的图象与x 轴相交于,A B 两点（点A 在点B 的右侧）．与y 轴相交于点D ．把线段AD原点O 逆时针旋转90，得到它的对应线段''A D ，若线''A D 与2C 的图象有公共点，结合函数图象，求a 的取值范围．【解析】（1）221:23(1)4C y ax ax a a x a =--=--顶点(1,4)a -围绕点(,0)P m 旋转180180°的对称点为(21,4)m a -，2:(21)24C y a x m a =--++，函数的对称轴为：21x m =-，21t m =-，（2）1a =-时，21:(1)4C y x =--，①当112t ≤<时，12x =时，有最小值2154y =，x t =时，有最大值21(1)4y t =--+， 则21215(1)414y y t -=--+-=，无解； ①312t ≤≤时，1x =时，有最大值14y =，12x =时，有最小值22(1)4y t =--+，12114y y -=≠（舍去）；①当32t >时，1x =时，有最大值14y =，x t =时，有最小值22(1)4y t =--+，212(1)1y y t -=-=，解得：0t =或2（舍去0），故222:(2)44C y x x x =--=-；（3）0m =，22:(1)4C y a x a =-++，点'',,,,A B D A D 的坐标分别为(1,0),(3,0),(0,3),(0,1),(3,0)a a --，当0a >时，a 越大，则OD 越大，则点'D 越靠左，当2C 过点'A 时，2(01)41y a a =-++=，解得：13a =， 当2C 过点'D 时，同理可得：1a =， 故：103a <≤或1a ≥； 当0a <时，当2C 过点'D 时，31a -=，解得：13a =-， 故：13a ≤-； 综上，故：103a <≤或1a ≥或13a ≤-．6、湖州素有鱼米之乡之称，某水产养殖大户为了更好地发挥技术优势，一次性收购了淡水鱼，计划养殖一段时间后再出售．已知每天放养的费用相同，放养天的总成本为万元；放养天的总成本为万元（总成本=放养总费用+收购成本）．（1）设每天的放养费用是万元，收购成本为万元，求和的值； （2）设这批淡水鱼放养天后的质量为（），销售单价为元/．根据以往经验可知：与的函数关系为；与的函数关系如图所示． ①分别求出当和时，与的函数关系式；①设将这批淡水鱼放养天后一次性出售所得利润为元，求当为何值时，最大？并求出最大值．（利润=销售总额-总成本）【解析】（1）由题意得，解得答：a的值为0.04，b的值为30.（2）①当0≤t≤50时，设y与t的函数关系式为y=k1t+n1把点（0，15）和（50，25）的坐标分别代入y=k1t+n1，得解得①y与t的函数关系式为y=t+15当50＜t≤100时，设y与t的函数关系式为y=k2t+n2把点（50，25）和（100，20）的坐标分别代入y=k2t+n2，得解得①y与t的函数关系式为y=t+30①由题意得，当0≤t≤50时，W=20000×（t+15）-（400t+300000）=3600t①3600＞0，①当t=50时，W最大值=180000（元）当50＜t≤100时，W=（100t+15000）（t+30）-（400t+300000）=-10t2+1100t+150000=-10（t-55）2+180250①-10＜0，①当t=55时，W最大值=180250综上所述，当t为55天时，W最大，最大值为180250元.7、某农场拟建一间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠现有墙（墙足够长），已知计划中的建筑材料可建围墙的总长度为50m．设饲养室为长为x（m），占地面积为．（1）如图，问饲养室为长x为多少时，占地面积y最大？（2）如图，现要求在图中所示位置留2m的门，且仍使饲养室占地面积最大．小敏说：“只要饲养室长比（1）中的长多2m就行了．”请你通过计算，判断小敏的说法是否正确．【解析】（1）①=，①当x=25时，占地面积y最大；（2）=，①当x=26时，占地面积y最大．即当饲养室长为26m时，占地面积最大．①26-25=1≠2，①小敏的说法不正确．8、铁岭“荷花节”举办了为期15天的“荷花美食”厨艺秀．小张购进一批食材制作特色美食，每盒售价为50元，由于食材需要冷藏保存，导致成本逐日增加，第x 天（1≤x ≤15且x 为整数）时每盒成本为p 元，已知p 与x 之间满足一次函数关系；第3天时，每盒成本为21元；第7天时，每盒成本为25元，每天的销售量为y 盒，y 与x 之间的关系如下表所示：（1）求p 与x 的函数关系式；（2）若每天的销售利润为w 元，求w 与x 的函数关系式，并求出第几天时当天的销售利润最大，最大销售利润是多少元？（3）在“荷花美食”厨艺秀期间，共有多少天小张每天的销售利润不低于325元？请直接写出结果． 【解析】（1）设p =kx +b （k ≠0），①第3天时，每盒成本为21元；第7天时，每盒成本为25元，①321725k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得：118k b =⎧⎨=⎩，所以p =x +18；（2）1≤x ≤6时，w =10[50﹣（x +18）]=﹣10x +320，6＜x ≤15时，w =[50﹣（x +18）]（x +6）=﹣x 2+26x +192，所以，w 与x 的函数关系式为210320(16)26192(615)x x w x x x -+≤≤⎧=⎨-++<≤⎩， 当1≤x ≤6时，①﹣10＜0，①w 随x 的增大而减小，①当x =1时，w 最大为﹣10+320=310，6＜x ≤15时，w =﹣x 2+26x +192=﹣（x ﹣13）2+361，①当x =13时，w 最大为361， 综上所述，第13天时当天的销售利润最大，最大销售利润是361元；（3）w =325时，﹣x 2+26x +192=325，x 2﹣26x +133=0，解得x 1=7，x 2=19，所以，7≤x ≤13时，即第7、8、9、10、11、12、13天共7天销售利润不低于325元．9、2016年12月29日至31日，黔南州第十届旅游产业发展大会在“中国长寿之乡”﹣﹣罗甸县举行，从中寻找到商机的人不断涌现，促成了罗甸农民工返乡创业热潮，某“火龙果”经营户有A、B两种“火龙果”促销，若买2件A种“火龙果”和1件B种“火龙果”，共需120元；若买3件A种“火龙果”和2件B种“火龙果”，共需205元．（1）设A，B两种“火龙果”每件售价分别为a元、b元，求a、b的值；（2）B种“火龙果”每件的成本是40元，根据市场调查：若按（1）中求出的单价销售，该“火龙果”经营户每天销售B种“火龙果”100件；若销售单价每上涨1元，B种“火龙果”每天的销售量就减少5件．①求每天B种“火龙果”的销售利润y（元）与销售单价（x）元之间的函数关系？①求销售单价为多少元时，B种“火龙果”每天的销售利润最大，最大利润是多少？【解析】（1）根据题意得：2120{32205a ba b+=+=，解得：a=35，b=50；（2）①由题意得：y=（x﹣40）[100﹣5（x﹣50）]①y=﹣5x2+550x﹣14000；①①y=﹣5x2+550x﹣14000=﹣5（x﹣55）2+1125，①当x=55时，y最大=1125，①销售单价为55元时，B商品每天的销售利润最大，最大利润是1125元．10、鄂州某个体商户购进某种电子产品的进价是50元/个，根据市场调研发现售价是80元/个时，每周可卖出160个，若销售单价每个降低2元，则每周可多卖出20个．设销售价格每个降低x元（x为偶数），每周销售为y个．（1）直接写出销售量y个与降价x元之间的函数关系式；（2）设商户每周获得的利润为W元，当销售单价定为多少元时，每周销售利润最大，最大利润是多少元？（3）若商户计划下周利润不低于5200元的情况下，他至少要准备多少元进货成本？【解析】（1）依题意有：y=10x+160；（2）依题意有：W=（80﹣50﹣x）（10x+160）=﹣10（x﹣7）2+5290，①-10＜0且x为偶数，故当x=6或x=8时，即故当销售单价定为74或72元时，每周销售利润最大，最大利润是5280元；（3）依题意有：﹣10（x﹣7）2+5290≥5200，解得4≤x≤10，则200≤y≤260，200×50=10000（元）．答：他至少要准备10000元进货成本．11、鄂州某个体商户购进某种电子产品的进价是50元/个，根据市场调研发现售价是80元/个时，每周可卖出160个，若销售单价每个降低2元，则每周可多卖出20个．设销售价格每个降低x元（x为偶数），每周销售为y个．（1）直接写出销售量y个与降价x元之间的函数关系式；（2）设商户每周获得的利润为W元，当销售单价定为多少元时，每周销售利润最大，最大利润是多少元？（3）若商户计划下周利润不低于5200元的情况下，他至少要准备多少元进货成本？【解析】（1）依题意有：y=10x+160；（2）依题意有：W=（80﹣50﹣x）（10x+160）=﹣10（x﹣7）2+5290，①-10＜0且x为偶数，故当x=6或x=8时，即故当销售单价定为74或72元时，每周销售利润最大，最大利润是5280元；（3）依题意有：﹣10（x﹣7）2+5290≥5200，解得4≤x≤10，则200≤y≤260，200×50=10000（元）．答：他至少要准备10000元进货成本．12、某驻村扶贫小组实施产业扶贫，帮助贫困农户进行西瓜种植和销售.已知西瓜的成本为6元/千克，规定销售单价不低于成本，又不高于成本的两倍.经过市场调查发现，某天西瓜的销售量y (千克)与销售单价x (元/千克)的函数关系如下图所示：(1)求y 与x 的函数解析式(也称关系式)；(2)求这一天销售西瓜获得的利润的最大值.【解析】(1)当6≤x ≤10时，由题意设y ＝kx ＋b (k ＝0)，它的图象经过点(6，1000)与点(10，200)， ①1000620010k b k b =+⎧⎨=+⎩ ，解得2002200k b =-⎧⎨=⎩， ①当6≤x ≤10时， y ＝-200x +2200，当10＜x ≤12时，y ＝200，综上，y 与x 的函数解析式为()()20022006102001012x x y x ⎧-+≤≤⎪=⎨<≤⎪⎩ (2)设利润为w 元，当6≤x ≤10时，y ＝－200x ＋2200，w ＝(x －6)y ＝(x －6)(－200x ＋200)＝－2002172x -（）＋1250， ①－200＜0，6①x ≤10，当x ＝172时，w 有最大值，此时w=1250； 当10＜x ≤12时，y ＝200，w ＝(x －6)y ＝200(x －6)＝200x －1200，①200＞0，①w ＝200x －1200随x 增大而增大，又①10＜x ≤12，①当x ＝12时，w 最大，此时w=1200，1250＞1200，①w 的最大值为1250，答：这一天销售西瓜获得利润的最大值为1250元.13、我市某化工材料经销商购进一种化工材料若干千克，成本为每千克30元，物价部门规定其销售单价不低于成本价且不高于成本价的2倍，经试销发现，日销售量y （千克）与销售单价x （元）符合一次函数关系，如图所示．（1）求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（2）若在销售过程中每天还要支付其他费用450元，当销售单价为多少时，该公司日获利最大？最大获利是多少元？【解析】（1）设一次函数关系式为(0)y kx b k =+≠由图象可得，当30x =时，140y =；50x =时，100y =①1403010050k b k b =+⎧⎨=+⎩，解得k 2b 200=-⎧⎨=⎩ ①y 与x 之间的关系式为2200(3060)y x x =-+≤≤．（2）设该公司日获利为W 元，由题意得2(30)(2200)4502(65)2000W x x x =--+-=--+①20a =-<；①抛物线开口向下；①对称轴65x =；①当65x <时，W 随着x 的增大而增大；①3060x ≤≤，①60x =时，W 有最大值；22(6065)200015=90W -⨯-+=最大值．即，销售单价为每千克60元时，日获利最大，最大获利为1950元．。

初中数学最值问题专题4 费马点中三线段模型与最值问题【专题说明】费马点”是指位于三角形内且到三角形三个顶点距高之和最短的点。

主要分为两种情况：（1）当三角形三个内角都小于120°的三角形，通常将某三角形绕点旋转60度，从而将“不等三爪图”中三条线段转化在同一条直线上，利用两点之间线段最短解决问题。

（2）当三角形有一个内角大于120°时，费马点就是此内角的顶点.费马点问题解题的核心技巧：旋转60° 构造等边三角形将“不等三爪图”中三条线段转化至同一直线上利用两点之间线段最短求解问题【模型展示】问题：在△ABC内找一点P，使得P A+PB+PC最小．APB C【分析】在之前的最值问题中，我们解决的依据有：两点之间线段最短、点到直线的连线中垂线段最短、作对称化折线段为直线段、确定动点轨迹求最值等．（1）如图，分别以△ABC中的AB、AC为边，作等边△ABD、等边△ACE．（2）连接CD、BE，即有一组手拉手全等：△ADC≌△ABE．（3）记CD、BE交点为P，点P即为费马点．（到这一步其实就可以了）（4）以BC为边作等边△BCF，连接AF，必过点P，有∠P AB=∠BPC=∠CP A=120°．在图三的模型里有结论：（1）∠BPD=60°；（2）连接AP，AP平分∠DPE．有这两个结论便足以说明∠P AB=∠BPC=∠CP A=120°．原来在“手拉手全等”就已经见过了呀，只是相逢何必曾相识！【例题】1、如图，四边形ABCD 是菱形，AB =4，且∠ABC =∠ABE =60°，G 为对角线BD （不含B 点）上任意一点，将∠ABG 绕点B 逆时针旋转60°得到∠EBF ，当AG +BG +CG 取最小值时EF 的长（ ）A ．B ．C ．D ．2、如图，将ABC ∆绕点A 逆时针旋转60°得到ADE ∆，DE 与BC 交于点P ，可推出结论：PA PC PE +=问题解决：如图，在MNG ∆中，6MN =，75M ∠=︒，MG =O 是MNG ∆内一点，则点O 到MNG ∆三个顶点的距离和的最小值是___________3、如图，四边形ABCD是菱形，A B=6，且∠ABC=60° ，M是菱形内任一点，连接AM，BM，CM，则AM+BM+CM的最小值为________．4、如图，∠ABC中，∠BAC＝30°且AB＝AC，P是底边上的高AH上一点．若AP+BP+CP的最小值为，则BC＝_____．5、如图，四边形ABCD 是正方形，∠ABE 是等边三角形，M 为对角线BD （不含B 点）上任意一点，将BM 绕点B 逆时针旋转60°得到BN ，连接EN 、AM 、CM .∠ 求证：∠AMB ∠∠ENB ；∠ ∠当M 点在何处时，AM ＋CM 的值最小；∠当M 点在何处时，AM ＋BM ＋CM 的值最小，并说明理由； ∠ 当AM ＋BM ＋CM 的最小值为13 时，求正方形的边长.EA DB CNMF EA DB CNM6、在正方形ABCD中，点E为对角线AC（不含点A）上任意一点，AB=（1）如图1，将∠ADE绕点D逆时针旋转90°得到∠DCF，连接EF；∠把图形补充完整（无需写画法）；∠求2EF的取值范围；(2)如图2，求BE+AE+DE的最小值．专题4 费马点中三线段模型与最值问题答案【专题说明】费马点”是指位于三角形内且到三角形三个顶点距高之和最短的点。

初中数学几何模型与最值问题专题10 一次函数在实际应用中的最值问题【专题说明】1、通过图象获取信息通过观察一次函数的图象获取有用的信息是我们在日常生活中经常遇到的问题，要掌握这个重点在于对函数图象的观察和【分析】，观察函数图象时，首先要看横轴、纵轴分别代表的是什么，也就是观察图象反映的是哪两个变量之间的关系．【注】函数图象中的特殊点观察图象获取信息时，一定要注意图象上的特殊点，这些特殊点对我们解决问题有很大的帮助．2、一次函数图象的应用一次函数和正比例函数是我们接触到的最简单的函数，它们的图象和性质在现实生活中有着广泛的应用．利用一次函数和正比例函数的图象解决问题是本节的一个重点，这部分内容在中考中占有重要的地位．【注】函数y＝kx＋b图象的变化形式在实际问题中，当自变量的取值范围受到一定的限制时，函数y＝kx＋b(k≠0)的图象就不再是一条直线．要根据实际情况进行【分析】，其图象可能是射线、线段或折线等等．1、甲、乙两个工程队分别同时开挖两段河渠，所挖河渠的长度y(m)与挖掘时间x(h)之间的关系如图所示，请根据图象所提供的信息解答下列问题：(1)乙队开挖到30 m时，用了________ h．开挖6 h时甲队比乙队多挖了_______ m.(2)请你求出：①甲队在0≤x≤6的时段内，y与x之间的函数关系式；②乙队在2≤x≤6的时段内，y与x之间的函数关系式．(3)当x为何值时，甲、乙两队在施工过程中所挖河渠的长度相等？2、某单位急需用车，但又不准备买车，他们准备和一个体车主或一国有出租车公司签订月租车合同．设汽车每月行驶x km，应付给个体车主的月费用为y1元，应付给国有出租车公司的月费用是y2元，y1，y2分别与x之间的函数关系图象(两条射线)如图，观察图象回答下列问题：(1)每月行驶的路程在什么范围内时，租国有出租车公司的车合算？(2)每月行驶的路程等于多少时，租两家车的费用相同？(3)如果这个单位估计每月行驶的路程为2 600 km，那么这个单位租哪家车合算？3、某汽车生产厂对其生产的A型汽车进行耗油量实验，实验中汽车视为匀速行驶．已知油箱中的余油量y(L)与行驶时间t(h)的关系如下表，与行驶路程x(km)的关系如下图．请你根据这些信息求A型车在实验中速度.3、有A B、两个发电厂，每焚烧一吨垃圾，A发电厂比B发电厂多发40度电，A焚烧20吨垃圾比B焚烧30吨垃圾少1800度电.（1）求焚烧1吨垃圾，A和B各发多少度电？（2）A B、两个发电厂共焚烧90吨垃圾，A焚烧的垃圾不多于B焚烧的垃圾的两倍，求A厂和B厂总发电量的最大值.4、学校计划为“我和我的祖国”演讲比赛购买奖品．已知购买3个A奖品和2个B奖品共需120元；购买5个A奖品和4个B奖品共需210元．（1）求A，B两种奖品的单价；（2）学校准备购买A，B两种奖品共30个，且A奖品的数量不少于B奖品数量的13．请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．5、某网店销售甲、乙两种防雾霾口罩，已知甲种口罩每袋的售价比乙种口罩多5元，小丽从该网店网购2袋甲种口罩和3袋乙种口罩共花费110元．（1）改网店甲、乙两种口罩每袋的售价各多少元？（2）根据消费者需求，网店决定用不超过10000元购进价、乙两种口罩共500袋，且甲种口罩的数量大于乙种口罩的45，已知甲种口罩每袋的进价为22.4元，乙种口罩每袋的进价为18元，请你帮助网店计算有几种进货方案？若使网店获利最大，应该购进甲、乙两种口罩各多少袋，最大获利多少元？6、某班级45名同学自发筹集到1700元资金，用于初中毕业时各项活动的经费．通过商议，决定拿出不少于544元但不超过560元的资金用于请专业人士拍照，其余资金用于给每名同学购买一件文化衫或一本制作精美的相册作为纪念品．已知每件文化衫28元，每本相册20元．（1）适用于购买文化衫和相册的总费用为W元，求总费用W（元）与购买文化衫件数t（件）函数关系式（2）购买文化衫和相册有哪几种方案？为了使拍照的资金更充足，应选择哪种方案，并说明理由．7、江南农场收割小麦，已知1台大型收割机和3台小型收割机1小时可以收割小麦1.4公顷，2台大型收割机和5台小型收割机1小时可以收割小麦2.5公顷．（1）每台大型收割机和每台小型收割机1小时收割小麦各多少公顷？（2）大型收割机每小时费用为300元，小型收割机每小时费用为200元，两种型号的收割机一共有10台，要求2小时完成8公顷小麦的收割任务，且总费用不超过5400元，有几种方案？请指出费用最低的一种方案，并求出相应的费用．8、为了推进我州校园篮球运动的发展，2017年四川省中小学生男子篮球赛于2月在西昌成功举办．在此期间，某体育文化用品商店计划一次性购进篮球和排球共60个，其进价与售价间的关系如下表：（1）商店用4200元购进这批篮球和排球，求购进篮球和排球各多少个？（2）设商店所获利润为y（单位：元），购进篮球的个数为x（单位：个），请写出y与x之间的函数关系式（不要求写出x的取值范围）；（3）若要使商店的进货成本在4300元的限额内，且全部销售完后所获利润不低于1400元，请你列举出商店所有进货方案，并求出最大利润是多少？9、为解决消费者停车难的问题，某商场新建一小型轿车停车场，经测算，此停车场每天需固定支出的费用（包括设施维修费、管理人员工资等）为600元，为制定合理的收费标准，该商场对每天轿车停放辆次（每辆轿车每停放一次简称为“辆次”）与每辆轿车的收费情况进行调查，发现每辆次轿车的停车费定价不超过10元时，每天来此停放的轿车都为300辆次；若每辆次轿车的停车费定价超过10元，则每超过1元，每天来此停放的轿车就减少12辆次，设每辆次轿车的停车费x元（为便于结算，停车费x只取整数），此停车场的日净收入为y元（日净收入=每天共收停车费﹣每天固定的支出）回答下列问题：（1）①当x≤10时，y与x的关系式为：；①当x＞10时，y与x的关系式为：；（2）停车场能否实现3000元的日净收入？如能实现，求出每辆次轿车的停车费定价，如不能实现，请说明理由；（3）该商场要求此停车场既要吸引顾客，使每天轿车停放的辆次较多，又要有最大的日净收入，按此要求，每辆次轿车的停车费定价应定为多少元？此时最大日净收入是多少元？10、攀枝花芒果由于品质高、口感好而闻名全国，通过优质快捷的网络销售渠道，小明的妈妈先购买了2箱A品种芒果和3箱B品种芒果，共花费450元；后又购买了l箱A品种芒果和2箱B品种芒果，共花费275元（每次两种芒果的售价都不变）．（1）问A品种芒果和B品种芒果的售价分别是每箱多少元？（2）现要购买两种芒果共18箱，要求B品种芒果的数量不少于A品种芒果数量的2倍，但不超过A品种芒果数量的4倍，请你设计购买方案，并写出所需费用最低的购买方案．专题10 一次函数在实际应用中的最值问题答案【专题说明】1、通过图象获取信息通过观察一次函数的图象获取有用的信息是我们在日常生活中经常遇到的问题，要掌握这个重点在于对函数图象的观察和【分析】，观察函数图象时，首先要看横轴、纵轴分别代表的是什么，也就是观察图象反映的是哪两个变量之间的关系．【注】函数图象中的特殊点观察图象获取信息时，一定要注意图象上的特殊点，这些特殊点对我们解决问题有很大的帮助．2、一次函数图象的应用一次函数和正比例函数是我们接触到的最简单的函数，它们的图象和性质在现实生活中有着广泛的应用．利用一次函数和正比例函数的图象解决问题是本节的一个重点，这部分内容在中考中占有重要的地位．【注】函数y＝kx＋b图象的变化形式在实际问题中，当自变量的取值范围受到一定的限制时，函数y＝kx＋b(k≠0)的图象就不再是一条直线．要根据实际情况进行【分析】，其图象可能是射线、线段或折线等等．1、甲、乙两个工程队分别同时开挖两段河渠，所挖河渠的长度y(m)与挖掘时间x(h)之间的关系如图所示，请根据图象所提供的信息解答下列问题：(1)乙队开挖到30 m时，用了________ h．开挖6 h时甲队比乙队多挖了_______ m.(2)请你求出：①甲队在0≤x≤6的时段内，y与x之间的函数关系式；②乙队在2≤x≤6的时段内，y与x之间的函数关系式．(3)当x为何值时，甲、乙两队在施工过程中所挖河渠的长度相等？【分析】(1)由图象可以直接看出乙队开挖到30 m时，用了2 h．开挖6 h时甲队比乙队多挖了10 m；(2)设甲队在0≤x≤6的时段内y与x之间的函数关系式为y＝k1x(k1≠0)，由图可知，函数图象过点(6,60)，∴6k1＝60，解得k1＝10，∴y＝10x.设乙队在2≤x≤6的时段内y与x之间的函数关系式为y＝k2x＋b(k2≠0)，由图可知，函数图象过点(2,30)，(6,50)，代入y＝k2x＋b，求出k2＝5，b＝20，∴y＝5x＋20.(3)由题意，得10x＝5x ＋20，解得x＝4(h)．【解析】(1)210(2)①y＝10x.②y＝5x＋20.(3)由题意，得10x＝5x＋20，解得x＝4(h)．故当x为4 h时，甲、乙两队所挖的河渠长度相等．2、某单位急需用车，但又不准备买车，他们准备和一个体车主或一国有出租车公司签订月租车合同．设汽车每月行驶x km，应付给个体车主的月费用为y1元，应付给国有出租车公司的月费用是y2元，y1，y2分别与x之间的函数关系图象(两条射线)如图，观察图象回答下列问题：(1)每月行驶的路程在什么范围内时，租国有出租车公司的车合算？(2)每月行驶的路程等于多少时，租两家车的费用相同？(3)如果这个单位估计每月行驶的路程为2 600 km，那么这个单位租哪家车合算？【分析】本题从给出的两个函数图象中可获取以下信息：都是一次函数，一个是正比例函数；两条直线交点的横坐标为1 500；表明当x＝1 500时，两个函数值相等；根据图象可知：x＞1 500时，y2＞y1；0＜x＜1 500时，y2＜y1.【解析】观察图象，得：(1)每月行驶的路程小于1 500 km时，租国有出租车公司的车合算；(2)每月行驶的路程为1 500 km时，租两家车的费用相同；(3)如果每月行驶的路程为2 600 km，那么这个单位租个体车主的车合算．析规律函数图象交点规律两函数图象在同一坐标系中，当取相同的自变量时，下方图象对应的函数的函数值小；交点处函数值相等3、某汽车生产厂对其生产的A型汽车进行耗油量实验，实验中汽车视为匀速行驶．已知油箱中的余油量y(L)与行驶时间t(h)的关系如下表，与行驶路程x(km)的关系如下图．请你根据这些信息求A型车在实验中速度.【分析】考查综合利用一次函数的相关知识解决问题的能力．解法一：∵余油量y与行驶路程x的关系图象是一条直线，∴可设关系式为y＝kx＋b(k≠0)．由图象可知y＝kx＋b经过两点(0,100)和(500,20)，则有b＝100,20＝500k＋b.把b＝100代入20＝500k＋b，得20＝500k＋100，解得k＝－425.∴直线的解析式为y＝－425x＋100.当y＝100时，x＝0；当y＝84时，x＝100.由图表可知，油箱中的余油量从100 L到84 L，行驶时间是1 h，行驶路程是100 km. ∴A型汽车的速度为100 km/h.解法二：由图表可知：A型汽车每行驶1 h的路程耗油16L.由图象可知：A型汽车耗油80 L所行驶的路程为500 km.可设汽车耗油16 L所行驶的路程为x km，则500∶80＝x∶16，解得x＝100.∴A型汽车1 h行驶的路程为100 km.∴它的速度为100 km/h.【小结】有时，我们利用一次函数的图象求一元一次方程的近似解．3、有A B 、两个发电厂，每焚烧一吨垃圾，A 发电厂比B 发电厂多发40度电，A 焚烧20吨垃圾比B 焚烧30吨垃圾少1800度电.（1）求焚烧1吨垃圾，A 和B 各发多少度电？（2）A B 、两个发电厂共焚烧90吨垃圾，A 焚烧的垃圾不多于B 焚烧的垃圾的两倍，求A 厂和B 厂总发电量的最大值.【解析】（1）设焚烧1吨垃圾，A 发电厂发电a 度，B 发电厂发电b 度，则4030201800a b b a -=⎧⎨-=⎩，解得：300260a b =⎧⎨=⎩ 答：焚烧1吨垃圾，A 发电厂发电300度，B 发电厂发电260度.（2）设A 发电厂焚烧x 吨垃圾，则B 发电厂焚烧()90x -吨，总发电量为y 度，则 300260(90)4023400y x x x =+-=+①2(90)x x ≤-①60x ≤①y 随x 的增大而增大①当60x =时，y 取最大值25800度.4、学校计划为“我和我的祖国”演讲比赛购买奖品．已知购买3个A 奖品和2个B 奖品共需120元；购买5个A 奖品和4个B 奖品共需210元．（1）求A ，B 两种奖品的单价；（2）学校准备购买A ，B 两种奖品共30个，且A 奖品的数量不少于B 奖品数量的13．请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．【解析】（1）设A 的单价为x 元，B 的单价为y 元， 根据题意，得3212054210x y x y +=⎧⎨+=⎩，3015x y =⎧∴⎨=⎩，∴A 的单价30元，B 的单价15元； （2）设购买A 奖品z 个，则购买B 奖品为(30)z -个，购买奖品的花费为W 元， 由题意可知，1(30)3z z ≥-，152z ∴≥， 3015(30)45015W z z z =+-=+，当=8z 时，W 有最小值为570元，即购买A 奖品8个，购买B 奖品22个，花费最少；5、某网店销售甲、乙两种防雾霾口罩，已知甲种口罩每袋的售价比乙种口罩多5元，小丽从该网店网购2袋甲种口罩和3袋乙种口罩共花费110元．（1）改网店甲、乙两种口罩每袋的售价各多少元？（2）根据消费者需求，网店决定用不超过10000元购进价、乙两种口罩共500袋，且甲种口罩的数量大于乙种口罩的45，已知甲种口罩每袋的进价为22.4元，乙种口罩每袋的进价为18元，请你帮助网店计算有几种进货方案？若使网店获利最大，应该购进甲、乙两种口罩各多少袋，最大获利多少元？【解析】（1）设该网店甲种口罩每袋的售价为x元，乙种口罩每袋的售价为y元，根据题意得：5 23110 x yx y-=⎧⎨+=⎩，解这个方程组得：2520xy=⎧⎨=⎩，故该网店甲种口罩每袋的售价为25元，乙种口罩每袋的售价为20元；（2）设该网店购进甲种口罩m袋，购进乙种口罩（500﹣m）袋，根据题意得4(500)522.418(500)10000 m mm m⎧>-⎪⎨⎪+-≤⎩，解这个不等式组得：222.2＜m≤227.3，因m为整数，故有5种进货方案，分别是：购进甲种口罩223袋，乙种口罩277袋；购进甲种口罩224袋，乙种口罩276袋；购进甲种口罩225袋，乙种口罩275袋；购进甲种口罩226袋，乙种口罩274袋；购进甲种口罩227袋，乙种口罩273袋；设网店获利w元，则有w=（25﹣22.4）m+（20﹣18）（500﹣m）=0.6m+1000，故当m=227时，w最大，w最大=0.6×227+1000=1136.2（元），故该网店购进甲种口罩227袋，购进乙种口罩273袋时，获利最大，最大利润为1136.2元．6、某班级45名同学自发筹集到1700元资金，用于初中毕业时各项活动的经费．通过商议，决定拿出不少于544元但不超过560元的资金用于请专业人士拍照，其余资金用于给每名同学购买一件文化衫或一本制作精美的相册作为纪念品．已知每件文化衫28元，每本相册20元．（1）适用于购买文化衫和相册的总费用为W元，求总费用W（元）与购买文化衫件数t（件）函数关系式（2）购买文化衫和相册有哪几种方案？为了使拍照的资金更充足，应选择哪种方案，并说明理由．【解析】（1）设购买的文化衫t件，则购买相册（45﹣t）件，根据题意得：W=28t+20×（45﹣t）=8t+900．（2）根据题意得：，解得：30≤t≤32，①有三种购买方案：方案一：购买30件文化衫、15本相册；方案二：购买31件文化衫、14本相册；方案三：购买32件文化衫、13本相册．①W=8t+900中W随x的增大而增大，①当t=30时，W取最小值，此时用于拍照的费用最多，①为了使拍照的资金更充足，应选择方案一：购买30件文化衫、15本相册．7、江南农场收割小麦，已知1台大型收割机和3台小型收割机1小时可以收割小麦1.4公顷，2台大型收割机和5台小型收割机1小时可以收割小麦2.5公顷．（1）每台大型收割机和每台小型收割机1小时收割小麦各多少公顷？（2）大型收割机每小时费用为300元，小型收割机每小时费用为200元，两种型号的收割机一共有10台，要求2小时完成8公顷小麦的收割任务，且总费用不超过5400元，有几种方案？请指出费用最低的一种方案，并求出相应的费用．【解析】（1）设每台大型收割机1小时收割小麦x公顷，每台小型收割机1小时收割小麦y公顷，根据题意得：，解得：．答：每台大型收割机1小时收割小麦0.5公顷，每台小型收割机1小时收割小麦0.3公顷．（2）设大型收割机有m台，总费用为w元，则小型收割机有（10﹣m）台，根据题意得：w=300×2m+200×2（10﹣m）=200m+4000．①2小时完成8公顷小麦的收割任务，且总费用不超过5400元，①，解得：5≤m≤7，①有三种不同方案．①w=200m+4000中，200＞0，①w值随m值的增大而增大，①当m=5时，总费用最小，最小值为5000元答：有三种方案，当大型收割机和小型收割机各5台时，总费用最低，最低费用为5000元．8、为了推进我州校园篮球运动的发展，2017年四川省中小学生男子篮球赛于2月在西昌成功举办．在此期间，某体育文化用品商店计划一次性购进篮球和排球共60个，其进价与售价间的关系如下表：（1）商店用4200元购进这批篮球和排球，求购进篮球和排球各多少个？（2）设商店所获利润为y（单位：元），购进篮球的个数为x（单位：个），请写出y与x之间的函数关系式（不要求写出x的取值范围）；（3）若要使商店的进货成本在4300元的限额内，且全部销售完后所获利润不低于1400元，请你列举出商店所有进货方案，并求出最大利润是多少？【解析】（1）设购进篮球m个，排球n个，根据题意得：6080504200m nm n+=⎧⎨+=⎩，解得：4020mn=⎧⎨=⎩．答：购进篮球40个，排球20个．（2）设商店所获利润为y元，购进篮球x个，则购进排球（60﹣x）个，根据题意得：y=（105﹣80）x+（70﹣50）（60﹣x）=5x+1200，①y与x之间的函数关系式为：y=5x+1200．（3）设购进篮球x个，则购进排球（60﹣x）个，根据题意得：512001400 8050(60)4300 xx x+≥⎧⎨+-≤⎩，解得：40≤x≤1303．①x取整数，①x=40，41，42，43，共有四种方案，方案1：购进篮球40个，排球20个；方案2：购进篮球41个，排球19个；方案3：购进篮球42个，排球18个；方案4：购进篮球43个，排球17个．①在y=5x+1200中，k=5＞0，①y随x的增大而增大，①当x=43时，可获得最大利润，最大利润为5×43+1200=1415元．9、为解决消费者停车难的问题，某商场新建一小型轿车停车场，经测算，此停车场每天需固定支出的费用（包括设施维修费、管理人员工资等）为600元，为制定合理的收费标准，该商场对每天轿车停放辆次（每辆轿车每停放一次简称为“辆次”）与每辆轿车的收费情况进行调查，发现每辆次轿车的停车费定价不超过10元时，每天来此停放的轿车都为300辆次；若每辆次轿车的停车费定价超过10元，则每超过1元，每天来此停放的轿车就减少12辆次，设每辆次轿车的停车费x元（为便于结算，停车费x只取整数），此停车场的日净收入为y元（日净收入=每天共收停车费﹣每天固定的支出）回答下列问题：（1）①当x≤10时，y与x的关系式为：；①当x＞10时，y与x的关系式为：；（2）停车场能否实现3000元的日净收入？如能实现，求出每辆次轿车的停车费定价，如不能实现，请说明理由；（3）该商场要求此停车场既要吸引顾客，使每天轿车停放的辆次较多，又要有最大的日净收入，按此要求，每辆次轿车的停车费定价应定为多少元？此时最大日净收入是多少元？【解析】(1)①由题意得：y=300x﹣600；①由题意得：y=[300﹣12（x﹣10）]x﹣600，即y=﹣12x2+420x﹣600；(2)依题意有：﹣12x2+420x﹣600=3000，解得x1=15，x2=20．故停车场能实现3000元的日净收入，每辆次轿车的停车费定价是15元或20元；(3)、当x≤10时，停车300辆次，最大日净收入y=300×10﹣600=2400（元）；当x＞10时，y=﹣12x2+420x﹣600=﹣12（x2﹣35x）﹣600=﹣12（x﹣17.5）2+3075，①当x=17.5时，y有最大值．但x只能取整数，①x取17或18．显然x取17时，小车停放辆次较多，此时最大日净收入为y=﹣12×0.25+3075=3072（元）．由上可得，每辆次轿车的停车费定价应定为17元，此时最大日净收入是3072元．10、攀枝花芒果由于品质高、口感好而闻名全国，通过优质快捷的网络销售渠道，小明的妈妈先购买了2箱A品种芒果和3箱B品种芒果，共花费450元；后又购买了l箱A品种芒果和2箱B品种芒果，共花费275元（每次两种芒果的售价都不变）．（1）问A品种芒果和B品种芒果的售价分别是每箱多少元？（2）现要购买两种芒果共18箱，要求B品种芒果的数量不少于A品种芒果数量的2倍，但不超过A品种芒果数量的4倍，请你设计购买方案，并写出所需费用最低的购买方案．【解析】（1）设A品种芒果箱x元，B品种芒果为箱y元，根据题意得：23450{2275x yx y+=+=，解得：75{100xy==.答：A品种芒果售价为每箱75元，B品种芒果售价为每箱100元．（2）设A品种芒果n箱，总费用为m元，则B品种芒果18﹣n箱，①18﹣n≥2n且18﹣n≤4n，① 185≤n≤6，①n非负整数，①n=4，5，6，相应的18﹣n=14，13，12；①购买方案有：A品种芒果4箱，B品种芒果14箱；A品种芒果5箱，B品种芒果13箱；A品种芒果6箱，B品种芒果12箱；∴所需费用m分别为：4×75+14×100=1700元；5×75+13×100=1675元；6×75+12×100=1650元，∴购进A 品种芒果6箱，B品种芒果12箱总费用最少．。