费马点模型【模型分析】费马点是指平面内到三角形三个顶点距离之和最小的点，这个最小的距离叫做费马距离．若三角形内有一个内角大于等于120°，则此钝角的顶点就是到三个顶点距离之和最小的点．若三角形的内角均小于120°，那么三角形的费马点与各顶点的连线三等分费马点所在的周角；1、若三角形有一个内角大于等于120°，则此钝角的顶点即为该三角形的费马点如图在△ABC中，∠BAC≥120°，求证：点A为△ABC的费马点证明：如图，在△ABC内有一点P延长BA至C，使得AC＝AC，作∠CAP＝∠CAP，并且使得AP＝AP，连结PP则△APC≌△APC，PC＝PC因为∠BAC≥120°所以∠P AP′＝∠CAC≤60所以在等腰△P AP中，AP≥PP′所以P A＋PB＋PC≥PP′＋PB＋PC＞BC＝AB＋AC所以点A为△ABC的费马点2、若三角形内角均小于120°，则以三角形的任意两边向外作等边三角形，两个等边三角形外接圆在三角形内的交点即为该三角形的费马点．如图，在△ABC中三个内角均小于120°，分别以AB、AC为边向外作等边三角形，两个等边三角形的外接圆在△ABC内的交点为O，求证：点O为△ABC的费马点证明：在△ABC内部任意取一点O，；连接OA、OB、OC将△AOC绕着点A逆时针旋转60°，得到△AO′D连接OO′则O′D＝OC所以△AOO′等边三角形，OO′＝AO所以OA＋OC＋OB＝OO′＋OB＋O′D则当点B、O、O′、D四点共线时，OA＋OB＋OC最小此时AB、AC为边向外作等边三角形，两个等边三角形的外接圆在△ABC内的交点即为点O3、如图，在△ABC中，若∠BAC、∠ABC、∠ACB均小于120°，O为费马点，则有∠AOB＝∠BOC＝∠COA＝120°，所以三角形的费马点也叫三角形的等角中心类型一线段的系数都相同求线段的和的情况（费马点）考法1：费马点在三角形中运用例11. 如图，在△ABC 中，P 为平面内一点，连结PA ，PB ，PC ，分别以PC 和AC 为一边向右作等边三角形△PCM 和△ACD ．【探究】求证：PM ＝PC ，MD ＝PA【应用】若BC ＝a ，AC ＝b ，∠ACB ＝60°，则PA+PB+PC 的最小值是 （用a ，b 表示）【答案】【解析】【分析】探究：由等边三角形的性质得出PM ＝PC ，AC ＝CD ，PC ＝CM ，∠PCM ＝∠ACD ＝60°，得出∠PCA ＝∠MCD ，证明△ACP ≌△DCM ，得出MD ＝PA ； 应用：连接BD ，由全等三角形的性质得出∠ACP ＝∠DCM ，AC ＝CD ＝b ，求出∠BCD ＝∠DCM+∠PCB+∠PCM ＝120°，作DF ⊥BC 于F ，则∠CFD ＝90°，在Rt △CDF中，由直角三角形的性质得出11222CF AC b DF b ====，， 求出12BF a b =+，由勾股定理求出BD = 【详解】探究：证明：∵以PC 和AC 为一边向右作等边三角形△PCM 和△ACD ， ∴PM ＝PC ，AC ＝CD ，PC ＝CM ，∠PCM ＝∠ACD ＝60°，∴∠PCA ＝∠MCD ，在△ACP 和△DCM 中， ,AC CD PCA MCD PC CM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ACP ≌△DCM （SAS ），∴MD ＝PA ；应用：解：连接BD ，如图所示：∵△APC ≌△DCM ，∴∠ACP ＝∠DCM ，AC ＝CD ＝b ，∴∠ACP+∠PCB ＝∠DCM+∠PCB ，∴∠DCM+∠PCB ＝∠ACB ＝60°，∴∠BCD ＝∠DCM+∠PCB+∠PCM ＝60°+60°＝120°，作DF ⊥BC 于F ，则∠CFD ＝90°，在Rt △CDF 中，∵∠DCF ＝180°﹣120°＝60°，CD ＝b ，∴∠CDF ＝30°，∴1122CF AC b DF ====，， ∴12BF a b =+，∴BD =当B 、P 、M 、D 共线时，PA+PB+PC 的值最小，即PA+PB+PC ；【点睛】本题是三角形综合题目，考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质、勾股定理、最短距离等知识；熟练掌握全等三角形的判定与性质和勾股定理是解题的关键．【变式】2. 问题提出（1）如图①，在△ABC 中，BC ＝2，将△ABC 绕点B 顺时针旋转60°得到△A ′B ′C ′，则CC ′＝ ；问题探究（2）如图②，在△ABC 中，AB ＝BC ＝3，∠ABC ＝30°，点P 为△ABC 内一点，连接P A、PB、PC，求P A＋PB＋PC的最小值，并说明理由；问题解决（3）如图③，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝6，AD＝4，∠ABC＝∠BCD＝60°．在四边形ABCD内部有一点，满足∠APD＝120°，连接BP、CP，点Q为△BPC内的任意一点，是否存在一点P和一点Q，使得PQ＋BQ＋CQ有最小值？若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）2；（2）（3）存在，3【解析】【分析】（1）如图①，根据等边三角形的判定和性质解决问题即可．（2）如图②，将△ABP绕点B逆时针旋转60°得到△BFE，连接PF，EC．易证P A ＋PB＋PC＝PC＋PF＋EF，因为PC＋PF＋EF≥EC，推出当P，F在直线EC上时，P A＋PB＋PC的值最小，求出EC的长即可解决问题．（3）如图③−1中，将△PBQ绕点B逆时针旋转60°得到△EBG，则PQ＝EG，△BQG 是等边三角形，易知PQ＋BQ＋CQ＝EG＋GQ＋QC≥EC，推出EC的值最小时，QP ＋QB＋QC的值最小，如图③−2中，延长BA交CD的延长线于J，作△ADJ的外接圆⊙O，将线段BO，BP绕点B逆时针旋转60°得到线段BO′，BE，连接EO′，OB，OP．易证△BEO′≌△BPO（SAS），推出EO′＝OP，推出点E的运动轨迹是以O′为半径的圆，推出当点E在线段CO′上时，EC的值最小，最小值＝CO′−EO′．【详解】（1）如图①，由旋转的性质可知：△BCC ′是等边三角形，∴CC ′＝BC ＝2，故答案为2．（2）如图②，将△ABP 绕点B 逆时针旋转60°得到△BFE ，连接PF ，EC ．由旋转的性质可知：△PBF 是等边三角形，∴PB ＝PF ，∵P A ＝EF ，∴P A +PB +PC ＝PC +PF +EF ，∵PC +PF +EF ≥EC ，∴当P ，F 在直线EC 上时，P A +PB +PC 的值最小，根据旋转以及翻折的性质可得BC ＝BE ＝BA ＝3，∵,30EBF ABP ABP PBC ∠=∠∠+∠=︒，∴90FBP EBF PBC ∠+∠+=︒,∵EB ⊥BC ，∴EC ＝∴P A +PB +PC 的最小值为（3）如图③﹣1中，将△PBQ 绕点B 逆时针旋转60°得到△EBG ，则PQ ＝EG ，△BQG 是等边三角形，∴BQ ＝QG ，PQ ＝EG ，∴PQ +BQ +CQ ＝EG +GQ +QC ≥EC ，∴EC 的值最小时，QP +QB +QC 的值最小，如图③﹣2中，延长BA 交CD 的延长线于J ，作△ADJ 的外接圆⊙O ，将线段BO ，BP 绕点B 逆时针旋转60°得到线段BO ′，BE ，连接EO ′，OB ，OP ．∵,,BO BO BE BP O BE OBP ==∠=∠''，∴△BEO ′≌△BPO （SAS ），∴EO ′＝OP ，∵∠APD +∠AJD ＝180°，∴A ，P ，D ，J 四点共圆，∴OP ＝3，∴EO ，∴点E 的运动轨迹是以O 为半径的圆， ∴当点E 在线段CO ′上时，EC 的值最小，最小值＝CO ′﹣EO ′，连接OO ′，延长OO ′到R ，使得O ′R ＝OO ′，连接BR ，则∠OBR ＝90°，作RH ⊥CB 交CB 的延长线于H ，O ′T ⊥CH 于T ，OM ⊥BC 于M ．在Rt △OBM 中，BM ＝5，OM ，∴OB ，∴BR ＝14，由△BHR ∽△OMB ， ∴RH BM ＝BR OB ，∴RH ＝∵HR ∥O ′T ∥OM ，OO ′＝RO ′，∴TM ＝TH ，∴O ′T ＝2RH OM +∴BT 3，∴CO 3，∴CO ′﹣EO ．∴QP +QB +QC ． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了旋转变换，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用旋转法添加辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．3. 如图，在Rt ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，点D 是BC 边上一动点，连接AD ，把AD 绕点A 逆时针旋转90°，得到AE ，连接CE ，DE ．点F 是DE 的中点，连接CF ．（1）求证：2CF AD =； （2）如图2所示，在点D 运动的过程中，当2BD CD =时，分别延长CF ，BA ，相交于点G ，猜想AG 与BC 存在的数量关系，并证明你猜想的结论；（3）在点D 运动的过程中，在线段AD 上存在一点P ，使PA PB PC ++的值最小．当PA PB PC ++的值取得最小值时，AP 的长为m ，请直接用含m 的式子表示CE 的长．【答案】（1）证明见解析；（2）BC =；（3）CE 【解析】 【分析】（1）先证△BAD ≌△CAE ，可得∠ABD ＝∠ACE ＝45°，可求∠BCE ＝90°，由直角三角形的性质和等腰直角三角形的性质可得结论；（2）连接AF ，由（1）得ABD ACE ∆≅∆，CE BD =，45ACE ABD ︒∠=∠=，推出454590DCE BCA ACE ∠=∠+∠=︒+︒=︒，然后根据现有条件说明在Rt DCE 中，DE =，点A ，D ，C ，E 四点共圆，F 为圆心，则CF AF =，在Rt AGC 中，推出AG =，即可得出答案； （3）在△ABC 内取一点P ，连接AP 、BP 、CP ，将三角形ABP 绕点B 逆时针旋转60°得到△EBD，证明点P 位于线段CE 上，同理得到点P 位于线段BF 上，证明∠BPC=120°，进而得到120APB BPC CPA ∠=∠=∠=︒，设PD 为a ，得出BD =，AD BD ==，得出a m +=，解出a ，根据BD CE =即可得【详解】解：（1）证明如下：∵90BAC DAE ∠=∠=︒，∴BAD CAE ∠=∠，∵AB AC =，AD AE =，∴在ABD △和ACE 中BAD CAE AB AC AD AE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴ABD ACE ∆≅∆，∴45ABD ACE ∠=∠=︒，∴90DCE ACB ACE ∠︒=∠+∠=，在Rt ADE △中，F 为DE 中点（同时AD AE =），45ADE AED ∠=∠=︒， ∴AF DE ⊥，即Rt ADF 为等腰直角三角形，∴2AF DF AD ==， ∵CF DF =，∴CF =； （2）连接AF ，由（1）得ABD ACE ∆≅∆，CE BD =，45ACE ABD ︒∠=∠=， ∴454590DCE BCA ACE ∠=∠+∠=︒+︒=︒，在Rt DCE中，DE ==，∵F 为DE 中点，∴12DF EF DE ==， 在四边形ADCE 中，有90DAE DCE ∠=∠=︒，180DAE DCE ∠+∠=︒， ∴点A ，D ，C ，E 四点共圆，∵F 为DE 中点，∴F 为圆心，则CF AF =，在Rt AGC 中，∵CF AF =，∴F 为CG中点，即CG 2CF =，∴AG，即BC=；（3）如图1，在△ABC内取一点P，连接AP、BP、CP，将三角形ABP绕点B逆时针旋转60°得到△EBD，得到△BPD为等边三角形，所以PD=BP，∴AP+BP+CP=DE+DP+CP，++的值取得最小值时，点P位于线段CE上；∴当PA PB PC如图2，将三角形ACP绕点C顺时针旋转60°得到△FCG，得到△PCG为等边三角形，所以PC=GP，∴AP+BP+CP=GF+GP+BP，++的值取得最小值时，点P位于线段BF上；∴当PA PB PC综上所述：如图3，以AB、AC为边向外做等边三角形ABE和等边三角形ACF，连接CE、BF，则交点P为求作的点，∴△AEC≌△ABF，∴∠AEC=∠ABF，∴∠EPB=EAB=60°，∴∠BPC=120°，如图4，同理可得，120APB BPC CPA ∠=∠=∠=︒，∴60BPD ∠=︒，设PD 为a ，∴BD =， 又AD BD ==，∴a m +=，1)m a =a =又BD CE =∴CE ． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，锐角三角函数等知识，灵活运用所学知识是解本题的关键．考法2：费马点在四边形中运用例24. 如图，P 为正方形ABCD 内的动点，若AB ＝2，则P A ＋PB ＋PC 的最小值为_____．【解析】【分析】先将△BPC 绕点B 顺时针旋转60°，得到△BP 'C '，延长AB ，过C′作C′E ⊥AB 交延长线于E ，得出，当点A 、P 、P′、C′共线时，P A +PB +PC 有最小值是AC '的长，利用30°直角三角形性质可求EC '=112122BC =⨯='，根据勾股定理BE =AE ＝2+AC =='即可．【详解】解：将△BPC 绕点B 顺时针旋转60°，得到△BP 'C '，延长AB ，过C′作C′E ⊥AB 交延长线于E ，∴△BPC ≌△BP 'C '，∠PBP '＝60°，∴BP ＝BP '，∠PBP '＝60°，∴△BPP '是等边三角形，∴PC＝P'C'，∠PBC＝∠P'BC'，BC＝BC'＝2，∴BP＝PP'，∴P A+PB+PC＝AP+PP'+P'C'，∴当点A、点P、点P′、点C′在共线时，P A+PB+PC有最小值，最小值是AC'的长，∵∠ABP+∠PBP'+∠P'BC'＝60°+∠ABP+∠PBC=60°+∠ABC=60°+90°＝150°，∴∠EBC'＝30°，在Rt BC E∆'中∴EC'=1121 22BC=⨯='，∴BE=，∴AE＝2+在Rt AC E∆'中AC====='【点睛】本题考查正方形性质，图形旋转，等边三角形判定与性质，四点共线，30°直角三角形性质，勾股定理，本题难度较大，涉及知识多，利用辅助线构造准确图形是解题关键．【变式】5. 如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接BN、AM、CM．（1）求证：△AMB≌△ENB；（2P，使得P A＋PB＋PC的值最小？若存在，求出它的最小值；若不存在，说明理由．【答案】（1）见解析；（2【解析】【分析】（1）由四边形ABCD 为正方形，△ABE 为等边三角形，可得BE ＝BA ，BA ＝BC ，△ABE ＝60°，再由△MBN ＝60°，可推出△MBA ＝△NBE ，由此即可证明； （2）将△BPC 顺时针旋转60度得到BEF ，过点F 作FM ⊥AB 交AB 延长线于M ，可以推出当AP ，PE ，EF 在一条直线上，即如下图：可得最小P A +PB +PC ＝AF ，由此求解即可．【详解】解：（1）由旋转的性质可得BN =BM ，如图1，△四边形ABCD 为正方形，△ABE 为等边三角形，△BE ＝BA ，BA ＝BC ，△ABE ＝60°；△△MBN ＝60°，△△MBN ＝△ABE ，△△MBA ＝△NBE ；在△AMB 与△ENB 中，BM BN MBA NBE BA BE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△△AMB △△ENB （SAS ）；（2）将△BPC 顺时针旋转60度得到BEF ，过点F 作FM ⊥AB 交AB 延长线于M ，∴BP BE =，==60PBE CBF ∠∠，PC =EF ，∠PBC =△EBF ，BC =BF∴BPE 为等边三角形，即得P A +PB +PC ＝AP +PE +EF 要使最小只要AP ，PE ，EF 在一条直线上， 即如下图：可得最小P A +PB +PC ＝AF ．∵四边形ABCD 是正方形，∴△ABC =90°，AB =BC =BF ，△△ABF =∠ABC +∠CBF =150°△△BAF =△AFB ＝15°，∴△MBF =∠BAF +∠AFB =30°∴11222MF BF AB ===，∴BM ==∴AM AB BM =+=∴1AF ==．【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，旋转的性质，勾股定理，正方形的性质，含30度角的直角三角形的性质，全等三角形的判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．【变式】6. 如图，在菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，点E 、F 分别是AB 、BC 上的动点，连接DE 、DF 、EF ．（1）如图1，连接AF ，若AF ⊥BC ，E 为AB 的中点，且EF ＝2，求DF 的长； （2）如图2，若BE ＝BF ，G 为DE 的中点，连接AF 、AG 、FG ，求证：AG ⊥FG ；（3）如图3，若AB ＝4，将△BEF 沿EF 翻折得到△EFP （始终保持点P 在菱形ABCD 的内部），连接AP 、BP 及CP ，请直接写出当P A ＋PB ＋PC 值最小时PB 的长．【答案】（1）（2）见解析；（3．【解析】【分析】（1）方法1：如图1，过点D作DG△BC交BC的延长线于G，根据直角三角形斜边中线的性质可得EF＝BE＝12AB＝2，根据∠ABC=60°可得△BEF是等边三角形，根据菱形的性质可得CF＝EF＝2，∠DCG=60°，利用含30°角的直角三角形的性质可得CG、DG的长，即可得出FG的长，利用勾股定理即可得答案；方法2：同方法1可得BF的长，利用勾股定理可得AF的长，再利用勾股定理即可得答案；（2）方法1：如图2，延长AG交CD于H，连接AC，FH，根据平行线的性质可得∠AEG＝∠HDG，根据中点的定义可得EG＝DG，利用ASA可证明△AEG△△DHG，可得AG＝HG，AE＝DH，利用SAS可证明△AFC△△AHD，可得AH＝AF，同理可得△ABF≌△ACH，进而可得∠F AH＝60°，即可证明△AFH是等边三角形，根据等腰三角形“三线合一”的性质可得结论；方法2：同方法1可证明△AEG≌△HDG，可得AG＝HG，AE＝DH，根据线段的和差关系可得BE＝CH，根据BE＝BF，∠ABC＝60°可得△BEF是等边三角形，可得∠BEF＝60°，EF＝BE，进而可证明△AEF≌△FCH，可得AF＝HF，可得结论；（3）如图a，在△ABC中，P为其中任意一点．连接AP，BP，得到△ABP．以点B 为旋转中心，将△ABP逆时针旋转60°，得到△EBD，根据旋转的性质可得当E、D、P、C四点共线时，为P A+PB+PC最小，如图3，连接AC，交BD于点O，则AC△BD．先由旋转的性质得出△APC≌△DGC，可得CP＝CG，△PCG＝60°，进而可得△PCG是等边三角形，得出PG＝CG＝CP，△GPC＝△CGP＝60°，根据菱形的性质可得BP＝CP，同理可得DG＝CG，可得BP＝PG＝GD，在Rt△BOC中，利用∠OBC的余弦可求出OB的长，即可求出BD的长，进而可得答案．【详解】（1）方法1：如图1，过点D作DG⊥BC交BC的延长线于G，∵AF ⊥BC ，∴∠AFB ＝90°，∵E 为AB 的中点，∴AE ＝BE ，∴EF ＝BE ＝12AB ＝2， ∵∠ABC ＝60°，∴△BEF 是等边三角形，∵四边形ABCD 是菱形，∴AB =BC =CD =4，AB //CD ，∴BF ＝EF ＝12BC =2，∠DCG =∠ABC =60°， ∴CF ＝EF ＝2，∠CDG ＝30°，∴CG ＝12CD ＝2，DG ∴FG ＝CF +CG ＝4，在Rt △DFG 中，DF ．方法2：∵AF ⊥BC ，∴∠AFB ＝90°，∵点E 是AB 的中点，∴AE ＝BE ，在Rt △ABF 中，EF ＝BE ＝12AB ， ∴AB ＝4，∵四边形ABCD 是菱形，∠ABC ＝60°，∴AD ＝AB ＝4，∠BAD ＝180°﹣∠ABC ＝120°，∴∠BAF ＝30°，∴BF=12AB=2，∴AF=DAF＝∠BAD﹣∠BAF＝90°，∴DF．（2）方法1：如图2，延长AG交CD于H，连接AC，FH，∵AB∥CD，∴∠AEG＝∠HDG，∵G为DE的中点，∴EG＝DG，在△AEG和△DHG中，AEG HDGEG DGAGE HGD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△AEG≌△DHG，∴AG＝HG，AE＝DH，∵AB＝BC＝CD，BE＝BF，∴FC＝DH，BF＝CH，在△AFC和△AHD中，CF DHACF ADHAC AD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AFC≌△AHD，∴AH＝AF，同理：△ABF≌△ACH，∴∠BAF＝∠CAH，∴∠F AH＝∠F AC+∠CAH＝∠F AC+∠BAF＝∠BAC＝60°，∴△AFH是等边三角形，∵AG＝HG，∴AG⊥FG．方法2：延长AG交CD于H，连接FH，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠EAG＝∠DHG，∠AEG＝∠HDG，∵点G是DE中点，∴EG＝DG，在△AEG和△DHG中，AEG HDGEG DGEAG DHG ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△AEG≌△HDG，∴AG＝HG，AE＝DH，∴BE＝CH，∵BE＝BF，∠ABC＝60°，∴△BEF是等边三角形，∴∠BEF＝60°，EF＝BE，∴∠AEF＝∠FCH，EF＝CH，∴△AEF≌△FCH，∴AF＝HF，∵AG＝HG，∴FG⊥AG，（3）如图a，在△ABC中，P为其中任意一点．连接AP，BP，得到△ABP．以点B为旋转中心，将△ABP逆时针旋转60°，得到△EBD△∴P A=DE，BD=BP，∵旋转60°，∴△DBP为一个等边三角形，∴PB＝PD△∴P A +PB +PC ＝DE +PD +PC∴当E 、D 、P 、C 四点共线时，为P A +PB +PC 最小．如图3，连接AC ，交BD 于点O ，则AC ⊥BD ．当B 、P 、G 、D 四点共线时，P A +PB +PC 值最小，最小值为BD ．∵将△APC 绕点C 顺时针旋转60°，得到△DGC ，∴△APC ≌△DGC ，∴CP ＝CG ，∠PCG ＝60°，∴△PCG 是等边三角形，∴PG ＝CG ＝CP ，∠GPC ＝∠CGP ＝60°．∵菱形ABCD 中，∠ABP ＝∠CBP ＝12∠ABC ＝30°， ∴∠PCB ＝∠GPC ﹣∠CBP ＝60°﹣∠30°＝30°，∴∠PCB ＝∠CBP ＝30°，∴BP ＝CP ，同理，DG ＝CG ，∴BP ＝PG ＝GD ．在Rt △BOC 中，∵∠BOC ＝90°，∠OBC ＝30°，BC ＝4，∴BO ＝BC •cos ∠OBC ＝4∴BD ＝2BO ＝，∴BP ＝13BD ＝3．即当P A +PB +PC 值最小时PB 【点睛】本题考查四边形综合，主要考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、等边三角形的判定与性质、解直角三角形等知识，正确作出辅助线是解题关键．考法3：费马点在二次函数中运用例37. 如图，在平面直角坐标系xoy 中，点B 的坐标为(0，2)，点D 在x 轴的正半轴上，30ODB ∠=︒，OE 为△BOD 的中线，过B 、E 两点的抛物线2y ax x c =+与x 轴相交于A 、F 两点（A 在F 的左侧）.（1）求抛物线的解析式；（2）等边△OMN 的顶点M 、N 在线段AE 上，求AE 及AM 的长；（3）点P 为△ABO 内的一个动点，设m PA PB PO =++，请直接写出m 的最小值,以及m 取得最小值时，线段AP 的长.【答案】(1)21 226y x x =-++ (2) AE =；13AM =或13AM = （3）mm取得最小值时，线段AP【解析】【分析】（1）已知点B的坐标，可求出OB的长；在Rt△OBD中，已知了∠ODB=30°，通过解直角三角形即可求得OD的长，也就得到了点D的坐标；由于E是线段BD 的中点，根据B、D的坐标即可得到E点的坐标；将B、E的坐标代入抛物线的解析式中，即可求得待定系数的值，由此确定抛物线的解析式；（2）过E作EG⊥x轴于G，根据A、E的坐标，即可用勾股定理求得AE的长；过O作AE的垂线，设垂足为K，易证得△AOK∽△AEG，通过相似三角形所得比例线段即可求得OK的长；在Rt△OMK中，通过解直角三角形，即可求得MK的值，而AK的长可在Rt△AOK中由勾股定理求得，根据AM=AK-KM或AM=AK+KM即可求得AM的长；（3）由于点P到△ABO三顶点的距离和最短，那么点P是△ABO的费马点，即∠APO=∠OPB=∠APB=120°；易证得△OBE是等边三角形，那么PA+PO+PB的最小值应为AE的长；求AP的长时，可作△OBE的外接圆（设此圆为⊙Q），那么⊙Q与AE的交点即为m取最小值时P点的位置；设⊙Q与x轴的另一交点（O点除外）为H，易求得点Q的坐标，即可得到点H的坐标，也就得到了AH的长，相对于⊙Q 来说，AE、AH都是⊙Q的割线，根据割线定理（或用三角形的相似）即可求得AP 的长．【详解】（1）过E作EG⊥OD于G∵∠BOD=∠EGD=90°，∠D=∠D，∴△BOD∽△EGD，∵点B（0，2），∠ODB=30°，可得OB=2，OD＝∵E为BD中点，∴EG DE GD BO DB OD===12∴EG=1，GD∴OG∴点E 的坐标为1)∵抛物线2y ax x c =+经过()0,2B 、)E 两点，∴212a =. 可得12a =-.∴抛物线的解析式为2122y x x =-++. （2）∵抛物线与x 轴相交于A 、F ，A 在F 的左侧，∴A 点的坐标为().过E 作EG ⊥x 轴于G∴1AG EG ==,∴在△AGE 中，90AGE ∠=︒,AE ==.过点O 作OK ⊥AE 于K ，可得△AOK ∽△AEG ．∴OK EG AO AE=．=．∴OK =∴13AK ==. ∵△OMN 是等边三角形,∴60NMO ∠=︒．∴tan 13OK KM KMO ===∠．∴AM AK KM=-==+=或AM AK KM（3）如图；以AB为边做等边三角形AO′B，以OA为边做等边三角形AOB′；易证OE=OB=2，∠OBE=60°，则△OBE是等边三角形；连接OO′、BB′、AE，它们的交点即为m最小时，P点的位置（即费马点）；∵OA=OB′，∠B′OB=∠AOE=150°，OB=OE，∴△AOE≌△B′OB；∴∠B′BO=∠AEO；∵∠BOP=∠EOP′，而∠BOE=60°，∴∠POP'=60°，∴△POP′为等边三角形，∴OP=PP′，∴PA+PB+PO=AP+OP′+P′E=AE；即m最小如图；作正△OBE的外接圆⊙Q，根据费马点的性质知∠BPO=120°，则∠PBO+∠BOP=60°，而∠EBO=∠EOB=60°；∴∠PBE+∠POE=180°，∠BPO+∠BEO=180°；即B 、P 、O 、E 四点共圆；易求得Q （1），则H 0）；∴AH=3； 由割线定理得：AP•AE=OA•AH ，即：故： m当m 取得最小值时，线段AP 【点睛】此题是二次函数的综合类试题，涉及到二次函数解析式的确定、等边三角形的性质、解直角三角形以及费马点位置的确定和性质，能力要求极高，难度很大．【变式】8. 如图，抛物线252y ax bx =++经点()()1,0,5,0A B ，与y 轴相交于点C ． (1)求抛物线的解析式； (2)定义：平面上的任一点到二次函数图象上与它横坐标相同的点的距离，称为点到二次函数图象的垂直距离．如：点O 到二次函数图象的垂直距离是线段OC 的长．已知点E 为抛物线对称轴上的一点，且在x 轴上方，点F 为平面内一点，当以,,,A B E F 为顶点的四边形是边长为4的菱形时，请求出点F 到二次函数图象的垂直距离．(3)在(2)中，当点F 到二次函数图象的垂直距离最小时，在,,,A B E F 为顶点的菱形内部是否存在点Q ，使得,,AQ BQ FQ 之和最小，若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)215322y x x =-+；(2)6-或2-；(3)AQ BQ FQ ++的和最小值为【解析】 【分析】（1）利用待定系数法列方程组求出a 、b 的值即可；（2）根据抛物线解析式可求出A 、B 两点坐标，即可得出对称轴解析式，分两种情况：当以AB 为边时，EF//AB ，由对称轴可得E 点的横坐标，根据EF=AB=4即可得出F 点的横坐标，根据菱形的性质求出EM 的长，把F 点横坐标代入抛物线解析式，根据点到二次函数图象的垂直距离的定义即可得出答案；当以AB 为菱形对角线时，根据菱形的性质可得AB ⊥EF ，利用勾股定理可求出FM 的长，进而可得F 点坐标，把F 点横坐标代入抛物线解析式，根据点到二次函数图象的垂直距离的定义即可得出答案；（3）由当(3,F 时，点F 到二次函数图象的垂直距离最小，将BQF 绕点B 逆时针旋转60︒到BDN 位置，连接AN ，作PN AB ⊥于P ，根据AB=AF=BF 可证明△ABF 是等边三角形，根据旋转性质可知,BQD BFN 均为等边三角形，进而可得当,,AQ DQ DN 共线时AQ BQ FQ ++的和最短，在Rt △APN 中，利用勾股定理求出AN 的长即可得答案.【详解】(1)∵抛物线252y ax bx =++过点()()1,0,5,0A B ， ∴502502552a b a b ⎧=++⎪⎪⎨⎪=++⎪⎩解得123a b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩ ∴解析式215322y x x =-+. (2)当0y =时，由2150322x x =-+，得125,1x x ==， 对称轴所在直线为3x =，顶点坐标为()3,2,4AB -=，∵抛物线与y 轴相交于点C ． ∴50,2C ⎛⎫ ⎪⎝⎭①若AB 为菱形的边，如图1，则,4EF AB EF AB ==，且E 的横坐标为3 ∴F 的横坐标为7或-1，∵4,2,AE AB AM EM AB ===⊥，∴EM =∴(7,F或(1,F -， 当157,4973622x y ==⨯-⨯+=， ∴点F到二次函数图象的垂直距离为6-，当x=-1时，y=12×(-1)2-(-1)×3+52=6， ∴点F到二次函数图象的垂直距离为6-.②若AB 为对角线，如图2，∵AEBF 是菱形，4AF BF ==，∴∴(3,F -，当x=3时，y=12×32-3×3+52=-2，∴点F 到二次函数图象的垂直距离为(2)--=，综上所述：点F 到二次函数图象的垂直距离为6-或(3)当(3,F 时，点F 到二次函数图象的垂直距离最小，如图3，将BQF 绕点B 逆时针旋转60︒到BDN 位置，连接AN ，作PN AB ⊥于P ， ∵AB=4，AF=BF=4，∴△ABF 是等边三角形，∵将BQF 绕B 逆时针旋转60︒到BDN 位置，∴BQF ≌BDN ，且,BQD BFN 均为等边三角形，∴,4,QD QB BD NB BF DN FQ =====，∵AQ BQ FQ AQ QD DN ++=++，∴当,,AQ DQ DN 共线时AQ BQ FQ ++的和最短，即最短值为AN 的长． ∵AF BF AB 4===，∴NBP 60∠=︒且BN 4=，∴BP 2,PN ==，∴AP 6=，在Rt ANP 中，AN ==∴AQ BQ FQ ++的和最小值为【点睛】本题是对二次函数的综合考查，包括待定系数法求二次函数解析式，等边三角形的判定与性质、菱形的性质及旋转的性质，理解点到二次函数图象的垂直距离的定义是解题关键.类型二 线段的系数都不相同求线段的和的情况（加权费马点）【模型通解】第一步，选定固定不变线段；第二步，对剩余线段进行缩小或者放大．如：保持BP 不变，x AP ＋y BP ＋z CP ＝()x z y AP BP CP y y++，如图所示，B 、P 、P 2、A 2四点共线时，取得最小值．例4：9. 点P 为锐角△ABC 内任意一点，∠ACB ＝30°，BC ＝6，AC ＝5，连接AP 、BP 、CP ，求3AP ＋4BP ＋5CP 的最小值 【答案】345PA PB PC ++最小值为214． 【解析】【分析】根据题意，将APC △绕点C 顺时针旋转90︒，得到''CP A ，再将''CP A 以点C 为位似中心缩小34倍，得到''''CP A ，当B 、P 、P’’、A’’共线时，取值最小，由旋转及位似的性质可得：120BCA ∠=''︒，34CA CA =''，在''Rt A EC 中，利用三角函数解直角三角形可得8A E =''，再由勾股定理即可得． 【详解】解：如图所示，将APC △绕点C 顺时针旋转90︒，得到''CP A ，再将''CP A 以点C 为位似中心缩小34倍，得到''''CP A ，如图所示：当B 、P 、P’’、A’’共线时，取值最小，35345444PA PB PC PA PB PC ⎛⎫++=++ ⎪⎝⎭，由旋转及位似的性质可得：在''BCA 中，3090120BCA ∠=︒+︒=''︒，31544CA CA =''=，在''Rt A EC 中，60A CE ∠=''︒，158CE =，tan 608A E CE =︒⨯=''， 在''Rt P CP 中，3''4CP CP = ∴根据勾股定理可得：54PP PC ==''， ∴在''Rt A BE 中，214BA ==''， ∴345PA PB PC ++最小值为214． 【点睛】题目主要考查旋转、位似的性质、特殊三角函数及勾股定理解直角三角形等知识点，理解题意，作出相应辅助线图形是解题关键．例5：10. 如图，在Rt ABC 中，30,6,5ACB BC AC ∠=︒==，在ABC 内部有一点P ，连接PA 、PB 、PC ．（加权费马点）求：（1）PA PB PC ++的最小值；（2）PA PB +的最小值（3）PA PB ++的最小值；（4）2PA PB ++的最小值（5）12PA PB PC ++的最小值；（6）24PA PB ++的最小值（7）42PA PB ++的最小值； （8）345PA PB PC ++的最小值【答案】（1（2；（3（4）；（5）132；（6）26；（7）；（8）214【解析】【分析】（1）将BPC △绕点B 顺时针旋转60得到BP C ''△，则BP BP '=，P C PC '=，60PBP '∠=，可以推出BPP '为等边三角形，得到BP PP '=，则PA PB PC PA PP PC ''++=++，即可得到A 、P 、P '、C '四点共线时，PA PB PC ++最小，最小值为AC '，然后证明==90ACC ACB BCC ''+∠∠∠，由此利用勾股定理求解即可；（2）将BPC △绕点C 逆时针旋转90得到CP B ''△，则可证明PP '=，从而得到PA PB PA PP P B ''++=++，则当A 、P 、P '、B '四点共线时PA PB PC ++最小，最小值为AB '，过点A 再作B C '的垂线，垂足为E ，利用勾股定理求出AE ==172B E B C EC ''=+=，由此即可得到答案；（3）将BPC △绕点C 逆时针旋转120得到B PC ''△，则可证明PP '=，则PA PB PA PP P B '''++=++，故当A 、P 、P '、B '四点共线时PA PB ++最小，最小值为AB '，过点A 再作B C '的垂线，垂足为E ，利用勾股定理求出CE ==B E CE CB ''=+=，由此即可得到答案；（4）将BPC △绕点C 顺时针旋转60，得到CP A ''，再将CP A ''以点C 为位似中心放大2倍，得到CP A ''''，连接PP '，先证明P P ''=，则可以得到2PA PB A P P P PB ''''''++=++，故当A ''，P ''，P ，B 共线时2PA PB ++最小，最小为A B ''，然后证明=90BCA ACB ACA ''''=+∠∠∠，即可利用勾股定理求解；（5）将BPC △绕点C 顺时针旋转60，得到CP A ''，再将CP A ''以点C 为位似中心缩小2倍，得到CP A ''''，同（4）原理可证得当A ''，P ''，P ，B 共线时122PA PB PC ++最小，最小为A B ''，然后证明=90BCA ACB ACA ''''=+∠∠∠，由此求解即可；（6）由12442PA PB PA PB ⎛⎫++=+ ⎪ ⎪⎝⎭可由（5）得：24PA PB ++的最小值为26；（7）由422(2)PA PB PA PB ++=++可由（4）得42PA PB ++的最小值为（8）将BPC △绕点C 顺时针旋转90，得到CP A ''，再将CP A ''以点C 为位似中心缩小34倍，得到CP A ''''，同理可以证得当A 、P 、P ''、A ''，共线时345PA PB PC ++的值最小．在BCA ''中，120BCA ACB ACA ''∠=+'='∠∠，31544A C CA ==''，过点A ''作A E BC ''⊥交BC 延长线于E ，然后求出EA ''，BE 的长，由此即可求解．【详解】解：（1）如图3-2，将BPC △绕点B 顺时针旋转60得到BP C ''△， △BP BP '=，P C PC '=，60PBP '∠=， ∴BPP '为等边三角形， △BP PP '=，∴PA PB PC PA PP PC ''++=++，△A 、P 、P '、C '四点共线时，PA PB PC ++最小，最小值为AC ' 同理可证BCC '为等边三角形， △6CC BC '==，=60BCC '∠， △==90ACC ACB BCC ''+∠∠∠，△AC '==；∴PA PB PC ++；（2）如图3-4，将BPC △绕点C 逆时针旋转90得到CP B ''△，△B P BP ''=，P C PC '=，90PCP '=∠，=P CB PCB ''∠∠，6CB CB '==，∴PP '==，∴PA PB PA PP P B ''++=++，△当A 、P 、P '、B '四点共线时，PA PB PC ++最小，最小值为AB ' △△ACB =30°，∴=30ACP PCB ACP P CB ''∠+∠=∠+∠ △120ACB PCP ACP P CB ''''∠=∠+∠+∠=， 过点A 再作B C '的垂线，垂足为E ， ∴△AEC =90°，△ACE =60°， ∴∠CAE =30°，∴1522CE AC ==△2AE ==，172B E B C EC ''=+=，∴AB '==，∴PA PB +（3）如图3-6，将BPC △绕点C 逆时针旋转120得到B PC ''△，△B P BP ''=，P C PC '=，120PCP '=∠，=P CB PCB ''∠∠，6CB CB '==， ∴30CPP CP P ''==∠∠， 过点C 作CE PP '⊥于E ， △12CE CP =，PE P E '=，△2PE ==，△PP '=，△PA PB PA PP P B '''++=++，△当A 、P 、P '、B '四点共线时，PA PB ++最小，最小值为AB ' △△ACB =30°，∴=30ACP PCB ACP P CB ''∠+∠=∠+∠ △==150ACB PCP ACP P CB ''''++∠∠∠∠， 过点A 再作B C '的垂线，垂足为E ， ∴△AEC =90°，△ACE =3°， ∴1522AE AC ==△CE ==△122B E CE CB +''=+=∴AB ='=∴PA PB ++（4）如图3-8，将BPC △绕点C 顺时针旋转60，得到CP A ''，再将CP A ''以点C 为位似中心放大2倍，得到CP A ''''，连接PP '由旋转的性质得5CA CA '==，CP CP '=，PA P A ''=，==60PCP ACA ''∠∠， △10CA ''=，2CP CP ''=，22P A A P AP '''=='''，PCP '△是等边三角形， △PP P C P P '''''==，=60PP C '∠， △==30PP P P PP '''''∠∠， △=90P PC ''∠，△P P ''==，△2PA PB A P P P PB ''''''++=++，△当A ''，P ''，P ，B 共线时2PA PB ++最小，最小为A B ''， ∵=90BCA ACB ACA ''''=+∠∠∠，∴A B ''==∴2PA PB ++的最小值为；（5）如图3-10，将BPC △绕点C 顺时针旋转60，得到CP A ''，再将CP A ''以点C 为位似中心缩小2倍，得到CP A ''''，同（4）原理可证得当A ''，P ''，P ，B 共线时12PA PB PC ++最小，最小为A B ''，∵=90BCA ACB ACA ''''=+∠∠∠，在Rt BCA ''中，6BC =，15=22CA CA '='132BA ==''，12PA PB PC ++最小为132；（6）∵124422PA PB PA PB PC ⎛⎫++=++ ⎪ ⎪⎝⎭∴由（5）得：24PA PB ++的最小值为26；（7）∵422(2)PA PB PA PB ++=++∴由（4）得42PA PB ++的最小值为（8）如图3-12，将BPC △绕点C 顺时针旋转90，得到CP A ''，再将CP A ''以点C 为位似中心缩小34倍，得到CP A ''''， 同理可以证得当A 、P 、P ''、A ''，共线时345PA PB PC ++的值最小． 在BCA ''中，120BCA ACB ACA ''∠=+'='∠∠，31544A C CA ==''， 过点A ''作A E BC ''⊥交BC 延长线于E ， ∴60A CE ∠=''， ∴30CA E ∠=''，△115=28CE CA ''=，∴8EA =''，1568BE BC CE =+=+，∴214BA ==''， 345PA PB PC ++的最小值为214． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，勾股定理，位似，含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定等等，解题的关键在于能够作出辅助线，找到P 点在什么位置时，线段的和最小．【变式】（1）11. 如图，△ABC 中，AB ＝AC ＝4，∠BAC ＝30°，P 为平面内一点，（1）求CP BP +最小值（2）在（1）条件下，求2CP BP ++最小值（3）在（1）条件下，求3CP AP ++最小值 （4）在（1）条件下，求354CP AP BP ++最小值【答案】（1）（2）（3）（4） 【解析】【分析】（1）将△ABP 绕点A 逆时针旋转90°，得到△A P′B′，取PP′中点D ，连接AD ，可得∠P′AB′=∠P AB ，AB′=AB =4，当点C 、P 、P′、B′共线是，CP +PP′+P′C 最短，即CP BP +最短，根据∠CAP +∠BAP =30°，∠P AP′=90°，∠CAB ′=∠CAP +∠P′AB′+∠P AP′=120°，AC =AB ′=4，可求∠ACB′=∠AB′C =()1180302CAB '︒-∠=︒在Rt △ADC 中，根据勾股定理CD ===（2）将△APB 逆时针旋转90°，得到△AP′B′，延长AP′到AP″=2AP ′，延长AB ′到AB″=2AB′，根据点P′，B′是AP ″，AB″的中点，可得P″B ″=2 P′B′，当点C ，P ，P″，B″共线时，线段2CP BP +最小值=CB ″，过C 作射线B″A 的垂直线CE ⊥B″A 于E ，先求出∠ECA =90°-∠EAC=30°，利用30°直角三角形性质可得AE =114222AC =⨯=，根据勾股定理EC ===Rt △CEB″中CB ''===（3）把△APB 逆时针旋转90°，得到△AP′B′，以AP 、AP 为邻边作正方形APTP′，连接AT ，′延长AP′到AM =2AT ，过M 作MN ∥P′B′，交AB′延长线与N ，可得AM =2AT=，根据MN ∥P′B′，可证△AP′B′∽△AMN ，得出AP AB P B AM AN MN ''''===，可得AN '==MN B ''==，当点C ，P ，M ，N 共线时，线段3CP AP ++最小值最小值=CN ，过C 作射线NA 的垂直线CF ⊥NA 于F ，先求出∠CAN =120°，再求∠FCA =90°-∠F AC=30°，利用30°直角三角形性质可求AF =114222AC =⨯=，利用勾股定理可求FC ==Rt △CFN 中CN ===（4）将△APB 逆时针旋转90°得△AP′B′，延长CP 交AP′与M ，使PM =54AP ，根据勾股定理在Rt △APM 中，AM 34AP ==，过M 作MN ∥P′B′，交AB′于M ，根据MN ∥P′B′，可证△AP′B′∽△AMN ，可得。
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