跨学科高等代数学习笔记1)

第一章 多项式（第1讲）目标与要求理解数域、一元多项式的概念，掌握一元多项式的运算及基本性质．重点难点重点：一元多项式的概念、运算及基本性质．难点：一元多项式的定义．设计安排实际问题为出发点，引出数域的概念，通过教材P 2（例1）加深对概念的理解，最后指出：任何数域都包含有理数域作为它的一部分．给出一元多项式的有关概念，进而讨论其运算及基本性质，补充例题（幻灯片例2）加深对本段内容的理解．教学进程见幻灯片部分．（2课时）教学内容§1 数域定义 设P 是由一些复数组成的集合，其中包括0与1.如果P 中任意两个数的和、差、积、商（除数不为零）仍然是中的数，那么P 就称为一个数域.全体有理数的全体组成一数域全体实数组成的集合、全体复数组成的集合也都是数域.上述三个数域常用字母Q 、R 、C 表示.注意：全体整数组成的集合就不是数域.数的加、减、乘、除等运算的性质通常称为数的代数性质.而代数所研究的问题主要涉及数的代数性质.例1 所有具有形式2b a 的数（其中b a ,是任何有理数），构成一个数域. 例2 所有整组成的数集，对于乘法是封闭的，但对于除法不封闭.所有的数域都包含有理数域作为它的一部分.§2 一元多项式1 一元多项式定义 设n 是一非负整数，形式表达式0111a x a x a x a n n n n ++++-- ,其中n a a a ,,,10 全属于数域P ，称为系数在数域P 中的一元多项式，或者简称为数域P 上的一元多项式.i i x a 称为i 次项，i a 称为i 次项的系数.用 ),(),(x g x f 或 ,,g f 等来表示多项式. 同次项的系数全相等，那么)(x f 与)(x g 就称为相等，记为)()(x g x f =.系数全为零的多项式称为零多项式，记为0.如果0≠n a ，那么nn x a 称为多项式的首项，n a 称为首项系数，n 称为多项式的次数.零多项式是唯一不定义次数的多项式.多项式)(x f 的次数记为))((x f ∂.2 多项式的运算设 0111)(a x a x a x a x f n n n n ++++=--0111)(b x b x b x b x g m m m m ++++=--是数域P 上两个多项式，即∑==n i i ix a x f 0)(，∑==m j j j x b x g 0)(在表示多项式)(x f 与)(x g 的和时，如m n ≥，为了方便起见，在)(x g 中令011====+-m n n b b b ，那么)(x f 与)(x g 的和为∑=---+=++++++++=+n i i i i n n n n n n xb a b a x b a x b a x b a x g x f 00011111)()()()()()()(而)(x f 与)(x g 的乘积为001001111)()()()(b a x b a b a x b a b a x b a x g x f m n m n m n m n m n ++++++=-+--+其中s 次项的系数是∑=+--=++++s j i j i s s s s b a b a b a b a b a 011110所以)(x f )(x g 可表成s mn s s j i j i x b a x g x f )()()(0∑∑+==+=.显然，)))(()),((max())()((x g x f x g x f ∂∂≤+∂.对于多项式的乘法，可以证明，若0)(,0)(≠≠x g x f ，则0)()(≠x g x f ，并且))(())(())()((x g x f x g x f ∂+∂=∂多项式乘积的首项系数等于因子首项系数的乘积. 结果均可推广到多个多项式的情形. 运算法则：1. )()()()(x f x g x g x f +=+. （加法交换律）2. ))()(()()())()((x h x g x f x h x g x f ++=++ （加法结合律）3. )()()()(x f x g x g x f = （乘法交换律）4. ))()()(()())()((x h x g x f x h x g x f = （乘法结合律）5. )()()()())()()((x h x f x g x f x h x g x f +=+ （乘法分配律）另外：若)()()()(x h x f x g x f =且0)(≠x f ，则)()(x h x g =.定义 所有系数在数域P 中的一元多项式的全体，称为数域P 上的一元多项式环，记为][x P .备注提出如下问题：1．中学数学中的多项式与高等代数中的多项式有何区别？2．多项式相等与方程有无区别？3．次数公式∂（f +g ）≤max （∂（f ）,∂（g ））中何时取“=”号？作业布置课后相应习题第一章 多项式（第2讲）目标与要求理解整除的概念；掌握整除的基本性质和带余除法定理．重点难点重点：掌握整除的基本性质和带余除法定理．难点：整除的概念、性质．设计安排通过P[x]中多项式的运算，引出如何描述两个多项式的相除关系问题，进而讨论带余除法、整除问题．最后强调：P [x ]中的多项式不能做除法,整除性不是多项式的运算,它是P [x ]中元素间的一种关系,即任给f (x ) , g (x ) ∈P [x ]，可以判断 g (x ) | f (x ) 或 g (x ) | f (x ).教学进程见幻灯片部分．（2课时）教学内容§3 整除的概念1 整除的概念带余除法 对于][x P 中任意两个多项式)(x f 与)(x g ，其中0)(≠x g ，一定有][x P 中的多项式)(),(x r x q 存在，使 )()()()(x r x g x q x f += 成立，其中))(())((x g x r ∂<∂或者0)(=x r ，并且这样的)(),(x r x q 是唯一决定的.带余除法中所得的)(x q 通常称为)(x g 除)(x f 的商，)(x r 称为)(x g 除)(x f 的余式. 定义 数域P 上的多项式)(x g 称为整除)(x f ，如果有数域P 上的多项式)(x h 使等式)()()(x h x g x f =成立.用“)(|)(x f x g ”表示)(x g 整除)(x f ，用“)(|)(x f x g /”表示)(x g 不能整除)(x f .当)(|)(x f x g 时，)(x g 就称为)(x f 的因式，)(x f 称为)(x g 的倍式.定理1 对于数域P 上的任意两个多项式)(x f ，)(x g ，其中0)(≠x g ，)(|)(x f x g 的充要条件是)(x g 除)(x f 的余式为零.当)(|)(x f x g 时，如0)(≠x g ，)(x g 除)(x f 的商)(x q 有时也用)()(x g x f 来表示. 2 整除的几个常用性质性质1. 若)(|)(),(|)(x f x g x g x f ，则)()(x cg x f =,其中c 为非零常数.性质2. 若)(|)(),(|)(x h x g x g x f ，则)(|)(x h x f （整除的传递性）.性质3. 零次多项式，即非零常数，能整除任一个多项式.性质4. 任一多项式)(x f 一定整除它自身.性质5. 任一多项式)(x f 都能整除零多项式0.称)()()()()()(2211x g x u x g x u x g x u r r +++ 为)(,),(),(21x g x g x g r 的一个组合. 于是，有若r i x g x f i ,,2,1),(|)( =，则))()()()()()((|)(2211x g x u x g x u x g x u x f r r +++ .最后，两个多项式之间的整除关系不因系数域的扩大而改变. 即若)(x f ，)(x g 是][x P 中两个多项式，P 是包含P 的一个较大的数域.当然，)(x f ，)(x g 也可以看成是][x P 中的多项式.从带余除法可以看出，不论把)(x f ，)(x g 看成是][x P 中或者是][x P 中的多项式，用)(x g 去除)(x f 所得的商式及余式都是一样的.因此，若在][x P 中)(x g 不能整除)(x f ，则在][x P 中，)(x g 也不能整除)(x f .备注整除的定义应注意：1．整除的定义与数域扩大（缩小）无关；2．由2211[]x x x x P x x x=⋅∈不能认为可以整除，因为。

3．多项式整除不同于中学整数的整除，例如零次多项式2可以整除零次多项式1；但整数2不能整除整数1．作业布置课后相应习题．第一章 多项式（第3讲）目标与要求理解最大公因式、互素的概念；掌握最大公因式的存在表示定理和辗转相除法、互素多项式的性质，会求最大公因式．重点难点重点：掌握最大公因式的存在表示定理和辗转相除法、互素多项式的性质难点：掌握最大公因式的存在表示定理、互素多项式的性质设计安排回顾整除内容，引出最大公因式问题，对教材P 13的引理通过具体例子（幻灯片例1）演示，归纳解法而引出辗转相除法．详细证明最大公因式的存在表示定理．由最大公因式只有非零常数，引出互素的有关内容最后讨论n （n ≥3）个多项式的互素问题.教学进程见课件部分．（2课时）教学内容§4 多项式的最大公因式1. 多项式的最大公因式如果多项式)(x ϕ既是)(x f 的因式，又是)(x g 的因式，那么)(x ϕ就称为)(x f 与)(x g 的一个公因式.定义 设)(x f 与)(x g 是][x P 中两个多项式. ][x P 中多项式)(x d 称为)(x f ，)(x g 的一个公因式,如果它满足下面两个条件：1）)(x d 是)(x f 与)(x g 的公因式；2）)(x f ，)(x g 的公因式全是)(x d 的因式.例如，对于任意多项式)(x f ，)(x f 就是)(x f 与0的一个最大公因式.特别地，根据定义，两个零多项式的最大公因式就是0.引理 如果有等式)()()()(x r x g x q x f +=成立，那么)(x f ，)(x g 和)(x g ，)(x r 有相同的公因式.定理 对于][x P 的任意两个多项式)(x f ，)(x g ，在][x P 中存在一个最大公因式)(x d ，且)(x d 可以表成)(x f ，)(x g 的一个组合，即有][x P 中多项式)(),(x v x u 使)()()()()(x g x v x f x u x d +=.由最大公因式的定义不难看出，如果)(),(21x d x d 是)(x f ，)(x g 的两个最大公因式，那么一定有)(|)(21x d x d 与)(|)(12x d x d ，也就是说0),()(21≠=c x cd x d .这就是说，两个多项式的最大公因式在可以相差一个非零常数倍的意义下是唯一确定的.用（)(x f ，)(x g ）来表示首项系数是1的那个最大公因式.定理证明中用来求最大公因式的方法通常称为辗转相除法2. 多项式互素定义7 ][x P 中两个多项式)(x f ，)(x g 称为互素（也称为互质）的，如果1))(),((=x g x f显然,两个多项式互素,那么它们除去零次多项式外没有其他的公因式，反之亦然.定理 ][x P 中两个多项式)(x f ，)(x g 互素的充要条件是有][x P 中多项式)(),(x v x u 使1)()()()(=+x g x v x f x u .定理 如果1))(),((=x g x f ，且)()(|)(x h x g x f ,那么)(|)(x h x f .推论 如果)(|)(),(|)(21x g x f x g x f ，且1))(),((21=x f x f ,那么)(|)()(21x g x f x f .推论 如果1))(),((1=x g x f ,1))(),((2=x g x f ,那么1))(),()((21=x g x f x f对于任意多个多项式)2)((,),(),(21≥s x f x f x f s ，)(x d 称为)2)((,),(),(21≥s x f x f x f s 的一个最大公因式，如果)(x d 具有下面的性质：1）s i x f x d i ,,2,1),(|)( =;2）如果s i x f x i ,,2,1),(|)( =ϕ，那么)(|)(x d x ϕ.用))(,),(),((21x f x f x f s 符号来表示首项系数为1的最大公因式.)(x f 与)(x g 在][x P 中的首项系数为1的最大公因式,而)(x d 是)(x f 与)(x g 在][X P 中首项系数为1的最大公因式,那么)()(x d x d =.即从数域P 过渡到数域P 时, )(x f 与)(x g 的最大公因式本质上没有改变.互素多项式的性质可以推广到多个多项式的情形：1)若多项式),()()(|)(21x f x f x f x h s )(x h 与)(,),(),(,),(111x f x f x f x f s i i +- 互素，则)1)((|)(s i x f x h i ≤≤.2) 若多项式)(,),(),(21x f x f x f s 都整除)(x h ，且)(,),(),(21x f x f x f s 两两互素，则)(|)()()(21x h x f x f x f s .3) 若多项式)(,),(),(21x f x f x f s 都与)(x h 互素，则1))(),()()((21=x h x f x f x f s .备注强调：1．如何用辗转相除法求最大公因式．2．利用辗转相除法求最大公因式时，为避免复杂的分数运算，对被除式或余式乘以适当的非零数去掉各分母，不会影响结果．3．f 1(x ), f 2(x ),…, f s (x )互素与 f 2(x ),…, f s (x )两两互素的关系：例 f 1(x )=x +1, f 2(x )= x -1, f 3(x )=x 2+1 互素且两两互素．f 1(x )=x +1, f 2(x )= x -1, f 3(x )=x 2-1 互素但不两两互素．下一次为习题课！（2课时）作业布置课后相应习题．第一章 多项式(第4讲)目标与要求理解不可约多项式的概念；掌握因式分解及唯一性定理及多项式因式分解的标准形式．理解重因式的概念；掌握不可约多项式p(x )为f(x )的k 重因式的条件及多项式无重因式的条件，会消除重因式．重点难点重点：理解不可约多项式的概念，掌握因式分解及唯一性定理及因式分解的标准形式．理解重因式的概念；掌握不可约多项式p(x )为f(x)的k 重因式的条件及多项式无重因式的条件．难点：掌握因式分解及唯一性定理，不可约多项式p(x )为f(x )的k 重因式的条件．设计安排给出不可约多项式的概念后，强调①一次多项式总是不可约多项式； ②多项式是否可约依赖于数域； ③不可约多项式p (x )的因式只有c 及cp (x )；详细讲解因式分解及唯一性定理，进而给出因式分解的标准形式．重点讨论不可约多项式p(x)为f(x)的k 重因式的条件及多项式无重因式的条件，并给出消除重因式的方法．补充例题加深对内容的理解．通过课堂练习吸收消化重点内容．教学进程见幻灯片部分．（3学时）教学内容§5 因式分解定理定义 数域P 上次数1≥的多项式)(x p 称为域P 上的不可约多项式如果它不能表成数域P 上的两个次数比)(x p 的次数低的多项式的乘积.一次多项式总是不可约多项式.一个多项式是否可约是依赖于系数域的.显然，不可约多项式)(x p 的因式只有非零常数与它自身的非零常数倍)0)((≠c x cp 这两种，此外就没有了.反过来，具有这个性质的次数1≥的多项式一定是不可约的.由此可知，不可约多项式)(x p 与任一多项式)(x f 之间只可能有两种关系，或者)(|)(x f x p 或者1))(),((=x f x p .定理 如果)(x p 是不可约多项式，那么对于任意的两个多项式)(),(x g x f ，由)()(|)(x g x f x p 一定推出)(|)(x f x p 或者)(|)(x g x p .如果不可约多项式)(x p 整除一些多项式)(,),(),(21x f x f x f s 的乘积)()()(21x f x f x f s ，那么)(x p 一定整除这些多项式之中的一个.因式分解及唯一性定理 数域P 上次数1≥的多项式)(x f 都可以唯一地分解成数域P 上一些不可约多项式的乘积.所谓唯一性是说，如果有两个分解式)()()()()()()(2121x q x q x q x p x p x p x f t s ==,那么必有t s =，并且适当排列因式的次序后有s i x q c x p i i i ,,2,1,)()( ==.其中),,2,1(s i c i =是一些非零常数.§6 重因式定义 不可约多项式)(x p 称为多项式)(x f 的k 重因式,如果)(|)(x f x p k,但)(|)(1x f x p k /+.设有多项式0111)(a x a x a x a x f n n n n ++++=-- ,它的微商（也称导数或一阶导数）是1211)1()(a x n a nx a x f n n n n ++-+='--- .通过直接验证,可以得出关于多项式微商的基本公式:).()()()()()(()())((),()())()((x g x f x g x f x g x f x f c x cf x g x f x g x f '+'=''=''+'='+）))()(())((1x f x f m x f m m '='- 同样可以定义高阶微商的概念.微商)(x f '称为)(x f 的一阶微商；)(x f '的微商)(x f ''称为)(x f 的二阶微商；等等. )(x f 的k 阶微商记为)()(x f k .一个)1(≥n n 次多项式的微商是一个1-n 次多项式；它的n 阶微商是一个常数；它的1+n 阶微商等于0.定理 如果不可约多项式)(x p 是多项式)(x f 的一个)1(≥k k 重因式,那么)(x p 是微商)(x f '的1-k 重因式.如果不可约多项式)(x p 是多项式)(x f 的一个)1(≥k k 重因式,那么)(x p 是)(x f ，)(x f ',…,)()1(x f k -的因式,但不是)()(x f k 的因式.不可约多项式)(x p 是多项式)(x f 的重因式的充要条件是)(x p 是)(x f 与)(x f '的公因式.备注课后思考题：如何理解多项式因式分解的唯一性？不可约多项式与数域是否有关？怎样判别多项式有无重因式？如何去掉多项式中因式的重数？作业布置课后相应习题.第一章 多项式(第5讲)目标与要求理解多项式的根、重根概念；掌握余数定理及多项式重根的判定及求法．重点难点重点：理解多项式的根、重根概念；掌握余数定理及多项式重根的判定及求法． 难点：理解多项式的重根概念，余数定理的应用设计安排首先给出多项式函数的有关概念，重点介余数定理，举例（幻灯片例1~例3）说明余数定理及多项式重根的判定方法．其次介绍作为余数定理的应用介绍综合除法，并举例说明其应用.（幻灯片例4、例5）——补充内容．教学进程见幻灯片部分．（2课时）教学内容§7 多项式函数1. 多项式函数设0111)(a x a x a x a x f n n n n ++++=--是][x P 中的多项式，α是P 中的数，在(1)中用α代x 所得的数0111a a a a n n n n ++++--ααα称为)(x f 当α=x 时的值,记为)(αf .这样，多项式)(x f 就定义了一个数域上的函数.可以由一个多项式来定义的函数就称为数域上的多项式函数.如果,)()()(,)()()(21x g x f x h x g x f x h =+=那么.)()()(,)()()(21ααααααg f h g f h =+=余数定理 用一次多项式去除多项式)(x f ，所得的余式是一个常数，这个常数等于函数值)(αf .α是)(x f 的根的充要条件是)(|)(x f x α-.定理 ][x P 中n 次多项式)0(≥n 在数域P 中的根不可能多于n 个，重根按重数计算.2. 多项式相等与多项式函数相等的关系定理 如果多项式)(x f ,)(x g 的次数都不超过n ,而它们对n+1个不同的数有相同的值即)()(i i g f αα=,1,,2,1+=n i ,那么)(x f =)(x g .因为数域中有无穷多个数，所以定理9说明，不同的多项式定义的函数也不相同.如果两个多项式定义相同的函数，就称为恒等，上面结论表明，多项式的恒等与多项式相等实际上是一致的.换句话说，数域P 上的多项式既可以作为形式表达式来处理，也可以作为函数来处理.但是应该指出，考虑到今后的应用与推广，多项式看成形式表达式要方便些.备注课后思考问题：如何判定x =a 是否为多项式f (x )的根或重根？如何将多项式f (x )表示 x -x 0 的方幂的和？作业布置课后相应习题．第一章 多项式（第6讲）目标与要求了解代数基本定理，熟练掌握实系数与复系数多项式的因式分解定理，并写出其相应的标准分解式．重点难点重点：熟练掌握实系数与复系数多项式的因式分解定理，对具体多项式能正确写出相应的标准分解式．难点：掌握实系数多项式的因式分解定理．设计安排首先给出代数基本定理，进而介绍复系数多项式的因式分解定理及相应的标准分解式；其次研究实系数多项式的因式分解问题，重点强调：① 实系数多项式的复根成对出现； ② 实数域多项式上都可以唯一地分解成一次与二次不可约因式的乘积．增补如下例题例1 求复系数多项式f (x )= x n - 1的标准分解式．例2 已知1-i 是多项式f (x )= x 4 - 4x 3+5x 2-2x –2的一个根，求f (x )的所有根并写出它的标准分解式（实数域及复数域）．加深对重点、难点部分的理解．通过课堂思考练习吸收消化重点内容．教学进程见幻灯片部分．（2课时）教学内容§8 复系数和实系数多项式的因式分解1. 复系数多项式因式分解定理代数基本定理 每个次数1≥的复系数多项式在复数域中有一个根.复系数多项式因式分解定理 每个次数1≥的复系数多项式在复数域上都可以唯一地分解成一次因式的乘积.因此，复系数多项式具有标准分解式s l s l l n x x x a x f )()()()(2121ααα---=其中s ααα,,,21 是不同的复数，s l l l ,,,21 是正整数.标准分解式说明了每个n 次复系数多项式恰有n 个复根（重根按重数计算）.实系数多项式因式分解定理 每个次数1≥的实系数多项式在实数域上都可以唯一地分解成一次因式与含一对非实共轭复数根的二次因式的乘积.实数域上不可约多项式,除一次多项式外,只有含非实共轭复数根的二次多项式.实系数多项式具有标准分解式r s k r r k l s l l n q x p x q x p x c x c x c x a x f )()()()()()(211221121++++---=其中r r s q q p p c c ,,,,,,,,111 全是实数，s l l l ,,,21 ,r k k ,,1 是正整数，并且),,2,1(2r i q x p x i i =++是不可约的，也就是适合条件r i q p i i ,,2,1,042 =<-..其中第),,2,1(n k k =个等式的右端是一切可能的k 个根的乘积之和,乘以k)1(-. 备注强调：多项式的因式分解与数域相关联！作业布置课后相应习题．第一章 多项式（第7讲）目标与要求熟练掌握有理系数多项式的有理根的求法及整系数多项式为不可约的Eisenstein 判别法．重点难点重点：掌握有理系数多项式有理根的判定方法及Eisenstein 判别法．难点：掌握Eisenstein 判别法．设计安排分成以下三个问题：① 有理系数多项式的因式分解可归结为整系数多项式的因式分解问题；② 如何判别、求出整系数多项式的有理根；③ 整系数多项式为不可约多项式的充分条件——Eisenstein 判别法．举例说明有理数域上存在任意次数的不可约多项式．增补例题和课堂思考练习加深对重点、难点问题的理解．从而达到吸收消化的目的．教学进程见幻灯片部分．（2课时）教学内容§9 有理系数多项式1. 有理系数多项式的有理根定义 如果一个非零的整系数多项式011)(b x b x b x g n n n n +++=-- 的系数01,,,b b b n n -没有异于±1的公因子,也就是说它们是互素的,它就称为一个本原多项式.任何一个非零的有理系数多项式)(x f 都可以表示成一个有理数r 与一个本原多项式)(x g 的乘积，即 )()(x rg x f =.Gauss 引理 两个本原多项式的乘积还是本原多项式.定理 如果一非零的整系数多项式能够分解成两个次数较低的有理系数多项式的乘积，那么它一定可以分解两个次数较低的整系数多项式的乘积.推论 设)(x f ，)(x g 是整系数多项式，且)(x g 是本原多项式，如果)()()(x h x g x f =，其中)(x h 是有理系数多项式，那么)(x h 一定是整系数多项式.定理 设011)(a xa x a x f n n n n +++=-- 是一个整系数多项式.而s r 是它的一个有理根,其中s r ,互素,那么(1) 0|,|a r a s n ;特别如果)(x f 的首项系数1=n a ，那么)(x f 的有理根都是整根，而且是0a 的因子. (2) ),()()(x q sr x x f -= 其中)(x q 是一个整系数多项式.定理 (艾森斯坦(Eisenstein)判别法) 设011)(a x a x a x f n n n n +++=--是一个整系数多项式.若有一个素数p ,使得（1） n a p |/;（2） 021,,,|a a a p n n --;（3） 02|a p /. 则多项式)(x f 在有理数域上不可约.有理数域上存在任意次的不可约多项式.例如2)(+=nx x f .,其中n 是任意正整数. 备注课后思考题：1．如何利用P 32定理12求出整系数多项式的有理根？2．下述结论是否成立？（成立——反证法）有理系数多项式f (x )在有理数域上不可约多项式⇔∀a ≠0，b ，多项式g (x )= f (a x+b ) 在有理数域上不可约．下一次为习题课！（2课时）作业布置课后相应习题．第一章多项式（第8讲）目标与要求熟悉并掌握数学应用软件Mathematica的安装和运行.掌握利用应用软件Mathematica进行多项式基本运算的相关命令.重点难点重点：利用应用软件Mathematica进行多项式基本运算的相关命令.难点：命令格式、含义设计安排针对实验一中对多项式部分的实验要求，对涉及的重点内容做Mathematica4.0演示，提供实验事例.教学进程见实验讲义第二讲（1课时）教学内容应用Mathematica4.0进行多项式相关运算（课程实验一预备知识）相关命令CoefficientList[多项式, 变量]Coefficient[多项式,项,n]PolynomialQuotient[f (x), g(x), x]PolynomialRemainder[f (x), g(x), x]Expand[多项式]PolynomialGCD[f1, f2, …]D[多项式，变量].Solve[代数式==0，变量]/.(a_->b_):>(a->ComplexExpand[b])Factor[多项式]Factor[多项式， Extension->Automatic]Factor[多项式， GaussianIntegers->Ture]Simplify[表达式]备注与行列式部分一起上机（1课时）．作业布置。