高考文科数学几何概型学科素养、考情、考点突破(28张)

方法归纳 在求解与长度有关的几何概型时，首先找到几何区域 D，这时 区域 D 可能是一条线段或几条线段或曲线段，然后找到事件 A 发生 对应的区域 d，在找 d 的过程中，确定边界点是问题的关键，但边 界点是否取到却不影响事件 A 的概率.
跟踪训练 1 已知函数 f(x)＝log2x，在区间[12，2]上随机取一 x0，则使得 f(x0)≥0 的概率为________．
(2)几何概型与古典概型的区别与联系
名称
古典概型
几何概型
相同点
基本事件发生的可能性相等
①基本事件有限个②P(A)＝0 ①基本事件无限个②P(A)
不同点 ⇔A 为不可能事件③P(B)＝1 ＝0⇐A 为不可能事件
⇔B 为必然事件
③P(B)＝1⇐B 为必然事件
|自我尝试|
1．判断下列各题．(对的打“√”，错的打“×”) (1)从区间[－10,10]中任取出一个数，求取到 1 的概率．( × ) (2)从区间[－10,10]中任取出一个数，求取到绝对值不大于 1 的 数的概率．( √ ) (3)从区间[－10,10]中任取出一个数，求取到大于 1 且小于 2 的 数的概率．( √ ) (4)向一个边长为 4 cm 的正方形 ABCD 内投一点 P，求点 P 离 正方形的中心不超过 1 cm 的概率．( √ )
形 ABCD 内部随机取一个点 Q，则点 Q 取自△ABE 内部的概率等 于( )
1பைடு நூலகம் A.4 B.3
12 C.2 D.3
【解析】
点
Q
取 自 △ABE
内部的概率为
P
＝
S△ABE S矩形ABCD
＝
1 2|A|ABB|·||·A|ADD||＝12，故选 C.

e＝2.718 28…)内随机选取两个数，则这两个数之积小于 e 的概率为
()
2 A.e
1 B.e
C.1－2e
D.1－1e
解：设随机选取的两个数为 x，y，由题意得00＜＜xy＜＜ee，，如图， 该不等式组在坐标系中对应的区域面积为 e2，
0＜x＜e， 又不等式组0＜y＜e，在坐标系中对应的区域如图阴影部分，
A.P1>P2
B.P1＝P2
C.P1<P2
D.P1 与 P2 的大小不确定
解：若 f(x)的值域为 R，则 Δ1＝a2－4≥0，得 a≤－2 或 a≥2. 故 P1＝－4－2－（（－－3）3）＋4－4（－－23）＝37. 若 f(x)的定义域为 R，则 Δ2＝a2－4<0，得－2<a<2.
故 P2＝42－－（（－－32））＝47.所以 P1<P2.故选 C.
所以正方形 OEFG 的面积为45，则阴影部分的面积为45－π16，
所以所求的概率为45－41π6＝1－56π4 .故填 1－56π4 .
5
(2)甲、乙两船驶向一个不能同时停泊两艘船的码头，它们在一昼
夜内到达该码头的时刻是等可能的.如果甲船停泊时间为 1 h，乙船停
泊时间为 2 h，则它们中的任意一艘都不需要等待码头空出的概率
自查自纠
1．均等的 2．长度 面积 体积 几何概率模型 几何概型 3.试验构的成全事部件结A果的构区成域的的区长域度长（度面（积面或积体或积体）积）
1.(贵州省贵阳市 2020 届高三 8 月月考)某学校星期一至星期五每
天上午共安排五节课，每节课的时间为 40 分钟，第一节课上课的时间
为 7：50～8：30，课间休息 10 分钟.某同学请假后返校，若他在

F＝0，
则16＋4D＋F＝0， 16＋4＋4D＋2E＋F＝0，
F＝0，
解得D＝－4， E＝－2，
所以圆的方程为 x2＋y2－4x－2y＝0，
即(x－2)2＋(y－1)2＝5； 若过(0,0)，(4,2)，(－1,1)，
F＝0，
则1＋1－D＋E＋F＝0， 16＋4＋4D＋2E＋F＝0，
F＝0Байду номын сангаас 解得D＝－83，
因为 OP⊥OQ，故 1＋ 2p×(－ 2p)＝0⇒p＝12， 抛物线 C 的方程为：y2＝x， 因为⊙M 与 l 相切，故其半径为 1， 故⊙M：(x－2)2＋y2＝1．
(2)设 A1(x1，y1)，A2(x2，y2)，A3(x3，y3)．
当 A1，A2，A3 其中某一个为坐标原点时(假设 A1 为坐标原点时)，
A2＋B2
3．两条平行直线 l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0(A，B 不
同时为零)间的距离
d＝
|C1－C2| ． A2＋B2
典例1 (1)(2022·辽宁高三二模)若两直线l1：(a－1)x－3y－2＝0
与l2：x－(a＋1)y＋2＝0平行，则a的值为
(A )
A．±2
B．2
C．－2
y0＝－x0＋5， 设所求圆的圆心坐标为(x0，y0)，则x0＋12＝y0－x20＋12＋16. 解得xy00＝ ＝32， 或xy00＝ ＝1－1，6. 因此所求圆的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝16 或(x－11)2＋(y＋6)2＝144．
6．(2021·全国甲卷)抛物线C的顶点为坐标原点O，焦点在x轴上，直 线l：x＝1交C于P，Q两点，且OP⊥OQ．已知点M(2,0)，且⊙M与l相 切．

思维导引:根据题意求出矩形的面积为 32 时两条线段的 长度,然后求出概率. 解析:设 AC=x,CB=12-x, 所以 x(12-x)≤32, 解得 x≤4 或 x≥8,
44 2 所以 P= = ,故选 C. 12 3
反思归纳
与长度有关的几何概型的概率计算,关键
是确定分界点的位置.
即时突破 1 (2013 茂名一模)在区间[-1,2]上任意
1 的体积小于 的概率为 6
.
1 1 1 思维导引:四棱锥的高 h 应满足 ×h×1×1< ,即 h< , 3 6 2 1 所以 P 点应在与 ABCD 平行且距离为 的平面的下方. 2
1 1 解析:要使四棱锥的体积小于 ,则其高应小于 , 6 2
∴P 点应落在正方体 ABCD A1B1C1D1 中与底面 ABCD 平
取一个数 x,则 x∈[0,1]的概率为
1 0 1 的概率为 P= = . 2 (1) 3
1 答案: 3
.
解析:在区间[-1,2]上任意取一个数 x,则 x∈[0,1]
考点二 与面积、体积有关的几何概型
【例 2】 如图所示,正方体 ABCD A1B1C1D1 的棱长为 1,在 正方体内随机取点 M,则使四棱锥 M ABCD
1 1 行且距离为 的截面与平面 ABCD 之间.∴P= . 2 2 1 答案: 2
反思归纳
对于面积或体积型的几何概型,
关键是通过图形,找出符合题意的点所在的区 域,再计算相应的面积或体积.
即时突破 2 (2012 年高考湖北卷)如图所示,在圆心
角为直角的扇形 OAB 中,分别以 OA、OB 为直径作两 个半圆,在扇形 OAB 内随机取一点,则此点取自阴影 部分的概率是(