第三章 空间向量
3.1.1空间向量及其加减运算
基础性练习：
1、直三棱柱ABC—A1B1C1中，若BAcCCbCBaCA11,,,则 （ ）
A．cba B．cba
C．cba D．cba
2、给出以下命题：
（1） 两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；
（2） 若空间向量a、b满足ba,则ba
（3） 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，必有11CAAC；
（4） 若空间向量pnm、、满足pmpnnm则，,；
（5） 空间中任意两个向量必相等。
其中不正确的命题的个数是（ ）
A、1 B、 2 C、3 D、4
3、如图，在正方形ABCD—A1B1C1D1中，下列各式运算的结果为向量1AC的共有（ ）
①1)(CCBCAB； ②11111)(CDDAAA
③111)(CBBBAB ④11111)(CBBAAA
A、1 B、 2 C、3 D、4
4、化简：（CDAB）－（BDAC）= 。
巩固性练习：
5、下列说法正确的是（ ）
A、若||||ba，则a、b的长度相同，方向相反；
B、||||ba，ba则的相反向量是向量若向量；
C、空间向量的减法满足结合律；
D、在四边形ABCD中，一定有ACADAB
6、在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，与向量AD相等的向量共有（ ）
A、1 个 B、 2 个 C、3 个 D、4个
7、在正方体ABCD—A1B1C1D1中，向量BCABDD1化简后的结果是（ ）
A、1BD B、BD1 C、DB1 D、1DB
空间向量的基本运算
在空间解析几何中，向量是表示有大小和方向的物理量。空间向量具有三个分量，通常表示为A = (x, y, z)，其中x、y、z分别代表向量在x轴、y轴、z轴上的分量。空间向量的基本运算包括向量的加法、减法、数量乘法、点乘和叉乘。
一、向量的加法
向量的加法是指将两个向量相加得到一个新向量的运算。设有向量A = (x1, y1, z1)和向量B = (x2, y2, z2)，它们的和向量C = A + B = (x1 +
x2, y1 + y2, z1 + z2)。
二、向量的减法
向量的减法是指将一个向量减去另一个向量得到一个新向量的运算。设有向量A = (x1, y1, z1)和向量B = (x2, y2, z2)，它们的差向量C = A -
B = (x1 - x2, y1 - y2, z1 - z2)。
三、数量乘法
数量乘法是指将向量的每个分量都乘以一个实数得到一个新的向量。设有向量A = (x, y, z)和实数k，它们的数量乘积为kA = (kx, ky, kz)。
四、点乘
点乘又称为数量积或内积，是指将两个向量相乘再相加得到一个实数的运算。设有向量A = (x1, y1, z1)和向量B = (x2, y2, z2)，它们的点乘结果为AB = x1 * x2 + y1 * y2 + z1 * z2。 五、叉乘
叉乘又称为向量积或外积，是指将两个向量相乘得到一个新向量的运算。设有向量A = (x1, y1, z1)和向量B = (x2, y2, z2)，它们的叉乘结果为C = A × B = (y1 * z2 - z1 * y2, z1 * x2 - x1 * z2, x1 * y2 - y1 * x2)。
以上是空间向量的基本运算，它们在解决空间中的几何问题和物理问题中起着重要的作用。通过这些基本运算，我们可以进行向量的相加减、放缩，计算向量之间的夹角，求解平面和直线的方程等。
空间向量的运算法则
空间向量的运算法则包括向量的加法、减法、数乘、点积和叉积。
1. 向量的加法：
对于两个向量 A 和 B，它们的和向量记作 A + B，其运算法则为：
(A1, A2, A3) + (B1, B2, B3) = (A1 + B1, A2 + B2, A3 + B3)
2. 向量的减法：
对于两个向量 A 和 B，它们的差向量记作 A - B，其运算法则为：
(A1, A2, A3) - (B1, B2, B3) = (A1 - B1, A2 - B2, A3 - B3)
3. 数乘：
对于一个向量 A 和一个实数 k，其数乘结果记作 kA，其运算法则为：
k(A1, A2, A3) = (kA1, kA2, kA3)
4. 点积（内积）：
对于两个向量 A 和 B，它们的点积结果记作 A · B，其运算法则为：
A · B = A1 * B1 + A2 * B2 + A3 * B3
5. 叉积（外积）：
对于两个向量 A 和 B，它们的叉积结果记作 A × B，其运算法则为： A × B = (A2 * B3 - A3 * B2, A3 * B1 - A1 * B3, A1 * B2 - A2 *
B1)
这些运算法则是空间向量的基本运算法则，通过这些运算法则可以进行空间向量的各种运算。
[学业水平训练]
1．已知空间四边形ABCD中，G为CD的中点，则AB→＋12(BD→＋BC→)等于( )
A.AG→ B.CG→
C.BC→ D.12BC→
解析：选A.AB→＋12(BD→＋BC→)＝AB→＋12×(2BG→)＝AB→＋BG→＝AG→.
2．已知点M在平面ABC内，并且对空间任一点O，OM→＝xOA→＋12OB→＋13OC→，则x的值为( )
A.16 B.13
C.12 D．0
解析：选A.由四点共面的充要条件知．
x＋12＋13＝1，因此x＝16.
3．若空间中任意四点O，A，B，P满足OP→＝mOA→＋nOB→，其中m＋n＝1，则( )
A．P∈AB B．P∉AB
C．点P可能在直线AB上 D．以上都不对
解析：选A.因为m＋n＝1，所以m＝1－n，所以OP→＝(1－n)OA→＋nOB→，即OP→－OA→＝n(OB→－OA→)，即AP→＝nAB→，所以AP→与AB→共线．又有公共起点A，所以P，A，B三点在同一直线上，即P∈AB.
4．在下列条件中，使M与A，B，C一定共面的是( )
A.OM→＝3OA→－2OB→－OC→
B.OM→＋OA→＋OB→＋OC→＝0
C.MA→＋MB→＋MC→＝0
D.OM→＝14OB→－OA→＋12OC→
解析：选C.∵MA→＋MB→＋MC→＝0，
∴MA→＝－MB→－MC→，
∴M与A，B，C必共面．
5．a，b为非零向量，命题甲：“向量a与向量b平行”，命题乙：“|a＋b|＝|a|＋|b|”，那么命题甲是命题乙的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选B.只有向量a，b方向相同时|a＋b|＝|a|＋|b|才成立，所以命题甲推不出命题乙，反之成立．
6．化简12(a＋2b－3c)＋5(23a－12b＋23c)－3(a－2b＋c)＝________.
