第三章 空间向量
3.1.1空间向量及其加减运算
基础性练习：
1、直三棱柱ABC—A1B1C1中，若BAcCCbCBaCA11,,,则 （ ）
A．cba B．cba
C．cba D．cba
2、给出以下命题：
（1） 两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；
（2） 若空间向量a、b满足ba,则ba
（3） 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，必有11CAAC；
（4） 若空间向量pnm、、满足pmpnnm则，,；
（5） 空间中任意两个向量必相等。
其中不正确的命题的个数是（ ）
A、1 B、 2 C、3 D、4
3、如图，在正方形ABCD—A1B1C1D1中，下列各式运算的结果为向量1AC的共有（ ）
①1)(CCBCAB； ②11111)(CDDAAA
③111)(CBBBAB ④11111)(CBBAAA
A、1 B、 2 C、3 D、4
4、化简：（CDAB）－（BDAC）= 。
巩固性练习：
5、下列说法正确的是（ ）
A、若||||ba，则a、b的长度相同，方向相反；
B、||||ba，ba则的相反向量是向量若向量；
C、空间向量的减法满足结合律；
D、在四边形ABCD中，一定有ACADAB
6、在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，与向量AD相等的向量共有（ ）
A、1 个 B、 2 个 C、3 个 D、4个
7、在正方体ABCD—A1B1C1D1中，向量BCABDD1化简后的结果是（ ）
A、1BD B、BD1 C、DB1 D、1DB
[学业水平训练]
1．已知空间四边形ABCD中，G为CD的中点，则AB→＋12(BD→＋BC→)等于( )
A.AG→ B.CG→
C.BC→ D.12BC→
解析：选A.AB→＋12(BD→＋BC→)＝AB→＋12×(2BG→)＝AB→＋BG→＝AG→.
2．已知点M在平面ABC内，并且对空间任一点O，OM→＝xOA→＋12OB→＋13OC→，则x的值为( )
A.16 B.13
C.12 D．0
解析：选A.由四点共面的充要条件知．
x＋12＋13＝1，因此x＝16.
3．若空间中任意四点O，A，B，P满足OP→＝mOA→＋nOB→，其中m＋n＝1，则( )
A．P∈AB B．P∉AB
C．点P可能在直线AB上 D．以上都不对
解析：选A.因为m＋n＝1，所以m＝1－n，所以OP→＝(1－n)OA→＋nOB→，即OP→－OA→＝n(OB→－OA→)，即AP→＝nAB→，所以AP→与AB→共线．又有公共起点A，所以P，A，B三点在同一直线上，即P∈AB.
4．在下列条件中，使M与A，B，C一定共面的是( )
A.OM→＝3OA→－2OB→－OC→
B.OM→＋OA→＋OB→＋OC→＝0
C.MA→＋MB→＋MC→＝0
D.OM→＝14OB→－OA→＋12OC→
解析：选C.∵MA→＋MB→＋MC→＝0，
∴MA→＝－MB→－MC→，
∴M与A，B，C必共面．
5．a，b为非零向量，命题甲：“向量a与向量b平行”，命题乙：“|a＋b|＝|a|＋|b|”，那么命题甲是命题乙的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选B.只有向量a，b方向相同时|a＋b|＝|a|＋|b|才成立，所以命题甲推不出命题乙，反之成立．
6．化简12(a＋2b－3c)＋5(23a－12b＋23c)－3(a－2b＋c)＝________.
空间向量的数乘运算
在线性代数中，空间向量的数乘运算是指将一个向量与一个实数（标量）相乘的操作。数乘是向量运算中最基本的运算之一。
设向量为 v = [x1, x2, ..., xn]，标量为 a。向量 v 乘以标量 a
的数乘结果记作 av，计算方法如下：
av = [ax1, ax2, ..., a*xn]
即将向量 v 的每个分量与标量 a 相乘得到新的向量 av。
数乘运算改变了向量的长度和方向，当 a > 0 时，数乘会拉长向量的长度，并保持方向不变；当 a < 0 时，数乘会拉长向量的长度，同时改变向量的方向；当 a = 0 时，数乘结果为零向量。
例如，对于向量 v = [2, -3, 4]，标量 a = 3 进行数乘运算：
av = [32, 3(-3), 3*4]
= [6, -9, 12]
因此，数乘运算的结果是 av = [6, -9, 12]。
数乘运算在线性代数中广泛应用，它可以用于调整向量的大小、实现向量的平行移动等操作，同时也是计算矩阵乘法、向量内积、向量投影等许多重要运算的基础。
3.1.2 空间向量的数乘运算
课时目标 1.掌握空间向量数乘运算的定义和运算律，了解共线(平行)向量、共面向量的意义，掌握它们的表示方法.2.能理解共线向量定理和共面向量定理及其推论，并能运用它们证明空间向量的共线和共面的问题．
1．空间向量的数乘运算
(1)向量的数乘：实数λ与空间向量a的乘积仍然是一个向量，记作________，称为向量的数乘运算．当λ>0时，λa与向量a方向________；当λ<0时，λa与向量a方向________；λa的长度是a的长度的________倍．
(2)空间向量的数乘运算满足分配律与结合律．
分配律：______________；结合律：______________.
2．共线向量
(1)共线向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相________或________，则这些向量叫做共线向量或平行向量．
(2)对空间任意两个向量a、b(b≠0)，a∥b的充要条件是________________．
(3)
方向向量：如图l为经过已知点A且平行于已知非零向量a的直线，对空间任意一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使____________，其中向量a叫做直线l的方向向量．
3．共面向量
(1)共面向量：平行于________________的向量，叫做共面向量．
(2)如果两个向量a、b不共线，那么向量p与向量a、b共面的充要条件是存在惟一的有序实数对(x，y)，使__________．空间内一点P位于平面ABC内的充要条件是存在有序实数对(x，y)，使______________．
对空间任意一点O，点P在平面ABC内的充要条件是存在有序实数对(x，y)，使________________．
一、选择题
1．下列命题中正确的是( )
A．若a与b共线，b与c共线，则a与c共线
B．向量a，b，c共面，即它们所在的直线共面
C．零向量没有确定的方向
