空间向量及其加减运算

§3.1 空间向量及其运算

3.1.1 空间向量及其加减运算

学习目标 1.了解空间向量、向量的模、零向量、相反向量、相等向量等概念.2.会用平行四边形法则、三角形法则作出向量的和与差.3.了解向量加法的交换律和结合律．

知识点一 空间向量的概念

(1)在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的长度或模．

空间向量也用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的模，向量a的起点是A，终点是B，则向量a也可记作AB→，其模记为|a|或|AB→|.

(2)几类特殊的空间向量

名称 定义及表示

零向量 规定长度为0的向量叫做零向量，记为0

单位向量 模为1的向量称为单位向量

相反向量 与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量，记为－a

相等向量 方向相同且模相等的向量称为相等向量，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量

知识点二 空间向量的加减运算及运算律

思考 下面给出了两个空间向量a，b，作出b＋a，b－a.

答案 如图，空间中的两个向量a，b相加时，我们可以先把向量a，b平移到同一个平面α内，以任意点O为起点作OA→＝a，OB→＝b，则OC→＝OA→＋OB→＝a＋b，AB→＝OB→－OA→＝b－a.

梳理 (1)类似于平面向量，可以定义空间向量的加法和减法运算．

OB→＝OA→＋AB→＝a＋b，

CA→＝OA→－OC→＝a－b.

(2)空间向量加法交换律

a＋b＝b＋a，

空间向量加法结合律

(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．

(1)零向量没有方向．(×)

(2)有向线段都可以表示向量，向量都可以用有向线段表示．(×)

(3)平面内所有的单位向量是相等的．(×)

(4)空间中，将单位向量起点放在一起，其终点组成的图形是球．(×)

(5)任何两个向量均不可以比较大小(√)

类型一 向量概念的应用

例1 (1)下列关于空间向量的说法中正确的是( )

A．若向量a，b平行，则a，b所在直线平行

B．若|a|＝|b|，则a，b的长度相等而方向相同或相反

C．若向量AB→，CD→满足|AB→|＞|CD→|，则AB→＞CD→

D．相等向量其方向必相同

考点 空间向量的相关概念及其表示方法

题点 空间向量的定义与模 答案 D

解析 A中，向量a，b平行，则a，b所在的直线平行或重合；B中，|a|＝|b|只能说明a，b的长度相等而方向不确定；C中，向量作为矢量不能比较大小，故选D. (2)给出下列命题：

①若空间向量a，b满足|a|＝|b|，则a＝b；

②在正方体ABCD－A1B1C1D1中，必有AC→＝A1C1-→；

③若空间向量m，n，p满足m＝n，n＝p，则m＝p；

④空间中任意两个单位向量必相等．

其中假命题的个数是( )

A．1 B．2 C．3 D．4

考点 空间向量的相关概念及其表示方法

题点 相等、相反向量

答案 B

解析 ①为假命题，根据向量相等的定义知，两向量相等，不仅模要相等，而且还要方向相同，而①中向量a与b的方向不一定相同；②为真命题，AC→与A1C1-→的方向相同，模也相等，故AC-→＝A1C1-→；③为真命题，向量相等满足传递性；④为假命题，空间中任意两个单位向量的模均为1，但方向不一定相同，故不一定相等，故选B.

反思与感悟 在空间中，向量、向量的模、相等向量的概念和平面中向量的相关概念完全一致，两向量相等的充要条件是两个向量的方向相同、模相等．两向量互为相反向量的充要条件是大小相等，方向相反．

跟踪训练1 (1)在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，下列四对向量：①AB→与C1D1-→；②AC1-→与BD1-→；③AD1-→与C1B-→；④A1D-→与B1C-→.其中互为相反向量的有n对，则n等于( )

A．1 B．2

C．3 D．4

考点 空间向量的相关概念及其表示方法

题点 相等、相反向量

答案 B

解析 对于①AB→与C1D1-→，③AD1-→与C1B-→，长度相等，方向相反，互为相反向量；对于②AC1-→与BD1-→，长度相等，方向不相反；对于④A1D-→与B1C-→，长度相等，方向相同．故互为相反向量的有2对．

(2)如图，在长方体ABCD－A′B′C′D′中，AB＝3，AD＝2，AA′＝1，则分别以长方体的顶点为起点和终点的向量中：

①单位向量共有多少个？

②试写出模为5的所有向量．

③试写出与向量AB→相等的所有向量．

④试写出向量AA′--→的所有相反向量．

考点 空间向量的相关概念及其表示方法

题点 空间向量的定义与模

解 ①由于长方体的高为1，所以长方体的四条高所对应的向量AA′--→，A′A--→，BB′--→，B′B---→，CC′---→，C′C---→，DD′---→，D′D---→，共8个向量都是单位向量，而其他向量的模均不为1，故单位向量共有8个．

②由于长方体的左右两侧面的对角线长均为5，故模为5的向量有AD′---→，D′A----→，A′D---→，DA′---→，BC′----→，C′B----→，B′C----→，CB′---→.

③与向量AB→相等的所有向量(除它自身之外)有A′B′----→，DC→及D′C′----→.

④向量AA′---→的相反向量有A′A---→，B′B---→，C′C---→，D′D---→.

类型二 空间向量的加减运算

例2 如图，已知长方体ABCD－A′B′C′D′，化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果的向量．

(1)AA′-→－CB→；

(2)AA′-→＋AB→＋B′C′---→.

考点 空间向量的加减运算

题点 空间向量的加减运算

解 (1)AA′-→－CB→＝AA′-→－DA→＝AA′-→＋AD→＝AA′-→＋A′D′---→＝AD′-→.

(2)AA′-→＋AB→＋B′C′---→＝(AA′-→＋AB→)＋B′C′----→＝AA′-→＋A′B′----→＋B′C′----→＝AB′-→＋B′C′----→＝AC′-→. 向量AD′-→，AC′-→如图所示．

引申探究

利用本例题图，化简AA′-→＋A′B′----→＋B′C′----→＋C′A--→.

解 结合加法运算

AA′-→＋A′B′----→＝AB′-→，AB′-→＋B′C′----→＝AC′-→，AC′-→＋C′A---→＝0.

故AA′-→＋A′B′----→＋B′C′----→＋C′A----→＝0.

反思与感悟 (1)首尾顺次相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，即A1A2-→＋A2A3-→＋A3A4-→＋…＋An—1An--→＝A1An-→.

(2)首尾顺次相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为0.如图，

OB→＋BC→＋CD→＋DE→＋EF→＋FG→＋GH→＋HO→＝0.

跟踪训练2 在如图所示的平行六面体中，求证：AC→＋AB′-→＋AD′-→＝2AC′-→.

考点 空间向量的加减运算

题点 空间向量的加减运算的应用

证明 ∵平行六面体的六个面均为平行四边形，

∴AC→＝AB→＋AD→，AB′-→＝AB→＋AA′-→，AD′-→＝AD→＋AA′-→，

∴AC→＋AB′-→＋AD′-→

＝(AB→＋AD→)＋(AB→＋AA′-→)＋(AD→＋AA′-→)

＝2(AB→＋AD→＋AA′-→)．

又∵AA′-→＝CC′-→，AD→＝BC→，

∴AB→＋AD→＋AA′-→＝AB→＋BC→＋CC′-→＝AC→＋CC′-→＝AC′-→.

∴AC→＋AB′-→＋AD′-→＝2AC′-→. 1.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列各式中运算的结果为AC1-→的共有( )

①(AB→＋BC→)＋CC1-→；

②(AA1-→＋A1D1--→)＋D1C1--→；

③(AB→＋BB1-→)＋B1C1--→；

④(AA1-→＋A1B1--→)＋B1C1--→.

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

考点 空间向量的加减运算

题点 空间向量的加减运算

答案 D

解析 ①(AB→＋BC→)＋CC1-→＝AC→＋CC1-→＝AC1-→；

②(AA1→＋A1D1--→)＋D1C1--→＝AD1-→＋D1C1--→＝AC1-→；

③(AB→＋BB1-→)＋B1C1--→＝AB1-→＋B1C1--→＝AC1-→；

④(AA1-→＋A1B1--→)＋B1C1--→＝AB1-→＋B1C1--→＝AC1-→，故选D.

2．下列命题中，假命题是( )

A．同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小

B．两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同

C．只有零向量的模等于0

D．空间向量不满足加法结合律

考点 空间向量的相关概念及其表示方法

题点 空间向量的定义与模

答案 D

3．在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，与向量AD→相等的向量共有( )

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

考点 空间向量的相关概念及其表示方法

题点 相等、相反向量

答案 C

解析 与AD→相等的向量有A1D1--→，BC→，B1C1--→，共3个．

4．向量a，b互为相反向量，已知|b|＝3，则下列结论正确的是( )

A．a＝b B．a＋b为实数0 C．a与b方向相同 D．|a|＝3

考点 空间向量的相关概念及其表示方法

题点 相等、相反向量

答案 D

解析 向量a，b互为相反向量，则a，b模相等、方向相反，故选D.

5．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，已知下列各式：

①(AB→＋BC→)＋CC1-→；②(AA1-→＋A1D1--→)＋D1C1--→；③(AB→＋BB1-→)＋B1C1--→；④(AA1-→＋A1B1--→)＋B1C1--→.其中运算的结果为AC1-→的有________个．

考点

题点

答案 4

解析 根据空间向量的加法运算以及正方体的性质逐一进行判断：

①(AB→＋BC→)＋CC1-→＝AC→＋CC1-→＝AC1-→；

②(AA1-→＋A1D1--→)＋D1C1--→＝AD1-→＋D1C1--→＝AC1-→；

③(AB→＋BB1-→)＋B1C1--→＝AB1-→＋B1C1--→＝AC1-→；

④(AA1-→＋A1B1--→)＋B1C1--→＝AB1-→＋B1C1--→＝AC1-→.

所以4个式子的运算结果都是AC1-→.

1．一些特殊向量的特性

(1)零向量不是没有方向，而是它的方向是任意的．

(2)单位向量方向虽然不一定相同，但它们的长度都是1.

(3)两个向量模相等，不一定是相等向量，反之，若两个向量相等，则它们不仅模相等，方向也相同．若两个向量模相等，方向相反，则它们为相反向量．

2．空间向量加法、减法运算的两个技巧

(1)巧用相反向量：向量减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法的关键，灵活运用相反向量可使向量首尾相接．

(2)巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加、减法运算时，务必注意和向量、