空间向量及其加减运算
【教学目标】
1．掌握向量加法的定义
2．会用向量加法的三角形法则和向量的平行四边形法则作两个向量的和向量
3．掌握向量加法的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算
【教学重点】
用向量加法的三角形法则和平行四边形法则，作两个向量的和向量。
【教学难点】
向量的加法和减法的定义的理解
【课时安排】
1课时
【教学过程】
一、复习引入：
1．向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量
2．向量的表示方法：
（1）用有向线段表示；
（2）用字母ａ、ｂ等表示；
（3）用有向线段的起点与终点字母：；
（4）向量的大小――长度称为向量的模，记作||。
3．零向量、单位向量概念：
（1）长度为0的向量叫零向量，记作的方向是任意的
（2）长度为1个单位长度的向量，叫单位向量。零向量、单位向量的定义都是只限制大小，不确定方向。
4．平行向量定义：
（1）方向相同或相反的非零向量叫平行向量；
（2）我们规定0与任一向量平行。向量a、b、c平行，记作a∥b∥c。
5．相等向量定义：
长度相等且方向相同的向量叫相等向量。 ABABAB00 （1）向量a与b相等，记作a＝b；
（2）零向量与零向量相等；
（3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关。
6．共线向量与平行向量关系：
平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上。
（1）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；
（2）共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系。
7．对向量概念的理解
的字母是有顺序的，起点在前终点在后，所以我们说有向线段有三个要素：起点、方向、长度；既有大小又有方向的量，我们叫做向量，有二个要素：大小、方向。向量不能比较大小；实数与向量不能相加减，但实数与向量可以相乘。
Ｎ 京磋 氖论坛 ２０１ ｔ年第７期（总第１５７期）
《空问向量及其加减运算》教学设计
牟军伟 公安县第三中学，湖北公安４３４３００ 一、教学目标 知识与技能：理解空问向量的概念，掌握空间向量的加 减运算及其运算律，并能借助图形理解空间向量加减运算 及其运算律的意义。 过程与方法：经历向量由平面向空间推广的过程，让学 生感受一个数学概念的推广可能带来的很多更好的性质， 体会数形结合的数学思想方法，进一步培养学生归纳、类 比、迁移能力，增强学生的数学应用意识和创新意识。 情感态度与价值观：经历向量由平面向空间推广的过 程，体验数学在结构上的和谐性，激发学生的学习热情，培 养学生勇于探索、创新的个性品质。 二、重点难点 重点：空间向量的概念、加减运算的意义及其运算律。 难点：空间向量加法的运算律。 三、教学方法 采用“启发探究”式教学方法，结合多媒体辅助教学。 四、教学过程 （一＿）创设情境，引入课题 师：在必修４中我们学习了一个新的量——向量，今天 就让我们继续来研究它，首先，请看屏幕。 出示幻灯片，引导学生观察几个向量不共面的情况。 幻灯片１：著名的台球神童——丁俊晖！大家请看他 好像遇到了难题？你能帮助他解决吗？ 幻灯片２：这是荆州长江大桥，斜拉索与Ａ型塔柱的受 力情况。 幻灯片３：一正三角形钢板，三顶点用等长的绳子绑 起，在力Ｆ的作用下静止，三根绳子的受力情况如何？ （二）类比猜想，自主探究 １．空间向量的有关概念 ！ｉｉｌｉ：请同学们回忆一下在平面向量中学习的有关概念。 活动设计：学生回答，互相补充 向量、模（长度）、表示方法、共线（平行）向量、相等向 量、相反向量、零向量、单位向量。 ‘‘、 师：在空间中，这些概念与平面向量完全相同。不同的 是，平面向量仅限于研究同一平面的平移，而空间向量研究 的是空间的平移。 问题１：空间任意两个向量是否可能异面？为什么？ ４２ 活动设计：课件展示，学生讨论、作答 师：空间任意两个向量都可以平移到同一个平面内。 因此凡是涉及空间任意两个向量的问题，平面向量中有关 结论仍适用于它们。 ２．空间向量的加减运算及其运算律 问题２：把平面向量的运算推广到空间向量，怎么定义 空间向量的加法、减法运算？ ６
空间向量运算法则
空间向量运算法则是指在三维空间内进行向量加减乘除等运算的规则。这些运算法则既可以使用几何方法进行计算，也可以使用向量分量的方法进行计算，其目的是为了求解向量在空间内的位置、大小和方向等。
1. 向量的加法运算法则
向量加法运算法则是指，在三维空间内，将两个向量加起来，得到一个新的向量，其大小和方向分别由原来的两个向量相加得到。可以使用向量分量的方法来计算向量的加法，即将两个向量的x、y、z分量分别相加得到新的向量的x、y、z分量。
2. 向量的减法运算法则
向量减法运算法则是指，在三维空间内，将一个向量从另一个向量中减去，得到一个新的向量，其大小和方向分别由原来的两个向量相减得到。可以使用向量分量的方法来计算向量的减法，即将两个向量的x、y、z分量分别相减得到新的向量的x、y、z分量。
3. 向量的数量积运算法则
向量的数量积运算法则是指，在三维空间内，将两个向量的数量相乘，得到一个标量。可以使用向量分量的方法来计算向量的数量积，即将两个向量的x、y、z分量分别相乘得到新的标量。
4. 向量的向量积运算法则
向量的向量积运算法则是指，在三维空间内，将两个向量的向量积相乘，得到一个新的向量，其大小和方向分别由原来的两个向量的垂直向量相乘得到。可以使用几何方法或向量分量的方法来计算向量的向量积，即将两个向量的x、y、z分量按照一定顺序组合得到新的向量的x、y、z分量。
5. 向量的混合积运算法则
向量的混合积运算法则是指，在三维空间内，将三个向量的混合积相乘，得到一个标量，其大小等于以这三个向量为三条边的平行六面体的体积。可以使用向量分量的方法来计算向量的混合积，即将三个向量的x、y、z分量按照一定顺序组合得到新的标量。
空间向量运算法则是解决三维空间内向量运算的基础，它们的理论和应用对于数学、物理等领域都有着重要的作用。在实际应用中，人们可以根据问题需要选择合适的向量运算法则，进行向量的计算和求解。
第 - 1 - 页 空间向量的综合运算
题一：已知a→，b→均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a→+3b→|为( )
A．7 B．10 C．13 D．4
题二：空间四边形OABC中，OB=OC，∠AOB=∠AOC=3，则cos
A．12 B．22 C．12 D．0
题三：已知空间三点A(2，0，2)，B(1，1，2)，C(3，0，4)，设a→=AB→，b→=AC→．
(1)设|c→|=3，c→//BC→，求c→．
(2)求a→与b→的夹角的余弦值．
(3)若ka→+b→与ka→2b→互相垂直，求k．
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空间向量的综合运算
讲义参考答案
题一：C．题二：D．题三：(2，1，2)或(2，1，2)；1010；2或52．
