数学试卷一、选择题1.设{}{}2|20,0,A x x x B a =--<=,若A B B ⋂=,则实数a 的取值范围是( ) A. (1,2)-B. (1,0)(0,2)-⋃C. (,1)(2,)-∞-⋃+∞D. (0,2) 2.已知复数21z i=-,给出下列四个结论: ①2z =;②22z i =;③z 的共轭复数1z i =-+; ④z 的虚部为i .其中正确结论的个数是( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 33.已知命题:p 若a b >,则22a b >;命题:q 若24x =,则2x =.下列说法正确的是( ) A.“p q ∨”为真命题 B.“p q ∧”为真命题 C.“命题p ”为真命题 D.“命题q ”为假命题4.已知ABC ∆的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且sin sin sin c b Ac a C B-=-+,则 B = ( ) A.6π B. 4πC. 3πD. 34π5.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是( )A. 223π-B. 423π-C. 53π D. 22π-6.若角θ终边上的点(A 在抛物线24x y =-的准线上,则cos2θ= ( )A.1B. 2C. 12-D. 7、已知函数,的图像如图所示,若且,则的值为( )A. B. C.D.8.设变量y 满足{342y xx y x ≥+≤≥-约束条件,则3z x y =-的最大值为( )A. 8B. 4C.2D. 59.设122017,,,a a a L 是数列1,2,2017L 的一个排列,观察如图所示的程序框图,则输出的F 的值为( )A. 2015B. 2016C. 2017D. 201810.已知f ()x 是奇函数并且是R 上的单调函数,若2(2)(2)y f x f x m =++--只有一个零点,则函数4()(1)1g x mx x x =+>-的最小值为( ) A. 3 B. 3- C. 5 D. 5-11.设等差数列{}n a 的前n 项和n S ,且满足201720180,0S S ><,对任意正整数n ,都有n k a a ≥,则k 的值为( ) A. 1007 B. 1008 C. 1009 D. 101012.设函数222()()(ln 2)f x x a x a =-+-,其中0,x a R >∈,存在0x 使得0()f x b ≤成立,则实数b 的最小值为( )A. 15B. 25C. 45D. 1二、填空题13.0(sin) x x dxπ+⎰的值等于__________14.M、N 分别为双曲线221? 43x y-=左、右支上的点,设υ是平行于x轴的单位向量,则MNυ⋅u u u u r的最小值为__________15.若的展开式中只有第6项的二项式系数最大,则展开式中的常数项是__________16.在体积为的三棱锥S ABC-中,2,90,AB BC ABC SA SC==∠=︒=,且平面SAC⊥平面ABC,若该三棱锥的四个顶点都在同一球面上,则该球的体积是__________三、解答题17.已知数列{}n a满足:*2121()?2nnaaa n Nn++⋯+=-∈.1.求数列{}n a的通项公式;2.设22nnn nba-=,数列{}n b的前n项和为n S.若对一切*n N∈,都有nS M<成立(M为正整数),求M的最小值.18.某种产品的质量以其质量指标值衡量,并依据质量指标值划分等级如下表:质量指标值m185m<185205m≤<205m≥200等级三等品二等品一等品:（1）根据以上抽样调查数据,能否认为该企业生产的这种产品符合“一、二等品至少要占全部产品0920”的规定?（2）在样本中,按产品等级用分层抽样的方法抽取8件,再从这8件产品中随机抽取4件,求抽取的4件产品中,一、二、三等品都有的概率;（3）该企业为提高产品质量,开展了“质量提升月”活动,活动后再抽样检测,产品质量指标值x近似满足(218,140)X N~则“质量提升月”活动后的质量指标值的均值比活动前大约提升了多少?19.如图,在梯形ABCD 中, //,1,120AB CD AD DC CB BCD ===∠=︒,四边形BFED 为矩形,平面BFED ⊥平面ABCD ,1BF =.(1).求证: AD ⊥平面BFED ;(2).点P 在线段上FE 运动,设平面PAB 与平面ADE 所成锐二面角为θ,试求θ的最小值. 20.已知椭圆C 的中心在原点,离心率为22,圆22:(1)1E x y -+=的圆心是椭圆C 的一个焦点1.求椭圆C 的方程;2.如图,过椭圆C 上且位于y 轴左侧的一点P 作圆E 的两条切线,分别交y 轴于点M 、N .试推断是否存在点P ,使?MN =若存在,求点P 的坐标;若不存在,请说明理由. 21.已知函数21()2ln 2f x ax ax x =-+有两个不同的极值点12,x x ,且1212x x ⋅> 1.求实数a 的取值范围;2.设上述a 的取值范围为M ,若存在02122x ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦使对任意a M ∈,不等式20()ln(1)(1)(1)2ln 2f x a m a a ++>--++恒成立,求实数m 的取值范围.22.坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中,以坐标原点为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线1C 的极坐标方程为24cos 30,?[0,2)ρρθθπ-+=∈. 1.求1C 的直角坐标方程;2.曲线2C 的参数方程为cos6{sin6x t y t ππ== (t 为参数).求1C 与2C 的公共点的极坐标.23.设()11f x x x =-++ 1.求()2f x x ≤+的解集; 2.若不等式()121a a f x a+--≥对任意实数0a ≠恒成立,求实数x 的取值范围.参考答案1.答案：B 解析：2.答案：B解析：由已知1z i =+,则22,1z z i z i ==-,z 的虚部为1.所以仅结论②正确,故选B . 3.答案：A 解析： 4.答案：C解析：利用正弦定理解得边的关系,再利用余弦定理求解,因为sin sin sin c b A ac a C B c b-==-++,整理得222a cb ac +-=,所以2221cos 22a c b B ac +-==,(0,)B π∈,所以3B π=,故选C. 5.答案：A解析： 6.答案：A 解析：答案： 7、 8.答案：A 解析： 9.答案：D 解析： 10.答案：C 解析： 11.答案：C 解析： 12.答案：C解析：函数()f x 可以看作动点()2,ln P x x 与点(),2Q a a 的距离的平方,点P 在曲线2ln y x =上,点Q 在直线2y x =上,问题转化为直线上的点到曲线上的点的距离的最小值,由2ln y x =求导可得2y x'=,令'2y =,解得1x =,此时2ln10y ==,则()1,0M 所以点()1,0M 到直线2y x =的距离d ==,故()2min 45f x d ==.由于存在0x 使得()0f x b ≤,则()min f x b ≤,即45b ≥,13.答案：2122π+解析：14.答案：4 解析：15.答案：180 解析： 16.答案：92π解析：17.答案：1.因为21212n n a a a n ++⋯+=-,则112121(2)21n n a aa n n --++⋯+=-≥-. 两式相减,得12n na n-=,即()122?n n a n n -=⋅≥. 由已知, 1211a =-=满足上式.故数列{}n a 的通项公式是12n n a n -=⋅.2.由题设, 11(21)2122n n n n n n b n ----==⋅. 则2113521 1222n n n S --=+++⋯+,211132321 22222n n nn n S ---=++⋯++。
两式相减,得21112111?2222n n nn S --=+++⋯+- 21212333222n n n n n --+=--=-.所以12362n n n S -+=-.显然, 6n S <,又5136516S =->,所以6M ≥,故M 的最小值为6.解析：18.答案：（1）根据抽样调查数据,一、二等品所占比例的估计值为0.2000.3000.2600.0900.0250.875++++=,由于该估计值小于0.92,故不能认为该企业生产的这种产品符合“一、二等品至少要占全部产品0920”的规定（2）一、二、三等品都有的概率为37“质量提升月”活动后的质量指标值的均值比活动前大约提升了17.6解析：2.由频率分布直方图知,一、二、三等品的频率分别为0.375、0.5、0.125, 故在样本中用分层抽样方法抽取的8件产品中,一等品3件,二等品4件,三等品1件. 再从这8件产品中随机抽取4件,一、二、三等品都有的情形有2种: ①一等品2件,二等品1件,三等品1件; ②一等品1件,二等品2件,三等品1件.故所求的概率21112134134148|37c c c c c c P c +== （3）“质量提升月”活动前,该企业这种产品的质量指标值的均值约为1700.025 1.800.11900.20.32100.262200.092300.025200.4⨯+⨯+⨯⨯+⨯+⨯+⨯=,“质量提升月”活动后,产品质量指标值X 近似满足(218,140)X N ~ 即质量指标值的均值约为218.所以,“质量提升月”活动后的质量指标值的均值比活动前大约提升了17.6.19.答案：(1).在梯形ABCD 中, 1,120AD DC CB BCD ===∠=︒,120,30ADC BCD BDC CBD ∠=∠=︒∠=∠=︒,∴90ADB ADC BDC ∠=∠-∠=︒即AD BD ⊥.又平面BFED ⊥平面ABCD ,平面BEFD ⋂平面ABCD BD =, ∴AD ⊥平面BFED (2). θ的最小值为π3解析：由(1)可建立分别以直线DA 、DB 、DE 为x 轴、y 轴、z 轴的空间直角坐标系, 如图所示易知BD ==令(03)EP λλ=≤≤则(0,0,0),(1,0,0),(0,,1)D A B P λ∴((0,AB BP λ=-=-u u u r u u u r设()1,,n x y z =为平面PAB 的一个法向量,由1100n AB n BP ⋅=⋅=⎧⎪⎨⎪⎩u u u r u u u r得0(0x y z λ-+=-+=⎧⎪⎨⎪⎩ 取1y =,得1)n λ=()20,1,0n =是平面ADE 的一个法向量,∴1212cos n n n n θ⋅==∴03λ≤≤当λ=, cos θ有最大值, ∴θ的最小值为π320.答案：1.椭圆C 的方程为2212x y += 2.存在点(1,P -满足题设条件 解析：1.由题意可设椭圆方程为22221(0)x y a b a b+=>>且半焦距1c =.因为椭圆的离心率为2,则2c a =,即a ==2221b a c =-=故椭圆C 的方程为2212x y +=. 2.设点000(,)(0),(0,),(0,)P x y x M m N n <则直线PM 的方程为0y my x m x -=+,即000()0y m x x y mx --+= 因为圆心(1,0)E 到直线PM 的距离为1,1=,即222220000000()()2()y m x y m x m y m x m -+=-+-+,即2000(2)20x m y m x -+-=. 同理, 2000(2)20x n y n x -+-=由此可知,m n ,为方程2000(2)20x x y x x -+-=的两个实根,所以00002,22y xm n mn x x +==---,MN m n =-=== 因为点00(,)P x y 在椭圆C 上,则220012x y +=,即220012x y =-则MN ===3=,则20(2)9x -= 因为00x <,则01x =-,22001122x y =-=即02y =±故存在点(1,2P -±满足题设条件 21.答案：1.实数a 的取值范围是(1,2)2. m 的取值范围是1,4⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦解析：1. ()f x '=21212(0)ax ax ax a x x x-+-+=> 令()0f x '=,则2210ax ax -+=据题意,方程有两个不等正根,则2120{44012a a a x x ≠∆=->>即(1)0{112a a a ->>解得12a <<故实数a 的取值范围是(1,2)2.由2210ax ax -+>,得2(1)1a x a ->-.即1x >-1x >+()f x在(,1-∞-和(1)++∞上是增函数.因为12a <<则11++所以()f x在122⎡⎤+⎢⎥⎣⎦上是增函数.当122x ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦时, max ()(2)2ln 2f x f a ==-+据题意,当()1,2a ∈时, max 2()ln(1)(1)(1)2ln 2f x a m a a ++>--++恒成立,即22ln 2ln(1)(1)(1)2ln 2a a m a a -+++>--++恒成立,即2ln(1)1ln 20a ma a m +--++->恒成立.设2()ln(1)1ln 2g a a ma a m =+--++-,则12(1)12()2111am a m g a ma a a -++=--='++ (1)当0m ≥时,因为()1,2a ∈则()0g a '<,所以()g a 在(1,2)上是减函数.此时, ()(1)0g a g <=不合题意.(2)当0m <时,若1112m +≥-,即14m ≤- 因为()1,2a ∈则10,()0a g a '+>>,所以()g a 在(1,2)上是增函数, ()(1)0g a g >=符合题意. 若1112m +<-,即104m -<<,则1(1)12m-+>. 当11(1)2a m <<-+时, 1102a m++<,则()0g a '<,所以()g a 在1(1,(1))2m-+上是减函数.此时, ()(1)0g a g <<,不合题意.综上分析, m 的取值范围是1,4⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦22.答案：1.将222{cos x y xρρθ=+=代入24cos 30ρρθ-+=得: ()2221x y -+=.2.由题设可知, 2C 是过坐标原点,倾斜角为6π的直线,因此2C 的极坐标方程为6πθ=或7,06πθρ=>, 将6πθ=代入21:30C ρ-+=,解得:ρ=将76πθ=代入1C得ρ=不合题意. 故1C ,2C公共点的极坐标为6π⎫⎪⎭.解析：23.答案：1.由()2f x x ≤+,得20{1112x x x x x +≥≤----≤+或20{11112x x x x x +≥-<<-++≤+或20{1112x x x x x +≥≥-++≤+解得02x ≤≤.()2f x x ∴≤+的解集为{}|02x x ≤≤.2. 121111112123a a aa a a a +--=+--≤++-= , 当且仅当11120a a ⎛⎫⎛⎫+-≤ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭时,取等号. 由不等式()121a a f x a +--≥对任意实数0a ≠恒成立, 可得113x x -++≥,解得32x ≤-或32x ≥. 故实数x 的取值范围是33,,22⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭. 解析：。
