重庆市巴南区2022-2023学年数学高一上期末复习检测试题含解析

2022-2023学年重庆市高一上期末考试数学模拟试卷一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1．（2021•河南模拟）集合21{|0}1x A x x -=+ ，集合{|B x y ==，则集合A B 等于()A ．[0，12B ．(1,)-+∞C ．(1,1)-D ．[1-，)+∞2．（2017•新疆一模）a ，b ，c R +∈且236a b c ==，记2x a =，3y b =，6z c =，则x ，y ，z 的大小关系为()A ．y x z <<B ．x y z <<C ．z x y <<D ．x z y<<3．（2020秋•荔湾区校级期末）已知函数0.5()log (2)af x x a=++在(3,)+∞上单调递减，则a 的取值范围为()A ．(,0)-∞B ．[3-，0)C ．[2-，0)D ．(3,0)-4．（2021•聊城三模）在ABC ∆中，||3AB =，||4AC =，||5BC =，M 为BC 中点，O 为ABC ∆的内心，且AO AB AM λμ=+，则(λμ+=)A ．712B ．34C ．56D ．15．（2020秋•龙亭区校级月考）若数列{}n a 满足*111(n nd n N a a +-=∈，d 为常数），则称数列{}n a 为调和数列，已知数列21{}nx 为调和数列，且222212320184036x x x x +++⋯+=，则92010x x +的最大值为()AB ．2C．D ．46．（2020秋•开封期中）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，等差数列{}n b 的前n 项和为n T ，若6131n n S n T n -=-，则(n nab =)A ．231n n ++B ．10553n n --C ．8342n n --D ．12764n n --7．（2021•上高县校级模拟）在长方体1111ABCD A B C D -中，AD =，AB =，11AA =，过点B 作直线l 与直线1A D 及直线1AC 所成角均为70︒，这样的直线l 的条数为()A ．4B ．3C ．2D ．18．（2021•二模拟）已知二项式)n x-展开式中的常数项为第4项，则该二项式的展开式中的常数项为()A ．84-B ．42-C ．42D ．84二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）9．（2020秋•湖北月考）下列结论正确的有()A ．若随机变量2~(1,)N ξσ，(4)0.77P ξ= ，则(2)0.23P ξ-=B ．若随机变量1~(10,)3X B ，则(31)19D X -=C ．已知回归直线方程为ˆ10.8y bx=+，且4x =，50y =，则ˆ9.8b =D ．已知一组数据丢失了其中一个，剩下的六个数据分别是3，3，5，3，6，11．若这组数据的平均数、中位数、众数依次成等差数列，则丢失数据的所有可能值的和为2210．（2021春•黄冈期末）直线:(2)l y k x =-与抛物线2:8C y x =交于A ，B 两点(A 在B 的上方），F 为抛物线的焦点，行O 为坐标原点，AFO ∆的面积是BFO ∆面积的2倍，以AB 为直径的圆与直线(0)x t t =<相切，切点为P ．则下列说法正确的是()A ．||6AF =B ．AOB ∆的面积为C ．t 的值为2-D ．||PF =11．（2020秋•思明区校级月考）设0a >，0b >，1a b +=，则()A ．22a b +的最小值为12B ．41a b+的范围为[9，)+∞C的是小值为D ．若1c >，则2311(2)1a c abc +-⋅+-的最小值为812．（2021•岳麓区校级二模）关于函数1()cos cos f x x x=+有如下四个命题，其中正确的命题有()A ．()f x 的图象关于y 轴对称B ．()f x 的图象关于原点对称C ．()f x 的图象关于直线2x π=对称D ．()f x 的值域为(-∞，2][2- ，)+∞三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（2021•和平区二模）某校从5名学生中选派3人参加劳动技能大赛．已知这5名学生中有高一年级学生2名，高二年级学生2名，高三年级学生1名，则所选3人分别来自不同年级的概率为.记所选3人中高一年级学生的人数为X ，则随机变量的数学期望()E X =．14．（2021•新高考Ⅰ）已知O 为坐标原点，抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，P 为C 上一点，PF 与x 轴垂直，Q 为x 轴上一点，且PQ OP ⊥．若||6FQ =，则C 的准线方程为．15．（2020春•安徽期末）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 是11A C 上的任意一点，点M ，N 分别是AB 和BC 上的点，且AM BN =，若4AB =，则三棱锥P DMN -体积的最大值是．16．（2018•全国三模）函数2015()2017(0x f x a a -=+>且1)a ≠所过的定点坐标为．四．解答题（共6小题，满分70分）17．（2021•天津模拟）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 是等比数列，满足13a =，11b =，2210b S +=，5232a b a -=．（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）若数列{}n c 满足21n n c a -=，2(1)n n n n c a b =-，求数列{}n c 的前2n 项和2n T ；（3）求11(1)(65)k nk k k k k b a a =+-+∑．18．（2021•江西一模）ABC ∆中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，已知()cos sin cos b c A A a C +=-．（Ⅰ）求角A ；（Ⅱ）若ABC ∆为锐角三角形，求bc的取值范围．19．（2019春•荔湾区校级期中）如图所示，长方体1111ABCD A B C D -中，M 、N 分别为AB 、11A D 的中点，（1）判断MN 与平面11A BC 的位置关系，并证明；（2）若AB =1BC CC ==，求AC 与1C B所成角的余弦值．20．（2021•四川模拟）设函数()1(,)x f x e ax b a b R =--+∈．（1）若1b =，()f x 有两个零点，求a 的取值范围；（2）若()0f x ，求a b +的最大值．21．（2021•岳麓区校级二模）已知斜率为k 的直线交椭圆223(0)x y λλ+=>于A ，B 两点，AB 的垂直平分线与椭圆交于C ，D 两点，点0(1,)N y 是线段AB 的中点．（1）若03y =，求直线AB 的方程以及λ的取值范围；（2）不管λ怎么变化，都有A ，B ，C ，D 四点共圆，求0y 的取值范围．22．（2018•南平二模）某地区某农产品近五年的产量统计如表：年份20132014201520162017年份代码t 12345年产量y （万吨）5.65.766.26.5（Ⅰ）根据表中数据，建立y 关于t 的线性回归方程ˆˆˆybt a =+，并由所建立的回归方程预测该地区2018年该农产品的产量；（Ⅱ）若近五年该农产品每千克的价格V （单位：元）与年产量y （单位：万吨）满足的函数关系式为 3.780.3V y =-，且每年该农产品都能售完．求年销售额S 最大时相应的年份代码t 的值，附：对于一组数据(i t ，)i y ，1i =，2，⋯，n ，其回归直线ˆˆˆybt a =+的斜率和截距的计算公式：121()ˆ(nii i nii tt y y btt ==--=-∑∑，ˆˆay bt =-．2022-2023学年重庆市高一上期末考试数学模拟试卷参考答案与试题解析一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1．（2021•河南模拟）集合21{|0}1x A x x -=+ ，集合{|B x y ==，则集合A B 等于()A ．[0，12B ．(1,)-+∞C ．(1,1)-D ．[1-，)+∞【答案】C【考点】并集及其运算【专题】计算题；集合思想；综合法；集合；数学运算【分析】可求出集合A ，B ，然后进行并集的运算即可．【解答】解： 121{|1},{|(1)0}{|011}{|01}2A x x B x log x x x x x =-<=-=<-=< ，(1,1)A B ∴=- ．故选：C ．【点评】本题考查了描述法和区间的定义，分式不等式的解法，对数函数的定义域和单调性，并集及其运算，考查了计算能力，属于基础题．2．（2017•新疆一模）a ，b ，c R +∈且236a b c ==，记2x a =，3y b =，6z c =，则x ，y ，z 的大小关系为()A ．y x z <<B ．x y z <<C ．z x y <<D ．x z y<<【考点】4M ：对数值大小的比较【专题】4R ：转化法；51：函数的性质及应用；59：不等式的解法及应用【分析】设2361a b c k ===>，可得02lgk a lg =>，03lgk b lg =>，06lgkc lg =>．可得2x a ==，3y b ==，6z c ==，根据0<<，即可得出关系．【解答】解：设2361a b c k ===>，则02lgk a lg =>，03lgk b lg =>，06lgkc lg =>．可得2x a ==，3y b ==，6z c ==，0<<< ，y x z ∴<<．故选：A ．【点评】本题考查了指数与对数元素性质、指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．3．（2020秋•荔湾区校级期末）已知函数0.5()log (2)af x x a=++在(3,)+∞上单调递减，则a 的取值范围为()A ．(,0)-∞B ．[3-，0)C ．[2-，0)D ．(3,0)-【考点】3G ：复合函数的单调性【专题】33：函数思想；4R ：转化法；51：函数的性质及应用；65：数学运算；15：综合题【分析】由外层函数0.5log y t =为减函数，把问题转化为内层函数2at x a=++在(3,)+∞上单调递增且恒大于0，进一步得到关于a 的不等式组求解．【解答】解： 外层函数0.5log y t =为减函数，∴要使0.5()log (2)af x x a=++在(3,)+∞上单调递减，则需要2at x a=++在(3,)+∞上单调递增且恒大于0，即030203a a a a⎧⎪<⎪+>⎨⎪⎪++⎩ ，解得20a -<．a ∴的取值范围为[2-，0)．故选：C ．【点评】本题主要考查了复合函数的单调性以及单调区间的求法．对应复合函数的单调性，一要注意先确定函数的定义域，二要利用复合函数与内层函数和外层函数单调性之间的关系进行判断，判断的依据是“同增异减”，是中档题．4．（2021•聊城三模）在ABC ∆中，||3AB =，||4AC =，||5BC =，M 为BC 中点，O 为ABC ∆的内心，且AO AB AM λμ=+，则(λμ+=)A ．712B ．34C ．56D ．1【答案】A【考点】平面向量的基本定理；向量数乘和线性运算【专题】计算题；转化思想；综合法；平面向量及应用；数学运算【分析】根据三角形是直角三角形，得到它的内心的位置，从而表示出向量AO，根据向量的线性运算，写出向量与要求两个向量之间的关系，得到两个系数的值，求和得到结果．【解答】解：M为BC 中点，∴1()2AM AB AC =+ ，∴(22AO AB AM AB AC μμλμλ=+=++，O 为ABC ∆的内心，∴1134AO AB AC =+，∴123124μλμ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴11212λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，712λμ∴+=．故选：A ．【点评】本题考查平面向量基本定理的应用，利用三角形内心的性质是关键，属于中档题．5．（2020秋•龙亭区校级月考）若数列{}n a 满足*111(n nd n N a a +-=∈，d 为常数），则称数列{}n a 为调和数列，已知数列21{}nx 为调和数列，且222212320184036x x x x +++⋯+=，则92010x x +的最大值为()AB ．2C．D ．4【考点】85：等差数列的前n 项和【专题】35：转化思想；49：综合法；54：等差数列与等比数列；5T ：不等式；62：逻辑推理；65：数学运算【分析】先由题设2{}nx ⇒是等差数列，进而利用等差数列的前n 项和公式及性质求得2292010x x +的值，再利用基本不等式求得92010x x +的最大值即可．【解答】解：由题设知：2212211111n n n n x x d x x ++-=-=*(n N ∈，d 为常数），2{}n x ∴是等差数列，2222221201812320182018()40362x x x x x x++++⋯+==，222212018920104x x x x ∴+==+，2292010920102x x x x + （当且仅当92010x x =时取“等号“)，2229201092010()2()8x x x x ∴++=，92010x x ∴+（当且仅当92010x x ==时取“等号“)，92010x x ∴+的最大值为故选：C ．【点评】本题主要考查等差数列的定义、性质、前n 项和公式及基本不等式在处理最值中的应用，属于中档题．6．（2020秋•开封期中）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，等差数列{}n b 的前n 项和为n T ，若6131n n S n T n -=-，则(n nab =)A ．231n n ++B ．10553n n --C ．8342n n --D ．12764n n --【答案】D【考点】等差数列的性质；等差数列的前n 项和【专题】计算题；转化思想；转化法；等差数列与等比数列；数学运算【分析】利用等差数列的性质及等差数列的前n 项和公式可将问题转化为：2121n n n n a S b T --=，即可得到答案．【解答】解： 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，等差数列{}n b 的前n 项和为n T ，6131n n S n T n -=-，∴1211212112112121(21)()6(21)112722(21)()3(21)16422n n n n n n n n a a n a a a S n n b b n b b b T n n ------+-+---=====+-+---，故选：D ．【点评】本题考查等差数列的前n 项和的应用，突出考查等价转化思想与思维运算能力，属于中档题．7．（2021•上高县校级模拟）在长方体1111ABCD A B C D -中，AD =，AB =，11AA =，过点B 作直线l 与直线1A D 及直线1AC 所成角均为70︒，这样的直线l 的条数为()A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】A【考点】异面直线及其所成的角【专题】数形结合；综合法；空间位置关系与距离；空间角；逻辑推理；数学运算【分析】由向量的数量积公式和夹角公式，可得直线1A D 和直线1AC 所成角为3π，通过平移和讨论三条直线在同一平面、不在同一平面，可得直线l 的条数．【解答】解：11A D AD AA =- ，11AC AB AD AA =++ ，∴1111()()A D AC AD AA AB AD AA ⋅=-⋅++ 2211AB AD AD AB AA AA =⋅+-⋅- 07016=+--=，1||A D = ，1||AC =，111cos ,2A D AC ∴<>==，∴直线1A D 和直线1AC 所成角为3π，设与1A D 平行的直线为1l ，与1AC 平行的直线为2l ，将直线l ，直线1A D 和直线1AC 平移至点P ，则当三条直线在同一平面时，这样的直线l 不存在；若三条直线不在同一平面，3APB π∠=，PD 是APB ∠的角平分线，在PD 上方有一条直线PE 与1l ，2l 所成角为70︒，同理PF ，PG ，PH 也满足条件，如右图．∴过点B 作直线l 与直线1A D 及直线1AC 所成角均为70︒，这样的直线l 的条数为4．故选：A ．【点评】本题考查满足异面直线所成角的直线的条数的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是中档题．8．（2021•二模拟）已知二项式1()n x x-展开式中的常数项为第4项，则该二项式的展开式中的常数项为()A ．84-B ．42-C ．42D ．84【答案】A【考点】二项式定理【专题】计算题；方程思想；综合法；二项式定理；数学运算【分析】二项式展开式的通项公式求出4T ，令x 的指数为0，可求得n ，从而可得常数项．【解答】解：由题意可知93333324()()(1)nn nn T C x C x x--=-=-，令902n-=，解得9n =，所以该二项式的展开式中的常数项为339(1)84C -=-．故选：A ．【点评】本题考查二项式定理，考查运算求解能力，考查数学运算核心素养．二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）9．（2020秋•湖北月考）下列结论正确的有()A ．若随机变量2~(1,)N ξσ，(4)0.77P ξ= ，则(2)0.23P ξ-=B ．若随机变量1~(10,)3X B ，则(31)19D X -=C ．已知回归直线方程为ˆ10.8y bx=+，且4x =，50y =，则ˆ9.8b =D ．已知一组数据丢失了其中一个，剩下的六个数据分别是3，3，5，3，6，11．若这组数据的平均数、中位数、众数依次成等差数列，则丢失数据的所有可能值的和为22【答案】AC【考点】命题的真假判断与应用；众数、中位数、平均数；线性回归方程；正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计；简易逻辑；逻辑推理；数学运算【分析】利用正态分布求解概率，判断A ；二项分布的期望与方差判断B ；回归直线方程求解ˆb，判断C ；通过求解中位数判断D ；【解答】解：对于A ，(2)(4)10.770.23P P ξξ-==-= ，故A 正确；对于B ，1220()10339D X =⨯⨯=，所以220(31)3209D X -=⨯=，故B 不正确；对于C ，回归直线方程经过点()x y ，将4x =，50y =代入求得ˆ9.8b=，故C 正确；对于D ，设丢失的数据为x ，则这组数据的平均数为317x+，众数为3，当3x时，中位数为3，此时31367x++=，解得10x =-；当35x <<时，中位数为x ，此时31327xx ++=，解得4x =；当5x时，中位数为5，此时313107x++=，解得18x =．所以所有可能x 的值和为1041812-++=，故D 不正确．故选：AC ．【点评】本题考查命题的真假的判断，考查转化思想以及计算能力，是基础题．10．（2021春•黄冈期末）直线:(2)l y k x =-与抛物线2:8C y x =交于A ，B 两点(A 在B 的上方），F 为抛物线的焦点，行O 为坐标原点，AFO ∆的面积是BFO ∆面积的2倍，以AB 为直径的圆与直线(0)x t t =<相切，切点为P ．则下列说法正确的是()A ．||6AF =B ．AOB ∆的面积为C ．t 的值为2-D ．||PF =【答案】ACD 【考点】抛物线的性质【专题】方程思想；定义法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑推理；数学运算【分析】设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，利用三角形的面积关系得到122y y =-，联立直线与抛物线，结合韦达定理求出A ，B ，从而求出||AF ，即可判断选项A ，求出AOB ∆的面积，即可判断选项B ，求出圆心和半径，得到圆的方程，从而求出t 的值，即可判断选项C ，利用两点间距离公式求解||PF ，即可判断选项D ．【解答】解：由题意，(2,0)F ，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，因为A 在B 的上方，则10y >，20y <，因为2AFO BFO S S ∆∆=，则1211||||2||||22OF y OF y ⋅⋅=⨯⋅⋅，即122y y =-，联立方程组2(2)8y k x y x=-⎧⎨=⎩，即2208ky y k --=，所以12128,16y y y y k+==-，又122y y =-，则12y y ==-所以128y y k+==，解得k =，故(1,A B -，则14||4622p AF x =+=+=，故选项A 正确；因为12y y -=所以121||||2OAB S OF y y ∆=⋅⋅-=故选项B 错误；因为AB 的中点5(2，直径为12||549AB x x p =++=+=，故半径为92，所以圆的方程为22581((24x y -+=，故95()222t =--=-，故选项C 正确；因为(P -，所以||PF =，故选项D 正确．故选：ACD ．【点评】本题考查了抛物线标准方程的应用，直线与抛物线位置关系的应用，圆的标准方程的求解与应用，在解决直线与圆锥曲线位置关系的问题时，一般会联立直线与圆锥曲线的方程，利用韦达定理和“设而不求”的方法进行研究，属于中档题．11．（2020秋•思明区校级月考）设0a >，0b >，1a b +=，则()A ．22a b +的最小值为12B ．41a b+的范围为[9，)+∞C的是小值为D ．若1c >，则2311(2)1a c abc +-⋅+-的最小值为8【考点】基本不等式及其应用【专题】转化思想；综合法；不等式的解法及应用；数学运算【分析】结合基本不等式及相关结论分别检验各选项即可判断．【解答】解：对于A 中，由222()122a b a b ++=，当且仅当12a b ==时取等，可得22a b +的最小值为12，所以A 正确；对于B 中，由41414()559b a a b a b a b a b+=++=+++= ，当且仅当2a b =时，即23a =，13b =时，等号成立，取得最小值9，所以B 正确；对于C==，又由102<1219412222++=+= ，所以C 不正确；对于D 中，由222313()4224a a a b a bab ab b a+++-=-=+ ，当且仅当2b a =时，即13a =，23b =时，等号成立，可得23111(2)4(1)4811a c c abc c +-⋅+-++-- ，当且仅当32c =时取等，所以D 正确．故选：ABD ．【点评】本题主考查了基本不等式及相关结论的应用，解题的关键是结论的灵活应用．12．（2021•岳麓区校级二模）关于函数1()cos cos f x x x=+有如下四个命题，其中正确的命题有()A ．()f x 的图象关于y 轴对称B ．()f x 的图象关于原点对称C ．()f x 的图象关于直线2x π=对称D ．()f x 的值域为(-∞，2][2- ，)+∞【答案】AD【考点】命题的真假判断与应用【专题】计算题；转化思想；综合法；三角函数的图象与性质；简易逻辑；逻辑推理；数学运算【分析】求解函数的定义域，判断函数的奇偶性与对称性，判断A ，B 的正误；利用特殊值判断对称性，判断C 的正误；求解函数的值域判断D ．【解答】解：由题意知()f x 的定义域为|,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭，且关于原点对称．又11()cos()cos ()cos()cos f x x x f x x x-=-+=+=-，所以函数()f x 为偶函数，其图象关于y 轴对称，所以A 正确，B 错误．因为11()cos()sin 22sin cos()2f x x x x x πππ-=-+=+-，11()cos()sin 22sin cos()2f x x x x x πππ+=++=--+，所以()()22f x f x ππ+≠-，所以函数()f x 的图象不关于直线2x π=对称，C 错误．当cos 0x <时，()2f x - ，当cos 0x >时，()2f x ，所以D 正确．故选：AD ．【点评】本题考查命题的真假的判断，考查三角函数的性质的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（2021•和平区二模）某校从5名学生中选派3人参加劳动技能大赛．已知这5名学生中有高一年级学生2名，高二年级学生2名，高三年级学生1名，则所选3人分别来自不同年级的概率为25.记所选3人中高一年级学生的人数为X ，则随机变量的数学期望()E X =．【答案】25，65．【考点】离散型随机变量的期望与方差【专题】转化思想；综合法；概率与统计；逻辑推理；数学运算【分析】基本事件总数3510n C ==，所选3人分别来自不同年级包含的基本事件个数1112214m C C C ==，由此能求出所选3人分别来自不同年级的概率；X 可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量的数学期望．【解答】解：某校从5名学生中选派3人参加劳动技能大赛．这5名学生中有高一年级学生2名，高二年级学生2名，高三年级学生1名，基本事件总数3510n C ==，所选3人分别来自不同年级包含的基本事件个数1112214m C C C ==，∴所选3人分别来自不同年级的概率为42105m P n ===．记所选3人中高一年级学生的人数为X ，则X 可能取值为0，1，2，33351(0)10C P X C ===，1223356(1)10C C P X C ===，2123353(2)10C C P X C ===，∴随机变量的数学期望1636()0121010105E X =⨯+⨯+⨯=．故答案为：25，65．【点评】本题考查概率、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查古典概型、排列组合、超几何分布等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是中档题．14．（2021•新高考Ⅰ）已知O 为坐标原点，抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，P 为C 上一点，PF 与x 轴垂直，Q 为x 轴上一点，且PQ OP ⊥．若||6FQ =，则C 的准线方程为32x =-．【答案】32x =-．【考点】抛物线的性质【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑推理；数学运算【分析】法一：求出点P 的坐标，推出PQ 方程，然后求解Q 的坐标，利用||6FQ =，求解p ，然后求解准线方程．法二：利用射影定理，转化求解p ，然后求解准线方程．【解答】解：法一：由题意，不妨设P 在第一象限，则(2pP ，)p ，2OP k =，PQ OP ⊥．所以12PQ k =-，所以PQ 的方程为：1(22py p x -=--，0y =时，52px =，||6FQ =，所以5622p p-=，解得3p =，所以抛物线的准线方程为：32x =-．法二：根据射影定理，可得2||||||PF FO FQ =，可得262pp =⨯，解得3p =，因此，抛物线的准线方程为：32x =-．故答案为：32x =-．【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．15．（2020春•安徽期末）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 是11A C 上的任意一点，点M ，N 分别是AB 和BC 上的点，且AM BN =，若4AB =，则三棱锥P DMN -体积的最大值是323．【考点】LF ：棱柱、棱锥、棱台的体积【专题】11：计算题；31：数形结合；35：转化思想；5F ：空间位置关系与距离；64：直观想象；65：数学运算；44：数形结合法；4R ：转化法【分析】设AM BN x ==，则4BM CN x ==-，求出DMN ∆的面积S 的表达式，然后推出三棱锥P MND =的体积V 的表达式，利用二次函数的性质，求体积的最大值即可．【解答】解：设AM BN x ==，则4BM CN x ==-，故DMN ∆的面积21111444(4)4(4)282222S x x x x x x =⨯-⨯---⨯-=-+，因为点P 是11A C 的任意一点，所以点P 到平面DMN 的距离为4，所以三棱锥P MND =的体积为221112(28)4(2)83323V Sh x x x ==⨯-+⨯=-+，因为04x ，所以20(2)4x - ，故832833V += ．故答案为：323．【点评】本题考查三棱锥体积的最值的求法，考查转化思想以及计算能力．16．（2018•全国三模）函数2015()2017(0x f x a a -=+>且1)a ≠所过的定点坐标为(2015,2018)．【考点】4A ：指数型复合函数的性质及应用【专题】35：转化思想；4R ：转化法；51：函数的性质及应用【分析】根据指数函数的性质，令20150x -=，可得2015x =，带入求解2018y =，可得定点坐标．【解答】解：由题意，根据指数函数的性质，令20150x -=，可得2015x =，带入求解2018y =，∴函数()f x 过的定点坐标为(2015,2018)故答案为：(2015,2018)．【点评】本题考查指数函数的性质运用，定点的求法，考查运算能力，属于基础题．四．解答题（共6小题，满分70分）17．（2021•天津模拟）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 是等比数列，满足13a =，11b =，2210b S +=，5232a b a -=．（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）若数列{}n c 满足21n n c a -=，2(1)n n n n c a b =-，求数列{}n c 的前2n 项和2n T ；（3）求11(1)(65)k nk k k k k b a a =+-+∑．【答案】（1）21n a n =+，12n n b -=；（2）2125652(2)918n n n T n n ++=+--⋅-；（3）11(1)2323n n n +---+．【考点】数列的求和；等差数列与等比数列的综合【专题】方程思想；综合法；等差数列与等比数列；数学运算【分析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，运用等差数列和等比数列的通项公式，解方程可得d ，q ，进而得到所求；（2）求得2121n n c a n -==+，21(1)(21)(2)2n n n n n c a b n =-=+⋅-，由数列的分组求和、错位相减法求和，计算可得所求和；（3）求得1111(1)(65)(1)(65)2(1)2(1)2(21)(23)2123n n n n n n nn n n n b n a a n n n n --++-+-+--==-++++，由数列的裂项相消求和，计算可得所求和．【解答】解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，由13a =，11b =，2210b S +=，5232a b a -=，可得610q d ++=，34232d q d +-=+，解得2d q ==，则32(1)21n a n n =+-=+，12n n b -=；（2）2121n n c a n -==+，21(1)(21)(2)2n n n n n c a b n =-=+⋅-，021*********()()()[3252(21)(2)]2n n n n n T c c c c c c a a a n -=++⋯++++⋯+=++⋯++-⋅+⋅+⋯++⋅-，由21(321)22n S n n n n =++=+，设121113(2)5(2)(21)(2)222n n B n =⋅⋅-+⋅⋅-+⋯++⋅-，23111123(2)5(2)(21)(2)222n n B n +-=⋅⋅-+⋅⋅-+⋯++⋅-，两式相减可得23111133[2(2)2(2)2(2)](21)(2)222n n n B n +=-+⋅-+⋅-+⋯+⋅⋅--+⋅-114[1(2)]13(21)(2)1(2)2n n n -+--=-+-+⋅---，化简可得1565(2)918n n n B ++=--⋅-，所以2125652(2)918n n n T n n ++=+--⋅-；（3）1111(1)(65)(1)(65)2(1)2(1)2(21)(23)2123n n n n n n nn n n n b n a a n n n n --++-+-+--==-++++，所以1111(1)(65)122448(1)2(1)2(()()[]3557792123k n n n nnk k k k k b a a n n -+=+-+-----=-+-+-+⋯+-++∑11(1)2323n nn +-=--+．【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，以及数列的错位相减法求和、分组求和和裂项相消求和，考查方程思想和运算能力、推理能力，属于中档题．18．（2021•江西一模）ABC ∆中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，已知()cos sin cos b c A A a C +=-．（Ⅰ）求角A ；（Ⅱ）若ABC ∆为锐角三角形，求bc的取值范围．【答案】（Ⅰ）3A π=；（Ⅱ）1(2，2)．【考点】正弦定理【专题】计算题；转化思想；综合法；转化法；解三角形；数学运算【分析】（Ⅰ）根据正弦定理及两角和的正弦公式化简求解即可求出角A 的大小；（Ⅱ）由正弦定理及两角和的正弦公式可得12b c =+C 的取值范围即可求得bc的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由正弦定理的(sin sin )cos sin sin cos B C A B A A C +=-，所以sin cos sin cos cos sin sin B A C A C A B A ++=，即sin cos sin()sin B A A C B A ++=，因为sin()sin A C B +=，所以sin cos sin sin B A B B A +=，因为sin 0B >，所以cos 1A A +=，所以1sin(62A π-=，因为(66A ππ-∈-，56π，所以66A ππ-=，所以3A π=．（Ⅱ）13sin cos sin sin()1322sin sin sin 22tan C Cb B A Cc C C C C++====+，因为ABC ∆为锐角三角形，所以02C π<<，232B C ππ=-<，所以62C ππ<<，所以tan C >，所以1132222tan C <+<，即b c 的取值范围是1(2，2)．【点评】本题考查了正弦定理、两角和的正弦公式、三角函数的单调性应用问题，是中档题．19．（2019春•荔湾区校级期中）如图所示，长方体1111ABCD A B C D -中，M 、N 分别为AB 、11A D 的中点，（1）判断MN 与平面11A BC 的位置关系，并证明；（2）若AB =1BC CC ==，求AC 与1C B 所成角的余弦值．【考点】异面直线及其所成的角；空间中直线与平面之间的位置关系【专题】转化思想；综合法；空间位置关系与距离；空间角；数学运算【分析】（1）取1AA 的中点K ，连接KM ，KN ，1AD ，通过面面平行的判定定理证明平面//KMN 平面11A BC ，再由面面平行的性质定理可得//MN 平面11A BC ；（2）由异面直线所成角的定义，结合11//AC A C ，可得11A C B ∠为异面直线AC 与1C B 所成角，结合条件，运用余弦定理，可得所求值．【解答】解：（1）//MN 平面11A BC ，证明：取1AA 的中点K ，连接KM ，KN ，1AD ，由KM 为1ABA ∆的中位线，可得1//KM A B ，KM ⊂/平面11A C B ，可得//KM 平面11A BC ；同样1//KN AD ，11//AD BC ，即1//KN BC ，KN ⊂/平面11A C B ，可得//KN 平面11A BC ；由KM ，KN 为平面KMN 的两条相交直线，可得平面//KMN 平面11A BC ，又MN ⊂平面KMN ，可得//MN 平面11A BC ；（2）由于11//AC A C ，可得11A C B ∠为异面直线AC 与1C B 所成角，由7AB =12BC CC ==，可得1723A B =+=，1222BC =+=，11723A C =+，在△11A C B 中，可得222113231cos 2323AC B +-∠==⨯⨯，则AC 与1C B 所成角的余弦值为13．【点评】本题考查空间线面的位置关系和异面直线所成角的求法，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．20．（2021•四川模拟）设函数()1(,)x f x e ax b a b R =--+∈．（1）若1b =，()f x 有两个零点，求a 的取值范围；（2）若()0f x ，求a b +的最大值．【答案】（1）(,)e +∞；（2）1e +．【考点】利用导数研究函数的最值【专题】计算题；分类讨论；转化思想；综合法；导数的综合应用；数学运算【分析】（1）求出导数，分类讨论a 的正负即可求解；（2）结合（1）可知0a >，由()0f x ，等价于()()10min f x f lna a alna b ==--+ ，可得21a b a alna +-+ ，令g （a ）21a alna =-+，利用导数求得g （a ）1max e <+，即可求解．【解答】解：（1）1b =时，()x f x e ax =-，()x f x e a '=-，①当0a时，()0f x '>，则()f x 在R 上单调递增，不满足题意；②当0a >时，令()0f x '=，解得x lna =，则()f x 在(,)lna -∞上单调递减，在(,)lna +∞上单调递增，要使()f x 有两个零点，只需()0f lna <，即0a alna -<，解得a e >，即a 的取值范围是(,)e +∞．（2）函数()1x f x e ax b =--+，()x f x e a '=-，由（1）知，当0a时，()f x 在R 上单调递增，当x →-∞时，()f x →-∞，与()0f x 矛盾，所以0a >，由（1）知，()()10min f x f lna a alna b ==--+ ，所以1b a alna -+，21a b a alna +-+ ，令g （a ）21a alna =-+，g '（a ）211lna lna =--=-，令g '（a ）0>，可得0a e <<，令()0g x '<，可得a e >，所以g （a ）在(0,)e 上单调递增，在(,)e +∞上单调递减，所以g （a ）max g =（e ）1e =+，所以1a b e ++，所以a b +的最大值为1e +．【点评】本题主要考查利用导数的应用，考查函数零点个数问题以及最值的求解问题，考查转化思想与运算求解能力，属于难题．21．（2021•岳麓区校级二模）已知斜率为k 的直线交椭圆223(0)x y λλ+=>于A ，B 两点，AB 的垂直平分线与椭圆交于C ，D 两点，点0(1,)N y 是线段AB 的中点．（1）若03y =，求直线AB 的方程以及λ的取值范围；（2）不管λ怎么变化，都有A ，B ，C ，D 四点共圆，求0y 的取值范围．【答案】（1）12λ>．（2）0y 的取值范围为{3-，3}．【考点】直线与椭圆的综合【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑推理；数学运算【分析】（1）设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ．当03y =时，直线AB 的方程为(1)3y k x =-+，将AB 方程代入223x y λ+=求出直线的斜率1k =-，得到AB 的方程为40x y +-=然后求解λ的范围即可．（2）设直线AB 的方程为0(1)y k x y =-+，将方程代入223x y λ+=通过弦长公式，点到直线的距离，利用四点共圆的条件，推出0y 的取值范围即可．【解答】解：设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ．（1）当03y =时，直线AB 的方程为(1)3y k x =-+，将AB 方程代入223x y λ+=得：222(3)2(3)(3)0k x k k x k λ++-+--=．①由122(3)123x x k k k +-==+，解得1k =-，此时AB 的方程为40x y +-=．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（2分）将1k =-代入①，得248160x x λ-+-=．由△6416(16)0λ=-->，解得12λ>．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（4分）（2）设直线AB 的方程为0(1)y k x y =-+，将方程代入223x y λ+=得：22200(3)2()()0k x k y k x y k λ++-+--=．②由题意0122()123k k y x x k -+==+，即03ky -=．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（5分）12|||AB x x -==，||CD =，⋯⋯（7分）所以CD 中点P 的横坐标00322211()12131313y ky k k x k k k---+-===+++，点P 到AB 的距离d221|31k --=+，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（9分）由A ，B ，C ，D 四点共圆222||||()()22CD AB d ⇔=+，即22222222119[12(13)]()(3(13)3k k k k k k λλ++-++=--+++，③不管λ怎么变化，都有A ，B ，C ，D 四点共圆，即上式恒成立，所以222211313k k k k ++=++，解得21k =，此时③式成立．代入②，由△0>得此时12λ>．所以0y 的取值范围为{3-，3}．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（12分）【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查学生分析问题解决问题的能力的数学素养，是难题．22．（2018•南平二模）某地区某农产品近五年的产量统计如表：年份20132014201520162017年份代码t 12345年产量y （万吨）5.65.766.26.5（Ⅰ）根据表中数据，建立y 关于t 的线性回归方程ˆˆˆybt a =+，并由所建立的回归方程预测该地区2018年该农产品的产量；（Ⅱ）若近五年该农产品每千克的价格V （单位：元）与年产量y （单位：万吨）满足的函数关系式为 3.780.3V y =-，且每年该农产品都能售完．求年销售额S 最大时相应的年份代码t 的值，附：对于一组数据(i t ，)i y ，1i =，2，⋯，n ，其回归直线ˆˆˆybt a =+的斜率和截距的计算公式：121()ˆ(nii i nii tt y y btt ==--=-∑∑，ˆˆay bt =-．【考点】BK ：线性回归方程【专题】5I ：概率与统计；12：应用题；11：计算题【分析】（Ⅰ）求得样本中心点(t ，)y ，利用最小二乘法即可求得线性回归方程；将6t =代入线性回归方程，即可求得该地区2018年该农产品的产量估计值为6.69万吨（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：当年产量为y 时，年销售额32(3.780.3)10300(12.6)S y y y y =-⨯=-（万元），结合二次函数的图象和性质，可得答案．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知：1(12345)35t =++++=，1(5.6 5.76 6.2 6.5)65y =++++=，51() 2.3ii i tt y y =--=∑521()10ii tt =-=∑51521()()ˆ0.23()ii i ii tt y y btt ==--==-∑∑，ˆˆ 5.31ay bt =-=，y ∴关于t 的线性回归方程为ˆ0.23 5.31y t =+；当6t =时，ˆ0.236 5.31 6.69y=⨯+=，即2018年该农产品的产量为6.69万吨（Ⅱ）当年产量为y 时，年销售额32(3.780.3)10300(12.6)S y y y y =-⨯=-（万元），因为二次函数图象的对称轴为 6.3y =，又因为{5.6y ∈，5.7，6，6.2，6.5}，所以当 6.2y =时，即2016年销售额最大，于是4t =．【点评】本题考查利用最小二乘法求线性回归方程及线性回归方程的应用，考查转化思想，属于中档题。

2021-2022学年重庆市高一上学期期末数学试题一、单选题 1．780︒=（ ） A ．116πB ．136πC ．113πD ．133π【答案】D【分析】根据给定条件利用角度与弧度互化关系直接转化计算作答. 【详解】因1180π=，所以137********3ππ︒=⨯=. 故选：D2．命题“0x ∃>，21x <”的否定是（ ） A ．0x ∃>，21x ≥ B ．0x ∀<，21x ≥ C ．0x ∀>，21x ≥ D ．0x ∃<，21x <【答案】C【分析】根据给定条件利用含有一个量词的命题的否定方法写出结论作答. 【详解】命题“0x ∃>，21x <”是存在量词命题，其否定是全称量词命题， 命题“0x ∃>，21x <”的否定是0x ∀>，21x ≥. 故选：C3．已知集合()(){}230A x x x =-+<，(){}2log 11B x x =-<，则A B =（ ） A ．()1,2 B ．()1,3C ．()3,2-D ．()3,3-【答案】A【分析】解一元二次不等式化简集合A ，解对数不等式化简集合B ，再用交集的定义直接计算作答.【详解】解不等式()()230x x -+<得：32x -<<，则有(3,2)A =-， 解不等式()2log 11x -<得：012x <-<，即13x <<，则有(1,3)B =， 所以(1,2)A B ⋂=. 故选：A4．“0x >且0y >”是“x y +≥的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】利用充分条件、必要条件的定义即得.【详解】由0x >且0y >，可得x y +≥由x y +≥0x =，0y ≥，即由x y +≥0x >且0y >.故“0x >且0y >”是“x y +≥的充分不必要条件. 故选：A.5．已知函数()22,12,1x x ax a x f x x ⎧-+-≤=⎨>⎩在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(],1-∞B ．[]1,3C ．[)3,+∞D ．(][),13,-∞⋃+∞【答案】B【分析】由题可得21122a a a ≥⎧⎨-+-≤⎩，解之即得.【详解】∵()22,12,1x x ax a x f x x ⎧-+-≤=⎨>⎩在R 上单调递增，∴21122a a a ≥⎧⎨-+-≤⎩，解得13a ≤≤.故选：B.6．已知0.32=a ，0.43b =，0.2log 0.3c =，则（ ） A ．a b c >> B ．b c a >> C ．c b a >> D ．b a c >>【答案】D【分析】比较大小，可先与常见的常数0,1进行比较，然后根据函数的单调性进行比较大小【详解】0.20.2log 0.3log 0.21c =<=0.321a =>0.431b =>则有：,a c b c >>0.30.30.4233a =<<故有：b a c >> 故选：D7．已知1sin()33πα-=，则sin(2)6πα-=（ ）A ．79-B ．19-C ．19D ．79【答案】D【分析】利用诱导公式变形，再借助二倍角的余弦公式计算作答.【详解】依题意，1cos()cos[()]sin()62333ππππααα+=+-=--=-，所以27sin(2)sin[(2)]cos 2()[2cos ()1]632669πππππαααα-=+-=-+=-+-=.故选：D8．中国早在八千多年前就有了玉器，古人视玉为宝，玉佩不再是简单的装饰，而有着表达身份、感情、风度以及语言交流的作用.不同形状、不同图案的玉佩又代表不同的寓意.如图1所示的扇形玉佩，其形状具体说来应该是扇形的一部分（如图2），经测量知4AB CD ==，3BC =，7AD =，则该玉佩的面积为（ ）A ．49936πB ．49933πC ．496πD ．493π【答案】A【分析】延长AB 、DC ，交于点O ，如图，根据相似三角形的性质求出3BO =，7AO =，进而得出OAD △为等边三角形，利用扇形的面积和三角形的面积公式即可求出结果.【详解】延长AB 、DC ，交于点O ，如图，由//BC AD ， 得OBC OAD ，所以BC BOAD AO=，又43AB CD BC ===，，7AD =, 所以374BO BO BO AB BO ==++，解得3BO =，所以7AO =， 所以OAD △为等边三角形，则3AOB π∠=，故22114972236S r παπ==⨯⨯=扇形，11393sin 33232BOCSOB OC π=⨯⨯=⨯⨯=所以玉佩的面积为49936π故选：A二、多选题 9．函数3sin 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象是由函数sin y x =的图象经过变换得到，则这个变换可以是（ ）A ．先将图象向左平移34π个单位，再将图象上所有点的横坐标变为原来的12倍 B ．先将图象向右平移54π个单位，再将图象上所有点的横坐标变为原来的12倍 C ．先将图象上所有点的横坐标变为原来的12倍，再将图象向左平移38π个单位 D ．先将图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，再将图象向左平移34π个单位【答案】ABC【分析】利用三角函数图象变换逐项判断即得. 【详解】对于A ，先将图象向左平移34π个单位得到函数3sin 4y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，再将图象上所有点的横坐标变为原来的12倍得到函数3sin 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，故A 正确； 对于B ，先将图象向右平移54π个单位函数53sin sin 44y x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的图象，再将图象上所有点的横坐标变为原来的12倍得到函数3sin 24y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象，故B 正确； 对于C ，先将图象上所有点的横坐标变为原来的12倍得到函数sin 2y x =的图象，再将图象向左平移38π个单位得到函数3sin 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，故C 正确；对于D ，先将图象上所有点的横坐标变为原来的2倍得到函数1sin 2y x =的图象，再将图象向左平移34π个单位得到函数13sin 28y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，故D 错误.故选：ABC.10．已知全集为U ，A ，B 是U 的非空子集且UA B ⊆，则下列关系一定正确的是（ ）A ．x U ∃∈，x A ∉且xB ∈ B ．x A ∀∈，x B ∉C ．x U ∀∈，x A ∈或x B ∈D ．x U ∃∈，x A ∈且x B ∈【答案】AB【分析】根据给定条件画出韦恩图，再借助韦恩图逐一分析各选项判断作答. 【详解】全集为U ，A ，B 是U 的非空子集且UA B ⊆，则A ，B ，U 的关系用韦恩图表示如图，观察图形知，x U ∃∈，x A ∉且x B ∈，A 正确； 因A B =∅，必有x A ∀∈，x B ∉，B 正确； 若AUB ，则()()U U A B ⋂≠∅，此时x U ∃∈，[()()]U U x A B ∈⋂，即x A ∉且x B ∉，C 不正确；因A B =∅，则不存在x U ∈满足x A ∈且x B ∈，D 不正确. 故选：AB11．下列说法正确的是（ ） A ．若0a b >>，则22ln ln c a c b > B ．若0x >，则44x x+≥ C ．不等式2232x x-≥的解集为)3,⎡+∞⎣ D ．若2a b +=，则224a b +≥【答案】BD【分析】根据0c 判断选项A 的不等式即可； 根据基本不等式的应用判断选项B 、D ；根据分式不等式和一元二次不等式的解法解出不等式，即可判断选项C. 【详解】A ：当0c 时，不等式不成立，故A 错误； B ：当0x >时，444x x x x +≥⨯=，当且仅当2x =时等号成立，故B 正确； C ：由题意知，0x ≠且20x >，不等式24222322303x x x x x-≥⇒--≥⇒≥或21x ≤-(舍去)， 解得3x ≥3x ≤-C 错误；D ：由2020a b >>，得2222=22=4a b a b a b ++≥⨯， 当且仅当2=2a b 即1a b ==时等号成立，故D 正确. 故选：BD12．已知α，β是一锐角三角形的内角，则下列不等关系一定正确的是（ ）A ．1sin sin 2αβ<B ．1cos cos 2αβ≤C ．sin sin 1αβ+>D ．cos cos 2αβ+<【答案】BD【分析】令3παβ==可判断A ；由2παβ>-及110sin 222β<≤cos cos sin cos αβββ<可判断B ；由sin sin cos sin 2cos 4παββββ⎛⎫+>+=+ ⎪⎝⎭，可判断C ；由cos cos sin cos 2sin 4παββββ⎛⎫+<+=+ ⎪⎝⎭，可判断D.【详解】因为α，β是一锐角三角形的内角，所以0,2παβ<<，令3παβ==，所以31sin sin sinsin3342ππαβ==>，故A 错误； 可得2παβ+>，2παβ>-，022ππβ<-<，因为022βπ<<，所以0sin 21β<≤， 110sin 222β<≤，11cos cos sin cos sin 222αββββ<=≤，故B 正确；sin sin cos sin 2cos 4παββββ⎛⎫+>+=+ ⎪⎝⎭，由02βπ<<得3444πππβ<+<，所以12cos 14πβ⎛⎫-<+< ⎪⎝⎭，故C 错误；cos cos sin cos 2sin 4παββββ⎛⎫+<+=+ ⎪⎝⎭，因为12sin 24πβ⎛⎫<+< ⎪⎝⎭，故D 正确.故选：BD. 三、填空题13．已知幂函数()f x 的图象如图所示，则()f x =______．（写出一个正确结果即可）【答案】2x -（答案不唯一）【分析】根据给定图象可得幂函数的性质，再结合性质写出函数式即可作答. 【详解】由幂函数图象知，函数()f x 的定义域是(,0)(0,)-∞+∞，且在(0,)+∞单调递减，于是得幂函数的幂指数为负数，而函数()f x 的图象关于y 轴对称，即幂函数()f x 是偶函数，则幂函数()f x 的幂指数为偶数，综上得：2()f x x -=. 故答案为：2x -14．将函数()f x 的图象先向左平移一个单位、再向上平移一个单位得到函数()g x 的图象，若()g x 为奇函数，则()()02f f +=______． 【答案】-2【分析】根据题意可得知()f x 与()g x 之间的关系式，然后利用函数的奇函数性质，计算可得答案.【详解】由函数()f x 的图象先向左平移一个单位、再向上平移一个单位得到函数()g x 的图象，可得：()(1)1g x f x =++ ， 故()(1)1f x g x =--，所以()()02(1)1(1)1(1)(1)22f f g g g g +=--+-=-+-=-, 故答案为：-2.15．已知0x >，0y >，24xy x y =++，则x y +的最小值为______． 【答案】4【分析】先利用基本不等式实现积与和的转化，而后解一元二次不等式即可.【详解】解：由题知0,0,x y >>由基本不等式得22x y xy +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，即2422x y x y +⎛⎫++≤⨯ ⎪⎝⎭， 令t x y =+，0t >，则有2422t t ⎛⎫+≤⨯ ⎪⎝⎭，整理得2280t t --≥，解得2t ≤-(舍去)或4t ≥，即4x y +≥，当且仅当2x y ==时等号成立， 所以x y +的最小值为4. 故答案为：4.16．设{},? ,max ,,? .a a b a b b a b ≥⎧=⎨<⎩函数(){}1max 2,42xf x x -=--，若关于x 的方程()f x t=有三个不相等的实数解，则实数t 的取值范围是______． 【答案】24t <<【分析】根据函数新定义求出函数()f x 解析式，画出函数()f x 的图象，利用转化的思想将方程的根转化为函数图象的交点，根据数形结合的思想即可得出t 的范围.【详解】由题意知，令1242xx-=--，解得20x x x ==，，根据{}max a a b a b b a b ≥⎧=⎨<⎩，，，，得121220()4202x x x f x x x x x x--⎧≤⎪=--<<⎨⎪≥⎩，，，， 作出函数()f x 的图象如图所示，由方程()0f x t -=有3个不等的根，得函数()y f x =图象与直线y t =有3个不同的交点，由图象可得，当24t <<时函数()y f x =图象与直线y t =有3个不同的交点， 所以t 的取值范围为24t <<. 故答案为：24t << 四、解答题17．（1）求值：223log 34138log 27log 2427⎛⎫⋅+⋅ ⎪⎝⎭； （2）已知角α的终边经过点()2,3P ，求()3cos sin sin 22παπαα⎛⎫-++ ⎪⎝⎭的值．【答案】(1)52；(2)2113.【分析】(1)根据给定条件利用指数、对数运算法则，对数换底公式计算作答.(2)利用三角函数的定义求出tan α，再结合诱导公式、二倍角的正弦公式化简计算作答. 【详解】(1)22223log 3log 3322334121223log 3812log 27log 2()4[()](2)27log 2log 33-⋅+⋅=⋅+⋅2223log 314532log 392=⨯+⨯=-. (2)因角α的终边经过点()2,3P ，则由三角函数的定义得：3tan 2α=， 所以()2223sin 2sin cos cos()sin sin 2sin (sin )2sin cos 2sin cos αααπαπαααααααα+-++=--+=+222233()2tan 2tan 21223tan 113()12ααα+⨯+===++. 18．已知函数()2sin cos f x x x x =． (1)求()f x 的单调递增区间； (2)求不等式()12f x >在()0,π上的解集． 【答案】(1)2[,](Z)63k k k ππππ++∈； (2)511,1212ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【分析】(1)利用二倍角的正弦、余弦公式及辅助角公式化简函数()f x 即可求解；(2)由题可得sin(2)06x π+<，再利用正弦函数性质即可求解.(1)∵()2sin cos f x x x x =∴11()(1cos2)2sin(2)226f x x x x π=-=-+， 由3222,Z 262k x k k πππππ+≤+≤+∈，得2,Z 63k x k k ππππ+≤≤+∈， 即()f x 在2[,](Z)63k k k ππππ++∈上单调递增， 所以函数()f x 单调递增区间是2[,](Z)63k k k ππππ++∈； (2) 由()12f x >得，11sin(2)262x π-+>，即sin(2)06x π+<，又()0,x π∈，()132,666x πππ+∈，∴()2,26x πππ+∈，即511,1212x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， ∴不等式()12f x >在()0,π上的解集为511,1212ππ⎛⎫⎪⎝⎭. 19．已知函数()()10af x x x x=++>． (1)若()f x 的最小值为5，求正实数a 的值；(2)求证：“()f x 在()2,+∞上单调递增”的充要条件是“4a ≤”． 【答案】(1)a =4； (2)证明见解析.【分析】(1)利用基本不等式求出()f x 的最小值为1，令其值为5，解方程即可； (2)先证充分性，再证必要性；对a 的取值分类讨论，利用复合函数和对勾函数的单调性分别讨论函数()f x 的单调性即可. (1)因为00x a >>，，所以()111a f x x x =++≥=，当且仅当ax x=即x =所以15=，解得4a =； (2)先证充分性：若4a ≤， 当0a <时，()1af x x x=++， 因为y x =在(2)+∞，上单调递增，ay x=在(2)+∞，上单调递增， 所以()f x 在(2)+∞，上单调递增. 当0a =时，()1f x x =+，显然()f x 在(2)+∞，上单调递增. 当04a <≤时，()1af x x x=++由对勾函数的性质可知函数()f x 在)+∞上单调递增，由04a <≤，得02<，所以()f x 在(2)+∞，上单调递增. 再证必要性：若()f x 在(2)+∞，上单调递增， 当0a <时，()1af x x x=++， 因为y x =在(2)+∞，上单调递增，ay x=在(2)+∞，上单调递增， 所以()f x 在(2)+∞，上单调递增，所以0a <符合题意. 当0a =时，()1f x x =+，显然()f x 在(2)+∞，上单调递增，所以0a =符合题意. 当0a >时，()1af x x x=++由对勾函数的性质可知函数()f x 在)+∞上单调递增，2，得04a <≤， 综上所述，a 的取值范围为4a ≤.所以“()f x 在(2)+∞，上单调递增”的充要条件是“4a ≤”.20．已知0a >且1a ≠，函数()()2log a f x x x a =-+的定义域为R ．(1)求a 的取值范围；(2)讨论关于x 的不等式()1log a f x x >+的解集．【答案】(1)1(,1)(1,)4⋃+∞； (2)分类求解，答案见解析.【分析】(1)利用对数函数定域可得20x x a -+>恒成立，再用判别式列式计算作答.(2)由(1)的结论结合对数函数单调性分类讨论，求解关于x 的一元二次不等式作答.(1)因函数()()2log a f x x x a =-+的定义域为R ，则R x ∀∈，20x x a -+>成立，即有：140a ∆=-<，解得14a >，又0a >且1a ≠，因此，114a <<或1a >， 所以a 的取值范围是1(,1)(1,)4⋃+∞. (2)由(1)知，114a <<或1a >，不等式2()1log log ()log a a a f x x x x a ax >+⇔-+>， 当114a <<时，函数log a y x =在(0,)+∞上单调递减，于是得20x x a ax <-+<，即(1)()0x x a --<，解得1<<a x ，当1a >时，函数log a y x =在(0,)+∞上单调递增，于是得20x x a ax -+>>，即(1)()0x x a -->，且0x >，解得01x <<或x a >，所以，当114a <<时，原不等式的解集为(,1)a ， 当1a >时，原不等式的解集为()()0,1,a ∞⋃+.21．如图有一块半径为4，圆心角为2π的扇形铁皮AOB ，P 是圆弧AB 上一点（不包括A ，B ），点M ，N 分别半径OA ，OB 上．(1)若四边形PMON 为矩形，求其面积最大值；(2)若PBN 和PMA △均为直角三角形，求它们面积之和的取值范围．【答案】(1)8； (2)[828,8)-.【分析】(1)连接OP ，令(0)2AOP πθθ∠=<<，用θ表示出矩形PMON 的面积，再借助三角函数计算作答.(2)利用(1)中信息，用θ表示出PBN 和PMA △的面积和，再换元变形结合二次函数性质计算作答.(1)连接OP ，如图，令(0)2AOP πθθ∠=<<，因四边形PMON 为矩形，则cos 4cos ,sin 4sin OM OP PM OP θθθθ====， 于是得矩形PMON 的面积4cos 4sin 8sin 2PMON S OM PM θθθ=⋅=⋅=，而02θπ<<， 则当22=πθ，即4πθ=时，sin 2θ取最大值1，即有max ()8PMON S =，所以矩形PMON 面积最大值为8.(2)由(1)知，4cos ,4sin PN OM ON PM θθ====，则44sin BN θ=-，44cos AM θ=-，Rt PBN 和Rt PMA △的面积和：11114cos (44sin )4sin (44cos )2222PBN PMA S SS PN BN PM AM θθθθ=+=⋅+⋅=⨯⨯-+⨯⨯- 8(sin cos )16sin cos θθθθ=+-，令sin cos t θθ+=，即2)4t πθ=+，而3444πππθ<+<，则12t < 22222sin cos (sin cos )(sin cos )1t θθθθθθ=+-+=-， 则2221()88(1)8888()102S f t t t t t t ==--=-++=--+，显然()f t 在2]上单调递减， 当2t ，即4πθ=时，min ()(2)828f t f ==，而(1)8f =，因此，8288S ≤<，所以Rt PBN 和Rt PMA △的面积和的取值范围是：[828,8).【点睛】思路点睛：涉及图形上的点变化引起的线段长度、图形面积等问题，若点的运动与某角的变化相关，可以设此角为自变量，借助三角函数解决.22．已知函数()29f x x ax a =-+-，a R ∈．(1)若()f x 在[]0,1上的值域为[]4,6，求a 的值；(2)若关于x 的不等式()0f x <只有一个正整数解，求a 的取值范围．【答案】(1)3a =． (2)13932⎛⎤ ⎥⎝⎦，． 【分析】（1）二次函数()29f x x ax a =-+-的对称轴2a x =，讨论02a <， >12a ，012a ≤≤，分析二次函数的单调性，最值，建立方程组，求解即可；（2）将问题等价于2+9>+1x a x 只有一个正整数解，令()2+9+1x g x x =，利用基本不等式求得最小值，并得出取等号的条件，由此可得答案.(1)解：因为函数()29f x x ax a =-+-，a R ∈，对称轴2a x =，且()09f a =-，()1102f a =-，21924a f a a ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭， 当02a <时，函数()f x 在0,1上单调递增，所以 ()()0416f f ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即941026a a -=⎧⎨-=⎩，此时无解； 当>12a 时，函数()f x 在0,1上单调递减，所以 ()()0614f f ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即961024a a -=⎧⎨-=⎩，解得3a =； 当012a ≤≤，即02a ≤≤时，函数()f x 在2a x =取得最小值，所以42a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，即21944a a --+=，方程在02a ≤≤上无解， 综上得：3a =；(2)解：关于x 的不等式()0f x <只有一个正整数解，等价于2+9>+1x a x 只有一个正整数解，令()2+9+1x g x x =，则()()2+910+1+222+1+1g x x x x x ==-≥=，当且仅当10+1+1x x =，即1x =，()2+9+1x g x x =在(1⎤-⎦上递减，在)1,+∞递增，而213<<，()21+9151+1g ==，()29g =，()2+913222+13g ==，()2+999133,5>>3+12233g ==，当a 13932⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，不等式只有一个正整数解2x =， 所以a 的取值范围为13932⎛⎤ ⎥⎝⎦，．。

2022-2023学年高一上数学期末模拟试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试题卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（本大题共10小题；在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意，请将正确选项填涂在答题卡上.） 1．命题“1x ∃≥，使21x >.”的否定形式是（） A.“1x ∃<，使21x >” B.“1x ∃<，使21x ≤” C.“1x ∀≥，使21x >”D.“1x ∀≥，使21x ≤”2．若－4<x <1，则22222x x x -+-（）A.有最小值1B.有最大值1C.有最小值－1D.有最大值－13．设集合M={a|∀x∈R，x 2+ax+1＞0}，集合N={a|∃x∈R，（a-3）x+1=0}，若命题p ：a∈M，命题q ：a∈N，那么命题p 是命题q 的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分又不必要条件4．在平面直角坐标系xOy 中, 以1,1C 为圆心的圆与x 轴和y 轴分别相切于,A B 两点, 点,M N 分别在线段,OA OB 上, 若,MN 与圆C 相切, 则MN 的最小值为A.1B.2C.2D.25．已知点（a ，2）在幂函数()(3)bf x a x =-的图象上，则函数f （x ）的解析式是（） A.12()f x x = B.12()2f x x = C.3()f x x =D.1()f x x -=6．已知M ，N 都是实数，则“0MN >”是“()222log log log MN M N =+”的（）条件 A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要D.既不充分也不必要7．若函数()()sin f x x πϖ=-+2x πϖ⎛⎫+ ⎪⎝⎭()0ϖ> 满足()12,f x =-()20f x =且12x x -的最小值为4π，则函数()f x 的单调递增区间为 A.52,266k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k Z ∈ B.()52,21212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦C.(),36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦D.()5,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦8相等的是 A.sin2cos2- B.cos2sin2- C.cos2D.cos2-9．已知函数，则()2log 1,026,0x x f x x x ->⎧=⎨-≤⎩，则()()11f f --=A.22log 32-B.2log 71-C.2D.2log 610．下列函数，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是( ) A.3y x = B.3log y x =- C.3x y =D.1y x=二、填空题（本大题共5小题，请把答案填在答题卡中相应题中横线上）11．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当(,0)x ∈-∞时，32()2f x x x =+,则(2)f =__________.12．一个几何体的三视图及其尺寸(单位：cm) ，如右图所示，则该几何体的侧面积为cm13．某学校在校学生有2000人，为了增强学生的体质，学校举行了跑步和登山比赛，每人都参加且只参加其中一项比赛，高一、高二、高三年级参加跑步的人数分别为a ，b ，c ，且::2:5:3a b c =，全校参加登山的人数占总人数的14.为了了解学生对本次比赛的满意程度，按分层抽样的方法从中抽取一个容量为200的样本进行调查，则应从高三年级参加跑步的学生中抽取人数为______. 14．函数21log y x =-+的定义域为________15．已知函数()()22log 4f x ax ax =-+.（1）若()f x 在1,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，则实数a 的取值范围是___________；（2）若()f x 的值域是R ，则实数a 的取值范围是___________.三、解答题（本大题共6小题.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 16．设函数()(0xxf x a ma a -=+>且1)a ≠是定义在R 上的奇函数（1）求m 的值；（2）若()10f <，试判断函数的单调性(不需证明)，求出不等式()()226120f x x f x ++-->的解集17．已知函数44()log (2)log (4)f x x x =++-. （1）求()f x 的定义域；（2）若函数1()42x x g x a a +=⋅--，且对任意的1[5,6]x ∈，2[1,2]x ∈，()()12f x g x <恒成立，求实数a 的取值范围.18．如图，已知正方形ABCD 的边长为2，分别取BC ，CD 的中点E ，F ，连接AE ，EF ，AF ，以AE ，EF ，FA 为折痕进行折叠，使点B ，C ，D 重合于一点P .（1）求证：AP EF ⊥； （2）求三棱锥P AEF -的体积19．已知集合{}121A x a x a =-<<+，{}2650B x x x =-+<. （1）若A B =，求实数a 的值； （2）若AB =∅，求实数a 的取值范围.20．已知0a >且满足不等式215222a a +->. （1） 求不等式()()log 31log 75a a x x +<-；（2）若函数()log 21a y x =-在区间[]3,6有最小值为2-，求实数a 值21．如图，在三棱锥A ­BCD 中，AB ⊥AD ，BC ⊥BD ，平面ABD ⊥平面BCD ，点E ，F (E 与A ，D 不重合)分别在棱AD ，BD 上，且EF ⊥AD .求证：(1)EF ∥平面ABC ； (2)AD ⊥AC .参考答案一、选择题（本大题共10小题；在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意，请将正确选项填涂在答题卡上.） 1、D【解析】根据特称命题的否定是全称命题，即可得出命题的否定形式【详解】因为特称命题的否定是全称命题，所以命题“1x ∃≥，使21x >”的否定形式为：1x ∀≥，使21x ≤ 故选：D 2、D【解析】先将22222x x x -+-转化为11[(1)]21x x -+-，根据－4<x <1，利用基本不等式求解. 【详解】22211[(1)]2221x x x x x -+=-+--又∵－4<x <1， ∴x －1<0 ∴－(x －1)>0∴11[(1)]12(1)x x ---+≤---．当且仅当x －1＝11x -，即x ＝0时等号成立 故选：D【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，还考查了转化求解问题的能力，属于基础题. 3、A【解析】由题意，对于集合M ，△=a 2-4＜0，解得-2＜a ＜2； 对于集合N ，a≠3若-2＜a ＜2，则a≠3；反之，不成立. 命题p 是命题q 的充分不必要条件. 故选A 4、D【解析】因为1,1C 为圆心的圆与 x 轴和y 轴分别相切于 ,A B 两点, 点,M N 分别在线段 ,OA OB 上, 若,MN 与圆C 相切，设切点为 Q ，所以AM BN QM QN MN +=+=，设 MNO ∠θ=，则()cos sin ,21cos sin OM ON MN MN OA OB MN θθθθ+=++==++，221cos sin 14MN πθθθ==≥=++⎛⎫+ ⎪⎝⎭2，故选D.考点：1、圆的几何性质；2、数形结合思想及三角函数求最值【方法点睛】本题主要考查圆的几何性质、数形结合思想及三角函数求最值，属于难题．求最值的常见方法有 ① 配方法：若函数为一元二次函数，常采用配方法求函数求值域，其关键在于正确化成完全平方式，并且一定要先确定其定义域；② 三角函数法：将问题转化为三角函数，利用三角函数的有界性求最值；③ 不等式法：借助于基本不等式 求函数的值域，用不等式法求值域时，要注意基本不等式的使用条件“一正、二定、三相等”；④ 单调性法：首先确定函数的定义域，然后准确地找出其单调区间 ，最后再根据其单调性求凼数的值域，⑤图像法：画出函数图像，根据图像的最高和最低点求最值，本题主要应用方法②求MN 的最小值的 5、A【解析】由幂函数的定义解出a ，再把点代入解出b .【详解】∵函数()(3)bf x a x =-是幂函数，∴31a -=，即4a =， ∴点（4，2）在幂函数()bf x x =的图象上，∴12b =，故12()f x x = 故选：A. 6、B【解析】用定义法进行判断.【详解】充分性：取1,2M N =-=-，满足0MN >.但是22log log M N 、无意义，所以充分性不满足； 必要性：当()222log log log MN M N =+成立时，则有00M N >⎧⎨>⎩,所以0MN >.所以必要性满足. 故选：B 7、D【解析】分析：首先根据诱导公式和辅助角公式化简函数解析式，之后应用题的条件求得函数的最小正周期，求得ω的值，从而求得函数解析式，之后利用整体思维，借助于正弦型函数的解题思路，求得函数的单调增区间.详解：()sin()sin()2f x x x ππωω=-+sin 2sin()3x x x πωωω=+=+， 根据题中条件满足()12,f x =-()20f x =且12x x -的最小值为4π，所以有44T π=，所以,2T πω==，从而有()2sin(2)3f x x π=+，令222232k x k πππππ-≤+≤+，整理得51212k x k ππππ-≤≤+， 从而求得函数的单调递增区间为5[,]()1212k k k Z ππππ-+∈，故选D. 点睛：该题考查的是有关三角函数的综合问题，涉及到的知识点有诱导公式、辅助角公式、函数的周期以及正弦型函数的单调区间的求法，在结题的过程中，需要对各个知识点要熟记，解题方法要明确. 8、A22cos sin =-，结合三角函数的符号即可得到结果.22cos sin ==-,又2弧度在第二象限，故sin2＞0,cos2＜0，= sin2cos2- 故选A【点睛】本题考查三角函数的化简问题，涉及到二倍角公式，平方关系，三角函数值的符号，考查计算能力. 9、B【解析】因为()2log 1,026,0x x f x x x ->⎧=⎨-≤⎩，所以()()()()2112617117log 71f f f f --=---=--==-，，故选B. 10、A【解析】由幂函数，指数函数与对数函数的性质可得 【详解】解：根据题意，依次分析选项：对于A ，3y x =，其定义域为R ，在R 上既是奇函数又是增函数，符合题意； 对于B ，3log y x =-，是对数函数，不是奇函数，不符合题意； 对于C ，3x y =，为指数函数，不为奇函数； 对于D ，1y x=，为反比例函数，其定义域为{|0}x x ≠，在其定义域上不是增函数，不符合题意； 故选A【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性，是基础题，掌握幂函数，指数函数与对数函数的性质是解题关键二、填空题（本大题共5小题，请把答案填在答题卡中相应题中横线上） 11、12【解析】由函数的奇偶性可知()()22f f =--，代入函数解析式即可求出结果. 【详解】函数()f x 是定义在上的奇函数，()()f x f x -=-，则()()f x f x =--，()()()()322222212f f ⎡⎤=--=-⨯-+-=⎣⎦.【点睛】本题主要考查函数的奇偶性，属于基础题型. 12、80【解析】图复原的几何体是正四棱锥，斜高是5cm ，底面边长是8cm ， 侧面积为 ×4×8×5=80（cm 2） 考点：三视图求面积.点评：本题考查由三视图求几何体的侧面积 13、45【解析】由题意求得样本中抽取的高三的人数为60人进而求得样本中高三年级参加登山的15人，即可求解. 【详解】由题意，高一、高二、高三年级参加跑步的人数分别为a ，b ，c ，且::2:5:3a b c =， 所以样本中抽取的高三的人数为320060253⨯=++人，又因为全校参加登山的人数占总人数的14， 所以样本中高三年级参加登山的人数为160154⨯=， 所以样本中高三年级参加跑步的人数为601545-=人. 故答案为：45. 14、[2,)+∞【解析】根据偶次方根被开方数为非负数、对数真数大于零列不等式组，解不等式组求得函数的定义域. 【详解】依题意21log 00x x -+≥⎧⎨>⎩，解得2x ≥，故函数的定义域为[2,)+∞.故答案为[2,)+∞.【点睛】本小题主要考查具体函数定义域的求法，属于基础题. 15、 ①.[)2,0- ②.[)16,+∞【解析】（1）分析可知内层函数24u ax ax =-+在1,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭上为减函数，且对任意的1,22x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，0>u 恒成立，由此可得出关于实数a 的不等式组，由此可解得实数a 的取值范围；（2）分析可知()0,∞+为二次函数24u ax ax =-+值域的子集，分0a =、0a ≠两种情况讨论，可得出关于实数a 的不等式组，综合可得出实数a 的取值范围. 【详解】（1）令24u ax ax =-+，2log y u =.当0a =时，()2log 42f x ==，该函数为常值函数，不合乎题意. 所以，0a ≠，内层函数24u ax ax =-+的对称轴为直线12x =， 由于函数()f x 在1,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，且外层函数2log y u =为增函数，故内层函数24u ax ax =-+在1,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭上为减函数，且对任意的1,22x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，0>u 恒成立，所以，04240a a a <⎧⎨-+≥⎩，解得20a -≤<；（2）因为函数()f x 的值域是R ，则()0,∞+为二次函数24u ax ax =-+值域的子集. 当0a =时，内层函数为4u =，不合乎题意；当0a ≠时，则有2160a a a >⎧⎨∆=-≥⎩，解得16a ≥. 综上所述，实数a 的取值范围是[)16,+∞. 故答案为：（1）[)2,0-；（2）[)16,+∞.三、解答题（本大题共6小题.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 16、（1）1m =- （2）{}|26.x x -<<【解析】（1）由奇函数的性质可得(0)0f =，从而可求出m 的值； （2）由()10f <可得01a <<，从而可判断出函数单调性，然后根据函数的奇偶性和单调性解不等式【小问1详解】∵()f x 是定义在R 上的奇函数，()00f ∴=，即10m += ， 1m ∴=-，当1m =-时，()xxf x a a -=-，()()()x x x x f x a a a a f x ---=-=--=-，故1m =-符合题意; 【小问2详解】 ∵1(1)0f a a=-<，又0a >且1a ≠， 01a ∴<<，x x y a y a -∴==-，都是R 上的减函数，()f x ∴是定义在R 上的减函数，故()()226120f x x f x ++-->()()22612f x x f x ⇒+>+， 2226124120x x x x x ∴+<+⇒--<26x ⇒-<<，∴不等式的解集{}|26.x x -<<17、（1）(4,)+∞.（2）（2，+∞）. 【解析】（1）使对数式有意义，即得定义域；（2）命题等价于max min ()()f x g x <，如其中一个不易求得，如min ()g x 不易求，则转化为max ()()f x g x <恒成立，再由其它方法如分离参数法求解或由二次不等式恒成立问题求解 【详解】（1）由题可知20x +>且40x ->， 所以4x >.所以()f x 的定义域为(4,)+∞.（2）由题易知()f x 在其定义域上单调递增.所以()f x 在[5,6]x ∈上的最大值为4(6)log 162f ==， 对任意1[5,6],x ∈2[1,2],x ∈()()12f x g x <恒成立等价于max ()2()f x g x =<恒成立.由题得()2()222x x g x a a =⋅-⋅-.令2([2,4])x t t =∈，则2()22h t a t t a =⋅-->恒成立.当0a =时，1t <-，不满足题意.当0a <时，22242482a a a a ⎧⋅-->⎨⋅-->⎩， 解得2a >，因为0a <，所以舍去.当0a >时，对称轴为1t a =， 当12a <，即12a >时，2242a a ⋅-->，所以2a >； 当124a ≤≤，即1142a ≤≤时，2122a a a a⎛⎫⋅--> ⎪⎝⎭，无解，舍去； 当14a >，即104a <<时，2482a a ⋅-->，所以23a >，舍去. 综上所述，实数a 的取值范围为（2，+∞）.【点睛】本题考查求对数型复合函数的定义域，不等式恒成立问题．解题时注意转化与化归思想的应用．18、（1）证明见解析（2）13【解析】（1）通过90APE APF ∠=∠=︒，证明PA ⊥平面PEF ，然后证明AP EF ⊥；（2）利用13P AEF A PEF PEF V V S AP --==⋅，求出几何体的体积【小问1详解】 证明： 90APE APF ∠=∠=︒，即,AP PE AP PF ⊥⊥ , ,,PE PF P PE PF =⊂平面PEF ，PA ∴⊥平面PEF ,又EF ⊂平面PEF ，所以AP EF ⊥；【小问2详解】由（1）知PA ⊥平面PEF ，∴11111123323P AEF A PEF PEF V V SAP --===⨯⨯⨯⨯=⋅ 19、（1）2a =（2）0a ≤或6a ≥【解析】（1）求出集合B ，再根据A B =列方程求解即可；（2）根据A B =∅分A =∅，A ≠∅讨论求解.【小问1详解】 由已知得{}{}265015B x x x x x =-+<=<< A B =11215a a -=⎧∴⎨+=⎩， 解得2a =；【小问2详解】A B =∅当A =∅时，121a a -≥+，得2a ≤-当A ≠∅时，15121a a a -≥⎧⎨-<+⎩或211121a a a +≤⎧⎨-<+⎩，解得20a -<≤或6a ≥， 综合得0a ≤或6a ≥.20、（1）37,45⎛⎫ ⎪⎝⎭；（2【解析】（1）运用指数不等式的解法，可得a 的范围，再由对数不等式的解法，可得解集；（2）由题意可得函数()log 21a y x =-在[]3,6递减，可得最小值，解方程可得a 的值试题解析：（1）∵22a +1＞25a -2.∴2a +1＞5a -2，即3a ＜3∴a ＜1，∵a ＞0，a ＜1∴0＜a ＜1.∵log a （3x +1）＜log a （7-5x ）.∴等价为3107503175x x x x +⎧⎪-⎨⎪+-⎩＞＞＞， 即137534x x x ⎧-⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩＞＜＞， ∴3745x ＜＜， 即不等式的解集为（34，75）.（2）∵0＜a ＜1∴函数y =log a （2x -1）在区间[3，6]上为减函数，∴当x =6时，y 有最小值为-2， 即log a 11=-2，∴a -2=21a =11， 解得a =1111. 21、（1）见解析（2）见解析【解析】（1）先由平面几何知识证明EF AB ∥，再由线面平行判定定理得结论；（2）先由面面垂直性质定理得BC ⊥平面ABD ，则BC ⊥AD ，再由AB ⊥AD 及线面垂直判定定理得AD ⊥平面ABC ，即可得AD ⊥AC试题解析：证明：（1）在平面ABD 内，因为AB ⊥AD ，EF AD ⊥，所以EF AB .又因为EF ⊄平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，所以EF ∥平面ABC .（2）因为平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD ⋂平面BCD =BD ，BC ⊂平面BCD ，BC BD ⊥，所以BC ⊥平面ABD .因为AD ⊂平面ABD ，所以BC ⊥ AD .又AB ⊥AD ，BC AB B ⋂=，AB ⊂平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以AD ⊥平面ABC ，又因为AC ⊂平面ABC ，所以AD ⊥AC.点睛:垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型：（1）证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行；（2）证明线面垂直，需转化为证明线线垂直；（3）证明线线垂直，需转化为证明线面垂直。

2023-2024学年重庆市高一上册期末数学质量检测试题一、单选题1．已知集合{}{24},3221A xx B x x x =≤<=-≥+∣∣，则A B = （）A ．(]1,1-B ．[)1,2C ．[]2,3D ．[)3,4【正确答案】D【分析】根据集合交集的定义计算．【详解】由3221x x -≥+，得3x ≥，{|3}B x x =≥,所以{34}A B xx ⋂=≤<∣．故选：D ．2．命题“2210x x ∀>->，”的否定为（）A ．2210x x ∀>-≤，B ．2210x x ∀≤-≤，C ．2210x x ∃>-≤，D ．2210x x ∃≤-≤，【正确答案】C【分析】直接由全称命题的否定即可得出答案.【详解】 命题“2210x x ∀>->，”，由全称命题的否定可知，命题“2210x x ∀>->，”的否定为：2210x x ∃>-≤，，故选：C.3．若3α=，则它是（）A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角【正确答案】B【分析】将弧度制化为角度制，再判断角度所在象限.【详解】1rad 57≈︒，故3rad 171α=≈︒，故α在第二象限，故选：B.4．设角θ的终边经过点34,55P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，那么2sin cos θθ+等于（）A ．25B ．25-C ．1D ．1-【正确答案】D【分析】利用任意角的三角函数的定义可求出sin ,cos θθ的值，从而可求得答案【详解】解：因为角θ的终边经过点34,55P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以43sin ,cos 55θθ=-=，所以432sin cos 2155θθ⎛⎫+=⨯-+=- ⎪⎝⎭，故选：D5．已知集合1|21x A x x +⎧⎫=≥⎨⎬-⎩⎭，{}|0B x x a =<<，若A B ⊆，则实数a 的取值范围是（）A ．[3,)+∞B ．(3,)+∞C ．(1,)+∞D ．(4,)+∞【正确答案】B【分析】先求出分式不等式的解集化简集合A ，再利用集合的包含关系求解即可.【详解】因为121x x +≥-，所以1122320111x x x x x x x ++-+--==≥---，即(3)(1)0x x --≥且1x ≠，解得13x <≤，所以{|13}A x x =<≤，又因为{}|0B x x a =<<，A B ⊆，所以3a >，故选：B6．著名的物理学家牛顿在17世纪提出了牛顿冷却定律，描述温度高于周围环境的物体向周围媒质传递热量逐渐冷却时所遵循的规律.新闻学家发现新闻热度也遵循这样的规律，即随着时间的推移，新闻热度会逐渐降低，假设一篇新闻的初始热度为0(0)N >，经过时间(t 天)之后的新闻热度变为0()etN t N α-=，其中α为冷却系数.假设某篇新闻的冷却系数0.3α=，要使该新闻的热度降到初始热度的10%以下，需要经过天（参考数据：ln10 2.303≈）（）A ．6B ．7C ．8D ．9【正确答案】C【分析】根据题意建立不等式求解.【详解】依题意，()00e0.1tN t N N α-=<，0.3ln10 2.303e 0.1,0.3ln 0.1ln10,7.6770.30.3t t t -∴<-<=->≈≈，即经过8天后，热度下降到初始热度的10%以下；故选：C.7．若一元二次不等式23208kx kx +-<对一切实数x 都成立，则k 的取值范围为A ．(]30-，B ．[)30-，C ．[]30-，D ．()30-，【正确答案】D【分析】根据题意可得0Δ0k <⎧⎨<⎩，解之即可得解.【详解】解：因为一元二次不等式23208kx kx +-<对一切实数x 都成立，所以2030k k k <⎧⎨+<⎩，解得30k -<<．故选：D.8．若0πx <<，则使1sin 2x >和1cos 2x <同时成立的x 的取值范围是（）A ．32x ππ<<B ．536x <<ππC ．566x ππ<<D ．233x ππ<<【正确答案】B【分析】根据正弦函数与余弦函数的图像,即可求得x 的取值范围.【详解】当0πx <<时,正弦函数与余弦函数的图像如下图所示:因为151cos,sin 3262ππ==所以由图像可知,使得1sin 2x >和1cos 2x <同时成立的x 的取值范围为536x <<ππ故选:B本题考查了正弦函数与余弦函数图像与性质的简单应用,特殊角三角函数值的求法,属于基础题.9．已知0.22a =，0.812b -⎛⎫= ⎪⎝⎭，5log 4c =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．b a c <<B ．c b a <<C ．a b c<<D ．c<a<b【正确答案】D【分析】利用2x y =的单调性，可比较a 和b 的大小，利用中间值1，可比较a 与c 的大小，即可得答案.【详解】因为2xy =在R 上为单调递增函数，所以0.0.2080.8221122b -⎛⎫==>⎪> ⎭=⎝，即1b a >>，又5log y x =在(0,)+∞上为单调递增函数，所以55log 4log 51c =<=，所以c<a<b .故选：D10．不等式2+>0ax bx c -的解集为{}|2<<1x x -,则函数2y ax bx c =++的图像大致为（）A ．B ．C．D．【正确答案】C【分析】根据题意，可得方程20ax bx c -+=的两个根为2x =-和=1x ，且a<0，结合二次方程根与系数的关系得到a 、b 、c 的关系，再结合二次函数的性质判断即可．【详解】根据题意，20ax bx c -+>的解集为{|21}x x -<<，则方程20ax bx c -+=的两个根为2x =-和=1x ，且a<0.则有2+1=(2)1=<0b a c a a ⎧-⎪⎪⎪-⨯⎨⎪⎪⎪⎩，变形可得==2b a c a -⎧⎨-⎩，故函数()()22221y ax bx c ax ax a a x x =++=--=-+是开口向下的二次函数，且与x 轴的交点坐标为(1,0)-和(2,0).对照四个选项，只有C 符合.故选：C ．11．条件p ：1ln 03x -<，条件q ：(2)(2)0x x a ++<，若p 是q 的充分而不必要条件，则a 的取值范围是（）A ．(2,)+∞B ．[2,2)-C ．(,2]-∞-D ．(,2)-∞-【正确答案】C【分析】设满足条件p 与q 的元素组成集合A 与B ，根据充分与必要条件和集合的关系可得A B Ü，再根据对数不等式的求解与不等式区间端点满足的关系列式求解即可.【详解】设满足条件p 与q 的元素组成集合A 与B ，∵p 是q 的充分而不必要条件，∴A B Ü，易得1|ln 03x A x ⎧⎫-=<⎨⎬⎩⎭{|24x x =-<<且}1x ≠，当22a -=-，即1a =时，B =∅，与A B Ü矛盾！当22a ->-，即1a <时，{}|22B x x a =-<<-，由A B Ü得24a ->，即2a ≤-，当22a -<-，即1a >时，{}|22B x a x =-<<-，与A B Ü矛盾！综合上述，得2a ≤-．故选：C ．12．函数()lg 25f x x x =+-的零点所在的区间是（）A ．()0,1B ．()1,2C ．()2,3D ．()3,4【正确答案】C【分析】先判断单调性,再根据零点存在定理将端点值代入,即可判断零点所在区间.【详解】解:由题知()lg 25f x x x =+-,由于lg ,25y x y x ==-均为单调递增,所以随着x 的增大()f x 也增大,故()f x 在()0,∞+单调递增,()()()()130,2lg 210,3lg310,4lg 430f f f f =-<=-<=+>=+> ,根据零点存在定理,()f x \零点在区间()2,3内.故选:C13．函数2()ln(28)f x x x =--的单调递增区间是A ．(,2)-∞-B ．(,1)-∞C ．(1,)+∞D ．(4,)+∞【正确答案】D【详解】由228x x -->0得：x ∈(−∞,−2)∪(4,+∞)，令t =228x x --，则y =ln t ，∵x ∈(−∞,−2)时,t =228x x --为减函数；x ∈(4,+∞)时,t =228x x --为增函数；y =ln t 为增函数，故函数f (x )=ln(228x x --)的单调递增区间是(4,+∞)，故选D.点睛：形如()()y f g x =的函数为()y g x =,() y f x =的复合函数，() y g x =为内层函数,() y f x =为外层函数.当内层函数()y g x =单增，外层函数()y f x =单增时，函数()()y f g x =也单增；当内层函数()y g x =单增，外层函数()y f x =单减时，函数()()y f g x =也单减；当内层函数()y g x =单减，外层函数()y f x =单增时，函数()()y f g x =也单减；当内层函数()y g x =单减，外层函数()y f x =单减时，函数()()y f g x =也单增.简称为“同增异减”.14．如图所示，扇环ABCD 的两条弧长分别是4和10，两条直边AD 与BC 的长都是3，则此扇环的面积为（）A ．84B ．63C ．42D ．21【正确答案】D【分析】设扇环的圆心角为α，小圆弧的半径为r ，依题意可得4αr =且()310αr +=，解得α、r ，进而可得结果.【详解】设扇环的圆心角为α，小圆弧的半径为r ，由题可得4αr =且()310αr +=，解得2α=，2r =，从而扇环面积()221252212S =⨯⨯-=.故选：D ．15．设25a b m ==，且111a b+=，则m =（）A 10B ．10C ．20D ．100【正确答案】B【分析】先根据25a b m ==，得到25log ,log a m b m ==，再由11log 2log 5m m a b+=+求解.【详解】因为25a b m ==，所以25log ,log a m b m ==，所以11log 2log 5log 101m m m a b+=+==，又0m > ，10m ∴=.故选：B.本题主要考查指数式与对数式的互化以及对数的运算，属于较易题.16．若函数(),142,12x a x f x a x x ⎧≥⎪=⎨⎛⎫-+< ⎪⎪⎝⎭⎩且满足对任意的实数12x x ≠都有()()12120f x f x x x ->-成立，则实数a 的取值范围是（）A ．[)4,8B ．()4,8C ．(]1,8D ．()1,8【正确答案】A【分析】根据解析式及满足的不等式()()12120f x f x x x ->-，可知函数()f x 是R 上的增函数，由分段函数单调性的性质，结合指数函数与一次函数单调性的性质，即可得关于a 的不等式组，解不等式组即可求得a 的取值范围.【详解】函数(),142,12x a x f x a x x ⎧≥⎪=⎨⎛⎫-+< ⎪⎪⎝⎭⎩满足对任意的实数12x x ≠都有()()12120f x f x x x ->-，所以函数(),142,12x a x f x a x x ⎧≥⎪=⎨⎛⎫-+< ⎪⎪⎝⎭⎩是R 上的增函数，则由指数函数与一次函数单调性可知应满足1402422a aa a ⎧⎪>⎪⎪->⎨⎪⎪≥-+⎪⎩，解得48a ≤<，所以数a 的取值范围为[)4,8，故选：A本题考查根据分段函数单调性求参数的取值范围，在满足各段函数单调性的情况下，还需满足整个定义域内的单调性，属于中档题.17．已知函数()22()ln x xf x x -=+的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【正确答案】B【分析】利用函数()f x 为偶函数排除选项D ；利用0x >时()10f =排除选项C ；利用01x <<时()0f x <排除选项A ；进而仅有选项B 正确.【详解】函数()22()ln x xf x x -=+定义域为()(),00,∞-+∞U ，由()()22ln (n )l (22)x x x xf x x x f x ---=+-=+=，可得()f x 为偶函数，其图象关于y 轴对称，排除选项D ；由当0x >时，仅有()111(22)ln 10f -=+=，可知选项C 图象错误；由当01x <<时，ln ln ln10x x =<=，则()(22)ln 0x xf x x -=+<则选项A 图象错误.仅有选项B 正确.故选：B18．我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》一书时介绍了“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的大正方形如图所示，记直角三角形较小的锐角为α，大正方形的面积为1S ，小正方形的面积为2S ，若125S S =，则sin cos αα+的值为（）A B C ．75D ．85【正确答案】A【分析】设大正方形的边长为a ，则直角三角形的两直角边分别为sin ,cos a a αα，分别求出12,S S ，再根据125S S =可求得sin cos αα，再根据sin cos αα+即可得解.【详解】解：设大正方形的边长为a ，则直角三角形的两直角边分别为sin ,cos a a αα，故()222121,4sin cos 12sin cos 2S a S a a a a αααα==-⨯⋅=-，则121512sin cos S S αα==-，所以2sin cos 5αα=，又α为锐角，则sin 0,cos 0αα>>，所以sin cos αα+=故选：A.19．设函数2()log )f x x =，若对任意的(1,)∈-+∞x ，不等式(ln )(24)0f x a f x -++<恒成立，则a 的取值范围是（）A ．(0,e]B ．[e,+)∞C ．(0,e)D ．(e,+)∞【正确答案】A【分析】由题意可得()f x 是R 上的单调递减奇函数，所以原不等式等价于ln 24x a x ->--在(1,)∈-+∞x 上恒成立，即ln 34a x <+在(1,)∈-+∞x 上恒成立，再根据34y x =+的单调性即可得ln 1a ≤，求解即可.【详解】解：因为2()log )f x x =，0x ->，得x ∈R ，又因为22()log )log log )()f x x x f x -=+==-+=-，所以()f x 是R 上的奇函数，又因为2()log )log f x x =-=，因为y x +在R 上单调递增，所以=y R 上单调递减，由复合函数的性质可知2()log f x =R 上单调递减，所以(ln )(24)0f x a f x -++<在(1,)∈-+∞x 上恒成立，等价于(ln )(24)(24)f x a f x f x -<-+=--在(1,)∈-+∞x 上恒成立，即ln 24x a x ->--在(1,)∈-+∞x 上恒成立，所以ln 34a x <+在(1,)∈-+∞x 上恒成立，又因为34y x =+在(1,)∈-+∞x 上单调递增，所以343(1)41y x =+>⨯-+=，所以ln 1a ≤，解得0e a <≤，所以a 的取值范围为(0,e].故选：A.20．已知函数1,0()1|,0x x f x x x x +≤⎧⎪=⎨-⎪⎩，若关于x 的方程2()(4)()2(2)f x m f x m +-+-=0有五个不同的实数根，则实数m 的取值范围是（）A ．[]1,3B ．(]0,2C ．[)1,2D ．()0,1【正确答案】C【分析】根据题意分析得()2f x =和()2f x m =-共有五个不同的根，作出图象，数形结合求解.【详解】由2()(4)()2(2)0f x m f x m +-+-=得()()220f x f x m ⎡⎤⎡⎤-+-=⎣⎦⎣⎦，所以()2f x =或()2f x m =-，作出函数1,0()1|,0x x f x x x x +≤⎧⎪=⎨-⎪⎩的图象如下：由题可得()f x 的图象与2y =有2个交点，所以()f x 的图象必须和2y m =-有3个交点，所以021m <-≤解得12m ≤<，故选:C.21．定义在R 上的函数f （x ）满足()()()f x y f x f y +=+，当0x <时，()0f x >，则f （x ）满足（）A ．()11f =B ．()y f x =是偶函数C ．f （x ）在[m ，n ]上有最大值f （m ）D ．()1f x +>0的解集为(),1-∞【正确答案】C【分析】先对,x y 赋值计算得()00f =，再根据定义判断()f x 为奇函数，结合当0x <时，()0f x >判断()f x 单调递减，逐一结合选项判断正误即可.【详解】令0x y ==，则()()()0000f f f +=+，得()00f =，令x y -=，则()()()0f f x f x =+-，故()f x 为R 上的奇函数，故B 错误；任取12x x <，则120x x -<，则()120f x x ->，()()()()()12122122f x f x x x f x f x x f x ⎡⎤=+-=+->⎣⎦，故函数f （x ）在R 上单调递减，则()()100f f <=，故A 错误；故f （x ）在[m ，n ]单调递减，有最大值f （m ），故C 正确；()()100f x f +>=，又函数f （x ）在R 上单调递减，故10x +<，得(),1x ∈-∞-，故D 错误.故选：C.二、多选题22．下列给出的角中，与π3终边相同的角有（）A ．11π3B ．13π3C ．2π3-D ．29π3-【正确答案】BD【分析】根据终边相同的角的定义求解.【详解】与π3终边相同的角为π2π,Z 3k k +∈,因为11ππ10π333-=，故A 错误，令2k =得与π3终边相同的角为π13π4π33+=,B 正确；因为π2ππ33⎛⎫--= ⎪⎝⎭，故C 错误；令5k =-得与π3终边相同的角为π29π10π33-=-,D 正确；故选:BD.23．下列结论正确的是（）A ．若a >b ，则ac 2>bc 2B ．若a >b ，则a 2>abC ．若a >b >0，则ab >b 2D ．若|a |>|b |，则a 2>b 2【正确答案】CD【分析】根据不等式性质分析判断.【详解】对A ：若0c =，则220ac bc ==，A 错误；对B ：若0a =，则20a ab ==，B 错误；对C ：若a >b >0，根据不等式性质可得：ab >b 2，C 正确；对D ：若0a b >≥，根据不等式性质可得：a 2>b 2故选：CD.24．（多选）下列各组函数表示同一个函数的是（）A ．()0(0)f x x x =≠，()()10g x x =≠B ．()()21f x x x =+∈Z ，()()21g x x x =-∈ZC ．()f x =，()g xD ．()221f x x x =--，()221g t t t =--【正确答案】AD【分析】通过判断函数的定义域、对应关系是否相同来判断是否是同一个函数.【详解】对于选项A ，()0(0)f x x x =≠，()()10g x x =≠两个函数的定义域均为{}0x x ≠，且01y x ==，所以对应关系也相同，所以是同一个函数，故A 正确；对于选项B ，()()21f x x x =+∈Z ，()()21g x x x =-∈Z 两个函数的对应关系不相同，所以不是同一个函数，故B 错误；对于选项C ，()f x =(][,2)2,-∞-⋃+∞，()g x 的定义域为[2,)+∞，定义域不同，不是同一个函数，故C 错误；对于选项D ，()221f x x x =--，()221g t t t =--两个函数的定义域均为R ，对应关系也相同，是同一个函数，故D 正确．故选：AD.25．下列函数中，最小正周期为π的偶函数是（）A ．πsin(2)12y x =++B ．πcos()2y x =+C ．sin ||y x =D ．π)4y x =+【正确答案】AB【分析】先用诱导公式对函数进行化简，再判别奇偶性及周期.【详解】由πsin(2)1cos 212y x x =++=+，则该函数为偶函数，且周期为2π==π2T ，故A 正确；πcos()sin sin 2y x x x =+=-=，∵|sin()||sin ||sin |x x x -=-=，故该函数为偶函数，sin y x =周期为sin y x =周期的一半，故2π==π2T ，故B 正确；sin sin x x -=，故sin ||y x =是偶函数，sin ,0sin sin ,0x x y x x x ≥⎧==⎨-<⎩,周期πT ≠，故C 错误；π)4y x =+为非奇非偶函数，故D 错误；故选：AB.26．（多选）已知函数()24312x x f x ++⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（）A ．函数()f x 的定义域为RB ．函数()f x 的值域为(]0,2C ．函数()f x 在[)2,-+∞上单调递增D ．函数()f x 在[)2,-+∞上单调递减【正确答案】ABD【分析】由函数的表达式可得函数的定义域可判断A ；令243u x x =++，则[)1,u ∈-+∞，12uy ⎛⎫= ⎪⎝⎭，结合指数函数的单调性得到函数的值域，可判断B ；根据复合函数单调性的判断方法可得函数的单调性可判断C 、D.【详解】令243u x x =++，则[)1,u ∈-+∞．对于A ，()f x 的定义域与243u x x =++的定义域相同，为R ，故A 正确；对于B ，12uy ⎛⎫= ⎪⎝⎭，[)1,u ∈-+∞的值域为(]0,2，所以函数()f x 的值域为(]0,2，故B 正确；对于C 、D ，因为243u x x =++在[)2,-+∞上单调递增，且12uy ⎛⎫= ⎪⎝⎭，[)1,u ∈-+∞在定义域上单调递减，所以根据复合函数单调性法则，得函数()f x 在[)2,-+∞上单调递减，所以C 不正确，D 正确.故选：ABD.27．已知113log 0x x +=，222log 0xx +=，则（）A ．2101x x <<<B ．1201x x <<<C ．2112lg lg 0x x x x -<D ．2112lg lg 0x x x x ->【正确答案】BC【分析】根据对数函数的性质可判断AB 正误，由不等式的基本性质可判断CD 正误.【详解】由131log 0x x =->可得101x <<，同理可得201x <<，因为(0,1)x ∈时，恒有23log log x x<所以122231log log 0x x x x -=-<，即12x x <，故A 错误B 正确；因为1201x x <<<，所以12lg lg 0x x <<，即210lg lg x x <-<-，由不等式性质可得1221lg lg x x x x -<-，即2112lg lg 0x x x x -<，故C 正确D 错误.故选：BC关键点点睛：利用对数函数的真数大于零及对数函数的图象与性质可得1201x x <<<是解题的关键，根据不等式的基本性质可判断CD ，属于中档题.28．已知,0a b >，2a b ab +=，则下列表达式正确的是（）A ．2a >，1b >B ．a b +的最小值为3C ．ab 的最小值为8D ．22(2)(1)a b -+-的最小值为4【正确答案】ACD【分析】对A ，通过用a 表示b 以及用b 表示a ，即可求出,a b 范围，对B ，对等式变形得211a b+=，利用乘“1”法即可得到最值，对C 直接利用基本不等式构造一元二次不等式即可求出ab 最小值，对D 通过多变量变单变量结合基本不等式即可求出最值.【详解】对A 选项，,0,2a b a b ab >+= ，即()2b a a -=，则2a b a =-，则02aa >-，且0,a >解得2a >，2ab ab += ，则()12,a b b -=则201ba b =>-，且0b >，解得1b >，故A 正确；对B 选项，,0,2a b a b ab >+= ，两边同除ab 得211a b+=，则()123332a b a b a b b a a b ⎛⎫+=+=++≥+=+ ⎝⎭+⎪当且仅当2a b b a =，且211a b+=，即21a b ==时等号成立，故B 错误；对C 选项，2a b ab +=≥,0a b > ≥8ab ≥，当且仅当2a b =，且8ab =，即4,2a b ==时等号成立，故C 正确；对D 选项，由A 选项2a b a =-代入得2222(2)(1)(2)12a a b a a ⎛⎫-+--+- ⎝=⎪-⎭()222224(2)(2)422a a a a =⎛⎫-+=-+≥= ⎪-⎝⎭-，当且仅当224(2)(2)a a -=-，2a >，即2a =1b =时，等号成立，故D 正确.故选：ACD.29．在ABC ∆中,下列关系恒成立的是（）A ．()tan tan ABC +=B ．()cos 22cos 2A B C +=C ．sin sin 22A B C +⎛⎫= ⎪⎝⎭D ．sin cos 22A B C +⎛⎫= ⎪⎝⎭【正确答案】BD根据三角形中A B C π++=和倍角和半角公式化简求值即可。

2022-2023学年重庆市校高一上册期末数学模拟试题（含解析）一、单选题1．命题“000[0,),cos 0x x x ∃∈+∞+>”的否定是（）A ．(,0),cos 0x x x ∀∈-∞+>B ．[0,),cos 0x x x ∀∈+∞+≤C ．000[0,),cos 0x x x ∃∈+∞+>D ．000(,0),cos 0x x x ∃∈-∞+≤【答案】B【分析】根据特称命题的否定的概念判断即可.【详解】命题“000[0,),cos 0x x x ∃∈+∞+>”的否定是“[0,),cos 0x x x ∀∈+∞+≤”，故选：B2．已知函数()21f x +的定义域为[]12-，，则函数()1f x y x =+的定义域为（）A ．{}|12x x -<≤B ．{}|15x x -<≤C ．1|12x x ⎧⎫-<≤⎨⎬⎩⎭D ．{|15}x x -≤≤【答案】B【分析】根据抽象函数的定义域可得()f x 的定义域为[]1,5-，进而可求解.【详解】()21f x +的定义域为[]12-，，所以[][]12,2115x x ∈-∴+∈-，，，因此()f x 的定义域为[]1,5-，所以()1f x y x =+的定义域满足15,10x x -≤≤+≠，即15,x -<≤故选：B3．函数3()log (1)6f x x x =-+-的零点所在的区间是（）A ．()2,3B ．()3,4C ．()4,5D ．()5,6【答案】C【分析】先判断函数的单调性，再根据零点存在定理将端点值代入，即可判断零点所在区间.【详解】因为3log (1)y x =-和6y x =-均为增函数，所以3()log (1)6f x x x =-+-为定义域上的增函数，又因为(2)40f =-<，3(3)log 230f =-<，(4)10f =-<，3(5)log 410f =->，()36log 50f =>，根据零点存在定理可知()f x 的零点在区间()4,5内，4．设0.1135π3,log π,cos3a b c ===，则（）A ．c b a <<B ．c a b<<C ．a b c<<D ．b c a<<【答案】D【分析】利用指数函数、对数函数和三角函数的图像和性质分别和0和1比较大小即可.【详解】因为0.131a =>，13log π0b =<，5πππcoscos 2πcos 333c ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭01c <<，所以b c a <<，故选：D5．已知幂函数()22133mm y m m x+-=--在（0，+∞）上单调递减，则m 的值为（）A ．1-B ．4C ．1-或4D ．1或-4【答案】A【分析】根据幂函数的定义以及幂函数的单调性即可求解.【详解】由题意可知：2331m m --=且210m m +-<，所以解得1m =-故选：A6．已知π1cos 64θ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则5πcos 6θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A．BC ．14-D ．14【答案】D【分析】由π5ππ66θθ⎛⎫⎛⎫+--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得5πππ66θθ⎛⎫-=+- ⎪⎝⎭，然后利用诱导公式计算即可.【详解】因为π5ππ66θθ⎛⎫⎛⎫+--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以5πππ66θθ⎛⎫-=+- ⎪⎝⎭，所以5πππcos cos πcos π666θθθ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-=--+⎢⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎝⎭⎣⎦ππ11cos πcos 6644θθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-+=--= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故选：D.7．已知函数()13,02,0x x f x xx x ⎧+->⎪=⎨⎪+≤⎩，则方程()30xf x --=的解的个数是（）A ．0B ．1C ．2D ．3【分析】将方程()30xf x --=的解的个数转化为函数(),()3xy f x g x -==的图象的交点个数问题，数形结合，可得答案.【详解】由题意可知方程()30xf x --=的解的个数即为函数(),()3xy f x g x -==的图象的交点个数，作出函数(),()3xy f x g x -==的图象，如图：由图象知(),()3xy f x g x -==的图象有3个交点，故方程()30xf x --=的解的个数是3，故选：D8．设函数()()0y f x x =≠，对于任意负数()1212,x x x x ≠，都()()222112120x f x x f x x x -<-.已知函数()1y f x =+的图象关于=1x -对称，若()24f =，则()2f x x ≤的解集为（）A ．0]20)2[(⋃-，，B ．](0]22∞⋃(-，-，C ．]22)[∞⋃+∞(-，-，D ．[20)2)[⋃+∞﹣，，【答案】A【分析】根据所给的条件可得()2f x x 为(),0∞-上的单调递减，由()1y f x =+的对称性可知()f x 为偶函数，进而得因此()()2f x g x x=为偶函数，且()g x 在(),0∞-，在()0,∞+单调递增，即可求解.【详解】不妨设120x x <<，由()()222112120x f x x f x x x -<-得()()2221120x f x x f x ->，由于12220,0x x >>，所以()()1222120f x f x x x ->，因此函数()2f x x 为(),0∞-上的单调递减函数，又()1y f x =+的图象关于=1x -对称，所以()f x 为偶函数，因此()()2f x g x x=为偶函数，且()g x 在(),0∞-单调递减，在()0,∞+单调递增，()()2214f g ==，()2f x x ≤等价于()()21f x g x x =≤，因此02x <≤时，()1g x ≤，当20x -≤<时，()1g x ≤，因此不等式的解为0]20)2[(⋃-，，，故选：A二、多选题9．若0a b >>，0c <,则下列不等式成立的是（）A ．b b ca a c+<+B ．c ca b>C ．11a b b a+>+D ．11a b a b+>+【答案】BC【分析】举反例可判断A,D ,根据不等式的性质可分别判断B,C .【详解】对于A,取3,1,2a b c ===-，满足0a b >>，0c <,但11131b bc a a c +-=>==-+，故A 错误；对于B,因为0a b >>，所以110a b<<，又0c <，故c ca b>，B 正确；对于C,因为0a b >>，所以110b a>>，故110a b b a +>+>，C 正确；对于D,取11,2a b ==满足0a b >>，但11522a b a b +=<+=，D 错误，故选：BC 10．sin tan cos 2sin cos tan x xx y x x x=+-的值可能是（）A ．2B ．3C ．4-D ． 0【答案】ACD【分析】根据x 的不同取值去绝对值即可求解.【详解】当x 是第一象限角时，sin ,cos ,tan x x x 均大于0，sin cos tan 22sin cos tan x x xy x x x=+-=；当x 是第二象限角时，sin x 大于0，cos ,tan x x 小于0，sin cos tan 22sin cos tan x x xy x x x =-+=；当x 是第三象限角时，sin ,cos x x 小于0，tan x 大于0，sin cos tan 24sin cos tan x x xy x x x=---=-；当x 是第四象限角时，sin ,tan x x 小于0，cos x 大于0，sin cos tan 20sin cos tan x x xy x x x=-++=；故选：ACD11．下列说法错误的是（）A．函数2y x =+的值域是[)2,+∞B ．设函数()421xf x x-=+，则()12f x --为奇函数C ．已知函数()f x 是定义在(,0)(0,)-∞+∞ 的偶函数，()21f -=，且当0x >时，()|1|=--f x a x ，则(5)2f =-D ．已知()f x 是定义在[]2,2﹣上的减函数，且(43)(2)f a f a -<-，则实数a 的取值范围是1(,)3+∞【答案】BD【分析】根据函数的单调性求值域，判断A;根据函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性，判断B;根据偶函数性质求得a 的值，继而求得(5)f ，判断C ；根据函数单调性解不等式，判断D.【详解】A:对于函数2y x =[1,)+∞，由于2,y x y ==[1,)+∞递增，故2y x =+[1,)+∞递增，故2y x =22=，即值域为[)2,+∞，A 正确；B:函数()421xf x x-=+，则设()()12g x f x =--，故()42(1)624,011x g x x x x --=-=-≠+-，而()64()g x g x x-=-≠--，故()12f x --不为奇函数，B 错误；C ，函数()f x 是定义在(,0)(0,)-∞+∞ 的偶函数，()21f -=，则()()221f f =-=，又当0x >时，()|1|=--f x a x ，故(2)11,2f a a =-=∴=，故|5()|2125f =--=-，C 正确；对于D,()f x 是定义在[]2,2-上的减函数，且(43)(2)f a f a -<-,故43243222a a a a ->-⎧⎪-≤⎨⎪-≥-⎩，解得1534a <≤，D 错误，故选：BD12．()ln ln 2f x x x =+-，x 的方程()()210f x k f x +⋅+=⎡⎤⎣⎦，下列叙述中正确的是（）A ．当2k =-时，方程()()210f x k f x +⋅+=⎡⎤⎣⎦恰有3个不同的实数根B ．当52k =-时，方程()()210f x k f x +⋅+=⎡⎤⎣⎦恰有4不同的实数根C ．该方程()()210f x k f x +⋅+=⎡⎤⎣⎦最多有8个不同的实数根D ．无论k 取何值，方程()()210f x k f x +⋅+=⎡⎤⎣⎦都不可能有6个不同的实数根【答案】BCD【分析】作出()ln ln 2f x x x =+-的图像，根据方程()()210f x k f x +⋅+=⎡⎤⎣⎦不同的解讨论与()f x 的交点个数即可.【详解】()ln()ln(2),0ln ln 2ln ln(2),02ln ln(2),2x x x f x x x x x x x x x -+-<⎧⎪=+-=+-<<⎨⎪+->⎩，又对数函数的图像和性质可得()f x的大致图像如图所示：当2k =-时，由方程()()2210f x f x ⎡⎤-+=⎣⎦解得()1f x =，由()f x 图像可知()1f x =有两个不同的实数根，即方程()()2210f x f x ⎡⎤-+=⎣⎦有两个不同的实数根，A 错误；当52k =-时，由方程()()20521f x f x ⎡⎦-⎤+=⎣解得()2f x =或12，由()f x 图像可知()2f x =有两个不同的实数根，1()2f x =有两个不同的实数根，所以方程()()20521f x f x ⎡⎦-⎤+=⎣有四个不同的实数根，B 正确；对于任意R k ∈，令()f x t =，则方程210t kt ++=有解时，2k ≤-或2k ≥，设解为12,t t ，由韦达定理得1210t t =>，当2k =-，即121t t ==时，由()f x 图像可知有2个实数根；当2k =，即121t t ==-时，由()f x 图像可知有4个实数根；当2k <-，有12t t ≠且均大于0时，由()f x 图像可知有4个实数根；当2k >，有12t t ≠且均小于0时，由()f x 图像可知有8个实数根；故方程()()210f x k f x +⋅+=⎡⎤⎣⎦最多有8个不同的实数根，无论k 取何值都不可能有6个不同的实数根，故选：BCD【点睛】关键点点睛：由()()210f x k f x +⋅+=⎡⎤⎣⎦求出()f x 的值，并判断该值的范围，再结合()f x 的图像分析求解是解题关键.三、填空题13．已知角α的终边上有一点(1,3)-，则sin α=______.【答案】【分析】由三角函数的定义求解即可.【详解】依题意sin 10α==-，故答案为：14．已知集合2{|320,R}A x x x x =-+=∈，{|08,N}B x x x =<<∈，则满足条件A C B ≠⊆⊂的集合C 的个数为_____个.【答案】31【分析】根据A C B ⊆Ü得C 是{}3,4,5,6,7的真子集，根据子集个数即可求解.【详解】集合{}2{|320,R}1,2A x x x x =-+=∈=，{}{|08,N}1,2,3,4,5,6,7B x x x =<<∈=，由A C B ≠⊆⊂得{}{}1,21,2,3,4,5,6,7C ≠⊆⊂,所以C 是{}3,4,5,6,7的真子集故有52131-=，故答案为：3115．“0x ∃>，使得24xa x x ≤++成立”的一个充分不必要条件可以是_____.（写出满足题意的一个即可）【答案】1,5a ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭（答案不唯一）【分析】先利用已知条件求出充要条件，再找出一个充分不必要条件.【详解】“0x ∃>，使得24xa x x ≤++成立”的充要条件是：2max4x a x x ⎛⎫≤ ⎪++⎝⎭，因为0x >，所以2114451x y x x x x ==≤++++，当且仅当42x x x=⇒=时等号成立，故“0x ∃>，使得24xa x x ≤++成立”的充要条件是：15a ≤，所以“0x ∃>，使得24xa x x ≤++成立”的一个充分不必要条件可以是：15a <，即1,5a ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭.16．函数()2ln 12y a x x ⎡⎤=-++⎣⎦的值域为R ，则实数a 的取值范围为_____.【答案】918a ≤≤【分析】由对数函数的图像可知(0,+)∞是()212y a x x =-++值域的子集，当1a =时显然成立，当1a ≠时，由二次函数的图像解a 的取值范围即可.【详解】由函数()2ln 12y a x x ⎡⎤=-++⎣⎦的值域为R 及对数函数的图像和性质可得，(0,+)∞是()212y a x x =-++值域的子集，当10a -=即1a =时，()212y a x x =-++的值域为R ，显然成立；当10a -≠即1a ≠时，二次函数的对称轴为122x a=-，所以由一元二次函数的图像可得()210111202222a a a a ->⎧⎪⎨⎛⎫-++≤ ⎪⎪--⎝⎭⎩，解得918a <≤，.综上918a ≤≤，故答案为：918a ≤≤四、解答题17．求解下列小题.(1)计算：5132log 202313)0.25log 516π-⎛⎫--+-+ ⎪⎝⎭(2)已知3π2sin cos 22πθθ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求2sin 2sin cos θθθ+的值.【答案】(1)11(2)85【分析】（1）直接根据指数和对数的运算性质计算即可；（2）先利用诱导公式变形得到tan θ，然后将目标式转化为用tan θ表示，再代入tan θ的值即可.【详解】（1）5132log 202313π)0.25log 5163-⎛⎫-+-+ ⎪⎝⎭223413314log 1264913⎛⎫⎛⎫=-+--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭7318121144⎛⎫=-+--+= ⎪⎝⎭（2）由3π2sin cos 22πθθ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得2cos sin θθ-=-，tan 2θ∴=，222222sin 2sin cos tan 2tan 448sin 2sin cos sin cos tan 1415θθθθθθθθθθθ+++∴+====+++18．（1）已知一个扇形周长为10cm ，求该扇形的圆心角为多少时，扇形的面积最大？最大值是多少？（2）已知关于x 的方程21204x bx ++=的两个实根为sin θ和cos θ，且π,π4θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求b 的值和sin cos θθ-的值【答案】（1）扇形的圆心角为2时，扇形的面积最大，最大值是254（2）b =sin cos 2θθ-=.【分析】（1）由题意设扇形的半径和弧长分别为：,r l ，可得210r l +=，扇形面积11224S rl l r ==⨯⨯，再由基本不等式求解最大值，再利用lrα=即可.（2）写出韦达定理以及判断根的关系式，利用同角三角函数关系式求解b ，在用完全平方关系及角的范围求出sin cos θθ-.【详解】（1）设扇形的半径和弧长分别为：,r l ，由题意可得：210r l +=，所以扇形面积为：2211121102522442424l r S rl l r +⎛⎫⎛⎫==⨯⨯≤⨯=⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当25l r ==，即55,2l r ==时，扇形的面积最大，此时圆心角为：5252l r α===，所以扇形的圆心角为2时，扇形的面积最大，最大值是254.（2）由方程21204x bx ++=的两个实根为sin θ和cos θ，所以22Δ420sin cos 21sin cos 8b ac b b θθθθ⎧⎪=-=-≥⎪⎪+=-⎨⎪⎪⋅=⎪⎩由22sin cos 1θθ+=，即()2sin cos 2sin cos 1θθθθ+-⋅=，即212128b ⎛⎫--⨯= ⎪⎝⎭，解得：25b b =⇒=由220b b -≥⇒≤b ≥又1sin cos 0,8θθ⋅=>π,π4θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以ππ,42θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin cos 002bb θθ+=->⇒<，所以b =ππ,42θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin cos sin cos 0θθθθ>⇒->，由()222sin cos sin cos 2sin cos θθθθθθ-=+-12sin cos θθ=-，所以sin cos2θθ-=.19．（1）解不等式：()2232240x m x m m++++≤（2）已知集合3|01xA xx-⎧⎫=≤⎨⎬-⎩⎭，对于任意的集合A中的每一个元素，()2220x m x m-+++≥恒成立，求m的取值范围.【答案】（1）答案见解析；（2）2m≤【分析】（1）先变形得到()()220x m x m+++≤，再通过讨论2m-和2m--的大小来解不等式；（2）先求出集合A中的元素范围，再根据问题恒成立结合二次函数的性质列不等式求解.【详解】（1）()2232240x m x m m++++≤()()220x m x m∴+++≤，令()()220x m x m+++=得2x m=-或2x m=--当22m m-=--，即2m=时，4x=-，当22m m->--，即2m<时，22m x m--≤≤-，当22m m-<--，即m>2时，22m x m-≤≤--，综上：当2m=时，不等式的解集为{}4-，当2m<时，不等式的解集为[]2,2m m---，当m>2时，不等式的解集为[]2,2m m---.（2）()()(]3103|0|1,3110x xxA x xx x⎧⎫⎧--≤-⎪⎪⎧⎫=≤==⎨⎬⎨⎨⎬--≠⎩⎭⎪⎪⎩⎩⎭，因为对于任意的集合A中的每一个元素，()2220x m x m-+++≥恒成立，则()()22420m m∆=+-+≤或()()()()2Δ2420221322122092320m mm mm mm m⎧=+-+>⎪++⎪⎪⎨⎪-+++≥⎪⎪-+++≥⎩或，解得2m≤20．大罗山位于温州市区东南部，由四景一水构成，它们分别是：仙岩景区､瑶溪景区､天桂寺景区､茶山景区和三烊湿地.某开发商计划2023年在三烊湿地景区开发新的游玩项目，全年需投入固定成本400万元，若该项目在2023年有x 万名游客，则需另投入成本()R x 万元，且()250,05,40200,520,160081850,20,x R x x x x x x x ⎧⎪<≤⎪=++<≤⎨⎪⎪+->⎩该游玩项目的每张门票售价为80元.(1)求2023年该项目的利润()W x （万元）关于游客数量x （万人）的函数关系式（利润=销售额-成本）.(2)当2023年游客数量为多少时，该项目所获利润最大？最大利润是多少？【答案】(1)答案见解析(2)游客为40万人时利润最大，最大为370万．【分析】（1）根据年利润等于年销售额减去固定成本和另投入成本，分段求出利润()W x （万元）关于人数x （万人）的函数关系式．（2）根据（1）中求出的利润()W x 的解析式，分别利用二次函数、一次函数的性质和基本不等式求出每段上的最大值，取三者中较大的利润值，即为年企业最大利润．【详解】（1）解：由题意可得，28040050,05,()80400(40200),520160080400(81850),20x x W x x x x x x x x x ⎧⎪--<≤⎪=--++<≤⎨⎪⎪--+->⎩即280450,05,()40200,520,1600450,20x x W x x x x x x x ⎧⎪-<≤⎪=-+-<≤⎨⎪⎪--+>⋅⎩（2）解：当05x <≤时，()(5)W x W ≤50=-；当520x <≤时，()(20)200W x W ≤=；当20x >时，由基本不等式知160080x x +≥，当且仅当1600x x=即40x =时等号成立，故max ()80450370W x =-+=，综上，游客为40万人时利润最大，最大为370万．21．已知函数()112x f x g -⎛⎫=- ⎪⎝⎭是指数函数，且1 5.2g ⎛⎫-= ⎪⎝⎭(1)解不等式()9g x >；(2)求()()()()11110.10.20.30.9g g g g +++ 的值.【答案】(1)(,1)-∞-；(2)92.【分析】（1）待定系数法求出()2x f x =，换元法求出12()21x g x -=+，然后求解指数不等式即可得到；（2）先证明111()(1)g x g x +=-，又()110.52g =，所以可得()()()()111119140.10.20.30.922g g g g ++++=⨯+= .【详解】（1）设()x f x a =（0a >且1a ≠），令1122x -=-，可得2x =，因为152g ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以12(2)12f g -⎛⎫=- ⎪⎝⎭1142g ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，从而24a =，解得2a =．所以()2x f x =，即1122x x g -⎛⎫-= ⎪⎝⎭，于是有1212x x g -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令12x t -=，得12x t =-，所以12()21t g t -=+，因此12()21x g x -=+．则不等式()9g x >化为12219x -+>，即123282x ->=，根据2x y =单调递增，有123x ->解得1x <-，所以不等式()9g x >的解集为(,1)-∞-．（2）由（1）知，12()21x g x -=+.则1212(1)1111()(1)2121x x g x g x ---+=+-++1221112121x x --=+++2121212111221x x x ---=+=++，所以11(0.1)(0.9)g g +11(0.2)(0.8)g g =+11(0.3)(0.7)g g =+111(0.4)(0.6)g g =+=，又()120.50.5212g -⨯=+=，所以()110.52g =.所以()()()()111119140.10.20.30.922g g g g ++++=⨯+= .22．已知函数()f x 定义域为R ，且函数()f x 同时满足下列3个条件：①对任意的实数,x y ，()()()2f x y f x f y +=++恒成立；②当0x >时，()2f x <-；③()13f =.(1)求()0f 及()1f -的值；(2)求证：函数()2y f x =+既是R 上的奇函数，同时又是R 上的减函数；(3)若21321222t f t f ⎛⎫⎛⎫--> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求实数t 的取值范围.【答案】(1)(0)2f =-，(1)7f -=-(2)证明见解析(3)(3t ∈【分析】（1）分别令0x y ==和1,1x y ==-即可求解；（2）由奇偶性和单调性的定义求解即可；（3）利用（2）中结论和条件①将21321222t f t f ⎛⎫⎛⎫--> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭变形为()21322g t g t ⎛⎫>- ⎪⎝⎭，利用()g x 单调性求解即可.【详解】（1）当0x y ==时，由题意得(00)(0)(0)2f f f +=++，解得(0)2f =-，当1,1x y ==-时，由题意(11)(1)(1)2f f f -=+-+，解得(1)7f -=-.（2）令()()2g x f x =+，则(0)(0)20g f =+=，任取x ∈R ，则()()()()4()20g x g x f x f x f x x +-=+-+=-+=，即()()g x g x =--，所以函数()2y f x =+是R 上的奇函数；任取12R x x >∈，则12121212()()()()()()()2g x g x f x f x f x f x f x x -=-=+-=--，因为12R x x >∈，所以120x x ->，由②知12()2f x x -<-，所以12()()0g x g x -<，即12()()<g x g x ，所以函数()2y f x =+是R 上的减函数.（3）因为()()()2f x y f x f y +=++，令x y =可得(2)2()2f x f x =+，所以()3322122t f t f ⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭，又因为21321222t f t f ⎛⎫⎛⎫--> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()21322f t f t ⎛⎫>- ⎪⎝⎭，所以()2123222f t f t ⎛⎫+>-+ ⎪⎝⎭，即()21322g t g t ⎛⎫>- ⎪⎝⎭，由（2）可知()g x 是R 上的减函数，所以21322t t <-，解得(3t ∈.。

重庆市部分区2022～2023学年度第一学期期末联考高一数学试题卷1.已知集合{}1,0,1A =-注意事项：1．考试时间：120分钟，满分：150分．2．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷、草稿纸上答题无效．3．需要填涂的地方，一律用2B 铅笔涂满涂黑．需要书写的地方一律用0.5mm 签字笔．4．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．，{}210B x x =-<，则A B ⋃=（）A.{}11x x -≤≤ B.{}11x x -<< C.{}1,0,1- D.{}0【答案】A 【解析】【分析】根据一元二次不等式的解法求出集合B ，结合并集的概念与运算即可求解.【详解】由题意知，{}21,0,1,{10}{11}A B x x x x =-=-<=-<<，所以{}11A B x x ⋃=-≤≤.故选：A.2.下列命题为真命题的是（）A.若0a b >>，则22ac bc >B.若0a b <<，则22a b <C .若a b >，则a c b c->- D.若0a b <<，则11a b<【答案】C 【解析】【分析】举例说明即可判断选项ABD ，根据不等式的性质即可判断C.【详解】A ：若0a b >>，当0c =时，22ac bc =，故A 错误；B ：若1,0.1a b =-=-，有22(1)(0.1)->-，不满足22a b <，故B 错误；C ：若a b >，则()()a c b c +->+-，即a c b c ->-，故C 正确；D ：若2,1a b =-=-，有112->-，不满足11a b <，故D 错误.故选：C.3.命题“0x ∀>，lg 1x x ≤-”的否定是（）A.0x ∃>，lg 1x x >-B.0x ∃≤，lg 1x x >-C.0x ∀>，lg 1x x >-D.0x ∀≤，lg 1x x >-【答案】A 【解析】【分析】直接根据全称命题的否定是特称命题得到答案.【详解】命题“0x ∀>，lg 1x x ≤-”的否定是：0x ∃>，lg 1x x >-.故选：A 4.函数()()21lg 12x f x x x =+--的定义域是（）A.12x x ⎧⎫>-⎨⎬⎩⎭B.{}1x x >C.12x x ⎧≥-⎨⎩且}2x ≠ D.{1x x >且}2x ≠【答案】D 【解析】【分析】根据函数定义域得到不等式，解得答案.【详解】()()lg 12f x x x =+--定义域满足2102010x x x +≥⎧⎪-≠⎨⎪->⎩，解得1x >且2x ≠.故选：D.5.2022πsin 9⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A.32B. C.12D.12-【答案】B 【解析】【分析】直接利用诱导公式计算得到答案.【详解】2022πππ3sin sin 225πsin 9332⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选：B6.角α的终边与单位圆O 相交于点P ，且点P 的横坐标为35的值为（）A.35B.35-C.45D.45-【答案】A 【解析】【分析】利用三角函数定义以及同角三角函数之间的平方关系即可得出结果.【详解】根据三角函数定义可知3cos 5α=，又22sin cos 1αα+=53cos α==.故选：A7.函数223,0()(1),0x x x f x f x x ⎧-+<=⎨-≥⎩，则()2f =（）A.3 B.2C.6D.5【答案】C 【解析】【分析】直接根据分段函数解析式，代入计算即可．【详解】由分段函数解析式得，2(2)(1)(0)(1)(1)2(1)36f f f f ===-=--⨯-+=，故选：C ．8.若正实数x ，y 满足280x y xy +-=，则2x y+的最大值为（）A.25B.16 C.37D.19【答案】D 【解析】【分析】根据等式计算得出1，再结合常值代换求和的最值，计算可得最大值.【详解】280,0,280,1,x y x y xy y x>>+-=∴+=()28==82182801x y x y x y y x x y ⎛⎫+++++≥+= ⎪⎝⎭+,221=189x y ∴≤+.故选:D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9.已知函数()224f x x x =+-的零点所在的区间是（）A.()2,0- B.()1,0- C.()0,1 D.()1,2【答案】AD 【解析】【分析】确定函数有两个零点，计算()20f ->，()00f <，()10f <，()20f >，得到答案.【详解】()224f x x x =+-，132330∆=+=>，故函数有两个零点，()282420f -=--=>，()040f =-<，故()2,0-上有零点；()121410f =+-=-<，()282460f =+-=>，故()1,2上有零点；故零点所在的区间为()2,0-，()1,2.故选：AD10.设x ∈R ，则2x <的一个必要不充分条件可能是（）A.3x <-B.3x < C.<4x - D.4x <【答案】BD 【解析】【分析】由必要不充分条件的定义逐一判断，找出能使{}|2x x <是其真子集的范围即可.【详解】根据题意可知，{}|2x x <需满足是该条件范围的真子集，经逐一检验可知BD 符合题意.故选：BD11.已知()0,πθ∈，1sin cos 5θθ+=-，则下列结论正确的是（）A.θ为第二象限角B.4cos 5θ=-C.4tan 3θ=-D.2164sin cos 2cos 5θθθ-=-【答案】ABD 【解析】【分析】利用同角三角函数的基本关系计算求解即可判断各选项.【详解】由同角三角函数平分关系可得，221sin cos 5sin cos 1θθθθ⎧+=-⎪⎨⎪+=⎩，因为()0,πθ∈，所以sin 0θ>，解得3sin 5θ=，4cos 5θ=-,因为4cos 05θ=-<，所以θ是第二象限角，故选项A ，B 正确，有同角三角函数商数关系可得，sin 3tan cos 4θθθ==-，故选项C 错误，因为222224sin cos 2cos 4tan 2164sin cos 2cos sin cos tan 15θθθθθθθθθθ---===-++，故选项D 正确.故选：ABD .12.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数，例如：[]3.54-=-，[]2.12=．已知函数()e 312ex xf x -=+，则关于函数()()g x f x =⎡⎤⎣⎦的叙述中不正确的是（）A.()g x 是R 上的增函数B.()10g =C.()g x 的值域是{}2,1,0,1-- D.()g x 的值域是{}3,2,1,0---【答案】ABC 【解析】【分析】举反例得到ABC 错误，变换()()172212e x f x =-+，确定()13,2f x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，得到答案.【详解】对选项A ：()()20013g f ⎡⎤⎡⎤==-=-⎣⎦⎢⎥⎣⎦，()()e 311112e g f -⎡⎤⎡⎤===-⎣⎦⎢⎥+⎣⎦，()()01g g =，错误；对选项B ：()()e 311112e g f -⎡⎤⎡⎤===-⎣⎦⎢⎥+⎣⎦，错误；对选项C ：()()17ln 6ln 638g f ⎡⎤⎡⎤-=-=-=-⎣⎦⎢⎥⎣⎦，错误；对选项D ：()()e 31712e 2212e x x xf x -==-++，()12e 1,x +∈+∞，()13,2f x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，()g x 的值域是{}3,2,1,0---，正确；故选：ABC.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知幂函数()y f x =的图像经过A 和(4,)B k ，则k =______．【答案】2【解析】【分析】设()a f x x =，结合()f x经过A ，求出a ，再将(4,)B k 代入，即可求解．【详解】设()a f x x =，由()f x经过A，则3a =，解得12a =，所以12()f x x =，则1242k ===，故答案为：2．14.已知扇形的圆心角为4π，弧长为π，则扇形的面积为___．【答案】2π【解析】【分析】根据扇形的弧长公式求出半径，再计算扇形的面积．【详解】扇形的圆心角为4π，弧长为π，则扇形的半径为r 4l ππα===4，面积为S 12=lr 12=⨯π×4＝2π．故答案为2π．【点睛】本题考查了扇形的弧长与面积的计算问题，是基础题．15.不等式21208kx kx -+>对一切实数x 都成立，则k 的取值范围是______．【答案】01k ≤<【解析】【分析】分类0k =和0k ≠两种情况讨论，对0k ≠时，利用二次函数的图像进行分析求解．【详解】当0k =时，108>，成立；当0k ≠时，一元二次不等式21208kx kx -+>对一切实数x 都成立，则2201Δ4208k k k >⎧⎪⎨=-⨯⨯<⎪⎩，解得001k k >⎧⎨<<⎩，即01k <<；综上所述，k 的取值范围是01k ≤<，故答案为：01k ≤<．16.已知函数()f x 是定义在[]13,1a a -+上的偶函数，则a 的值为______；当01x a ≤≤+时，()212f x x x =-，若()21log 2f m >，则m 的取值范围是______．【答案】①.1②.(]11,2,442⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】由偶函数定义域关于原点对称可得1a =，由偶函数性质利用换元法解不等式即可得22log 1m -≤-<或21log 2m ≤<，可求出m 的取值范围是(]11,2,442⎡⎫⎪⎢⎣⎭.【详解】依题意可知1310a a -++=，解得1a =；即当02x ≤≤时，()212f x x x =-，解不等式()21122f x x x =->可得1x >或12x <-，又因为02x ≤≤，可得12x <≤，当20x -≤<时，02x <-≤可得()()()()221122f x f x x x x x =-=---=+,解不等式()21122f x x x =+>可得12x >或1x <-，又因为20x -≤<,可得21x -≤<-；所以()21log 2f m >可得22log 1m -≤-<或21log 2m ≤<，解得1142m ≤<或24m <≤，即m 的取值范围是(]11,2,442⎡⎫⎪⎢⎣⎭.故答案为：1；(]11,2,442⎡⎫⎪⎢⎣⎭四、解答题：本题共有6个小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17.计算：（1(113837272-⎛⎫⎛⎫+-++ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）3log 229log 2lg5lg 43log 3++-+．【答案】（1）π（2）2【解析】【分析】（1）利用实数指数幂的运算性质计算即可；（2）利用对数的运算性质计算即可．【小问1详解】原式133222211πππ3333⎡⎤⎛⎫=++--=+=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦．【小问2详解】原式312229log 22lg 52lg 22log 9=++-+()312lg5lg 2222=++-+312lg10222=+-+3122222=+-+=．18.已知U =R ，集合{}2230A x x x =-->，{}23100B x x x =-++>，求：（1）A B ⋂；（2）()U A B ⋂ð．【答案】（1）{21A B x x ⋂=-<<-或}35x <<（2）(){2U A B x x ⋂=≤-ð或}5x ≥【解析】【分析】（1）解一元二次不等式即可得集合,A B ，利用交集运算法则可得{21A B x x ⋂=-<<-或}35x <<；（2）求出{2U B x x =≤-ð或}5x ≥，即可得()U A B ð【小问1详解】易知()(){}{3103A x x x x x =-+>=>或}1x <-，又{}{}2310025B x x x x x =-++>=-<<；{21A B x x ⋂=-<<-或}35x <<【小问2详解】由（1）可知{2U B x x =≤-ð或}5x ≥，因此可得(){2U A B x x ⋂=≤-ð或}5x ≥19.已知角α满足______．请从下列三个条件中任选一个作答．（注：如果多个条件分别作答，按第一个解答计分）．条件①：角α的终边与单位圆的交点为3,5M x ⎛⎫ ⎪⎝⎭；条件②：角α满足3sin 5α=；条件③：角α满足2217sin 8cos 1αα-=．（1）求tan α的值；（2）求2sin cos sin 1ααα-+的值．【答案】（1）3tan 4α=±（2）3tan 4α=时，原式2825=；3tan 4α=-时，原式425=；【解析】【分析】（1）利用三角函数定义以及同角三角函数的平方关系即可解得3tan 4α=±；（2）将分母看成“1”，将表达式化为只含有tan α的式子代入计算即可求得结果.【小问1详解】条件①：因为角α的终边与单位圆的交点为3,5M x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，可得22315x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，45x =±，由三角函数的定义可得3tan 4α=±条件②：因为角α满足3sin 5α=，又因为22sin cos 1αα+=，即可得216cos 25α=所以4cos 5α=±，可得3tan 4α=±条件③：因为角α满足2217sin 8cos 1αα-=，又因为22sin cos 1αα+=，即22228co 1s sin cos 7sin αααα-=+，可得2216sin 9cos αα=又2cos 0α≠，∴29tan 16α=，即3tan 4α=±【小问2详解】易知2222222s i cos sin 11sin c i os n ααααααααααααα-+-++-+==+2222sin tan si cos cos 1c n ta s n o 1ααααααα+++=+=由（1）可知：3tan 4α=±，当3tan 4α=时，原式231tan 2849tan 1251161α+===+++；当3tan 4α=-时，原式231tan 449tan 1251161α-+===+++.20.已知函数24()x f x x+=．（1）判断()f x 的奇偶性，并说明理由；（2）判断()f x 在()2,+∞上的单调性，并用定义证明；（3）求()f x 在[]4,2--上的值域．【答案】（1）奇函数，理由见解析（2）()f x 在()2,+∞上为增函数，证明见解析（3）[]5,4--【解析】【分析】（1）根据奇偶性的定义，求出定义域，代入()f x -即可得出判断；（2）直接根据单调性定义证明即可；（3）结合()f x 的奇偶性与单调性，即可求出在[]4,2--上的值域．【小问1详解】函数()f x 是奇函数．()f x 的定义域为()(),00,∞-+∞U ，关于原点对称，因为()()()2244x x f x f x x x-++-==-=--，所以()f x 在()(),00,∞-+∞U 上是奇函数．【小问2详解】()f x 在()2,+∞上为增函数；证明：任取122x x >>，则()()2212121244x x f x f x x x ++-=-()()2212211244x x x x x x +-+=221222111244x x x x x x x x +--=()()()()1212211212121244x x x x x x x x x x x x x x -+---==，因为122x x >>，所以120x x >，120x x ->，1240x x ->，则()()120f x f x ->，即()()12f x f x >．故()f x 在()2,+∞上为增函数．【小问3详解】结合（1）（2）知()f x 在(,2]-∞-上为增函数，即()f x 在[]4,2--上为增函数，当4x =-时，()f x 取得最小值，且最小值为()164454f +-==--当2x =-时，()f x 取得最大值，且最大值为()44242f +-==--故()f x 在[]4,2--的值域为[]5,4--．21.2022年10月16日上午，中国共产党第二十次全国代表大会在北京人民大会堂开幕．二十大报告提出，全面推进乡村振兴，坚持农业农村优先发展，巩固拓展脱贫攻坚成果．某地政府为深入推进乡村振兴，决定调整产业结构．该地区现有260户农民，且都从事水果种植，平均每户的年收入为3.5万元．为增加农民收入，当地政府决定动员部分农民从事水果加工．据测算，若动员()0x x >户农民只从事水果加工，剩下的只从事水果种植，则从事水果加工的农民平均每户收入将为()193.50130x a a ⎛⎫-> ⎪⎝⎭万元，而从事水果种植的农民平均每户的年收入有望提高5x %．（1）若动员x 户农民从事水果加工后，要使从事水果种植的农民的总年收入不低于动员前从事水果种植的农民的总年收入，求x 的取值范围；（2）在（1）的条件下，要使这260户农民中从事水果加工的农民的总收入始终不高于从事水果种植的农民的总收入，求a 的最大值．【答案】（1）(]0,240（2）22【解析】【分析】（1）依题意列出不等式，解一元二次不等式即可求得x 的取值范围为(]0,240；（2）化简表达式并利用基本不等式即可求出a 的最大值为22.【小问1详解】根据题意可知，需满足()()260 3.515% 3.5260x x -⨯⨯+⨯≥，化简为22400x x -≤，解得0240x <≤，故x 的取值范围为(]0,240【小问2详解】由题意得()()193.5260 3.515%130x a x x x ⎛⎫-≤-⨯⨯+ ⎪⎝⎭整理可得2602512260x a x ≤++，因为2602510260x x +≥=，当且仅当52x =时，取到最小值10；所以22a ≤，即a 的最大值为2222.已知函数()()()10,1x x f x a m a a a -=+->≠是奇函数，且过点31,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭．（1）求实数m 和a 的值；（2）设()()()22log 220,1x x t g x tf x t t -⎡⎤=+->≠⎣⎦，是否存在正实数t ，使关于x 的不等式()0g x ≤对[]21,log 3x ∈恒成立，若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）2m =，2a =（2）存在，()0,1t ∈【解析】【分析】（1）根据奇函数的性质可求得2m =，从而可得解；（2）由（1）可得()()()22log 22220,1x x x x t g x t t t --⎡⎤=+-->≠⎣⎦，再用整体换元思想将函数转化为二次函数，再分类讨论，讨论01t <<时和若1t >时函数的单调性，从而可解决函数()0g x ≤在[]21,log 3上恒成立问题.【小问1详解】因为()f x 是定义域为R 的奇函数，∴()00f =，∴2m =，检验符合.∴()x x f x a a -=-．又因为()f x 过点31,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭，∴()1312f aa --=-=-，∴2a =【小问2详解】由（1）得()22x x f x -=-，()()()22log 22220,1x x x x t g x t t t --⎡⎤=+-->≠⎣⎦因为[]21,log 3x ∈，令22x x k -=-，∴38,23k ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，记()22h k k tk =-+，∵函数()0g x ≤在[]21,log 3上恒成立，∴（ⅰ）若01t <<时，函数()22h k k tk =-+在38,23k ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上为增函数，所以()()log t g x h k =为减函数，则需函数()221h k k tk =-+≥恒成立，即210k tk -+≥恒成立．由于对称轴122t k =<，函数()h k 在区间38,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数，∴302h ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭恒成立，∴39310242h t ⎛⎫=-+≥ ⎪⎝⎭恒成立，则136t ≤恒成立，故01t <<合题意（ⅱ）若1t >时，则需()2021h k k tk <=-+≤在38,23k ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，则：①33223170267381243t t h t t t h ⎧⎧≤⎪⎪≤⎪⎪⎪⎪⎛⎫>⇒<⇒∈∅⎨⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⎪⎪⎛⎫≥≤⎪⎪ ⎪⎩⎝⎭⎩②2381632233Δ803131268731324t t t t t h t h t ⎧⎧<<<<⎪⎪⎪⎪=-<⎪-<<⎪⎪⎪⇒⇒∈∅⎛⎫⎨⎨≤ ⎪≥⎪⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫⎪⎪≤≥ ⎪⎪⎪⎩⎝⎭⎩③8162333131264180123t t h t t t h ⎧⎧≥≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎛⎫≤⇒≥⇒∈∅⎨⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⎪⎪⎛⎫<>⎪⎪ ⎪⎩⎝⎭⎩综上所述：故存在正数()0,1t ∈，使函数()0g x ≤在[]21,log 3上恒成立【点睛】关键点睛：第二小问中，用换元法令22x x k -=-，将复杂函数()g x 转化为二次函数是关键，再利用分类讨论思想解决函数不等式上恒成立的问题，本题考查了函数的奇偶性，整体换元以及分类讨论思想，属于较难题.。

2023-2024学年重庆市高一上册期末数学试题一、单选题1．已知集合{}{}2Z 9,2A x x B x x =∈≤=>-，则A B = （）A ．{0,1,2,3}B ．{1,2,3}C ．{1,0,1,2,3}-D ．{}23x x -<≤【正确答案】C【分析】先求出集合A 中的元素，再根据集合的交集运算，求得答案.【详解】集合{}{}{}2Z 9Z 333,2,1,0,1,2,3A x x x x =∈≤=∈-≤≤=---，而{}2B x x =>-，故{1,0,1,2,3}A B =- ，故选：C2．sin10cos50cos 40cos10︒︒+︒︒=（）A ．12B C D ．【正确答案】C【分析】结合诱导公式、两角和的正弦公式求得正确答案.【详解】()sin10cos50cos 40cos10sin10cos50cos 9050cos10︒︒+︒︒=︒︒+︒-︒︒()cos50sin10sin 50cos10sin 5010sin 60=︒︒+︒︒=︒+︒=︒故选：C3．已知25a =，则lg 40=（）A ．31a a ++B ．131a a ++C ．13a a ++D ．311a a ++【正确答案】A 【分析】由题意可得lg 5lg 2a =，lg 5lg 2a =⋅，又由lg5lg 21+=，可得1lg 21a =+，化简得lg 4012lg 2=+，代入即可得答案.【详解】解：因为25a =，所以2lg 5log 5lg 2a ==，所以lg 5lg 2a =⋅，又因为lg5lg 21+=，所以1lg 21a =+，所以23lg 40lg(104)lg10lg 412lg 2111a a a +=⨯=+=+=+=++.故选：A.4．函数()11f x x =-+的部分图象大致是（）A ．B ．C ．D ．【正确答案】A【分析】将函数写成分段函数，再根据特殊值判断即可.【详解】解：因为(),1112,1x x f x x x x ≥⎧=-+=⎨-<⎩，且()11111f =-+=，()00112f =-+=，故符合题意的只有A.故选：A5．设0.30.20.212,,log 0.32a b c -⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为（）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．b<c<aD ．c<a<b【正确答案】D【分析】可以根据指数函数和对数函数的单调性得出,,a b c 的范围，然后即可得出,,a b c 的大小关系.【详解】解：0.30.30.201()22212-=>>= ，0.20.2log 0.3log 0.21<=，∴c<a<b ．故选：D6．已知()()()()12324,1log ,1a x a x f x x x ⎧--<⎪=⎨≥⎪⎩是R 上的单调函数，则实数a 的取值范围是（）A ．22,3⎡⎫-⎪⎢⎣⎭B ．2,23⎛⎤- ⎥⎝⎦C ．2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．(],2-∞-【正确答案】D【分析】根据1x ≥的解析式()12log f x x =判断出()f x 在R 上为减函数，从而得32020a a -<⎧⎨--≥⎩，求解即可．【详解】解：因为当1x ≥时，()12log f x x =为减函数，又因为()f x 在R 上为单调函数，所以()f x 只能为单调递减函数，当1x <时，一次函数()()324f x a x a =--单调递减，当1x ≥时，指数函数()12log f x x =，所以将1x =代入得：()121log 10f ==，又因为()f x 在R 上为单调递减函数，所以32020a a -<⎧⎨--≥⎩，解得：2a ≤-，故选：D ．7．若定义在R 的奇函数()f x 在(),0∞-上单调递增，且()30f =，则满足()10xf x +≥的x 的取值范围是（）A ．(]{}[),402,-∞-+∞U UB ．(][][),20,14,-∞-+∞U UC ．[][]4,10,2--⋃D ．(][][),41,02,-∞--+∞U U 【正确答案】D【分析】分析函数()f x 的单调性，结合已知条件可得出()()()0330f f f ==-=，然后对x 、1x +的符号进行分类讨论，结合函数()f x 的单调性可得出不等式()10xf x +≥的解集.【详解】因为定义在R 的奇函数()f x 在(),0∞-上单调递增，则该函数在()0,∞+上也为增函数，且有()()()0330f f f ==-=，当010x x <⎧⎨+<⎩时，即当1x <-时，由()10xf x +≥可得()()103f x f +≤=-，此时13x +≤-，解得4x ≤-，此时4x ≤-；当=1x -时，则()00f -=，合乎题意；当010x x <⎧⎨+>⎩时，即当10x -<<时，由()10xf x +≥可得()()103f x f +≤=，可得13x +≤，解得2x ≤，此时10x -<<；当0x =时，则有()010f ⨯=，合乎题意；当010x x >⎧⎨+>⎩时，即当0x >时，由()10xf x +≥可得()()103f x f +≥=，可得13x +≥，解得2x ≥，此时2x ≥.综上所述，满足不等式()10xf x +≥的x 的取值范围是(][][),41,02,-∞--+∞U U .故选：D.8．已知函数()|22|x f x =-，若()()f a f b =（a b ¹），则a b +的取值范围是（）A ．(,1)-∞B ．(,2)-∞C ．(1,)+∞D ．(2,)+∞【正确答案】B【分析】由()22,12222,1x xx x f x x ⎧-<=-=⎨-≥⎩，可知1,a b <<由()()f a f b =可得224,a b +=根据基本不等式可求a b +的取值范围.【详解】()22,12222,1x xx x f x x ⎧-<=-=⎨-≥⎩若1,a b <<由()()f a f b =，则2222,a b a b-=-∴=与a b ≠矛盾；同理1,a b <<也可导出矛盾，故1,2222,224,a b a b a b <<∴-=-∴+=而222242,a b a b ++><=即 2.a b +<故选B本题考查分段函数的性质以及基本不等式的应用，属中档题.二、多选题9．下列说法正确的是（）A ．命题“x ∀∈R ，21x >-”的否定是“x ∃∈R ，21x <-”B ．函数()42log f x x =与()2xg x =的图象关于y x =对称C ．()1ln 1x f x x -⎛⎫= ⎪+⎝⎭为奇函数D ．函数()225f x x x =-+单调递增区间为[]1,0-，[)1,+∞【正确答案】BCD【分析】对于A ，根据命题与命题的否定直接判断即可；对于B ，根据互为反函数的两个函数图象关于原点对称判断即可；对于C ，根据奇函数定义判断即可；对于D ，根据二次函数单调性判断即可；【详解】因为命题“x ∀∈R ，21x >-”的否定是“x ∃∈R ，21x ≤-”，故A 错误；函数()422log log f x x x ==与()2xg x =互为反函数，故其图象关于y x =对称，故B 正确；因为()1ln 1x f x x -⎛⎫= ⎪+⎝⎭，可求得定义域为()1,1-关于原点对称，又()()11ln ln 11x x f x f xx x +-⎛⎫⎛⎫-==-=- ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭，故函数为奇函数，故C 正确；因为22225,0()2525,0x x x f x x x x x x ⎧-+≥=-+=⎨++<⎩，所以函数的单调递增区间为[]1,0-，和[)1,+∞，故D 正确．故选：BCD ．10．已知()0,πθ∈，1sin cos 5θθ+=，则下列结论正确的是（）A ．π,π2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭B ．3cos 5θ=-C ．3tan 4θ=-D ．7sin cos 5θθ-=【正确答案】ABD【分析】由题意得()21sin cos 12sin cos 25θθθθ+=+=，可得242sin cos 25θθ=-，根据θ的范围，可得sin θ，cos θ的正负，即可判断A 的正误；求得sin cos θθ-的值，即可判断D 的正误，联立可求得sin θ，cos θ的值，即可判断B 的正误；根据同角三角函数的关系，可判断C 的正误，即可得答案.【详解】因为1sin cos 5θθ+=，所以()21sin cos 12sin cos 25θθθθ+=+=，则242sin cos 25θθ=-，因为()0,πθ∈，所以sin 0θ>，cos 0θ<，所以π,2θπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故A 正确；所以()249sin cos 12sin cos 25θθθθ-=-=，所以7sin cos 5θθ-=，故D 正确；联立1sin cos 57sin cos 5θθθθ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，可得4sin 5θ=，3cos 5θ=-，故B 正确；所以sin 4tan cos 3θθθ==-，故C 错误.故选：ABD.11．已知实数,a b 均不为1，且满足0a b >>，则下列关系式中恒成立的是（）A ．2ab a <B ．1122a b a b->-C ．44(()55a b>D ．log 1b a >【正确答案】AB【分析】A ，B 选项利用基本不等式的性质即可；C 选项利用函数的单调性即可；取12,2a b ==判断D 选项即可.【详解】实数,a b 均不为1，且满足0a b >>，所以22a a b a a ab ab a ⋅>⋅⇔>⇔<，故A 选项正确；由0a b >>，所以20a b >2>，所以11022a b<<，所以1122a b->-，所以1122a b a b->-成立，故B 选项正确；由函数45xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上单调递减，且0a b >>所以44()()55a b<，故C 选项错误；当12,2a b ==时，12log log 211b a ==-<，故D 选项错误；故选：AB.12．已知函数()sin ,(0,2)4f x x πωω⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，将函数()f x 图象上的所有点的纵坐标保持不变，横坐标缩短为原来的一半得到函数()g x ，且不等式()4g x g π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭对任意的x ∈R 恒成立，则下列说法正确的是（）A ．1ω=B ．34π为()g x 的一个零点C ．()g x 在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增D ．方程()2g x =在(0,10)x π∈上共有30个解【正确答案】BC【分析】确定()sin 4g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭得到A 错误，计算3π04g ⎛⎫= ⎪⎝⎭得到B 正确，ππ,442x π⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，函数单调递增，C 正确，计算共有9个根，D 错误，得到答案.【详解】()sin 24g x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()4g x g π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，故πsin 21444g ππω⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故ππ22π442k πω⨯+=+，故142k ω=+，Z k ∈，(0,2)ω∈，故0k =时，12ω=满足，故A 错误；()sin 4g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，3π3πsin 0444g π⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，B 正确；当0,4x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，ππ,442x π⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，函数()g x 单调递增，C 正确；()sin 42g x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，π2π44x k π+=+或3π2π44x k π+=+，Z k ∈，当π2π44x k π+=+，即2πx k =时，Z k ∈，2π,4π,6π,8π是方程得到解；当3π2π44x k π+=+，即π2π2x k =+时，Z k ∈，π5π9π13π17π,,,,22222是方程的解.综上所述：共有9个解，D 错误.故选：BC三、填空题13．已知函数()f x x α=的图像经过1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭，则()2f =______．【正确答案】12##0.5【分析】根据函数()f x x α=的图像经过1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭，可求得α的值，可得()f x ，即可求()2f 的值.【详解】解：函数()f x x α=的图像经过1,22⎛⎫⎪⎝⎭，所以11222f α⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则1α=-所以()1f x x -=，则()11222f -==.故答案为.1214．已知1a >，则21a a +-的最小值为m ，取得最小值时a n =，则2n m -=______．【正确答案】1【分析】利用基本不等式可求得m 的值，利用等号成立的条件可求得n 的值，进而可求得2n m -的值.【详解】因为1a >，所以()22111111a a a a +=-++≥=--，当且仅当1a =时取等号．故1m =，1n =，所以，21n m -=．故答案为.115．折扇又名“撒扇”“纸扇”，是一种用竹木或象牙做扇骨，㓞纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，如图1．其平面图如图2的扇形AOB ，其中120AOB ∠=︒，33OA OC ==，则扇面（曲边四边形ABDC ）的面积是______．【正确答案】8π3##8π3【分析】根据题意和扇形的面积公式分别求出扇形AOB 、COD 的面积即可.【详解】由题意可得，扇形AOB 的面积是212π33π23⨯⨯=，扇形COD 的面积是212π11π233⨯⨯=．则扇面（曲边四边形ABDC ）的面积是183ππ33π-=．故83π16．函数()()sin f x A x b ωϕ=++的图象如图，则()()()()()()()0122020202120222023S f f f f f f f =+++⋅⋅⋅++++的值为______．【正确答案】2024【分析】根据图象可确定()f x 最小正周期4T =，由此可得()()()()5060123S f f f f =⨯+++⎡⎤⎣⎦，由此可求得结果.【详解】由图象可知：()f x 最小正周期4T =，()()()()01234f f f f +++=，()()()()506012350642024S f f f f ∴=⨯+++=⨯=⎡⎤⎣⎦.故答案为.2024四、解答题17．集合{}{}||21|7,|223A x xB x k x k =-≤=-<<+.(1)当2k =时，求A B ⋃；(2)问题：已知______，求k 的取值范围.从下面给出的三个条件中任选一个，补充到上面的问题中，并进行解答.（若选择多个方案分别解答，则按第一个解答记分）①A B A ⋃=；②A B B = ；③A B ⋂=∅.【正确答案】(1){}|35A B x x =-≤< (2)答案见解析【分析】（1）先解得{}|34A x x =-≤≤，再根据集合的并集计算即可；（2）分B =∅，B ≠∅两种情况解决即可.【详解】（1）由题知，{}{}||21|7,|223A x xB x k x k =-≤=-<<+，因为|21|7x -≤，解得34x -≤≤，所以{}|34A x x =-≤≤，当2k =时，{}|25B x x =<<，所以{}|35A B x x =-≤< .（2）选①或②，由题知B A ⊆，由（1）得，{}|34A x x =-≤≤，由题得，{}|223B x k x k =-<<+，当B =∅时，223k k -≥+，解得5k ≥，当B ≠∅时，532234k k k <⎧⎨-≤-<+≤⎩，解得112k -≤≤，综上，5k ≥或112k -≤≤.选③，当B =∅时，223k k -≥+，解得5k ≥，当B ≠∅时，5224k k <⎧⎨-≥⎩，或533k k <⎧⎨+≤-⎩，解得35k ≤<，或6k ≤-，综上，3k ≥或6k ≤-.18．（1）已知3cos 5α=-，α为第三象限角，求sin α的值；（2）已知tan 3α=，计算4sin 2cos 5cos 3sin αααα-+的值.【正确答案】（1）4sin 5α=-；（2）57.【分析】（1）利用同角三角函数的平方关系可求得sin α的值；（2）利用弦化切可求得所求代数式的值.【详解】解：（1）因为α为第三象限角，则4sin 5α==-；（2）4sin 2cos 4tan 243255cos 3sin 53tan 5337αααααα--⨯-===+++⨯.19．已知二次函数()21f x ax bx =++（a ，b ∈R 且0a ≠），x ∈R ．(1)若函数()f x 的最小值为()10f -=，求()f x 的解析式，并写出单调区间；(2)在（1）的条件下，()f x x k >+在区间[]3,1--上恒成立，试求k 的取值范围．【正确答案】(1)()221f x x x =++，减区间（−∞，−1]，增区间[−1，＋∞）(2)(),1-∞【分析】（1）根据函数()f x 的最小值为()10f -=，可得(1)10f a b -=-+=，且12b a-=-，可得,a b 的值，从而得到()f x 的解析式，根据对称轴和开口方向写单调区间；（2）分离参数k ,求解二次函数()f x 在区间[]3,1--上的最小值，即可得k 的范围．【详解】（1）由题意知(1)10f a b -=-+=，且12b a-=-，∴1,2a b ==．∴()221f x x x =++，因为函数()f x 对称轴=1x -，开口向上，∴()f x 单调减区间为（−∞，−1]，单调增区间为[−1，＋∞）；（2）()f x x k >+在区间[]3,1--上恒成立，转化为21x x k ++>在[]3,1--上恒成立．设[]2()1,3,1g x x x x =++∈--，则()g x 在[]3,1--上递减．∴min ()(1)1g x g =-=．∴1k <，即k 的取值范围为(),1-∞．20．已知函数()()2log 3,(0a f x x ax a =++>且1)a ≠.(1)当4a =，求函数()y f x =的单调区间；(2)若函数()y f x =的定义域为R ，求a 的取值范围；【正确答案】(1)函数()y f x =在(,3)-∞-上单调递减，在(1,)-+∞上单调递增.(2)(0,1)(1,⋃【分析】(1)根据函数解析式，先求出函数的定义域，然后利用复合的单调性即可求解；(2)根据对数函数的性质可知：230x ax ++>恒成立，根据一元二次不等式恒成立的条件即可求解.【详解】（1）因为4a =，所以函数24()log (43)f x x x =++，要使函数有意义，则有2430x x ++>，解得：1x >-或3x <-，所以函数定义域为(,3)(1,)-∞-⋃-+∞.令22()43(2)1u x x x x =++=+-，开口向下，对称轴为2x =-，则()u x 在(1,)-+∞上单调递增，在(,3)-∞-上单调递减，又因为4log y u =在(0,)+∞上单调递增，由复合函数的单调性可知：当4a =，函数()y f x =在(,3)-∞-上单调递减，在(1,)-+∞上单调递增.（2）因为函数()()2log 3,(0a f x x ax a =++>且1)a ≠的定义域为R ，也即230x ax ++>在R 上恒成立，所以2120a ∆=-<，解得：a -<<所以实数a的取值范围为(0,1)(1,⋃.21．已知函数2()sin 22cos 1f x x x =++，π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.(1)求函数()y f x =的值域；(2)求函数()y f x =严格增区间；(3)若不等式()2()a f x a f x ⋅+≥对任意[0,]2x π∈恒成立，求实数a 的取值范围.【正确答案】(1)[1,2+(2)π0,8⎡⎤⎢⎥⎣⎦(3)a ≥【分析】（1）首先化简函数，再代入函数的定义域，求函数的值域；（2）由（1）可知，ππ5π2444x ≤+≤，结合正弦函数的单调性，即可求解；（3）参变分离得()21()2()2f x a f x f x ≥=-++恒成立；转化为求函数的最值.【详解】（1）π()sin 2cos22)24f x x x x =++=++.因为[0,]2x π∈，所以ππ5π2444x ≤+≤，所以πsin(2)[42x +∈-，所以()f x的值域为[1,2+；（2）因为ππ5π2444x ≤+≤，又sin y x =在ππ[,22-上严格增，所以当442πππ2x ≤+≤时，()f x 严格增，解得π08x ≤≤所以函数()y f x =的严格增区间为π[0,]8；（3）因为()20f x +>，所以不等式等价于()21()2()2f x a f x f x ≥=-++恒成立；即max21()2a f x ⎡⎤≥-⎢⎥+⎣⎦，因为()234f x ⎡+∈+⎣，，所以当()24f x +=+时，()()2f x f x +所以实数a 的取值范围为273a +≥.22．定义在R 上的函数()f x ，对任意的,R x y ∈，恒有()()()f x y f x f y +=+，且0x >时，有()0f x >(1)判断()f x 的奇偶性并证明；(2)若()()31,212x f g x ==-，函数()()()2()3230f g x m g x m ⎡⎤-+--=⎣⎦有三个不同的零点，求m 的取值范围.【正确答案】(1)奇函数，证明过程见详解.(2)413m -≤<-【分析】(1)奇函数，令0x y ==，求得(0)0f =，令y x =-，进行证明即可；(2)先证明函数的单调性，利用单调性将方程化简为()()()2()322g x m g x m -+-=有三个不同的零点，令()g x t =换元，再利用根的分布即可求解.【详解】（1）奇函数，证明如下：因为定义在R 上的函数()f x ，对任意的,R x y ∈，恒有()()()f x y f x f y +=+，令0x y ==，可得：(0)(0)(0)f f f =+，则有(0)0f =，令y x =-，则有(0)()()0f f x f x =+-=，所以()()f x f x -=-，所以函数()f x 为R 上的奇函数.（2）令12,x y x x x +==，则12y x x =-，不妨令12x x >，因为对任意的,R x y ∈，恒有()()()f x y f x f y +=+，所以1212()()()f x f x f x x =+-，则1212()()()f x f x f x x -=-，因为当0x >时，有()0f x >，所以12)(0f x x ->，也即12())0(f x f x ->，所以12()()f x f x >，则函数()f x 为R 上的单调递增函数，因为3(1)2f =，令1x y ==，则(2)(1)(1)3f f f =+=，因为()()()2()3230f g x m g x m ⎡⎤-+--=⎣⎦，即()()()2()323(2)f g x m g x m f ⎡⎤-+-==⎣⎦，又函数()f x 为R 上的单调递增函数，由题意可知，也即()()()2()322g x m g x m -+-=有三个不同的零点，令()g x t =，则有2(3)220t m t m -+--=，因为()21x g x =-，所以21x t =-，因为y t =与21x y =-的交点个数为0,1,2，所以2(3)220t m t m -+--=的解得个数为0,1,2，因为函数()()()2()3230f g x m g x m ⎡⎤-+--=⎣⎦有三个不同的零点，所以2(3)220t m t m -+--=必有两个不同的解12,t t ，且1(0,1)t ∈，2{|0t t t ∈=或1}t ≥.①当20t =时，1m =-，此时方程为220t t -=，解得：12t =不满足题意，故舍去；②当21t =时，1(3)220m m -+--=，则有43m =-，此时方程为252033t t -+=，解得：123t =满足题意；③当21t >时，由根的分布可知：220(3)02201(3)1220m m m m ⎧-+⨯-->⎨-+⨯--<⎩，解得：413m -<<-，综上，实数m 的取值范围为413m -≤<-.。

重庆市部分区2023-2024学年度第一学期期末联考高一数学试题卷注意事项:1.考试时间:120分钟,满分:150分.试题卷总页数:4页.2.所有题目必须在答题卡上作答,在试题卷、草稿纸上答题无效.3.需要填涂的地方,一律用2B铅笔涂满涂黑.需要书写的地方一律用0.5mm签字笔.4.答题前,务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上.一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.若集合A=x∣x2-4=0,则A.4∈AB.2 ∈AC.2∈AD.-2∉A【答案】C2.已知全集U=R,能表示集合A=x∈N∣x2-2x≤0,B=1,2关系的Venn图是A. B. C. D.【答案】B3.若命题p:∀x,y∈R,x+y3<x3+y3的否定为A.∃x,y∈R,x+y3≥x3+y33<x3+y3 B.∃x,y∉R,x+yC.∀x,y∈R,x+y3≥x3+y33>x3+y3 D.∃x,y∈R,x+y【答案】D4.函数y=1-xx2-1的定义域为A.-∞,1B.-∞,1C.-∞,-1∪-1,1D.-∞,-1∪-1,1【答案】D5.函数y=2的零点所在区间是x+1-ln x+1A.0,1B.1,2D.3,4C.2,3【答案】B6.m =-1是幂函数f x =m 2-m -1 x 2m +1在0,+∞ 上单调递减的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要件【答案】C7.已知a =1212,b =215,c =log 25,则a ,b ,c 大小关系是A.a <b <cB.a <c <bC.c <a <bD.c <b <a 【答案】A8.当x >0,y >0,且满足2x +y -2xy =0时,有2x +y >k 2+k -8恒成立,则k 的取值范围为A.-4,3B.-4,3C.-3,4D.-3,4 【答案】A 二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.下列函数中,既是偶函数又在区间0,+∞ 单调递增的是A.y =x 2-1B.y =x -2C.y =xD.y =x +1x【答案】AC10.设a ,b ∈R ,则下列命题为假命题的是A.若a >b ,则a 2>b 2B.若a ≠b ,则a 2≠b 2C.若a <b ,则a 2<b 2D.若a >b ,则a 2>b 2【答案】ABC 【解析】11.如图,某池塘里浮萍的面积y (单位:m 2)与时间t (单位:月)的关系为y =a t (a >0,且a ≠1).下列说法正确的是A .浮萍每月的增长率为2B .第6个月时,浮萍面积为64m 2C .浮萍每月增加的面积都相等D .若浮萍蔓延到3m 2,5m 2,15m 2.所经过的时间分别是t 1,t 2,t 3,则t 1+t 2=t 3【答案】BD12.1837年,狄利克雷提出了函数的现代定义,即如果变量y 与变量x 相关,使得根据某个规则,每个x 值都对应唯一一个y 值,那么y 就是关于自变量x 的函数.并举出了个著名的函数-狄利克雷函数:D x =1,x ∈Q 0,x ∈C R Q ,下列说法正确的有A.D 2024x =D xB.D x 的值域为0,1C.D x =D xD.D x =D -x【答案】AD 三、填空题:本题共4小题,每小题5共20分.13.设x ∈2,+∞ ,则x +4x -2的最小值为.【答案】614.已知f x 是定义在R 上的奇函数,且当x >0时,f x =x -3x 2,则f -1 =.【答案】215.已知函数f x 满足:∀x ,y ∈R ,f x +y =f x f y ;当x <0时,f x >1.则满足这两个条件的一个函数为.【答案】y =a x ,0<a <1或者y =12x (答案不唯一)；16.设函数f x =-x ,x ≥a -x 2+x ,x <a,当a =2时,f x 的单调递增区间为若∃x ∈R 且x ≠0,使得f 12+x =f 12-x 成立,则实数a 的取值范围为.【答案】-∞,12 或者写成-∞,12都可以得分(3分);(-1,+∞)(2分)四、解答题:本题共有6个小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)计算:(1)49 12+0.008 23×252+π+1 0;(2)log 48+lg0.01+ln e +3log 31.【答案】见解析【解析】(1)原式=232 12+0.23 23×252+1=23+0.2 2×252+1=23+12+1=136(2)原式=log 2223+lg 10 -2+12ln e +1=32-2+12+1=118.(12分)已知集合A =x ∣2-m ≤x ≤m ,B =x ∣1≤x ≤2 .(1)当m =2时,求C R A ∪B ;(2)若A ∩B =A ,求实数m 的取值范围.【答案】见解析【解析】(1)∵A ={x ∣0≤x ≤2}(1分)∴A ∪B ={x ∣0≤x ≤2}∴C R A ∪B ={x ∣x <0或x >2}(6分)(2)∵A ∩B =A , ∴A ⊆B当A =Φ时, 符合题意, 则m <2-m , 即m <1(8分)当A ≠Φ时, 则只需2-m ≤m 2-m ≥1m ≤2, 解的m =1(11分)综上可得实数m的取值范围为m≤119.(12分)已知关于x的不等式x2+a-3x-b<0.(1)若该不等式的解集为{x∣-1<x<2},求a和b的值;(2)若b=3a，求该不等式的解集.【答案】见解析【解析】(1)因为不等式x2+a-3x-b<0的解集为{x∣-1<x<2},所以二次方程x2+a-3x-b=0的根为-1,2由韦达定理可得-1+2=-a-3-1×2=-b解得a=2,b=2;(2)若b=3a, 则不等式为x2+a-3x-b<0, 即x-3x+a<0令x-3x+a=0, 得x1=3,x2=-a,当3>-a, 即a>-3时, -a<x<3;当3=-a, 即a=-3时, 无解;当3<-a, 即a<-3时, 3<x<-a,综上：a>-3时, 解集为-a,3;a=-3时, 解集为⌀;a<-3时, 解集为3,-a20.(12分)已知函数f x =2x-m x,且f1 =1.(1)求实数m的值;(2)判断函数f x 在0,+∞上的单调性,并证明你的结论;(3)求函数f x 在2,4上的值域.【答案】见解析【解析】(1)∵f x =2x-mx, 且f1 =2-m=1,∴m=1.(2)函数f x 在0,+∞上单调递增.证明:任取x1,x2∈0,+∞, 且x1<x2,则f x1-f x2=2x1-1 x1-2x2-1x2=2x1-x2+x1-x2x1x2=x1-x2x1x2+2x1x2∵0<x1<x2,∴x1-x2<0,x1x2+2>0，x1x2>0.∴f x1-f x2<0, 即f x1<f x2∴函数f x 在0,+∞上单调递增.(3)由(2)得f x 在0,+∞上单调递增, ∴f x 在(2,4]上单调递增, (9分)又f2 =4-12=72,f4=8-14=314，∴f x 在(2,4]上的值域为72,314.21.(12分)学校鼓励学生课余时间积极参加体育锻炼,每天能用于锻炼的课余时间有60分钟,现需要制定一个课余锻炼考核评分制度,建立一个每天得分y与当天锻炼时间x(单位:分)的函数关系.要求及图示如下:①函数是区间0,60 上的增函数;②每天运动时间为0分钟时,当天得分为0分;③每天运动时间为20分钟时,当天得分为2分;④每天运动时间为60分钟时,当天得分不超过5分.现有以下三个函数模型供选择:(1)y =kx +b k >0 ,(2)y =k ⋅2x +b k >0 ,(3)y =k ⋅log 2x 10+2+n k >0 .(1)请你根据条件及图像从中选择一个合适的函数模型,并求出函数的解析式;(2)求每天得分不少于3分,至少需要锻炼多少分钟.(注:2≈1.414,结果保留整数).【答案】见解析【解析】对于模型(1), y =kx +b k >0 , 当满足同时过点0,0 ,20,2 时, b =0,k =110, 即y =110x ,当x =60时, y =6>5, 不合题意;(2分)由图可知, 该函数的增长速度较慢, 对于模型(2)y =k ⋅2x +b k >0 ,是指数型的函数, 其增长是爆炸型增长, 故(2)不合适;(4分)对于模型(3)y =k ⋅log 2x 10+2 +n k >0 , 对数型的函数增长速度较慢, 符合题意, 故选项模型(3), 此时, 所求函数过点0,0 ,20,2 ,则k log 22+n =0k log 22010+2 +n =2, 解得k =2,n =-2, 故所求函数为y =2log 2x 10+2 -2,经检验, 当x =60时, y =2log 26010+2 -2=4, 符合题意综上所述, 函数的解析式为y =2log 2x 10+2 -2(2)由(1)得y =2log 2x 10+2 -2, 因为每天得分不少于3分,所以2log 2x 10+2 -2≥3, 即log 2x 10+2 ≥52,所以x 10+2≥252=42, 即x ≥402-20≈40×1.414-20=36.56,所以每天得分不少于3分, 至少需要锻炼37分钟22.(12分)已知函数f x =log 2x a+b a ,b ∈R 的图象经过点1,0 和点2,1 ,g x =x 2-4x .(1)求函数f x 的解析式;(2)若关于x 的方程f x +f x -2k =0在区间1,2 上有实数根,求k 的取值范围;(3)设m >0,若对于任意x ∈4m ,m,都有g x <-f m -2 -3,求m 的取值范围.【答案】见解析【解析】(1)依题意可得log 21a +b =0log 22a +b =1, 解得b =0a =1 , 所以f x =log 2x ⋯(2分)(2)(方法不唯一)因为关于x 的方程f x +f x -2k =0在区间1,2 上有实数根所以令F x =f x +f x -2k ,则F x =f x +f x -2k 区间1,2 上有零点⋯因为f x =log 2x , 所以F x =log 2x +log 2x -2k ,又f x =log 2x 在定义域0,+∞ 上单调递增,所以F x =f x +f x -2k 在定义域上单调递增,又函数F x =f x +f x -2k 在区间1,2 上有零点,则F 1 <0F 2 >0 , 即log 21+log 21-2k <0log 22+log 22-2k >0 ,所以0<1-2k <122-2k >1, 解得0<k <12为所求(3)因为m >0且m >4m , 所以m >2且0<4m <2,因为g x =x 2-4x =x -2 2-4, 所以g x 的最大值可能是g m 或g 4m,因为g m -g 4m=m 2-4m -16m 2-4m =m 2-16m2-4m -4m =m -4m m +4m -4 =m -4m ⋅m -2 2m>0所以g x max =g m =m 2-4m ,只需g x max <-log 2m -2 -3, 即m 2-4m <-log 2m -2 -3，设φm =m 2-4m +log 2m -2 +3，m ∈2,+∞ ，因为y =log 2x -2 +3在2,+∞ 上单调递增, y =x 2-4x =x -2 2-4在2,+∞ 上单调递增,所以φm 在2,+∞ 上单调递增,又φ3 =0,∴m 2-4m +log 2m -2 +3<0, 即φm <φ3 ,所以2<m <3, 所以m 的取值范围是2,3。

1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上2023-2024学年重庆市巴南区高一上学期数学人教A版-指数函数与对数函数-章节测试(5)姓名：____________ 班级：____________ 学号：____________考试时间：120分钟 满分：150分题号一二三四五总分评分*注意事项：阅卷人得分一、选择题（共12题，共60分）1. 已知 ， ， ，则a，b，c的大小关系是（ ）A .B .C .D .22或 或2. 若函数f（x）=a x在区间[0，1]上的最大值是最小值的2倍，则a的值为（ ）A .B .C .D .x＝ x＝ x＝ x＝93. 方程 的解是（ ）A .B .C .D .4. 用二分法求方程的近似解，求得 的部分函数值数据如下表所示：12 1.5 1.625 1.75 1.875 1.8125-63-2.625-1.459-0.14 1.34180.5793则当精确度为0.1时，方程 的近似解可取为（ ）A .B .C .D .5. 若 ，实数 ， 满足 ，且当 时， ，则 的值是（ ）A .B .C .D .6. 已知函数 的零点为 ，设 ， ，则 ， ， 的大小关系为（ ）A .B .C .D .7. 若 ，则（ ）A .B .C .D .a＜b＜c c＜a＜b b＜c＜a b＜a＜c8. 设a=（ ） ，b=（ ） ，c=（ ） ，则（ ）A .B .C .D .a+b 9. 已知 ， ，则 （ ）A .B .C .D .10. 已知函数 ，若 ， ， ，则（ ）A .B .C .D .11. 已知 ， ， ， 则a，b，c的大小关系为（ ）A .B .C .D .12. 函数 是定义在 上的偶函数，且满足 .当 时， .若在区间 上方程恰有四个不相等的实数根，则实数 的取值范围是（ ）A .B .C .D .13. ．（用分数指数幂表示）14. 若实数α满足log a 2＞1，则a的取值范围为 ．15. 求值：（ ） = ．16. 已知函数 ，若 有三个零点，则实数m的取值范围是．阅卷人三、解答题（共6题，共70分）得分17. 已知定a∈R，f（x）=log2（1+ax）．(1) 求f（x2）的值域；(2) 若关于x的方程f（x）-log2[（a-4）x2+（2a-5）x]=0的解集恰有一个元素，求实数a的取值范围；(3) 当a＞0时，对任意的t∈（ ，+∞），f（x2）在[t，t+1]的最大值与最小值的差不超过4，求a的取值范围．18. 已知函数 .(1) 求函数 的定义域和值域；(2) 设函数 ，若关于 的不等式 恒成立，求实数 的取值范围.19. 已知函数 ,函数 的最小值为 .(1) 求 ；(2) 是否存在实数 同时满足下列条件:① ；②当 的定义域为 时, 值域为 ？若存在, 求出 的值；若不存在, 说明理由．20. 已知 ，求 的值.21. 设函数 满足：对任意实数 都有 ，且当 时， .(1) 证明： 在 为减函数；又若 在 上总有 成立，试求 的最小值；(2) 设函数 ， 当 时，解关于 的不等式： .答案及解析部分1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.15.16.17.(1)(2)(3)18.(1)(2)19.(1)(2)20.21.(1)(2)第 11 页 共 11 页。

2023-2024学年重庆市三高一上册期末数学试题一、单选题1．设角θ的终边过点()1,2-，则tan θ=（）A ．12B ．2C ．-2D ．12-【正确答案】C【分析】利用正切函数定义即可求得其结果.【详解】由三角函数的定义将坐标数值代入可知，2tan 21y x θ===--.故选：C2．用二分法求方程383x x =-在()1,2内的近似解时，记()338x f x x =+-，若(1)0f <，(1.25)0f <，(1.5)0f >，(1.75)0f >，据此判断，方程的根应落在区间（）A ．(1,1.25)B ．(1.25,1.5)C ．(1.5,1.75)D ．(1.75,2)【正确答案】B【分析】由零点存在定理及单调性可得()f x 在(1.25,1.5)上有唯一零点，从而得到方程的根应落在(1.25,1.5)上.【详解】因为3x y =与38y x =-在R 上单调递增，所以()338x f x x =+-在R 上单调递增，因为(1.25)0f <，(1.5)0f >，所以()f x 在(1.25,1.5)上有唯一零点0x ，即003380xx +-=，故00383xx =-，所以方程的根落在区间(1.25,1.5)上，且为0x x =，对于ACD ，易知选项中的区间与(1.25,1.5)没有交集，故0x 不在ACD 选项中的区间上，故ACD 错误；对于B ，显然满足题意，故B 正确.故选：B.3．已知扇形的圆心角为60︒，面积为6π，则该扇形的半径为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【正确答案】A利用扇形面积公式212S r α=计算即可.【详解】由题知：22112236S r r ππα==⨯=，故1r =.故选：A本题主要考查扇形面积公式，熟记公式为解题的关键，属于简单题.4．“01x <<”是“2log (1)1x +<”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【正确答案】A【分析】根据2log (1)111x x +<⇔-<<以及充分不必要条件的定义可得.【详解】因为2log (1)111x x +<⇔-<<，所以(0,1)(1,1)-,所以01x <<”是“2log (1)1x +<”的充分不必要条件.故选A ．本题考查了对数不等式以及充分必要条件,属基础题.5）A ．-1B ．1C ．sin10︒D ．cos10︒【正确答案】B【分析】利用平方关系化简即可.【详解】解：因为0sin10cos10︒︒<<，|cos10sin10|cos10sin101cos10sin10cos10sin10︒︒︒︒︒︒︒︒-====---.故选：B.6．关于x 的方程2220x mx m m -+-=有两个正的实数根，则实数m 的取值范围是（）.A ．0m >B ．0m ≥C ．m 1≥D ．1m >【正确答案】D由已知可得判别式△0、对应的二次函数满足(0)0f >，即可求出m 的范围．【详解】解： 方程2220x mx m m -+-=有两个实数根，∴△2244()0m m m =--，0m ∴，x 的方程2220x mx m m -+-=有两个正的实数根，对应的二次函数22()2f x x mx m m=-+-的开口向上，对称轴0x m =≥所以(0)0f >，可得20m m ->，0m ∴<或1m >，1m ∴>，故选：D ．本题考查一元二次方程的根；熟练掌握一元二次方程中判别式确定根的存在，再由两根都是正数，结合根与系数的关系求解是解题的关键．7．已知函数251()log 82f x x mx ⎛⎫⎪⎝=-+⎭+在[]22-,上单调递增，则m 的取值范围是（）A ．()2,3B ．[)2,+∞C ．[]2,3D ．[)2,3【正确答案】D【分析】根据对数函数定义域以及复合函数单调性即可求得参数m 的取值范围.【详解】由题意可知，函数251()log 82f x x mx ⎛⎫⎪⎝=-+⎭+是由函数5)()lo (g f x g x =和函数2182()g x x mx -++=复合而成；由复合函数单调性可得，2182()g x x mx -++=在[]22-,上单调递增，且由对数函数定义域可得()g x 在[]22-,上的值域是()0,∞+的子集；所以需满足()22122122802m m ⎧-≥⎪⎛⎫⨯-⎪ ⎪⎨⎝⎭⎪⎪-⨯--+>⎩，解得23m ≤<.故选：D8．设函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R 恒有()()11f x f x +=-，已知当[]0,1x ∈时，()12x f x -=，若32a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()30.5b f -=，()60.7c f =，则a ，b ，c 的大小关系是（）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．c b a>>【正确答案】B【分析】根据已知条件()()11f x f x +=-，可以求得函数的对称轴，利用对称轴将,a b 转化到已知条件所给的区间里面，在利用函数的单调性进行比较大小即可.【详解】由题可知()y f x =图像关于0x =和1x =对称当[]0,1x ∈时，()12x f x -=为增函数，可得3122a f f ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()()30.580b f f f -===由于6330.70.490.50.5=<<即600.70.5<<∴()()()600.70.5f f f <<，即a c b>>故选：B二、多选题9．下列给出的各角中，与2π3-终边相同的角有（）A ．4π3B ．8π3-C ．7π3D ．16π3【正确答案】ABD【分析】根据终边相同的角的定义逐一验证即可判断出选项.【详解】由题意可知，与2π3-终边相同的角的集合为2π2π,Z 3k k αα⎧⎫=-+∈⎨⎬⎩⎭|，由此可得，1k =时，4π3α=，即A 正确；1k =-时，8π3α=-，即B 正确；7π3α=时，32k =∉Z ，所以C 错误；3k =时，16π3α=，即D 正确；故选：ABD10．给出的下列命题中，正确的命题有（）A ．若a b >，则11a b<．B ．命题Z x ∀∈，1Z 2x +∉的否定为：0Z x ∃∈，01Z 2x +∈．C ．若sin 0α<，tan 0α>，则角α的终边在第三象限．D ．若θ是第二象限角，则2θ是第一象限角．【正确答案】BC【分析】利用特殊值代入可判断A 错误；根据含有一个量词命题的否定即可得B 正确；由三角函数值的符号可判断出角所在的象限，可知C 正确；由θ的范围可确定2θ是第一或第三象限角，可知D 错误.【详解】对于A ，取1,1a b ==-可知1111a b=>=-，所以A 错误；对于B ，根据含有一个量词命题的否定可知，命题Z x ∀∈，1Z 2x +∉的否定为0Z x ∃∈，01Z 2x +∈，所以B 正确；对于C ，由sin 0α<可得α为第三象限或第四象限角，tan 0α>可知α为第一象限或第三象限角，所以角α的终边在第三象限，选项C 正确；对于D ，若θ是第二象限角，即π2ππ2π,Z 2k k k θ++∈<<，则ππππ,Z 422k k k θ++∈<<，所以2θ是第一象限或第三象限角，所以D 错误.故选：BC11．设2{|8150}A x x x =-+=，{|10}B x ax =-=，若A B B = ，则实数a 的值可以为（）A ．15B ．0C ．3D ．13【正确答案】ABD【分析】先将集合A 表示出来，由A B B = 可得B A ⊆，则根据集合A 中的元素讨论即可求出a 的值.【详解】集合2{|8150}{3,5}A x x x =-+==，由A B B = 可得B A ⊆，则分B =∅和{3}=B 或{5}或{3,5}，当B =∅时，满足0a =即可；当{3}=B 时，满足310a -=，解得：13a =；当{5}B =时，满足510a -=，解得：15a =；当{3,5}B =时，显然不符合条件，所以a 的值可以为110,,35，故选.ABD12．下列命题中不正确的有（）A ．已知幂函数()()211m f x m x --=+在()0,∞+上单调递减则0m =或2m =-．B ．函数()221xf x x =+的值域为[]1,1-．C ．已知函数()31ln 1x f x x x +⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭，若()210f a ->，则a 的取值范围为1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．已知函数()f x 满足()()2f x f x -+=，()1x g x x+=，且()f x 与()g x 的图像的交点为()()()112233,,,x y x y x y ，则128128x x x y y y ++++++ 的值为8．【正确答案】AC【分析】选项A 利用幂函数的定义及性质判断即可；选项B 利用转化法求函数的值域；选项C 利用函数的奇偶性与单调性解不等式；D 选项利用函数的对称性求解即可.【详解】A ：因为()f x 是幂函数，所以()211m +=，所以0m =或2m =-，又()f x 在()0,∞+上递减，所以0m =，故不正确，B ：因为211x +≥，所以由()221x y f x x ==+，则()221220y x x x y x y +=⇒-+=，方程有解则：()22240111y y y y ∆=--⋅≥⇒≤⇒-≤≤，所以函数的值域为：[]1,1-，故正确；C ：由函数()31ln 1x f x x x +⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭的定义域为()1,1-，且()()()1333111ln ln ln 111x x x f x x x x f xx x x --++⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-+=--=- ⎪ ⎪ ⎪+--⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以()f x 为奇函数，由31,ln 1x y x y x +⎛⎫== ⎪-⎝⎭在()1,1-上单调递增，所以()f x 在()1,1-上单调递增，由()()2100f a f ->=得：0211a <-<，解得1,12a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故错误，D ：由函数()f x 满足()()2f x f x -+=，()111x g x x x+==+，所以()f x 与()g x 都关于()0,1对称，所以12812804248x x x y y y ++++++=⨯+⨯= ，故正确，故选：AC ．三、填空题13．函数1()1x f x a +=-（0a >且1a ≠）的图象过定点___________.【正确答案】(1,0)-【分析】由()10f -=可得图像所过的定点.【详解】当=1x -时，()0f x =，故()f x 的图像过定点()1,0-.填()1,0-.所谓含参数的函数的图像过定点，是指若()0f x 是与参数无关的常数，则函数的图像必过()()0,x f x .我们也可以根据图像的平移把复杂函数的图像所过的定点归结为常见函数的图像所过的定点（两个定点之间有平移关系）.14．若1x >，则141x x +-的最小值是___________.【正确答案】8.先判断4(1)0x ->和101x >-，再根据基本不等式求141x x +-的最小值即可.【详解】解：因为1x >，所以4(1)0x ->，101x >-，所以1144(1)44811x x x x +=-++≥=--当且仅当14(1)1x x -=-即32x =时，取等号，所以141x x +-的最小值是8.故8本题考查利用基本不等式求最值，是基础题.15．已知cos 63πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，且0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则5sin 6πθ⎛⎫-=⎪⎝⎭______．【分析】根据已知结合同角三角函数关系得出sin 63πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，将5sin sin 66ππθπθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，根据诱导公式即可得出5sin sin 66ππθθ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即可得出答案.【详解】cos 6πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ ，且0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，sin 63πθ⎛⎫+== ⎪⎝⎭∴，5sin sin sin 6663πππθπθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦故答案为16．已知函数()12,02,0x x x f x x +⎧-≥=⎨<⎩若123x x x <<，且()()()123f x f x f x ==，则()2123x f x x x +的取值范围是____________．【正确答案】10,4⎛⎤⎥⎝⎦【分析】画出函数()f x 的图象，并根据方程根的个数确定每个根对应的取值范围，即可求得表达式()2123x f x x x +的取值范围【详解】画出函数()f x的图象如下：观察图象由对称性可得2322x x +=，即234x x +=又202x <<，()()12f x f x =，则()()()()2212222222232024442x f x x f x x x x x x x x -===-+<<+令()2202(),4x xg x x =-<<+，由二次函数图象可知，max 111()(1)424g x g ==-+=，()(0)0g x g >=，∴()2123x f x x x +的取值范围为10,4⎛⎤⎥⎝⎦.故10,4⎛⎤ ⎥⎝⎦四、解答题17．求值：(1)22log 33582lg 2lg 22+--(2)已知1tan 2θ=，求()()2sin 2πcos πππcos 3sin 22θθθθ-+-⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值【正确答案】(1)6(2)45【分析】（1）根据指数运算公式和对数运算公式求解即可；（2）根据诱导公式和同角三角函数之间的基本关系化简求值即可．【详解】（1）()()3322log 3log 3333582lg 2lg 222lg 5lg 22lg 22+--=+---()223lg5lg 22lg 27lg5lg 2=+-+-=-+716=-=（2）利用诱导公式可得，原式2sin cos 2tan 14sin 3cos tan 35θθθθθθ----===--18．已知函数()f x =的定义域为A .(1)求A ；(2)设集合3521122x x aB x --⎧⎫⎪⎪⎛⎫⎛⎫=<⎨⎬ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎩⎭，若A B ⋂=∅，求实数a 的取值范围.【正确答案】(1)()1,2A =-(2)(],3-∞【分析】(1)由函数()f x 的解析式有意义列不等式可求函数的定义域A ；(2)根据指数函数的单调性化简集合B ，结合关系A B ⋂=∅列不等式求a 的取值范围.【详解】（1）由()lg 1f x +=1020x x +>⎧⎨-+>⎩得12x -<<，∴函数()f x =的定义域为()1,2-，即()1,2A =-；（2）因为函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在()-∞+∞，上单调递减，所以3521122x x a--⎛⎫⎛⎫< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭可化为352x x a ->-，所以5>-x a ，所以集合{5}B xx a =>-∣，又(),1,2A B A ⋂=∅=-，所以52a -≥，即3a ≤，所以实数a 的取值范围(],3-∞.19．已知定义在R 上的函数()f x ，满足()226f x x x -=--.(1)求()f x 的解析式.(2)若()f x 在区间[],2t t +上的最小值为6，求实数t 的值.【正确答案】(1)()234f x x x =--(2)4t =-或5.【分析】（1）利用换元法求解即可；（2）因函数()f x 对称轴为32x =，讨论对称轴与区间[],2t t +关系可知函数单调性，从而求得函数()min f x ，建立方程求解即可.【详解】（1）由()226f x x x -=--，x ∈R令2x k -=，即2x k =-，R k ∈，则()()()2222634f k k k k k =----=--，R k ∈，所以()234f x x x =--.（2）函数()234f x x x =--对称轴为32x =，当322+≤t ，即12t ≤-时，函数()f x 在[],2t t +上单调递减，则此时，()()()()2min 223246f x f t t t =+=+-+-=，解得4t =-或3t =（舍去）.当322<<+t t ，即1322-<<t 时，函数()f x 在3,2t ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在3,22t ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦上单调递增，则此时，()2min333253462224f x f ⎛⎫⎛⎫==-⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，不符合题意.当32t >时，函数()f x 在[],2t t +上单调递增，则此时，()()2min 346f x f t t t ==--=，解得2t =-（舍去）或5t =.综上所述，4t =-或5.20．北京2022冬奥会已于2月4日开幕，“冬奥热”在国民中迅速升温，与冬奥会相关的周边产品也销量上涨.因可爱而闻名的冰墩墩更是成为世界顶流，在国内外深受大家追捧.对某商户所售的冰墩墩在过去的一个月内（以30天计）的销售情况进行调查发现：冰墩墩的日销售单价()P x （元/套）与时间x （被调查的一个月内的第x 天）的函数关系近似满足()2000P x =+0k >），冰墩墩的日销量()Q x （套）与时间x 的部分数据如表所示：x 381524()Q x （套）12131415已知第24天该商品日销售收入为32400元，现有以下三种函数模型供选择：①()x Q x ta b =+，②()2(16)Q x p x q =-+，③()Q x n=+(1)选出你认为最合适的一种函数模型，来描述销售量与时间的关系，并说明理由；(2)根据你选择的模型，预估该商品的日销售收入()f x 130x ≤≤x +∈N 在哪天达到最低．【正确答案】(1)模型③最合适，理由见解析；(2)第3天达到最低.【分析】（1）结合表中数据及其增速较慢的特点，分别对指数型、二次函数型、幂函数型三种函数模型进行分析，即可选出最合适的一种函数模型；（2）由表中数据和第24天日销售收入，分别求出第（1）问中选择的()Q x 模型和()P x 中的参数，代入()()()f x P x Q x =，化简后使用基本不等式求解.【详解】（1）模型③最合适，理由如下：对于模型①()x Q x ta b =+，为指数型函数模型，表格中()Q x 对应的数据递增的速度较慢，故模型①不合适；对于模型②()2(16)Q x p x q =-+，为二次函数模型，其图象关于直线16x =对称，有()()824Q Q =，与表中数据不符，故模型②不合适；对于模型③()Q x n =，幂函数型增长模型满足表格中()Q x 对应数据较慢的递增速度，将表中数据()3,12，()8,13代入模型③，有()()312813Q n Q n ⎧==⎪⎨==⎪⎩212313m n m n +=⎧⇒⎨+=⎩，解得110m n =⎧⎨=⎩，∴()10Q x =+，经验证()151014Q ==，()241015Q =+=均满足表中数据，因此，使用模型③来描述销售量与时间的关系最合适.（2）∵第24天冰墩墩的日销售单价()()20002000524P k P x ==+（元/套），∴第24天的日销售收入为()()2424200015324005k P Q ⎛⎫⨯=+⨯= ⎪⎝⎭（元），∴800k =，∴()2000P x =由（1）所选模型③，当130x ≤≤且x +∈N 时，()()())001200f x P x x Q ⎛ ⎝==2080020+=20800≥+2080024000=+⨯28800=（元）当且仅当200=3x =时，等号成立，∴在第3天时，该商品的日销售收入()f x 达到最低28800元.21．已知()()21R 21x x f x x -=∈+(1)判断函数()f x 的单调性，并用定义证明之．(2)解关于t 的不等式()()2320f t f t -+<．【正确答案】(1)函数()f x 在R 上单调递增，证明见解析(2){}31t t -<<【分析】（1）由题意可知，对函数进行分离常数可判断其单调性并用单调性的定义证明即可；（2）根据函数的奇偶性和单调性即可对不等式进行求解．【详解】（1）由题意()21212121x x x f x -==-++，函数()21x h x =+在R 上是增函数，所以函数()f x 在R 上是增函数．证明如下：在R 上任取12,x x 且12x x <，所以()()()()()121212122222211,21212121x x x x x x f x f x -⎛⎫⎛⎫-=---= ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭由12x x <可知12022x x <<，所以12220x x -<，1210x +>，2210x +>，所以()()120f x f x -<，即()()12f x f x <．即()f x 在R 上单调递增．（2）易知()()21122112x xx x f x f x -----===-++，所以函数()f x 为奇函数；由（1）知，函数()f x 是R 上的增函数，由()()2320f t f t -+<可得()()()2322f t f t f t -<-=-，所以232t t -<-，即2230t t +-<，解得31t -<<，即关于t 的不等式()()2320f t f t -+<的解集为{}31t t -<<22．已知函数1()ln1kx f x x -=+为奇函数．（1）求实数k 的值；（2）若对任意[3,5]x ∈都有()3f x t >-成立，求t 的取值范围；（3）若存在,(1,)αβ∈+∞，且αβ<，使得函数()f x 在区间[,]αβ上的值域为ln ,ln 22m m m m αβ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，求实数m 的取值范围．【正确答案】（1）1k =；（2）(),3ln 2-∞-；（3）209m <<.（1）根据函数奇函数的定义和条件()()0f x f x +-=，求出k 的值之后再验证是否满足函数的定义域关于原点对称即可；（2）根据复合函数单调性法则，可以判断出函数在给定区间上的单调性，之后将恒成立问题转化为最值处理；（3）假设存在,αβ，使得函数()f x 在区间[],αβ上的值域为ln ,ln 22m m m m αβ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，由()f x 在()1,+¥上递增，方程211022m m mx x ⎛⎫--+-= ⎪⎝⎭在()1,+¥上有两个不等实根，可得m 的不等式组，解不等式即可得到实数m 的取值范围，即可得到判断存在性.【详解】（1）因为函数()1ln 1kx f x x -=+为奇函数，所以()()0f x f x +-=，即()()()()22211111ln ln ln ln 011111kx kx kx kx k x x x x x x -------+===+-++-+-对定义域内任意x 恒成立，所以21k =，即1k =±，显然1k ≠-，又当1k =时，1()ln 1x f x x -=+的定义域关于原点对称．所以1k =为满足题意的值．（2）由（1）知()1ln1x f x x -=+，其定义域为()(),11,-∞-⋃+∞，()12ln ln(111x f x x x -==-++可以判断出()f x 在()1,+¥上为增函数．所以()f x 在()3,5上为增函数，对任意[3,5]x ∈都有()3f x t >-成立，则有min ()3f x t >-，所以31(3)ln 331f t -=>-+，所以3ln 2t <-，所以求t 的取值范围为(),3ln 2-∞-；（3）由（2）知()f x 在()1,+¥上为增函数，又因为函数()f x 在[],αβ上的值域为11ln ,ln 22m m αβ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以0m >，且1ln ln ,121ln ln 12m m m m αααβββ⎧-⎛⎫=- ⎪⎪+⎝⎭⎪⎨-⎛⎫⎪=- ⎪⎪+⎝⎭⎩，所以1,12112m m m m αααβββ-⎧=-⎪+⎪⎨-⎪=-+⎪⎩，即,αβ是方程112x m mx x -=-+的两实根，问题等价于方程211022m m mx x ⎛⎫--+-= ⎪⎝⎭在()1,+¥上有两个不等实根，令()21122m m h x mx x ⎛⎫=--+- ⎪⎝⎭，对称轴1124x m =-则21124(1)4(1)022(1)00m m m m m h m m >⎧⎪⎪->⎪⎪⎪∆=--->⎨⎪=>⎪⎪⎪⎪⎩，即25229mmm m⎧⎪>⎪⎪<<⎨⎪⎪><⎪⎩或，解得29m<<．关键点点睛：本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用、函数和方程的转化以及一元二次方程在给定区间上解的问题，根据函数奇偶性和单调性的定义确定函数性质是解决本题的关键.。