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导数在研究函数问题中的应用之“零点偏移”专题苏州工业园区星海实验中学 黄志诚学习目标：1．了解零点偏移问题的起源与变化；2．理解零点偏移问题的解决方法，体会方法产生的思路；3．体会数学问题解决的转化与化归思想．学习难点：1．零点偏移问题解决方法的理解；2．初步形成数学问题解决的转化与化归思想．学习过程：一、问题的产生问题溯源：【2021年高考天津卷理科第21题节选】已知函数()()eR x f x x x -=∈． （1）求函数()f x 的单调区间和极值；（3）如果12x x ≠，且()()12f x f x =，证明：122x x +>．设计意图：1以高考题为问题研究的出发点，激发学生对此类问题的研究兴趣；2“零点偏移”问题的函数背景很丰富，比较经典的是指数型与对数型，且可以相互转化，但是指数关系相对容易解决．问题1：你能作出()()eR x f x x x -=∈的草图吗？问题2：12,x x 与函数()()eR x f x x x -=∈的关系是什么？问题3：12,x x 与函数()()eR x f x x x -=∈的极值点的大小有何关系？问题4：你能结合问题2、3从图形角度阐述对122x x +>的理解吗？问题5：作出()()11A x f x ，关于1x =的对称点'A ，结合图像，你能解释“零点偏移”的意义吗？问题6：比较'A 与()()22B x f x ，的位置关系．如何将“零点偏移”的“形”向“数”进行转化？设计意图：以问题串为向导，引导学生研究函数图象，从形上直观理解，再以数方式进行刻画，将问题显性化，通过数形结合打通思维难点，优化思维方式，帮助学生解决问题．二、问题的解决思路一：从“形”到“数”解题路径设计意图：让学生结合例题求解过程，自我总结，反思并总结出问题解决的一般思路．以此促进学生对问题的反思，并培养学生自我表征数学，将思维过程显性化的能力．穿个马甲：变题1：如果12x x ≠，且()()12f x f x =，证明：12'02x x f +⎛⎫<⎪⎝⎭．穿个外套：变题2：对于函数()e x f x x a =-若与x 轴有两个交点()1,0,A x ()2,0B x ，线段AB 中点()0,0M x ，证明：01x >．设计意图：从问题与条件两个角度进行变式训练，让学生在问题的最近发展区回眸到原题，透过表象看到问题的本质，弱化对问题的恐惧感，提高问题解决能力．变脸：变题3：已知函数()1ln 0e f x x ax a ⎛⎫=-<<⎪⎝⎭有两个零点12x x ，，证明：212e x x >．变题4：已知函数()1ln 0e f x x ax a ⎛⎫=-<<⎪⎝⎭有两个零点12x x ，，证明：122e x x +>．思路二：从多变量向单变量的解题路径设计意图：常见的另一种函数背景“对数型”问题展示，与“指数型”问题对比解决，在相似中找不同，在不同中求共性．同时引入双变量问题解决策略，引导学生自我总结方法，理清思路．三、小试牛刀 【2021年苏州一模第2021已知函数()()ln 1f x x k x =--，若12x x <且()()12f x f x =，求证：212e k x x <．设计意图：用“本土”问题引起学生的共鸣，增加对问题的熟悉度，强化问题解决．四、实战演练【2021年全国卷I 第21题】已知函数2)1(2)(-+-=x a e x x f x ）（有两个零点．（1）求a 的取值范围；（2）设12,x x 是的两个零点，证明：122x x +<．设计意图：再次以高考题作为课堂练习，与“问题溯源”遥相呼应，突出研究“零点偏移”问题的价值，强化解决问题的方法总结，并以此促进学生对高考试题、高考考试方向的思考与研究，提升分析、解决问题的能力．五、小结提升解题方法凝练方法一：利用数形结合，将图像特征转化为代数关系解决问题．方法二：多元问题解决思路：消元，终极目标单变量．数学思想升华数形结合定方向，问题转化谋解决；多元问题必消元，零点偏移小问题！六、课后训练【2021年江苏南通市二模第2021设函数()()e R xf x ax a a =-+∈，其图像与x 轴交于()1,0,A x ()2,0B x 两点，且12x x <．（1）求a 的取值范围；（2）证明：'0f <（()'f x 是函数()f x 的导函数）．。
1．3.3 最大值与最小值[对应学生用书P19]1．问题：如何确定你班哪位同学最高？提示：方法很多，可首先确定每个学习小组中最高的同学，再比较每组的最高的同学，便可确定班中最高的同学．2．如图为y＝f(x)，x∈[a，b]的图象．问题1：试说明y＝f(x)的极值．提示：f(x1)，f(x3)为函数的极大值，f(x2)，f(x4)为函数的极小值．问题2：你能说出y＝f(x)，x∈[a，b]的最值吗？提示：函数的最小值是f(a)，f(x2)，f(x4)中最小的，函数的最大值是f(b)，f(x1)，f(x3)中最大的．3．函数y＝g(x)，y＝h(x)在闭区间[a，b]的图象都是一条连续不断的曲线(如下图所示)．问题1：两函数的最大值和最小值分别是什么？提示：函数y＝g(x)的最大值为g(a)，最小值是其极小值g(c)；函数y＝h(x)的最大值为h(b)，最大值为h(a)．问题2：函数的最大值和最小值是否都在区间的端点处取得？提示：不一定．问题3：函数的极值与函数的最值是同一个问题吗？提示：不是．1．最大值与最小值(1)如果在函数定义域I内存在x0，使得对任意的x∈I，总有f(x)≤f(x0)，则称f(x0)为函数在定义域上的最大值．最大值是相对函数定义域整体而言的，如果存在最大值，那么最大值惟一．(2)如果在函数定义域I内存在x0，使得对任意的x∈I，总有f(x)≥f(x0)，则称f(x0)为函数在定义域上的最小值．最小值是相对函数定义域整体而言的，如果存在最小值，那么最小值惟一．2．求f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值的步骤(1)求f(x)在区间(a，b)上的极值；(2)将第(1)步中求得的极值与f(a)，f(b)比较，得到f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值．1．函数的最值是一个整体性的概念．函数极值是在局部上对函数值的比较，具有相对性；而函数的最值则是表示函数在整个定义域上的情况，是对整个区间上的函数值的比较．2．函数在一个闭区间上若存在最大值或最小值，则最大值或最小值只能各有一个，具有惟一性，而极大值和极小值可能多于一个，也可能没有，例如：常数函数就既没有极大值也没有极小值．3．极值只能在区间内取得，最值则可以在端点处取得，有极值的不一定有最值，有最值的也未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点处取必定是极值．[对应学生用书P19][例1][思路点拨]求f x→令f x＝0得到相应的x的值→列表→确定函数取极值的点→求极值与端点处的函数值→比较大小确定最值[精解详析] f′(x)＝－4x3＋4x，令f′(x)＝－4x(x＋1)(x－1)＝0，得x＝－1，x＝0，x＝1.当x变化时，f′(x)及f(x)的变化情况如下表：所以当x＝－3时，f(x)取最小值－60；当x＝－1或x＝1时，f(x)取最大值4.[一点通] 求函数的最值需要注意的问题：(1)用导数求函数的最值与求函数的极值方法类似，在给定区间是闭区间时，极值要和区间端点的函数值进行比较，并且要注意取极值的点是否在区间内；(2)当函数多项式的次数大于2或用传统方法不易求解时，可考虑用导数的方法求解．1．已知函数f(x)＝x3－12x＋8在区间[－3,3]上的最大值与最小值分别为M，m.则M－m＝________.解析：令f′(x)＝3x2－12＝0，解得x＝±2.计算f(－3)＝17，f(－2)＝24，f(2)＝－8，f(3)＝－1，所以M＝24，m＝－8，故M－m＝32.答案：322．求函数f(x)＝e x(3－x2)在区间[2,5]上的最值．解：∵f(x)＝3e x－e x x2，∴f′(x)＝3e x－(e x x2＋2e x x)＝－e x(x2＋2x－3)＝－e x(x＋3)(x－1)，∵在区间[2,5]上，f′(x)＝－e x(x＋3)(x－1)<0，即函数f(x)在区间[2,5]上是单调递减函数，∴x＝2时，函数f(x)取得最大值f(2)＝－e2；x ＝5时，函数f (x )取得最小值f (5)＝－22e 5.[例2] 3，最小值为－29，求a ，b 的值．[思路点拨] 根据导数与单调性之间的关系求解，由于f (x )既有最大值，又有最小值，因此a ≠0，要注意对参数的取值情况进行讨论．[精解详析] 由题设知a ≠0，否则f (x )＝b 为常数函数，与题设矛盾． 取导得f ′(x )＝3ax 2－12ax ＝3ax (x －4)． 令f ′(x )＝0，得x 1＝0，x 2＝4(舍)． (1)∵当a ＞0时，如下表：∴当x ＝0时，f (x )取得最大值，f (0)＝3，∴b ＝3. 又f (－1)＝－7a ＋3＞f (2)＝－16a ＋3， ∴最小值f (2)＝－16a ＋3＝－29，a ＝2. (2)∵当a ＜0时，如下表：∴当x ＝0时，f (x )取得最小值， ∴b ＝－29.又f (－1)＝－7a －29＜f (2)＝－16a －29， ∴最大值f (2)＝－16a －29＝3，a ＝－2.综上，⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－29.[一点通] 解决由函数的最值来确定参数问题的关键是利用函数的单调性确定某些极值就是函数的最值，同时由于系数a 的符号对函数的单调性有直接的影响，其最值也受a的符号的影响，因此，需要进行分类讨论．本题是运用最值的定义，从逆向出发，由已知向未知转化，通过待定系数法，列出相应的方程，从而得出参数的值．3．已知函数f (x )＝12x 2－a ln x ，a ∈R .(1)若a ＝2，求函数在点(1，f (1))处的切线方程； (2)求f (x )在区间[1，e]上的最小值． 解：(1)a ＝2时，f (x )＝12x 2－2ln x ，f (1)＝12，f ′(x )＝x －2x，f ′(1)＝－1，故切线方程为y －12＝－(x －1)，即2x ＋2y －3＝0.(2)依题意，x ＞0，f ′(x )＝x －a x ＝1x(x 2－a )，①a ≤1时，因为x ∈[1，e]，1≤x 2≤e 2，所以f ′(x )≥0(当且仅当x ＝a ＝1时等号成立)，所以f (x )在区间[1，e]上单调递增，最小值为f (1)＝12.②a ≥e 2时，因为1≤x 2≤e 2，所以f ′(x )≤0(当且仅当x ＝e ，a ＝e 2时等号成立)，所以f (x )在区间[1，e]上单调递减，最小值为f (e)＝12e 2－a .③1＜a ＜e 2时，解f ′(x )＝1x(x 2－a )＝0得x ＝±a (负值舍去)，f ′(x )的符号和f (x )的单调性如下表：f (x )在区间[1，e]上的最小值为f ()a ＝12a －12a ln a .综上所述，a ≤1时，f (x )的最小值为f (1)＝12；1＜a ＜e 2时，f (x )的最小值为f ()a ＝12a －12a ln a ；a ≥e 2时，f (x )的最小值为f (e)＝12e 2－a .4．已知函数f (x )＝ax 2＋1(a >0)，g (x )＝x 3＋bx .(1)若曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )在它们的交点(1，c )处具有公共切线，求a ，b 的值； (2)当a ＝3，b ＝－9时，若函数f (x )＋g (x )在区间[k,2]上的最大值为28，求k 的取值范围．解：(1)f ′(x )＝2ax ，g ′(x )＝3x 2＋b .因为曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )在它们的交点(1，c )处具有公共切线，所以f (1)＝g (1)，且f ′(1)＝g ′(1)，即a ＋1＝1＋b ，且2a ＝3＋b ， 解得a ＝3，b ＝3.(2)记h (x )＝f (x )＋g (x )，当a ＝3，b ＝－9时，h (x )＝x 3＋3x 2－9x ＋1， h ′(x )＝3x 2＋6x －9.令h ′(x )＝0，得x 1＝－3，x 2＝1.h (x )与h ′(x )在(－∞，2]上的变化情况如下：由此可知：当k ≤－3时，函数h (x )在区间[k,2]上的最大值为h (－3)＝28； 当－3<k <2时，函数h (x )在区间[k,2]上的最大值小于28. 因此，k 的取值范围是(－∞，－3]．[例3] (1)求f (x )的最小值h (t )；(2)若h (t )<－2t ＋m ，对t ∈(0,2)恒成立，求实数m 的取值范围． [思路点拨] (1)可通过配方求函数f (x )的最小值；(2)h (t )<－2t ＋m ，即m >h (t )＋2t 恒成立，从而可转化为求h (t )＋2t 的最大值问题解决．[精解详析] (1)∵f (x )＝t (x ＋t )2－t 3＋t －1(x ∈R ，t >0)，∴当x ＝－t 时，f (x )取得最小值f (－t )＝－t 3＋t －1，即h (t )＝－t 3＋t －1. (2)令g (t )＝h (t )＋2t ＝－t 3＋3t －1. 则g ′(t )＝－3t 2＋3＝－3(t －1)(t ＋1)． 令g ′(t )＝0，得t 1＝1，t 2＝－1(舍去)． 列表：由表可知，g (t )在(0,2)内有最大值1.∵h (t )<－2t ＋m 在(0,2)恒成立等价于m >g (t )在(0,2)内恒成立． ∴m >1.即实数m 的取值范围是(1，＋∞)．[一点通] 有关恒成立问题，一般是转化为求函数的最值问题．求解时要确定这个函数，看哪一个变量的范围已知，即函数是以已知范围的变量为自变量的函数．一般地，λ≥f (x )恒成立⇔λ≥[f (x )]max ；λ≤f (x )恒成立⇔λ≤[f (x )]min .5．已知g (x )＝ln x －a ，若g (x )<x 2在(0，e]上恒成立，求a 的取值范围． 解：g (x )<x 2即ln x －a <x 2，所以a >ln x －x 2，故g (x )<x 2在(0，e]上恒成立也就是a >ln x －x 2在(0，e]上恒成立． 设h (x )＝ln x －x 2，则h ′(x )＝1x －2x ＝1－2x 2x，由h ′(x )＝0及0<x ≤e 得x ＝22. 当0<x <22时h ′(x )>0，当22<x ≤e 时h ′(x )<0， 即h (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22上为增函数，在⎝ ⎛⎦⎥⎤22，e 上为减函数， 所以当x ＝22时h (x )取得最大值为h ⎝ ⎛⎭⎪⎫22＝ln 22－12. 所以g (x )<x 2在(0，e]上恒成立时，a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫ln22－12，＋∞. 6．设函数f (x )＝e x－ax －2. (1)求f (x )的单调区间；(2)若a ＝1，k 为整数，且当x >0时，(x －k )f ′(x )＋x ＋1>0，求k 的最大值． 解：(1)f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，f ′(x )＝e x－a . 若a ≤0，则f ′(x )>0，所以f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增． 若a >0，则当x ∈(－∞，ln a )时，f ′(x )<0； 当x ∈(ln a ，＋∞)时，f ′(x )>0， 所以，f (x )在(－∞，ln a )上单调递减， 在(ln a ，＋∞)上单调递增． (2)由于a ＝1，所以(x －k )f ′(x )＋x ＋1＝(x －k )(e x－1)＋x ＋1. 故当x >0时，(x －k )f ′(x )＋x ＋1>0等价于k <x ＋1e x－1＋x (x >0)．① 令g (x )＝x ＋1e x －1＋x ，则g ′(x )＝－x e x－1x －2＋1＝exx －x －x－2. 由(1)知，函数h (x )＝e x－x －2在(0，＋∞)上单调递增．而h (1)<0，h (2)>0，所以h (x )在(0，＋∞)上存在惟一的零点．故g ′(x )在(0，＋∞)上存在惟一的零点．设此零点为α，则α∈(1,2)．当x ∈(0，α)时，g ′(x )<0；当x ∈(α，＋∞)时，g ′(x )>0.所以g (x )在(0，＋∞)上的最小值为g (α)．又由g ′(α)＝0，可得e α＝α＋2，所以g (α)＝α＋1∈(2,3)． 由于①式等价于k <g (α)，故整数k 的最大值为2.1．函数的最大值与最小值：在闭区间[a ，b ]上连续的函数f (x )在[a ，b ]上必有最大值与最小值；但在开区间(a ，b )内连续的函数f (x )不一定有最大值与最小值．例如：函数f (x )＝1x在(0，＋∞)上连续，但没有最大值与最小值．2．设函数f (x )在[a ，b ]上连续，在(a ，b )内可导，求f (x )在[a ，b ]上的最大值和最小值的步骤如下(1)求f (x )在(a ，b ) 内的极值．(2)将f (x )的各极值与f (a )，f (b )比较，确定f (x )的最大值与最小值． 3．求实际问题的最大值(最小值)的方法在实际问题中，如果函数在区间内只有一个极值点，那么只要根据实际意义判定是最大值还是最小值即可，不必再与端点的函数值比较．[对应课时跟踪训练(八)]一、填空题1．函数f (x )＝x －sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π的最大值是________．解析：∵f (x )＝x －sin x ，∴f ′(x )＝1－cos x ≥0.∴函数f (x )＝x －sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π上为单调增函数， ∴当x ＝π时，f (x )取最大值π. 答案：π2. 函数y ＝ln xx的最大值为________．解析：y ′＝xx －ln x ·x ′x 2＝1－ln xx 2，令y ′＝0，则x ＝e.因此函数f (x )的最大值为f (e)＝1e .答案：1e3．函数f (x )＝x ·e －x，x ∈[0,4]的最小值为________． 解析：f ′(x )＝e －x－x ·e －x＝e －x(1－x )， 令f ′(x )＝0，得x ＝1.而f (0)＝0，f (1)＝1e ，f (4)＝4e 4.因此函数f (x )的最小值为0. 答案：04．已知函数y ＝－x 2－2x ＋3在[a,2]上的最大值为154，则a ＝________.解析：y ′＝－2x －2，令y ′＝0，得x ＝－1. 而f (－1)＝－1＋2＋3＝4≠154，∴a >－1. 而f (2)＝－4－4＋3＝－5， 因此f (a )＝－a 2－2a ＋3＝154，解得a ＝－32(舍去)或a ＝－12.答案：－125．函数f (x )＝ax 4－4ax 3＋b (a >0)在[1,4])上的最大值为3，最小值为－6，则a ＋b ＝________.解析：f ′(x )＝4ax 3－12ax 2(a >0，x ∈[1,4])．由f ′(x )＝0，得x ＝0(舍)，或x ＝3，可得x ＝3时，f (x )取到最小值为b －27a . 又f (1)＝b －3a ，f (4)＝b ， 因此f (4)为最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧b ＝3，b －27a ＝－6.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝13，b ＝3.所以a ＋b ＝103.答案：103二、解答题6．已知函数f (x )＝a ln x ＋1(a ＞0)．(1)若a ＝2，求函数f (x )在(e ，f (e))处的切线方程；(2)当x ＞0时，求证：f (x )－1≥a ⎝⎛⎭⎪⎫1－1x .解：(1)当a ＝2时，f (x )＝2ln x ＋1，f ′(x )＝2x ，f (e)＝3，k ＝f ′(e)＝2e， 所以函数f (x )在(e ，f (e))处的切线方程为 y －3＝2e(x －e)，即2x －e y ＋e ＝0. (2)令g (x )＝f (x )－1－a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x ＝a ln x －a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x (x ＞0)， 则g ′(x )＝a x －ax 2＝a x －x 2，由g ′(x )＝0，得x ＝1.当0＜x ＜1时，g ′(x )＜0，g (x )在(0,1)上单调递减；当x ＞1时，g ′(x )＞0，g (x )在(1，＋∞)上单调递增．所以g (x )在x ＝1处取得极小值，也是最小值．因此g (x )≥g (1)＝0，即f (x )－1≥a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x . 7．已知函数f (x )＝－x 3＋3x 2＋9x ＋a .(1)求f (x )的单调递减区间；(2)若f (x )在区间[－2,2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．解：(1)f ′(x )＝－3x 2＋6x ＋9＝－3(x 2－2x －3)＝－3(x ＋1)(x －3)．令f ′(x )<0，则－3(x ＋1)(x －3)<0，解得x <－1或x >3.∴函数f (x )的单调递减区间为(－∞，－1)，(3，＋∞)．(2)结合(1)，令f ′(x )＝0，得x ＝－1或x ＝3.又∵x ∈[－2,2]，∴x ＝－1.当－2<x <－1时，f ′(x )<0；当－1<x <2时，f ′(x )>0.∴x ＝－1是函数f (x )的极小值点，该极小值也就是函数f (x )在[－2,2]上的最小值， 即f (x )min ＝f (－1)＝a －5.又函数f (x )的区间端点值为f (2)＝－8＋12＋18＋a ＝a ＋22，f (－2)＝8＋12－18＋a ＝a ＋2.∵a ＋22>a ＋2，∴f (x )max ＝a ＋22＝20，∴a ＝－2.此时f (x )min ＝a －5＝－2－5＝－7.8．已知函数f (x )＝ax 4ln x ＋bx 4－c (x ＞0)在x ＝1处取得极值－3－c ，其中a ，b ，c 为常数．若对任意x ＞0，不等式f (x )≥－2c 2恒成立，求c 的取值范围．解：由题意知f (1)＝－3－c .因此b －c ＝－3－c ，从而b ＝－3.对f (x )求导，得f ′(x )＝4ax 3ln x ＋ax 4×1x＋4bx 3＝x 3(4a ln x ＋a ＋4b )． 由题意知f ′(1)＝0，得a ＋4b ＝0，解得a ＝12.因为f ′(x )＝48x 3ln x (x >0)，令f ′(x )＝0，解得x ＝1.当0<x <1时，f ′(x )<0，此时f (x )为减函数；当x >1时，f ′(x )>0，此时f (x )为增函数．所以f (x )在x ＝1处取得极小值f (1)＝－3－c ，并且此极小值也是最小值．所以要使f (x )≥－2c 2(x >0)恒成立，只需－3－c ≥－2c 2即可．整理得2c 2－c －3≥0，解得c ≥32或c ≤－1. 所以c 的取值范围为(－∞，－1]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞.。
极大值与极小值(2)教学过程一、问题情境问题1已知f(x)=x3-3x2-9x+11.(1) 写出函数f(x)的单调区间;(2) 讨论函数f(x)的极值.[规范板书]解f'(x)=3(x+1)(x-3),令f'(x)=0,得x1=-1,x2=3.(1) 单调递减区间为(-1,3),单调递增区间为(-∞,-1),(3,+∞).(2) 极大值为f(-1)=16,极小值为f(3)=-16.二、数学建构问题2你能作出上述函数f(x)=x3-3x2-9x+11的草图吗?[2]问题3你能从图上看出函数的哪些性质?[3]问题4你能对引例1进行变式,得到新的问题吗?[4]三、数学运用【例1】已知f(x)=x3-3x2-9x+11,设a为实数,函数g(x)=f(x)+a, 求a的取值范围,使曲线y=g(x)与x轴:(1) 有1个交点;(2) 恰有2个交点;(3) 有3个交点.(见学生用书P21)[处理建议]由学生讨论、研究,并适当地变题,呈现结论.[规范板书]解(1) 曲线y=g(x)与x轴仅有1个交点,即g(x)极小值>0,或者g(x)极大值<0,由问题1得-16+a>0或16+a<0,即a>16或a<-16.(2) a=±16.(3) -16<a<16.[题后反思]有效利用图形语言,并强调解题的规范性.【例2】若函数f(x)=x3-3x2-9x+11,根据下列条件,分别求实数t的取值范围:(1) f(x)在区间(t,t+2)上单调递减;(2) f(x)在区间(t,t+2)上单调递增.(见学生用书P22)[处理建议]先由学生口答,教师在学生中交流,了解学生的思考过程,投影学生的解题过程,纠正出现的错误.[规范板书]解(1) 由前知所以-1≤t≤1.(2) 由问题1知t≥3或t+2≤-1,即t≤-3或t≥3.[题后反思]若函数f(x)=x3-3x2-9x+11在区间(t,t+2)上不单调,你能否求出实数t的取值范围?*【例3】已知x=1是函数f(x)=mx3-3(m+1)x2+nx+1的一个极值点,其中m,n∈R,m≠0.(1) 求m与n的关系表达式;(2) 求f(x)的单调区间.[规范板书]解(1) f'(x)=3mx2-6(m+1)x+n,由f'(1)=0得n=3m+6.(2) 由(1)得f'(x)=3mx2-6(m+1)x+3m+6=3m(x-1).当m>0时,单调递增区间为(-∞,1),,单调递减区间为.当m<0时,单调递增区间为,单调递减区间为,(1,+∞).[题后反思]此题是逆向思维题,已知极值求参数的值,解题时充分利用f'(x)=0,同时注意单调性对极值的限制.根据导数法解决函数的单调性和极值问题,具有一般性,解题时强调解题的规范性.*【例4】探究函数g(x)=-ax(x>0)的单调性和极值.[规范板书]解g'(x)=-a,x>0.当a≤0时,g'(x)>0,单调递增区间为(0,+∞),函数无极值;当a>0时,令g'(x)>0,即-a>0,解得0<x<;令g'(x)<0,即-a<0,解得x>.所以单调递增区间为,单调递减区间为.所以函数极大值为f=.四、课堂练习1.设a∈R,若函数y=e x+ax(x∈R)有大于0的极值点,则实数a的取值范围为(-∞,-1).2.若函数f(x)=-x3+ax2+1(a∈R)在(-2,3)内有2个不同的极值点,求实数a的取值范围.解f'(x)=-3x2+2ax.由题意知f'(x)在(-2,3)上有两个不同的实数解,解得a∈(-3,0)∪.五、课堂小结1.用导数处理函数极值中的参数讨论问题,主要有两类运用:一是对导数等于0的根的讨论,二是关于单调区间的判断的问题.2.注意领会分类讨论的思想、数形结合的思想、函数和方程的思想在解题中的灵活运用.。
1.3.2 极大值与极小值学习目标1．了解函数极值的概念，会从几何直观理解函数的极值与其导数的关系，并会灵活应用；2．了解函数在某点取得极值的充要条件——导数在极值点两侧异号；3．增强数形结合的思维意识，提高运用导数的基本思想去分析和解决实际问题的能力．学习重点正确理解函数极值的概念，学会用导数判别函数极值的方法并能灵活应用．学习难点正确掌握“点是极值点”的充要条件，灵活应用导数去解决有关函数极值方面的问题，并逐步养成用数形结合的思想方法去分析和解决问题的习惯．学习内容一、复习引入：1. 函数的导数与函数的单调性的关系：一般地,设函数y=f(x)在某个区间内可导，则函数在该区间：如果f′(x)>0，则f(x)为增函数；如果f′(x)<0，则f(x)为减函数。
2.用导数求函数单调区间的步骤：求出函数的导函数后，根据导数的符号写出单调区间.二、讲解新课：1．极大值与极小值的概念：极大值：一般地，设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点都有f(x)＜f(x0)，就说f(x0)是函数f(x)的一个极大值，记作y极大值= f(x0)，x0是极大值点.极小值：一般地，设函数f(x)在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f(x)＞f(x0).就说f(x0)是函数f(x)的一个极小值，记作y极小值= f (x0)，x0是极小值点. 2．极大值与导数的关系：3．极小值与导数的关系：4(1)确定函数的定义区间，求导数/()f x(2)求方程/()f x =0的根(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.检查/()f x 在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f (x )在这个根处无极值.三、典型例题例1．求函数31431)(3+-=x x x f 的极值． 解析详见课本P31.例2．求ex e y x -=的极值解析略提示：求导列表即可。
1.3.2极大值与极小值1．会求函数的极大值与极小值．(重点)2．掌握函数极大(小)值与导数的关系．(难点)3．理解函数在某点取得极值的充分条件和必要条件．(易错点)[基础·初探]教材整理1函数极大(小)值的概念阅读教材P30上半部分，完成下列问题．函数极大(小)值的概念设函数f(x)在x1附近有定义，且f(x1)比它附近点的函数值都要大，我们称f(x1)为函数f(x)的一个极大值；设函数f(x)在x2附近有定义，且f(x2)比它附近点的函数值都要小，我们称f(x2)为函数f(x)的一个极小值．函数的极大值、极小值统称为函数的极值．判断正误：(1)函数f(x)＝x3＋ax2－x＋1必有2个极值．()(2)在可导函数的极值点处，切线与x轴平行或重合．()(3)函数f(x)＝1x有极值．()【答案】(1)√(2)√(3)×教材整理2函数的极值与导数的关系阅读教材P30下半部分，完成下列问题．(1)极大值与导数之间的关系增减(2)减增函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图1-3-2所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点________个．图1-3-2【解析】由图象可知：导函数f(x)＝0有4个，但只有b附近的根满足根的左边为负值，右边为正值，故函数f(x)只有一个极值点．【答案】 1[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_______________________________________________解惑：_______________________________________________疑问2：_______________________________________________解惑：_______________________________________________疑问3：_______________________________________________解惑：_______________________________________________[小组合作型](1)f (x )＝x 2－2x －1； (2)f (x )＝x 44－23x 3＋x 22－6； (3)f (x )＝|x |.【自主解答】 (1)f ′(x )＝2x －2，令f ′(x )＝0，解得x ＝1. 因为当x <1时，f ′(x )<0， 当x >1时，f ′(x )>0， 所以函数在x ＝1处有极小值， 且y 极小值＝－2.(2)f ′(x )＝x 3－2x 2＋x ＝x (x 2－2x ＋1)＝x (x －1)2. 令f ′(x )＝0，解得x 1＝0，x 2＝1.所以当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：单调 递减单调 递增单调 递增极小值(3)f (x )＝|x |＝⎩⎨⎧x ，x ≥0，－x ，x <0.显然函数f (x )＝|x |在x ＝0处不可导， 当x >0时，f ′(x )＝x ′＝1>0， 函数f (x )＝|x |在(0，＋∞)内单调递增；当x<0时，f′(x)＝(－x)′＝－1<0，函数f(x)＝|x|在(－∞，0)内单调递减．故当x＝0时，函数取得极小值，且y极小值＝0.1．讨论函数的性质要注意定义域优先的原则．2．极值点与导数的关系(1)可导函数的极值点一定是导数值为0的点，导数值为0的点不一定是极值点．点x0是可导函数f(x)在区间(a，b)内的极值点的充要条件：①f′(x0)＝0；②点x0两侧f′(x)的符号不同．(2)不可导的点可能是极值点(如本例(3)中x＝0点)，也可能不是极值点(如y ＝x，在x＝0处不可导，在x＝0处也取不到极值)，所以函数的极值点可能是f′(x)＝0的根，也可能是不可导点．[再练一题]1．已知函数f(x)＝x2－2ln x，则f(x)的极小值是__________.【导学号：01580013】【解析】∵f′(x)＝2x－2 x，且函数定义域为(0，＋∞)，令f′(x)＝0，得x＝1或x＝－1(舍去)，当x∈(0,1)时，f′(x)<0，当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，∴当x＝1时，函数有极小值，极小值为f(1)＝1. 【答案】 1已知f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 在x ＝1与x ＝－23时都取得极值．(1)求a ，b 的值；(2)若f (－1)＝32，求f (x )的单调区间和极值．【精彩点拨】 (1)求导函数f ′(x )，则由x ＝1和x ＝－23是f ′(x )＝0的两根及根与系数的关系求出a ，b .(2)由f (－1)＝32求出c ，再列表求解． 【自主解答】 (1)f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，令f ′(x )＝0，由题设知x ＝1与x ＝－23为f ′(x )＝0的解． ∴⎩⎪⎨⎪⎧1－23＝－23a ，1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝b 3，∴a ＝－12，b ＝－2.(2)由(1)知f (x )＝x 3－12x 2－2x ＋c ， 由f (－1)＝－1－12＋2＋c ＝32，得c ＝1. ∴f (x )＝x 3－12x 2－2x ＋1. ∴f ′(x )＝3x 2－x －2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：单调递增单调递减单调递增∴f (x )的递增区间为⎝ ⎭⎪⎫－∞，－23和(1，＋∞)，递减区间为⎝ ⎭⎪－23，1.当x ＝－23时，f (x )有极大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝4927；当x ＝1时，f (x )有极小值为f (1)＝－12.已知函数极值的情况，逆向应用确定函数的解析式时，应注意以下两点： (1)根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解； (2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性．[再练一题]2．已知函数f (x )＝13x 3－12(m ＋3)x 2＋(m ＋6)x (x ∈R ，m 为常数)，在区间(1，＋∞)内有两个极值点，求实数m 的取值范围．【解】 f ′(x )＝x 2－(m ＋3)x ＋m ＋6. 因为函数f (x )在(1，＋∞)内有两个极值点，所以导数f ′(x )＝x 2－(m ＋3)x ＋m ＋6在(1，＋∞)内与x 轴有两个不同的交点，如图所示．所以⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝(m ＋3)2－4(m ＋6)>0，f ′(1)＝1－(m ＋3)＋m ＋6>0，m ＋32>1，解得m >3.故实数m 的取值范围是(3，＋∞)．[探究共研型]探究1【提示】不一定，如f(x)＝x3，f′(0)＝0，但x＝0不是f(x)＝x3的极值点．所以，当f′(x0)＝0时，要判断x＝x0是否为f(x)的极值点，还要看f′(x)在x0两侧的符号是否相反．探究2函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图1-3-3所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有几个极小值点？图1-3-3【提示】一个．x1，x2，x3是极值点，其中x2是极小值点．x1，x3是极大值点．探究3函数y＝f(x)在给定区间(a，b)内一定有极值点吗？【提示】不一定，若函数y＝f(x)在区间(a，b)内是单调函数，就没有极值点．已知函数f(x)＝x3－3x＋a(a为实数)，若方程f(x)＝0有三个不同实根，求实数a的取值范围．【精彩点拨】求出函数的极值，要使f(x)＝0有三个不同实根，则应有极大值大于0，极小值小于0，由此可得a的取值范围．【自主解答】令f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)＝0，解得x1＝－1，x2＝1.当x<－1时，f′(x)>0；当－1<x<1时，f′(x)<0；当x>1时，f′(x)>0.所以当x＝－1时，f(x)有极大值f(－1)＝2＋a；当x＝1时，f(x)有极小值f(1)＝－2＋a.因为方程f(x)＝0有三个不同实根，所以y ＝f (x )的图象与x 轴有三个交点，图略． 由已知应有⎩⎨⎧2＋a >0，－2＋a <0，解得－2<a <2，故实数a 的取值范围是(－2,2)．方程f (x )＝0的根就是函数y ＝f (x )的零点，是函数图象与x 轴交点的横坐标，研究方程的根的问题可以转化为函数图象与x 轴交点的问题．我们可以根据函数图象在坐标轴中的位置不同，结合极值的大小确定参数的范围．[再练一题]3．上例中，若方程f (x )＝0恰有两个根，则实数a 的值如何求解？ 【解】 由例题，知函数的极大值f (－1)＝2＋a ，极小值f (1)＝－2＋a ， 若f (x )＝0恰有两个根，则有2＋a ＝0，或－2＋a ＝0， 所以a ＝－2或a ＝2.[构建·体系]1．若x ＝－2与x ＝4是函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx 的两个极值点，则a ＝________，b ＝________.【解析】 f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b 两零点为－2,4， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－2＋4＝－2a3，－2×4＝b 3，∴⎩⎨⎧a ＝－3，b ＝－24. 【答案】 －3 －242．(2016·苏州检测)若函数f (x )＝x 2＋ax ＋1在x ＝1处取极值，则a ＝________.【解析】 由f ′(x )＝2x (x ＋1)－(x 2＋a )(x ＋1)2＝0，∴x 2＋2x －a ＝0，x ≠－1， 又f (x )在x ＝1处取极值，∴x ＝1是x 2＋2x －a ＝0的根，∴a ＝3. 【答案】 33．设a ∈R ，若函数y ＝e x ＋ax (x ∈R )有大于零的极值点，则a 的取值范围为________．【答案】 (－∞，－1)4．已知函数f (x )＝x 3＋3ax 2＋3(a ＋2)x ＋1既有极大值又有极小值，则实数a 的取值范围是________．【解析】 f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋3(a ＋2)， ∵函数f (x )既有极大值又有极小值， ∴方程f ′(x )＝0有两个不相等的实根， ∴Δ＝36a 2－36(a ＋2)＞0，即a 2－a －2＞0，解得a ＞2或a ＜－1. 【答案】 (－∞，－1)∪(2，＋∞) 5．求函数y ＝x 4－4x 3＋5的极值． 【解】 y ′＝4x 3－12x 2＝4x 2(x －3)． 令y ′＝4x 2(x －3)＝0，得x 1＝0，x 2＝3. 当x 变化时，y ′，y 的变化情况如下表：单调递减单调递减 单调递增故当x＝3时函数取得极小值，且y＝f(3)＝－22.极小值我还有这些不足：(1)_______________________________________________(2)_______________________________________________ 我的课下提升方案：(1)_______________________________________________(2)_______________________________________________。
1.3.2 极大值与极小值数的极大、极小值.1．极值(1)观察下图中的函数图象，发现函数图象在点P 处从左侧到右侧由“上升”变为“下降”(函数由单调________变为单调________)，这时在点P 附近，点P 的位置最高，亦即f (x 1)比它附近点的函数值都要大，我们称f (x 1)为函数f (x )的一个________．(2)类似地，上图中f (x 2)为函数的一个________． (3)函数的极大值、极小值统称为函数的______． 预习交流1做一做：函数y ＝－|x |有极______值______． 2．极值点与导数的关系观察上面的函数的图象，发现：(1)x x 1左侧 x 1 x 1右侧 f ′(x ) f ′(x )____ f ′(x )____ f ′(x )____ f (x ) 增 极大值f (x 1) 减(2)预习交流做一做：函数f (x )＝3x －x 3的极大值为________，极小值为________． 预习交流3议一议：(1)导数为0的点一定是函数的极值点吗？ (2)函数在极值点处的导数一定等于0吗？(3)一个函数在一个区间的端点处可以取得极值吗？(4)一个函数在给定的区间上是否一定有极值？若有极值，是否可以有多个？极大值一定比极小值大吗？预习导引1．(1)递增递减极大值(2)极小值(3)极值预习交流1：提示：大02．(1)＞0 ＝0 ＜0 (2)＜0 ＝0 ＞0预习交流2：提示：f′(x)＝3－3x2，令f′(x)＝0得x＝±1，由极值的定义可得函数的极大值为f(1)＝2，极小值为f(－1)＝－2.预习交流3：提示：(1)不一定，例如对于函数f(x)＝x3，虽有f′(0)＝0，但x＝0并不是f(x)＝x3的极值点，要使导数为0的点成为极值点，还必须满足其他条件．(2)不一定，例如函数f(x)＝|x－1|，它在x＝1处取得极小值，但它在x＝1处不可导，就更谈不上导数等于0了．(3)不可以，函数在一个区间的端点处一定不可能取得极值，因为不符合极值点的定义．(4)在一个给定的区间上，函数可能有若干个极值点，也可能不存在极值点；函数可以只有极大值，没有极小值，或者只有极小值没有极大值，也可能既有极大值，又有极小值．极大值不一定比极小值大，极小值也不一定比极大值小．一、求函数的极值求下列函数的极值：(1)f(x)＝x3－12x；(2)f(x)＝2xx2＋1－2.思路分析：首先从方程f′(x)＝0入手，求出在函数f(x)的定义域内所有可能的极值点，然后按照函数极值的定义判断这些点是否为极值点．1．函数y＝1＋3x－x3有极大值__________，极小值__________．2．求函数f(x)＝x3－3x2－9x＋5的极值．利用导数求函数极值的步骤：(1)求导数f′(x)；(2)求方程f′(x)＝0的所有实数根；(3)考察在每个根x0附近，从左到右导函数f′(x)的符号如何变化：①如果f′(x)的符号由正变负，则f(x0)是极大值；②如果由负变正，则f(x0)是极小值；③如果在f′(x)＝0的根x＝x0的左右侧f′(x)的符号不变，则不是极值点．二、已知函数的极值求参数范围已知函数f(x)＝ax3＋bx＋2在x＝1处取得极值，且极值为0.(1)求a，b的值；(2)求f(x)的另一个极值．思路分析：由极值的定义可知f′(1)＝0，再结合f(1)＝0，建立关于a，b的方程即可求得a，b的值，从而得出另一个极值．1．已知函数y＝－x3＋6x2＋m有极大值13，则m的值为________．2．若函数f (x )＝x 3＋ax 在R 上有两个极值点，则实数a 的取值范围是__________．1．已知函数极值情况，逆向应用，确定函数的解析式，进而研究函数性质时，注意两点：(1)常根据极值点处导数为0和已知极值(或极值之间的关系)列方程组，利用待定系数法求解；(2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性．2．对于可导函数f (x )，若它有极值点x 0，则必有f ′(x 0)＝0，因此函数f (x )有极值的问题，往往可以转化为方程f ′(x )＝0有根的问题加以解决．三、利用函数的极值画函数图象求函数y ＝2x ＋8x的极值，并结合单调性、极值作出该函数的大致图象．思路分析：先求出函数的极值点和极值，从而把握函数在定义域内各个区间上的单调性和在极值点处的函数值，以及x →∞时的f (x )的变化趋势，据此可画出函数的大致图象．已知函数f (x )＝13x 3－4x ＋4，求函数的极值，并画出函数的大致图象．1．列表时应将定义域内的间断点(如x ＝0)考虑进去．2．极大值不一定比极小值大，这是因为极值是相对某一区域讨论的．3．借助函数的性质(如奇偶性、单调性、极值、周期等)研究函数图象是重要手段．1．(2012陕西高考改编)设函数f (x )＝x e x，则下列说法正确的是__________．(填序号) ①x ＝1为f (x )的极大值点 ②x ＝1为f (x )的极小值点 ③x ＝－1为f (x )的极大值点 ④x ＝－1为f (x )的极小值点2．若函数f (x )＝2x 3＋ax 2＋36x －1在x ＝2处有极值，则a 的值为__________． 3．函数f (x )＝ln x －x 在区间(0，e)上的极大值为________．4．关于函数f (x )＝x 3－3x 2有下列命题，其中正确命题的序号是________． ①f (x )是增函数；②f (x )是减函数，无极值；③f (x )的增区间是(－∞，0)和(2，＋∞)，减区间为(0,2)；④f (0)＝0是极大值，f (2)＝－4是极小值．5．已知函数f (x )=ax 3＋bx 2＋cx ，其导函数y ＝f ′(x )的图象经过点(1,0)，(2,0)，如下图所示，则下列说法中不正确的是____________.(填序号)①当x ＝32时函数取得极小值；②f (x )有两个极值点；③当x ＝2时函数取得极小值；④当x ＝1时函数取得极大值．6．设a ∈R ，若函数y ＝e x＋ax ，x ∈R ，有大于零的极值点，则a 的取值范围是________．活动与探究1：解：(1)函数f (x )的定义域为R . f ′(x )＝3x 2－12＝3(x ＋2)(x －2)． 令f ′(x )＝0，得x ＝－2或x ＝2.当x ＝－2时，函数有极大值，且f (－2)＝16； 当x ＝2时，函数有极小值，且f (2)＝－16. (2)函数的定义域为R .f ′(x )＝2(x 2＋1)－4x 2(x 2＋1)2＝－2(x －1)(x ＋1)(x 2＋1)2. 令f ′(x )＝0，得x ＝－1或x ＝1.x (－∞，－1) －1 (－1,1) 1 (1，＋∞) f ′(x)－ 0 ＋ 0 －f (x ) 极小值f (－1)＝－3 极大值f (1)＝－1当x ＝－1时，函数有极小值，且f (－1)＝－3； 当x ＝1时，函数有极大值，且f (1)＝－1. 迁移与应用：1．3 －1 解析：f ′(x )＝3－3x 2，令f ′(x )＝0得x ＝±1，当x ∈(－∞，－1)时，f ′(x )＜0，当x ∈(－1,1)时，f ′(x )＞0，当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＜0，∴f (x )在x ＝－1处取极小值－1， 在x ＝1处取极大值3.2．解：f ′(x )＝3x 2－6x －9.令3x 2－6x －9＝0，解得x 1＝－1，x 2＝3.当x )有极小值，且极小值为f (3)＝－22.活动与探究2：解：(1)∵f (x )＝ax 3＋bx ＋2，∴f ′(x )＝3ax 2＋b .依题意可得f ′(1)＝0且f (1)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋b ＝0，a ＋b ＋2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－3.(2)由(1)知f (x )＝x 3－3x ＋2，f ′(x )＝3x 2－3， 令f ′(x )＝0得3x 2－3＝0，所以x ＝±1.故函数f (x )在x ＝－1处取得另一个极值，且极值为f (－1)＝－1＋3＋2＝4. 迁移与应用：1．－19 解析：y ′＝－3x 2＋12x ＝－3x (x －4)．令y ′＝0得x ＝0或x ＝4，当x ＜0或x ＞4时，y ′＜0，函数递减；当0＜x ＜4时，函数递增，故f (x )在x ＝4处取得极大值，且f (4)＝－64＋96＋m ＝13，故m ＝－19.2．a ＜0 解析：f ′(x )＝3x 2＋a ，由于f (x )在R 上有两个极值点，所以方程f ′(x )＝0在R 上有两个不同的实数根，即Δ＝0－12a ＞0，解得a ＜0.活动与探究3：解：函数的定义域为x ∈R 且x ≠0.y ′＝2－8x2，令y ′＝0，得x ＝±2.x (－∞，－2) －2 (－2,0) 0(0,2) 2 (2，＋∞)y ′ ＋ 0 － －0 ＋y －88当x =2时，y 取得极小值8. 由表易知y =2x +8x的草图如图所示．迁移与应用：解：(1)f ′(x )=x 2－4.解方程x 2－4=0，得x 1=－2，x 2=2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x (－∞，－2)－2 (－2,2)2 (2，+∞)f ′(x ) + 0 －+ f (x )28343-从上表看出，当x ＝－2时，函数有极大值，且极大值为f (－2)＝283；而当x =2时，函数有极小值，且极小值为f (2)=43. 函数f (x )=13x 3－4x +4的图象如图所示． 当堂检测1．④ 解析：由f ′(x )＝x ′·e x ＋(e x )′·x ＝e x ＋e x ·x ＝e x(x ＋1)＝0，得x ＝－1.当x ＜－1时，f ′(x )＜0，f (x )在(－∞，－1)上是减少的；当x ＞－1时，f ′(x )＞0，f (x )在(－1，＋∞)上是增加的．所以x ＝－1为f (x )的极小值点．2．－15 解析：f ′(x )＝6x 2＋2ax ＋36，依题意f ′(2)＝0，所以24＋4a ＋36＝0，解得a ＝－15.3．－1 解析：定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x－1.令f ′(x )＝0得x ＝1，且当0＜x＜1时，f ′(x )＞0，x ∈(1，e)时f ′(x )＜0，故f (x )在x ＝1处取得极大值f (1)＝ln 1－1＝0－1＝－1.4．③④ 解析：f ′(x )＝3x 2－6x ，令f ′(x )＝0，则x ＝0或x ＝2.利用极值的求法可求得x ＝0是极大值点，x ＝2是极小值点．5．① 解析：从图象上可以看到：当x ∈(－∞，1)时，f ′(x )＞0；当x ∈(1,2)时，f ′(x )＜0；当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )＞0，所以f (x )有两个极值点1和2，且当x ＝2时函数取得极小值，当x ＝1时函数取得极大值．只有①不正确．6．a ＜－1 解析：y ′＝e x ＋a ，依题意方程e x ＋a ＝0有大于0的实数根，而a ＝－e x，所以e x ＞1，－e x＜－1，即a ＜－1.。
苏教版普通高中课程标准实验教科书数学选修1-1
3.3.2极大值与极小值
亭湖高级中学刘迎春
【教学目标】
1知识与技能
〔1〕．了解函数的极值的定义，会从几何图形直观理解函数的极值与其导数的关系，增强自己的数形结合意识；
〔2〕．掌握利用导数求函数的极值的一般步骤
2过程与方法
通过本节的学习, 培养学生观察、分析、探究、归纳得出数学概念和规律的学习能力
3情感、态度、价值观
教学过程中，让学生多动手、勤思考、善总结，引导学生养成自主学习的习惯，同时感受和感悟数学自身开展的一般规律．
【教学重点】
掌握利用导数研究函数的极值的方法．
【教学难点】
发现和揭示函数的极值与函数的导数的关系．
【教学方法教学手段】
多媒体教学、引导发现、合作学习、讲练结合的教学方法
【教学过程】
一、创设情境
二、合作学习探究
三、知识建构生成演练中应用
〔1〕函数的极大值与导数的关系
〔2〕函数的极小值与导数的关系
例1求f
练习：求f＝3的极值
四、课堂小结回忆整理中提炼
通过这节课的研究，你明确了什么问题？你的收获与感受是什么呢？
五、自主作业稳固训练中拓展
〔1〕感受理解：课本第91页习题：3；
〔2〕思考运用：课本第92页习题：7；
〔3〕思考：函数的极值与最值的区别与联系。
极大值与极小值(1)教学过程一、问题情境(图1)观察给定函数图象,在P和Q两侧图象的单调性变化:P点处从左侧到右侧由上升变为下降(函数由单调递增变为单调递减),这时在点P附近,点P的位置最高;Q点处从左侧到右侧由下降变为上升(函数由单调递减变为单调递增),这时在点Q附近,点Q的位置最低.[1]二、数学建构问题1上述的结论如果用数学语言该怎样来描述?[2]解1.极大值点:已知函数f(x),设x1是定义域内一点,如果在x1附近的所有的x,都有f(x)<f(x1),就说函数f(x)在x1处取得极大值,把x1称为f(x)的一个极大值点;极小值点:已知函数f(x),设x2是定义域内一点,如果在x2附近的所有的x,都有f(x)>f(x2),就说函数f(x)在x2处取得极小值,把x2称为f(x)的一个极小值点.2.极大值:称f(x1)为函数f(x)的一个极大值;极小值:称f(x2)为函数f(x)的一个极小值.极大值与极小值统称为极值.问题2在定义域内,函数的极大值是唯一的吗?函数的极大值一定大于其极小值吗? 函数的极值点可能在区间的端点产生吗?试作图说明.[3]问题3极值点处导数有何特点?当f'(x0)=0时,能否肯定函数f(x)在x0处取得极值?[4]问题4函数的极值与函数的导数有怎样的关系?[5]3.函数极值与导数关系:如果f'(x0)=0,且在x0的附近的左侧f'(x0)>0,右侧f'(x0)<0,那么f(x0)是极大值;如果f'(x0)=0,且在x0的附近的左侧f'(x0)<0,右侧f'(x0)>0,那么f(x0)是极小值.表1x x1左侧x1x1右侧f'(x) f'(x)>0 f'(x)=0 f'(x)<0f(x) 增↗极大值f(x1) ↘减表2x x2左侧x2x2右侧f'(x) f'(x)<0 f'(x)=0 f'(x)>0f(x) ↘减极小值f(x2) 增↗概念理解1.取得极值的点称为极值点,极值点是自变量的值,极值指的是函数值.2.极值是一个局部的概念,极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小,并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小.3. 函数的极值不是唯一的,即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个.4. 极大值与极小值之间无确定的大小关系,一个函数的极大值未必大于极小值.5. 函数的极值点一定出现在区间的内部,区间的端点不能成为极值点,而使函数取得最大值、最小值的点既可能在区间的内部,也可能在区间的端点.三、 数学运用【例1】 (教材第31页例1)求f (x )=x 2-x-2的极值.(见学生用书P19)[规范板书] 解 f'(x )=2x-1,令f'(x )=0,解得x=.列表如下:x左侧 右侧 f'(x ) -0 + f (x ) ↘ 极小值f↗所以当x=时,f (x )有极小值f =-.[题后反思] 求极值的具体步骤:(1) 求导数f'(x );(2) 求f'(x )=0的根;(3) 列表,检查f'(x )在方程根左右的值的符号,如果左正右负,那么f (x )在这个根处取得极大值;如果左负右正,那么f (x )在这个根处取得极小值;如果左右都是正,或者左右都是负,那么f (x )在这个根处无极值.【例2】 (教材第31页例2)求f (x )=x 3-4x+的极值.(见学生用书P20)[处理建议] 让学生学会纵向看图,并体会在相应的区间上,导数的正负与函数增减的关系,体现数形结合思想.[规范板书] 解 f'(x )=x 2-4,令f'(x )=0,解得x 1=-2,x 2=2.列表如下: x (-∞,-2) -2 (-2,2) 2 (2,+∞) f'(x ) + 0 - 0 + f (x ) ↗ 极大值 f (-2) ↘ 极小值 f (2) ↗所以当x=-2时,f (x )有极大值f (-2)=;当x=2时,f (x )有极小值f (2)=-5.思考:你能画出函数及其导数的图象吗?[6][题后反思] 有效利用图形语言,对照在相同的区间上函数及其导函数的图象,体会导数与函数单调性的关系,并强调书写格式.【例3】 已知函数f (x )=x 3+ax 2-(a-1)x+7有极大值和极小值,求a 的取值范围.(见学生用书P20)[处理建议] 先由学生思考后交流思路,采用数形结合的方法,帮助学生理解.[规范板书] 解 f'(x )=3x 2+2ax-a+1,函数f (x )=x 3+ax 2-(a-1)x+7有极大值和极小值,即f'(x )=0有两个不同的实数解,则Δ=4a 2+12(a-1)>0,解得a>或a<.*【例4】 (教材第31页练习3)根据下列条件大致作出函数f (x )的图象.(1) f (4)=3,f'(4)=0,当x<4时f'(x )>0,当x>4时f'(x )<0;(2) f (1)=1,f'(1)=0,当x ≠1时f'(x )>0.[处理建议] 先由学生讨论,尝试进行作图;教师在学生中交流,了解学生的思考过程,投影学生的作业,由学生纠正出现的错误及处理建议,并且给出理由.[7]解(1) (2)(例4(1))(例4(2))四、课堂练习1.函数f(x)=x3-12x+12的极大值是28,极小值是-4.2.若函数f(x)=x3+mx2+x+1在R上无极值点,则实数m的取值范围是[-,].3.已知函数f(x)=x3-3x2+2.(1) 写出函数的单调区间;(2) 讨论函数的极大值和极小值是否存在,如果存在,写出极值.解(1) f'(x)=3x2-6x,令f'(x)>0,则x>2或x<0;令f'(x)<0,则0<x<2.故函数的单调递增区间为(-∞,0),(2,+∞);单调递减区间为(0,2).(2) 存在极值,极大值为2,极小值为-2.五、课堂小结1.极值点是自变量的值,极值指的是函数值.极值是一个局部的概念,并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小.函数的极值不是唯一的,极大值与极小值之间无确定的大小关系,一个函数的极大值未必大于极小值.2.极值点两侧单调性互异,极值点处导数为0;但导数为0的点不一定是极值点,要看这点两侧的导数是否异号.3.求可导函数f(x)的极值的步骤:(1) 确定函数的定义域,求导数f'(x);(2) 求方程f'(x)=0的根;(3) 用函数的导数为0的点,顺次将函数的定义区间分成若干小开区间,并列成表格.检查f'(x)在方程根左右的值的符号,如果左正右负,那么f(x)在这个根处取得极大值;如果左负右正,那么f(x)在这个根处取得极小值;如果左右不改变符号,那么f(x)在这个根处无极值.。
1.3.2 极大值与极小值数的极大、极小值.1．极值(1)观察下图中的函数图象，发现函数图象在点P 处从左侧到右侧由“上升”变为“下降”(函数由单调________变为单调________)，这时在点P 附近，点P 的位置最高，亦即f (x 1)比它附近点的函数值都要大，我们称f (x 1)为函数f (x )的一个________．(2)类似地，上图中f (x 2)为函数的一个________． (3)函数的极大值、极小值统称为函数的______． 预习交流1做一做：函数y ＝－|x |有极______值______． 2．极值点与导数的关系观察上面的函数的图象，发现：(1)(2)预习交流2做一做：函数f (x )＝3x －x 3的极大值为________，极小值为________． 预习交流3议一议：(1)导数为0的点一定是函数的极值点吗？ (2)函数在极值点处的导数一定等于0吗？(3)一个函数在一个区间的端点处可以取得极值吗？(4)一个函数在给定的区间上是否一定有极值？若有极值，是否可以有多个？极大值一定比极小值大吗？预习导引1．(1)递增递减极大值(2)极小值(3)极值预习交流1：提示：大02．(1)＞0 ＝0 ＜0 (2)＜0 ＝0 ＞0预习交流2：提示：f′(x)＝3－3x2，令f′(x)＝0得x＝±1，由极值的定义可得函数的极大值为f(1)＝2，极小值为f(－1)＝－2.预习交流3：提示：(1)不一定，例如对于函数f(x)＝x3，虽有f′(0)＝0，但x＝0并不是f(x)＝x3的极值点，要使导数为0的点成为极值点，还必须满足其他条件．(2)不一定，例如函数f(x)＝|x－1|，它在x＝1处取得极小值，但它在x＝1处不可导，就更谈不上导数等于0了．(3)不可以，函数在一个区间的端点处一定不可能取得极值，因为不符合极值点的定义．(4)在一个给定的区间上，函数可能有若干个极值点，也可能不存在极值点；函数可以只有极大值，没有极小值，或者只有极小值没有极大值，也可能既有极大值，又有极小值．极大值不一定比极小值大，极小值也不一定比极大值小．一、求函数的极值求下列函数的极值：(1)f(x)＝x3－12x；(2)f(x)＝2xx2＋1－2.思路分析：首先从方程f′(x)＝0入手，求出在函数f(x)的定义域内所有可能的极值点，然后按照函数极值的定义判断这些点是否为极值点．1．函数y＝1＋3x－x3有极大值__________，极小值__________．2．求函数f(x)＝x3－3x2－9x＋5的极值．利用导数求函数极值的步骤：(1)求导数f′(x)；(2)求方程f′(x)＝0的所有实数根；(3)考察在每个根x0附近，从左到右导函数f′(x)的符号如何变化：①如果f′(x)的符号由正变负，则f(x0)是极大值；②如果由负变正，则f(x0)是极小值；③如果在f′(x)＝0的根x＝x0的左右侧f′(x)的符号不变，则不是极值点．二、已知函数的极值求参数范围已知函数f(x)＝ax3＋bx＋2在x＝1处取得极值，且极值为0.(1)求a，b的值；(2)求f(x)的另一个极值．思路分析：由极值的定义可知f′(1)＝0，再结合f(1)＝0，建立关于a，b的方程即可求得a，b的值，从而得出另一个极值．1．已知函数y＝－x3＋6x2＋m有极大值13，则m的值为________．2．若函数f(x)＝x3＋ax在R上有两个极值点，则实数a的取值范围是__________．1．已知函数极值情况，逆向应用，确定函数的解析式，进而研究函数性质时，注意两点：(1)常根据极值点处导数为0和已知极值(或极值之间的关系)列方程组，利用待定系数法求解；(2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性． 2．对于可导函数f (x )，若它有极值点x 0，则必有f ′(x 0)＝0，因此函数f (x )有极值的问题，往往可以转化为方程f ′(x )＝0有根的问题加以解决．三、利用函数的极值画函数图象求函数y ＝2x ＋8x的极值，并结合单调性、极值作出该函数的大致图象．思路分析：先求出函数的极值点和极值，从而把握函数在定义域内各个区间上的单调性和在极值点处的函数值，以及x →∞时的f (x )的变化趋势，据此可画出函数的大致图象．已知函数f (x )＝13x 3－4x ＋4，求函数的极值，并画出函数的大致图象．1．列表时应将定义域内的间断点(如x ＝0)考虑进去．2．极大值不一定比极小值大，这是因为极值是相对某一区域讨论的．3．借助函数的性质(如奇偶性、单调性、极值、周期等)研究函数图象是重要手段．1．(2012陕西高考改编)设函数f (x )＝x e x，则下列说法正确的是__________．(填序号) ①x ＝1为f (x )的极大值点 ②x ＝1为f (x )的极小值点 ③x ＝－1为f (x )的极大值点 ④x ＝－1为f (x )的极小值点2．若函数f (x )＝2x 3＋ax 2＋36x －1在x ＝2处有极值，则a 的值为__________． 3．函数f (x )＝ln x －x 在区间(0，e)上的极大值为________．4．关于函数f (x )＝x 3－3x 2有下列命题，其中正确命题的序号是________． ①f (x )是增函数；②f (x )是减函数，无极值；③f (x )的增区间是(－∞，0)和(2，＋∞)，减区间为(0,2)；④f (0)＝0是极大值，f (2)＝－4是极小值．5．已知函数f (x )=ax 3＋bx 2＋cx ，其导函数y ＝f ′(x )的图象经过点(1,0)，(2,0)，如下图所示，则下列说法中不正确的是____________.(填序号)①当x ＝32时函数取得极小值；②f (x )有两个极值点；③当x ＝2时函数取得极小值；④当x ＝1时函数取得极大值．6．设a ∈R ，若函数y ＝e x＋ax ，x ∈R ，有大于零的极值点，则a 的取值范围是________．答案：活动与探究1：解：(1)函数f (x )的定义域为R . f ′(x )＝3x 2－12＝3(x ＋2)(x －2)．令f ′(x )＝0，得x ＝－2或x ＝2.当x当x ＝－2时，函数有极大值，且f (－2)＝16； 当x ＝2时，函数有极小值，且f (2)＝－16. (2)函数的定义域为R .f ′(x )＝2(x 2＋1)－4x 2(x 2＋1)2＝－2(x －1)(x ＋1)(x 2＋1)2. 令f ′(x )＝0，得x ＝－1或x ＝1.当x当x ＝－1时，函数有极小值，且f (－1)＝－3； 当x ＝1时，函数有极大值，且f (1)＝－1. 迁移与应用：1．3 －1 解析：f ′(x )＝3－3x 2，令f ′(x )＝0得x ＝±1，当x ∈(－∞，－1)时，f ′(x )＜0，当x ∈(－1,1)时，f ′(x )＞0，当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＜0， ∴f (x )在x ＝－1处取极小值－1， 在x ＝1处取极大值3.2．解：f ′(x )＝3x 2－6x －9.令3x 2－6x －9＝0，解得x 1＝－1，x 2＝3.当x 变化时，因此，当x f (3)＝－22.活动与探究2：解：(1)∵f (x )＝ax 3＋bx ＋2，∴f ′(x )＝3ax 2＋b .依题意可得f ′(1)＝0且f (1)＝0， 即⎩⎪⎨⎪⎧ 3a ＋b ＝0，a ＋b ＋2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－3. (2)由(1)知f (x )＝x 3－3x ＋2，f ′(x )＝3x 2－3，令f ′(x )＝0得3x 2－3＝0，所以x ＝±1.故函数f (x )在x ＝－1处取得另一个极值，且极值为f (－1)＝－1＋3＋2＝4. 迁移与应用：1．－19 解析：y ′＝－3x 2＋12x ＝－3x (x －4)．令y ′＝0得x ＝0或x ＝4，当x ＜0或x ＞4时，y ′＜0，函数递减；当0＜x ＜4时，函数递增，故f (x )在x ＝4处取得极大值，且f (4)＝－64＋96＋m ＝13，故m ＝－19.2．a ＜0 解析：f ′(x )＝3x 2＋a ，由于f (x )在R 上有两个极值点，所以方程f ′(x )＝0在R 上有两个不同的实数根，即Δ＝0－12a ＞0，解得a ＜0.活动与探究3：解：函数的定义域为x ∈R 且x ≠0.y ′＝2－8x2，令y ′＝0，得x ＝±2.当x因此当x =－当x =2时，y 取得极小值8.由表易知y =2x +8x的草图如图所示．迁移与应用：解：(1)f ′(x )=x 2－4.解方程x 2－4=0，得x 1=－2，x 2=2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x (－∞，－2)－2(－2,2) 2 (2，+∞)f ′(x ) + 0－ 0+ f (x )28343-从上表看出，当x ＝－2时，函数有极大值，且极大值为f (－2)＝283；而当x =2时，函数有极小值，且极小值为f (2)=43-. 函数f (x )=13x 3－4x +4的图象如图所示． 当堂检测1．④ 解析：由f ′(x )＝x ′·e x ＋(e x )′·x ＝e x ＋e x ·x ＝e x(x ＋1)＝0，得x ＝－1.当x ＜－1时，f ′(x )＜0，f (x )在(－∞，－1)上是减少的；当x ＞－1时，f ′(x )＞0，f (x )在(－1，＋∞)上是增加的．所以x ＝－1为f (x )的极小值点．2．－15 解析：f ′(x )＝6x 2＋2ax ＋36，依题意f ′(2)＝0，所以24＋4a ＋36＝0，解得a ＝－15.3．－1 解析：定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x－1.令f ′(x )＝0得x ＝1，且当0＜x ＜1时，f ′(x )＞0，x ∈(1，e)时f ′(x )＜0，故f (x )在x ＝1处取得极大值f (1)＝ln 1－1＝0－1＝－1.4．③④解析：f′(x)＝3x2－6x，令f′(x)＝0，则x＝0或x＝2.利用极值的求法可求得x＝0是极大值点，x＝2是极小值点．5．①解析：从图象上可以看到：当x∈(－∞，1)时，f′(x)＞0；当x∈(1,2)时，f′(x)＜0；当x∈(2，＋∞)时，f′(x)＞0，所以f(x)有两个极值点1和2，且当x＝2时函数取得极小值，当x＝1时函数取得极大值．只有①不正确．6．a＜－1 解析：y′＝e x＋a，依题意方程e x＋a＝0有大于0的实数根，而a＝－e x，所以e x＞1，－e x＜－1，即a＜－1.。
1.3.2 极大值与极小值数的极大、极小值.1．极值(1)观察下图中的函数图象，发现函数图象在点P 处从左侧到右侧由“上升”变为“下降”(函数由单调________变为单调________)，这时在点P 附近，点P 的位置最高，亦即f (x 1)比它附近点的函数值都要大，我们称f (x 1)为函数f (x )的一个________．(2)类似地，上图中f (x 2)为函数的一个________． (3)函数的极大值、极小值统称为函数的______． 预习交流1做一做：函数y ＝－|x |有极______值______． 2．极值点与导数的关系观察上面的函数的图象，发现：(1) 减(2)减预习交流做一做：函数f (x )＝3x －x 3的极大值为________，极小值为________． 预习交流3议一议：(1)导数为0的点一定是函数的极值点吗？ (2)函数在极值点处的导数一定等于0吗？(3)一个函数在一个区间的端点处可以取得极值吗？(4)一个函数在给定的区间上是否一定有极值？若有极值，是否可以有多个？极大值一定比极小值大吗？预习导引1．(1)递增递减极大值(2)极小值(3)极值预习交流1：提示：大02．(1)＞0 ＝0 ＜0 (2)＜0 ＝0 ＞0预习交流2：提示：f′(x)＝3－3x2，令f′(x)＝0得x＝±1，由极值的定义可得函数的极大值为f(1)＝2，极小值为f(－1)＝－2.预习交流3：提示：(1)不一定，例如对于函数f(x)＝x3，虽有f′(0)＝0，但x＝0并不是f(x)＝x3的极值点，要使导数为0的点成为极值点，还必须满足其他条件．(2)不一定，例如函数f(x)＝|x－1|，它在x＝1处取得极小值，但它在x＝1处不可导，就更谈不上导数等于0了．(3)不可以，函数在一个区间的端点处一定不可能取得极值，因为不符合极值点的定义．(4)在一个给定的区间上，函数可能有若干个极值点，也可能不存在极值点；函数可以只有极大值，没有极小值，或者只有极小值没有极大值，也可能既有极大值，又有极小值．极大值不一定比极小值大，极小值也不一定比极大值小．一、求函数的极值求下列函数的极值：(1)f(x)＝x3－12x；(2)f(x)＝2xx2＋1－2.思路分析：首先从方程f′(x)＝0入手，求出在函数f(x)的定义域内所有可能的极值点，然后按照函数极值的定义判断这些点是否为极值点．1．函数y＝1＋3x－x3有极大值__________，极小值__________．2．求函数f(x)＝x3－3x2－9x＋5的极值．利用导数求函数极值的步骤：(1)求导数f′(x)；(2)求方程f′(x)＝0的所有实数根；(3)考察在每个根x0附近，从左到右导函数f′(x)的符号如何变化：①如果f′(x)的符号由正变负，则f(x0)是极大值；②如果由负变正，则f(x0)是极小值；③如果在f′(x)＝0的根x＝x0的左右侧f′(x)的符号不变，则不是极值点．二、已知函数的极值求参数范围已知函数f(x)＝ax3＋bx＋2在x＝1处取得极值，且极值为0.(1)求a，b的值；(2)求f(x)的另一个极值．思路分析：由极值的定义可知f′(1)＝0，再结合f(1)＝0，建立关于a，b的方程即可求得a，b的值，从而得出另一个极值．1．已知函数y＝－x3＋6x2＋m有极大值13，则m的值为________．2．若函数f (x )＝x 3＋ax 在R 上有两个极值点，则实数a 的取值范围是__________． 1．已知函数极值情况，逆向应用，确定函数的解析式，进而研究函数性质时，注意两点：(1)常根据极值点处导数为0和已知极值(或极值之间的关系)列方程组，利用待定系数法求解；(2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性．2．对于可导函数f (x )，若它有极值点x 0，则必有f ′(x 0)＝0，因此函数f (x )有极值的问题，往往可以转化为方程f ′(x )＝0有根的问题加以解决．三、利用函数的极值画函数图象求函数y ＝2x ＋8x的极值，并结合单调性、极值作出该函数的大致图象．思路分析：先求出函数的极值点和极值，从而把握函数在定义域内各个区间上的单调性和在极值点处的函数值，以及x →∞时的f (x )的变化趋势，据此可画出函数的大致图象．已知函数f (x )＝13x 3－4x ＋4，求函数的极值，并画出函数的大致图象．1．列表时应将定义域内的间断点(如x ＝0)考虑进去．2．极大值不一定比极小值大，这是因为极值是相对某一区域讨论的．3．借助函数的性质(如奇偶性、单调性、极值、周期等)研究函数图象是重要手段．1．(2012陕西高考改编)设函数f (x )＝x e x，则下列说法正确的是__________．(填序号) ①x ＝1为f (x )的极大值点 ②x ＝1为f (x )的极小值点 ③x ＝－1为f (x )的极大值点 ④x ＝－1为f (x )的极小值点2．若函数f (x )＝2x 3＋ax 2＋36x －1在x ＝2处有极值，则a 的值为__________． 3．函数f (x )＝ln x －x 在区间(0，e)上的极大值为________．4．关于函数f (x )＝x 3－3x 2有下列命题，其中正确命题的序号是________． ①f (x )是增函数；②f (x )是减函数，无极值；③f (x )的增区间是(－∞，0)和(2，＋∞)，减区间为(0,2)；④f (0)＝0是极大值，f (2)＝－4是极小值．5．已知函数f (x )=ax 3＋bx 2＋cx ，其导函数y ＝f ′(x )的图象经过点(1,0)，(2,0)，如下图所示，则下列说法中不正确的是____________.(填序号)①当x ＝32时函数取得极小值；②f (x )有两个极值点；③当x ＝2时函数取得极小值；④当x ＝1时函数取得极大值．6．设a ∈R ，若函数y ＝e x＋ax ，x ∈R ，有大于零的极值点，则a 的取值范围是________．活动与探究1：解：(1)函数f (x )的定义域为R . f ′(x )＝3x 2－12＝3(x ＋2)(x －2)． 令f ′(x )＝0，得x ＝－2或x ＝2.当x ＝－2时，函数有极大值，且f (－2)＝16； 当x ＝2时，函数有极小值，且f (2)＝－16. (2)函数的定义域为R .f ′(x )＝2(x 2＋1)－4x 2(x 2＋1)2＝－2(x －1)(x ＋1)(x 2＋1)2. 令f ′(x )＝0，得x ＝－1或x ＝1.当x ＝－1时，函数有极小值，且f (－1)＝－3； 当x ＝1时，函数有极大值，且f (1)＝－1. 迁移与应用：1．3 －1 解析：f ′(x )＝3－3x 2，令f ′(x )＝0得x ＝±1，当x ∈(－∞，－1)时，f ′(x )＜0，当x ∈(－1,1)时，f ′(x )＞0，当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＜0，∴f (x )在x ＝－1处取极小值－1， 在x ＝1处取极大值3.2．解：f ′(x )＝3x 2－6x －9.令3x 2－6x －9＝0，解得x 1＝－1，x 2＝3.当x )有极小值，且极小值为f (3)＝－22.活动与探究2：解：(1)∵f (x )＝ax 3＋bx ＋2，∴f ′(x )＝3ax 2＋b .依题意可得f ′(1)＝0且f (1)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋b ＝0，a ＋b ＋2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－3.(2)由(1)知f (x )＝x 3－3x ＋2，f ′(x )＝3x 2－3， 令f ′(x )＝0得3x 2－3＝0，所以x ＝±1.故函数f (x )在x ＝－1处取得另一个极值，且极值为f (－1)＝－1＋3＋2＝4. 迁移与应用：1．－19 解析：y ′＝－3x 2＋12x ＝－3x (x －4)．令y ′＝0得x ＝0或x ＝4，当x ＜0或x ＞4时，y ′＜0，函数递减；当0＜x ＜4时，函数递增，故f (x )在x ＝4处取得极大值，且f (4)＝－64＋96＋m ＝13，故m ＝－19.2．a ＜0 解析：f ′(x )＝3x 2＋a ，由于f (x )在R 上有两个极值点，所以方程f ′(x )＝0在R 上有两个不同的实数根，即Δ＝0－12a ＞0，解得a ＜0.活动与探究3：解：函数的定义域为x ∈R 且x ≠0.y ′＝2－8x2，令y ′＝0，得x ＝±2.当x =2时，y 取得极小值8. 由表易知y =2x +8x的草图如图所示．迁移与应用：解：(1)f ′(x )=x 2－4.解方程x 2－4=0，得x 1=－2，x 2=2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x (－∞，－2)－2 (－2,2)2 (2，+∞)f ′(x ) + 0 －+ f (x )28343-从上表看出，当x ＝－2时，函数有极大值，且极大值为f (－2)＝283；而当x =2时，函数有极小值，且极小值为f (2)=43. 函数f (x )=13x 3－4x +4的图象如图所示． 当堂检测1．④ 解析：由f ′(x )＝x ′·e x ＋(e x )′·x ＝e x ＋e x ·x ＝e x(x ＋1)＝0，得x ＝－1.当x ＜－1时，f ′(x )＜0，f (x )在(－∞，－1)上是减少的；当x ＞－1时，f ′(x )＞0，f (x )在(－1，＋∞)上是增加的．所以x ＝－1为f (x )的极小值点．2．－15 解析：f ′(x )＝6x 2＋2ax ＋36，依题意f ′(2)＝0，所以24＋4a ＋36＝0，解得a ＝－15.3．－1 解析：定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x－1.令f ′(x )＝0得x ＝1，且当0＜x＜1时，f ′(x )＞0，x ∈(1，e)时f ′(x )＜0，故f (x )在x ＝1处取得极大值f (1)＝ln 1－1＝0－1＝－1.4．③④ 解析：f ′(x )＝3x 2－6x ，令f ′(x )＝0，则x ＝0或x ＝2.利用极值的求法可求得x ＝0是极大值点，x ＝2是极小值点．5．① 解析：从图象上可以看到：当x ∈(－∞，1)时，f ′(x )＞0；当x ∈(1,2)时，f ′(x )＜0；当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )＞0，所以f (x )有两个极值点1和2，且当x ＝2时函数取得极小值，当x ＝1时函数取得极大值．只有①不正确．6．a ＜－1 解析：y ′＝e x ＋a ，依题意方程e x ＋a ＝0有大于0的实数根，而a ＝－e x，所以e x ＞1，－e x＜－1，即a ＜－1.。
