人教版高中数学【选修2-2】[知识点整理及重点题型梳理] 复数代数形式的四则运算

3.2复数代数形式的四则运算3.2.1复数代数形式的加、减运算及其几何意义1．掌握复数代数形式的加、减运算法则．(重点)2．了解复数代数形式的加、减运算的几何意义．(易错点)[基础·初探]教材整理1复数代数形式的加、减法阅读教材P107的内容，完成下列问题．1．运算法则设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i(a，b，c，d∈R)，则z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i，z1－z2＝(a－c)＋(b－d)i.2．加法运算律设z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．1．已知复数z1＝3＋4i，z2＝3－4i，则z1＋z2＝()A．8i B．6C．6＋8i D．6－8i【解析】z1＋z2＝6.【答案】 B2．已知复数z1＝2－3i，z2＝2＋3i，则z1－z2＝________.【解析】z1－z2＝(2－3i)－(2＋3i)＝－6i.【答案】－6i教材整理2复数加、减法的几何意义阅读教材P108的内容，完成下列问题．若复数z1，z2对应的向量分别为OZ1→，OZ2→.复数加法的几何意义复数z1＋z2是以OZ1→，OZ2→为邻边的平行四边形的对角线OZ→所对应的复数复数减法的几何意义复数z1－z2是从向量OZ2→的终点指向向量OZ1→的终点的向量Z2Z1→所对应的复数已知向量OZ1→对应的复数为2－3i，向量OZ2→对应的复数为3－4i，则向量Z1Z2→对应的复数为__________．【解析】Z1Z2→＝OZ2→－OZ1→＝(3－4i)－(2－3i)＝1－i.【答案】1－i[小组合作型]复数的加、减法运算(1)⎝⎛⎭⎪⎫13＋12i＋(2－i)－⎝⎛⎭⎪⎫43－32i＝________.(2)已知复数z满足z＋1－3i＝5－2i，求z.【自主解答】(1)⎝⎛⎭⎪⎫13＋12i＋(2－i)－⎝⎛⎭⎪⎫43－32i＝⎝⎛⎭⎪⎫13＋2－43＋⎝⎛⎭⎪⎫12－1＋32i ＝1＋i.【答案】1＋i(2)法一：设z＝x＋y i(x，y∈R)，因为z＋1－3i＝5－2i，所以x＋y i＋(1－3i)＝5－2i ，即x ＋1＝5且y －3＝－2，解得x ＝4，y ＝1，所以z ＝4＋i.法二：因为z ＋1－3i ＝5－2i ，所以z ＝(5－2i)－(1－3i)＝4＋i.1．复数加、减运算法则的记忆(1)复数的实部与实部相加减，虚部与虚部相加减． (2)把i 看作一个字母，类比多项式加、减中的合并同类项．2．当一个等式中同时含有|z |与z 时，一般要用待定系数法，设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )．[再练一题]1．复数(1－i)－(2＋i)＋3i 等于( )A ．－1＋iB ．1－iC ．iD ．－i【解析】 (1－i)－(2＋i)＋3i ＝(1－2)＋(－i －i ＋3i)＝－1＋i.故选A. 【答案】 A复数加、减法的几何意义对应的复数分别为0,3＋2i ，－2＋4i.图3-2-1(1)求AO→表示的复数； (2)求CA→表示的复数； (3)求B 点对应的复数．【精彩点拨】 (1)利用AO →＝－OA →求解．(2)根据CA→＝OA →－OC →求解．(3)根据OB→＝OA →＋OC →求解．【自主解答】 (1)∵AO →＝－OA →，∴AO →表示的复数为－(3＋2i)，即－3－2i. (2)∵CA→＝OA →－OC →， ∴CA→表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i. (3)∵OB→＝OA →＋AB →＝OA →＋OC →， ∴OB→表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i. 即B 点对应的复数为1＋6i.运用复数加、减运算的几何意义应注意的问题向量加法、减法运算的平行四边形法则和三角形法则是复数加法、减法几何意义的依据．利用加法“首尾相接”和减法“指向被减数”的特点，在三角形内可求得第三个向量及其对应的复数．注意向量AB →对应的复数是z B －z A (终点对应的复数减去起点对应的复数)．[再练一题]2．(1)向量OZ 1→对应的复数是5－4i ，向量OZ 2→对应的复数是－5＋4i ，则OZ 1→＋OZ 2→对应的复数是( ) A ．－10＋8i B ．10－8i C ．0D ．10＋8i【解析】 由复数加法的几何意义知，OZ 1→＋OZ 2→对应的复数是(5－4i)＋(－5＋4i)＝0.故选C.【答案】 C(2)在复平面内，平行四边形ABCD (顶点顺序为ABCD )的三个顶点A ，B ，C 对应的复数分别是1＋3i ，－i,2＋i ，则点D 对应的复数为________．【解析】 设D (x ，y )，类比向量的运算知AB→＝DC →，所以有复数－i －(1＋3i)＝2＋i －(x ＋y i)，得x ＝3，y ＝5，所以点D 对应的复数为3＋5i.【答案】 3＋5i[探究共研型]复数加、减法的几何意义的应用z1－z2＞0⇒z1＞z2恒成立呢？【提示】若z 1，z2∈R，则z1－z2＞0⇒z1＞z2成立．否则z1－z2＞0D⇒z1＞z2.如果z1＝1＋i，z2＝i，虽然z1－z2＝1＞0，但不能说1＋i大于i.探究2复数|z1－z2|的几何意义是什么？【提示】复数|z1－z2|表示复数z1，z2对应两点Z1与Z2间的距离．已知z∈C，且|z＋3－4i|＝1，求|z|的最大值与最小值.【导学号：62952106】【精彩点拨】先根据|z＋3－4i|＝1的几何意义，画出复数z对应点的轨道再根据|z|的几何意义求解．【自主解答】由于|z＋3－4i|＝|z－(－3＋4i)|＝1，所以在复平面上，复数z对应的点Z与复数－3＋4i对应的点C之间的距离等于1，故复数z对应的点Z的轨迹是以C(－3,4)为圆心，半径等于1的圆．而|z|表示复数z对应的点Z到原点O的距离，又|OC|＝5，所以点Z到原点O的最大距离为5＋1＝6，最小距离为5－1＝4.即|z|max＝6，|z|min＝4.(1)|z－z0|表示复数z，z0的对应点之间的距离，在应用时，要把绝对值号内变为两复数差的形式.(2)|z－z0|＝r表示以z0对应的点为圆心，r为半径的圆.(3)涉及复数模的最值问题以及点的轨迹问题，均可从两点间距离公式的复数表达形式入手进行分析判断，然后通过几何方法进行求解.[再练一题]3．满足条件|z－i|＝|3＋4i|的复数z在复平面上对应点的轨迹是()A ．一条直线B ．两条直线C ．圆D ．椭圆【解析】 因为|z －i|＝|3＋4i|＝5，所以复数z 在复平面上对应点的轨迹是以(0,1)为圆心，5为半径的圆．【答案】 C1．设z 1＝2＋i ，z 2＝1－5i ，则|z 1＋z 2|为( ) A.5＋26 B ．5 C ．25D.37【解析】 |z 1＋z 2|＝|(2＋i)＋(1－5i)| ＝|3－4i|＝32＋(－4)2＝5. 【答案】 B2．已知z 1＝3＋i ，z 2＝1＋5i ，则复数z ＝z 2－z 1对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限【解析】 z ＝z 2－z 1＝(1＋5i)－(3＋i)＝－2＋4i ，故选B. 【答案】 B3．已知|z |＝3，且z ＋3i 是纯虚数，则z ＝________.【解析】 设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，∴x 2＋y 2＝3①，且z ＋3i ＝x ＋y i ＋3i ＝x ＋(y ＋3)i 是纯虚数，则⎩⎨⎧x ＝0，y ＋3≠0，由①可得y ＝3.∴z ＝3i.【答案】 3i4．在复平面内，O 是原点，OA →，OC →，AB →对应的复数分别为－2＋i,3＋2i,1＋5i ，那么BC→对应的复数为________.【导学号：62952107】【解析】 ∵BC→＝－(OA →－OC →＋AB →)，∴BC →对应的复数为－[－2＋i －(3＋2i)＋(1＋5i)]＝－[(－2－3＋1)＋(1－2＋5)i]＝－(－4＋4i)＝4－4i.【答案】4－4i5．计算(1)(13－5i)＋(－3＋4i)；(2)(－3＋2i)－(4－5i)；(3)(10－9i)＋(－8＋7i)－(3＋3i)；(4)(1－2i)－(2－3i)＋(3－4i)－(4－5i)＋…＋(2 011－2 012i)－(2 012－2 013i)．【解】(1)(13－5i)＋(－3＋4i)＝(13－3)＋(－5＋4)i＝10－i；(2)(－3＋2i)－(4－5i)＝(－3－4)＋(2＋5)i＝－7＋7i；(3)(10－9i)＋(－8＋7i)－(3＋3i)＝(10－8－3)＋(－9＋7－3)i＝－1－5i；(4)原式＝(1－2＋3－4＋…＋2 011－2 012)＋(－2＋3－4＋5－…－2 012＋2 013)i＝－1 006＋1 006i.。

3．2.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义1．掌握复数代数形式的加、减运算法则．2．理解复数代数形式的加、减运算的几何意义．1．复数加、减法法则及运算律 设复数z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i ，则z 1＋z 2＝(a ＋b i)＋(c ＋d i)＝____________， z 1－z 2＝(a ＋b i)－(c ＋d i)＝____________. 复数加法满足的运算律：对任意z 1，z 2，z 3∈C ，满足交换律：z 1＋z 2＝________，结合律：(z 1＋z 2)＋z 3＝________.两个复数相加(减)就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加(减)，即(a ＋b i)±(c ＋d i)＝(a ±c )＋(b ±d )i.若复数z 1，z 2满足z 1－z 2＞0，能否认为z 1＞z 2?【做一做1－1】 已知复数z 1＝3＋4i ，z 2＝3－4i ，则z 1＋z 2等于( ) A ．8i B ．6 C ．6＋8i D ．6－8i【做一做1－2】 若复数z 满足z ＋i －3＝3－i ，则z 等于( ) A ．0 B ．2i C ．6 D ．6－2i 2．复数加法的几何意义如图，若复数z 1，z 2对应的向量OZ 1→，OZ 2→不共线，则复数z 1＋z 2是以OZ 1→，OZ 2→为两邻边的__________的对角线OZ →所对应的____，即复数的加法可以按照向量的____来进行．这就是复数加法的几何意义．【做一做2】 向量OZ 1→对应的复数是5－4i ，向量OZ 2→对应的复数是－5＋4i ，则OZ 1→＋OZ 2→对应的复数是( ) A ．－10＋8i B ．10－8i C ．0D ．10＋8i3．复数减法的几何意义复数的减法是加法的逆运算，设OZ 1→，OZ 2→分别与复数z 1，z 2相对应，且OZ 1→，OZ 2→不共线，如图，则这两个复数的差z 1－z 2与向量OZ 1→－OZ 2→对应，这就是复数减法的几何意义．即复数z 1－z 2是连结向量OZ 1→，OZ 2→的____，并指向______所对应的复数．从上图看，|z 1－z 2|的意义是什么？【做一做3】 设O 是原点，向量OA →，OB →对应的复数分别为2－3i ，－3＋2i ，那么向量BA →对应的复数是__________．答案：1．(a ＋c )＋(b ＋d )i (a －c )＋(b －d )i z 2＋z 1 z 1＋(z 2＋z 3) 思考讨论提示：不能．如2＋i －i ＞0，但2＋i 与i 不能比较大小．【做一做1－1】 B z 1＋z 2＝(3＋4i)＋(3－4i)＝(3＋3)＋(4－4)i ＝6，故选B. 【做一做1－2】 D ∵z ＋i －3＝3－i ，∴z ＝(3－i)－(i －3)＝(3＋3)＋(－i －i)＝6－2i ，故选D. 2．平行四边形 复数 加法【做一做2】 C 由复数加法的几何意义知，OZ 1→＋OZ 2→对应的复数是(5－4i)＋(－5＋4i)＝0.故选C.3．终点 被减向量 想一想提示：表示点Z 1与Z 2间的距离．【做一做3】 5－5i BA →＝OA →－OB →＝(2－3i)－(－3＋2i)＝5－5i ，即BA →对应的复数为5－5i.1．如何理解复数代数形式的加、减运算法则？剖析：复数的代数形式的加法法则是一种规定，减法是加法的逆运算，其合理性可以从以下几点理解：(1)当复数的虚部为零时，与实数的加、减法法则一致． (2)实数加法的交换律、结合律在复数集中仍成立． (3)两个复数的和(差)是唯一确定的复数． (4)可以推广到多个复数进行加、减运算．复数加法运算律的证明： 对于任意复数z 1，z 2，z 3∈C . (1)交换律：z 1＋z 2＝z 2＋z 1；(2)结合律：(z 1＋z 2)＋z 3＝z 1＋(z 2＋z 3)．证明：设z 1＝a 1＋b 1i ，z 2＝a 2＋b 2i ，z 3＝a 3＋b 3i ，其中a 1，b 1，a 2，b 2，a 3，b 3∈R . (1)∵z 1＋z 2＝(a 1＋b 1i)＋(a 2＋b 2i)＝(a 1＋a 2)＋(b 1＋b 2)i ， z 2＋z 1＝(a 2＋b 2i)＋(a 1＋b 1i)＝(a 2＋a 1)＋(b 2＋b 1)i ，又∵a 1＋a 2＝a 2＋a 1，b 1＋b 2＝b 2＋b 1，∴z 1＋z 2＝z 2＋z 1. (2)∵(z 1＋z 2)＋z 3＝[(a 1＋b 1i)＋(a 2＋b 2i)]＋(a 3＋b 3i) ＝[(a 1＋a 2)＋(b 1＋b 2)i]＋(a 3＋b 3i) ＝[(a 1＋a 2)＋a 3]＋[(b 1＋b 2)＋b 3]i ， 而z 1＋(z 2＋z 3)＝(a 1＋b 1i)＋[(a 2＋b 2i)＋(a 3＋b 3i)] ＝(a 1＋b 1i)＋[(a 2＋a 3)＋(b 2＋b 3)i] ＝[a 1＋(a 2＋a 3)]＋[b 1＋(b 2＋b 3)]i. 又∵(a 1＋a 2)＋a 3＝a 1＋(a 2＋a 3)， (b 1＋b 2)＋b 3＝b 1＋(b 2＋b 3)， ∴(z 1＋z 2)＋z 3＝z 1＋(z 2＋z 3)．2．如何理解复数减法运算的几何意义？剖析：复数的减法也可用向量来进行运算．同样可实施平行四边形法则和三角形法则． 设OZ →与复数a ＋b i 对应，OZ 1→与复数c ＋d i 对应， 如图所示，以OZ →为一条对角线，OZ 1→为一边作平行四边形，那么这个平行四边形的另一边OZ 2→所表示的向量就与复数(a －c )＋(b －d )i 对应．这是因为Z 1Z →与OZ 2→平行且相等，所以向量Z 1Z →也与这个差对应，实际上，两个复数的差(a ＋b i)－(c ＋d i)(即OZ →－OZ 1→)与连结两个复数所对应的向量终点并指向被减向量的向量对应，即是“首同尾连向被减”，这就是复数减法的几何意义．由复数加减法的几何意义可得如下结论： ||z 1|－|z 2||≤|z 1±z 2|≤|z 1|＋|z 2|.题型一 复数的加减运算 【例题1】 计算：(1)(3－5i)＋(－4－i)－(3＋4i)； (2)(－7i ＋5)－(9－8i)＋(3－2i)．分析：根据复数的加、减法法则进行计算． 反思：复数的加减法法则的记忆：方法一：复数的实部与实部相加减，虚部与虚部相加减．方法二：把i 看作一个字母，类比多项式加减运算中的合并同类项． 题型二 复数加减运算的几何意义【例题2】 在复平面内，A ，B ，C 分别对应复数z 1＝1＋i ，z 2＝5＋i ，z 3＝3＋3i ，以AB ，AC 为邻边作一个平行四边形ABDC ，求D 点对应的复数z 4及AD 的长．分析：A D →＝A B →＋A C →→z 4－z 1＝(z 2－z 1)＋(z 3－z 1)→z 4→|z 4－z 1|反思：(1)根据复数加减运算的几何意义可以把复数的加减运算转化为向量的坐标运算． (2)利用向量进行复数的加减运算时，同样满足平行四边形法则和三角形法则． (3)复数加减运算的几何意义为应用数形结合思想解决复数问题提供了可能． 题型三 综合应用【例题3】 设z 1，z 2∈C ，已知|z 1|＝|z 2|＝1，|z 1＋z 2|＝2，求|z 1－z 2|. 分析：方法一：设出z 1，z 2的代数形式，利用模的定义求解． 方法二：利用复数加减运算的几何意义求解．反思：(1)解决复数问题时，设出复数的代数形式z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，利用复数相等或模的概念，列方程求实部、虚部可把复数问题实数化．(2)利用复数加减运算及模的几何意义，应用数形结合的思想，可以直观简便地解决复数问题．(3)掌握以下常用结论：在复平面内，z 1，z 2对应的点分别为A ，B ，z 1＋z 2对应的点为C ，O 为坐标原点，则四边形OACB ：①为平行四边形；②若|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，则四边形OACB 为矩形； ③若|z 1|＝|z 2|，则四边形OACB 为菱形；④若|z 1|＝|z 2|，且|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，则四边形OACB 为正方形．答案：【例题1】 解：(1)(3－5i)＋(－4－i)－(3＋4i) ＝(3－4－3)＋(－5－1－4)i ＝－4－10i.(2)(－7i ＋5)－(9－8i)＋(3－2i)＝(5－9＋3)＋(－7＋8－2)i ＝－1－i. 【例题2】 解：如图所示：AC →对应复数z 3－z 1，AB →对应复数z 2－z 1，AD →对应复数z 4－z 1.由复数加减运算的几何意义， 得AD →＝AB →＋AC →，∴z 4－z 1＝(z 2－z 1)＋(z 3－z 1)． ∴z 4＝z 2＋z 3－z 1＝(5＋i)＋(3＋3i)－(1＋i) ＝7＋3i.∴AD 的长为|AD →|＝|z 4－z 1|＝|(7＋3i)－(1＋i)|＝|6＋2i|＝【例题3】 解：方法一：设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )． 由题设，知a 2＋b 2＝1，c 2＋d 2＝1， (a ＋c )2＋(b ＋d )2＝2，∴2ac ＋2bd ＝0. ∴|z 1－z 2|2＝(a －c )2＋(b －d )2＝a 2＋c 2＋b 2＋d 2－2ac －2bd ＝2，∴|z 1－z 2|方法二：设复数z 1，z 2，z 1＋z 2分别对应向量OZ 1→，OZ 2→，OZ →.∵|z 1|＝|z 2|＝1，|z 1＋z 2| ∴平行四边形OZ 1ZZ 2为正方形． ∴|z 1－z 2|＝|Z 2Z 1→ |＝|OZ →|＝ 2.1 (6－2i)－(3i ＋1)等于( ) A ．3－3iB ．5－5iC ．7＋iD ．5＋5i2 在复平面内，点A 对应的复数为2＋3i ，向量OB →对应的复数为－1＋2i ，则向量BA →对应的复数为( )A ．1＋5iB ．3＋iC ．－3－iD ．1＋i3已知z 1＝m 2－3m ＋m 2i ，z 2＝4＋(5m ＋6)i(m ∈R )．若z 1－z 2＝0，则m ＝__________. 4若|z －1|＝1，试说明复数z 对应点的轨迹．答案：1．B (6－2i)－(3i ＋1)＝(6－1)＋(－2－3)i ＝5－5i.故选B.2．B ∵BA ＝OA －OB ，∴BA对应的复数为(2＋3i)－(－1＋2i)＝(2＋1)＋(3－2)i＝3＋i.故选B.3．－1 ∵z 1－z 2＝(m 2－3m ＋m 2i)－[4＋(5m ＋6)i] ＝(m 2－3m －4)＋(m 2－5m －6)i ＝0，∴22340,560.m mm m⎧--=⎪⎨--=⎪⎩∴m＝－1.4．分析：解答本题可根据复数的减法和模的几何意义求解．解：根据复数的减法和模的几何意义，知|z－1|＝1表示复数z对应的点到点(1,0)的距离为1，∴复数z对应点的轨迹是以点(1,0)为圆心，以1为半径的圆．。

3.2复数代数形式的四则运算3.2.1复数代数形式的加、减运算及其几何意义学习目标核心素养1.掌握复数代数形式的加、减运算法则．(重点)2．了解复数代数形式的加、减运算的几何意义．(易错点)1.通过复数代数形式的加、减运算，培养学生的数学运算核心素养．2．通过复数加、减运算几何意义的学习，培养学生直观想象的核心素养.1．复数加法与减法的运算法则设z1＝a＋b i，z2＝c＋di是任意两个复数，则(1)z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i；(2)z1－z2＝(a－c)＋(b－d)i.2．复数加法与减法的运算律对任意z1，z2，z3∈C，有(1)z1＋z2＝z2＋z1；(2)(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．3．复数加减法的几何意义复数加法的几何意义复数z1＋z2是以OZ1→，OZ2→为邻边的平行四边形的对角线OZ→所对应的复数复数减法的几何意义复数z1－z2是从向量OZ2→的终点指向向量OZ1→的终点的向量Z2Z1→所对应的复数000[提示]|z－z0|(z，z0∈C)的几何意义是复平面内点Z到点Z0的距离．1．已知复数z 1＝3＋4i ，z 2＝3－4i ，则z 1＋z 2＝ ( )A ．8iB ．6C ．6＋8iD ．6－8iB [z 1＋z 2＝3＋4i ＋3－4i ＝(3＋3)＋(4－4)i ＝6.]2．复数(1－i)－(2＋i)＋3i 等于( )A ．－1＋iB ．1－iC ．iD ．－iA [(1－i)－(2＋i)＋3i ＝(1－2)＋(－i －i ＋3i)＝－1＋i.故选A.]3．已知复数z ＋3i －3＝3－3i ，则z ＝( )A ．0B ．6iC ．6D ．6－6iD [∵z ＋3i －3＝3－3i ，∴z ＝(3－3i)－(3i －3)＝6－6i.]4．已知向量OZ →1对应的复数为2－3i ，向量OZ →2对应的复数为3－4i ，则向量Z 1Z 2→对应的复数为________．1－i [Z 1Z 2→＝OZ 2→－OZ 1→＝(3－4i)－(2－3i)＝1－i.]复数加减法的运算 (2)已知z 1＝(3x －4y )＋(y －2x )i ，z 2＝(－2x ＋y )＋(x －3y )i ，x ，y 为实数，若z 1－z 2＝5－3i ，则|z 1＋z 2|＝________.(1)－2－i (2)2 [(1)(2－3i)＋(－4＋2i)＝(2－4)＋(－3＋2)i ＝－2－i.(2)z 1－z 2＝[(3x －4y )＋(y －2x )i]－[(－2x ＋y )＋(x －3y )i]＝[(3x －4y )－(－2x ＋y )]＋[(y －2x )－(x －3y )]i ＝(5x －5y )＋(－3x ＋4y )i ＝5－3i ，所以⎩⎨⎧5x －5y ＝5，－3x ＋4y ＝－3，解得x ＝1，y ＝0， 所以z 1＝3－2i ，z 2＝－2＋i ，则z 1＋z 2＝1－i ，所以|z 1＋z 2|＝ 2.]复数与复数相加减，相当于多项式加减法的合并同类项，将两个复数的实部与实部相加(减)，虚部与虚部相加(减)．[跟进训练]1．计算：(1)(3＋5i)＋(3－4i)＝________；(2)(－3＋2i)－(4－5i)＝________；(3)(5－6i)＋(－2－2i)－(3＋3i)＝________.(1)6＋i (2)－7＋7i (3)－11i [(1)(3＋5i)＋(3－4i)＝(3＋3)＋(5－4)i ＝6＋i.(2)(－3＋2i)－(4－5i)＝(－3－4)＋(2＋5)i ＝－7＋7i.(3)(5－6i)＋(－2－2i)－(3＋3i)＝(5－2－3)＋(－6－2－3)i ＝－11i.]复数加减运算的几何意义【例2】 (1)复数z 1，z 2满足|z 1|＝|z 2|＝1，|z 1＋z 2|＝2，则|z 1－z 2|＝________.(2)如图所示，平行四边形OABC 的顶点O ，A ，C 对应复数分别为0、3＋2i 、－2＋4i ，试求：①AO →所表示的复数，BC →所表示的复数；②对角线CA →所表示的复数；③对角线OB →所表示的复数及OB →的长度．(1)2 [由|z 1|＝|z 2|＝1，|z 1＋z 2|＝2，知z 1，z 2，z 1＋z 2对应的点是一个边长为1的正方形的三个顶点，所求|z 1－z 2|是这个正方形的一条对角线长，所以|z 1－z 2|＝2.](2)[解] ①AO →＝－OA →，∴AO →所表示的复数为－3－2i.∵BC →＝AO →，∴BC →所表示的复数为－3－2i.②∵CA →＝OA →－OC →，∴CA →所表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.③对角线OB →＝OA →＋OC →，它所对应的复数z ＝(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i ，|OB →|＝12＋62＝37.1．用复数加、减运算的几何意义解题的技巧(1)形转化为数：利用几何意义可以把几何图形的变换转化成复数运算去处理．(2)数转化为形：对于一些复数运算也可以给予几何解释，使复数作为工具运用于几何之中．2．常见结论在复平面内，z 1，z 2对应的点分别为A ，B ，z 1＋z 2对应的点为C ，O 为坐标原点，则四边形OACB 为平行四边形；若|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，则四边形OACB 为矩形；若|z 1|＝|z 2|，则四边形OACB 为菱形；若|z 1|＝|z 2|且|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，则四边形OACB 为正方形．[跟进训练]2．复数z 1＝1＋2i ，z 2＝－2＋i ，z 3＝－1－2i ，它们在复平面上的对应点是一个正方形的三个顶点，求这个正方形的第四个顶点对应的复数．[解] 设复数z 1，z 2，z 3在复平面内所对应的点分别为A ，B ，C ，正方形的第四个顶点D 对应的复数为x ＋y i(x ，y ∈R )，如图．则AD →＝OD →－OA →＝(x ，y )－(1,2)＝(x －1，y －2)．BC →＝OC →－OB →＝(－1，－2)－(－2,1)＝(1，－3)．∵AD →＝BC →，∴⎩⎨⎧ x －1＝1，y －2＝－3，解得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝－1，故点D 对应的复数为2－i.复数模的最值问题[探究问题] 1．满足|z |＝1的所有复数z 对应的点组成什么图形？[提示] 满足|z |＝1的所有复数z 对应的点在以原点为圆心，半径为1的圆上．2．若|z －1|＝|z ＋1|，则复数z 对应的点组成什么图形？[提示] ∵|z －1|＝|z ＋1|，∴点Z 到(1,0)和(－1,0)的距离相等，即点Z 在以(1,0)和(－1,0)为端点的线段的中垂线上．3．复数|z 1－z 2|的几何意义是什么？[提示] 复数|z 1－z 2|表示复数z 1，z 2对应两点Z 1与Z 2间的距离．【例3】 (1)如果复数z 满足|z ＋i|＋|z －i|＝2，那么|z ＋i ＋1|的最小值是( )A ．1B ．12C ．2D ． 5(2)若复数z 满足|z ＋3＋i|≤1，求|z |的最大值和最小值．(1)A [设复数－i ，i ，－1－i 在复平面内对应的点分别为Z 1，Z 2，Z 3，因为|z ＋i|＋|z －i|＝2, |Z 1Z 2|＝2，所以点Z 的集合为线段Z 1Z 2.问题转化为：动点Z 在线段Z 1Z 2上移动，求|ZZ 3|的最小值，因为|Z 1Z 3|＝1， 所以|z ＋i ＋1|min ＝1.](2)[解] 如图所示， |OM →|＝(－3)2＋(－1)2＝2.所以|z |max ＝2＋1＝3，|z |min ＝2－1＝1.1．(变条件)若本例题(2)条件改为“设复数z 满足|z －3－4i|＝1”，求|z |的最大值．[解]因为|z－3－4i|＝1，所以复数z所对应的点在以C(3,4)为圆心，半径为1的圆上，由几何性质得|z|的最大值是32＋42＋1＝6.2．(变条件)若本例题(2)条件改为已知|z|＝1且z∈C，求|z－2－2i|(i为虚数单位)的最小值．[解]因为|z|＝1且z∈C，作图，如图所示：所以|z－2－2i|的几何意义为单位圆上的点M到复平面上的点P(2,2)的距离，所以|z－2－2i|的最小值为|OP|－1＝22－1.|z1－z2|表示复平面内z1，z2对应的两点间的距离．利用此性质，可把复数模的问题转化为复平面内两点间的距离问题，从而进行数形结合，把复数问题转化为几何图形问题求解.1．复数代数形式的加减法满足交换律、结合律，复数的减法是加法的逆运算．2．复数加法的几何意义就是向量加法的平行四边形法则，复数减法的几何意义就是向量减法的三角形法则．1. a，b为实数，设z1＝2＋b i，z2＝a＋i，当z1＋z2＝0时，复数a＋b i为()A．1＋i B．2＋iC．3 D．－2－iD[∵z1＝2＋b i，z2＝a＋i，∴z1＋z2＝2＋b i＋(a＋i)＝0，所以a＝－2，b＝－1，即a＋b i＝－2－i.]2．已知z1＝2＋i，z2＝1＋2i，则复数z＝z2－z1对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C ．第三象限D ．第四象限B [z ＝z 2－z 1＝(1＋2i)－(2＋i)＝－1＋i ，实部小于零，虚部大于零，故位于第二象限．]3．计算|(3－i)＋(－1＋2i)－(－1－3i)|＝________.5 [|(3－i)＋(－1＋2i)－(－1－3i)|＝|(2＋i)－(－1－3i)|＝|3＋4i|＝32＋42＝5.]4．已知复数z 1＝(a 2－2)＋(a －4)i ，z 2＝a －(a 2－2)i(a ∈R )，且z 1－z 2为纯虚数，则a ＝________.－1 [z 1－z 2＝(a 2－a －2)＋(a －4＋a 2－2)i(a ∈R )为纯虚数，∴⎩⎨⎧ a 2－a －2＝0，a 2＋a －6≠0，解得a ＝－1.]5．在复平面内，复数－3－i 与5＋i 对应的向量分别是OA →与OB →，其中O 是原点，求向量OA →＋OB →，BA →对应的复数及A ，B 两点间的距离．[解] 向量OA →＋OB →对应的复数为(－3－i)＋(5＋i)＝2.∵BA →＝OA →－OB →，∴向量BA →对应的复数为(－3－i)－(5＋i)＝－8－2i.∴A ，B 两点间的距离为|－8－2i|＝(－8)2＋(－2)2＝217.。

最新人教版高中数学选修2-2第三章《复数代数形式的四则运算》示范教案3．2.2复数代数形式的乘除运算整体设计教材分析本节课是《复数代数形式的四则运算》的第二课时，是四则运算的重点，也是本章的重点．复数的乘法法则是规定的，其合理性表现在：这种规定与实数乘法的法则是一致的，而且实数乘法的有关运算律在这里仍然成立．由除法是乘法的逆运算的这种规定，可以得到复数除法的运算法则．教材在内容编排上使用问题探究式的方法，引导学生能够自己探究新知，发现新知，理解新知．学生不仅学到了知识，而且培养了学习兴趣，提高了学习积极性．课时分配1课时．教学目标知识与技能目标1．掌握复数代数形式的乘除运算法则，熟练进行复数的乘法和除法运算．2．理解复数乘法的交换律、结合律、分配律；了解共轭复数的定义及性质．过程与方法目标1．运用类比方法，经历由实数系中的乘除法到复数系中乘除法的过程．2．培养学生的发散思维和集中思维的能力，以及问题理解的深刻性、全面性．情感、态度与价值观通过实数的乘、除法运算法则及运算律，推广到复数的乘、除法，使同学们对运算的发展历史和规律，以及连续性有一个比较清晰完整的认识，同时培养学生的科学思维方法．重点难点重点：掌握复数代数形式的乘除运算的法则，熟练进行复数的乘法和除法运算．难点：复数除法的运算法则．教学过程引入新课提出问题：试计算5(2＋i)．活动设计：先由学生独立思考，然后交流看法．学情预测：学生可能类比单项式与多项式的乘法来计算．活动成果：(板书)5(2＋i)＝(2＋i)＋(2＋i)＋(2＋i)＋(2＋i)＋(2＋i)＝10＋5i.设计意图通过比较分别运用实数集中乘法的意义和复数的加法法则计算所得的结果，得到结论：m(a＋bi)＝ma＋mbi，其中m，a，b∈R.引出新课．两个复数相乘又该如何计算？探究新知提出问题：如何计算(2＋i)(3＋2i)?活动设计：先让学生独立思考，然后小组交流，教师巡视指导，并注意与学生交流．学情预测：学生可能类比两个多项式的乘法来计算．活动成果：(板书)(1)规定，复数的乘法法则：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di是任意两个复数，那么它们的积：(a＋bi)(c＋di)＝ac＋bci＋adi＋bdi2＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.(2)(2＋i)(3＋2i)＝6＋3i＋4i＋2i2＝4＋7i.设计意图遇到问题就得解决问题，但是复数又是一个全新的知识，它是实数集的扩充，所以在不违背原有知识的基础上规定了复数的乘法法则，使学生体会知识的创新与发展的过程．理解新知提出问题1：怎样理解复数的乘法法则？它可能满足哪些运算律？活动设计：学生独立思考，然后同学间交流．学情预测：学生可以独立理解复数的乘法法则，并写出它满足的运算律．活动成果：(1)可以看出，两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要在所得的结果中把i2换成－1，并且把实部与虚部分别合并即可．两个复数的积是一个确定的复数．(2)实数集上的乘法满足的运算律，可以直接推广到复数集上的乘法运算中：对于任意z1，z2，z3∈C，有z1·z2＝z2·z1，(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)，z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3.设计意图准确地把握法则及其满足的运算律，为正确熟练地运用打下良好的基础．提出问题2：计算i5，i6，i7，i8的值，你能推测i n(n∈N*)的值有什么规律吗？活动设计：学生独立思考，然后同学间交流结果，教师巡视指导．学情预测：学生能够计算出四个值，并说出周期性．活动成果：i5＝i，i6＝－1，i7＝－i，i8＝1，推测i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋4＝1(n∈N*)．设计意图了解i的幂的周期性，培养学生的观察和归纳能力．运用新知例1计算：(1)(1－i)2；(2)(1－2i)(3＋4i)(1＋2i)．思路分析：第(1)题可以用复数的乘法法则计算，也可以用实数系中的乘法公式计算；第(2)题可以按从左到右的运算顺序计算，也可以结合运算律来计算．解：(1)解法一：(1－i)2＝(1－i)(1－i)＝1－i－i＋i2＝－2i；解法二：(1－i)2＝1－2i＋i2＝－2i.(2)解法一：(1－2i)(3＋4i)(1＋2i)＝(3＋4i－6i－8i2)(1＋2i)＝(11－2i)(1＋2i)＝(11＋4)＋(22－2)i＝15＋20i；解法二：(1－2i)(3＋4i)(1＋2i)＝[(1－2i)(1＋2i)](3＋4i)＝5(3＋4i)＝15＋20i.点评：此题主要是巩固复数乘法法则及运算律，以及乘法公式的推广应用．特别要提醒其中(－2i)·4i＝8，而不是－8.探究新知提出问题1：在例1中1－2i与1＋2i的积恰好是一个实数，观察这两个复数之间有何联系？活动设计：学生独立思考，然后交流．学情预测：在教师的引导下，学生能够得出两个复数的异同．活动成果：一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数．虚部为0的两个共轭复数也叫共轭虚数．注意：z 的共轭复数常用z 表示．即：若z ＝a ＋bi ，则z ＝a －bi.设计意图例1(2)为引出共轭复数的概念提供了实例支持，从而得出共轭复数的定义，使学生对知识的接受变得自然．提出问题2：类比实数的除法，联系复数减法法则的引入过程，探求复数除法的法则．活动设计：引导学生运用乘法法则以及复数相等的概念来得到除法法则．活动成果：(1)规定复数的除法是乘法的逆运算，即把满足(c ＋di)(x ＋yi)＝a ＋bi(c ＋di ≠0)的复数x ＋yi ，叫做复数a ＋bi 除以c ＋di 的商．(2)经计算可得(cx －dy)＋(dx ＋cy)i ＝a ＋bi.根据复数相等的定义，有cx －dy ＝a ，dx ＋cy ＝b.由此得x ＝ac ＋bd c 2＋d 2，y ＝bc －ad c 2＋d 2. 于是得到复数除法的法则是：(a ＋bi)÷(c ＋di)＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －ad c 2＋d 2i. 由此可见，两个复数相除(除数不为0)，所得的商是一个确定的复数．理解新知提出问题1：若z 1，z 2是共轭复数，那么(1)在复平面内，它们所对应的点有怎样的位置关系？(2)z 1·z 2是一个怎样的数？(3)若z 1是实数，则它的共轭复数是怎样的数？活动设计：学生独立探究，然后再小组交流．教师巡视指导．学情预测：学生通过独立思考，然后与同学交流看法，最后能够得出正确的结论．活动成果：(1)两个共轭复数的对应点关于实轴对称；(2)z 1·z 2＝|z 1|2＝|z 2|2；(即z·z ＝|z|2＝|z |2)(3)z 1的共轭复数仍是z 1，即实数的共轭复数是它本身．设计意图使学生加深对共轭复数概念的了解．提出问题2：在实际进行复数运算时，每次都按照乘法逆运算的办法来求商，这是十分麻烦的．如何简化求商的过程？这种简化的求商过程与实数系中作何种运算的过程相类似？活动设计：起初学生会无从下手，可以提示他们观察商的实部和虚部的分母与除数的关系，从而得解．学情预测：学生在教师的指导下，基本上能发现规律．活动结果：(1)在进行复数除法运算时，通常先把(a ＋bi)÷(c ＋di)写成a ＋bi c ＋di的形式，再把分子与分母都乘以分母的共轭复数c －di ，化简整理后即可．(2)这种求商过程与作根式除法时的处理是很类似的．在作根式除法时，分子、分母都乘以分母的“有理化因式”，从而使分母“有理化”．这里分子和分母都乘以分母的“实数化因式”(共轭复数)，从而使分母“实数化”．设计意图简化求解过程，有利于熟练运用法则．运用新知例2计算(1＋2i)÷(3－4i)．思路分析：先把(1＋2i)÷(3－4i)写成1＋2i 3－4i的形式，然后分子、分母都乘以3＋4i ，计算整理即可．解：(1＋2i)÷(3－4i)＝1＋2i 3－4i ＝(1＋2i )(3＋4i )(3－4i )(3＋4i )＝3－8＋6i ＋4i 32＋42＝－5＋10i 25＝－15＋25i. 点评：例2是复数除法的计算题，目的是让学生熟练操作上述作除法的简便过程．巩固练习计算：(1)7＋i 3＋4i ；(2)(3＋2i)(－3＋2i)；(3)(－1＋i )(2＋i )－i . 解：(1)7＋i 3＋4i ＝(7＋i )(3－4i )(3＋4i )(3－4i )＝25－25i 25＝1－i ； (2)(3＋2i)(－3＋2i)＝(2i)2－(3)2＝2i 2－3＝－2－3＝－5；(3)(－1＋i )(2＋i )－i ＝－2－i ＋2i ＋i 2－i ＝－3＋i －i ＝(－3＋i )i －i·i＝－1－3i. 变练演编1．已知：________÷________＝1＋2i ，则横线上可以填的条件是什么？(可以多写几种)2．计算：3＋4i 4－3i；并自己编制一道类似的题目．答案：1.11＋2i ，3－4i 或5,1－2i 等等．(先写出被除数或除数中的一个，然后求另一个)2．解法一：3＋4i 4－3i ＝(3＋4i )(4＋3i )(4－3i )(4＋3i )＝25i 25＝i ；解法二：3＋4i 4－3i ＝(3＋4i )i (4－3i )i ＝(3＋4i )i 3＋4i ＝i. 编制的题目：5＋3i 3－5i ，－5i ＋6－6i －5(编制的原则设分子是z 1＝a ＋bi ，则分母为z 2＝b －ai ，即分母与i 的乘积就是分子，可直接约分，从而达到分母实数化)．设计意图第一个题目的设计不仅是为了训练学生灵活处理问题，熟练运用知识的能力，而且可以培养学生发散思维与集中思维的能力，还可以考查学生对知识、问题理解的深刻性和思维的深刻性、全面性．题型的新颖性、开放性更是不言而喻．第二个题的目的是使学生更深刻理解复数的除法就是分母的实数化．达标检测1．复数a ＋bi 与c ＋di 的积是实数的充要条件是( )A ．ad ＋bc ＝0B ．ac ＋bd ＝0C ．ac ＝bdD ．ad ＝bc2．已知(1＋2i)z ＝4＋3i ，求z.3．计算－23＋i 1＋23i＋(21－i )2 010. 解析：1.若(a ＋bi)(c ＋di)＝(ac －bd)＋(ad ＋bc)i 是实数，则只需虚部ad ＋bc ＝0.故答案为A.2．由已知可得z ＝4＋3i 1＋2i ＝(4＋3i )(1－2i )(1＋2i )(1－2i ) ＝10－5i 5＝2－i ，所以z ＝2＋i. 3.－23＋i 1＋23i ＋(21－i )2 010＝i (1＋23i )1＋23i＋[(21－i )2]1 005＝i ＋(2－2i )1 005 ＝i ＋i 1 005＝i ＋i 4×251＋1＝i ＋i ＝2i.课堂小结对给定的三个复数z 1＝a 1＋b 1i ，z 2＝a 2＋b 2i ，z 3＝a 3＋b 3i ，你能研究些什么？用什么样的方法来研究？(数系的扩充，当复数的虚部为0时，复数也就是特殊的实数；复数的分类；复数相等的概念；复数的几何意义；复数的模；复数的运算；复数的运算律；任一个复数的共轭复数及性质等本章所学的所有知识．用类比、转化、数形结合、化虚为实等思想方法来研究．)布置作业习题3.2 A 组4、5题．补充练习基础练习1．复数(15＋8i)(－1－2i)的值为________．2．已知复数z 1＝3＋4i ，z 2＝t ＋i ，且z 1·z 2是实数，则实数t 等于( )A.34B.43 C ．－43 D ．－343．复数z ＝m －2i 1＋2i在复平面上对应的点不可能位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．若z 1＝a ＋2i ，z 2＝3－4i 且z 1z 2为纯虚数，则实数a 的值为__________． 5．已知z 1＝5＋10i ，z 2＝3－4i ，1z ＝1z 1＋1z 2，求z. 答案：1.1－38i 2.A 3.A 4.83 5.5－52i. 拓展练习6．已知2i －3是关于x 的方程2x 2＋px ＋q ＝0的一个根，求实数p ，q 的值．思路分析：2i －3是方程的根，代入方程后根据复数相等的定义，化虚为实，即可求得．解：由已知得：2(2i －3)2＋p(2i －3)＋q ＝0，从而(10－3p ＋q)＋(2p －24)i ＝0.于是，有10－3p ＋q ＝0，2p －24＝0，解得p ＝12，q ＝26. 点评：解决复数问题的关键就是转化为实数问题来处理，复数相等就是实现这一转化的很好的工具．设计说明本节课是本章的重点内容，同时复数乘、除法的法则的理解更是难点．故在本节课的设计上多次采取类比的方法，使知识在不失其本质的情况下，更易于理解．同时这种处理方法可以使新知识与所学知识建立联系性，有利于知识的网络化和系统化．在整个设计上突出了问题驱动式的教学方法，以问题为主线，以学生为主体，随着问题的提出与解决，教学内容也被随之很好地学习与理解．在例题和习题的设计环节上，力求突出本节课的重点：熟练掌握复数的乘除法运算以及数学思维方式与技能形成的培养．例题的选题目的有三：一是巩固所学法则及运算律；二是通过一题多解培养学生的发散思维能力；三是培养计算能力，以形成技能．变练演编的第1题考查学生灵活运用知识、发散思维及逆向思维的能力；第2题则是使学生更加深刻地体会复数除法的实质就是“分母实数化”，培养学生问题理解的深刻性、全面性．为了进一步巩固所学，又设计了巩固练习、达标检测和补充练习等环节．在补充练习中为学有余力的同学安排了拓展练习，增加思维量的同时也开阔了视野．备课资料我们知道，对于实系数一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0，如果b 2－4ac<0，那么它在实数集R 内没有实根．现在把实数集R 扩充为复数集C ，再来考察这一问题．经过变形，原方程可以化为x 2＋b a x ＝－c a，∴x 2＋2·x·b 2a ＋(b 2a )2＝(b 2a )2－c a ，(x ＋b 2a )2＝b 2－4ac (2a )2，(x ＋b 2a )2＝－[－(b 2－4ac )(2a )2]．由于－(b 2－4ac )(2a )2是正实数，我们可以得到x ＋b 2a ＝±－(b 2－4ac )·i 2a . 所以当b 2－4ac<0时，实系数一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0在复数集C 内有且只有两个根x ＝－b±－(b 2－4ac )·i 2a(b 2－4ac<0). 显然，它们是一对共轭复数．(设计者：许彩霞董伟伟)。

3.2复数的四则运算复习：我们引入这样一个数/ J把/叫做虚数单位"并且规定：*=-1;形如尹bid, bWR）的数叫做复数.全体复数所形成的集合叫做复数集，一般用字母C表示•复数的代数形式^通常用字母运表示，即i (a w R.b e R)。

复数集C 和实数集R 之间有什么关系?「实数b = o纯虚数o = 0, b 工0 非纯虚数QH O, b^O实部 虚部 其中「称为虚数单位。

复数a+bi< 虚数b 工0 Z = Q 讨如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等.若a，b,c，d e R,a+bi = c + di 特别地，a=b=Oa+b i二Do问题：a=0是z二a+b i （a、bwR）为纯虚数白勺必要不充分条件注意:一般地，两个复数只能说相等或不相等,而不能比较大小.思考:对于任意的两个复数到底能否比较大小？答案：当且仅当两个复数都是实数时，才能比较大小.1 •复数加减法的运算法则：(1)运算法则:设复数G二a+b i, z2=c+d i,那么:z1+z2=(a+c) + (b+d) i ;z〔-Z2二(a-c) + (b-d) i. 即:两个复数相加(减)就是实部与实部,虚部与虚部分别相加(减)•⑵复数的加法满足交换律、结合律,即对任何Z” Z2, Z3ec,有z1+z2=z2+z1,(z1+z2) +Z3二Z[+(Z2+Z3)-二二寸 — I —— 9—) + (T Z —「)H(Z寸+E)— — +—2 •复数的乘法(1)复数乘法的法则复数的乘法与多项式的乘法是类似的，但必须在所得的结果中把i 2换成T, 并且把实部合并•即：(a+b i) (c+d i)二ac+bc i +ad i +bd i2=(ac-bd)+(bc+ad)i.(2)复数乘法的运算定理复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律.即对田可Z2, Z3有Z1Z2=Z2Z1：Z1Z2)Z3=Z1 Z2Z3)Zl(z2+z3)=z1z2+z1z3-例2：计算（1）（。