小学数学竞赛数的整除特征

⼩学数学竞赛七、数的整除特征（⼀）七、数的整除特征（⼀）⼩学数学课本中曾介绍过数的整除特征，即若⼀个⾃然数的个位数字是0、2、4、6、8时，那么这个数⼀定能被2整除；若⼀个⾃然数的个位数字是0、5时，这个数⼀定能被5整除；若⼀个⾃然数的各个数位上的数字和是3的倍数，这个数⼀定能被3整除.由上⾯提到的整除特征我们知道，92和56都能被2整除，92与56的和、差（分别为148和36）也能被2整除.另外56=7×8，2能整除8，所以2也能整除56.还有2、3和4都能整除12，那么2和3的积6也能整除12，但是2和4的积8不能整除12.把上⾯这些具体的事例⼀般化，就可得到数的整除的⼏个重要的性质（严格来讲，下⾯的性质只有经过严密的数学逻辑证明才能予以承认）.性质1 如果数a、b都能被数c整除，那么（a+b）与（a-b）也能被c整除.性质2 如果数a能被数b整除，c是整数，那么积ac也能被b整除.性质3 如果数a能被数b整除，b⼜能被数c整除，那么a也能被c整除.性质4 如果数a能同时被数b、c整除，⽽且b、c互质，那么a⼀定能被积bc整除.下⾯通过⼏个例⼦向同学们再介绍⼏个数的整除特征.例1 在□内填上适当的数字，使六位数43217□能被4（或25）整除.分析与解43217□的个位数字现在不知是⼏，先假设它为x，那么43217=4321×100，100=4×25，所以4和25都能整除100，根据整除的性质，432100能被4、25整除.如果43217x能被4（或25）除，那么43217x也⼀定能被4（或25）整除.因为72和76都是4的倍数，所以六位数43217和43217能被4整除.因为75是25的倍数，所以43217能被25整除.通过这个例题，我们得到⼀个数能被4（或25）整除的特征是：如果⼀个⾃然数的末两位数能被4（或25）整除，那么这个⾃然数就能被4（或25）整除，否则这个数就不能被4（或25）整除.例2 在□中填上合适的数字，使七位数4786□7□能被125（或8）整除. 分析与解设七位数的百位数字和个位数字分别为x、y，那么4786□375，500，625，850，975这⼋种情况，只有375、975满⾜要求....，104，112，...，176，184，...，272，...，376，...，472，...，576，...，672，...，776， (872)…，976，984，992这125种情况.只有072，176，272，376，472，576，672，776，872，976这⼗个数满⾜要求.因为375、975是125的倍数，所以七位数47867和47867能被125整除.因为072，176，272，376，472，576，672，776，872，976是8的倍数，所以47867，47867，47867，4787，47867，47867，47867，47867，47867，47867能被8整除.通过这个实例，我们得到⼀个数能被8（或125）整除的特征是：如果⼀个⾃然数的末三位数能被8（或125）整除，那么这个⾃然数就能被8（或125）整除，否则这个数就不能被8（或125）整除.例3 在□内填上合适的数字，使五位数4□32□能被9整除.分析与解同例1、例2，先设五位数4□32□的千位上、个位上□内的数字分别为x、y，那么4□32□=40000+x×1000+300+20+y=4×（9999+1）+x×（999+1）+3×（99+1）+2×（9+1）+y=4×9999+999x+3×99+2×9+4×x+3+2+y=9×（1111×4+111x+11×3+2×1）+（4+x+3+2+y）不论x是什么数字，9⼀定能整除9×（1111×4+111x+11×3+1×2）.4+x+3+2+y能被9整除，这个和只能是9、18、27三种情况.当4+x+3+2+y=9时，x=y=0；当4+x+3+2+y=18时，x+y=9，这时有x=0，1，2，3，…，9，对应的y=9，8，7，…，2，1，0；当4+x+3+2+y=27时，x+y=18，这时x=y=9.因为9是9的倍数，所以432能被9整除.因为18是9的倍数，所以432，432，432，432，432，432，432，432，432，432能被9整除.因为27是9的倍数，所以432能被9整除.通过这个实例，我们得到⼀个数能被9整除的特征是：如果⼀个数的各个数位上的数字和能被9整除，那么这个数就能被9整除，否则这个数就不能被9整除.例4 在□⾥填上适当的数字，使七位数□1992□□能同时被9、25、8整除.。

数学竞赛专项训练－整除、质数、合数、倍数、约数数学竞赛专项训练第一讲　数的整除一、内容提要：如果整数A 除以整数B(B ≠0)所得的商A/B 是整数,那么叫做A 被B 整除. 0能被所有非零的整数整除.一些数的整除特征除 数能被整除的数的特征2或5末位数能被2或5整除 4或25末两位数能被4或25整除8或125末三位数能被8或125整除3或9各位上的数字和被3或9整除(如771，54324)11奇数位上的数字和与偶数位上的数和相减,其差能被11整除(如143,1859,1287,908270等)7,11,13末三位与末三位以前的数相减,其差能被7或11或13整除.(如1001，22743，17567，21281等)能被7整除的数的特征： ①抹去个位数 ②减去原个位数的2倍　③其差能被7整除。

如　1001 100－2＝98（能被7整除）又如7007 700－14＝686， 68－12＝56（能被7整除）能被11整除的数的特征： ①抹去个位数 ②减去原个位数 ③其差能被11整除如　1001 100－1＝99（能11整除）又如10285 1028－5＝1023 102－3＝99（能11整除）二、例题例1已知两个三位数328和的和仍是三位数且能被9整除。

92x 75y 求x,y解：x,y 都是0到9的整数，∵能被9整除，∴y=6.75y ∵328＋＝567，∴x=392x 例2已知五位数能被12整除，求x 1234x解：∵五位数能被12整除，必然同时能被3和4整除， 当1＋2＋3＋4＋能被3整除时，x=2，5，8x 当末两位能被4整除时，＝0，4，84x x ∴＝8x 例3求能被11整除且各位字都不相同的最小五位数解：五位数字都不相同的最小五位数是10234，　但（1＋2＋4）－（0＋3）＝4，不能被11整除，只调整末位数仍不行　调整末两位数为30，41，52，63，均可，数学竞赛专项训练－整除、质数、合数、倍数、约数∴五位数字都不相同的最小五位数是10263。

第一章小学数学解题方法解题技巧之整除及数字整除特征【数字整除特征】例1 42□28□是99的倍数，这个数除以99所得的商是__。

（上海市第五届小学数学竞赛试题）讲析：能被99整除的数，一定能被9和11整除。

设千位上和个位上分别填上数字a、b，则：各位上数字之和为[16+（a+b）]。

要使原数能被9整除，必须使[16+（a+b）]是9的倍数，即（a+b）之和只能取2或11。

又原数奇位上的数字和减去偶位上数字和的差是（8+a-b）或（b-a-8），要使原数能被11整除，必须使（8+a-b）或（b-a-8）是11的倍数。

经验证，（b-a-8）是11的倍数不合。

所以a-b=3。

又a+b=2或11，可求得a=7，b=4。

从而很容易求出商为427284÷99=4316。

例2 某个七位数1993□□□能同时被2、3、4、5、6、7、8、9整除，那么它的最后三位数字依次是__。

（1993年全国小学数学奥林匹克初赛试题）讲析：因为2、3、4、5、6、7、8、9的最小公倍数是2520。

而1993000÷2520=790余2200。

于是再加上（2520-2200）=320时，就可以了。

所以最后三位数字依次是3、2、0。

例3 七位数175□62□的末位数字是__的时候，不管千位上是0到9中的哪一个数字，这个七位数都不是11的倍数。

（上海市第五届小学数学竞赛试题）讲析：设千位上和个位上的数字分别是a和b。

则原数奇位上各数字和与偶位上各数字之和的差是[3+（b-a）]或[（a-b）-3]。

要使原数是11的倍数，只需[3+（b-a）]或[（a-b）-3]是11的倍数。

则有 b-a=8，或者a-b=3。

①当 b-a=8时，b可取9、8；②当 a-b=3时，b可取6、5、4、3、2、1、0。

所以，当这个七位数的末位数字取7时，不管千位上数字是几，这个七位数都不是11的倍数。

例4 下面这个四十一位数55......5□99 (9)（其中5和9各有20个）能被7整除，那么中间方格内的数字是__。

5-2-2. 数的整除之四大判断法综合运用（二）教课目的1.认识整除的性质；2.运用整除的性质解题；3.整除性质的综合运用 .知识点拨一、常有数字的整除判断方法1. 一个数的末位能被 2 或5 整除，这个数就能被 2或 5 整除；一个数的末两位能被4或 25 整除，这个数就能被 4 或 25 整除；一个数的末三位能被8或 125 整除，这个数就能被8 或 125 整除；2.一个位数数字和能被 3 整除，这个数就能被 3 整除；一个数各位数数字和能被9 整除，这个数就能被 9 整除；3.假如一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除，那么这个数能被11 整除 .4.假如一个整数的末三位与末三位从前的数字构成的数之差能被7、 11 或13 整除，那么这个数能被7、 11或13 整除 .5.假如一个数能被99 整除，这个数从后两位开始两位一截所得的全部数（假如有偶数位则拆出的数都有两个数字，假如是奇数位则拆出的数中若干个有两个数字还有一个是一位数）的和是99 的倍数，这个数必定是 99 的倍数。

【备注】（以上规律仅在十进制数中建立.）二、整除性质性质 1假如数 a 和数 b 都能被数 c 整除，那么它们的和或差也能被 c 整除．即假如c︱ a，c︱ b，那么 c︱ (a±b)．性质 2假如数 a 能被数 b 整除， b 又能被数 c 整除，那么 a 也能被 c 整除．即假如b∣ a，c∣b，那么 c∣ a．用相同的方法，我们还能够得出：性质 3假如数 a 能被数 b 与数 c 的积整除，那么 a 也能被 b 或 c 整除．即假如 bc∣ a，那么b∣ a， c∣ a．性质 4假如数a能被数b整除，也能被数 c 整除，且数 b 和数 c 互质，那么 a 必定能被b与 c 的乘积整除．即假如b∣ a， c∣ a，且 (b， c)=1，那么 bc∣ a．比如：假如3∣ 12， 4∣ 12，且 (3， 4)=1，那么 (3 ×4) ∣ 12．性质 5假如数a能被数b整除，那么am 也能被 bm 整除．假如b｜a，那么 bm｜ am（m 为非 0 整数）；性质 6假如数a能被数b整除，且数c 能被数 d 整除，那么ac 也能被 bd 整除．假如b｜ a ，且 d｜ c ，那么bd｜ ac；例题精讲模块一、 11 系列【例 1 】以多位数142857 为例，说明被 11 整除的另一规律就是看奇数位数字之和与偶数位数字之和的差能否被 11 整除 .【考点】整除之11 系列【难度】2星【题型】解答【分析】略【答案】 142857 1 100000 4 10000 2 1000 8 100 5 107 11 ( 100001 1) 4 ( 1 9999 )2 (1001 1) 8 ( 1 99) 5 ( 11 1) 71( 1 100001 4 9999 2 1001 8 99 5 11) ( 4 1 8 2 75)因为依据整除性质 1 和铺垫知，等式右侧第一个括号内的数能被11 整除，再依据整除性质1，要判断 142857可否被11整除，只需判断4 1 8 2 7 5 ( 4 8 7) ( 1 2 5) 可否被 11 整除，所以结论获得说明.【例 2 】试说明一个 4 位数，原序数与反序数的和必定是序数为 6321，它们的和7557 是 11 的倍数．【考点】整除之11 系列【难度】2星【题型】解答【分析】略11 的倍数(如： 1236 为原序数，那么它对应的反【答案】设原序数为abcd，则反序数为dcba，则abcd＋ dcba( 1000a100b10c d )(1000d100c10b a )1001a110b110c1001d11( 91a10b10c91d ) ，因为等式的右侧能被11整除，所以abcd dcba 能被11 整除【例 3 】一个4位数，把它的千位数字移到右端构成一个新的 4 位数 .已知这两个 4 位数的和是以下的一个：① 9865；② 9866；③ 9867；④ 9868 ；⑤ 9869.这两个 4 位数的和究竟是多少?【考点】整除之11 系列【难度】2星【题型】解答【分析】设这个 4 位数是 abcd ，则新的 4 位数是 bcda .两个数的和为5 个数abcd bcda1001a1100b110c11d ,是11 的倍数.在所给的 5 个数中只有9867 是11 的倍数，故正确的答案为9867．【答案】9867模块二、 7、11、13 系列【例 4 】以多位数为例，说明被【考点】整除之7、11、 13 系列【难度】3星【分析】略7、 11、13 整除的规律【题型】解答.【答案】142 (1000000001 1) 857 (999999 1) 314 (1001 1)2751421000000001 1428579999998573141001314275(14210000000018579999993141001)(857142275314)因为依据整除性质 1和铺垫知，等式右侧第一个括号内的数能被7、11、13 整除，再依据整除性质1，要判断可否被 7、11、13 整除，只需判断857142275314可否被7、11、13 整除，所以结论获得说明 .【例 5 】已知道六位数 20□279 是 13 的倍数，求□中的数字是几？【考点】整除之7、11、 13 系列【难度】 2 星【题型】填空【分析】依据一个整数的末三位与末三位从前的数字构成的数之差能被7、11 或 13 整除，那么这个数能被7、11 或 13 整除的特色知道：27920□ =7□， 7□是 13 的倍数，□是 8 的时候是 13倍数，所以知道方格中填 1。

数的整除特征练习题一．夯实基础：1.一个三位数等于它的各位数字之和的42倍，这个三位数是多少？2.将1996加一个整数，使所得的和能被9与11整除，加的整数要尽可能小，那么所加整数是多少？3.一个五位数恰好等于它各位数字之和的2009倍，则这个五位数是多少？4.一个非零自然数是99的倍数，但各位数字之和不是18的倍数，求这样的数中最小的是几？5.如果一个六位数2000a b能被26整除，所有．．这样的六位数是二．拓展提高：6.多位数A由数字1、3、5、7、9组成，每个数字都可以重复出现但至少出现一次，而且A可以被A中任意一个数字整除.求这样的A的最小值.7.某个七位数1993□□□能够同时被2，3，4，5，6，7，8，9整除，那么它的最后三位数字依次是多少?8.一个非零自然数是99的倍数，但各位数字之和不是18的倍数，求这样的数中最小的是几？9.六位数2008能同时被9和11整除.这个六位数是多少？10.用1，9，8，8这四个数字能排成几个被11除余8的四位数?三. 超常挑战11.包含0,1,2,3,4,5,6,7,8,9十个数字的十位数称为“十全数”，如果某个“十全数”同时满足下列要求：（1）它能分别被1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12整除；（2）它与2004的和能被13整除.那么这样的“十全数”中最小的是多少？12.在523后面写出三个数字，使所得的六位数被7、8、9整除．那么这三个数字的和是多少？13.把若干个自然数1、2、3、……连乘到一起，如果已知这个乘积的最末53位恰好都是零，那么最后出现的自然数最小应该是多少？最大是多少？14.11个连续两位数的乘积能被343整除，且乘积的末4位都是0，那么这11个数的平均数是多少？四．杯赛演练：15.（迎春杯试题）用4,5,6,7,8,9组成一个没有重复数字的六位数，并且这个六位数能被667整除，求这个六位数除以667的商是多少？答案： 1. 42()33()abc a b c abc a b c =++⇒⇒++，所以99912617126abc k k ⎡⎤=⇒≤≤=⎢⎥⎣⎦经试验当6k =时，75642(756)abc ==⨯++2. (911)21199683⨯⨯-=3. 设这个五位数的各位数字之和为a ，则这个五位数为2009a ，则920089a a ⇒又100009999954920092009a a ≤≤⇒≤≤，所以9,18,27,36,45a =，将上述5个值依次尝试，只有18a = 时，200936162a =4. 显然这个数不可能是一位数、二位数，如果是三位数，则其各位数字之和均为18，不合题意，所以这个数至少是四位数.假设这个数是四位数，设其为abcd ，9999299abcd ab cd ⇒+≤⨯，当299ab cd +=⨯时显然不合题意，当99ab cd +=时，显然不存在进位，于是9,918b d a c a b c d +=+=⇒+++=，矛盾.所以这个数至少是五位数，假设这个数是五位数，设其为a b c d e ，999999999207abcde a bc de =++≤++=，所以99a bc de ++=或198， 若99a bc de ++=，同上面分析，必须有进位，考虑极端情况，取10989abcde =； 若198a bc de ++=，显然得不到比10989更小的数.5. 26200022000,132000a b a b a b ⇒，经试验得520000,420004,3200086. 至少5位，由于31357925++++=，所以数字和至少增加2，为使其尽量小，位数应尽量小，增加的数也应尽量小，取极端情况251127++=，可满足3A 且9A ，又5A ，所以个位是5，依次考虑：1113795,1113975,1117395,1117935…，经用被7整除试验，得1117935符合要求7. 方法一：利用整除特征因为这个数能被5整除，所以末位只能是0或5，又能被2整除，所以其末位为偶数，所以只能是0．在满足以上条件的情况下，还能被4整除，那么末两位只能是20、40、60或80． 又因为还能同时被9整除，所以这个数的数字和也应该是9的倍数，1993A20，1993B40，1993C60，1993D80的数字和分别为24A +，26B +，28C +，30D +，对应的A 、B 、C 、D 只能是3，1，8，6．即末三位可能是320，140，860，680．而只有320，680是8的倍数，再验证只有1993320，1993680中只有1993320是7的倍数．因为有同时能被2，4，5，7，8，9整除的数，一定能同时被2，3，4，5，6，7，8，9这几个数整除，所以1993320为所求的这个数．显然，其末三位依次为3，2，0．方法二：采用试除法一个数能同时被2，3，4，5，6，7，8，9整除，而将这些数一一分解质因数：，所以这个数一定能被32235789572520⨯⨯⨯=⨯⨯⨯=整除．用1993000试除，1993000252079÷=，余2200可以看成不足25202200320-=，所以在末三位的方格内填入320即可，或用1993999进行试除，19939992520791679÷=，所以19939996791993320-=能被2520整除，所以1993320为所求的这个数．8. 显然这个数不可能是一位数、二位数，如果是三位数，则其各位数字之和均为18，不合题意，所以这个数至少是四位数.假设这个数是四位数，设其为abcd ，9999299abcd ab cd ⇒+≤⨯，当299ab cd +=⨯时显然不合题意，当99ab cd +=时，显然不存在进位，于是9,918b d a c a b c d +=+=⇒+++=，矛盾.所以这个数至少是五位数，假设这个数是五位数，设其为a b c d e ，999999999207abcde a bc de =++≤++=，所以99a bc de ++=或198， 若99a bc de ++=，同上面分析，必须有进位，考虑极端情况，取10989abcde =； 若198a bc de ++=，显然得不到比10989更小的数.9. 为便于表示，设这个六位数为2008a b ，它能同时被9和11整除，所以能被99整除，28991,7a b a b +=⇒==，所以这个六位数是12008710. 现在要求被11除余8，我们可以这样考虑：这样的数加上3后，就能被11整除了．所以我们得到“一个数被11除余8”的判定法则：将偶位数字相加得一个和数，再将奇位数字相加再加3，得另一个和数，如果这两个和数之差能被11整除，那么这个数是被11除余8的数；否则就不是．要把1，9，8，8排成一个被11除余8的四位数，可以把这4个数分成两组，每组2个 数字．其中一组作为千位和十位数，它们的和记作A ；另外一组作为百位和个位数，它 们之和加上3记作B ．我们要适当分组，使得能被11整除．现在只有下面4种分组法： 偶位 奇位⑴ 1，8 9，8⑵ 1，9 8，8⑶ 9，8 1，8⑷ 8，8 1，9经过验证，只有第⑴种分组法满足前面的要求：189A =+=，98320B =++=，11B A -=能被11整除．其余三种分组都不满足要求．根据判定法则还可以知道，如果一个数被11除余8，那么在奇位的任意两个数字互换，或者在偶位的任意两个数字互换得到的新数被11除也余8．于是，上面第⑴种分组中，1和8任一个可以作为千位数，9和8中任一个可以作为百位数．这样共有4种可能的排法：1988，1889，8918，8819．11.能被10整除，说明个位为0，为了使这个十位数尽可能小，就不妨假设它依次为1234560,123450abc abcd，经试验都不行，再假设它为12340abcd，经试验得这个数最小为123475968012.7、8、9的最小公倍数是504，所得六位数应被504整除÷=，所以所得六位数是524000344523656-=，或5240005041039344-=．因此三个数字的和是17或8．52365650452315213.1到10的乘积里会出现25⨯和10两次末尾添零的情况，估算从200开始，是408149++=个0，还要扩大至220时再增加4个0，所以最小的数应该是220，而最大应该是224．343=，由于在11个连续的两位数中，至多只能有2个数是7的倍数，所以其14.因为37中有一个必须是49的倍数，那就只能是49或98．又因为乘积的末4位都是0，所以这连续的11个自然数至少应该含有4个因数5．连续的11个自然数中至多只能有3个是5的倍数，至多只能有1个是25的倍数，所以其中有一个必须是25的倍数，那么就只能是25、50或75．所以这11个数中应同时有49和50，且除50外还有两个是5的倍数，只能是40，41，42，43，44，45，46，47，48，49，50，它们的平均数即为它们的中间项45．15.4+5+6+7+8+9=39，是3的倍数，所以这个六位数一定可以被3整除又这个六位数能被667整除，所以这个六位数是3×667=2001的倍数即一个三位数乘以2002得到这个六位数所以这个六位数的前三位是后三位的2倍，所以这个六位数是956478956478÷667=1434，即商是1434.。

数的整除知识点数的整除问题，内容丰富，思维技巧性强。

它是小学数学中的重要课题，也是小学数学竞赛命题的内容之一。

数的整除1.整除——因数和倍数例如：15÷3=5，63÷7=9一般地，如a、b、c为整数，b≠0，且a÷b=c，即整数a除以整除b（b不等于0），除得的商c正好是整数而没有余数（或者说余数是0），我们就说，a能被b整除（或者说b能整除a）。

记作b｜a.如果整数a能被整数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数。

例如：在上面算式中，15是3的倍数，3是15的因数；63是7的倍数，7是63的因数。

2.数的整除性质性质1：如果a、b都能被c整除，那么它们的和与差也能被c 整除。

即：如果c｜a，c｜b，那么c｜（a±b）。

例如：如果2｜10，2｜6，那么2｜（10＋6），并且2｜（10—6）。

性质2：如果b与c的积能整除a，那么b与c都能整除a.即：如果bc｜a，那么b｜a，c｜a。

性质3：如果b、c都能整除a，且b和c互质，那么b与c的积能整除a。

即：如果b｜a，c｜a，且（b，c）=1，那么bc｜a。

例如：如果2｜28，7｜28，且（2，7）=1,那么（2×7）｜28。

性质4：如果c能整除b，b能整除a，那么c能整除a。

即：如果c｜b，b｜a，那么c｜a。

例如：如果3｜9，9｜27，那么3｜27。

3.数的整除特征①能被2整除的数的特征：个位数字是0、2、4、6、8的整数.“特征”包含两方面的意义：一方面，个位数字是偶数（包括0）的整数，必能被2整除；另一方面，能被2整除的数，其个位数字只能是偶数（包括0）.下面“特征”含义相似。

②能被5整除的数的特征：个位是0或5。

③能被3（或9）整除的数的特征：各个数位数字之和能被3（或9）整除。

④能被4（或25）整除的数的特征：末两位数能被4（或25）整除。

例如：1864=1800＋64，因为100是4与25的倍数，所以1800是4与25的倍数.又因为4｜64，所以1864能被4整除.但因为2564，所以1864不能被25整除.⑤能被8（或125）整除的数的特征：末三位数能被8（或125）整除。

数的整除知识点数的整除问题，容丰富，思维技巧性强。

它是小学数学中的重要课题，也是小学数学竞赛命题的容之一。

数的整除1.整除——因数和倍数例如：15÷3=5，63÷7=9一般地，如a、b、c为整数，b≠0，且a÷b=c，即整数a除以整除b（b不等于0），除得的商c正好是整数而没有余数（或者说余数是0），我们就说，a能被b整除（或者说b能整除a）。

记作b｜a.如果整数a能被整数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a 的因数。

例如：在上面算式中，15是3的倍数，3是15的因数；63是7的倍数，7是63的因数。

2.数的整除性质性质1：如果a、b都能被c整除，那么它们的和与差也能被c 整除。

即：如果c｜a，c｜b，那么c｜（a±b）。

例如：如果2｜10，2｜6，那么2｜（10＋6），并且2｜（10—6）。

性质2：如果b与c的积能整除a，那么b与c都能整除a.即：如果bc｜a，那么b｜a，c｜a。

性质3：如果b、c都能整除a，且b和c互质，那么b与c 的积能整除a。

即：如果b｜a，c｜a，且（b，c）=1，那么bc｜a。

例如：如果2｜28，7｜28，且（2，7）=1,那么（2×7）｜28。

性质4：如果c能整除b，b能整除a，那么c能整除a。

即：如果c｜b，b｜a，那么c｜a。

例如：如果3｜9，9｜27，那么3｜27。

3.数的整除特征①能被2整除的数的特征：个位数字是0、2、4、6、8的整数.“特征”包含两方面的意义：一方面，个位数字是偶数（包括0）的整数，必能被2整除；另一方面，能被2整除的数，其个位数字只能是偶数（包括0）.下面“特征”含义相似。

②能被5整除的数的特征：个位是0或5。

③能被3（或9）整除的数的特征：各个数位数字之和能被3（或9）整除。

④能被4（或25）整除的数的特征：末两位数能被4（或25）整除。

例如：1864=1800＋64，因为100是4与25的倍数，所以1800是4与25的倍数.又因为4｜64，所以1864能被4整除.但因为2564，所以1864不能被25整除.⑤能被8（或125）整除的数的特征：末三位数能被8（或125）整除。

第三讲数的整除特征1. 整除概念：一个整数除以另一个整数，得到的商也是一个整数，叫做整除。

2．整数的整除性质:（1）如果整数a，b都能被整数c整除，那么（a+b）与（a-b）也能被c整除。

（2）几个整数相乘，如果其中有一个因数能被某一个整数整除，那么它们的积也能被这个数整除。

（3）如果一个整数能被两个互质数中的每一个整除，那么这个数也能被这两个互质数的积整除。

反过来，如果一个整数能被两个互质数的积整除，那么这个数也能分别被这两个互质的数整除。

3．数的整除特征：（1）末位数字是偶数的整数能被2整除；末位数字是0或5的整数能被5整除；末两位数是4（或25）的倍数的整数能被4（或25）整除；末三位数是8（或125）的倍数的整数能被8（或125）整除。

（2）各位数字之和能被3（或9）整除的整数，能被3（或9）整除。

（3）若一个整数的奇数位数字的和与偶数位数字的和的差能被11整除，则这个数能被11整除。

例1、谁能又快又好的写出下面的答案（千万不要落下一个噢）26□4能被2整除259□能被5整除2□93能被3整除6□93能被9整除51□4能被4整除43□2能被4整除63□□能被25整除72□6能被8整除61□6能被8整除98□□□能被125整除例2、四位数57A1能被9整除，求A。

例3、六位数a8919b能被33整除，求a与b。

45这个四位数，同时能被2，3，4，5，9整除，求此四位数。

例4、AB例5、在568后面补上三个数字，组成一六位数，使它分别能被3，4，5整除，且使这个数值尽可能小。

求这个六位数。

例6、有72名学生，共交课间餐费a52.7b元，每人交了多少元？例7、任意一个三位数连着写两次得到一个六位数，这个六位数一定同时能被7，11，13整除。

这时为什么？1．（1）能被2整除的所有符合条件的数．762□ 847□ 23□2（2）能被5整除的所有符合条件的数．870□ 963□2．（1）能被3整除的数．93□76 876□3（2）能被9整除的数．9□391 80□1 3AA1（A代表几）3．（1）能被4整除的数．（2）能被25整除的数．87□4 832□ 81□□ 987□5（3）能被8整除的数．（4）能被125整除的数． 7312□ 79□52 73□25 79□5□4．761□能被2，3整除．5．四位数B8能同时被5，6整除，这个四位数是．A16.六位数1803a6能被12整除，求数字a是多少。

七、数的整除特征（一）小学数学课本中曾介绍过数的整除特征，即若一个自然数的个位数字是0、2、4、6、8时，那么这个数一定能被2整除；若一个自然数的个位数字是0、5时，这个数一定能被5整除；若一个自然数的各个数位上的数字和是3的倍数，这个数一定能被3整除.由上面提到的整除特征我们知道，92和56都能被2整除，92与56的和、差（分别为148和36）也能被2整除.另外56=7×8，2能整除8，所以2也能整除56.还有2、3和4都能整除12，那么2和3的积6也能整除12，但是2和4的积8不能整除12.把上面这些具体的事例一般化，就可得到数的整除的几个重要的性质（严格来讲，下面的性质只有经过严密的数学逻辑证明才能予以承认）.性质1 如果数a、b都能被数c整除，那么（a+b）与（a-b）也能被c整除.性质2 如果数a能被数b整除，c是整数，那么积ac也能被b整除.性质3 如果数a能被数b整除，b又能被数c整除，那么a也能被c整除.性质4 如果数a能同时被数b、c整除，而且b、c互质，那么a一定能被积bc整除.下面通过几个例子向同学们再介绍几个数的整除特征.例1 在□内填上适当的数字，使六位数43217□能被4（或25）整除.分析与解43217□的个位数字现在不知是几，先假设它为x，那么43217=4321×100，100=4×25，所以4和25都能整除100，根据整除的性质，432100能被4、25整除.如果43217x能被4（或25）除，那么43217x也一定能被4（或25）整除.因为72和76都是4的倍数，所以六位数43217和43217能被4整除.因为75是25的倍数，所以43217能被25整除.通过这个例题，我们得到一个数能被4（或25）整除的特征是：如果一个自然数的末两位数能被4（或25）整除，那么这个自然数就能被4（或25）整除，否则这个数就不能被4（或25）整除.例2 在□中填上合适的数字，使七位数4786□7□能被125（或8）整除. 分析与解设七位数的百位数字和个位数字分别为x、y，那么4786□375，500，625，850，975这八种情况，只有375、975满足要求.…，104，112，…，176，184，…，272，…，376，…，472，…，576，…，672，…，776，…，872，…，976，984，992这125种情况.只有072，176，272，376，472，576，672，776，872，976这十个数满足要求.因为375、975是125的倍数，所以七位数47867和47867能被125整除.因为072，176，272，376，472，576，672，776，872，976是8的倍数，所以47867，47867，47867，4787，47867，47867，47867，47867，47867，47867能被8整除.通过这个实例，我们得到一个数能被8（或125）整除的特征是：如果一个自然数的末三位数能被8（或125）整除，那么这个自然数就能被8（或125）整除，否则这个数就不能被8（或125）整除.例3 在□内填上合适的数字，使五位数4□32□能被9整除.分析与解同例1、例2，先设五位数4□32□的千位上、个位上□内的数字分别为x、y，那么4□32□=40000+x×1000+300+20+y=4×（9999+1）+x×（999+1）+3×（99+1）+2×（9+1）+y=4×9999+999x+3×99+2×9+4×x+3+2+y=9×（1111×4+111x+11×3+2×1）+（4+x+3+2+y）不论x是什么数字，9一定能整除9×（1111×4+111x+11×3+1×2）.4+x+3+2+y能被9整除，这个和只能是9、18、27三种情况.当4+x+3+2+y=9时，x=y=0；当4+x+3+2+y=18时，x+y=9，这时有x=0，1，2，3，…，9，对应的y=9，8，7，…，2，1，0；当4+x+3+2+y=27时，x+y=18，这时x=y=9.因为9是9的倍数，所以432能被9整除.因为18是9的倍数，所以432，432，432，432，432，432，432，432，432，432能被9整除.因为27是9的倍数，所以432能被9整除.通过这个实例，我们得到一个数能被9整除的特征是：如果一个数的各个数位上的数字和能被9整除，那么这个数就能被9整除，否则这个数就不能被9整除.例4 在□里填上适当的数字，使七位数□1992□□能同时被9、25、8整除.分析与解要求七位数□1992□□能同时被9、25、8整除，先考虑能被25整除这个条件.当七位数□1992□□能被25整除时，它的十位和个位数字组成的数只能是00，25，50，75.再考虑第二个条件，□1992□□能被8整除，当□1992□□能被8整除时，它的末三位上数字组成的数必须是8的倍数，但200，225，250，275这四个数中，只有200这个数是8的倍数，所以七位数的十位与个位□内只能填0.最后考虑第三个条件，被9整除.□1992要被9整除，其各个数位上的数字和必须是9的倍数，而1+9+9+2+0+0=21，所以七位数百万位□内只能填6，这样便找到了问题的解答.首先因为200既是25的倍数，又是8的倍数，所以□1992□□的十位与个位□内只能填0.因为1+9+9+2+0+0=21，而21+6=27，27是9的倍数，所以□1992□□的百万位□内只能填6.1992能同时被9、25、8整除.解答这类问题时，要一个一个条件分别来考虑，然后通过枚举和筛选找出符合要求的解答来.例5 把1至1997这1997个自然数依次写下来，得一多位数123456789101112…199519961997，试求这个多位数除以9的余数.分析与解从例4最后得到的一个数能被9整除的特征可以知道：一个自然数除以9的余数，等于这个自然数各个数位上数字和除以9的余数.这一来上面求多位数除以9的余数问题，便转化为求1至1997这1997个自然数中所有数字之和是多少的问题.这个问题的求法有很多，下面分别加以介绍.因为1至9这9个数字之和为45，所以10至19，20至29，30至39，…，80至89，90至99这些十个数各数位上数字和分别为：45+10，45+20，45+30，45+40，…，45+80，45+90.这一来，1至99这99个自然数各数位数字和为：45+55+65+…+125+135=900因为1至99这99个自然数各数位上数字和为900，所以100至199，200至299，…，800至899，900至999这些100个数各数位上数字和分别为900+100，900+200，…，900+800，900+900·这一来，1至999这999个自然数各数位上数字和为：900+1000+…+1700+1800=13500因为1至999这999个自然数各数上数字和为13500，所以1000至1999这1000个自然数各数位数字和为：13500+1000=14500，这一来1至1999这1999个自然数各数位数字和为：13500+14500=28000.1998、1999这两个数各数位上数字和为：27、28.28000-27-28=27945，9能整除27945，故多位数除以9余0.另外还有一个较为省事的求和方法，将0至1999这2000个自然数一头一尾搭配分成如下的1000组：（0，1999），（1，1998），（2，1997），（3，1996）（4，1995），（5，1994），（6，1993），（7，1992）……（996，1003），（997，1002），（998，1001），（999，1000）以上每一组两数之和都是1999，并且每一组两数相加时都不进位，这样1至1999这1999个自然数的所有数字之和等于：（1+9+9+9）×1000=28000其余的与上面提到的相同，故从略.本题还有另外一种解法.因为依次写出的任意连续9个自然数所组成的多位数，一定能被9整除.而从1至1997一共有1997个数，1997÷9=221……8，1990、1991、1992、1993、1994、1995、1996、1997这8个数所有数位上数字和为19+20+21+22+23+24+25+26=360，360能被9整除，所以多位数除以9余0，与前面的结果相同.为什么依次写出的任意连续9个自然数所组成的多位数一定能被9整除呢？这是因为任意连续的9个自然数各数位上的数字和除以9的余数，必定是0，1，2，…，7，8这九个数，而这九个数的和为36，36能被9整除，所以任意依次写出的9个连续自然数组成的多位数也一定能被9整除.。

整除的数有哪些特征？整除的性质：（1）如果a能被c整除，b也能被c整除，那么a+b和a-b也都能被c整除。

（2）如果a能被b整除，那么ac也能被bc所整除。

（3）如果a能被b整除，b能被c整除，那么a也能被c所整除。

（4）如果a能被b，c所整除，且（b,c）=1，那么a也能被b×c整除。

（5）如果a、b、c两两互质，且a、b、c都能整除m，那么abc能整除m。

能被1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、13、14、15、16、17、18、19整除的数有哪些特征？1：所有整数2：所有偶数3：各个数位和为3的倍数4：偶数中4的倍数，后两位能被4整除5：个位为0或5的6：是3的倍数的偶数7：后三位与前几位的差能被7整除8：偶数中8的倍数，后三位能被8整除9：各个数位和为9的倍数10：末位为011：奇数位上的数字和与偶数位上的数字和的差为11的倍数13：末三位与前几位的差能被13整除14：7的倍数中的偶数15：3的倍数中末位为0或5的16：偶数中16的倍数，后四位能被16整除的17：末三位与前几位的差能被17整除18：9的倍数中的偶数19：19的倍数（7和13的可能不对，这都是小学的知识，现在都快忘了，除了那几个常用的，绝大部分应该都是正确的）11整除的特征：奇位数字的和与偶位数字的和之差可以被11整除。

举例132。

（1+2）-3=0=0*1113整除的特征：去掉个位数后的数加上个位数的4倍，能被13整除。

举例143。

14+3*4=26=13*2最佳答案能被7、11、13整除的特征是：如果一个数的末三位数字所表示的数与末三位前的数字相减（注意：大数减小数），能被7、11、13整除，这个数就是7、11、13的倍数。

若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的5倍，如果差是17的倍数，则原数是17的倍数。

4的规律是：末两位的两位数能被4整除，则原数是4的倍数.125的规律：末三位的三位数能被125整除，则原数是125的倍数.整除的性质及应用整除有几个性质。