七年级数学下册 5.1.2 垂线练习(新版)新人教版

第五章相交线与平行线5.1.2 垂线分层作业1．如图，图中直角的个数有（）A．个B．个C．个D．个【答案】D【分析】根据直角的定义进行求解即可．【详解】解：由题意得，图中的直角有一共五个，故选D．【点睛】本题主要考查了垂线的定义，熟知垂线的定义是解题的关键．2．如图，，，若，则的度数是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】先求出，即可求出．【详解】解：，，．，．故选：C．【点睛】本题主要考查直角的概念以及角度的计算，比较简单．3．如图，在纸片上有一直线l，点A在直线l上，过点A作直线l的垂线、嘉嘉使用了量角器，过90°刻度线的直线a即为所求；淇淇过点A将纸片折叠，使得以A为端点的两条射线重合，折痕a即为所求，下列判断正确的是（）A．只有嘉嘉对B．只有淇淇对C．两人都对D．两人都不对【答案】C【分析】根据垂直的定义即可解答．【详解】解：嘉嘉利用量角器画90°角，可以画垂线，方法正确；淇淇过点A将纸片折叠，使得以A为端点的两条射线重合，折痕a垂直直线l，方法正确，故选：C．【点睛】本题主要考查了作图、垂线的定义，掌握垂直的定义是解答本题的关键．4．如图，直线，相交于点，，平分，若，则的度数为（）A．B．C．D．【答案】C【分析】根据垂直定义得到∠AOF+∠BOD=，求出∠AOF的度数，利用角平分线的定义求出∠EOF即可．【详解】解：∵∠DOF=，∴∠AOF+∠BOD=，∵∠BOD=，∴∠AOF=，∵OF平分∠AOE，∴∠EOF=∠AOF=，故选：C．【点睛】此题考查了垂直的定义，几何图形中角度的计算，正确理解图形中各角度的关系是解题的关键．5．如图，直线AB，CD相交于点O，射线OM平分∠AOC，ON⊥OM，若∠AOM=35°，则∠CON的度数为（ ）A．35°B．45°C．55°D．65°【答案】C【分析】根据角平分线的定义，得出∠MOC=35°，再根据题意，得出∠MON=90°，然后再根据角的关系，计算即可得出∠CON的度数．【详解】解：∵射线OM平分∠AOC，∠AOM=35°，∴∠MOC=35°，∵ON⊥OM，∴∠MON=90°，∴∠CON=∠MON﹣∠MOC=90°﹣35°=55°．故选：C【点睛】本题主要考查了角平分线的定义和垂线的定义，解决本题的关键在正确找出角的关系．6．如图，为了解决村民饮水困难，需要在河边建立取水点，下面四个点中哪个最方便作为取水点（）A．A点B．B点C．C点D．D点【答案】B【分析】根据“垂线段最短”可得结论．【详解】解：根据“垂线段最短”可知要在河边建立取水点，点B作为取水点最方便，故选：B【点睛】此题主要考查了垂线段最短，正确掌握垂线段的性质是解题关键．7．如图，，垂足是点，，，，点是线段上的一个动点包括端点，连接，那么的长为整数值的线段有（）A．条B．条C．条D．条【答案】D【分析】根据垂线段最短解答即可．【详解】解：∵，，，，且点是线段上的一个动点包括端点，∴长的范围是，∴的长为整数值的线段有、、、，，共条，故选：D．【点睛】本题考查垂线段最短．理解和掌握垂线段最短是解题的关键．8．如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥CD，垂足为O，若∠1=50°，则∠2的度数为（）A．B．C．D．【答案】B【分析】应用垂线性质可得∠EOD=90°，由∠1+∠BOD=90°，即可算出∠BOD的度数，再根据对顶角的性质即可得出答案．【详解】解：∵EO⊥CD，∴∠EOD=90°，∵∠1+∠BOD=90°，∴∠BOD=∠EOD-∠1=90°-50°=40°，∴∠2=∠BOD=40°．故选：B．【点睛】本题主要考查了垂线及对顶角，熟练掌握垂线及对顶角的性质进行求解是解决本题的关键．9．已知，与的度数之比为，则等于___．【答案】或【分析】根据垂直定义知，由，可求，根据与的位置关系，分类求解．【详解】解：，，，即∠AOB：90°=3：5,．分两种情况：①当OB在内时，如图，∴；②当OB在外时，如图，∴．故答案是：或．【点睛】本题考查垂直定义，角的和差运算，解题的关键是利用分类讨论的思想进行求解．10．如图，点，在直线上，且，的面积为．若是直线上任意一点，连接AP，则线段AP的最小长度为_____cm．【答案】8【分析】根据点到直线的垂线段最短，再由面积求出高，即为AP的最小值，由题知，过点A作BC的垂线，即为所求，此时，该垂线也是三角形的高．【详解】解：过点A作BC的垂线AP，根据点到直线的所有线段中，垂线段最短，∴垂线段即为AP的最小值，∵BC=5cm，ΔABC的面积为20，∴，∴AP=8，故答案为：8．【点睛】本题考查三角形的面积公式，垂线段最短的性质，属于基础题．11．已知的两边与的两边分别垂直，且比的倍少，则______【答案】80°或92°【分析】因为两个角的两边分别垂直，则这两个角相等或互补，又因∠A比∠B的倍少40°，设∠B是x 度，利用方程即可解决问题．【详解】解：设∠B是x度，根据题意，得①两个角相等时，如图1：∠B=∠A=x°，x=x-40，解得，x=80，故∠A=80°，②两个角互补时，如图2：x+x-40=180，所以x=88，×88°-40°=92°综上所述：∠A的度数为：80°或92°．故答案为：80°或92°．【点睛】本题考查垂线，本题需仔细分析题意，利用方程即可解决问题．关键是得到∠A与∠B的关系．12．如图，直线AB，CD相交于点O，若，且，则的度数是______．【答案】54°##54度【分析】设，则，可得，再由，可得，可求出x，即可求解．【详解】解：设，则，∴，∵，∴∠AOE=∠BOE=90°，∴，即，∴．故答案为：54°【点睛】本题主要考查了垂直的性质，对顶角的性质，熟练掌握垂直的性质，对顶角的性质进行求解是解决本题的关键．13．如图，直线与直线相交于点，，垂足为，，则的度数为______．【答案】60°##60度【分析】根据对顶角相等可得，由，可得，由，即可求解．【详解】解：∵，∴，∵，，，解得．故答案为：60°．【点睛】本题考查了垂直的定义，对顶角相等，几何图形角度的计算，数形结合是解题的关键．14．如图，点P是直线l外一点，过点P作于点O，点A是直线l上任意一点，连接，若，则的长可能是___________（写出一个即可）．【答案】4【分析】直接利用垂线段最短即可得出答案．【详解】解∶∵点P是直线l外一点，过点P作于点O，点A是直线l上任意一点，∴3≤AP，∴PA可以为4，故答案为4(答案不唯一)．【点睛】此题主要考查了垂线段最短，正确得出A P的取值范围是解题的关键．15．如图，直线和相交于点，，，，求的度数.【答案】【分析】根据，得出，根据，可得,根据角的倍分关系，可得∠的度数，根据是邻补角，可得答案．【详解】解：∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴．∴．【点睛】本题考查垂直的性质、角的和差、角的倍分关系、邻补角的性质等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．16．如图，是直线上一点，，平分(1)求的度数．(2)试猜想与的位置关系，并说明理由．【答案】(1)的度数为(2)OD⊥AB，理由见解析【分析】（1）设=x，根据题意得，再根据平角的定义进而求解即可；（2）根据角平分线的定义即可得到解答．【详解】（1）解：设=x，∵，∴，∵直线，∴x+3x=180°，解得，∴的度数为；（2）解：OD⊥AB，理由如下，∵OC平分∠AOD，∴∠COD=∠AOC=45°．∴∠AOD=∠AOC+∠COD=90°，∴OD⊥AB．【点睛】此题考查了垂线，平角的定义以及角平分线的定义，对定义的熟练掌握是解题的关键．平角：等于180°的角叫做平角；角平分线：从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线．17．如图，两直线、相交于点，平分，如果：：．(1)求；(2)若，，求．【答案】(1)145°(2)125°【分析】（1）根据邻补角的性质和已知求出和的度数，根据对顶角相等求出和的度数，根据角平分线的定义求出的度数，可以得到的度数；（2）根据垂直的定义得到，根据互余的性质求出的度数，计算得到答案．（1）解：，：：，，，，，平分，，．（2）解：，，平分，，，．【点睛】本题考查的是邻补角的性质、对顶角的性质和角平分线的定义，掌握邻补角互补、对顶角相等和垂直的定义是解题的关键．18．如图，已知直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB，点O为垂足，OF平分∠AOC．(1)若∠COE=54°，求∠DOF的度数；(2)若∠COE∶∠EOF=2∶1，求∠DOF的度数．【答案】(1)∠DOF=108°；(2)∠DOF=112.5°．【分析】（1）先由OE⊥AB得出∠AOE=∠BOE=90°，再根据角平分线定义求出∠COF=72°，然后由∠DOF=180°-∠COF即可求解；（2）设∠EOF=x°，则∠COE=2x°，则∠COF=3x°，再根据角平分线定义求出∠AOF=∠COF=3x°，所以∠AOE=4x°，由垂直的定义可知∠AOE=90°，则4x=90，解之，求出x即可．（1）解：∵OE⊥AB，∴∠AOE=90°；∵∠COE=54°，∴∠AOC=∠AOE+∠COE=144°，∵OF平分∠AOC，∴∠COF=∠AOC=72°，∴∠DOF=180°-∠COF=108°；（2）解：设∠EOF=x°，则∠COE=2x°，∴∠COF=3x°，∵OF平分∠AOC，∴∠AOF=∠COF=3x°，∴∠AOE=4x°，∵OE⊥AB，∴∠AOE=90°，∴4x=90，解得x=22.5，∴∠COF=3x°=67.5°，∴∠DOF=180°-∠COF=112.5°．【点睛】本题考查了角的计算，根据垂直的定义、角的和差关系列方程进行求解，即可计算出答案，难度适中．1．如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥CD，OF平分∠BOD，∠AOE＝24°，∠COF的度数是（）A．146°B．147°C．157°D．136°【答案】B【分析】欲求∠COF，需求∠DOF．由OE⊥CD，得∠EOD＝90°，故求得∠BOD＝66°．由OF平分∠BOD，故∠DOF＝＝33°．【详解】解：∵OE⊥CD，∴∠EOD＝90°．∴∠BOD＝180°﹣∠AOE﹣∠DOE＝66°．又∵OF平分∠BOD，∴∠DOF＝＝33°．∴∠COF＝180°﹣∠DOF＝180°﹣33°＝147°．故选：B．【点睛】本题主要考查垂直的定义、角平分线的定义以及邻补角的性质，熟练掌握垂直的定义、角平分线的定义以及邻补角的性质是解决本题的关键．2．如图，，，平分，则的度数为（）A．45°B．46°C．50°D．60°【答案】A【分析】先根据垂直的定义得，由已知，相当于把四等分，可得的度数，根据角平分线可得，从而得结论．【详解】解：，，，，，平分，，．故选：．【点睛】本题考查了角平分线的定义，垂直的定义及有关角的计算，解题的关键是确定．3．如图所示，直线AB，CD相交于点O，于点O，OF平分，，则下列结论中不正确的是（）A．B．C．与互为补角D．的余角等于【答案】D【分析】根据垂直的定义及角平分线的性质判断A，利用对顶角的性质判断B，利用邻补角的性质判断C，根据余角的定义判断D．【详解】∵于点O，∴∠AOE=,∵OF平分，∴∠2=，故A正确；∵直线AB，CD相交于点O，∴∠1与∠3是对顶角，∴∠1=∠3，故B正确，∵,∴与互为补角，故C正确；∵，∴的余角=，故D错误，故选：D．【点睛】此题考查垂直的定义，角平分线的性质，对顶角的性质，余角的定理，邻补角的性质，几何图形中角度的计算，熟记各定义及性质是解题的关键．4．已知点P为直线m外一点，点A，B，C为直线m上三点，PA＝4 cm，PB＝5 cm，PC＝2 cm，则点P到直线m的距离为()A．4 cm B．5 cm C．小于2 cm D．不大于2 cm【答案】D【分析】根据点到直线的距离是直线外的点与直线上垂足间的线段的长，再根据垂线段最短，可得答案．【详解】当PC⊥m时，PC是点P到直线m的距离，即点P到直线m的距离2cm，当PC不垂直直线m时，点P到直线m的距离小于PC的长，即点P到直线m的距离小于2cm，综上所述：点P到直线m的距离不大于2cm，故选D．【点睛】此题考查了点到直线的距离，利用了垂线段最短的性质．5．如图，若直线与相交于点，平分，且，则的度数为（）A．B．C．D．【答案】C【分析】根据角平分线的定义得到，根据垂线的定义得到，利用邻补角的定义即可求解．【详解】解：∵，平分，∴，∵，∴，∴，故答案为：C．【点睛】本题考查邻补角的定义、角平分线的定义、垂直的定义等内容，运用几何知识进行角的和差运算是解题的关键．6．如图，直线AB，CD相交于点O，射线OM平分∠AOC，ON⊥OM，若∠CON=55°，则∠AOM的度数为（）A．35°B．45°C．55°D．25°【答案】A【分析】根据垂直得出∠NOM=90°，求出∠COM=35°，根据角平分线定义得出∠AOM=∠COM，即可得出答案．【详解】解：∵ON⊥OM，∴∠NOM=90°，∵∠CON=55°，∴∠COM=90°-55°=35°，∵射线OM平分∠AOC，∴∠AOM=∠COM=35°，故选：A．【点睛】本题考查了垂直定义，角平分线定义等知识点，解题的关键是能求出∠COM的度数和求出∠AOM=∠COM．7．已知,如图，直线,相交于点,⊥于点，∠=35°.则∠的度数为（）.A．35°B．55°C．65°D．70°【答案】B【分析】直接利用垂线的定义结合已知角得出∠COE的度数即可．【详解】∵OE⊥AB于点O(已知)，∴∠AOE=90°(垂直定义)．∵直线AB，CD相交于点O，∠BOD=35°(已知)，∴∠AOC=35°(对顶角相等)．∴∠COE=∠AOE−∠AOC=90°−35°=55°．∴∠COE=55°．故选B.【点睛】此题考查垂线的定义，对顶角，解题关键在于得出∠AOC=35°.8．如图，直线，相交于点，，平分，若，则的度数为（）A．B．C．D．【答案】B【分析】由垂直得∠COE=90°，从而知∠AOC=64°，则∠BOD也得64°，由角平分线和平角定义得∠COF 的度数．【详解】∵OE⊥CD，∴∠COE=90°，∴∠AOC=∠COE-∠AOE=90°-26°=64°，∵∠AOC=∠BOD，∴∠BOD=64°，又∵OF平分∠BOD，∴∠DOF=∠BOD=×64°=32°，∴∠COF=180°-∠DOF=180°-32°=148°．故选B．【点睛】本题考查了垂线的定义、邻补角、对顶角定义、角平分线定义等知识点．本题属于基础题，推理过程的书写是关键，从垂直入手与已知相结合得出∠AOC的度数，使问题得以解决；同时要注意对顶角和平角性质的运用．9．如图，直线，，相交于点，，，射线，则的度数为___________．【答案】20°或160°【分析】先求出∠EOD=70°，再分射线OG在直线EF的两侧进行讨论求解即可．【详解】解：∵，，∠2=∠AOE，∴∠EOD=180°－50°－60°=70°，分两种情况：①如图，∵，∴∠EOG=90°，∴∠DOG=∠EOG－∠EOD=90°－70°=20°；②如图，∵∠EOG=90°，∠EOD=70°，∴∠DOG=∠EOD+∠EOG=70°+90°=160°，综上，的度数为20°或160°，故答案为：20°或160°．【点睛】本题考查邻补角、对顶角、垂线性质、角的运算，熟练掌握对顶角相等、邻补角互补，分情况讨论是解答的关键．10．如图，点C，O，D在一条直线上，，OE平分比大，的度数为________．【答案】##72.5度【分析】根据比大，和互补，即可求出，进而由垂直性质可求出，再由角平分线性质即可得出答案．【详解】解：∵比大，∴设，则，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵OE平分，∴．故答案为：．【点睛】本题考查了垂直的性质，角平分线的性质以及角的运算，掌握以上知识是解题的关键．11．如图，直线AB，CD交于点O，OC平分∠BOE，OE⊥OF，若∠DOF＝15°，则∠EOA＝_________．【答案】30°##30度【分析】根据垂直定义可得∠EOF＝90°，从而利用平角定义求出∠COE＝75°，然后利用角平分线的定义求出∠BOE＝2∠COE＝150°，最后利用平角定义求出∠EOA，即可解答．【详解】解：∵OE⊥OF，∴∠EOF＝90°，∵∠DOF＝15°，∴∠COE＝180°﹣∠EOF﹣∠DOF＝75°，∵OC平分∠BOE，∴∠BOE＝2∠COE＝150°，∴∠AOE＝180°﹣∠∠BOE＝30°，故答案为：30°．【点睛】本题考查了垂线，角平分线的定义，根据题目的已知条件并结合图形分析是解题的关键．12．如图，直线AB、CD相交于点O，，O为垂足，如果，则________°．【答案】57.5【分析】根据垂线的定义，可得，根据角的和差，可得的度数，根据邻补角的定义，可得答案．【详解】解：∵∴∴∵，∴，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了垂线的定义，邻补角的和等于180°，角与分的转化等知识．解题的关键在于领会由垂直得直角．13．如图，直线AB和CD交于O点，OD平分∠BOF，OE⊥CD于点O，∠AOC=40 ，则∠EOF=_______．【答案】130°【分析】根据对顶角性质可得∠BOD=∠AOC=40°．根据OD平分∠BOF，可得∠DOF=∠BOD=40°，根据OE ⊥CD，得出∠EOD=90°，利用两角和得出∠EOF=∠EOD+∠DOF=130°即可．【详解】解：∵AB、CD相交于点O，∴∠BOD=∠AOC=40°．∵OD平分∠BOF，∴∠DOF=∠BOD=40°，∵OE⊥CD，∴∠EOD=90°，∴∠EOF=∠EOD+∠DOF=130°．故答案为130°．【点睛】本题考查相交线对顶角性质，角平分线定义，垂直定义，掌握对顶角性质，角平分线定义，垂直定义是解题关键．14．如图所示，已知，若，，，则点到的距离是______，点到的距离是______．【答案】 4 2.4【分析】根据点到直线的距离概念可得点到的距离为垂线段AC的长，设点到的距离为，依据三角形面积，即可得到点到的距离．【详解】解：∵，∴，∴点到的距离为垂线段AC的长，又∵，∴点到的距离为4cm；设点到的距离为，，，，∵，，，，，故答案为：4；2.4．【点睛】本题考查了点到直线的距离，利用三角形的面积得出是解题关键．15．如图，直线，相交于点，平分．(1)若，，求的度数；(2)若平分，，求的度数．【答案】(1)70°(2)50°【分析】（1）根据角平分线的性质可得，根据垂线的定义以及已知条件求得，继而求得，根据对顶角相等即可求解；（2）根据角平分线的性质可得，，设，则，根据平角的定义建立方程，解方程即可求解．（1）解：平分，，，，，，∴；（2）平分，，，设，则，，解得：，故的度数为：．【点睛】本题考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，垂线的定义，一元一次方程的应用，数形结合是解题的关键．16．如图，直线相交于点O，平分，求：(1)的度数；(2)写出图中互余的角；(3)的度数．【答案】(1)70°(2)∠BOF与∠BOD互余，∠EOF与∠EOD互余，∠EOF与∠BOE互余，∠BOF与∠AOC互余(3)55°【分析】（1）根据对顶角相等即可得到；（2）根据余角的定义求解即可；（3）先根据角平分线的定义求出∠DOE=35°，则∠EOF=∠DOF-∠DOE=55°．（1）解：由题意得；（2）解：∵∠COF=90°，∴∠DOF=180°-∠COF=90°，∴∠BOF+∠BOD=90°，∠EOF+∠EOD=90°，∵OE平分∠BOD，∴∠BOE=∠DOE，∴∠EOF+∠BOE=90°，∵∠AOC=∠BOD，∴∠BOF+∠AOC=90°，∴∠BOF与∠BOD互余，∠EOF与∠EOD互余，∠EOF与∠BOE互余，∠BOF与∠AOC互余；（3）解：∵∠BOD=70°，OE平分∠BOD，∴∠DOE=35°，∴∠EOF=∠DOF-∠DOE=55°．【点睛】本题主要考查了几何中角度的计算，角平分线的定义，对顶角相等，余角的定义，熟知相关知识是解题的关键.17．如图，已知，，是内三条射线，平分，平分．(1)若，，求的度数．(2)若，，求的度数．(3)若，，求的度数．【答案】(1)(2)(3)【分析】对于（1），由角平分线的定义求出和，再根据即可求解；对于（2），先求出，再根据角平分线的定义求出和，然后根据即可求解；对于（3），由角平分线的定义得，结合已知条件可得，，即，进而得出，可得答案．【详解】（1）∵平分，平分，∴，，∴；（2）∵，∴．∵，∴．∵平分，平分，∴，，∴；（3）∵平分，∴．∵，∴．∵，∴，∴，∴，∴．【点睛】本题主要考查了角的和差，关键是由角平分线定义得出相关等式．18．点O为直线l上一点，射线均与直线l重合，如图1所示，过点O作射线和射线，使得，，作的平分线．(1)求与的度数；(2)作射线，使得，请在图2中画出图形，并求出的度数；(3)如图3，将射线从图1位置开始，绕点O以每秒的速度逆时针旋转一周，作的平分线，当时，求旋转的时间．【答案】(1)，(2)或(3)6秒或秒【分析】（1）根据，，即可得出的度数，根据角平分线的定义得出，然后根据得出的度数；（2）根据题意得出的度数，然后分两种情况进行讨论：①当射线在内部时；②当射线在外部时；分别进行计算即可；（3）根据平分得出，根据题意画出图形，计算的角度，然后计算时间即可．【详解】（1）解：由题意可知，，∵，∴，∵平分，∴，∴；（2）由（1）知，，∴，①当射线在内部时，如图2（1），；②当射线在外部时，如图2（2），，综上所述，的度数为或；（3）∵平分，∴，①如图3，，∵平分，∴，∴，∴旋转的时间（秒）；②如图3（1），此时，，∵平分，∴，∴，∴，∴旋转的时间（秒）；综上所述，旋转的时间为6秒或秒．【点睛】本题主要考查角度的计算，角平分线的定义等内容；第（2）问进行合适的分类讨论是解题的关键；第（3）问，搞清楚在射线旋转的过程中，和的相对位置在不断的变化，以此进行分类画图．1．（2022·江苏常州·中考真题）如图，斑马线的作用是为了引导行人安全地通过马路．小丽觉得行人沿垂直马路的方向走过斑马线更为合理，这一想法体现的数学依据是（）A．垂线段最短B．两点确定一条直线C．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行【答案】A【分析】根据垂线段最短解答即可．【详解】解：行人沿垂直马路的方向走过斑马线，体现的数学依据是垂线段最短，故选：A．【点睛】本题考查垂线段最短，熟知垂线段最短是解答的关键．2．（2022·河南·中考真题）如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥CD，垂足为O．若∠1＝54°，则∠2的度数为（）A．26°B．36°C．44°D．54°【答案】B【分析】根据垂直的定义可得，根据平角的定义即可求解．【详解】解：EO⊥CD，，，．故选：B ．【点睛】本题考查了垂线的定义，平角的定义，数形结合是解题的关键．3．（2021·北京·中考真题）如图，点在直线上，．若，则的大小为（）A．B．C．D．【答案】A【分析】由题意易得，，进而问题可求解．【详解】解：∵点在直线上，，∴，，∵，∴，∴；故选A．【点睛】本题主要考查垂直的定义及邻补角的定义，熟练掌握垂直的定义及邻补角的定义是解题的关键．4．（2021·浙江杭州·中考真题）如图，设点是直线外一点，，垂足为点，点是直线上的一个动点，连接，则（）A．B．C．D．【答案】C【分析】根据垂线段距离最短可以判断得出答案．【详解】解：根据点是直线外一点，，垂足为点，是垂线段，即连接直线外的点与直线上各点的所有线段中距离最短，当点与点重合时有，综上所述：，故选：C．【点睛】本题考查了垂线段最短的定义，解题的关键是：理解垂线段最短的定义．5．（2020·湖北孝感·中考真题）如图，直线，相交于点，，垂足为点．若，则的度数为（）A．B．C．D．【答案】B【分析】已知，，根据邻补角定义即可求出的度数．【详解】∵∴∵∴故选：B【点睛】本题考查了垂直的性质，两条直线垂直，形成的夹角是直角；利用邻补角的性质求角的度数，平角度数为180°．6．（2020·河北·中考真题）如图，在平面内作已知直线的垂线，可作垂线的条数有（）A．0条B．1条C．2条D．无数条【答案】D【分析】在同一平面内，过已知直线上的一点有且只有一条直线垂直于已知直线；但画已知直线的垂线，可以画无数条．【详解】在同一平面内，画已知直线的垂线，可以画无数条；故选：D．【点睛】此题主要考查在同一平面内，垂直于平行的特征，解题的关键是熟知垂直的定义．7．（2020·吉林·中考真题）如图，某单位要在河岸上建一个水泵房引水到处，他们的做法是：过点作于点，将水泵房建在了处．这样做最节省水管长度，其数学道理是_______．【答案】垂线段最短【分析】直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短．【详解】通过比较发现：直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短．故答案为：垂线段最短．【点睛】此题主要考查点到直线的距离，动手比较、发现结论是解题关键．。

5.1.2 垂线学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________一、单选题1．到直线L 的距离等于2cm 的点有（ ）A ．0个B ．2个C ．3个D ．无数个2．如图，能表示点到直线的距离的线段共有( )A ．2条B ．3条C ．4条D ．5条3．点P 是直线l 外一点，A 、B 、C 为直线l 上的三点，4PA cm =，5PB cm =，2PC cm =，则点P 到直线l 的距离（ ）A ．小于2cmB ．等于2cmC ．不大于2cmD ．等于4cm4．如图，有三条公路，其中AC 与AB 垂直，小明和小亮分别沿AC 、BC 同时从A 、B 出发骑车到C 城，若他们同时到达，则下列判断中正确的是（ ）A ．小明骑车的速度快B ．小亮骑车的速度快C ．两人一样快D ．因为不知道公路的长度，所以无法判断他们速度的快慢5．如图所示，已知AC⊥BC，CD⊥AB，垂足分别是C ，D ，那么以下线段大小的比较必定成立的是（ ）A ．CD AD >B ．AC BC < C ．BC BD > D ．CD BD <6．与一条已知直线垂直的直线有( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．无数条7．如图，直线AB ，CD 相交于点O ，OE⊥CD 于点O ，∠AOC＝36°，则∠BOE＝( )A ．36°B ．64°C ．144°D ．54°8．下面说法正确的是( )A ．过一点有且只有一条直线与已知直线平行B ．两直线成直角,则这两直线一定垂直C ．没有交点的两条直线一定平行D ．过直线外一点,有且只有一条直线与已知直线垂直9．如图，OA⊥OB，∠1=35°，则∠2的度数是（ ）A ．35°B ．45°C ．55°D ．70°二、填空题1．如图所示，A ，B ，C 是直线l 上的三点，P 为直线l 外一点，已知PC⊥l，PA ＝4厘米，PB ＝5厘米，PC ＝3厘米，则点P 到直线l 的距离为__________．2．如图，115∠=︒，CO OA ⊥，点B ，O ，D 在同一直线上，则∠2的度数为________．3．如图，直线AB ，CD ，EF 相交于点O ，且AB⊥CD，∠1＝30°，则∠2＝______．4．如图，直线AB ，CD 相交于点O ，如果∠EOD＝40°，∠BOC＝130°，那么∠BOE 的度数是________．5．如图，直线AB，CD交于点O，OE⊥AB，OD平分∠BOE，则∠AOC＝________.三、解答题1．数学是从实际生活中来的，又应用于生活．请将下列事件与对应的数学原理连接起来．事件数学原理教室的门要用两扇合页才能自由开关直线外一点与直线上各点连线的所有线段中，垂线段最短飞机从萧山飞往北京，它的航行路线是直的经过两点有且只有一条直线测量运动员的跳远成绩时，皮尺与起跳线保持垂直两点之间线段最短2．如图，M，N为坐落于公路两旁的村庄，如果一辆施工的机动车由A向B行驶，产生的噪音会对两个村庄造成影响．(1)当施工车行驶到何处时，产生的噪音分别对两个村庄影响最大？在图中标出来．(2)当施工车从A向B行驶时，产生的噪音对M，N两个村庄的影响情况如何？3．如图，平原上有A，B，C，D四个村庄，为解决当地缺水问题，政府准备投资修建一个蓄水池．（1）不考虑其他因素，请你画图确定蓄水池H点的位置，使它到四个村庄距离之和最小；（2）计划把河水引入蓄水池H中，怎样开渠最短并说明根据．4．把图中的互相平行的线写出来，互相垂直的线写出来：5．如图，已知直线AB和CD相交于点O，射线OE⊥AB于点O，射线OF⊥CD于点O，且∠AOF ＝25°.求∠BOC与∠EOF的度数．参考答案一、单选题1．D解析：根据点到直线的距离和直线与直线之间的距离进行分析.详解：当两条平行线互相平行时，且其中一条直线上的一点到另一条直线的距离为2时，则这条直线上所有的点到另一条直线的距离都为2，所以有无数个.故选D.点睛：考查了点到直线的距离和直线与直线之间的距离，解题关键理解点到直线的距离和两条平行线间的距离之间的联系.2．D解析：根据点到直线的距离定义，可判断：AB表示点A到直线BC的距离；AD表示点A到直线BD的距离；BD表示点B到直线AC的距离；CB表示点C到直线AB的距离；CD表示点C到直线BD的距离．共5条．故选D．3．C解析：根据点到直线的距离是点到直线的垂线段的长度以及垂线段最短即可得答案．详解：解：点P为直线l外一点，当P点直线l上的三点A、B、C的距离分别为PA=4cm，PB=5cm，PC=2cm，则点P到直线l的距离为不大于2cm，故选：C．点睛：本题考查了点到直线的距离，点到直线的距离是点到直线的垂线段的长度，利用垂线段最短是解题关键．4．B分析：根据垂线的性质：从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短，可知BC＞AC，然后根据速度公式即可判断．详解：∵AC与AB垂直，∴BC＞AC，若他们同时到达，根据速度公式可得，小亮骑车的速度快，小明骑车的速度慢．故选B5．C解析：A选项,CD与AD互相垂直，没有明确的大小关系，错误；B选项,AC与BC互相垂直，没有明确的大小关系，错误；C选项,BD是从直线CD外一点B所作的垂线段，根据垂线段最短定理，BC＞BD，正确；D选项,CD与BD互相垂直，没有明确的大小关系，错误，故选C．6．D解析：根据垂线的性质：过直线外一点作已知直线的垂线，能作且只能作1条；而直线外有无数个点，因此与一条已知直线垂直的直线有无数条.详解：解：与一条已知直线垂直的直线有无数条，故选D.点睛：本题主要考查了垂线的性质，准确理解性质是解题的关键．7．D解析：由垂直的定义可知∠DOE=90°；直线AB，CD相交于点O，对顶角相等，然后根据角的差计算即可详解：∵OE⊥CD∴∠DOE=90°∵直线AB，CD相交于点O，∠AOC=36°∴∠DOB=36°∴∠BOE=∠DOE−∠BOD=90°−36°=54°故本题答案应为：D点睛：垂直的定义、对顶角相等的性质是本题的考点，找出角之间的关系是解题的关键.8．B解析：根据平行公理，垂线的定义，平行线的定义和以及垂线的性质对各选项分析判断即可求解．解：A.应为过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故本选项错误；B.两直线成直角，则这两直线一定垂直正确，故本选项正确；C.应为在同一平面内，没有交点的两条直线一定平行，故本选项错误；D.应为在同一平面内，过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线垂直，故本选项错误. 故选B.9．C解析：试题分析：∵OA⊥OB，∴∠AOB=90°，所以∠2+∠1=90°，∵∠1=35°，∴∠2=55°，故选C ．考点：1．余角和补角；2．垂线．二、填空题1．3厘米解析：分析：点P 到直线l 的距离为点P 到直线l 的垂线段，结合已知，因此点P 到直线l 的距离为PC 的长．详解：∵根据点到直线的距离为点到直线的垂线段（垂线段最短）的长度，PC⊥l，PA ＝4厘米，PB ＝5厘米，PC ＝3厘米，∴点P 到直线l 的距离为3厘米，故答案为：3厘米.点睛：本题考查了垂线段最短，关键是要明确点P 到直线l 的距离为点P 到直线l 的垂线段的长度.2．105°分析：根据垂直的定义及平角的定义计算即可．详解：解：∵CO OA ⊥，115∠=︒，∴∠COB=90°-15°=75°，∵点B ，O ，D 在同一直线上，∴∠2=180°-∠COB =180°-75°=105°．故答案为：105°．点睛：本题考查垂直定义与平角定义．熟练掌握垂直的定义是解题的关键．3．60°分析：根据题意由对顶角相等先求出∠ FOD，然后根据AB⊥CD，∠2与∠ FOD互为余角，求出即可详解：∵CD、EF相交于点O∴∠FOD=∠1=30°∵AB⊥CD∴∠2=90°−∠FOD=90°−30°=60°故本题答案应为：60°点睛：对顶角相等和垂线的定义及性质是本题的考点，熟练掌握基础知识是解题的关键.4．90°解析：观察图形，可猜想OE⊥AB，根据已知条件，证明∠AOE是直角即可．详解：∵∠BOC=130°，∴∠AOD=∠BOC=130°，∴∠AOE=∠AOD-∠EOD=130°-40°=90°．∴OE⊥AB．故答案为互相垂直．点睛：考查了对顶角、邻补角，利用垂直的定义除了由垂直得直角外，还能由直角判定垂直，判断两直线的夹角是否为90°是判断两直线是否垂直的基本方法．5．45分析：根据垂直定义得BOE=∠90〬,由角平分线定义得∠BOD=12∠BOE=45〬，由对顶角相等得∠AOC＝∠BOD=45〬详解：因为，直线AB，CD交于点O，OE⊥AB，所以，BOE=∠90〬,因为，OD平分∠BOE，所以，∠BOD=12∠BOE=45〬，所以，∠AOC＝∠BOD=45〬故答案为45点睛：本题考核知识点：垂直定义、角平分线、对顶角. 解题关键点：理解垂直定义、角平分线、对顶角性质.三、解答题1．见解析分析：两个合页所在的位置可看成的两个点，目的是为了让门与门框在一条直线上，应用的是两点确定一条直线；两个城市可看做两个点，两个城市之间，航行路线是直的，应用的是两点之间，线段最短．跳远成绩可将踏板看作直线，脚后跟看作一点，应用的是垂线段最短．详解：点睛：本题考查了生活中的数学知识、直线公理、线段公理、垂线段最短．注意一些物体或地方可看做一个点．2．见解析解析：试题分析：（1）过点M，N分别作AB的垂线，垂足分别为P，Q，根据垂线段最短可得汽车行驶到何处时，分别对两所学校影响最大；（2）此题说明时要分3段A到P；由P向Q，由Q 向B分别说明对两学校的影响情况．试题解：（1）如图所示，过点M，N分别作AB的垂线，垂足分别为P，Q，则当施工车行驶到点P，Q处时产生的噪音分别对M，N两个村庄影响最大．（2）由A至P时，产生的噪音对两个村庄的影响越来越大，到P处时，对M村庄的影响最大；由P至Q时，对M村庄的影响越来越小，对N村庄的影响越来越大，到Q处时，对N村庄的影响最大；由Q至B时，对M，N两个村庄的影响越来越小．点睛：此题主要考查了应用与设计作图，以及垂线段的性质，关键是正确画出图形．3．（1）见解析；（2）见解析.解析：本题考查了线段和垂线的性质在实际生活中的运用（1）由两点之间线段最短可知，连接AD、BC交于H，则H为蓄水池位置；（2）根据垂线段最短可知，要做一个垂直EF的线段．⑴连结AD，BC，交于点H，则H为所求的蓄水池点．⑵过H作HK EF于K，沿HK开挖，可使开挖的渠最短，依据是：“点与直线的连线中，垂线段最短”．（如图）4．AB∥CD，MN∥OP，EF∥GH；AB⊥GH，AB⊥EF，CD⊥EF，CD⊥GH．解析：试题分析:根据平行的含义，在同一平面内不相交的两条线叫做平行线，在图中所给的6条线段中找出互相平行的线，写出即可；根据垂直的含义，在同一平面内两条直线相交成直角时这两条直线互相垂直，在图中所给的6条线段中找出互相垂直的线，写出即可。

垂线学习要求1．理解两条直线垂直的概念，掌握垂线的性质，能过一点作已知直线的垂线．2．理解点到直线的距离的概念，并会度量点到直线的距离．课堂学习检测一、填空题1．当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线______，其中一条直线叫做另一条直线的______线，它们的交点叫做______．2．垂线的性质性质1：平面内，过一点____________与已知直线垂直．性质2：连接直线外一点与直线上各点的_________中，_________最短．3．直线外一点到这条直线的__________________叫做点到直线的距离．4．如图，直线AB，CD互相垂直，记作______；直线AB，CD互相垂直，垂足为O点，记作____________；线段PO的长度是点_________到直线_________的距离；点M到直线AB 的距离是_______________．二、按要求画图5．如图，过A点作CD⊥MN，过A点作PQ⊥EF于B．图a 图b 图c6．如图，过A点作BC边所在直线的垂线EF，垂足是D，并量出A点到BC边的距离．图a 图b 图c7．如图，已知∠AOB及点P，分别画出点P到射线OA、OB的垂线段PM及PN．图a 图b 图c8．如图，小明从A村到B村去取鱼虫，将鱼虫放到河里，请作出小明经过的最短路线．综合、运用、诊断一、判断下列语句是否正确(正确的画“√”，错误的画“×”)9．两条直线相交，若有一组邻补角相等，则这两条直线互相垂直．( ) 10．若两条直线相交所构成的四个角相等，则这两条直线互相垂直．( ) 11．一条直线的垂线只能画一条．( )12．平面内，过线段AB 外一点有且只有一条直线与AB 垂直． ( ) 13．连接直线l 外一点到直线l 上各点的6个有线段中，垂线段最短． ( ) 14．点到直线的距离，是过这点画这条直线的垂线，这点与垂足的距离． ( ) 15．直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离． ( ) 16．在三角形ABC 中，若∠B ＝90°，则AC ＞AB ．( )二、选择题17．如图，若AO ⊥CO ，BO ⊥DO ，且∠BOC ＝，则∠AOD 等于( )．(A)180°－2(B)180°－ (C)(D)2－90°18．如图，点P 为直线m 外一点，点P 到直线m 上的三点A 、B 、C 的距离分别为PA ＝4cm ，PB ＝6cm ，PC ＝3cm ，则点P 到直线m 的距离为( )．(A)3cm (B)小于3cm (C)不大于3cm(D)以上结论都不对19．如图，BC ⊥AC ，CD ⊥AB ，AB ＝m ，CD ＝n ，则AC 的长的取值范围是( )．(A)AC ＜m (B)AC ＞n (C)n ≤AC ≤m(D)n ＜AC ＜m20．若直线a 与直线b 相交于点A ，则直线b 上到直线a 距离等于2cm 的点的个数是( )．(A)0(B)1(C)2(D)321．如图，AC ⊥BC 于点C ，CD ⊥AB 于点D ，DE ⊥BC 于点E ，能表示点到直线(或线段)的距离的线段有( )． (A)3条 (B)4条 (C)7条(D)8条三、解答题22．已知：OA ⊥OC ，∠AOB ∶∠AOC ＝2∶3．求∠BOC 的度数．23．已知：如图，三条直线AB ，CD ，EF 相交于O ，且CD ⊥EF ，∠AOE ＝70°，若OG 平分∠BOF ．求∠DOG ．拓展、探究、思考24．已知平面内有一条直线m 及直线外三点A ，B ，C ，分别过这三个点作直线m 的垂线，想α2190+︒一想有几个不同的垂足?画图说明．25．已知点M ，试在平面内作出四条直线l 1，l 2，l 3，l 4，使它们分别到点M 的距离是1.5cm ．·M26．从点O 引出四条射线OA ，OB ，OC ，OD ，且AO ⊥BO ，CO ⊥DO ，试探索∠AOC 与∠BOD的数量关系．27．一个锐角与一个钝角互为邻角，过顶点作公共边的垂线，若此垂线与锐角的另一边构成直角，与钝角的另一边构成直角，则此锐角与钝角的和等于直角的多少倍? 答案1．互相垂直，垂，垂足．2．有且只有一条直线，所有线段，垂线段． 3．垂线段的长度．4．AB ⊥CD ；AB ⊥CD ，垂足是O (或简写成AB ⊥CD 于O )；P ；CD ；线段MO 的长度． 5～8．略．9．√，10．√，11．×，12．√，13．√，14．√，15．×，16．√． 17．B ． 18．B ． 19．D ． 20．C ． 21．D ． 22．30°或150°． 23．55°．24．如图所示，不同的垂足为三个或两个或一个．这是因为：(1)当A ，B ，C 三点中任何两点的连线都不与直线m 垂直时，则分别过A ，B ，C 三点作直线m 的垂线时，有三个不同的垂足．(2)当A ，B ，C 三点中有且只有两点的连线与直线m 垂直时，则分别过A ，B ，C 三点作直线m 的垂线时，有两个不同的垂足．(3)当A ，B ，C 三点共线，且该线与直线m 垂直时，则只有一个垂足．25．以点M 为圆心，以RM ，在圆M 上任取四点A ，B ，C ，D ，依次连接AM ，BM ，CM ，DM ，再分别过A ，B ，C ，D 点作半径AM ，BM ，CM ，DM 的垂线l 1，l 2，l 3，l 4，则这四条直线为所求． 26．相等或互补．27．提示：如图， 7573,9073,9075 ⨯=∠⨯=∠FOC AOE12∴是倍．7。

5.1.2《垂线》重难点题型专项练习考查题型一垂线的定义典例1．（2022秋·北京·七年级北京市第一六一中学校考期末）如图，O是上一点，于点O，直线经过O点，，则的度数为（ ）A．100°B．105°C．115°D．125°【答案】C【分析】由，可得，由对顶角相等可得，根据角的和差即可解答．【详解】解：∵，∴，∵，∴．故选：C．【点睛】此题考查垂直的定义以及对顶角，题目很简单，解题时要仔细识图．变式1-1．（2022秋·四川泸州·七年级统考期末）已知：如图，于点O，c为经过点O的任意一条直线，那么与的关系是（）A．互余B．互补C．互为对顶角D．相等【答案】A【分析】根据对顶角相等得到，利用，得到，即可推出．【详解】解：由题意得，∵，∴，∴，故选：A．【点睛】此题考查了对顶角相等，垂直的定义，余角的定义，熟记各定义是解题的关键．变式1-2．（2022春·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨风华中学校考期中）如图，，直线BD 经过点O，则的度数为（ ）A．B．C．D．【答案】B【分析】先利用垂直的含义求解再利用邻补角的含义求解即可．【详解】解：∵，∴∵直线BD经过点O，∴故选B．【点睛】本题考查的是垂直的含义，邻补角的含义，熟练的利用垂直与邻补角的定义求解角的度数是解本变式1-3．（2022秋·辽宁本溪·七年级统考期末）如图，，，垂足为点O，，垂足为点O，则等于（）A．24°B．42°C．48°D．64°【答案】B【分析】根据，，可得∠BOD=∠AOC=90°，再由，可得∠AOB=48°，即可求解．【详解】解：∵，，∴∠BOD=∠AOC=90°，∵，∴∠AOB=∠AOD-∠BOD=48°，∴∠BOC=∠AOC-∠AOB=42°．故选：B【点睛】本题主要考查了角与角间的和与差，垂直的性质，明确题意，准确得到角与角之间的关系是解题的关键．考查题型二作已知直线的垂线典例2．（2021秋·广东珠海·七年级统考期中）过点C向AB边作垂线段，下列画法中正确的是（ ）A．B．C．D．【分析】根据垂线段的定义逐个判断即可得出正确结论．【详解】解：A．此选项是过点A作BC边的垂线段，故错误；B．此选项是过点B作AB边的垂线段，故错误；C．此选项是过点C作AB边的垂线段，故此项正确；D．此选项是过点B作CA边的垂线段，故错误．故选：C．【点睛】本题考查了垂线段的定义及作法，是一道基础题，解题时要善于观察，准确理解垂线段的定义是解题的关键．变式2-1．（2022秋·河北承德·七年级统考期末）下列选项中，过点P画AB的垂线CD，三角尺放法正确的是（ ）A．B．C．D．【答案】C【分析】根据P点在CD上，CD⊥AB进行判断．【详解】解：过点P画AB的垂线CD，则P点在CD上，CD⊥AB，所以三角尺放法正确的为【点睛】本题考查了作图-基本作图，熟练掌握基本作图（过一点画已知直线的垂线）是解决问题的关键．变式2-2．（2022秋·河北石家庄·七年级校联考期中）下列各图中，过直线外的点画直线的垂线，三角尺操作正确的是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】根据垂线的作法，用直角三角板的一条直角边与l重合，另一条直角边过点P后沿直角边画直线即可；【详解】根据分析可得C的画法正确；故答案选C．【点睛】本题主要考查了垂线的作法，准确理解是解题的关键．变式2-3．（2020秋·广西·七年级广西大学附属中学校考阶段练习）下列用三角板过点P画AB的垂线CD，正确的是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据垂线的作法，用直角三角板的一条直角边与重合，另一条直角边过点后沿直角边画直线即可．【详解】解：根据分析可得，用直角三角板的一条直角边与重合，另一条直角边过点后沿直角边画直线，选项的画法正确，故选：．【点睛】此题主要考查了垂线的画法，在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．考查题型三垂线的性质的应用典例3．（2022秋·重庆云阳·七年级校考阶段练习）春节过后，某村计划挖一条水渠将不远处的河水引到农田（记作点O），以便对农田的小麦进行灌溉，现设计了四条路段，，，，如图所示，其中最短的一条路线是（ ）A．OA B．OB C．OC D．OD【答案】B【分析】根据垂线段的性质：垂线段最短，可得答案．【详解】由垂线段最短，得四条线段，，，，如图所示，其中最短的一条路线是，故选：B．【点睛】本题考查了垂线段的的性质，熟记性质是解题关键．变式3-1．（2022·江苏盐城·校考三模）如图，是测量学生跳远成绩的示意图，即的长为某同学的跳远成绩，其依据是（ ）A．两点之间线段最短B．两点确定一条直线C．垂线段最短D．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直【答案】C【分析】由点到直线的距离的定义及跳远比赛的规则作出判断．【详解】解：能正确解释这一现象的数学知识是垂线段最短，故选：C．【点睛】此题考查了垂线段最短的性质的运用，解答此题的关键是熟练掌握由点到直线的距离的定义及跳远比赛的规则．变式3-2．（2022秋·河北保定·七年级校考期中）如图，某单位要在河岸l上建一个水泵房引水到C处．他们的做法是：过点C作于点D，将水泵房建在了D处．这样做最节省水管长度，其数学道理是（）A．两点确定一条直线B．两点之间，直线最短C．两点之间，线段最短D．垂线段最短【答案】D【分析】根据垂线段最短解答即可．【详解】解：过点C作于点D，将水泵房建在了D处．这样做最节省水管长度，其数学道理是：垂线段最短．故选D．【点睛】本题考查了垂线段的性质，熟练掌握垂线段性质是解答本题的关键．从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短．变式3-3．（2022秋·河南安阳·七年级统考期末）如图，从位置O到直线公路l有四条小道，其中路程最短的是（）A．OA B．OB C．OC D．OD【答案】C【分析】根据垂线的性质即可得到结论．【详解】解：根据垂线段最短得，能最快到达公路l的小道是OC，故选C．【点睛】本题考查了垂线段最短，熟记垂线的性质是解题的关键．考查题型四点到直线的距离典例4．（2022春·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市第四十九中学校校考阶段练习）如图，直角三角形中，，，垂足是点，则下列说法正确的是（）A．线段的长表示点到的距离B．线段的长表示点到的距离C．线段的长表示点到的距离D．线段的长表示点到的距离【答案】C【分析】根据直线外一点，到这条直线的垂线段的长度是这点到直线的距离判断即可．【详解】解：A．线段的长度表示点A到的距离，说法错误，不符合题意；B．线段的长度表示点C到的距离，说法错误，不符合题意；C．线段的长度表示点B到的距离，说法正确，符合题意；D．线段的长度表示点B到的距离，说法错误，不符合题意；故选C．【点睛】本题考查了点到直线的距离，解题关键是准确识图，正确进行判断．变式4-1．如图，P为直线l外一点，A，B，C在l上，且PB⊥l，下列说法中，正确的个数是（）①PA，PB，PC三条线段中，PB最短；②线段PB叫做点P到直线l的距离；③线段AB的长是点A到PB 的距离；④线段AC的长是点A到PC的距离．A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【分析】根据直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离；从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短．逐一判断．【详解】解：①线段BP是点P到直线l的垂线段，根据垂线段最短可知，PA，PB，PC三条线段中，PB最短；故原说法正确；②线段BP是点P到直线l的垂线段，故线段BP的长度叫做点P到直线l的距离，故原说法错误；③线段AB是点A到直线PB的垂线段，故线段AB的长度叫做点P到直线l的距离，故故原说法正确；④由题意及图形无法判断线段AC的长是点A到PC的距离，故原说法错误；综上所述，正确的说法有①③；故选：B．【点睛】本题主要考查了垂线段最短的性质和点到直线的距离的概念．垂线的两条性质：①从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．②从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短．变式4-2．（2022春·广东梅州·七年级校考阶段练习）如图，已知三角形ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，则表示点A到直线CD距离的是（ ）A．线段CD的长度B．线段AC的长度C．线段AD的长度D．线段BC的长度【答案】C【分析】根据点到直线的距离的概念：直线外一点到这条直线的垂线段的长度即为该点到这条直线的距离作答即可．【详解】解：点A到CD的距离是线段AD的长度．故选C．【点睛】本题主要考查了点到直线的距离的概念，解题的关键是熟练掌握并理解点到直线的距离的概念．变式4-3．（2022秋·山东济宁·七年级统考期末）如图，点A在直线l1上，点B，C在直线l2上，AB⊥l2于点B，AC⊥11于点A，AB＝4，AC＝5，则下列说法正确的是（ ）A．点B到直线l1的距离等于4B．点A到直线l2的距离等于5C．点B到直线l1的距离等于5D．点C到直线l1的距离等于5【答案】D【分析】根据点到直线的距离的定义求解即可．【详解】解：∵AB⊥于点B，AC⊥于点A，AB=4，AC=5，∴点A到直线的距离等于4，点C到直线的距离等于5，故选：D．【点睛】本题考查了点到直线的距离，利用点到直线的距离定义是解题关键．。

人教版七年级数学下册《5.1.2垂线》同步训练题-附答案 学校：___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、单选题 1．如图，下列线段中，长度最短的是（ ）A ．PDB ．PC C ．PBD ．PA2．平面内过直线l 外一点O 作直线l 的垂线能作出（ ）A ．0条B ．1条C ．2条D ．无数条3．在同一平面内，经过一点（已知直线上或直线外），能画出已知直线的垂线数为（ ） A ．0条 B ．1条 C ．2条 D ．无数条4．P 为直线m 外一点，A ，B ，C 为直线m 上三点4cm 5cm 6cm PA PB PC ===，，，则点P 到直线m 的距离（ ）A ．等于5cmB ．等于4cmC ．小于4cmD ．不大于4cm 5．如图，点D 在AB 上BE AC ⊥，垂足为E ，BE 交CD 于点F ，则下列说法错误的是（ ）A ．线段AE 的长度是点A 到直线BE 的距离B ．线段FD 的长度是点F 到直线AB 的距离C ．线段FE 的长度是点F 到直线AC 的距离D ．线段CE 的长度是点C 到直线BE 的距离 6．如图，直线AB ，CD 相交于点O ，射线OM 平分AOC ∠，ON OM ⊥若70AOC ∠=︒，则CON ∠的度数为（ ）A．35︒B．45︒C．55︒D．60︒，，点P在直线CD上，用三角尺过点P画直线AB的垂线l．下7．如图，已知直线AB CD列选项中，三角尺摆放位置正确的是（）A．B．B．C．D．8．如图，已知OA⊥OB，直线CD经过顶点O，若⊥BOD⊥⊥AOC＝5⊥2，则⊥BOC等于()A．6B．4.8C．2.4D．5二、填空题11．已知，．若OB 在内，则的度数为______． 12．如图所示的是小明同学在体育课上跳远后留下的脚印，体育老师测量小明同学的跳远成绩时，选取了线段DC 进行测量，其依据是 ．13．如图，直线AB 、CD 相交于点O ，射线OF CD ⊥于点O ，36AOC ∠=︒则BOF ∠= 度．三、解答题14．如图，直线AB CD ⊥，垂足为O ，直线EF 经过点O ，∠2=55°，求∠1，∠3，∠BOE 的度数．15．如图，是某同学在学校运动会跳远比赛中留下的脚印，请测量他的成绩．（要求：画出图形，并进行简要说明，按照答题卡．．．测量距离，比例尺1:200计算）参考答案：1．C2．B3．B4．D5．B6．C7．C8．B9．110．12011．CD的长12．垂线段最短13．30°14．135∠=︒ 335∠=︒ 145BOE ∠=︒ 15．小明这次跳远的成绩是4.4m ． 16．(1)ON CD ⊥ (2)60BOD ∠=︒。

5.1.2 垂线学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________一、单选题1．如图，经过直线l外一点A作l的垂线，能画出（）A．4条B．3条C．2条D．1条2．下列说法中正确的是（）A．在同一平面内，两条直线的位置只有两种：相交和垂直B．有且只有一条直线垂直于已知直线C．如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行D．从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离3．在下列语句中，正确的是（）．A．在平面上，一条直线只有一条垂线B．过直线上一点的直线只有一条;C．过直线上一点且垂直于这条直线的直线有且只有一条;D．垂线段就是点到直线的距离4．如图，在一张透明的纸上画一条直线l，在l外任取一点Q，并折出过点Q且与l垂直的直线，能折出这样的直线的条数为( )A．0条B．1条C．2条D．无数条5．体育课上，老师测量跳远成绩的依据是（）A．两点确定一条直线B．两点之间，线段最短C．垂线段最短D．平行线间的距离相等6．体育课上，老师测量跳远成绩的依据是( )A．垂直的定义 B．两点之间线段最短C．垂线段最短 D．两点确定一条直线7．下列说法中，正确的是( )A．垂线最短 B．两点之间直线最短C．如果两个角互补，那么这两个角中一个是锐角，一个是钝角 D．同角的补角相等8．下列说法中正确的有（）(1) 钝角的补角一定是锐角(2) 过己知直线外一点作这条直线的垂线有且只有一条(3) —个角的两个邻补角是对顶角(4) 等角的补角相等(5) 直线l外一点A与直线l上各点连接而成的所有线段中，最短线段的长是3cm，则点A到直线l的距离是3cm .A．2个B．3个C．4 个D．5 个9．下列说法中，正确的是( )A．过直线外一点可以画无数条直线与这条直线垂直B．过直线外一定点不可以画这条直线的垂线C．过直线外一点可以画这条直线的一条垂线D．如果两条直线不相交，那么这两条直线有可能互相垂直二、填空题1．如图，AH⊥BC，垂足为H，若AB＝1.7cm，AC＝2cm，AH＝1.1cm，则点A到直线BC的距离是_____cm．2．点到直线的距离是指这点到这条直线的________．3．如图，跳远比赛时，小明从点A起跳落在沙坑内B处，跳远成绩是4.8米，则起跳点A与落脚点B之间的距离_____（填“大于”、“小于”或“等于”）4.8米.4．邻补角的两条平分线互相_________.5．如图，直线AB、CD相交于点O，若∠EOD=40°，∠BOC=130°，那么射线OE与直线AB的位置关系是___________三、解答题1．作图并写出结论：如图，点P 是∠AOB 的边OA 上一点，请过点P 画出OA ，OB 的垂线，分别交BO 的延长线于M 、N ，线段 的长表示点P 到直线BO 的距离；线段 的长表示点M 到直线AO 的距离； 线段ON 的长表示点O 到直线 的距离；点P 到直线OA 的距离为 ．2．如图，直线AB 与CD 相交于点O ，OE⊥AB，OF⊥CD．(1)图中∠COE 的余角是 ．(请符合条件的角都写出来)；(2)图中除直角外，还有相等的角，请写出三对；① ；② ；③ ．(3)若∠AOF=3∠COE，求∠COE 的度数(请写出解答过程)．3．如图，直线AB 、CD 、MN 相交于点O ，FO⊥BO，OM 平分∠DOF（1）请直接写出图中所有与∠AON 互余的角：．（2）若∠AOC=52∠FOM，求∠MOD 与∠AON 的度数．4．如图，已知直线AB 和CD 相交于O 点，射线OE AB ⊥于O ，射线OF CD ⊥于O ，且BOF 25.∠=求：AOC ∠与EOD ∠的度数．5．如图，已知O为直线AB上的一点，CD⊥AB于点O，PO⊥OE于点O，OM平分∠COE，点F 在OE的反向延长线上．(1)当OP在∠BOC内，OE在∠BOD内时，如图①所示，直接写出∠POM和∠COF之间的数量关系；(2)当OP在∠AOC内且OE在∠BOC内时，如图②所示，试问(1)中∠POM和∠COF之间的数量关系是否发生变化？并说明理由．参考答案一、单选题1．D解析：平面内经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线，据此可得．详解：经过直线l外一点画l的垂线，能画出1条垂线，故选D．点睛：本题主要考查垂线，解题的关键是掌握在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．2．C解析：同一平面内，两条直线可能相交或者平行，一条直线的垂线有很多条，根据平行公理的推论，两条直线都与第三条直线平行则这两条直线平行，点到直线的距离指的是线段的长度．详解：A、在同一平面内，两条直线的位置只有两种：相交和平行，垂直是相交的一种情况，故该选项错误；B、一条直线的垂线有无数条，故该选项错误；C、根据平行公理的推论，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行，故该选项正确；D、点到直线的距离指的是垂线段的长度，而非垂线段，故该选项错误．故选C．点睛：本题考查了相交线的位置关系、垂线、点到直线距离的定义以及平行公理的推论，属于基础考题，比较简单．3．C解析：根据垂线的定义、直线的定义、垂线的性质、垂线段的定义逐一进行分析即可得.详解：A、在平面上，一条直线有无数条垂线，错误；B、过直线上一点的直线有无数条，错误；C、在同一平面内，过直线上一点且垂直于这条直线的直线有且只有一条，正确；D、垂线段是线段，是图形，垂线段的长度是点到直线的距离，错误，故选C．点睛：本题考查了垂线、垂线段、垂线的性质等知识，熟练掌握相关的概念以及性质是解题的关键.4．B解析：试题根据垂线的性质，这样的直线只能作一条.故选B.点睛：根据垂线的基本性质：过直线上或直线外的一点，有且只有一条直线和已知直线垂直，容易判断．5．C解析：根据垂线段最短的性质解答．详解：老师测量跳远成绩的依据是：垂线段最短．故选C．点睛：本题考查了垂线段最短，掌握垂线段的性质是解题的关键．6．C解析：根据垂线段最短的性质解答．详解：老师测量跳远成绩的依据是：垂线段最短．故选：C．点睛：本题考查了垂线段最短在实际生活中的应用，是基础题．7．D解析：分析：根据线的性质，直线的性质，补角的性质解答即可.详解：A、垂线段最短,故选项错误;B、两点之间线段最短,故选项错误;C、可以为两个直角,故选项错误;D、同角的补角相等,故选项正确.故选D.点睛：本题考查了垂线的性质，直线的性质，补角的性质，是基础知识要熟练掌握图形的性质. 对不同的几何语言的表达要注意理解它们所包含的意义，要善于区分不同概念之间的联系和区别．8．D解析：①180°-钝角=锐角，钝角的补角一定是锐角，故①正确；②过已知直线外一点作已知直线的垂线有且只有一条，故②正确；③一个角的两个邻补角是对顶角，故③正确；④等角的补角相等，故④正确；⑤直线l外一点A与直线l上各点连接而成的所有线段中，最短线段的长是3cm，则点A到直线l的距离是3cm，故⑤正确；故选D．9．C解析：利用垂线的定义结合两直线的位置关系分别分析得出即可．详解：A、过直线外一点可以画一条直线与这条直线垂直，故此选项错误；B、过直线外一定点可以画一条直线的垂线，故此选项错误；C、过直线外一点可以画这条直线的一条垂线，故此选项正确；D、如果两条直线不相交，那么这两条直线有可能互相平行，故此选项错误；故选：C．点睛：此题主要考查了垂线的定义以及两直线的位置关系，正确把握相关定义是解题关键．二、填空题1．1解析：分析：根据点到直线的距离的定义回答即可.详解：点A到直线BC的距离是线段AH的长度，是1.1cm.故答案为:1.1.点睛：考查了点到直线的距离.点到直线的距离是指点到直线的垂线段的长度.根据定义回答即可.2．垂线段的长度解析：点到直线的距离是指这点到这条直线的垂线段的长度,故答案为垂线段的长度.3．大于解析：试题跳远成绩为距离起跳线最近的点到起跳线的距离，即垂线段的长.∵垂线段最短，小明的跳远成绩是4.8米，∴小明从起跳点到落脚点之间的距离大于4.8米.故答案为大于.4．垂直解析：利用邻补角的定义以及角平分线的性质得出即可．详解：邻补角的两条平分线互相垂直．故答案为垂直．点睛：此题主要考查了垂线的定义以及邻补角的定义，正确把握邻补角定义是解题关键．5．垂直详解：解:∵∠BOC=130°，∴∠AOD=∠BOC=130°，∴∠AOE=∠AOD-∠EOD=130°-40°=90°．∴OE⊥AB．故答案为：∴OE⊥AB．三、解答题1．PN，PM，PN，0分析：先根据题意画出图形，再根据点到直线的距离的定义得出即可．详解：如图所示：线段PN的长表示点P到直线BO的距离；线段PM的长表示点M到直线AO的距离；线段ON 的长表示点O到直线PN的距离；点P到直线OA的距离为0，故答案为PN，PM，PN，0．点睛：本题考查了点到直线的距离，能熟记点到直线的距离的定义是解此题的关键．2．（1）∠AOC，∠EOF，∠BOD；（2）∠AOC＝∠EOF；∠AOC＝∠BOD；∠EOF＝∠BOD；（3）45°．分析：（1）根据余角的定义和余角的性质解答即可；（2）根据余角的性质和对顶角相等即可找出三对相等角；（3）根据∠AOF＝3∠COE以及∠AOC＝∠EOF，可知∠AOC＝∠EOC＝∠EOF，进一步即可求出结果．详解：解：（1）∵OE⊥AB，OF⊥CD，∠AOC=∠DOB，∴∠COE+∠AOC=90°，∠COE+∠EOF=90°，∠COE+∠BOD=90°；∴图中∠COE的余角是∠AOC，∠EOF，∠BOD；故答案为：∠AOC，∠EOF，∠BOD；（2）根据同角的余角相等可得：∠AOC＝∠EOF；∠EOF＝∠BOD；根据对顶角相等可得：∠AOC＝∠BOD．∴相等的3对角是：①∠AOC＝∠EOF；②∠AOC＝∠BOD；③∠EOF＝∠BOD．故答案为：∠AOC＝∠EOF；∠AOC＝∠BOD；∠EOF＝∠BOD；（3）∵∠AOF＝3∠COE，∠AOC＝∠EOF，∴∠COE＝∠AOC，∵OE⊥AB，∴∠COE+∠AOC＝90°，∴∠COE＝45°．故∠COE的度数是45°．点睛：本题考查了垂直的定义、对顶角相等、角度的计算和余角的定义及性质等知识，属于基本题型，熟练掌握基本知识是解题关键．3．（1）∠FOM，∠MOD，∠CON；（2）20°，70°分析：（1）根据垂直的定义可得∠BOF=∠AOF=90°，由角平分线的定义和对顶角相等可得与∠AON 互余的角有：∠FOM，∠MOD，∠CON；（2）设∠MOD的度数为x°，用含x的式子表示出∠FOD和∠AOC的度数，然后由∠AOC=∠BOD，得出∠FOD+∠AOC=90°，据此列方程求解，再由（1）中∠MOD与∠AON互余可得出∠AON的度数．详解：解：（1）∵FO⊥BO，∴∠BOF=∠AOF=90°，∴∠BOM+∠FOM=90°，又∠BOM=∠AON，∴∠AON+∠FOM=90°．∵OM平分∠DOF，∴∠DOM=∠FOM，又∵∠DOM=∠CON，∴与∠AON互余的角有：∠FOM，∠MOD，∠CON；（2）设∠MOD的度数为x°，∵OM平分∠FOD，∴∠MOD=∠FOM=x°，∴∠FOD=2x°，∠AOC=52∠FOM=5x2°，又∵FO⊥BO，∠AOC=∠BOD，∴∠FOD+∠AOC=90°，即2x+5x2=90，解得：x=20．即∠MOD=20°，由（1）可知∠MOD 与∠AON 互余，∴∠AON=90°-∠MOD=90°-20°=70°．故∠MOD 的度数为20°，∠AON 的度数为70°．点睛：本题考查了垂直的定义，角的平分线的定义，余角的定义与性质以及对顶角相等，正确理解相关概念是关键．4．∠AOC＝115°, ∠EOD＝25°.分析：根据垂线的性质和余角及补角的定义可求出∠ AOC，由垂线的性质和余角的定义可求出∠EOD 详解：解：∵OF⊥CD，∴∠COF＝90°，∴∠BOC＝90°－∠BOF＝65°，∴∠AOC＝180°－65°＝115°.∵OE⊥AB，∴∠BOE＝90°，∴∠EOF＝90°－25°＝65°，∵OF⊥CD∴∠DOF=90°∴∠EOD＝∠DOF −∠EOF ＝90°－65°＝25°.点睛：垂线的性质及补角和余角的定义都是本题的考点，正确找出角之间的关系是解题的关键.5．（1）∠POM＝12∠COF，理由见解析；（2）∠POM＝12∠COF，理由见解析解析：（1）利用垂直的定义，CD⊥AB，PO⊥EO，等量代换得∠COP=∠BOE，利用角平分线的性质，得∠POM=12∠POB=12(90°-∠POC)，∠COF=90°-∠COP，得出结论；（2）利用垂直的定义，同角的余角相等可得∠COP＝∠AOF，可推出∠COP＋∠COB＝∠AOF＋∠AOC，即∠BOP＝∠COF，由对顶角相等得∠AOF＝∠BOE＝∠COP，利用角平分线的性质，得∠COP＋∠COM＝∠BOE＋∠MOE，即∠POM＝12∠BOP，等量代换得出结论．详解：解：(1)∠POM＝12∠CO F.证明：∵CD⊥AB，∴∠COP+∠BOP=90°，∵OP⊥OE，∴∠BOE+∠BOP=90°，∴∠COP=∠BOE，∵OM 平分∠COE，∴∠POM=∠MOB=12∠POB=12 (90°−∠POC)，∵∠COF=90°−∠COP ，∴∠POM=12∠COF；(2)不发生变化．理由：∵CD⊥AB 于点O ，∴∠AOP＋∠COP＝90°.∵PO⊥OE 于点O ，∴∠AOP＋∠AOF＝90°，∴∠COP＝∠AOF.又∵∠AOC＝∠COB＝90°，∴∠COP＋∠COB＝∠AOF＋∠AOC，即∠BOP＝∠COF.∵∠AOF＝∠BOE，∴∠COP＝∠BOE.∵OM 平分∠COE，∴∠COM＝∠MOE，∴∠COP＋∠COM＝∠BOE＋∠MOE，∴∠POM＝12∠BOP，∴∠POM＝12∠COF.故答案为：（1）∠POM＝12∠COF，理由见解析；（2）∠POM＝12∠COF，理由见解析. 点睛：本题考查垂线， 角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握垂直的定义和角平分线的性质.。

5.1.2 垂线学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________一、单选题1．如图，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，则下面的结论中，不正确的是( )A．线段AC的长度是点A到BC的距离B．CD与AB互相垂直C．AC与BC互相垂直D．点B到AC的垂线段是线段CA2．我们在运动会时测量跳远的成绩，实际上是要得到( )A．两点之间的距离B．点到直线的距离C．两条直线之间的距离D．空中飞行的距离3．下列语句正确的是（）A．过一点有且只有一条直线与已知直线平行B．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直C．两条直线相交，交点叫做垂足D．过直线上一点只能作一条直线和这条直线相交4．有下列说法：①两条直线相交成四个角，如果两个角相等，那么这两条直线垂直；②两条直线相交成四个角，如果三个角相等，那么这两条直线垂直；③在同一平面内，过直线上一点可以作无数条直线与已知直线垂直；④直线外一点到这条的垂线段，叫做点到直线的距离．其中正确的说法有（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个5．如图所示，某同学的家在P处，他想尽快赶到附近公路边搭公交车，他选择P→C路线，用几何知识解释其道理正确的是（）A．两点确定一条直线B．垂直线段最短C．两点之间线段最短D．三角形两边之和大于第三边6．如图，直线AB、CD相交于点O，EO⊥CD，下列说法错误的是（）A．∠AOD＝∠BOC B．∠AOE＋∠BOD＝90°C．∠AOC＝∠AOE D．∠AOD＋∠BOD＝180°7．同一平面内的四条直线满足a⊥b，b⊥c，c⊥d，则下列式子成立的是（）A．a∥b B．b⊥d C．a⊥d D．b∥c8．如图，已知直线AB，CD，EF相交于点O，OG⊥AB，∠COE＝32°，∠FOG＝29°，则∠AOC 的度数是( )A．19°B．29°C．32°D．39°9．如图，直线 AD，BE 相交于点 O，CO⊥AD 于点 O，OF 平分∠BOC．若∠AOB=32°，则∠AOF 的度数为A．29°B．30°C．31°D．32°二、填空题1．如图，AC⊥BC，CD⊥AB于点D，图中共有________个直角，图中线段________的长表示点C到AB的距离，线段________的长表示点A到BC的距离．2．如图，直线AB、CD相交于点O，OE丄AB于O，∠DOE=35°，则∠AOC=______．3．如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠AOD，OF⊥OC，∠1与∠3的度数之比为3：4，则∠EOC=___________，∠2=_________．4．如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥AB，垂足为点O，若∠AOD=132°，则∠EOC=_____°．5．如图，在同一平面内，OA⊥l，OB⊥l，垂足为O，则OA与OB重合的理由是_______________________三、解答题1．读下列语句，并画出图形．点P是直线AB外一点，直线CD经过点P，且与直线AB平行，直线EF也经过点P且与直线AB垂直．2．如图所示，直线AB，CD相交于点O，P是CD上一点．（1）过点P画AB的垂线段PE．（2）过点P画CD的垂线，与AB相交于F点．（3）说明线段PE，PO，FO三者的大小关系，其依据是什么？3．如图是某次跳远测验中某同学跳远记录示意图．这个同学的成绩应如何测量，请你画出示意图．4．如图，直线AB，CD相交于点O．OF平分∠AOE，OF⊥CD于点O．(1)请直接写出图中所有与∠AOC相等的角：______.(2)若∠AOD＝150°，求∠AOE的度数．5．已知直线CD⊥AB于点O，∠EOF＝90°，射线OP平分∠COF．（1）如图1，∠EOF在直线CD的右侧：①若∠COE＝30°，求∠BOF和∠POE的度数；②请判断∠POE与∠BOP之间存在怎样的数量关系？并说明理由．（2）如图2，∠EOF在直线CD的左侧，且点E在点F的下方：①请直接写出∠POE与∠BOP之间的数量关系；②请直接写出∠POE与∠DOP之间的数量关系．参考答案一、单选题1．D解析：根据垂线的定义可做出判断.详解：A. ∵∠ACB＝90°，故线段AC的长度是点A到BC的距离，正确；B. 由CD⊥AB 知CD与AB互相垂直，正确；C. 由∠ACB＝90°知AC与BC互相垂直，正确D. 点B到AC的垂线段应该是线段CB，故错误；选D.点睛：此题主要考察垂线的定义.2．B解析：跳远时,测量的是跳远者落地时脚后跟与起跳时直线之间的距离,测量是把脚后跟当做一个点处理,即是求点与直线之间的距离.故选B.3．B解析：试题A、过一点须指明过直线外一点，错误；B、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，是垂线的性质，正确；C、只有垂直相交，交点才叫垂足，错误；D、过直线上一点与已知直线相交的直线有无数条，错误．故选B．4．B解析：试题①两条直线相交成四个角，如果有一对对顶角相等且均不为90°，那么这两条直线不垂直，故①错误；②两条直线相交成四个角，则这四个角中有2对对顶角．如果三个角相等，则这四个角相等，都是直角，所以这两条直线垂直．故②正确；③在同一平面内，过直线上一点只有一条直线与已知直线垂直．故③错误；④直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．故④错误；综上所述，正确的说法是1个．故选B．5．B分析：根据垂线段的定义判断即可.详解：解：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短,选:B.点睛：直线外任意一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到这条直线的距离．直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短．简称“垂线段最短”．6．C分析：根据对顶角性质、邻补角定义及垂线的定义逐一判断可得．详解：A、∠AOD与∠BOC是对顶角，所以∠AOD=∠BOC，此选项正确；B、由EO⊥CD知∠DOE=90°，所以∠AOE+∠BOD=90°，此选项正确；C、∠AOC与∠BOD是对顶角，所以∠AOC=∠BOD，此选项错误；D、∠AOD与∠BOD是邻补角，所以∠AOD+∠BOD=180°，此选项正确；故选C．点睛：本题主要考查垂线、对顶角与邻补角，解题的关键是掌握对顶角性质、邻补角定义及垂线的定义．7．C解析：根据同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，可证a∥c，再结合c⊥d，可证a⊥d．详解：∵a⊥b，b⊥c，∴a∥c，∵c⊥d，∴a⊥d.故选C.点睛：此题考查垂线，难度不大8．B解析：先根据垂直的定义得出∠BOG=90°，那么∠BOF=61°，由对顶角相等求出∠AOE=∠BOF=61°，进而求出∠AOC=61°-32°=29°．详解：解：∵OG⊥AB，∴∠BOG=90°，∵∠FOG=29°，∴∠BOF=∠BOG-∠FOG=90°-29°=61°，∴∠AOE=∠BOF=61°，∵∠COE=32°，∴∠AOC=∠AOE-∠COE=61°-32°=29°．故选B．点睛：本题考查垂直的定义，对顶角的性质；弄清各个角之间的关系是解题关键．9．A分析：由CO⊥AD于点 O，得∠AOC=90︒，由已知∠AOB=32︒可求出∠BOC的度数，利用OF 平分∠BOC可得∠BOF=1BOC2∠，即可得∠AOF 的度数.详解：∵CO⊥AD 于点 O，∴∠AOC=90︒，∵∠AOB=32︒，∴∠BOC=122︒，∵OF 平分∠BOC，∴∠BOF=1BOC612∠=︒，∴∠AOF=∠BOF-∠AOB=61︒-3229︒=︒.故选A.点睛：本题考查垂线，角平分线的定义.二、填空题1．3, CD, AC解析：分析：运用垂直的定义和点到直线的距离，结合图形作答．详解：∵AC⊥BC，CD⊥AB，∴∠ACB=∠ADC=∠BDC=90°，即图中共有3个直角．图中线段CD的长表示点C到AB的距离，线段AC的长表示点A到BC的距离．故空中应填：3，CD，AC．点睛：点到直线的距离是过直线外一点作直线的垂线，垂线段的长度．2．o详解：解：∵OE丄AB于O，∴∠BOE＝∠BOD+∠DOE=90°又∵∠DOE=35°，∴∠BOD=90°-35°=55°，又∵∠AOC＝∠BOD，∴∠AOC=55°故答案为：55°．3．153° 54°分析：由垂线的定义和角平分线的定义即可得出结果．详解：∵OF⊥OC，∴∠DOF=∠COF=90°．∵OE平分∠AOD，∴∠AOD=2∠1．∵∠1与∠3的度数之比为3：4，∴∠AOD：∠3=3：2．∵∠3+∠AOD=90°，∴∠3=36°，∠AOD=54°，∴∠2=∠AOD=54°，∠112=∠AOD=27°，∴∠EOC=180°－∠1=180°－27°=153°．故答案为153°，54°．点睛：本题考查了垂线，角平分线定义，对顶角的性质，正确的识别图形是解题的关键．4．42°分析：根据对顶角相等可得∠COB＝132°，再根据垂直定义可得∠EOB＝90°，再利用角的和差关系可得答案．详解：∵∠AOD＝132°，∴∠COB＝132°，∵EO⊥AB，∴∠EOB＝90°，∴∠COE＝132°－90°＝42°，故答案为42°.点睛：本题考查了垂线, 对顶角、邻补角的定义，熟练掌握这些定义是本题解题的关键.5．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．解析：根据同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直进而得出答案．详解：解：∵OA⊥l，OB⊥l，垂足为O，∴OA与OB重合（同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直）．故答案为同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．点睛：本题主要考查了垂线的性质，正确把握定义是解题关键．三、解答题1．如图所示见解析.解析：先画直线AB和点P，过P作AB的平行线CD，过P作直线EF⊥AB，即可得出答案．详解：解：如图所示：．点睛：本题考查了画垂线，主要考查学生的理解能力和动手操作能力，用了数形结合思想．2．(1)见解析；（2）见解析；（3）PE＜PO＜FO，其依据是“垂线段最短”分析：前两问尺规作图见详解,第（3）问中利用垂线段最短即可解题.详解：（1）（2）如图所示．（3）在直角△FPO中,PO＜FO,在直角△PEO中,PE＜PO,∴PE＜PO＜FO，其依据是“垂线段最短”．点睛：本题考查了尺规作图和垂线段的性质,属于简单题,熟悉尺规作图的方法和步骤,垂线段的性质是解题关键.3．见解析解析：试题分析：从落地点作沙坑一边的垂线，测量落地点与踏跳板间的距离即为跳远成绩．试题如图所示，红线的长度即为该同学的跳远成绩.点睛：本题考查了垂线的应用，根据体育常识，跳远时只要不越过踏跳板起跳，测量成绩时从踏跳板开始测量，越过踏跳板则成绩视为无效．4．(1)∠BOD，∠DOE；(2)∠AOE＝120°．解析：（1）根据邻补角的定义确定出∠AOC和∠BOD，再根据角平分线的定义可得∠AOF=∠EOF，根据垂直的定义可得∠COF=∠DOF=90°，然后根据等角的余角相等求出∠DOE=∠AOC，从而最后得解；（2）根据垂直的定义得到∠DOF，根据角平分线的定义求出即可得到结论．详解：解：(1)∵直线AB，CD相交于点O，∴∠AOC＝∠BOD，∵OF平分∠AOE，∴∠AOF＝∠EOF，∵OF⊥CD，∴∠COF＝∠DOF＝90°，∴∠DOE＝∠AOC，∴与∠AOD相等的角有∠BOD，∠DOE，故答案为：∠BOD，∠DOE.(2)∵OF⊥CD，∴∠DOF＝90°，∵∠AOD＝150°，∴∠AOF＝60°，∵OF平分∠AOE，∴∠AOE＝2∠AOF＝120°．点睛：本题考查了垂线，余角和补角，对顶角相等的性质，角平分线的定义．5．（1）①∠BOF= 30°，∠POE=30°，②∠POE＝∠BOP（2）①∠POE＝∠BOP②∠POE+∠DOP ＝270°解析：（1）①根据余角的性质得到∠BOF＝∠COE＝30°，求得∠COF＝90°+30°＝120°，根据角平分线的定义即可得到结论；②根据垂线的性质和角平分线的定义即可得到结论；（2）①根据角平分线的定义得到∠COP＝∠POF，求得∠POE＝90°+∠POF，∠BOP＝90°+∠COP，于是得到∠POE＝∠BOP；②根据周角的定义即可得到结论．详解：（1）①∵CD⊥AB，∴∠COB＝90°，∵∠EOF＝90°，∴∠COE+∠BOE＝∠BOE+∠BOF＝90°，∴∠BOF＝∠COE＝30°，∴∠COF＝90°+30°＝120°，∵OP平分∠COF，∴∠COP＝12∠COF＝60°，∴∠POE＝∠COP﹣∠COE＝30°；②CD⊥AB，∴∠COB＝90°，∵∠EOF＝90°，∴∠COE+∠BOE＝∠BOE+∠BOF＝90°，∴∠BOF＝∠COE，∵OP平分∠COF，∴∠COP＝∠POF，∴∠POE＝∠COP﹣∠COE，∠BOP＝∠POF﹣∠BOF，∴∠POE＝∠BOP；（2）①∵∠EOF＝∠BOC＝90°，∵PO平分∠COF，∴∠COP＝∠POF，∴∠POE＝90°+∠POF，∠BOP＝90°+∠COP，∴∠POE＝∠BOP；②∵∠POE＝∠BOP，∠DOP+∠BOP＝270°，∴∠POE+∠DOP＝270°．点睛：本题考查了垂线，角平分线定义，角的和差，正确的识别图形是解题的关键．。

新人教版数学七年级下册第五章第一节订交线课时练习一、填空题（共15 小题）1.下边说法中错误的选项是（）A.两条直线订交，有一个角是直角，则这两条直线相互垂直B.若两对顶角之和为 1800，则两条直线相互垂直C.两条直线订交，所构成的四个角中，如有两个角相等，则两条直线相互垂直D.两条直线订交，所构成的四个角中，如有三个角相等，则两条直线相互垂直答案： C知识点：垂线对顶角邻补角分析：解答：垂线的看法是：当两条直线订交，有一个角是直角时，即两条直线相互平行．依照此看法，我们可以判断，选项 A 正确．选项 B 中，两对顶角之和为180°，则说明两对顶角均为90°，选项 B 也正确．在选项 D 中，两条直线订交，所构成的四个角中，如有三个角相等，依据对顶角的性质，说明四个角都相等，又因为四个角的度数和为360°，则说明四个角都是90°，选项 D 也正确．因为两条直线订交，形成两对对顶角，对顶角是相等的，但是不可以说明该角必定是90°，因此选项C 错误．分析：掌握订交线形成的对顶角知识，以及垂线的看法，就能轻松解答此题．此题观察垂线．2.以以下图， AB ⊥CD ，垂足为 D ，AC ⊥ BC，垂足为C，那么图中的直角一共有（）A．2 个B．3个C．4个D．1 个答案： B知识点：垂线分析：解答：两条直线相互垂直，其所形成的夹角都是直角．依据题意，AB ⊥ CD ，则∠ ADC 和∠ BDC 都是直角；同时， AC ⊥ BC ，因此∠ ACB 也是直角．为此，图形中一共有 3 个直角．分析：掌握垂线的看法，就能轻松解答此题．此题观察垂线．3.以以下图，直线EO⊥ CD ，垂足为点O， AB 均分∠ EOD，则∠ BOD 的度数为（）A ．120 °B． 130 °C． 135 °D． 140 °答案： C知识点：垂线角均分线分析：解答：两条直线相互垂直，其所形成的夹角都是直角．依据题意，EO⊥ CD ，则∠ EOD 和∠ EOC 都是直角；又因为 AB 均分∠ EOD ，因此∠AOD 为 45°．∠ AOD 与∠COB 是对顶角，因此∠COB也是45°．因为∠ COB 与∠ BOD 互补，因此∠BOD ＝ 180°－ 45°＝ 135°.分析：掌握垂线的看法，以及角均分线和对顶角的性质，就能轻松解答此题．此题观察垂线．4.点 P 为直线l外一点，点 A 、B 、 C 为直线l上三点， PA ＝4cm， PB ＝5cm， PC＝ 2cm，则点 P 到直线l的距离为（）A ．4cmB ． 5cm C．小于 2cm D ．不大于 2cm答案： D知识点：点到直线的距离垂线段最短分析：解答：点到直线的最短距离为过点作出的与已知直线的垂线段．在题干中，已知的最短距离为2cm，则选项 A 和选项 B 都是不正确的．又因为题干中没有明确告诉PC 能否垂直于直线l，当两线垂直时，则点P 到直线l的距离为 2cm；若两直线不垂直，则点P 到直线l的距离为小于 2cm．因此，只好选 D ．分析：点到直线的最短距离为过点作出的与已知直线的垂线段，是解答此题的重点．此题观察点垂线段最短．5.以以下图， OA ⊥ OC， OB ⊥OD ，下边结论中，此中说法正确的选项是（）①∠ AOB ＝∠ COD ；②∠ AOB ＋∠ COD ＝ 90°；③∠ BOC ＋∠ AOD ＝ 180°；④∠ AOC －∠ COD ＝∠ BOC.A. ①②③B.①②④C.①③④D.②③④答案： C知识点：垂线分析：解答：由题意可知， OA ⊥OC，因此∠ AOC ＝ 90°，即∠AOB ＋∠ BOC＝ 90°．同时， OB ⊥ OD ，因此∠ BOD ＝90°，即∠COD ＋∠BOC ＝90°．挨次，可以判断∠ AOB ＝∠ COD ，因此①正确．又因为不可以推测出∠ AOB 与∠ COD 的详尽角度，因此② 不正确．∠ AOD＝∠AOB＋∠ BOC＋∠ COD，因此∠ BOC＋∠ AOD＝∠ BOC＋∠AOB ＋∠ BOC＋∠ COD ＝ 90°＋90°＝ 180°．因为∠ AOB ＝∠ COD ，因此∠ AOC －∠COD ＝∠ AOC －∠ AOB ＝∠ BOC ，因此④正确．为此，选C．分析：在掌握两直线相互垂直，夹角为直角的基础上，学会角度变换，就能轻松找到正确答案．此题观察垂线．6．以以下图，直线AB ⊥ CD 于点 O，直线 EF 经过点 O，若∠ 1＝26°，则∠ 2 的度数是（?）．A ．26°B． 64°C． 54° D ．以上答案都不对答案： B知识点：垂线对顶角分析：解答：由题意可知， AB ⊥CD 于点 O，因此∠ BOC＝∠ AOD ＝ 90°，同时，∠1 与∠ DOF 是对顶角，∠ 1＝ 26°，因此∠ DOF ＝ 26°．∠ AOD ＝∠ AOF ＋∠ DOF ，因此∠ AOF ＝∠ AOD －∠ DOF ＝90°－ 26°＝ 64°．因此选B ．分析：在掌握两直线相互垂直，夹角为直角的基础上，学会角度变换，就能轻松找到正确答案．此题观察垂线．7．在以下语句中，正确的选项是（）．A ．在平面上，一条直线只有一条垂线;B ．过直线上一点的直线只有一条;C．过直线上一点且垂直于这条直线的直线有且只有一条;D ．垂线段就是点到直线的距离答案： D知识点：垂线分析：解答：看法理解型题．垂直于一条直线的垂线有无数条，因此选项 A 错误．两点之间才只有一条直线，过一点的直线有无数条，因此选项 B 错误．选项 C 是最简单出现混淆的地方．在看法中，同一平面内，过直线上一点且垂直于这条直线的直线有且只有一条；但是，在该选项中，没有注明同一平面，因此选项 C 错．点到直线的距离就是垂线段，因此选项 D 正确．分析：看法理解型题，在解答时要注意对看法的正确理解，特别是像选项 C 这类属于特别简单混淆的题目．本题观察垂线．8．以以下图，∠BAC ＝90°， AD ⊥ BC 于 D ，则以下结论中，正确的个数为（）．① AB ⊥ AC;②AD与AC相互垂直;③点C到AB的垂线段是线段AB;④点D到BC的距离是线段AD 的长度 ;⑤线段AB的长度是点 B 到 AC 的距离 ;⑥线段AB是点B到AC的距离;⑦ AD>BD.答案： B知识点：垂线点到直线的距离分析：解答：依据题意，∠ BAC ＝ 90，因此 AB ⊥ AC ，①正确． AD ⊥ BC 于 D，因此 AD 与 AC 不垂直，②不正确．点到直线的距离为垂线段，因此点 C 到 AB 的垂线段是线段AB ，③正确．点 D 到 BC 的距离应为过 D 点垂直于AC 的垂线段， AD 与 AC 不垂直，因此④错误．因为 AB ⊥ AC ，点 B 到 AC 的距离为AB ，因此⑤⑥正确． AD 与 BD 的详尽长度没法推测，因此不可以确立两者的大小关系，⑦ 错误．分析：看法理解型题，掌握垂直和点到直线的详尽的看法，是解答此题的重点．此题观察垂线．9．如图，直线 AB ，CD 订交于点 O，射线 OM 均分∠ AOC ，ON⊥ OM ，若∠ AOM=35 °，则∠ CON 的度数为（）A ．35° B ． 45°C． 55°D． 65°答案： C知识点：垂线对顶角邻补角分析：解答：由射线 OM 均分∠ AOC，∠ AOM =35°，得出∠ MOC =35°，由 ON⊥ OM ，得出∠ CON=∠ MON ﹣∠ MOC 得出答案．解：∵射线OM 均分∠ AOC，∠ AOM =35°，∴∠ MOC =35°，∵ON⊥OM，∴∠MON =90°，∴∠ CON=∠ MON ﹣∠ MOC =90°﹣ 35°=55°．应选： C．分析：此题主要观察了垂线和角均分线，解决此题的重点是找准角的关系．10．已知在正方形网格中，每个小方格都是边长为 1 的正方形， A 和 B 两点在小方格的极点上，地点如图所示，点 C 也在小方格的极点上，且以A，B，C?为极点的三角形的面积为 1 个平方单位，则 C 点的个数为（）．答案： B知识点：垂线分析：解答：已知每个小方格的边长为1，因此每个小方格的面积为 1 个平方单位．要使点 C 也在小方格的极点上，且以 A ， B， C?为极点的三角形的面积为 1 个平方单位，需要从两个方面来思虑：一是以 A 为三角形的极点，则 A 到 BC 是距离为1， BC 的距离为 2 时才能使面积为 1 个平方单位，于是，这样的点有 2 个．同理，若以B 为三角形的极点，这样的点也相同有 2 个．因此，选 B ．分析：从点到直线的距离，以及三角形的面积计算方法下手，就能轻松解答．此题观察垂线．11．已知直线AB， CB， l 在同一平面内，若AB⊥l ，垂足为B， CB⊥ l，垂足也为B，则吻合题意的图形可以是（）A．B．C．D．答案： A知识点：垂线；平行线分析：解答：依据题意画出图形即可．应选： C．分析：此题主要观察了垂线，重点是掌握垂线的定义：当两条直线订交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线相互垂直，此中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．12.以下语句正确的选项是（）A．两条直线订交成四个角，假如有两个角相等，那么这两条直线相互垂直B．两条直线订交成四个角，假如有两对角相等，那么这两条直线相互垂直C．两条直线订交成四个角，假如有三个角相等，那么这两条直线相互垂直D．两条直线订交成四个角，假如有两个角互补，那么这两条直线相互垂直答案： C知识点：垂线分析：解答：看法理解型题．两条直线订交，此中有一个夹角是直角，说明这两条直线相互垂直．同时，两条直线相交，形成四个角，分为两对对顶角，对顶角是相等的．但是，两条直线垂直一定订交，两条直线订交未必垂直，因此，可以推测出选项 A 、选项 B 都错误．在选项 D 中，两条直线任意订交，都能满足有两个角互补，因此D 错误．在选项 C 中，有三个角相等，可以推导出这四个角都相等，而且都是直角，因此选项 C 正确．分析：看法理解型题，掌握垂直的看法，是解答此题的重点．此题观察垂线．13.过线段外一点画这条线段的垂线，垂足必定在（）A ．线段上B ．线段的端点上C．线段的延伸线上 D ．以上状况都有可能答案： D知识点：垂线分析：解答：因为线段有两个端点，所线段的长度是固定的．因为点的地点不确立，因此过线段外一点画这条线段的垂线，垂足有可能在线段上、线段的端点上和线段的延伸线上．这个知识点可以从三角形的高的画法上获得验证．因此，选D．分析：看法理解型题，掌握垂直的作法，是解答此题的重点．此题观察垂线．14.如图，直线AD ⊥ BD ，垂足为D，则点 B 到线段 AC 的距离是（）A. 线段 AC 的长B. 线段 AD 的长C.线段 BC 的长D.线段 BD 的长答案： D知识点：点到直线的距离分析：解答：点到直线的距离为垂线段，因为直线AD ⊥ BD ，垂足为 D ，因此点 B 到线段 AC 的距离是线段BD 的长，因此选 D．分析：看法理解型题，掌握到直线的距离为垂线段，是解答此题的重点．此题观察点到直线的距离．15.如图， OM ⊥ NP， ON⊥ NP，因此 OM 和 ON 重合，原由是（）A.两点确立一条直线C.过一点只好作一条垂线D.垂线段最短答案： B知识点：垂线分析：解答：看法理解型题．经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．因为OM ⊥ NP， ON ⊥NP ，两条经过O 点的直线都垂直于NP，因此选 B ．分析：看法理解型题，掌握经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，是解答此题的重点．此题观察垂线．二、填空题（共 5 小题）1.当两条直线订交所成的四个角中_________，叫做这两条直线相互垂直，此中的一条直线叫_________，它们的交点叫 _________．答案：有一个直角另一条直线的垂线垂足知识点：垂线分析：解答：看法理解型题．两条直线订交，所形成的夹角中，有一个角为直角，说明这两条直线相互垂直．相互垂直的两条直线，此中一条直线叫另一条直线的垂线．两条直线相互垂直，它们的交点叫垂足．分析：看法理解型题，掌握垂线的看法，是解答此题的重点．此题观察垂线．2.过直线上或直线外一点，_________与已知直线垂直．答案：有且只有一条直线知识点：垂线分析：解答：看法理解型题．过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线垂直．分析：看法理解型题，掌握垂线的看法，是解答此题的重点．此题观察垂线．3.以以下图，若AB ⊥ CD 于 O，则∠ AOD ＝ _______；若∠ BOD ＝ 90°，则 AB____CD ．答案： 90°⊥知识点：垂线分析：解答：看法理解型题．两条直线相互垂直，所形成的夹角为直角，也就是90°．假如两条直线订交，所形成的夹角中，有一个角为90°，则这两条直线相互垂直．分析：看法理解型题，掌握垂线的看法，是解答此题的重点．此题观察垂线．4.以以下图，已知AO ⊥ BC 于 O，那么∠ 1 与∠ 2________．答案：互余知识点：垂线；余角分析：解答：看法理解型题．两条直线相互垂直，所形成的夹角为直角，也就是90°．因为AO⊥BC于O，因此∠ AOC ＝90°．因为∠ 1＋∠ 2＝∠ AOC ．因此，∠ 1 与∠ 2 互余．分析：看法理解型题，掌握垂线的看法，是解答此题的重点．此题观察垂线．5.假如 CD⊥AB 于 D，自 CD 上任一点向 AB 作垂线，那么所画垂线均与 CD 重合，这是因为__________________________________ ．答案：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直知识点：垂线分析：解答：看法理解型题．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直．因为CD⊥ AB 于 D ，因此自CD 上任一点向AB 作垂线，那么所画垂线均与CD 重合．分析：看法理解型题，掌握垂线的看法，是解答此题的重点．此题观察垂线．三、解答题（共 5 小题）1.如图，已知 A ，O，E 三点在一条直线上，OB 均分∠ AOC ，∠ AOB ＋∠ DOE＝ 90°，试问：∠ COD 与∠ DOE 之间有如何的关系?说明原由 .答案：相等原由：∠ AOB ＋∠DOE ＝ 90°，且 A 、 O、E 三点共线，因此∠ BOC＋∠ COD ＝ 90°．因为 OB 平分∠ AOC ，因此∠ AOB ＝∠ BOC ，经过等量代换，可以得悉∠ COD 与∠DOE 相等．知识点：垂线分析：解答：由题意可知，∠ AOB ＋∠DOE ＝ 90°，且 A 、 O、E 三点共线，因此∠ BOC＋∠ COD＝90°．因为OB平分∠ AOC ，因此∠ AOB ＝∠ BOC ，经过等量代换，可以得悉∠ COD与∠DOE相等．分析：掌握订交线相关知识，是解答此题的重点．此题观察垂线．2.如图，∠ 1＝ 30°，AB ⊥ CD，垂足为O，EF 经过点 O．求∠ 2、∠ 3 的度数．答案：∠ 2＝ 60°，∠ 3＝ 30°知识点：垂线分析：解答：因为∠ 1 与∠ 3 是对顶角，因此∠1＝∠ 3，因为∠ 1＝30°，因此∠3＝30°．因为AB⊥ CD ，因此∠BOD＝90°，因为∠ 2＋∠ 3＝∠ BOD ，因此∠ 2＝ 90°－∠3＝60°．分析：掌握订交线相关知识，是解答此题的重点．此题观察垂线．3.如图，直线AB 与 CD 订交于点O， OP 是∠ BOC 的均分线， OE⊥ AB ，OF⊥ CD，(1)图中除直角外，还有相等的角吗？请写出两对：①____________ ；② ____________ ．(2)假如∠ AOD ＝ 40°，则①∠ BOC＝ _______；② OP 是∠ BOC 的均分线，因此∠COP＝ ______度；③求∠ BOF 的度数．答案：（ 1）∠ AOD ＝∠ BOC∠BOP＝∠ COP（2）①40° ② 20° ③50°知识点：垂线；订交线分析：解答：由题意可知，∠ AOD 与∠BOC 是对顶角，因此两者相等．因为OP 是∠ BOC 的角均分线，因此∠ BOP＝∠ COP．由第一问获得的答案，)假如∠ AOD ＝ 40°，因此∠ BOC＝ 40°．OP 是∠BOC 的均分线，因此∠ COP＝20°．因为 OF⊥ CD ，因此∠ COF＝ 90°，因此∠BOF ＝ 90°－ 40°＝50°.分析：掌握订交线相关知识，是解答此题的重点．此题观察垂线．4.如图，已知∠AOB ， OE 均分∠ AOC ， OF 均分∠ BOC.9（3）若∠ AOB ＋∠ EOF＝ 156°，则∠ EOF 是多少度？AEOBFC答案：（ 1）∠ EOF＝ 45°（2）∠EOF＝1∠ AOB 2（3）∠EOF＝ 52°知识点：垂线分析：解答：（ 1）∵∠ AOC ＝∠ AOB ＋∠ BOC ，∴∠ AOC ＝ 90°＋60°＝ 150°.∵ OE 均分∠ AOC ，∴∠ EOC＝ 150°÷2＝75°.∵ OF 均分∠ BOC，∴∠ COF＝ 60°÷2＝30°.∵∠ EOC＝∠ EOF＋∠ COF,∴∠ EOF＝ 75°－ 30°＝ 45°.（2）∵OE 均分∠AOC ， OF 均分∠BOC ．∴∠ COE＝1∠AOC ，∠COF＝1∠BOC∵∠ AOB ＝∠AOC －2 2∠BOC ∴∠ EOF＝∠ COE －∠ COF＝1∠AOC －1∠ BOC ＝1（∠ AOC －∠ BOC）＝1∠AOB222 2（3）∵OE均分∠AOC，OF均分∠BOC，∴∠COE＝1∠AOC，∠COF＝1∠BOC，2 2∴∠ EOF ＝1∠AOC －1∠BOC ＝1（∠AOC －∠BOC ）＝1∠AOB．又∵∠AOB＋∠EOF＝156°，222 2∴∠ EOF＝ 52°．分析：此题难度较大，要经过角度变换．此题观察订交线所形成的角度．5.直线AB、CD订交于点O.(1)OE 、OF 分别是∠ AOC、∠BOD 的均分线 .画出这个图形 .(2)射线 OE、 OF 在同一条直线上吗?(直接写出结论)(3)画∠ AOD 的均分线OG .OE 与 OG 有什么地点关系?并说明原由 . 答案：（ 1）如图中红线所示CEAO BFGD（2）射线 OE、 OF 在同一条直线上∠AOD ，∴∠ AOG ＝∠ DOG ．∵∠ AOE ＋∠ DOF＋∠AOG ＋∠ DOG ＝ 180°，∴∠ DOF＋∠ DOG ＝180°÷2＝ 90°，∴OE⊥OG．知识点：垂线；角均分线分析：解答：（ 1）直接画图即可．（ 2）因为∠ AOC 与∠BOD 是对顶角，因此两角的角均分线是在同向来线上．（ 3）∵ EF 均分∠ AOC 和∠ BOD ，而且∠AOC ＝∠ BOD ，∴∠ AOE ＝∠ DOF ．∵ OG 均分∠ AOD ，∴∠ AOG ＝∠ DOG ．∵∠ AOE ＋∠ DOF＋∠ AOG ＋∠ DOG ＝ 180°，∴∠ DOF＋∠ DOG ＝ 180°÷2＝ 90°，∴OE⊥ OG ．分析：此题掌握了角均分的性质是解题的重点．此题观察垂线和角均分线．。

人教版七年级下册数学第五章相交线与平行线 5.1.2 垂线习题练习（附答案）1、在直线AB上任取一点O，过点O作射线OC，OD，使OC⊥OD，当∠AOC=30°时，∠BOD等于( )A. 60°B. 120°C. 60°或90°D. 60°或120°2、如图，已知直线AB和CD相交于点O，OE⊥AB，OF平分∠DOB.若∠EOF=107.5°，则∠1的度数为( )A. 70°B. 65°C. 55°D. 45°3、如图，在平面内作已知直线m的垂线，可作垂线的条数有()A. 0条B. 1条C. 2条D. 无数条4、如图，直线l是一条河，P、Q两地相距8千米，P、Q两地到l的距离分别为2千米，5千米，欲在l上的某点M处修建一个水泵站，向P、Q两地供水．现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则铺设的管道最短的是（）A. B.C. D.5、下列说法中，正确的是( )A. 有公共顶点，且方向相反的两个角是对顶角B. 有公共点，且又相等的角是对顶角C. 两条直线相交所成的角是对顶角D. 角的两边互为反向延长线的两个角是对顶角6、如图，直线AB，CD相交于O，OA平分∠EOC，∠EOC＝70°，则∠BOD的度数等于( )A. 20°B. 30°C. 35°D. 40°7、直线AB上有一点O，OM⊥AB于O，另有直角∠COD在平角∠AOB内绕O点左右摆动（OC与OA、OD与OB不重合），在摆动时，始终与∠MOD保持相等的角是（）A. ∠BODB. ∠AOCC. ∠COMD. 没有8、如图，AB、CD相交于点O，EO⊥AB于O，则图中∠1与∠2的关系是（）A. 互余的两角B. 互补的两角C. 对顶角D. 一对相等的角9、如图，点O为直线AB上一点，OC⊥OD,如果∠1=35∘，那么∠2的度数是（）A. 35°B. 45°C. 55°D. 65°10、已知，AD⊥BD，AE⊥BE且AD＝3，BE＝4，CD＝2，BC＝5，则点B到AC的距离为，点A到BC的距离为，点B到AD的距离为.11、如图，当∠1和∠2满足(只需填一个条件)时，OA⊥OB.12、如图所示，AC⊥l1，AB⊥l2，垂足分别为A，B，则A点到直线l2的距离是线段的长，线段AC的长是点到直线的距离．13、如图，OA是北偏东30°方向的一条射线，若射线OB与射线OA垂直，则OB的方位角是.14、∠α与∠β的两边互相垂直，且∠α=50o，则∠β的度数为.15、随意画一个锐角∠MON和一个钝角∠M'O'N'，分别画出∠MON 的平分线OP和∠M'O'N'的平分线O'P'，如图.(1)在OP上任取一点A，画AB⊥OM，AC⊥ON，垂足分别为B，C；(2)在O'P'上任取一点A'，画A'B'⊥O'M'，A'C'⊥O'N'，垂足分别为B'，C'；(3)通过度量线段AB，AC，A'B'，A'C'的长度，发现ABAC，A'B'A'C'.(填“=”或“≠”)(4)通过上面的画图和度量，和同学们交流一下，你有什么猜想?请用一句话表示出来.16、如图，P是直线AB上一点，∠APC= 1∠BPC，∠CPD=2∠APC.5(1)求∠CPD的度数；(2)判断PD与AB的位置关系，并说明理由.17、如图，AB是一条河流，要铺设管道将河水引到C，D两个用水点，现有两种铺设管道的方案.方案一：分别过点C，D作AB的垂线，垂足分别为点E，F，沿CE，DF铺设管道；方案二：连接CD交AB于点P，沿PC，PD铺设管道.这两种铺设管道的方案哪一种更节省材料?为什么?18、如图，直线AB，CD，EF交于点O，OG平分∠BOF，且CD⊥EF，∠AOE=70°，求∠DOG的度数.19、如图所示，射线OM与直线交于点O，OM平分∠AOB，求∠AOM 度数，并用符号表示OM与AB的位置关系．试卷答案1、D由图知有两种情况，在图①中，∠AOC+∠COD+∠BOD=180°. 因为∠AOC=30°，∠COD=90°，所以∠BOD=60°.在图②中，因为∠AOC=30°，∠COD=90°，所以∠AOD=60°.又因为∠AOD+∠BOD=180°，所以∠BOD=120°.2、C3、D解：在平面内，与已知直线垂直的直线有无数条，所以作已知直线的垂线，可作无数条.故选：D.4、A先分别计算出四个选项中铺设的管道的长度，再比较即可．A、PQ+QM=8+2=10km；B、∵QM+PM=PQ′2=82-（5-2）2+（5+2）2=104，∴PQ′=2√26km＞10km；C、PM+QR=5+√82−(5−2)2＞10；D、PM+QM=5+√32+82−(5−2)2＞10．综上所述，A选项铺设的管道最短．故选A．此题为数学知识的应用，考查知识点为两点之间线段最短．5、D如果一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线,且这两个角有公共顶点,那么这两个角是对顶角,根据对顶角的定义进行求解.因为一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线,且这两个角有公共顶点,那么这两个角是对顶角,A选项,有公共顶点,且方向相反的两个角是对顶角,与对顶角定义不符,B选项,有公共点,且又相等的角是对顶角,与对顶角定义不符,C选项,两条直线相交所成的角是对顶角,与对顶角定义不符,D选项,角的两边互为反向延长线的两个角是对顶角,符合定义,故选D.本题主要考查对顶角的定义,解决本题的关键是要熟练掌握对顶角的定义. 6、C先根据OA平分∠COE,∠COE＝70°,可得∠AOE=∠AOC=35°,再根据∠AOC 和∠BOD对顶角,可得∠AOC=∠BOD,即∠BOD=35°.因为OA平分∠COE,∠COE＝70°,所以∠AOE=∠AOC=35°,又因为∠AOC和∠BOD对顶角,所以∠AOC=∠BOD,即∠BOD=35°.故选C.本题主要考查角平分线的定义和对顶角的性质,解决本题的关键是要熟练掌握角平分线的定义和对顶角的性质.7、B【分析】根据垂直的定义,得∠AOM=∠BOM=90°,再结合图形和同角的余角相等可得始终与∠MOD保持相等的角.【详解】∵OM⊥AB，∴∠AOM=∠BOM=90°．∴∠AOC+∠MOC=90°．∵∠COD是直角∴∠DOM+∠MOC=90°．∴∠DOM=∠AOC．故选：B【点睛】本题利用垂直的定义和同角的余角相等，要注意领会由垂直得直角这一要点．8、A【分析】由EO⊥AB于O，得∠AOE=90〬，由平角性质得∠1+∠2=180〬-90〬=90〬,故∠1与∠2互余.【详解】因为，EO⊥AB于O，所以，∠AOE=90〬所以，∠1+∠2=180〬-90〬=90〬,即∠1与∠2互余.故选：A【点睛】本题考核知识点：余角的定义，垂直定义. 解题关键点：理解余角的定义.9、C首先根据垂直的定义可知: ∠OCD=90∘,从而可得到∠1+∠2=90°,由∠1=35°,即可得出结果.∵OC⊥OD，∴∠OCD=90∘，∴∠1+∠2=90°,∵ ∠1=35∘，∴∠2=180∘−90∘−35∘=55∘；故选C.本题考查了垂直的定义和平角的定义，解题的关键是利用垂直的定义得到∠1+∠2=90°.10、 (1). 4 (2). 3 (3). 7根据点到直线的距离的定义判断即可．解：点B到AC的距离为BE,故是4；点A到BC的距离为CD,故是3；点B到AD的距离为BD,故是CD+BC=2+5=7；故答案为：4，3，7.本题考查了点到直线的距离，点到直线的距离是直线外的点与垂足之间线段的长．11、∠1＋∠2＝90°根据余角、补角的定义计算.解：∵∠1+∠2+∠AOB=180°，∴当∠1+∠2=90°时，∠AOB=90°，即OA⊥OB，故答案为：∠1+∠2=90°.本题利用了平角是180°求解.12、 (1). AB (2). C (3). l1找表示A点到直线L2距离的线段，要看准点A和直线L2再过A点作直线L2垂线，垂足应在直线L2上,线段AC的长要看垂足在l1上可得到答案．解：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，这条垂线段的长度，叫做点到直线的距离。