高考数学二轮复习第2部分必考补充专题数学思想专项练1函数与方程思想理

2012届高三数学第二轮复习【函数、方程思想】专题一1．函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图像和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决。

2．方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决。

题型一 函数与方程思想在求最值或参数范围中的应用【例题1】若关于x 的方程22x kx x =+有四个不同的实数解，则实数k 的取值范围为 ； A ．(0，1) B ．(12，1) C ．(12，+∞) D ．(1，+∞)题型二 函数与方程思想在方程问题中的应用【例题2】若cos 2sin αα+=tan α= ．题型三 函数与方程思想在不等式问题中的应用【例题3】已知[1,1]a ∈-，则2(4)420x a x a +-+->的解为 ；A ．3x >或2x <B ．2x >或1x <C ．3x >或1x <D ．13x <<题型四 函数与方程思想在数列问题中的应用【例题4】已知{n a }为等差数列，{n b }各项为正数的等比数列（q ≠1），11a b =且1111a b =，则6a 与6b 的关系是 ．1．已知1230x x x >>>，则211log (22),x a x +=222log (22),x b x +=233log (22)x c x +=的 大小关系是 （ ）A. b a c <<B. a b c >>C. a b c <<D. c a b <<2．若0x 是方程式 lg 2x x +=的解，则0x 属于区间 （ ）（A ）（0，1）. （B ）（1，1.25）. （C ）（1.25，1.75） （D ）（1.75，2）3．32()f x ax bx cx d =+++的图象如图，则 ( )A ．(),0b ∈-∞B ．()0,1b ∈C ．(1,2)b ∈D ．(2,)b ∈+∞4．方程m ＋1－x ＝x 有解，则m 的最大值为 ( )A ．1B ．0C ．－1D ．－2 5．已知函数(),(0,)m f x x x x=+∈+∞，若不等式()4f x <的解集是空集，则（ ） A ．4m ≥ B ．2m ≥ C ．4m ≤ D ．2m ≤6．已知函数21,0,()log ,0,x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩则函数1)]([+=x f f y 的零点个数是 （ ）（A ）4 （B ）3 （C ）2 （D ）17．若12sin a x x a x ≤≤对任意的π02x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都成立，则21a a -的最小值为 . 8．ABC ∆的三边,,a b c 满足8b c +=，a bc a 212520--+=，试确定ABC ∆的形状．9．已知函数f (x )=xa 11- (a ＞0，x ＞0)，若f (x )在［m ,n ］上的值域是［m ,n ］(m ≠n )， 求a 的取值范围.2011届高三数学第二轮复习【函数方程】解答【例题1】构造函数 令1,0()1,0x xf x x x >⎧==⎨-<⎩，()(2)g x kx x =+ 【例题2】2．【例题3】解答：不等式的左端看成a 的一次函数，2()(2)(44)f a x a x x =-+-+由22(1)560,(1)3201f x x f x x x -=-+>=-+>⇒<或3x >，正确答案为C.【例题4】66a b >1． 2．D 3． A. 5．A 6．A 7．答案：21- 4．由原式得m ＝x －1－x ，设1－x ＝t (t ≥0)，则m ＝1－t 2－t ＝54－(t ＋12)2，∴m ＝54－(t ＋12)2在[0，＋∞)上是减函数，∴t ＝0时，m 的最大值为1. 8．解析：因为b ＋c ＝8，bc a a =-+21252，所以b ，c 是方程t t a a 22812520-+-+=的两实根，故∆=---+=--+≥()()()841252412360222a a a a 即--≥4602()a ，所以a ＝6。

数学教学的最终目标，是要让学生会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界.数学素养就是指学生学习数学应当达成的有特定意义的综合性能力，数学核心素养高于具体的数学知识技能，具有综合性、整体性和持久性，反映数学本质与数学思想，数学核心素养是数学思想方法在具体学习领域的表现.二轮复习中如果能自觉渗透数学思想，加强个人数学素养的培养，就会在复习中高屋建瓴，对整体复习起到引领和导向作用.函数与方程思想、数形结合思想一、函数与方程思想在不等式中的应用函数与不等式的相互转化，把不等式转化为函数，借助函数的图象和性质可解决相关的问题，常涉及不等式恒成立问题、比较大小问题.一般利用函数思想构造新函数，建立函数关系求解. 1.若0<x 1<x 2<1，则( ) A.21e e x x->ln x 2－ln x 1 B.21e e x x-<ln x 2－ln x 1 C.1221e >e xxx x D.1221e <e xxx x[答案] C[解析] 设f (x )＝e x －ln x (0<x <1)， 则f ′(x )＝e x－1x ＝x e x－1x.令f ′(x )＝0，得x e x －1＝0.根据函数y 1＝e x 与y 2＝1x 的图象(图略)可知两函数图象的交点的横坐标x 0∈(0，1)，因此函数f (x )在(0，1)上不是单调函数，故A ，B 选项不正确； 设g (x )＝e xx (0<x <1)，则g ′(x )＝e x(x －1)x 2.又0<x <1，∴g ′(x )<0， ∴函数g (x )在(0，1)上是减函数. 又0<x 1<x 2<1，∴g (x 1)>g (x 2)， ∴1221e >e xxx x ，故选C.2.已知定义在R 上的函数g (x )的导函数为g ′(x )，满足g ′(x )－g (x )<0，若函数g (x )的图象关于直线x ＝2对称，且g (4)＝1，则不等式g (x )e x >1的解集为________.[答案] (－∞，0)[解析] ∵函数g (x )的图象关于直线x ＝2对称， ∴g (0)＝g (4)＝1. 设f (x )＝g (x )ex ，则f ′(x )＝g ′(x )e x －g (x )e x (e x )2＝g ′(x )－g (x )e x .又g ′(x )－g (x )<0，∴f ′(x )<0， ∴f (x )在R 上单调递减.又f (0)＝g (0)e0＝1，∴f (x )>f (0)，∴x <0.3.已知f (t )＝log 2t ，t ∈[2，8]，对于f (t )值域内的所有实数m ，不等式x 2＋mx ＋4>2m ＋4x 恒成立，则x 的取值范围是__________________. [答案] (－∞，－1)∪(2，＋∞)[解析] ∵t ∈[2，8]，∴f (t )∈⎣⎡⎦⎤12，3. 问题转化为m (x －2)＋(x －2)2>0恒成立， 当x ＝2时，不等式不成立，∴x ≠2. 令g (m )＝m (x －2)＋(x －2)2，m ∈⎣⎡⎦⎤12，3. 问题转化为g (m )在⎣⎡⎦⎤12，3上恒大于0， 则⎩⎪⎨⎪⎧ g ⎝⎛⎭⎫12>0，g (3)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧12(x －2)＋(x －2)2>0，3(x －2)＋(x －2)2>0， 解得x >2或x <－1.4.若x ∈[－2，1]时，不等式ax 3－x 2＋4x ＋3≥0恒成立，则实数a 的取值范围是______. [答案] [－6，－2][解析] 当－2≤x <0时，不等式转化为a ≤x 2－4x －3x 3.令f (x )＝x 2－4x －3x 3(－2≤x <0)，则f ′(x )＝－x 2＋8x ＋9x 4＝－(x －9)(x ＋1)x 4，故f (x )在[－2，－1]上单调递减，在(－1，0)上单调递增， 此时有a ≤f (x )min ＝f (－1)＝1＋4－3－1＝－2. 当x ＝0时，不等式恒成立. 当0<x ≤1时，a ≥x 2－4x －3x 3，则f (x )在(0，1]上单调递增，此时有a ≥f (x )max ＝f (1)＝1－4－31＝－6.综上，实数a 的取值范围是[－6，－2]. 二、函数与方程思想在数列中的应用数列的通项与前n 项和是自变量为正整数的函数，可用函数的观点去处理数列问题，常涉及最值问题或参数范围问题，一般利用二次函数；等差数列或等比数列的基本量的计算一般化归为方程(组)来解决.5. 已知{a n }是等差数列，a 10＝10，其前10项和S 10＝70，则其公差d 等于( ) A.－23 B.－13 C.13 D.23[答案] D[解析] 设等差数列的首项为a 1，公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 10＝a 1＋9d ＝10，S 10＝10a 1＋10×92d ＝70，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋9d ＝10，2a 1＋9d ＝14， 解得d ＝23.6.已知在数列{a n }中，前n 项和为S n ，且S n ＝n ＋23a n ，则a na n －1的最大值为( )A.－3B.－1C.3D.1 [答案] C[解析] 当n ≥2时，S n ＝n ＋23a n ，S n －1＝n ＋13a n －1，两式作差可得a n ＝n ＋23a n －n ＋13a n －1，即a n a n －1＝n ＋1n －1＝1＋2n －1. 由函数y ＝1＋2x －1在(1，＋∞)上是减函数，可得a n a n －1在n ＝2时取得最大值3.7.在等差数列{a n }中，若a 1<0，S n 为其前n 项和，且S 7＝S 17，则S n 取最小值时n 的值为____. [答案] 12[解析] 由已知得， 等差数列{a n }的公差d >0， 设S n ＝f (n )，则f (n )为二次函数，又由f (7)＝f (17)知，f (n )的图象开口向上，关于直线n ＝12对称， 故S n 取最小值时n 的值为12.8.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 4＝－2，S 6＝3，则nS n 的最小值为________. [答案] －9[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋6d ＝－2，6a 1＋15d ＝3解得a 1＝－2，d ＝1，所以S n ＝n 2－5n 2 ，故nS n ＝n 3－5n 22.令f (x )＝x 3－5x 22，则f ′(x )＝32x 2－5x ，令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝103， ∴ f (x )在⎝⎛⎭⎫0，103上单调递减，在⎝⎛⎭⎫103，＋∞上单调递增. 又∵n 是正整数，故当n ＝3时，nS n 取得最小值－9. 三、函数与方程思想在[解析]几何中的应用[解析]几何中求斜率、截距、半径、点的坐标、离心率等几何量经常要用到方程(组)的思想；直线与圆锥曲线的位置关系问题，可以通过转化为一元二次方程，利用判别式进行解决；求变量的取值范围和最值问题常转化为求函数的值域、最值，用函数的思想分析解答. 9.(2016·全国Ⅰ)以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C 的准线于D ，E 两点.已知|AB |＝42，|DE |＝25，则C 的焦点到准线的距离为( ) A.2 B.4 C.6 D.8 [答案] B[解析] 不妨设抛物线C ：y 2＝2px (p >0)，圆的方程设为x 2＋y 2＝r 2(r >0)，如图，又可设A (x 0，22)，D ⎝⎛⎭⎫－p2，5，点A (x 0，22)在抛物线y 2＝2px 上，∴8＝2px 0，①点A (x 0，22)在圆x 2＋y 2＝r 2上，∴x 20＋8＝r 2，② 点D ⎝⎛⎭⎫－p 2，5在圆x 2＋y 2＝r 2上，∴5＋⎝⎛⎭⎫p22＝r 2，③ 联立①②③，解得p ＝4(负值舍去)，即C 的焦点到准线的距离为p ＝4，故选B.10.如图，已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右顶点为A ，O 为坐标原点，以A 为圆心的圆与双曲线C 的一条渐近线交于P ，Q 两点，若∠P AQ ＝60°，且OQ →＝3OP →，则双曲线C 的离心率为( )A.233B.72C.396D. 3[答案] B[解析] 因为∠P AQ ＝60°，|AP |＝|AQ |， 所以|AP |＝|AQ |＝|PQ |，设|AQ |＝2R ， 又OQ →＝3OP →，则|OP |＝12|PQ |＝R .双曲线C 的渐近线方程是y ＝ba x ，A (a ，0)，所以点A 到直线y ＝bax 的距离d ＝⎪⎪⎪⎪b a ·a －0⎝⎛⎭⎫b a 2＋(－1)2＝aba 2＋b 2，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫ab a 2＋b 22＝(2R )2－R 2＝3R 2，即a 2b 2＝3R 2(a 2＋b 2)， 在△OQA 中，由余弦定理得，|OA |2＝|OQ |2＋|QA |2－2|OQ ||QA |cos 60°＝(3R )2＋(2R )2－2×3R ×2R ×12＝7R 2＝a 2.由⎩⎪⎨⎪⎧a 2b 2＝3R 2(a 2＋b 2)，a 2＝7R 2，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝7R 2，b 2＝214R 2，所以双曲线C 的离心率为e ＝c a＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a2＝1＋214R 27R 2＝72.11.设椭圆中心在坐标原点，A (2，0)，B (0，1)是它的两个顶点，直线y ＝kx (k >0)与AB 相交于点D ，与椭圆相交于E ，F 两点.若ED →＝6DF →，则k 的值为________. [答案] 23或38[解析] 依题意得椭圆的方程为x 24＋y 2＝1，直线AB ，EF 的方程分别为x ＋2y ＝2，y ＝kx (k >0).如图，设D (x 0，kx 0)，E (x 1，kx 1)，F (x 2，kx 2)，其中x 1<x 2，且x 1，x 2满足方程(1＋4k 2)x 2＝4，故x 2＝－x 1＝21＋4k 2.由ED →＝6DF →知，x 0－x 1＝6(x 2－x 0)， 得x 0＝17(6x 2＋x 1)＝57x 2＝1071＋4k 2.由点D 在AB 上知x 0＋2kx 0＝2，得x 0＝21＋2k. 所以21＋2k ＝1071＋4k2，化简得24k 2－25k ＋6＝0，解得k ＝23或k ＝38.12.已知直线l ：y ＝k (x ＋1)与抛物线C ：y 2＝4x 交于不同的两点A ，B ，且以AB 为直径的圆过抛物线C 的焦点F ，则k ＝________. [答案]22或－22[解析] 点F 的坐标为(1，0)，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则y 1＝k (x 1＋1)，y 2＝k (x 2＋1)，当k ＝0时，l 与C 只有一个交点，不合题意，因此k ≠0. 将y ＝k (x ＋1)代入y 2＝4x ，消去y ，得k 2x 2＋2(k 2－2)x ＋k 2＝0，① 依题意知，x 1，x 2是①的不相等的两个实根，则⎩⎨⎧Δ＝4(k 2－2)2－4k 4>0， ②x 1＋x 2＝2(2－k 2)k2，x 1x 2＝1.由以AB 为直径的圆过F ，得AF ⊥BF ， 即k AF ·k BF ＝－1，所以y 1x 1－1·y 2x 2－1＝－1，即x 1x 2＋y 1y 2－(x 1＋x 2)＋1＝0，所以x 1x 2＋k 2(x 1＋1)(x 2＋1)－(x 1＋x 2)＋1＝0， 所以(1＋k 2)x 1x 2＋(k 2－1)(x 1＋x 2)＋1＋k 2＝0，③把x 1＋x 2＝2(2－k 2)k 2，x 1x 2＝1代入③得2k 2－1＝0，解得k ＝±22， 经检验k ＝±22适合②式.综上所述，k ＝±22.一、数形结合思想在解方程或函数零点问题中的应用讨论方程的解(或函数零点)的问题一般可以构造两个函数，将方程解的个数转化为两条曲线的交点个数.构造函数时，要先对方程进行变形，尽量构造两个比较熟悉的函数. 1.(2018·咸阳模拟)函数f (x )＝2x －1x 的零点个数为( )A.0B.1C.2D.3 [答案] B[解析] 在同一平面直角坐标系下，作出函数y 1＝2x 和y 2＝1x的图象，如图所示.函数f (x )＝2x －1x 的零点个数等价于2x ＝1x 的根的个数，等价于函数y 1＝2x 和y 2＝1x图象的交点个数.由图可知只有一个交点，所以有一个零点.故选B.2.若关于x 的方程||x x ＋4＝kx 2有四个不同的实数解，则k 的取值范围为________.[答案] ⎝⎛⎭⎫14，＋∞[解析] x ＝0是方程的一个实数解；当x ≠0时，方程||x x ＋4＝kx 2可化为1k ＝(x ＋4)|x |，x ≠－4，k ≠0，设f (x )＝(x ＋4)|x |(x ≠－4且x ≠0)，y ＝1k ，则两函数图象有三个非零交点.f (x )＝(x ＋4)|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ，x >0，－x 2－4x ，x <0，x ≠－4的大致图象如图所示，由图可得0<1k <4， 解得k >14.所以k 的取值范围为⎝⎛⎭⎫14，＋∞. 3.已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (－x －1)＝f (x －1)，当x ∈[－1，0]时，f (x )＝－x 3，则关于x 的方程f (x )＝|cos πx |在⎣⎡⎦⎤－52，12上的所有实数解之和为________. [答案] －7[解析] 因为函数f (x )为偶函数，所以f (－x －1)＝f (x ＋1)＝f (x －1)，所以函数f (x )的周期为2.又当x ∈[－1，0]时，f (x )＝－x 3，由此在同一平面直角坐标系内作出函数y 1＝f (x )与y 2＝|cos πx |的图象如图所示.由图象知关于x 的方程f (x )＝|cos πx |在⎣⎡⎦⎤－52，12上的实数解有7个. 不妨设x 1<x 2<x 3<x 4<x 5<x 6<x 7，则由图得x 1＋x 2＝－4，x 3＋x 5＝－2，x 4＝－1，x 6＋x 7＝0，所以方程f (x )＝|cos πx |在⎣⎡⎦⎤－52，12上的所有实数解的和为－4－2－1＋0＝－7. 4.(2018·石嘴山模拟)已知函数f (x )⎩⎪⎨⎪⎧x 4＋1，x ≤1，ln x ，x >1，则方程f (x )＝ax 恰有两个不同的实根时，实数a 的取值范围是________. [答案] ⎣⎡⎭⎫14，1e[解析] 画出函数f (x )的图象如图所示，由图可知，要使直线y ＝ax 与函数f (x )有两个交点，当y ＝ax 与y ＝x 4＋1平行时，显然有两个交点，此时a ＝14.当a >14时，只需求出当直线y ＝ax和曲线y ＝ln x 相切时的斜率即可.由于相切时交点只有1个，故结合图象知，实数a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫14，1e .二、数形结合思想在求解不等式或参数范围中的应用构建函数模型，分析函数的单调性并结合其图象特征研究量与量之间的大小关系、求参数的取值范围或解不等式.5.(2018·全国Ⅰ )设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x ≤0，1，x ＞0，则满足f (x ＋1)＜f (2x )的x 的取值范围是( )A.(－∞，－1]B.(0，＋∞)C.(－1，0)D.(－∞，0)[答案] D[解析] 方法一 ①当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≤0，2x ≤0，即x ≤－1时，f (x ＋1)＜f (2x )即为2－(x ＋1)＜2－2x ，即－(x ＋1)＜－2x ，解得x ＜1. 因此不等式的解集为(－∞，－1].②当⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1≤0，2x ＞0时，不等式组无解.③当⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1＞0，2x ≤0，即－1＜x ≤0时，f (x ＋1)＜f (2x )即1＜2－2x ，解得x ＜0.因此不等式的解集为(－1，0).④当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＞0，2x ＞0，即x ＞0时，f (x ＋1)＝1，f (2x )＝1，不合题意.综上，不等式f (x ＋1)＜f (2x )的解集为(－∞，0). 故选D.方法二 ∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x ≤0，1，x ＞0，∴函数f (x )的图象如图所示.由图可知，当x ＋1≤0且2x ≤0时，函数f (x )为减函数，故f (x ＋1)＜f (2x )转化为x ＋1＞2x . 此时x ≤－1.当2x ＜0且x ＋1＞0时，f (2x )＞1，f (x ＋1)＝1，满足f (x ＋1)＜f (2x ). 此时－1＜x ＜0.综上，不等式f (x ＋1)＜f (2x )的解集为(－∞，－1]∪(－1，0)＝(－∞，0).故选D.6.设A ＝{(x ，y )|x 2＋(y －1)2＝1}，B ＝{(x ，y )|x ＋y ＋m ≥0}，则使A ⊆B 成立的实数m 的取值范围是________. [答案] [2－1，＋∞)[解析] 集合A 是圆x 2＋(y －1)2＝1上的点的集合，集合B 是不等式x ＋y ＋m ≥0表示的平面区域内的点的集合，要使A ⊆B ，则应使圆被平面区域所包含(如图)，即直线x ＋y ＋m ＝0应与圆相切或相离(在圆的左下方)，而当直线与圆相切时，有|m ＋1|2＝1，又m >0，所以m ＝2－1，故m 的取值范围是[2－1，＋∞).7.若不等式|x －2a |≥12x ＋a －1对x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是________.[答案] ⎝⎛⎦⎤－∞，12 [解析] 作出y 1＝|x －2a |和y 2＝12x ＋a －1的简图，如图所示.依题意得⎩⎪⎨⎪⎧2a ≤2－2a ，a －1<0，故a ≤12.8.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2ax ，x ≥1，2ax －1，x <1，若存在两个不相等的实数x 1，x 2，使得f (x 1)＝f (x 2)，则实数a 的取值范围为________. [答案] [0，＋∞)[解析] 根据题意知f (x )是一个分段函数，当x ≥1时，是一个开口向下的二次函数，对称轴方程为x＝a；当x<1时，是一个一次函数.当a>1时，如图(1)所示，符合题意；当0≤a≤1时，如图(2)所示，符合题意；当a<0时，如图(3)所示，此时函数在R上单调递减，不满足题意.综上所述，可得a≥0.三、数形结合思想在[解析]几何中的应用在[解析]几何的解题过程中，通常要数形结合，挖掘题中所给的代数关系式和几何关系式，构建[解析]几何模型并应用模型的几何意义求最值或范围；常见的几何结构的代数形式主要有：①比值——可考虑直线的斜率；②二元一次式——可考虑直线的截距；③根式分式——可考虑点到直线的距离；④根式——可考虑两点间的距离.9.已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1和两点A(－m，0)，B(m，0)(m>0).若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则m的最大值为()A.7B.6C.5D.4[答案] B[解析]根据题意，画出示意图，如图所示，则圆心C的坐标为(3，4)，半径r＝1，且|AB|＝2m，因为∠APB＝90°，连接OP，可知|OP|＝12|AB|＝m.要求m的最大值，即求圆C上的点P到原点O的最大距离.因为|OC|＝5，所以|OP|max＝|OC|＋r＝6，即m的最大值为6.10.设双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的左、右顶点分别为A1，A2，左、右焦点分别为F1，F2，以F1F2为直径的圆与双曲线左支的一个交点为P.若以A1A2为直径的圆与直线PF2相切，则双曲线C的离心率为()A. 2B.3C.2D. 5[答案] D[解析]如图所示，设以A1A2为直径的圆与直线PF2的切点为Q，连接OQ，则OQ⊥PF2.又PF1⊥PF2，O为F1F2的中点，所以|PF1|＝2|OQ|＝2a.又|PF2|－|PF1|＝2a，所以|PF2|＝4a.在Rt△F1PF2中，由|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，得4a2＋16a2＝20a2＝4c2，即e＝ca＝ 5.11.已知抛物线的方程为x2＝8y，F是其焦点，点A(－2，4)，在此抛物线上求一点P，使△APF的周长最小，此时点P 的坐标为________. [答案] ⎝⎛⎭⎫－2，12 [解析] 因为(－2)2<8×4，所以点A (－2，4)在抛物线x 2＝8y 的内部， 如图，设抛物线的准线为l ，过点P 作PQ ⊥l 于点Q ，过点A 作AB ⊥l 于点B ，连接AQ ， 由抛物线的定义可知，△APF 的周长为|PF |＋|P A |＋|AF |＝|PQ |＋|P A |＋|AF |≥|AQ |＋|AF |≥|AB |＋|AF |，当且仅当P ，B ，A 三点共线时，△APF 的周长取得最小值，即|AB |＋|AF |. 因为A (－2，4)，所以不妨设△APF 的周长最小时，点P 的坐标为(－2，y 0)， 代入x 2＝8y ，得y 0＝12.故使△APF 的周长最小的点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫－2，12. 12.已知P 是直线l ：3x ＋4y ＋8＝0上的动点，P A ，PB 是圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的两条切线，A ，B 是切点，C 是圆心，则四边形P ACB 面积的最小值为________. [答案] 2 2[解析] 连接PC ，由题意知圆的圆心C (1，1)，半径为1，从运动的观点看问题，当动点P 沿直线3x ＋4y ＋8＝0向左上方或右下方无穷远处运动时，Rt △P AC 的面积S △P AC ＝12|PA ||AC |＝12|P A |越来越大，从而S 四边形P ACB 也越来越大；当点P从左上、右下两个方向向中间运动时，S四边形P ACB变小，显然，当点P到达一个最特殊的位置，即CP垂直于直线l时，S四边形P ACB有唯一的最小值，此时|PC|＝|3×1＋4×1＋8|32＋42＝3，从而|P A|＝|PC|2－|AC|2＝22，所以(S四边形P ACB)min＝2×12×|P A|×|AC|＝2 2.1.(2018·咸阳模拟)已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f′(x)，且f(x)＋f′(x)>1，设a＝f(2)－1，b＝e[f(3)－1]，则a，b的大小关系为()A.a<bB.a>bC.a＝bD.无法确定[答案] A[解析]令g(x)＝e x f(x)－e x，则g ′(x )＝e x [f (x )＋f ′(x )－1]>0， 即g (x )在R 上为增函数. 所以g (3)>g (2)， 即e 3f (3)－e 3>e 2f (2)－e 2，整理得e[f (3)－1]>f (2)－1，即a <b .2.(2018·宣城调研)定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋2)＝－f (x )，且在[0，1]上是减函数，则有( )A.f ⎝⎛⎭⎫32<f ⎝⎛⎭⎫－14<f ⎝⎛⎭⎫14B.f ⎝⎛⎭⎫14<f ⎝⎛⎭⎫－14<f ⎝⎛⎭⎫32 C.f ⎝⎛⎭⎫32<f ⎝⎛⎭⎫14<f ⎝⎛⎭⎫－14 D.f ⎝⎛⎭⎫－14<f ⎝⎛⎭⎫32<f ⎝⎛⎭⎫14 [答案] C[解析] 因为f (x ＋2)＝－f (x )＝f (－x )，所以函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，又T ＝4，作图，由图知f ⎝⎛⎭⎫32<f ⎝⎛⎭⎫14<f ⎝⎛⎭⎫－14.3.在三棱锥A －BCD 中，△ABC 为等边三角形，AB ＝23，∠BDC ＝90°，二面角A －BC －D 的大小为150°，则三棱锥A －BCD 的外接球的表面积为( ) A.7π B.12π C.16π D.28π [答案] D[解析] 满足题意的三棱锥A －BCD 如图所示，设三棱锥A －BCD 的外接球的球心为O ，半径为R ，△BCD ，△ABC 的外接圆的圆心分别为O 1，O 2，可知O ，O 1，O 2在同一平面内，由二面角A －BC －D 的大小为150°，得∠OO 1O 2＝150°－90°＝60°.依题意，可得△BCD ，△ABC 的外接圆的半径分别为 r 1＝BC 2＝232＝3，r 2＝23×sin 60°×23＝2，所以⎩⎪⎨⎪⎧R 2＝OO 21＋r 21，R 2＝OO 22＋r 22，sin ∠OO 1O 2＝OO2OO1，即⎩⎪⎨⎪⎧R 2＝OO 21＋3，R 2＝OO 22＋4，OO 2＝32OO 1，解得R ＝7，所以三棱锥A －BCD 的外接球的表面积为4πR 2＝28π.4.过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点F 作直线y ＝－ba x 的垂线，垂足为A ，交双曲线左支于B 点，若FB →＝2F A →，则该双曲线的离心率为( ) A. 3 B.2 C. 5 D.7 [答案] C[解析] 设F (c ，0)，则直线AB 的方程为y ＝a b (x －c )，代入双曲线渐近线方程y ＝－ba x ，得A ⎝⎛⎭⎫a 2c ，－ab c .由FB →＝2F A →，可得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 2－c 2c ，－2ab c ，把B 点坐标代入x 2a 2－y 2b 2＝1，得(2a 2－c 2)2a 2c 2－4a 2c2＝1，∴c 2＝5a 2， ∴离心率e ＝ca＝ 5.5.记实数x 1，x 2，…，x n 中最小数为min{x 1，x 2，…，x n }，则定义在区间[0，＋∞)上的函数f (x )＝min{x 2＋1，x ＋3，13－x }的最大值为( ) A.5 B.6 C.8 D.10 [答案] C[解析] 在同一坐标系中作出三个函数y 1＝x 2＋1，y 2＝x ＋3，y 3＝13－x 的图象如图.由图可知，在实数集R 上，min{x 2＋1，x ＋3，13－x }为y 2＝x ＋3上A 点下方的射线，抛物线AB 之间的部分，线段BC 与直线y 3＝13－x 在点C 下方的部分的组合体.显然，在区间[0，＋∞)上，在C 点时，y ＝min{x 2＋1，x ＋3，13－x }取得最大值.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝x ＋3，y 3＝13－x ，得点C (5，8).所以f (x )max ＝8.6.已知函数f (x )＝|lg(x －1)|，若1＜a ＜b 且f (a )＝f (b )，则a ＋2b 的取值范围为( ) A.(3＋22，＋∞) B.[3＋22，＋∞) C.(6，＋∞) D.[6，＋∞)[答案] C[解析] 由图象可知b ＞2，1＜a ＜2，∴－lg(a －1)＝lg(b －1)， 则a ＝b b －1， 则a ＋2b ＝b b －1＋2b ＝2b 2－b b －1＝2(b －1)2＋3(b －1)＋1b －1＝2(b －1)＋1b －1＋3，由对勾函数的性质知，当b ∈⎝⎛⎭⎫22＋1，＋∞时，f (b )＝2(b －1)＋1b －1＋3单调递增， ∵b ＞2，∴a ＋2b ＝bb －1＋2b ＞6.7.(2018·东莞模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x ，x ≥1，x 2－3x ＋2，x <1，若不等式f (x )≥mx 恒成立，则实数m的取值范围为( ) A.[－3－22，－3＋22] B.[－3＋22，0] C.[－3－22，0]D.(－∞，－3－22]∪[－3＋22，＋∞) [答案] C[解析] 函数f (x )及y ＝mx 的图象如图所示，由图象可知，当m >0时，不等式f (x )≥mx 不恒成立，设过原点的直线与函数f (x )＝x 2－3x ＋2(x <1)相切于点A (x 0，x 20－3x 0＋2)，因为f ′(x 0)＝2x 0－3，所以该切线方程为y －(x 20－3x 0＋2)＝(2x 0－3)(x －x 0)，因为该切线过原点，所以－(x 20－3x 0＋2)＝－x 0(2x 0－3)，解得x 0＝－2，即该切线的斜率k ＝－22－3.由图象得－22－3 ≤m ≤0.故选C.8.(2018·德阳诊断)已知函数f (x )＝3x －13x ＋1＋x ＋sin x ，若存在x ∈[－2，1]，使得f (x 2＋x )＋f (x －k )<0成立，则实数k 的取值范围是( ) A.(－1，＋∞) B.(3，＋∞) C.(0，＋∞) D.(－∞，－1)[答案] A[解析] 由题意知函数f (x )＝3x －13x ＋1＋x ＋sin x 的定义域为R ，f (－x )＝3－x －13－x ＋1＋(－x )＋sin(－x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －13x ＋1＋x ＋sin x ＝－f (x )，即函数f (x )为奇函数，且f ′(x )＝2ln 3·3x(3x ＋1)2＋1＋cos x >0在R 上恒成立，即函数f (x )在R 上单调递增.若∃x 0∈[－2，1]，使得f (x 20＋x 0)＋f (x 0－k )<0成立， 即f (x 20＋x 0)<－f (x 0－k )，所以f (x 20＋x 0)<f (k －x 0)，即x 20＋x 0<k －x 0，则问题转化为∃x 0∈[－2，1]，k >x 20＋2x 0，令g (x )＝x 2＋2x ，x ∈[－2，1].则k >g (x )min ＝g (－1)＝－1故实数k 的取值范围是(－1，＋∞).9.已知正四棱锥的体积为323，则正四棱锥的侧棱长的最小值为________.[答案] 2 3[解析] 如图所示，设正四棱锥的底面边长为a ，高为h .则该正四棱锥的体积V ＝13a 2h ＝323，故a 2h ＝32，即a 2＝32h .则其侧棱长为l ＝⎝⎛⎭⎫2a 22＋h 2＝16h＋h 2. 令f (h )＝16h ＋h 2，则f ′(h )＝－16h 2＋2h ＝2h 3－16h 2，令f ′(h )＝0，解得h ＝2.当h ∈(0，2)时，f ′(h )<0，f (h )单调递减；当h ∈(2，＋∞)时，f ′(h )>0，f (h )单调递增， 所以当h ＝2时，f (h )取得最小值f (2)＝162＋22＝12，故l min ＝12＝2 3.10.若函数f (x )＝|2x －2|－b 有两个零点，则实数b 的取值范围是________. [答案] (0，2)[解析] 由f (x )＝|2x －2|－b 有两个零点， 可得|2x －2|＝b 有两个不等的实根，从而可得函数y 1＝|2x －2|的图象与函数y 2＝b 的图象有两个交点，如图所示.结合函数的图象，可得0<b <2.11.已知椭圆C 1：x 29＋y 24＝1和圆C 2：x 2＋(y ＋1)2＝r 2 (r >0)，若两条曲线没有公共点，则r 的取值范围是______________. [答案] (0，1)∪⎝⎛⎭⎫3305，＋∞ [解析] 方法一 联立C 1和C 2的方程，消去x ， 得到关于y 的方程－54y 2＋2y ＋10－r 2＝0，①方程①可变形为r 2＝－54y 2＋2y ＋10，把r 2＝－54y 2＋2y ＋10看作关于y 的函数.由椭圆C 1可知，－2≤y ≤2，因此，求使圆C 2与椭圆C 1有公共点的r 的集合，等价于在定义域为y ∈[－2，2]的情况下，求函数r 2＝f (y )＝－54y 2＋2y ＋10的值域.由f (－2)＝1，f (2)＝9，f ⎝⎛⎭⎫45＝545，可得f (y )的值域为⎣⎡⎦⎤1，545，即r ∈⎣⎡⎦⎤1，3305， 它的补集就是圆C 2与椭圆C 1没有公共点的r 的集合，因此，两条曲线没有公共点的r 的取值范围是(0，1)∪⎝⎛⎭⎫3305，＋∞.方法二 联立C 1和C 2的方程消去x ，得到关于y 的方程－54y 2＋2y ＋10－r 2＝0.①两条曲线没有公共点，等价于方程－54y 2＋2y ＋10－r 2＝0要么没有实数根，要么有两个根y 1，y 2∉[－2，2].若没有实数根，则Δ＝4－4×⎝⎛⎭⎫－54×(10－r 2)<0， 解得r >3305或r <－3305⎝⎛⎭⎫由于r >0，则r <－3305舍去. 若两个根y 1，y 2∉[－2，2]，设φ(y )＝－54y 2＋2y ＋10－r 2，其图象的对称轴方程为y ＝45∈[－2，2].则⎩⎪⎨⎪⎧φ(2)＝9－r 2>0，φ(－2)＝1－r 2>0，又r >0，解得0<r <1.因此，两条曲线没有公共点的r 的取值范围是(0，1)∪⎝⎛⎭⎫3305，＋∞.12.若关于x 的不等式e x－x 22－1－⎝⎛⎭⎫a －94x ≥0在⎣⎡⎭⎫12，＋∞上恰成立，则实数a 的取值集合为________. [答案] {2e}[解析] 关于x 的不等式e x －x22－1－⎝⎛⎭⎫a －94x ≥0在⎣⎡⎭⎫12，＋∞上恰成立⇔函数g (x )＝e x－x 22－1x在⎣⎡⎭⎫12，＋∞上的值域为⎣⎡⎭⎫a －94，＋∞. 因为g ′(x )＝e x(x －1)－x 22＋1x2， 令φ(x )＝e x(x －1)－x 22＋1，x ∈⎣⎡⎭⎫12，＋∞， 则φ′(x )＝x (e x －1). 因为x ≥12，所以φ′(x )>0，故φ(x )在⎣⎡⎭⎫12，＋∞上单调递增，所以φ(x )≥φ⎝⎛⎭⎫12＝78－e2>0. 因此g ′(x )>0，故g (x )在⎣⎡⎭⎫12，＋∞上单调递增， 则g (x )≥g ⎝⎛⎭⎫12＝12e －18－112＝2e －94，所以a －94＝2e －94，解得a ＝2e ，所以a 的取值集合为{2e}.。

数学思想数学思想(一 ) 函数与方程思想( 学生用 第123)1运用函数与方程思想解决数列、不等式等1．已知等比数列 { a n } 是 增数列， S n 是 { a n } 的前 n 和，若 a 1，a 3 是方程 x 2 －5x ＋ 4＝ 0 的两个根，S 6＝()A ．63B ． 64C ． 49D ． 56A [a 1， a 3 是方程 x 2－ 5x ＋ 4＝ 0 的两个根且 { a n } 是 增数列，故 a 3＝ 4， a 1＝1，故公比 q＝ 2， S ＝a 1－q 6 ＝ 63.]61－ q2．若对于 x 的方程 x 2＋ 2kx － 1＝0 的两根 x 1 ，x 2 足－ 1≤x 1＜ 0＜ x 2＜2， k 的取 范 是 ()A. －3， 0 B ． － 3，044C. 0，3 D ． 0，3 44B [结构函数 f(x)＝ x 2＋ 2kx － 1，因 对于 x 的方程 x 2＋ 2kx － 1＝ 0 的两根 x 1，x 2 足－ 1≤x 1 ＜ 0＜ x 2＜ 2，f－ ，－ 2k ≥0， 所以 f＜ 0， 即 －1＜0，f＞ 0，4k ＋3＞ 0，所以－ 3＜ k ≤0，4所以 k 的取 范 是－3，0.]423． (2017 ·河南 州第一次 量) 已知数列 { a n } 足 a 1a 2a 3⋯ a n ＝ 2n(n ∈ N * )，且 随意 n ∈ N *都有 1 ＋ 1 ＋ ⋯＋ 1＜ t ， 数 t 的取 范 ( )a 1a 2 a n11A.3，＋ ∞B ． 3，＋ ∞C.2，＋ ∞D ． 2，＋ ∞33n ≥2 ， a n ＝a 1a 2a 3⋯a nn 2 22D [ 依 意得，当＝22＝ 2 n － (n － 1) ＝ 22n － 1，又 a 1＝a 1a 2 a 3⋯ a n －1n －21＝2 2×1－1＝ 2 2n －11＝ 1，数列 1 是以1 首 ，1 2，所以 a，22n－a n 2 公比的等比数列，等比na n141 11 21－ n2 122数列4＝ t 的取 范 是，＋∞ ， a n 的前 n 和等于1 31－ n ＜ ，所以 数34 31－ 4D.]4． 函数 f(x)的 函数 f ′(x)， 随意 x ∈ R 都有 f(x)＞ f ′(x)建立， ()A ． 3f(ln 2) ＜ 2f(ln 3)B ． 3f(ln 2) ＝2f(ln 3)C ． 3f(ln 2) ＞2f(ln 3)D ． 3f(ln 2) 与 2f(ln 3) 的大小不确立Cf xf x－ fx[ 令 F(x)＝x， F ′(x)＝x.ee因 ? x ∈R 都有 f( x)＞ f ′(x)，所以 F ′(x)＜ 0，即 F(x)在 R 上 减．又 ln 2＜ ln 3，所以 F(ln 2) ＞ F(ln 3) ，即fln 2＞fln 3，ee所以f2＞f，即 3f(ln 2) ＞ 2f(ln 3) ，故 C.]35．已知数列 { a n } 足 a 1＝60， a n ＋ 1－a n ＝2n(n ∈ N *)，a n的最小 ________.n【 学号： 07804145】29由 a n ＋ 1－a n ＝ 2n ，得[2a n ＝( a n － a n －1)＋(a n －1－ a n －2)＋⋯ ＋ (a 2－ a 1)＋a 1＝ 2(n － 1)＋ 2(n － 2)＋ ⋯＋ 2＋ 60＝ n 2－ n ＋ 60.∴ a n ＝ n2－ n ＋ 6060－ 1.＝ n ＋n nn令 f(x)＝ x ＋60x － 1，易知 f(x)在 (0,2 15)上 减，在 (2 15，＋ ∞)上 增．又 n ∈ N * ，当 n ＝ 7 ， a 7＝ 7＋60－ 1＝ 102， 77 7当 n ＝ 8 ，a 8＝ 8＋60－1＝29.882又 29＜ 102，故 a n 的最小 2927n2 .]6．已知函数f(x)＝a3x 3＋12(1－ a 2) x 2－ ax ，此中 a ∈ R .(1) 若曲 y ＝ f( x)在点 (1， f(x)) 的切 方程 8x ＋ y － 2＝ 0，求 a 的 ；(2) 若 a ＝1，存在实数 m ，使得方程 f( x)＝ m 恰巧有三个不一样的解，务实数 m 的取值范围．[ 解 ] (1) 由于 f ′(x)＝ ax 2＋ (1－ a 2)x －a ，所以 f ′(1)＝－ 8，即 f ′(1)＝ a ＋ (1－a 2)－ a ＝－ 8，解得 a ＝ ±3.当 a ＝ 3 时， f(x)＝ x 3－ 4x 2－ 3x ， f(1) ＝－ 6，f ′(x)＝ 3x 2－ 8x － 3， f ′(1)＝－ 8，故曲线 y ＝ f(x)在点 (1， f(1)) 处的切线方程为y ＋ 6＝－ 8(x － 1)，即 8x ＋ y － 2＝ 0.当 a ＝－ 3 时， f(x)＝－ x 3－ 4x 2＋ 3x ， f(1) ＝－ 2，f ′(x)＝－ 3x 2 －8x ＋ 3， f ′(1)＝－ 8，故曲线 y ＝ f(x)在点 (1，f(1)) 处的切线方程为 y ＋ 2＝－ 8(x － 1)，即 8x ＋ y －6＝ 0.不切合题意，舍去．故 a 的值为 3.1 3(2) 若 a ＝1，则 f(x)＝ 3x － x ，f ′(x)＝ x 2－ 1，当－ 1＜ x ＜1 时， f ′(x)＜ 0，当 x ＞ 1 或 x ＜－ 1 时， f ′(x)＞ 0，故 f(x)在区间 (－ ∞，－ 1)， (1，＋ ∞)内为增函数，在区间 (－ 1,1)内为减函数．故函数 f(x) 在 x ＝ 1 处获得极小值 f(1)，且 f(1)＝13－1＝－ 23，函数 f( x)在 x ＝－ 1 处获得极大值 f(－ 1)，且 f(－ 1)＝－1 23＋1＝ .3如图，分别作出函数 f( x)＝1x 3－x 与 y ＝ m 的图象，从图象上能够看出当－ 2＜ m ＜ 2时，两 333个函数的图象有三个不一样的交点，即方程f( x)＝ m 有三个不一样的解．2 2故实数 m 的取值范围为 － 3， 3.题组 2利用函数方程思想解决几何问题2 2x y7．已知椭圆 C ： a 2＋b 2＝ 1(a ＞ b ＞ 0)的左焦点为 F ，若 F 对于直线 3x ＋ y ＝ 0 的对称点 A 是椭圆C 上的点，则椭圆 C 的离心率为 ()【导学号： 07804146】13－ 1A. 2B ．23C. 2D． 3－1D[ 设 F(－ c,0)， A(m ， n)，则n－ 3＝－ 1，m ＋c解得 A c 3m －c ＋ n ＝ 0， 2，2 c .3×2222代入椭圆方程中，有c 2 3c 2＝ 1，4a ＋4b所以 b 2c 2＋ 3a 2c 2＝4a 2b 2，所以 (a 2 －c 2)c 2＋ 3a 2c 2＝ 4a 2(a 2－ c 2)， 所以 c 4－ 8a 2c 2＋ 4a 4＝ 0，所以 e 4－ 8e 2＋ 4＝ 0，所以 e 2＝ 4±2 3，所以 e ＝ 3－ 1 或 e ＝ 3＋ 1(舍去 )．即椭圆 C 的离心率为3－ 1.]8．已知正四棱锥 S-ABCD 中， SA ＝ 2 3，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为()A ． 1B ． 3C ． 2D ． 3C [ 设正四棱锥 S-ABCD 的底面边长为a(a ＞ 0)，则高 h ＝2 2a 2 ＝12－ a 2，所SA －221 21 4－1 641 6 3－3a 5. 令 y ′＞0，得 0＜以体积 V ＝ a h ＝312a 2 a .设 y ＝ 12a － a ( a ＞0) ，则 y ′＝ 48a32a ＜ 4；令 y ′＜ 0，得 a ＞ 4.故函数 y 在 (0,4)上单一递加，在 (4，＋ ∞)上单一递减．可知当a2＝ 4 时， y 获得最大值，即体积 V 获得最大值，此时h ＝12－ a＝ 2，应选 C.]29．如图 1，动点 P 在正方体 ABCD -A 1B 1C 1D 1 的体对角线BD 1 上，过点 P 作垂直于平面 BB 1D 1D的直线，与正方体表面订交于M ， N ，设 BP ＝ x ， MN ＝ y ，则函数 y ＝ f(x) 的图象大概是 ( )图 1AB C DB [设正方体的棱长为 1，明显 P 一直是 MN 的中点，并且跟着点P从 B 点向 BD 1 的中点挪动时， y 的值渐渐增大到最大；再由中点向点 D 1 挪动时， y 的值逐 渐变小．联合四个选项中图象的特点，由函数的有关知识知，清除 A ， C 项．从而分别过M ，N ， P 作底面的垂线，垂足分别为 M ′， N ′， P ′(如图 )，则 M ′N ′＝ MN ＝ y.又∵ BP ′ BD＝ 2 ＝ 6 63 时， MN ＝ y ＝ 2BP ′＝ 2 6＝ 3，∴ BP ′＝3 x.故当 BP ＝ x ≤ x ，此时 yBP BD 1 3 2 3是对于 x 的一次函数，∴清除 D 项．]x 2y 23x 轴，直线 l ：y10．已知椭圆 C ： a 2 ＋ b 2＝ 1(a ＞b ＞ 0)上一点 P 1， 2 与椭圆右焦点的连线垂直于＝ kx ＋ m 与椭圆 C 订交于 A ，B 两点 (均不在座标轴上 )．(1) 求椭圆 C 的标准方程；(2) 设 O 为坐标原点，若 △ AOB 的面积为 3，试判断直线 OA 与 OB 的斜率之积能否为定值？1 ＋92＝ 1， 22 4b a ＝ 4，[ 解 ] (1) 由题意知a 解得b 2＝ 3，2 2a ＝b ＋1，x 2 y 2∴椭圆 C 的标准方程为 4 ＋3＝1.(2) 设点 A(x 1， y 1)，B(x 2 ， y 2 )，22x＋ y＝ 1，由 4 3y ＝ kx ＋ m ，得 (4k 2＋ 3)x 2＋ 8kmx ＋ 4m 2－ 12＝0，由 ＝ (8km)2－ 16(4k 2＋ 3)(m 2－ 3)＞ 0，得 m 2＜4k 2＋ 3.∵ x 1＋x 2＝ － 8km， x 1x 2＝ 4m 2－1222 ，4k ＋ 3 4k ＋ 31 14 3 4k 2＋ 3－ m 2∴S△ OAB＝2|m||x 1－x2|＝2|m| ·4k 2＋3＝ 3，化简得 4k 2＋ 3－2m 2＝ 0，知足 ＞ 0，从而有 4k 2－m 2＝ m 2－ 3(*) ，∴ k OA ·k OB ＝ y 1y 2 ＝ kx 1＋ m kx 2＋mx 1x 2x 1x 2＝k 2x 1x 2＋ km x 1＋ x 2 ＋ m 2x 1x 2－ 12k 2＋ 3m 23 4k 2－ m 24k 2－ m 2＝2＝－· 2，由 (*) 式，得2＝ 1，4m － 124 m － 3 m － 3∴ k OA ·k OB ＝－ 3，即直线 OA 与 OB 的斜率之积为定值－34.4。

第一讲函数与方程思想1．函数与方程思想的含义(1)函数的思想函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，是对函数概念的本质认识，建立函数关系或构造函数，运用函数的图像和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决．经常利用的性质是单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图像变换等．(2)方程的思想方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题得以解决．方程的教学是对方程概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用方程或方程组的观点观察处理问题．方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系．2．函数思想与方程思想的联系函数思想与方程思想是密切相关的，如函数问题可以转化为方程问题来解决，方程问题也可以转化为函数问题加以解决，如解方程f(x)＝0，就是求函数y＝f(x)的零点，解不等式f(x)>0(或f(x)<0)，就是求函数y＝f(x)的正(或负)区间，再如方程f(x)＝g(x)的解的问题可以转化为函数y＝f(x)与y＝g(x)的交点问题，也可以转化为函数y＝f(x)－g(x)与x轴的交点问题，方程f(x)＝a有解，当且仅当a属于函数f(x)的值域，函数与方程的这种相互转化关系十分重要．[例1]长度都为2的向量OA，OB的夹角为60°，点C在以O为圆心的圆弧AB(劣弧)上，OC＝m OA＋n OB，则m＋n的最大值是________．[思维流程][解析] 建立平面直角坐标系，设向量OA ＝(2,0)，向量OB ＝(1，3)．设向量OC ＝(2cos α，2sin α)，0≤α≤π3.由OC ＝m OA ＋n OB ，得(2cos α，2sin α)＝(2m ＋n ，3n )， 即2cos α＝2m ＋n,2sin α＝3n ， 解得m ＝cos α－13sin α，n ＝23sin α. 故m ＋n ＝cos α＋13sin α＝233sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3∈⎣⎡⎦⎤1，233. [答案] 233——————规律·总结——————————————————————————四类参数范围(或最值)的求解方法(1)求字母(式子)的值的问题往往要根据题设条件构建以待求字母(式子)为元的方程(组)，然后由方程(组)求得．(2)求参数的取值范围是函数、方程、不等式、数列、解析几何等问题中的重要问题，解决这类问题一般有两种途径：其一，充分挖掘题设条件中的不等关系，构建以待求字母为元的不等式(组)求解；其二，充分应用题设中的等量关系，将待求参数表示成其他变量的函数，然后，应用函数知识求值域．(3)当问题中出现两数积与这两数和时，是构建一元二次方程的明显信息，构造方程后再利用方程知识可使问题巧妙解决．(4)当问题中出现多个变量时，往往要利用等量关系去减少变量的个数，如最后能把其中一个变量表示成关于另一个变量的表达式，那么就可用研究函数的方法将问题解决．1．(1)若a ，b 是正数，且满足ab ＝a ＋b ＋3，则ab 的取值范围为________． (2)如果方程cos 2x －sin x ＋a ＝0在⎝⎛⎦⎤0，π2上有解，则a 的取值范围为________． 解析：(1)法一：(看成函数的值域) ∵ab ＝a ＋b ＋3，a ≠1，∴b ＝a ＋3a －1.而b >0，∴a ＋3a －1>0.即a >1或a <－3，又a >0， ∴a >1，故a －1>0.∴ab ＝a ·a ＋3a －1＝(a －1)2＋5(a －1)＋4a －1＝(a －1)＋4a －1＋5≥9.当且仅当a －1＝4a －1，即a ＝3时取等号．∴ab 的取值范围是[9，＋∞)． 法二：若设ab ＝t ，则a ＋b ＝t －3，∴a ，b 可看成方程x 2－(t －3)x ＋t ＝0的两个正根．从而有⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝(t －3)2－4t ≥0，a ＋b ＝t －3>0，ab ＝t >0，即⎩⎪⎨⎪⎧t ≤1或t ≥9，t >3，t >0，解得t ≥9，即ab ≥9.∴ab 的取值范围是[9，＋∞)． 法三：(看成不等式的解集) ∵a ，b 为正数，∴a ＋b ≥2ab ，又ab ＝a ＋b ＋3， ∴ab ≥2ab ＋3.即(ab )2－2ab －3≥0， 解得ab ≥3或ab ≤－1(舍去)， ∴ab ≥9.即ab 的取值范围是[9，＋∞)．(2)把方程变形为a ＝－cos 2x ＋sin x . 设f (x )＝－cos 2x ＋sin x ，x ∈⎝⎛⎦⎤0，π2. 显然当且仅当a 属于f (x )的值域时，a ＝f (x )有解． f (x )＝－(1－sin 2x )＋sin x ＝⎝⎛⎭⎫sin x ＋122－54， 且由x ∈⎝⎛⎦⎤0，π2知sin x ∈(0,1]． 易求得f (x )的值域为(－1,1]，故a 的取值范围是(－1,1]． 答案：(1)[9，＋∞) (2)(－1,1][例2] 设函数f (x )＝1x ，g (x )＝－x 2＋bx ，若y ＝f (x )的图像与y ＝g (x )的图像有且仅有两个不同的公共点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则下列判断正确的是( )A ．x 1＋x 2>0，y 1＋y 2>0B ．x 1＋x 2>0，y 1＋y 2<0C ．x 1＋x 2<0，y 1＋y 2>0D ．x 1＋x 2<0，y 1＋y 2<0 [思维流程][解] 由于函数y ＝f (x )的图像在一、三象限且关于坐标原点对称，函数y ＝g (x )的图像过坐标原点，结合函数图像可知点A ，B 一定只能一个在第一象限、另一个在第三象限，即x 1x 2<0，由于y 1＋y 2＝1x 1＋1x 2＝x 1＋x 2x 1x 2，故x 1＋x 2，y 1＋y 2一定异号．问题即为方程－x 2＋bx ＝1x 仅有两个不同的实根，即方程x 3－bx 2＋1＝0有一个二重根、一个单根．根据方程根的理论，如果x 1是方程x 3－bx 2＋1＝0的二重根，x 2为一个单根，则x 3－bx 2＋1＝(x －x 1)2(x －x 2)＝x 3－(2x 1＋x 2)x 2＋(x 21＋2x 1x 2)x －x 21x 2，这个等式对任意x 恒成立，比较等式两端x 的系数可得－x 21x 2＝1，则x 2<0，且x 21＋2x 1x 2＝0，即x 1＋2x 2＝0，即x 1＋x 2＝－x 2>0，所以x 1＋x 2>0，y 1＋y 2<0.[答案] B——————规律·总结—————————————————————————解决图像交点及方程根等问题的方法函数图像的交点问题转化为方程根的问题是重要的方程思想，同时方程根的判断问题常转化为函数的零点问题又是重要的函数思想，在解决此类问题时要注意灵活应用．2．已知方程9x －2·3x ＋(3k －1)＝0有两个实根，则实数k 的取值范围为________． 解析：令3x ＝t >0，则方程化为t 2－2t ＋(3k －1)＝0(t >0)(*)，要使原方程有两个实根，方程(*)必须有两个正根，∴⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝22－4(3k －1)≥0，t 1·t 2＝3k －1>0，t 1＋t 2＝2>0，解得13<k ≤23.故实数k 的取值范围是⎝⎛⎦⎤13，23. 答案：⎝⎛⎦⎤13，23[例3] (2013·郑州模拟)已知函数f (x )＝ln x －14x ＋34x －1，g (x )＝－x 2＋2bx －4，若对任意x 1∈(0,2)，x 2∈[1,2]，不等式f (x 1)≥g (x 2)恒成立，求实数b 的取值范围．[思维流程][解] 问题等价于f (x )min ≥g (x )max .f (x )＝ln x －14x ＋34x －1，所以f ′(x )＝1x －14－34x 2＝4x －x 2－34x 2，由f ′(x )>0得x 2－4x ＋3<0，解得1<x <3，故函数f (x )的单调递增区间是(1,3)，单调递减区间是(0,1)和(3，＋∞)，故在区间(0,2)上，x ＝1是函数的极小值点，这个极小值点是唯一的，故也是最小值点，所以f (x )min ＝f (1)＝－12.由于函数g (x )＝－x 2＋2bx －4，x ∈[1,2]．当b <1时，g (x )max ＝g (1)＝2b －5；当1≤b ≤2时，g (x )max ＝g (b )＝b 2－4；当b >2时，g (x )max＝g (2)＝4b －8.故问题等价于⎩⎪⎨⎪⎧ b <1，－12≥2b －5或⎩⎪⎨⎪⎧1≤b ≤2，－12≥b 2－4或⎩⎪⎨⎪⎧b >2，－12≥4b －8.解第一个不等式组得b <1，解第二个不等式组得1≤b ≤142，第三个不等式组无解． 综上所述，b 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，142. ——————————规律·总结———————————————————不等式恒成立问题的处理方法在解决不等式恒成立问题时，一种最重要的思想方法就是构造适当的函数，利用函数的图像和性质解决问题．同时要注意在一个含多个变量的数学问题中，需要确定合适的变量和参数，从而揭示函数关系，使问题更明朗化．一般地，已知存在范围的量为变量，而待求范围的量为参数．3．设f (x )＝ln x ＋x －1，证明： (1)当x >1时，f (x )<32(x －1)；(2)当1<x <3时，f (x )<9(x －1)x ＋5.证明：(1)法一：记g (x )＝ln x ＋x －1－32(x －1)，则当x >1时，g ′(x )＝1x ＋12x －32<0.又g (1)＝0，故g (x )<0，即f (x )<32(x －1)．法二：由均值不等式，当x >1时，2x <x ＋1， 故x <x 2＋12. ①令k (x )＝ln x －x ＋1，则k (1)＝0，k ′(x )＝1x －1<0，故k (x )<0，即ln x <x －1. ② 由①②得，当x >1时，f (x )<32(x －1)．(2)法一：记h (x )＝f (x )－9(x －1)x ＋5，当1<x <3时，由(1)得h ′(x )＝1x ＋12x －54(x ＋5)2＝2＋x 2x －54(x ＋5)2<x ＋54x －54(x ＋5)2＝(x ＋5)3－216x 4x (x ＋5)2.令l (x )＝(x ＋5)3－216x,1<x <3， 则l ′(x )＝3(x ＋5)2－216<0，因此l (x )在(1,3)内是递减函数，又由l (1)＝0，得l (x )<0，所以h ′(x )<0. 因此h (x )在(1,3)内是递减函数，又由h (1)＝0， 得h (x )<0.于是当1<x <3时，f (x )<9(x －1)x ＋5.法二：记h (x )＝(x ＋5)f (x )－9(x －1)， 则当1<x <3时，由(1)得h ′(x )＝f (x )＋(x ＋5)f ′(x )－9 <32(x －1)＋(x ＋5)⎝⎛⎭⎫1x ＋12x －9＝12x[3x (x －1)＋(x ＋5)(2＋x )－18x ]<12x ⎣⎡⎦⎤3x (x －1)＋(x ＋5)⎝⎛⎭⎫2＋x 2＋12－18x ＝ 14x(7x 2－32x ＋25)<0， 因此h (x )在(1,3)内单调递减，又h (1)＝0， 所以h (x )<0，即f (x )<9(x －1)x ＋5.[例4] 若数列{a n }的通项公式为a n ＝83×⎝⎛⎭⎫18n －3×⎝⎛⎭⎫14n ＋⎝⎛⎭⎫12n (其中n ∈N *)，且该数列中最大的项为a m ，则m ＝________.[思维流程][解析] 令x ＝⎝⎛⎭⎫12n ，则0<x ≤12. 构造f (x )＝83x 3－3x 2＋x ，x ∈⎝⎛⎦⎤0，12， 所以f ′(x )＝8x 2－6x ＋1.令f ′(x )＝0，解得x 1＝14，x 2＝12，所以f (x )在⎝⎛⎦⎤0，14上为增函数，在⎝⎛⎦⎤14，12上为减函数． 所以f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫14，即当x ＝14时，f (x )最大． 所以当n ＝2时，a n 取得最大值，即m ＝2. [答案] 2——————规律·总结———————————————————————数列问题函数(方程)化法数列问题函数(方程)化法与形式结构函数(方程)化法类似，但要注意数列问题中n 的取值范围为正整数，涉及的函数具有离散性特点，其一般解题步骤是：第一步：分析数列式子的结构特征．第二步：根据结构特征构造“特征”函数(方程)，转化问题形式．第三步：研究函数性质．结合解决问题的需要研究函数(方程)的相关性质，主要涉及函数单调性与最值、值域问题的研究．第四步：回归问题．结合对函数(方程)相关性质的研究，回归问题．4．(2013·全国高考)等差数列{a n}的前n项和为S n，已知S3＝a22，且S1，S2，S4成等比数列，求{a n}的通项公式．解：设{a n}的公差为d.由S3＝a22得3a2＝a22，故a2＝0或a2＝3.由S1，S2，S4成等比数列得S22＝S1S4.又S1＝a2－d，S2＝2a2－d，S4＝4a2＋2d，故(2a2－d)2＝(a2－d)(4a2＋2d)．若a2＝0，则d2＝－2d2，所以d＝0，此时S n＝0，不合题意；若a2＝3，则(6－d)2＝(3－d)(12＋2d)，解得d＝0或d＝2，符合题意．因此{a n}的通项公式为a n＝3或a n＝2n－1.l与y轴交于点P(0，m)，与椭圆C交于相异两点A，B，且AP＝3PB(1)求椭圆C的方程；(2)求m的取值范围．[思维流程]求椭圆方程→设直线l→联立直线l与椭圆C的方程→由Δ>0→得出m的取值范围[解](1)设椭圆C的方程为y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)，设c>0，c2＝a2－b2，由题意，知2b ＝2，c a ＝22，所以a ＝1，b ＝c ＝22.故椭圆C 的方程为y 2＋x 212＝1，即y 2＋2x 2＝1.(2)设直线l 的方程y ＝kx ＋m (k ≠0)，l 与椭圆C 的交点坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，2x 2＋y 2＝1，得(k 2＋2)x 2＋2kmx ＋(m 2－1)＝0，Δ＝(2km )2－4(k 2＋2)(m 2－1)＝4(k 2－2m 2＋2)>0，(*) x 1＋x 2＝－2km k 2＋2，x 1x 2＝m 2－1k 2＋2.因为AP ＝3PB ，所以－x 1＝3x 2，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－2x 2，x 1x 2＝－3x 22.则3(x 1＋x 2)2＋4x 1x 2＝0，即3·⎝ ⎛⎭⎪⎫－2km k 2＋22＋4·m 2－1k 2＋2＝0，整理得4k 2m 2＋2m 2－k 2－2＝0，即k 2(4m 2－1)＋(2m 2－2)＝0， 当m 2＝14时，上式不成立；当m 2≠14时，k 2＝2－2m 24m 2－1，由(*)式，得k 2>2m 2－2，又k ≠0，所以k 2＝2－2m24m 2－1>0，解得－1<m <－12或12<m <1，即所求m 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－1，－12∪⎝⎛⎭⎫12，1. —————————规律·总结——————————————————————利用判别式法研究圆锥曲线中的范围问题的步骤第一步：联立方程． 第二步：求解判别式Δ.第三步：代换．利用题设条件和圆锥曲线的几何性质，得到所求目标参数和判别式不等式中的参数的一个等量关系，将其代换．第四步：下结论．将上述等量代换式代入Δ>0或Δ≥0中，即可求出目标参数的取值范围．第五步：回顾反思．在研究直线与圆锥曲线的位置关系问题时，无论题目中有没有涉及求参数的取值范围，都不能忽视了判别式对某些量的制约，这是求解这类问题的关键环节．5．(2013·西城模拟)如图，椭圆C ：x 2＋y 2m＝1(0<m <1)的左顶点为A ，M 是椭圆C 上异于点A 的任意一点，点P 与点A 关于点M 对称．(1)若点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫95，435，求m 的值；(2)若椭圆C 上存在点M ，使得OP ⊥OM ，求m 的取值范围． 解：(1)依题意，M 是线段AP 的中点， 因为A (－1,0)，P ⎝⎛⎭⎫95，435，所以点M 的坐标为⎝⎛⎭⎫25，235.由点M 在椭圆C 上，所以425＋1225m ＝1，解得m ＝47.(2)设M (x 0，y 0)，则x 20＋y 20m＝1，且－1<x 0<1.①因为M 是线段AP 的中点，所以P (2x 0＋1,2y 0)． 因为OP ⊥OM ，所以x 0(2x 0＋1)＋2y 20＝0.②由①②消去y 0，整理得m ＝2x 20＋x 02x 20－2，所以m ＝1＋12(x 0＋2)＋6x 0＋2－8≤12－34，当且仅当x 0＝－2＋3时，上式等号成立， 所以m 的取值范围是⎝⎛⎤0，12－34.应用函数与方程思想解决问题时应注意以下五个方面的思考和切入(1)函数与不等式的相互转化．对函数y ＝f (x )，当y >0时，就化为不等式f (x )>0，借助于函数的图像和性质可解决有关问题，而研究函数的性质也离不开不等式．(2)数列的通项与前n 项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点去处理数列问题十分重要．(3)在三角函数求值中，把所求的量看作未知量，其余的量通过三角函数关系化为未知量的表达式，那么问题就能化为未知量的方程来解．(4)解析几何中的许多问题，如直线与二次曲线的位置关系问题，需要通过解二元方程组才能解决．这都涉及二次方程与二次函数的有关理论．(5)立体几何中有关线段的长、面积、体积的计算，经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决．[数学思想专练(一)]一、选择题1．(2013·青岛模拟)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 1,2S 2,3S 3成等差数列，则数列{a n }的公比为( )A.12B.13C.25D.49解析：选B 设等比数列的首项为a 1，公比为q ，则S 1＝a 1，S 2＝a 1＋a 2＝a 1＋a 1q ，S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2.由S 1,2S 2,3S 3成等差数列，得2×2S 2＝S 1＋3S 3，即4(a 1＋a 1q )＝a 1＋3(a 1＋a 1q ＋a 1q 2)，可得3q 2－q ＝0，得q ＝0或q ＝13，因为q ≠0，所以q ＝13.2．若a >1，则双曲线x 2a 2－y 2(a ＋1)2＝1的离心率e 的取值范围是( )A ．(1，2)B ．(2，5)C ．[2，5]D ．(3，5)解析：选B e 2＝⎝⎛⎭⎫c a 2＝a 2＋(a ＋1)2a 2＝1＋⎝⎛⎭⎫1＋1a 2，因为1a 是减函数，所以当a >1时，0<1a<1，所以2<e 2<5，即2<e < 5.3．已知a ∈[－1,1]，不等式x 2＋(a －4)x ＋4－2a >0恒成立，则x 的取值范围为( ) A ．(－∞，2)∪(3，＋∞) B ．(－∞，1)∪(2，＋∞) C ．(－∞，1)∪(3，＋∞)D ．(1,3)解析：选C 把不等式的左端看成关于a 的一次函数，记f (a )＝(x －2)a ＋(x 2－4x ＋4)，则f (a )>0对于任意的a ∈[－1,1]恒成立，易知只需f (－1)＝x 2－5x ＋6>0且f (1)＝x 2－3x ＋2>0即可，联立方程并解得x <1或x >3.4．若2x ＋5y ≤2－y ＋5－x ，则有( )A ．x ＋y ≥0B ．x ＋y ≤0C ．x －y ≤0D ．x －y ≥0解析：选B 原不等式可化为2x －5－x ≤2－y －5y ，构造函数y ＝2x －5－x ，其为R 上的增函数，所以有x ≤－y ，即x ＋y ≤0.5.如图，A 是单位圆与x 轴的交点，点P 在单位圆上，∠AOP ＝θ(0<θ<π)，OQ ＝OA ＋OP ，四边形OAQP 的面积为S ，当OA ·OP ＋S 取得最大值时θ的值为( )A.π6 B.π4 C.π3D.π2解析：选B OA ·OP ＋S ＝|OA |·|OP |cos θ＋|OA |·|OP |sin θ＝cos θ＋sin θ＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4，当θ＝π4时，OA ·OP ＋S 取得最大值． 6．(2013·西安模拟)已知函数f (x )＝cos x (x ∈(0,2π))有两个不同的零点x 1，x 2，且方程f (x )＝m 有两个不同的实根x 3，x 4.若把这四个数按从小到大的排列构成等差数列，则实数m 的值为( )A.12 B ．－12C.32D ．－32解析：选D 假设方程f (x )＝m 的两个实根x 3<x 4.由函数f (x )＝cos x (x ∈(0,2π))的零点为π2，3π2，又四个数按从小到大排列构成等差数列，可得π2<x 3<x 4<3π2，由题意得x 3＋x 4＝π2＋3π2＝2π①，2x 3＝π2＋x 4②，则由①②可得x 3＝5π6，所以m ＝cos 5π6＝－32.二、填空题7．若方程sin 2x ＋2sin x ＋a ＝0有解，则实数a 的取值范围是________．解析：令f (x )＝sin 2x ＋2sin x ，则f (x )的值域是[－1,3]，因为方程sin 2x ＋2sin x ＋a ＝0一定有解，所以－1≤－a ≤3，所以实数a 的取值范围是[－3,1]．答案：[－3,1]8．已知数列{a n }是递增数列，且对于任意的n ∈N *，a n ＝n 2＋λn 恒成立，则实数λ的取值范围是________．解析：由{a n }是递增数列，得a n <a n ＋1对n ∈N *恒成立，即n 2＋λn <(n ＋1)2＋λ(n ＋1)，整理得λ>－(2n ＋1)．而－(2n ＋1)≤－3，所以λ>－3.答案：(－3，＋∞)9．设f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当x <0时，f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )>0，且g (－3)＝0，则不等式f (x )g (x )<0的解集是________．解析：设F (x )＝f (x )g (x )，由于f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，得F (－x )＝f (－x )·g (－x )＝－f (x )g (x )＝－F (x )，即F (x )为奇函数．又当x <0时，F ′(x )＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )>0，所以x <0时，F (x )为增函数．因为奇函数在对称区间上的单调性相同， 所以x >0时，F (x )也是增函数． 因为F (－3)＝f (－3)g (－3)＝0＝－F (3)． 所以F (x )<0的解集是(－∞，－3)∪(0,3)(如图)． 答案：(－∞，－3)∪(0,3) 三、解答题10．(2013·贵阳模拟)已知公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 7＝70，且a 1，a 2，a 6成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2S n ＋48n ，数列{b n }的最小项是第几项，并求出该项的值．解：(1)设公差为d ，则有⎩⎪⎨⎪⎧ 7a 1＋21d ＝70，a 22＝a 1a 6，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋3d ＝10，(a 1＋d )2＝a 1(a 1＋5d )，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1，d ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝10，d ＝0(舍去)，所以a n ＝3n －2.(2)S n ＝n2[1＋(3n －2)]＝3n 2－n 2，所以b n ＝3n 2－n ＋48n ＝3n ＋48n －1≥23n ·48n－1＝23，当且仅当3n ＝48n ，即n ＝4时取等号，故数列{b n }的最小项是第4项，该项的值为23.11．(2013·海淀模拟)如图，曲线M ：y 2＝x 与曲线N ：(x －4)2＋2y 2＝m 2(m >0)相交于A ，B ，C ，D 四个点．(1)求m 的取值范围；(2)求四边形ABCD 的面积的最大值及此时对角线AC 与BD 的交点坐标． 解：(1)联立曲线M ，N 的方程，消去y 可得(x －4)2＋2x －m 2＝0， 即x 2－6x ＋16－m 2＝0，根据条件可得⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝36－4(16－m 2)>0，x 1＋x 2＝6>0，x 1x 2＝16－m 2>0，解得7<m <4，故m 的取值范围是(7，4)． (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，x 2>x 1，y 1>0，y 2>0. 则S ABCD ＝(y 1＋y 2)(x 2－x 1)＝(x 1＋x 2)(x 2－x 1)＝ x 1＋x 2＋2x 1x 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝ 6＋216－m 2·36－4×(16－m 2).令t ＝16－m 2，则t ∈(0,3)， S ABCD ＝6＋2t ·36－4t 2＝22×－t 3－3t 2＋9t ＋27，设f (t )＝－t 3－3t 2＋9t ＋27，则令f ′(t )＝－3t 2－6t ＋9＝－3(t 2＋2t －3)＝ －3(t －1)(t ＋3)＝0，可得当t ∈(0,3)时，f (x )的最大值为f (1)＝32，从而S ABCD 的最大值为16. 此时t ＝1，即16－m 2＝1，则m 2＝15.联立曲线M ，N 的方程消去y 并整理得x 2－6x ＋1＝0，解得x 1＝3－22，x 2＝3＋22，所以A 点的坐标为(3－22，2－1)，C 点坐标为(3＋22，－2－1)，k AC ＝(－2－1)－(2－1)(3＋22)－(3－22)＝－12，则直线AC 的方程为y －(2－1)＝－12[x －(3－22)]，当y ＝0时，x ＝1，由对称性可知AC 与BD 的交点在x 轴上，即对角线AC 与BD 交点坐标为(1,0)．12．已知函数f (x )＝ax 3＋(2－a )x 2－x －1(a >0)． (1)若a ＝4，求f (x )的单调区间；(2)设x 1，x 2,1为关于x 的方程f (x )＝0的实根，若x 1x 2∈⎣⎡⎦⎤12，2，求a 的取值范围． 解：(1)∵当a ＝4时，f (x )＝4x 3－2x 2－x －1， ∴f ′(x )＝12x 2－4x －1＝(6x ＋1)(2x －1)， 由f ′(x )>0得x <－16或x >12，由f ′(x )<0得－16<x <12，∴f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫－∞，－16，⎝⎛⎭⎫12，＋∞， 单调递减区间为⎝⎛⎭⎫－16，12. (2)∵f (x )＝(x －1)(ax 2＋2x ＋1)，∴f (x )＝0一根为1，另两根为ax 2＋2x ＋1＝0的解，由⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝4－4a ≥0得0<a ≤1， 由韦达定理知ax 2＋2x ＋1＝0的解均为负值． ∵x 1x 2>0，x 1，x 2为ax 2＋2x ＋1＝0的根， ∴(x 1＋x 2)2x 1x 2＝x 1x 2＋x 2x 1＋2＝⎝⎛⎭⎫－2a 21a＝4a. 令t ＝x 1x 2，u (t )＝t ＋1t＋2，t ∈⎣⎡⎦⎤12，2， 则u ′(t )＝1－1t 2，∴u (t )在⎣⎡⎦⎤12，1上递减，在[1,2]上递增， ∴u (t )∈⎣⎡⎦⎤4，92，即4a ∈⎣⎡⎦⎤4，92，故a ∈⎣⎡⎦⎤89，1.。

第2讲函数与方程、数形结合思想数学思想解读 1.函数与方程思想的实质就是用联系和变化的观点，描述两个量之间的依赖关系，刻画数量之间的本质特征，在提出数学问题时，抛开一些非数学特征，抽象出数量特征，建立明确的函数关系，并运用函数的知识和方法解决问题.有时需要根据已知量和未知量之间的制约关系，列出方程(组)，进而通过解方程(组)求得未知量.函数与方程思想是相互联系、相互为用的.2.数形结合思想，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想.数形结合思想的应用包括以下两个方面：(1)“以形助数”，把某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，揭示数学问题的本质；(2)“以数定形”，把直观图形数量化，使形更加精确.热点一函数与方程思想应用1求解不等式、函数零点的问题【例1】(1)设0<a<1，e为自然对数的底数，则a，a e，e a－1的大小关系为() A.e a－1<a<a e B.a e<a<e a－1C.a e<e a－1<aD.a<e a－1<a e(2)(2018·湖南六校联考)已知函数h (x )＝x ln x 与函数g (x )＝kx －1的图象在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上有两个不同的交点，则实数k 的取值范围是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋1e ，e －1 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤1，1＋1e C.(1，e －1]D.(1，＋∞)[解析] (1)设f (x )＝e x －x －1，x >0，则f ′(x )＝e x －1>0， ∴f (x )在(0，＋∞)上是增函数，且f (0)＝0，f (x )>0， ∴e x －1>x ，即e a －1>a .又y ＝a x (0<a <1)在R 上是减函数，得a >a e ， 从而e a －1>a >a e .(2)令h (x )＝g (x )，得x ln x ＋1＝kx ，即1x ＋ln x ＝k .令函数f (x )＝ln x ＋1x ，若方程x ln x －kx ＋1＝0在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上有两个不等实根，则函数f (x )＝ln x ＋1x 与y ＝k 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上有两个不相同的交点，f ′(x )＝1x －1x 2，令1x －1x 2＝0可得x ＝1，当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫1e ，1时f ′(x )<0，函数是减函数；当x ∈(1，e)时，f ′(x )>0，函数是增函数，函数的极小值，也是最小值为f (1)＝1，而f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝－1＋e ，f (e)＝1＋1e ，又－1＋e>1＋1e ，所以，函数的最大值为e －1.所以关于x 的方程x ln x －kx ＋1＝0在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上有两个不等实根，则实数k 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤1，1＋1e . [答案] (1)B (2)B探究提高 1.第(1)题构造函数，转化为判定函数值的大小，利用函数的单调性与不等式的性质求解.2.函数方程思想求解方程的根或图象交点问题(1)应用方程思想把函数图象交点问题转化为方程根的问题，应用函数思想把方程根的问题转化为函数零点问题.(2)含参数的方程问题一般通过直接构造函数或分离参数化为函数解决. 【训练1】 (1)设函数f (x )＝x 2－cos x ，则方程f (x )＝π4所有实根的和为( ) A.0B.π4C.π2D.3π2(2)(2018·石家庄质检)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增.若实数a 满足f (2|a －1|)>f (－2)，则a 的取值范围是________. [解析] (1)由f (x )＝x 2－cos x ＝π4，得x 2－π4＝cos x ， 令y ＝x 2－π4，y ＝cos x .在同一坐标系内作出两函数图象，易知两图象只有一个交点⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0.∴方程f (x )＝π4的实根之和为π2.(2)由f (x )是偶函数且f (x )在区间(－∞，0)上单调递增可知，f (x )在区间(0，＋∞)上单调递减.又因为f (2|a －1|)>f (－2)，f (－2)＝f (2)， 所以2|a －1|<2，即|a －1|<12，解得12<a <32. [答案] (1)C (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32应用2 函数与方程思想在数列中的应用【例2】 已知数列{a n }是各项均为正数的等差数列.(1)若a 1＝2，且a 2，a 3，a 4＋1成等比数列，求数列{a n }的通项公式a n ； (2)在(1)的条件下，数列{a n }的前n 项和为S n ，设b n ＝1S n ＋1＋1S n ＋2＋…＋1S 2n，若对任意的n ∈N *，不等式b n ≤k 恒成立，求实数k 的最小值. 解 (1)∵a 1＝2，a 23＝a 2(a 4＋1)， 又∵{a n }是正项等差数列，故d ≥0，∴(2＋2d )2＝(2＋d )(3＋3d )，得d ＝2或d ＝－1(舍去)， ∴数列{a n }的通项公式a n ＝2n . (2)∵S n ＝n (n ＋1)，则1S n＝1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1.∴b n ＝1S n ＋1＋1S n ＋2＋…＋1S 2n＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1－1n ＋2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋2－1n ＋3＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －12n ＋1 ＝1n ＋1－12n ＋1＝n 2n 2＋3n ＋1＝12n ＋1n ＋3.令f (x )＝2x ＋1x (x ≥1)，则f ′(x )＝2－1x 2>0恒成立， ∴f (x )在[1，＋∞)上是增函数，∴当x ＝1时，f (x )min ＝f (1)＝3，即当n ＝1时，(b n )max ＝16. 要使对任意的正整数n ，不等式b n ≤k 恒成立， 则须使k ≥(b n )max ＝16， ∴实数k 的最小值为16.探究提高 1.本题完美体现函数与方程思想的应用，第(2)问利用裂项相消求b n ，构造函数，利用单调性求b n 的最大值.2.数列的本质是定义域为正整数集或其有限子集的函数，数列的通项公式与前n 项和公式即为相应的[解析]式，因此解决数列最值(范围)问题的方法如下：(1)由其表达式判断单调性，求出最值；(2)由表达式不易判断单调性时，借助a n ＋1－a n 的正负判断其单调性.【训练2】 (2018·长沙调研)已知数列{a n }为等差数列，其中a 2＋a 3＝8，a 5＝3a 2. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)记b n ＝2a n a n ＋1，设{b n }的前n 项和为S n .求最小的正整数n ，使得S n >2 0182 019. 解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ， 依题意有⎩⎨⎧2a 1＋3d ＝8，a 1＋4d ＝3a 1＋3d ，解得⎩⎨⎧a 1＝1，d ＝2，从而{a n }的通项公式为a n ＝2n －1. (2)因为b n ＝2a n a n ＋1＝12n －1－12n ＋1，所以S n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫11－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1＝1－12n ＋1，令1－12n ＋1>2 0182 019，解得n >1 009.故取n 的最小值是n ＝1 010(n ∈N *).应用3 函数与方程思想在几何问题中的应用【例3】 设椭圆中心在坐标原点，A (2，0)，B (0，1)是它的两个顶点，直线y ＝kx (k ＞0)与AB 相交于点D ，与椭圆相交于E ，F 两点. (1)若ED→＝6DF →，求k 的值； (2)求四边形AEBF 面积的最大值.解 (1)依题意得椭圆的方程为x 24＋y 2＝1，直线AB ，EF 的方程分别为x ＋2y ＝2，y ＝kx (k ＞0).如图，设D (x 0，kx 0)，E (x 1，kx 1)，F (x 2，kx 2)，其中x 1＜x 2，且x 1，x 2满足方程(1＋4k 2)x 2＝4，故x 2＝－x 1＝21＋4k2.① 由ED →＝6DF →知x 0－x 1＝6(x 2－x 0)， 得x 0＝17(6x 2＋x 1)＝57x 2＝1071＋4k 2；由D 在AB 上知x 0＋2kx 0＝2， 得x 0＝21＋2k .所以21＋2k ＝1071＋4k 2， 化简得24k 2－25k ＋6＝0， 解得k ＝23或k ＝38.(2)根据点到直线的距离公式和①式知，点E ，F 到AB 的距离分别为h 1＝|x 1＋2kx 1－2|5＝2（1＋2k ＋1＋4k 2）5（1＋4k 2），h 2＝|x 2＋2kx 2－2|5＝2（1＋2k －1＋4k 2）5（1＋4k 2）.又|AB |＝22＋12＝5， 所以四边形AEBF 的面积为 S ＝12|AB |(h 1＋h 2)＝12·5·4（1＋2k ）5（1＋4k 2）＝2（1＋2k ）1＋4k 2＝21＋4k 2＋4k1＋4k 2＝21＋41k ＋4k ≤22， 当且仅当4k 2＝1(k ＞0)，即当k ＝12时，上式取等号. 所以S 的最大值为2 2.即四边形AEBF 面积的最大值为2 2.探究提高 几何中的最值是高考的热点，在圆锥曲线的综合问题中经常出现，求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中，抓住函数关系，将目标量表示为一个(或者多个)变量的函数，然后借助于函数最值的求法来求解，这是求面积、线段长最值(范围)问题的基本方法.【训练3】 (1)(2018·邯郸调研)已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0).若矩形ABCD 的四个顶点在E 上，AB ，CD 的中点为E 的焦点，且2|AB |＝3|BC |，则双曲线E 的离心率是________.(2)已知正四棱锥的体积为323，则正四棱锥的侧棱长的最小值为________. [解析] (1)如图，由题意知|AB |＝2b 2a ，|BC |＝2c .又2|AB |＝3|BC |，所以2×2b 2a ＝3×2c ，即2b 2＝3ac ， 所以2(c 2－a 2)＝3ac ，两边除以a 2，得2e 2－3e －2＝0，解得e ＝2.(2)如图所示，设正四棱锥的底面边长为a ，高为h .则该正四棱锥的体积V ＝13a 2h ＝323，故a 2h ＝32，即a 2＝32h .则其侧棱长为l ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 22＋h 2＝16h＋h 2. 令f (h )＝16h ＋h 2，则f ′(h )＝－16h 2＋2h ＝2h 3－16h 2， 令f ′(h )＝0，解得h ＝2.显然当h ∈(0，2)时，f ′(h )<0，f (h )单调递减； 当h ∈(2，＋∞)时，f ′(h )>0，f (h )单调递增.所以当h ＝2时，f (h )取得最小值f (2)＝162＋22＝12， 故其侧棱长的最小值l ＝12＝2 3. [答案] (1)2 (2)2 3 热点二 数形结合思想 应用1 在函数与方程中的应用【例4】 (1)记实数x 1，x 2，…，x n 中最小数为min{x 1，x 2，…，x n }，则定义在区间[0，＋∞)上的函数f (x )＝min{x 2＋1，x ＋3，13－x }的最大值为( ) A.5B.6C.8D.10(2)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧|x |，x ≤m ，x 2－2mx ＋4m ，x >m ，其中m >0.若存在实数b ，使得关于x 的方程f (x )＝b 有三个不同的根，则m 的取值范围是________.[解析] (1)在同一坐标系中作出三个函数y ＝x 2＋1，y ＝x ＋3，y ＝13－x 的图象如图：由图可知，在实数集R 上，min{x 2＋1，x ＋3，13－x }为y ＝x ＋3上A 点下方的射线，抛物线AB 之间的部分，线段BC ，与直线y ＝13－x 点C 下方的部分的组合图.显然，在区间[0，＋∞)上，在C 点时，y ＝min{x 2＋1，x ＋3，13－x }取得最大值.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋3，y ＝13－x 得点C (5，8).所以f (x )max ＝8.(2)作出f (x )的图象如图所示.当x >m 时，x 2－2mx ＋4m ＝(x －m )2＋4m －m 2. ∴要使方程f (x )＝b 有三个不同的根，则有4m －m 2<m ，即m 2－3m >0.又m >0，解得m>3.[答案](1)C(2)(3，＋∞)探究提高 1.第(1)题利用函数的图象求最值，避免分段函数的讨论；第(2)题把函数的零点或方程的根转化为两函数图象的交点问题，利用几何直观求解.2.探究方程解的问题应注意两点：(1)讨论方程的解(或函数的零点)一般可构造两个函数，使问题转化为讨论两曲线的交点问题.(2)正确作出两个函数的图象是解决此类问题的关键，数形结合应以快和准为原则，不要刻意去用数形结合.【训练4】若函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点，则实数b的取值范围是________. [解析]由f(x)＝|2x－2|－b有两个零点，可得|2x－2|＝b有两个不等的实根，从而可得函数y＝|2x－2|的图象与函数y＝b的图象有两个交点，如图所示.结合函数的图象，可得0＜b＜2.[答案](0，2)应用2 数形结合求解不等式与平面向量问题【例5】 (1)已知AB→⊥AC →，|AB →|＝1t ，|AC →|＝t ，若点P 是△ABC 所在平面内的一点，且AP →＝AB →|AB →|＋4AC →|AC →|，则PB →·PC→的最大值等于( )A.13B.15C.19D.21(2)(2018·西安调研)已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋2y ≥0，mx －y ≤0，x －2y ＋2≥0，若z ＝2x －y 的最大值为2，则实数m ＝( ) A.－1B.－2C.1D.2[解析] (1)以点A 为坐标原点，AB →，AC →的方向分别为x 轴，y 轴的正方向建立平面直角坐标系，如图所示.则有A (0，0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ，0，C (0，t )，由AP →＝AB →|AB →|＋4AC →|AC →|可知P (1，4)，那么PB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1t －1，－4，PC →＝(－1，t －4)， 故PB →·PC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1t －1，－4·(－1，t －4)＝－1t －4t ＋17≤－21t ·4t ＋17＝13.当且仅当1t ＝4t ，即t ＝12时等号成立.(2)将目标函数变形为y ＝2x －z ，当z 取最大值时，直线y ＝2x －z 在y 轴上的截距最小，故当m ≤12时，不满足题意.当m >12时，作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥0，mx －y ≤0，x －2y ＋2≥0表示的平面区域，如图阴影部分所示(含边界).y ＝2x －z 过点B 时，直线在y 轴上的截距最小，此时z ＝2x －y 取得最大值.易求点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫22m －1，2m 2m －1， ∴最大值为z ＝2×22m －1－2m 2m －1＝2，解得m ＝1. [答案] (1)A (2)C探究提高 1.平面向量中数形结合关注点：(1)能建系的优先根据目标条件建立适当的平面直角坐标系；(2)重视坐标运算、数量积及有关几何意义求解.2.求参数范围或解不等式问题经常联系函数的图象，根据不等式中量的特点，选择适当的两个(或多个)函数，利用两个函数图象的上、下位置关系转化为数量关系解决问题.【训练5】 (1)当x ∈(1，2)时，(x －1)2<log a x 恒成立，则实数a 的取值范围是________.(2)已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足(a－c)·(b－c)＝0，则|c|的最大值是()A.1B.2C. 2D.2 2[解析](1)由题意，易知a>1.在同一坐标系内作出y＝(x－1)2，x∈(1，2)及y＝log a x的图象.若y＝log a x过点(2，1)，得log a2＝1，所以a＝2.根据题意，函数y＝log a x，x∈(1，2)的图象恒在y＝(x－1)2，x∈(1，2)的上方. 结合图象，a的取值范围是(1，2].(2)因为(a－c)·(b－c)＝0，所以(a－c)⊥(b－c).如图所示，设OC→＝c，OA→＝a，OB→＝b，CA→＝a－c，CB→＝b－c，即AC→⊥BC→.又因为OA→⊥OB→，所以O，A，C，B四点共圆.当且仅当OC为圆的直径时，|c|最大，且最大值为 2.[答案](1)(1，2](2)C应用3 圆锥曲线中的数形结合思想【例6】 已知抛物线的方程为x 2＝8y ，点F 是其焦点，点A (－2，4)，在此抛物线上求一点P ，使△APF 的周长最小，此时点P 的坐标为________.[解析] 因为(－2)2<8×4，所以点A (－2，4)在抛物线x 2＝8y 的内部，如图，设抛物线的准线为l ，过点P 作PQ ⊥l 于点Q ，过点A 作AB ⊥l 于点B ，连接AQ .则△APF 的周长为|PF |＋|PA |＋|AF |＝|PQ |＋|PA |＋|AF |≥|AQ |＋|AF |≥|AB |＋|AF |，当且仅当P ，B ，A 三点共线时，△APF 的周长取得最小值，即|AB |＋|AF |. 因为A (－2，4)，所以不妨设△APF 的周长最小时，点P 的坐标为(－2，y 0)，代入x 2＝8y ，得y 0＝12，故使△APF 的周长最小的点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，12.[答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，12 探究提高 1.对于几何图形中的动态问题，应分析各个变量的变化过程，找出其中的相互关系求解.2.应用几何意义法解决问题需要熟悉常见的几何结构的代数形式，主要有：①比值——可考虑直线的斜率；②二元一次式——可考虑直线的截距；③根式分式——可考虑点到直线的距离；④根式——可考虑两点间的距离.【训练6】 (2018·江南名校联考)设A ，B 在圆x 2＋y 2＝1上运动，且|AB |＝3，点P 在直线l ：3x ＋4y －12＝0上运动，则|PA→＋PB →|的最小值为( ) A.3 B.4 C.175 D.195[解析] 设AB 的中点为D ，则PA→＋PB →＝2PD →， ∴当且仅当O ，D ，P 三点共线时，|PA→＋PB →|取得最小值，此时OP ⊥AB ，且OP ⊥l .∵圆心到直线l 的距离为129＋16＝125，|OD |＝1－34＝12， ∴|PA →＋PB →|的最小值为2×⎝ ⎛⎭⎪⎫125－12＝195. [答案] D。

专题一数学思想方法第一讲函数与方程思想1．函数与方程思想的含义(1)函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，是对函数概念的本质认识，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决．经常利用的性质是单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图象变换等．(2)方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决．方程的教学是对方程概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用方程或方程组的观点观察处理问题．方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系．2．函数与方程的思想在解题中的应用(1)函数与不等式的相互转化，对函数y＝f(x)，当y>0时，就化为不等式f(x)>0，借助于函数的图象和性质可解决有关问题，而研究函数的性质也离不开不等式．(2)数列的通项与前n项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点去处理数列问题十分重要．(3)解析几何中的许多问题，需要通过解二元方程组才能解决．这都涉及二次方程与二次函数的有关理论．(4)立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决，建立空间直角坐标系后，立体几何与函数的关系更加密切．1．(2013·陕西)在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300 m2的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x(单位：m)的取值范围是()A．[15,20] B．[12,25]C．[10,30] D．[20,30]答案 C解析 如图，△ADE ∽△ABC ，设矩形的另一边长为y ，则S △ADES △ABC＝⎝ ⎛⎭⎪⎫40－y 402＝⎝⎛⎭⎫x 402，所以y ＝40－x ，由题意知xy ≥300，即x (40－ x )≥300，整理得x 2－40x ＋300≤0，解不等式得10≤x ≤30. 2． (2013·课标全国Ⅱ)设a ＝log 36，b ＝log 510，c ＝log 714，则( )A ．c >b >aB ．b >c >aC ．a >c >bD ．a >b >c答案 D解析 设a ＝log 36＝1＋log 32＝1＋1log 23，b ＝log 510＝1＋log 52＝1＋1log 25，c ＝log 714＝1＋log 72＝1＋1log 27，显然a >b >c .3． (2012·浙江)设a >0，b >0，e 是自然对数的底数( )A ．若e a ＋2a ＝e b ＋3b ，则a >bB ．若e a ＋2a ＝e b ＋3b ，则a <bC ．若e a －2a ＝e b －3b ，则a >bD ．若e a －2a ＝e b －3b ，则a <b 答案 A解析 当0<a ≤b 时，显然e a ≤e b ，且2a ≤2b <3b ， ∴e a ＋2a <e b ＋3b ，即e a ＋2a ≠e b ＋3b 成立， 所以它的逆否命题：若e a ＋2a ＝e b ＋3b ， 则a >b 成立，故A 正确，B 错误； 当0<a ≤b ，由e a ≤e b ，2a <3b ， 知e a －2a 与e b －3b 的大小关系不确定， 故C 错误；同理，D 错误．4． (2013·北京)若等比数列{a n }满足a 2＋a 4＝20，a 3＋a 5＝40，则公比q ＝________；前n项和S n ＝________. 答案 2 2n ＋1－2解析 设等比数列的公比为q ，由a 2＋a 4＝20，a 3＋a 5＝40.∴20q ＝40，且a 1q ＋a 1q 3＝20，解之得q ＝2，且a 1＝2.因此S n ＝a 1(1－q n )1－q＝2n ＋1－2.5． (2013·安徽)已知直线y ＝a 交抛物线y ＝x 2于A ，B 两点．若该抛物线上存在点C ，使得∠ACB 为直角，则a 的取值范围为________． 答案 [1，＋∞)解析 以AB 为直径的圆的方程为x 2＋(y －a )2＝a ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2x 2＋(y －a )2＝a 得y 2＋(1－2a )y ＋a 2－a ＝0. 即(y －a )[y －(a －1)]＝0，则由题意得⎩⎨⎧a >0a －1≥0，解得a ≥1.题型一 利用函数与方程思想求解最值、范围问题例1 (1)设直线x ＝t 与函数f (x )＝x 2，g (x )＝ln x 的图象分别交于点M 、N ，则当|MN |达到最小时t 的值为( )A ．1B.12C.52D.22(2)若a ，b 是正数，且满足ab ＝a ＋b ＋3，则ab 的取值范围为________．审题破题 (1)由题意可知|MN |＝f (x )－g (x )＝x 2－ln x ，因此该问题可转化为：求x 为何值时，函数F (x )＝x 2－ln x 取得最小值．(2)由ab ＝a ＋b ＋3变形可得b ＝a ＋3a －1，从而求ab ＝a (a ＋3)a －1的取值范围问题可转化为求函数f (a )＝a (a ＋3)a －1的值域问题；若设ab ＝t ，则a ＋b ＝t －3，从而a ，b 可看成方程x 2－(t －3)x ＋t ＝0的两根，利用方程的思想解决． 答案 (1)D (2)[9，＋∞)解析 (1)可知|MN |＝f (x )－g (x )＝x 2－ln x .令F (x )＝x 2－ln x ，则F ′(x )＝2x －1x ＝2x 2－1x，所以当0<x <22时，F ′(x )<0，F (x )单调递减；当x >22时，F ′(x )>0，F (x )单调递增，故当x ＝22时，F (x )有最小值，即|MN |达到最小．(2)方法一 (看成函数的值域) ∵ab ＝a ＋b ＋3，a ≠1，∴b ＝a ＋3a －1.而b >0，∴a ＋3a －1>0.即a >1或a <－3，又a >0，∴a >1，故a －1>0.∴ab ＝a ·a ＋3a －1＝(a －1)2＋5(a －1)＋4a －1＝(a －1)＋4a －1＋5≥9.当且仅当a －1＝4a －1，即a ＝3时取等号．∴ab 的取值范围是[9，＋∞)． 方法二 若设ab ＝t ，则a ＋b ＝t －3，所以a ，b 可看成方程x 2－(t －3)x ＋t ＝0的两个正根．从而有⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝(t －3)2－4t ≥0，a ＋b ＝t －3>0，ab ＝t >0，即⎩⎪⎨⎪⎧t ≤1或t ≥9，t >3，t >0，解得t ≥9，即ab ≥9.所以ab 的取值范围是[9，＋∞)．反思归纳 (1)求参数的取值范围，一般有两种途径：其一，充分挖掘题设条件中的不等关系，构建以待求字母为元的不等式(组)求解；其二，充分应用题设中的等量关系，将待求参数表示成其他变量的函数，然后，应用函数知识求值域．(2)当问题中出现多个变量时，往往要利用等量关系减少变量的个数，如果最后能把其中一个变量表示成关于另一个变量的表达式，那么就可用研究函数的方法将问题解决．变式训练1 若点O 和点F (－2,0)分别是双曲线x 2a2－y 2＝1 (a >0)的中心和左焦点，点P 为双曲线右支上的任意一点，则OP →·FP →的取值范围为( )A ．[3－23，＋∞)B ．[3＋23，＋∞)C.⎣⎡⎭⎫－74，＋∞D ．⎣⎡⎭⎫74，＋∞答案 B解析 因为F (－2,0)是已知双曲线的左焦点，所以a 2＋1＝4，即a 2＝3，所以双曲线方程为x 23－y 2＝1.设点P (x 0，y 0)，则有x 203－y 20＝1 (x 0≥3)，解得y 20＝x 23－1 (x 0≥3)，因为FP→＝(x 0＋2，y 0)，OP →＝(x 0，y 0)，所以OP →·FP →＝x 0(x 0＋2)＋y 20＝x 0(x 0＋2)＋x 203－1＝4x 203＋2x 0－1，此二次函数对应的抛物线的对称轴为直线x 0＝－34，因为x 0≥3，所以当x 0＝3时，OP →·FP →取得最小值43×3＋23－1＝3＋23，故OP →·FP →的取值范围是[3＋23，＋∞)．题型二 利用函数与方程思想研究方程根的问题例2 如果方程cos 2x －sin x ＋a ＝0在(0，π2]上有解，求a 的取值范围．审题破题 可分离变量为a ＝－cos 2x ＋sin x ，转化为确定的相关函数的值域．解 方法一 设f (x )＝－cos 2x ＋sin x (x ∈(0，π2])．显然当且仅当a 属于f (x )的值域时，a ＝f (x )有解．∵f (x )＝－(1－sin 2x )＋sin x ＝(sin x ＋12)2－54，且由x ∈(0，π2]知sin x ∈(0,1]．易求得f (x )的值域为(－1,1]． 故a 的取值范围是(－1,1]．方法二 令t ＝sin x ，由x ∈(0，π2]，可得t ∈(0,1]．将方程变为t 2＋t －1－a ＝0. 依题意，该方程在(0,1]上有解． 设f (t )＝t 2＋t －1－a .其图象是开口向上的抛物线，对称轴t ＝－12，如图所示．因此f (t )＝0在(0,1]上有解等价于⎩⎪⎨⎪⎧f (0)<0f (1)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧－1－a <01－a ≥0，∴－1<a ≤1.故a 的取值范围是(－1,1]． 反思归纳 研究此类含参数的三角、指数、对数等复杂方程解的问题，通常有两种处理思路：一是分离参数构建函数，将方程有解转化为求函数的值域；二是换元，将复杂方程问题转化为熟悉的二次方程，进而利用二次方程解的分布情况构建不等式或构造函数加以解决．变式训练2 已知方程9x －2·3x ＋(3k －1)＝0有两个实根，求实数k 的取值范围．解 令3x ＝t ，则方程化为t 2－2t ＋(3k －1)＝0；(*) 要使原方程有两个实根，方程(*)必须有两个正根，∴⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝(－2)2－4(3k －1)≥0，t 1·t 2＝3k －1>0，t 1＋t 2＝2>0，解得13<k ≤23.故实数k 的取值范围是⎝⎛⎦⎤13，23.题型三 利用函数与方程思想求解不等式问题例3 已知f (t )＝log 2t ，t ∈[2，8]，对于f (t )值域内的所有实数m ，不等式x 2＋mx ＋4>2m＋4x 恒成立，求x 的取值范围．审题破题 本题可先求出m 的范围，不等式x 2＋mx ＋4>2m ＋4x 恒成立可转化为函数g (m )＝m (x －2)＋(x －2)2的值恒大于0.解 ∵t ∈[2，8]，∴f (t )∈⎣⎡⎦⎤12，3.原题转化为当m ∈⎣⎡⎦⎤12，3时，不等式x 2＋mx ＋4>2m ＋4x 恒成立，即m (x －2)＋(x －2)2>0恒成立．令g (m )＝m (x －2)＋(x －2)2，m ∈⎣⎡⎦⎤12，3， 问题转化为g (m )在m ∈⎣⎡⎦⎤12，3上恒大于0， 则⎩⎪⎨⎪⎧ g ⎝⎛⎭⎫12>0，g (3)>0， 即⎩⎪⎨⎪⎧12(x －2)＋(x －2)2>0，3(x －2)＋(x －2)2>0.解得x >2或x <－1.反思归纳 在解决不等式问题时，一种最重要的思想方法就是构造适当的函数利用函数的图象和性质解决问题．同时要注意在一个含多个变量的数学问题中，需要确定合适的变量和参数，从而揭示函数关系，使问题更明朗化．一般地，已知存在范围的量为变量，而待求范围的量为参数．变式训练3 设不等式2x －1>m (x －1)对满足|m |≤2的一切实数m 的取值都成立，则x 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫0，34 B ．(2，＋∞) C.⎝⎛⎭⎫34，＋∞D ．(－∞，2)答案 C解析 原不等式即(x －1)m －(2x －1)<0，设f (m )＝(x －1)m －(2x －1)，则问题转化为求一次函数f (m )的值在区间[－2,2]内恒为负时应满足的条件，得⎩⎪⎨⎪⎧ f (2)<0，f (－2)<0，即⎩⎪⎨⎪⎧2(x －1)－(2x －1)<0，－2(x －1)－(2x －1)<0，解得x >34.题型四 利用函数与方程思想解决数列问题例4 设数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝n 2－4n ＋4.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝a n 2n ，数列{b n }的前n 项和为T n ，求证：14≤T n <1.审题破题 可将T n 看作关于自然数n 的函数，通过函数的单调性来证明不等式． (1)解 当n ＝1时，a 1＝S 1＝1.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－4n ＋4－[(n －1)2－4(n －1)＋4]＝2n －5. ∵a 1＝1不适合上式，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1， n ＝12n －5， n ≥2.(2)证明 由题意知b n ＝a n2n ＝⎩⎪⎨⎪⎧12， n ＝12n －52n， n ≥2.当n ＝1时，T 1＝12，当n ≥2时，T n ＝12＋－122＋123＋…＋2n －52n ，① 12T n ＝122＋－123＋124＋…＋2n －72n ＋2n －52n ＋1，②①－②得：12T n ＝12－222＋2⎝⎛⎭⎫123＋…＋12n －2n －52n ＋1 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n －2－2n －52n ＋1， ∴T n ＝1－2n －12n (n ≥2)，当n ＝1时也适合上式．故T n ＝1－2n －12n (n ∈N *)．∵2n －12n >0 (n ∈N *)，∴T n <1.当n ≥2时，T n ＋1－T n ＝⎝⎛⎭⎪⎫1－2n ＋12n ＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2n －12n＝2n －32n ＋1>0，∴T n <T n ＋1 (n ≥2)． ∵T 1＝12，T 2＝1－34＝14，∴T 2<T 1.故T n ≥T 2，即T n ≥14(n ∈N *)．综上，14≤T n <1 (n ∈N *)．反思归纳 (1)数列的本质是定义域为正整数集或其有限子集的函数，数列的通项公式即为相应的解析式，因此在解决数列问题时，应注意用函数的思想求解．(2)数列不等式问题，可以通过变形、整理，转化为数列所对应的函数的单调性问题解决．变式训练4 (2012·浙江)设S n 是公差为d (d ≠0)的无穷等差数列{a n }的前n 项和，则下列命题错误．．的是( )A ．若d <0，则数列{S n }有最大项B ．若数列{S n }有最大项，则d <0C ．若数列{S n }是递增数列，则对任意n ∈N *，均有S n >0D ．若对任意n ∈N *，均有S n >0，则数列{S n }是递增数列 答案 C解析 设{a n }的首项为a 1，则S n ＝na 1＋12n (n －1)d ＝d2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n . 由二次函数性质知S n 有最大值时，则d <0，故A 、B 正确；因为{S n }为递增数列，则d >0，不妨设a 1＝－1，d ＝2，显然{S n }是递增数列，但S 1＝－1<0，故C 错误；对任意n ∈N *，S n 均大于0时，a 1>0，d >0，{S n }必是递增数列，D 正确．典例 (14分)(2012·北京)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个顶点为A (2,0)，离心率为22.直线y ＝k (x －1)与椭圆C 交于不同的两点M ，N . (1)求椭圆C 的方程． (2)当△AMN 的面积为103时，求k 的值． 规范解答解 (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c a ＝22，a 2＝b 2＋c 2，解得b ＝ 2.所以椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1.[4分](2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，x 24＋y 22＝1得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2－4＝0.[5分]设点M ，N 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则y 1＝k (x 1－1)，y 2＝k (x 2－1)，x 1＋x 2＝4k 21＋2k 2， x 1x 2＝2k 2－41＋2k 2.[8分]所以|MN |＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝2(1＋k 2)(4＋6k 2)1＋2k 2.[10分]又因为点A (2,0)到直线y ＝k (x －1)的距离d ＝|k |1＋k2，所以△AMN 的面积为S ＝12|MN |·d ＝|k |4＋6k 21＋2k 2.[12分] 由|k |4＋6k 21＋2k 2＝103，解得k ＝±1.∴k 的值为1或－1.[14分] 评分细则 (1)不列方程没有a 2＝b 2＋c 2，扣1分；(2)求|MN |时直接使用弦长公式没有中间变形，扣1分；(3)最后结论不写不扣分．阅卷老师提醒 (1)本题易错点：不会整合题目条件，没有列出方程求b 、c ；运算能力较差，用弦长表示面积出现计算错误；(2)阅卷中发现考生的快捷解法：直线y ＝k (x －1)过定点T (1,0)，则S △AMN ＝12·|AT |·|y 1－y 2|，大大简化运算过程．1． 在正实数集上定义一种运算“*”：当a ≥b 时，a *b ＝b 3；当a <b 时，a *b ＝b 2，则满足3*x =27的x 的值为( )A ．3B ．1或9C ．1或 2D ．3或3 3答案 D解析 由题意得⎩⎨⎧ x ≤3x 3＝27或⎩⎨⎧x >3x 2＝27，解得x ＝3或3 3.2． (2012·课标全国)设F 1，F 2是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左，右焦点，P 为直线x ＝3a2上一点，△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为( )A.12B.23C.34D.45 答案 C解析 由题意，知∠F 2F 1P ＝∠F 2PF 1＝30°，∴∠PF 2x ＝60°.∴|PF 2|＝2×⎝⎛⎭⎫32a －c ＝3a －2c . ∵|F 1F 2|＝2c ，|F 1F 2|＝|PF 2|，∴3a －2c ＝2c ，∴e ＝c a ＝34.3． 方程x 2－32x －m ＝0在x ∈[－1,1]上有实根，则m 的取值范围是( )A ．m ≤－916B ．－916<m <52C ．m ≥52D ．－916≤m ≤52答案 D解析 m ＝x 2－32x ＝⎝⎛⎭⎫x －342－916，x ∈[－1,1]． 当x ＝－1时，m 取最大值为52，当x ＝34时，m 取最小值为－916，∴－916≤m ≤52.4． 已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫13x ，等比数列{a n }的前n 项和为f (n )－c ，则a n 的最小值为( )A ．－1B ．1 C.23 D ．－23 答案 D解析 由题设，得a 1＝f (1)－c ＝13－c ； a 2＝[f (2)－c ]－[f (1)－c ]＝－29； a 3＝[f (3)－c ]－[f (2)－c ]＝－227， 又数列{a n }是等比数列，∴⎝⎛⎭⎫－292＝⎝⎛⎭⎫13－c ×⎝⎛⎭⎫－227，∴c ＝1. 又∵公比q ＝a 3a 2＝13， 所以a n ＝－23⎝⎛⎭⎫13n －1＝－2⎝⎛⎭⎫13n ，n ∈N *. 因此，数列{a n }是递增数列，∴n ＝1时，a n 有最小值a 1＝－23. 5． 对于满足0≤p ≤4的实数p ，使x 2＋px >4x ＋p －3恒成立的x 的取值范围是__________．答案 (－∞，－1)∪(3，＋∞)解析 x 2＋px >4x ＋p －3对于0≤p ≤4恒成立可以变形为x 2－4x ＋3＋p (x －1)>0对于0≤p ≤4恒成立，所以一次函数f (p )＝(x －1)p ＋x 2－4x ＋3在区间[0,4]上的最小值大于0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3>0x 2－1>0， 所以x 的取值范围是(－∞，－1)∪(3，＋∞)．6． 设f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当x <0时，f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )>0，且g (－3)＝0，则不等式f (x )g (x )<0的解集是________．答案 (－∞，－3)∪(0,3)解析 设F (x )＝f (x )g (x )，由于f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，得F (－x )＝f (－x )·g (－x )＝－f (x )g (x )＝－F (x )，即F (x )为奇函数．又当x <0时，F ′(x )＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )>0，所以x <0时，F (x )为增函数．因为奇函数在对称区间上的单调性相同，所以x >0时，F (x )也是增函数．因为F (－3)＝f (－3)g (－3)＝0＝－F (3)．所以F (x )<0的解集是(－∞，－3)∪(0,3)(草图如图所示)．专题限时规范训练一、选择题1． 函数f (x )的定义域为R ，f (－1)＝2，对任意x ∈R ，f ′(x )>2，则f (x )>2x ＋4的解集为( )A ．(－1,1)B ．(－1，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．(－∞，＋∞) 答案 B解析 设φ(x )＝f (x )－(2x ＋4)，则φ′(x )＝f ′(x )－2>0，∴φ(x )在R 上为增函数，又φ(－1)＝f (－1)－(－2＋4)＝0，∴由φ(x )>0可得x >－1.故f (x )>2x ＋4的解集为(－1，＋∞)．2． 若函数f (x )、g (x )分别为R 上的奇函数、偶函数，且满足f (x )－g (x )＝e x ，则有 ( )A ．f (2)<f (3)<g (0)B ．g (0)<f (3)<f (2)C ．f (2)<g (0)<f (3)D ．g (0)<f (2)<f (3) 答案 D解析 由题意得f (x )－g (x )＝e x ，f (－x )－g (－x )＝e －x ，即－f (x )－g (x )＝e －x ，由此解得f (x )＝e x －e －x 2，g (x )＝－e x ＋e －x 2，g (0)＝－1，函数f (x )＝e x －e －x 2在R 上是增函数，且f (3)>f (2)＝e 2－e －22>0，因此g (0)<f (2)<f (3)，选D. 3． 设函数D (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1，x 为有理数，0，x 为无理数，则下列结论错误的是 ( )A ．D (x )的值域为{0,1}B ．D (x )是偶函数C ．D (x )不是周期函数D ．D (x )不是单调函数答案 C 解析 利用函数的单调性、奇偶性、周期性定义判断可得．由已知条件可知，D (x )的值域是{0,1}，选项A 正确；当x 是有理数时，－x 也是有理数，且D (－x )＝1，D (x )＝1，故D (－x )＝D (x )，当x 是无理数时，－x 也是无理数，且D (－x )＝0，D (x )＝0，即D (－x )＝D (x )，故D (x )是偶函数，选项B 正确；当x 是有理数时，对于任一非零有理数a ，x ＋a 是有理数，且D (x ＋a )＝1＝D (x )， 当x 是无理数时，对于任一非零有理数b ，x ＋b 是无理数，所以D (x ＋b )＝D (x )＝0，故D (x )是周期函数，但不存在最小正周期，选项C 不正确； 由实数的连续性易知，不存在区间I ，使D (x )在区间I 上是增函数或减函数，故D (x )不是单调函数，选项D 正确．4． 等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且4a 1,2a 2，a 3成等差数列，若a 1＝1，则S 4等于( )A ．7B ．8C ．15D ．16 答案 C解析 设等比数列{a n }的公比为q ，则由4a 1,2a 2，a 3成等差数列，得4a 2＝4a 1＋a 3. ∴4a 1q ＝4a 1＋a 1q 2.∴q 2－4q ＋4＝0.∴q ＝2，∴S 4＝a 1(1－q 4)1－q＝15. 5． (2012·陕西)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，若a 2＋b 2＝2c 2，则cos C 的最小值为( ) A.32 B.22C.12 D ．－12 答案 C解析 ∵cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝c 22ab， 又∵a 2＋b 2≥2ab ，∴2ab ≤2c 2.∴cos C ≥12.∴cos C 的最小值为12. 6． 若a >1，则双曲线x 2a 2－y 2(a ＋1)2＝1的离心率e 的取值范围是 ( ) A ．(1，2) B ．(2，5) C ．[2，5]D ．(3，5) 答案 B解析 e 2＝⎝⎛⎭⎫c a 2＝a 2＋(a ＋1)2a 2＝1＋⎝⎛⎭⎫1＋1a 2，因为当a >1时，0<1a<1，所以2<e 2<5，即2<e < 5.7． 设函数f (x )＝x 3＋sin x ，若0≤θ≤π2时，f (m cos θ)＋f (1－m )>0恒成立，则实数m 的取值范围是( ) A ．(0,1)B ．(－∞，0)C ．(－∞，1)D.⎝⎛⎭⎫－∞，12 答案 C 解析 易知f (x )为奇函数且为增函数，f (m cos θ)＋f (1－m )>0，即f (m cos θ)>f (m －1)，∴m cos θ>m －1，而0≤θ≤π2时，cos θ∈[0,1]，∴⎩⎪⎨⎪⎧m >m －1，0>m －1得m <1. 8． 若不等式ax －1x ＋b >0的解集为{x |－1<x <2}，则不等式bx ＋1ax ＋1<0的解集是 ( )A ．{x |12<x <1} B ．{x |x <12或x >2} C ．{x |－12<x <1} D ．{x |x <－1或x >2} 答案 A解析 ax －1x ＋b>0⇔(ax －1)(x ＋b )>0， 转化为x 1＝－1，x 2＝2是方程(ax －1)(x ＋b )＝0的两个根(且a <0)，即⎩⎪⎨⎪⎧ (－a －1)(－1＋b )＝0(2a －1)(2＋b )＝0 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1b ＝－2，∴bx ＋1ax ＋1＝－2x ＋1－x ＋1<0⇒12<x <1.故选A. 二、填空题9． 若关于x 的方程(2－2－|x －2|)2＝2＋a 有实根，则实数a 的取值范围是________．答案 [－1,2)解析 令f (x )＝(2－2－|x －2|)2.要使f (x )＝2＋a 有实根，只需2＋a 是f (x )的值域内的值．∵f (x )的值域为[1,4)，∴1≤a ＋2<4，∴－1≤a <2.10．已知圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0关于直线2ax －by ＋2＝0(a ，b ∈R )对称，则ab 的取值范围是____________．答案 (－∞，14] 解析 圆心坐标为(－1,2)，因为圆关于直线对称，所以－2a －2b ＋2＝0即a ＋b －1＝0，∴ab ＝a (1－a )＝－a 2＋a ＝－(a －12)2＋14≤14. 11．已知△ABC 的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则△ABC 的面积为________．答案 15 3解析 由于三边长构成公差为4的等差数列，故可设三边长分别为x －4，x ，x ＋4. 由一个内角为120°知其必是最长边x ＋4所对的角．由余弦定理得(x ＋4)2＝x 2＋(x －4)2－2x (x －4)cos 120°，∴2x 2－20x ＝0，∴x ＝0(舍去)或x ＝10.∴S △ABC ＝12×(10－4)×10×sin 120°＝15 3.12．已知数列{a n }是递增数列，且对于任意的n ∈N *，a n ＝n 2＋λn 恒成立，则实数λ的取值范围是________．答案 λ＞－3解析 由{a n }是递增数列，得a n ＜a n ＋1对n ∈N *恒成立，即n 2＋λn ＜(n ＋1)2＋λ(n ＋1)， 整理得λ＞－(2n ＋1)．而－(2n ＋1)≤－3，所以λ＞－3.三、解答题13．已知函数f (x )＝ax 2＋ax 和g (x )＝x －a ，其中a ∈R ，且a ≠0.若函数f (x )与g (x )的图象相交于不同的两点A 、B ，O 为坐标原点，试求△OAB 的面积S 的最大值．解 依题意，f (x )＝g (x )，即ax 2＋ax ＝x －a ，整理得ax 2＋(a －1)x ＋a ＝0， ① ∵a ≠0，函数f (x )与g (x )的图象相交于不同的两点A 、B ，∴Δ>0，即Δ＝(a －1)2－4a 2＝－3a 2－2a ＋1＝(3a －1)·(－a －1)>0，∴－1<a <13且a ≠0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，且x 1<x 2，由①得x 1x 2＝1>0，x 1＋x 2＝－a －1a. 设点O 到直线g (x )＝x －a 的距离为d ，则d ＝|－a |2， ∴S ＝121＋12|x 1－x 2|·|－a |2＝12－3a 2－2a ＋1 ＝12 －3⎝⎛⎭⎫a ＋132＋43. ∵－1<a <13且a ≠0， ∴当a ＝－13时，S 取得最大值33. 14．椭圆C 的中心为坐标原点O ，焦点在y 轴上，短轴长为2，离心率为22，直线l 与y 轴交于点P (0，m )，与椭圆C 交于相异两点A ，B ，且AP →＝3PB →.(1)求椭圆C 的方程；(2)求m 的取值范围． 解 (1)设椭圆C 的方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)， 设c >0，c 2＝a 2－b 2， 由题意，知2b ＝2，c a ＝22，所以a ＝1，b ＝c ＝22.故椭圆C 的方程为y 2＋x 212＝1，即y 2＋2x 2＝1. (2)设直线l 的方程为y ＝kx ＋m (k ≠0)，l 与椭圆C 的交点坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，2x 2＋y 2＝1，得(k 2＋2)x 2＋2kmx ＋m 2－1＝0， Δ＝(2km )2－4(k 2＋2)(m 2－1)＝4(k 2－2m 2＋2)>0，(*)x 1＋x 2＝－2km k 2＋2，x 1x 2＝m 2－1k 2＋2. 因为AP →＝3PB →，所以－x 1＝3x 2， 所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－2x 2，x 1x 2＝－3x 22.所以3(x 1＋x 2)2＋4x 1x 2＝0. 所以3·⎝ ⎛⎭⎪⎫－2km k 2＋22＋4·m 2－1k 2＋2＝0. 整理得4k 2m 2＋2m 2－k 2－2＝0，即k 2(4m 2－1)＋(2m 2－2)＝0.当m 2＝14时，上式不成立； 当m 2≠14时，k 2＝2－2m 24m 2－1， 由(*)式，得k 2>2m 2－2，又k ≠0，所以k 2＝2－2m 24m 2－1>0. 解得－1<m <－12或12<m <1. 即所求m 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－1，－12∪⎝⎛⎭⎫12，1.。

专题一数学思想方法第一讲函数与方程思想1．函数与方程思想的含义(1)函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，是对函数概念的本质认识，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决．经常利用的性质是单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图象变换等．(2)方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决．方程的教学是对方程概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用方程或方程组的观点观察处理问题．方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系．2．函数与方程的思想在解题中的应用(1)函数与不等式的相互转化，对函数y＝f(x)，当y>0时，就化为不等式f(x)>0，借助于函数的图象和性质可解决有关问题，而研究函数的性质也离不开不等式．(2)数列的通项与前n项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点去处理数列问题十分重要．(3)解析几何中的许多问题，需要通过解二元方程组才能解决．这都涉及二次方程与二次函数的有关理论．(4)立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决，建立空间直角坐标系后，立体几何与函数的关系更加密切．1．(2013·陕西)在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300 m2的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x(单位：m)的取值范围是()A．[15,20] B．[12,25]C．[10,30] D．[20,30]答案 C解析 如图，△ADE ∽△ABC ，设矩形的另一边长为y ，则S △ADES △ABC＝⎝ ⎛⎭⎪⎫40－y 402＝⎝⎛⎭⎫x 402，所以y ＝40－x ，由题意知xy ≥300，即x (40－ x )≥300，整理得x 2－40x ＋300≤0，解不等式得10≤x ≤30.2． (2012·课标全国)设点P 在曲线y ＝12e x 上，点Q 在曲线y ＝ln(2x )上，则|PQ |的最小值为( )A ．1－ln 2B ．2(1－ln 2)C ．1＋ln 2D ．2(1＋ln 2)答案 B解析 由题意知函数y ＝12e x 与y ＝ln(2x )互为反函数，其图象关于直线y ＝x 对称，两曲线上点之间的最小距离就是y ＝x 与y ＝12e x 上点的最小距离的2倍，设y ＝12e x 上点(x 0，y 0)处的切线与y ＝x 平行，有12e x0＝1，x 0＝ln 2，y 0＝1，∴y ＝x 与y ＝12e x 上点的最小距离是22(1－ln 2)，∴所求距离为22(1－ln 2)×2＝2(1－ln 2)．3． (2012·浙江)设a >0，b >0，e 是自然对数的底数( )A ．若e a ＋2a ＝e b ＋3b ，则a >bB ．若e a ＋2a ＝e b ＋3b ，则a <bC ．若e a －2a ＝e b －3b ，则a >bD ．若e a －2a ＝e b －3b ，则a <b 答案 A解析 当0<a ≤b 时，显然e a ≤e b ，且2a ≤2b <3b ， ∴e a ＋2a <e b ＋3b ，即e a ＋2a ≠e b ＋3b 成立， 所以它的逆否命题：若e a ＋2a ＝e b ＋3b ， 则a >b 成立，故A 正确，B 错误； 当0<a ≤b ，由e a ≤e b ，2a <3b ， 知e a －2a 与e b －3b 的大小关系不确定， 故C 错误；同理，D 错误．4． (2013·北京)若等比数列{a n }满足a 2＋a 4＝20，a 3＋a 5＝40，则公比q ＝________；前n项和S n ＝________. 答案 2 2n ＋1－2解析 设等比数列的公比为q ，由a 2＋a 4＝20，a 3＋a 5＝40.∴20q ＝40，且a 1q ＋a 1q 3＝20，解之得q ＝2，且a 1＝2.因此S n ＝a 1(1－q n )1－q＝2n ＋1－2.5． (2013·安徽)已知直线y ＝a 交抛物线y ＝x 2于A ，B 两点．若该抛物线上存在点C ，使得∠ACB 为直角，则a 的取值范围为________． 答案 [1，＋∞)解析 以AB 为直径的圆的方程为x 2＋(y －a )2＝a ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2x 2＋(y －a )2＝a得y 2＋(1－2a )y ＋a 2－a ＝0.即(y －a )[y －(a －1)]＝0，则由题意得⎩⎨⎧a >0a －1≥0，解得a ≥1.题型一 利用函数与方程思想求解最值、范围问题例1 (1)设直线x ＝t 与函数f (x )＝x 2，g (x )＝ln x 的图象分别交于点M 、N ，则当|MN |达到最小时t 的值为( )A ．1B.12C.52D.22(2)若a ，b 是正数，且满足ab ＝a ＋b ＋3，则ab 的取值范围为________．审题破题 (1)由题意可知|MN |＝f (x )－g (x )＝x 2－ln x ，因此该问题可转化为：求x 为何值时，函数F (x )＝x 2－ln x 取得最小值．(2)由ab ＝a ＋b ＋3变形可得b ＝a ＋3a －1，从而求ab ＝a (a ＋3)a －1的取值范围问题可转化为求函数f (a )＝a (a ＋3)a －1的值域问题；若设ab ＝t ，则a ＋b ＝t －3，从而a ，b 可看成方程x 2－(t －3)x ＋t ＝0的两根，利用方程的思想解决． 答案 (1)D (2)[9，＋∞)解析 (1)可知|MN |＝f (x )－g (x )＝x 2－ln x .令F (x )＝x 2－ln x ，则F ′(x )＝2x －1x ＝2x 2－1x，所以当0<x <22时，F ′(x )<0，F (x )单调递减；当x >22时，F ′(x )>0，F (x )单调递增，故当x ＝22时，F (x )有最小值，即|MN |达到最小．(2)方法一 (看成函数的值域)∵ab ＝a ＋b ＋3，a ≠1，∴b ＝a ＋3a －1.而b >0，∴a ＋3a －1>0.即a >1或a <－3，又a >0，∴a >1，故a －1>0.∴ab ＝a ·a ＋3a －1＝(a －1)2＋5(a －1)＋4a －1＝(a －1)＋4a －1＋5≥9.当且仅当a －1＝4a －1，即a ＝3时取等号．∴ab 的取值范围是[9，＋∞)． 方法二 若设ab ＝t ，则a ＋b ＝t －3，所以a ，b 可看成方程x 2－(t －3)x ＋t ＝0的两个正根．从而有⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝(t －3)2－4t ≥0，a ＋b ＝t －3>0，ab ＝t >0，即⎩⎪⎨⎪⎧t ≤1或t ≥9，t >3，t >0，解得t ≥9，即ab ≥9.所以ab 的取值范围是[9，＋∞)．反思归纳 (1)求参数的取值范围，一般有两种途径：其一，充分挖掘题设条件中的不等关系，构建以待求字母为元的不等式(组)求解；其二，充分应用题设中的等量关系，将待求参数表示成其他变量的函数，然后，应用函数知识求值域．(2)当问题中出现多个变量时，往往要利用等量关系减少变量的个数，如果最后能把其中一个变量表示成关于另一个变量的表达式，那么就可用研究函数的方法将问题解决．变式训练1 若点O 和点F (－2,0)分别是双曲线x 2a2－y 2＝1 (a >0)的中心和左焦点，点P 为双曲线右支上的任意一点，则OP →·FP →的取值范围为( )A ．[3－23，＋∞)B ．[3＋23，＋∞)C.⎣⎡⎭⎫－74，＋∞D ．⎣⎡⎭⎫74，＋∞答案 B解析 因为F (－2,0)是已知双曲线的左焦点，所以a 2＋1＝4，即a 2＝3，所以双曲线方程为x 23－y 2＝1.设点P (x 0，y 0)，则有x 203－y 20＝1 (x 0≥3)，解得y 20＝x 23－1 (x 0≥3)，因为FP→＝(x 0＋2，y 0)，OP →＝(x 0，y 0)，所以OP →·FP →＝x 0(x 0＋2)＋y 20＝x 0(x 0＋2)＋x 203－1＝4x 203＋2x 0－1，此二次函数对应的抛物线的对称轴为直线x 0＝－34，因为x 0≥3，所以当x 0＝3时，OP →·FP →取得最小值43×3＋23－1＝3＋23，故OP →·FP →的取值范围是[3＋23，＋∞)．题型二 利用函数与方程思想研究方程根的问题例2 如果方程cos 2x －sin x ＋a ＝0在(0，π2]上有解，求a 的取值范围．审题破题 可分离变量为a ＝－cos 2x ＋sin x ，转化为确定的相关函数的值域．解 方法一 设f (x )＝－cos 2x ＋sin x (x ∈(0，π2])．显然当且仅当a 属于f (x )的值域时，a ＝f (x )有解．∵f (x )＝－(1－sin 2x )＋sin x ＝(sin x ＋12)2－54，且由x ∈(0，π2]知sin x ∈(0,1]．易求得f (x )的值域为(－1,1]． 故a 的取值范围是(－1,1]．方法二 令t ＝sin x ，由x ∈(0，π2]，可得t ∈(0,1]．将方程变为t 2＋t －1－a ＝0. 依题意，该方程在(0,1]上有解． 设f (t )＝t 2＋t －1－a .其图象是开口向上的抛物线，对称轴t ＝－12，如图所示．因此f (t )＝0在(0,1]上有解等价于⎩⎪⎨⎪⎧f (0)<0f (1)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧－1－a <01－a ≥0，∴－1<a ≤1.故a 的取值范围是(－1,1]． 反思归纳 研究此类含参数的三角、指数、对数等复杂方程解的问题，通常有两种处理思路：一是分离参数构建函数，将方程有解转化为求函数的值域；二是换元，将复杂方程问题转化为熟悉的二次方程，进而利用二次方程解的分布情况构建不等式或构造函数加以解决．变式训练2 已知方程9x －2·3x ＋(3k －1)＝0有两个实根，求实数k 的取值范围．解 令3x ＝t ，则方程化为t 2－2t ＋(3k －1)＝0；(*)要使原方程有两个实根，方程(*)必须有两个正根，∴⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝(－2)2－4(3k －1)≥0，t 1·t 2＝3k －1>0，t 1＋t 2＝2>0，解得13<k ≤23.故实数k 的取值范围是⎝⎛⎦⎤13，23.题型三 利用函数与方程思想求解不等式问题例3 已知f (t )＝log 2t ，t ∈[2，8]，对于f (t )值域内的所有实数m ，不等式x 2＋mx ＋4>2m＋4x 恒成立，求x 的取值范围．审题破题 本题可先求出m 的范围，不等式x 2＋mx ＋4>2m ＋4x 恒成立可转化为函数g (m )＝m (x －2)＋(x －2)2的值恒大于0.解 ∵t ∈[2，8]，∴f (t )∈⎣⎡⎦⎤12，3.原题转化为当m ∈⎣⎡⎦⎤12，3时，不等式x 2＋mx ＋4>2m ＋4x 恒成立，即m (x －2)＋(x －2)2>0恒成立．令g (m )＝m (x －2)＋(x －2)2，m ∈⎣⎡⎦⎤12，3， 问题转化为g (m )在m ∈⎣⎡⎦⎤12，3上恒大于0， 则⎩⎪⎨⎪⎧ g ⎝⎛⎭⎫12>0，g (3)>0， 即⎩⎪⎨⎪⎧12(x －2)＋(x －2)2>0，3(x －2)＋(x －2)2>0.解得x >2或x <－1.反思归纳 在解决不等式问题时，一种最重要的思想方法就是构造适当的函数利用函数的图象和性质解决问题．同时要注意在一个含多个变量的数学问题中，需要确定合适的变量和参数，从而揭示函数关系，使问题更明朗化．一般地，已知存在范围的量为变量，而待求范围的量为参数．变式训练3 设不等式2x －1>m (x －1)对满足|m |≤2的一切实数m 的取值都成立，则x 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫0，34 B ．(2，＋∞) C.⎝⎛⎭⎫34，＋∞D ．(－∞，2)答案 C解析 原不等式即(x －1)m －(2x －1)<0，设f (m )＝(x －1)m －(2x －1)，则问题转化为求一次函数f (m )的值在区间[－2,2]内恒为负时应满足的条件，得⎩⎪⎨⎪⎧ f (2)<0，f (－2)<0，即⎩⎪⎨⎪⎧2(x －1)－(2x －1)<0，－2(x －1)－(2x －1)<0，解得x >34.题型四 利用函数与方程思想解决数列问题例4 设数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝n 2－4n ＋4.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝a n 2n ，数列{b n }的前n 项和为T n ，求证：14≤T n <1.审题破题 可将T n 看作关于自然数n 的函数，通过函数的单调性来证明不等式． (1)解 当n ＝1时，a 1＝S 1＝1.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－4n ＋4－[(n －1)2－4(n －1)＋4]＝2n －5. ∵a 1＝1不适合上式，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1， n ＝12n －5， n ≥2.(2)证明 由题意知b n＝an 2n＝⎩⎪⎨⎪⎧12， n ＝12n －52n， n ≥2.当n ＝1时，T 1＝12，当n ≥2时，T n ＝12＋－122＋123＋…＋2n －52n ，① 12T n ＝122＋－123＋124＋…＋2n －72n ＋2n －52n ＋1，②①－②得：12T n ＝12－222＋2⎝⎛⎭⎫123＋…＋12n －2n －52n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n －2－2n －52n ＋1， ∴T n ＝1－2n －12n (n ≥2)，当n ＝1时也适合上式．故T n ＝1－2n －12n (n ∈N *)．∵2n －12n >0 (n ∈N *)，∴T n <1.当n ≥2时，T n ＋1－T n ＝⎝⎛⎭⎪⎫1－2n ＋12n ＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2n －12n＝2n －32n ＋1>0，∴T n <T n ＋1 (n ≥2)． ∵T 1＝12，T 2＝1－34＝14，∴T 2<T 1.故T n ≥T 2，即T n ≥14(n ∈N *)．综上，14≤T n <1 (n ∈N *)．反思归纳 (1)数列的本质是定义域为正整数集或其有限子集的函数，数列的通项公式即为相应的解析式，因此在解决数列问题时，应注意用函数的思想求解．(2)数列不等式问题，可以通过变形、整理，转化为数列所对应的函数的单调性问题解决．变式训练4 (2012·浙江)设S n 是公差为d (d ≠0)的无穷等差数列{a n }的前n 项和，则下列命题错误．．的是( )A ．若d <0，则数列{S n }有最大项B ．若数列{S n }有最大项，则d <0C ．若数列{S n }是递增数列，则对任意n ∈N *，均有S n >0D ．若对任意n ∈N *，均有S n >0，则数列{S n }是递增数列 答案 C解析 设{a n }的首项为a 1，则S n ＝na 1＋12n (n －1)d ＝d2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n . 由二次函数性质知S n 有最大值时，则d <0，故A 、B 正确；因为{S n }为递增数列，则d >0，不妨设a 1＝－1，d ＝2，显然{S n }是递增数列，但S 1＝－1<0，故C 错误；对任意n ∈N *，S n 均大于0时，a 1>0，d >0，{S n }必是递增数列，D 正确．典例 (14分)(2012·北京)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个顶点为A (2,0)，离心率为22.直线y ＝k (x －1)与椭圆C 交于不同的两点M ，N . (1)求椭圆C 的方程． (2)当△AMN 的面积为103时，求k 的值． 规范解答解 (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c a ＝22，a 2＝b 2＋c 2，解得b ＝ 2.所以椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1.[4分](2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，x 24＋y 22＝1得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2－4＝0.[5分]设点M ，N 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则y 1＝k (x 1－1)，y 2＝k (x 2－1)，x 1＋x 2＝4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－41＋2k 2.[8分]所以|MN |＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝2(1＋k 2)(4＋6k 2)1＋2k2.[10分] 又因为点A (2,0)到直线y ＝k (x －1)的距离d ＝|k |1＋k2，所以△AMN 的面积为S ＝12|MN |·d ＝|k |4＋6k 21＋2k 2.[12分] 由|k |4＋6k 21＋2k 2＝103，解得k ＝±1.∴k 的值为1或－1.[14分] 评分细则 (1)不列方程没有a 2＝b 2＋c 2，扣1分；(2)求|MN |时直接使用弦长公式没有中间变形，扣1分；(3)最后结论不写不扣分．阅卷老师提醒 (1)本题易错点：不会整合题目条件，没有列出方程求b 、c ；运算能力较差，用弦长表示面积出现计算错误；(2)阅卷中发现考生的快捷解法：直线y ＝k (x －1)过定点T (1,0)，则S △AMN ＝12·|AT |·|y 1－y 2|，大大简化运算过程．1． 在正实数集上定义一种运算“*”：当a ≥b 时，a *b ＝b 3；当a <b 时，a *b ＝b 2，则满足3*x =27的x 的值为( )A ．3B ．1或9C ．1或 2D ．3或3 3答案 D解析 由题意得⎩⎨⎧ x ≤3x 3＝27或⎩⎨⎧x >3x 2＝27，解得x ＝3或3 3.2． (2012·课标全国)设F 1，F 2是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左，右焦点，P 为直线x ＝3a2上一点，△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为( )A.12B.23C.34D.45 答案 C解析 由题意，知∠F 2F 1P ＝∠F 2PF 1＝30°，∴∠PF 2x ＝60°.∴|PF 2|＝2×⎝⎛⎭⎫32a －c ＝3a －2c . ∵|F 1F 2|＝2c ，|F 1F 2|＝|PF 2|，∴3a －2c ＝2c ，∴e ＝c a ＝34.3． 方程x 2－32x －m ＝0在x ∈[－1,1]上有实根，则m 的取值范围是( )A ．m ≤－916B ．－916<m <52C ．m ≥52D ．－916≤m ≤52答案 D解析 m ＝x 2－32x ＝⎝⎛⎭⎫x －342－916，x ∈[－1,1]． 当x ＝－1时，m 取最大值为52，当x ＝34时，m 取最小值为－916，∴－916≤m ≤52.4． 已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫13x ，等比数列{a n }的前n 项和为f (n )－c ，则a n 的最小值为( )A ．－1B ．1 C.23 D ．－23 答案 D解析 由题设，得a 1＝f (1)－c ＝13－c ； a 2＝[f (2)－c ]－[f (1)－c ]＝－29； a 3＝[f (3)－c ]－[f (2)－c ]＝－227， 又数列{a n }是等比数列，∴⎝⎛⎭⎫－292＝⎝⎛⎭⎫13－c ×⎝⎛⎭⎫－227，∴c ＝1. 又∵公比q ＝a 3a 2＝13， 所以a n ＝－23⎝⎛⎭⎫13n －1＝－2⎝⎛⎭⎫13n ，n ∈N *. 因此，数列{a n }是递增数列，∴n ＝1时，a n 有最小值a 1＝－23. 5． 对于满足0≤p ≤4的实数p ，使x 2＋px >4x ＋p －3恒成立的x 的取值范围是__________．答案 (－∞，－1)∪(3，＋∞)解析 x 2＋px >4x ＋p －3对于0≤p ≤4恒成立可以变形为x 2－4x ＋3＋p (x －1)>0对于0≤p ≤4恒成立，所以一次函数f (p )＝(x －1)p ＋x 2－4x ＋3在区间[0,4]上的最小值大于0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3>0x 2－1>0， 所以x 的取值范围是(－∞，－1)∪(3，＋∞)．6． 设f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当x <0时，f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )>0，且g (－3)＝0，则不等式f (x )g (x )<0的解集是________．答案 (－∞，－3)∪(0,3)解析 设F (x )＝f (x )g (x )，由于f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，得F (－x )＝f (－x )·g (－x )＝－f (x )g (x )＝－F (x )，即F (x )为奇函数．又当x <0时，F ′(x )＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )>0，所以x <0时，F (x )为增函数．因为奇函数在对称区间上的单调性相同，所以x >0时，F (x )也是增函数．因为F (－3)＝f (－3)g (－3)＝0＝－F (3)．所以F (x )<0的解集是(－∞，－3)∪(0,3)(草图如图所示)．专题限时规范训练一、选择题1． 函数f (x )的定义域为R ，f (－1)＝2，对任意x ∈R ，f ′(x )>2，则f (x )>2x ＋4的解集为( )A ．(－1,1)B ．(－1，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．(－∞，＋∞) 答案 B解析 设φ(x )＝f (x )－(2x ＋4)，则φ′(x )＝f ′(x )－2>0，∴φ(x )在R 上为增函数，又φ(－1)＝f (－1)－(－2＋4)＝0，∴由φ(x )>0可得x >－1.故f (x )>2x ＋4的解集为(－1，＋∞)．2． 若函数f (x )、g (x )分别为R 上的奇函数、偶函数，且满足f (x )－g (x )＝e x ，则有 ( )A ．f (2)<f (3)<g (0)B ．g (0)<f (3)<f (2)C ．f (2)<g (0)<f (3)D ．g (0)<f (2)<f (3) 答案 D解析 由题意得f (x )－g (x )＝e x ，f (－x )－g (－x )＝e －x ，即－f (x )－g (x )＝e －x ，由此解得f (x )＝e x －e －x 2，g (x )＝－e x ＋e －x 2，g (0)＝－1，函数f (x )＝e x －e －x 2在R 上是增函数，且f (3)>f (2)＝e 2－e －22>0，因此g (0)<f (2)<f (3)，选D. 3． 设函数D (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1，x 为有理数，0，x 为无理数，则下列结论错误的是 ( )A ．D (x )的值域为{0,1}B ．D (x )是偶函数C ．D (x )不是周期函数D ．D (x )不是单调函数答案 C 解析 利用函数的单调性、奇偶性、周期性定义判断可得．由已知条件可知，D (x )的值域是{0,1}，选项A 正确；当x 是有理数时，－x 也是有理数，且D (－x )＝1，D (x )＝1，故D (－x )＝D (x )，当x 是无理数时，－x 也是无理数，且D (－x )＝0，D (x )＝0，即D (－x )＝D (x )，故D (x )是偶函数，选项B 正确；当x 是有理数时，对于任一非零有理数a ，x ＋a 是有理数，且D (x ＋a )＝1＝D (x )， 当x 是无理数时，对于任一非零有理数b ，x ＋b 是无理数，所以D (x ＋b )＝D (x )＝0，故D (x )是周期函数，但不存在最小正周期，选项C 不正确； 由实数的连续性易知，不存在区间I ，使D (x )在区间I 上是增函数或减函数，故D (x )不是单调函数，选项D 正确．4． 等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且4a 1,2a 2，a 3成等差数列，若a 1＝1，则S 4等于( )A ．7B ．8C ．15D ．16 答案 C解析 设等比数列{a n }的公比为q ，则由4a 1,2a 2，a 3成等差数列，得4a 2＝4a 1＋a 3. ∴4a 1q ＝4a 1＋a 1q 2.∴q 2－4q ＋4＝0.∴q ＝2，∴S 4＝a 1(1－q 4)1－q＝15. 5． (2012·陕西)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，若a 2＋b 2＝2c 2，则cos C 的最小值为( ) A.32 B.22C.12 D ．－12 答案 C解析 ∵cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝c 22ab， 又∵a 2＋b 2≥2ab ，∴2ab ≤2c 2.∴cos C ≥12.∴cos C 的最小值为12. 6． 若a >1，则双曲线x 2a 2－y 2(a ＋1)2＝1的离心率e 的取值范围是 ( ) A ．(1，2) B ．(2，5) C ．[2，5]D ．(3，5) 答案 B解析 e 2＝⎝⎛⎭⎫c a 2＝a 2＋(a ＋1)2a 2＝1＋⎝⎛⎭⎫1＋1a 2，因为当a >1时，0<1a<1，所以2<e 2<5，即2<e < 5.7． 设函数f (x )＝x 3＋sin x ，若0≤θ≤π2时，f (m cos θ)＋f (1－m )>0恒成立，则实数m 的取值范围是( ) A ．(0,1)B ．(－∞，0)C ．(－∞，1)D.⎝⎛⎭⎫－∞，12 答案 C 解析 易知f (x )为奇函数且为增函数，f (m cos θ)＋f (1－m )>0，即f (m cos θ)>f (m －1)，∴m cos θ>m －1，而0≤θ≤π2时，cos θ∈[0,1]，∴⎩⎪⎨⎪⎧m >m －1，0>m －1得m <1. 8． 若不等式ax －1x ＋b >0的解集为{x |－1<x <2}，则不等式bx ＋1ax ＋1<0的解集是 ( )A ．{x |12<x <1} B ．{x |x <12或x >2} C ．{x |－12<x <1} D ．{x |x <－1或x >2} 答案 A解析 ax －1x ＋b>0⇔(ax －1)(x ＋b )>0， 转化为x 1＝－1，x 2＝2是方程(ax －1)(x ＋b )＝0的两个根(且a <0)，即⎩⎪⎨⎪⎧ (－a －1)(－1＋b )＝0(2a －1)(2＋b )＝0 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1b ＝－2，∴bx ＋1ax ＋1＝－2x ＋1－x ＋1<0⇒12<x <1.故选A. 二、填空题9． 若关于x 的方程(2－2－|x －2|)2＝2＋a 有实根，则实数a 的取值范围是________．答案 [－1,2)解析 令f (x )＝(2－2－|x －2|)2.要使f (x )＝2＋a 有实根，只需2＋a 是f (x )的值域内的值．∵f (x )的值域为[1,4)，∴1≤a ＋2<4，∴－1≤a <2.10．已知圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0关于直线2ax －by ＋2＝0(a ，b ∈R )对称，则ab 的取值范围是____________．答案 (－∞，14] 解析 圆心坐标为(－1,2)，因为圆关于直线对称，所以－2a －2b ＋2＝0即a ＋b －1＝0，∴ab ＝a (1－a )＝－a 2＋a ＝－(a －12)2＋14≤14. 11．已知△ABC 的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则△ABC 的面积为________．答案 15 3解析 由于三边长构成公差为4的等差数列，故可设三边长分别为x －4，x ，x ＋4. 由一个内角为120°知其必是最长边x ＋4所对的角．由余弦定理得(x ＋4)2＝x 2＋(x －4)2－2x (x －4)cos 120°，∴2x 2－20x ＝0，∴x ＝0(舍去)或x ＝10.∴S △ABC ＝12×(10－4)×10×sin 120°＝15 3.12．已知数列{a n }是递增数列，且对于任意的n ∈N *，a n ＝n 2＋λn 恒成立，则实数λ的取值范围是________．答案 λ＞－3解析 由{a n }是递增数列，得a n ＜a n ＋1对n ∈N *恒成立，即n 2＋λn ＜(n ＋1)2＋λ(n ＋1)， 整理得λ＞－(2n ＋1)．而－(2n ＋1)≤－3，所以λ＞－3.三、解答题13．已知函数f (x )＝ax 2＋ax 和g (x )＝x －a ，其中a ∈R ，且a ≠0.若函数f (x )与g (x )的图象相交于不同的两点A 、B ，O 为坐标原点，试求△OAB 的面积S 的最大值．解 依题意，f (x )＝g (x )，即ax 2＋ax ＝x －a ，整理得ax 2＋(a －1)x ＋a ＝0， ① ∵a ≠0，函数f (x )与g (x )的图象相交于不同的两点A 、B ，∴Δ>0，即Δ＝(a －1)2－4a 2＝－3a 2－2a ＋1＝(3a －1)·(－a －1)>0，∴－1<a <13且a ≠0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，且x 1<x 2，由①得x 1x 2＝1>0，x 1＋x 2＝－a －1a. 设点O 到直线g (x )＝x －a 的距离为d ，则d ＝|－a |2， ∴S ＝121＋12|x 1－x 2|·|－a |2＝12－3a 2－2a ＋1 ＝12 －3⎝⎛⎭⎫a ＋132＋43. ∵－1<a <13且a ≠0， ∴当a ＝－13时，S 取得最大值33. 14．椭圆C 的中心为坐标原点O ，焦点在y 轴上，短轴长为2，离心率为22，直线l 与y 轴交于点P (0，m )，与椭圆C 交于相异两点A ，B ，且AP →＝3PB →.(1)求椭圆C 的方程；(2)求m 的取值范围． 解 (1)设椭圆C 的方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)， 设c >0，c 2＝a 2－b 2， 由题意，知2b ＝2，c a ＝22，所以a ＝1，b ＝c ＝22.故椭圆C 的方程为y 2＋x 212＝1，即y 2＋2x 2＝1. (2)设直线l 的方程为y ＝kx ＋m (k ≠0)，l 与椭圆C 的交点坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，2x 2＋y 2＝1，得(k 2＋2)x 2＋2kmx ＋m 2－1＝0， Δ＝(2km )2－4(k 2＋2)(m 2－1)＝4(k 2－2m 2＋2)>0，(*)x 1＋x 2＝－2km k 2＋2，x 1x 2＝m 2－1k 2＋2. 因为AP →＝3PB →，所以－x 1＝3x 2， 所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－2x 2，x 1x 2＝－3x 22.所以3(x 1＋x 2)2＋4x 1x 2＝0. 所以3·⎝ ⎛⎭⎪⎫－2km k 2＋22＋4·m 2－1k 2＋2＝0. 整理得4k 2m 2＋2m 2－k 2－2＝0，即k 2(4m 2－1)＋(2m 2－2)＝0.当m 2＝14时，上式不成立； 当m 2≠14时，k 2＝2－2m 24m 2－1， 由(*)式，得k 2>2m 2－2，又k ≠0，所以k 2＝2－2m 24m 2－1>0. 解得－1<m <－12或12<m <1. 即所求m 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－1，－12∪⎝⎛⎭⎫12，1.。

第1讲 函数与方程的思想「思想方法解读」 函数思想是指用函数的观点、方法去分析问题、转化问题和解决问题．如求数列中的项或最值、求不等式中的参量、求解析几何中距离或面积的最值等相关的非函数问题，往往都可利用函数思想，构建函数将其转化为函数问题．方程思想是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为方程或方程组去分析问题和解决问题．如变量的取值X 围、直线与圆锥曲线的位置关系、数列中的基本量等问题.热点题型探究热点1 函数与方程思想在不等式中的应用例 1 (1)(2019·某某昌吉市教育共同体高三月考)若关于x 的不等式1＋a cos x ≥23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x 在R 上恒成立，则实数a 的最大值为( ) A ．－13B.13C.23 D ．1答案 B解析 1＋a cos x ≥23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x ＝23(2cos 2x －1)，令cos x ＝t ∈[－1,1]，并代入不等式，则问题转化为不等式4t 2－3at －5≤0在t ∈[－1,1]上恒成立，即⎩⎪⎨⎪⎧4＋3a －5≤0，4－3a －5≤0⇒－13≤a ≤13.故选B.(2)已知f (x )＝log 2x ，x ∈[2,16]，对于函数f (x )值域内的任意实数m ，使x 2＋mx ＋4＞2m ＋4x 恒成立的实数x 的取值X 围为( )A ．(－∞，－2]B ．[2，＋∞)C ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)答案 D解析 因为x ∈[2,16]，所以f (x )＝log 2x ∈[1,4]，即m ∈[1,4]．不等式x 2＋mx ＋4＞2m ＋4x 恒成立，即为m (x －2)＋(x －2)2＞0恒成立．构造函数g (m )＝(x －2)m ＋(x －2)2，则此函数在区间[1,4]上恒大于0，所以⎩⎪⎨⎪⎧g 1＞0，g4＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧x －2＋x －22＞0，4x －2＋x －22＞0，解得x ＜－2或x ＞2.(3)(2019·某某省某某市高三一模)若函数f (x )＝e x－e －x＋sin2x ，则满足f (2x 2－1)＋f (x )>0的x 的取值X 围为( )A.⎝⎛⎭⎪⎫－1，12 B ．(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪(1，＋∞)答案 B解析 函数f (x )＝e x －e －x ＋sin2x 的定义域为R ，且满足f (－x )＝e －x －e x＋sin(－2x )＝－(e x －e －x＋sin2x )＝－f (x )，∴f (x )为R 上的奇函数；又f ′(x )＝e x ＋e －x＋2cos2x ≥2＋2cos2x ≥0恒成立，∴f (x )为R 上的单调增函数；又f (2x 2－1)＋f (x )>0，得f (2x 2－1)>－f (x )＝f (－x )，∴2x 2－1>－x ，即2x 2＋x －1>0，解得x <－1或x >12，所以x 的取值X 围是(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞.故选B.函数与不等式的相互转化，把不等式问题转化为函数问题，借助函数的图象和性质可解决相关的问题．常涉及不等式恒成立问题、比较大小问题．一般利用函数思想构造新函数，从而研究函数性质破解问题．1．若2x ＋5y ≤2－y ＋5－x，则有( ) A ．x ＋y ≥0 B ．x ＋y ≤0 C ．x －y ≤0 D ．x －y ≥0答案 B解析 把不等式变形为2x－5－x≤2－y－5y ，构造函数f (t )＝2t －5－t，其为R 上的增函数，所以有x ≤－y ，故选B.2．已知a ，b ，c 依次为方程2x＋x ＝0，log 2x ＝2和log 12 x ＝x 的实根，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a ＞b ＞cB ．b ＞a ＞cC ．c ＞b ＞aD ．b ＞c ＞a答案 D解析 由log 2b ＝2，得b ＝4，由2x ＋x ＝0，log 12 x ＝x ，得2x＝－x ，log 2x ＝－x ，在同一坐标系中分别作出函数y ＝2x，y ＝－x ，y ＝log 2x 的图象(图略)，观察交点的横坐标，可得b ＞c ＞a .3．(2019·某某某某一中高三二模)已知不等式xy ≤ax 2＋2y 2对于x ∈[1,2]，y ∈[2,3]恒成立，则a 的取值X 围是( )A ．[1，＋∞)B ．[－1,4)C ．[－1，＋∞)D ．[－1,6]答案 C解析 不等式xy ≤ax 2＋2y 2对于x ∈[1,2]，y ∈[2,3]恒成立，等价于a ≥y x－2⎝ ⎛⎭⎪⎫y x 2，对于x ∈[1,2]，y ∈[2,3]恒成立，令t ＝yx，则1≤t ≤3，∴a ≥t －2t 2在[1,3]上恒成立，令s ＝－2t 2＋t ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫t －142＋18，∴t ＝1时，s max ＝－1，∴a ≥－1，a 的取值X 围是[－1，＋∞)，故选C.热点2 函数与方程思想在数列中的应用例2 (1)(2019·某某市第十三中学高三质检)已知定义域为R 的函数f (x )满足f (x )＝4f (x ＋2)，当x ∈[0，2)时，设f (x )在[2n －2,2n )上的最大值为a n (n ∈N *)，且{a n }的前n 项和为S n ，若S n <k 对任意的正整数n 均成立，则实数k 的取值X 围为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫53，＋∞B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫53，＋∞ C ．[2，＋∞) D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫43，＋∞答案 B解析 由题意，得当x ∈[0,1)时，1≤f (x )≤54；当x ∈[1,2)时，22≤f (x )≤1，所以当x ∈[0,2)时，f (x )的最大值为54；又由f (x ＋2)＝14f (x )，所以当x ∈[2,4)时，f (x )的最大值为54×14；当x ∈[4,6)时，f (x )的最大值为54×⎝ ⎛⎭⎪⎫142，…，所以当x ∈[2n －2,2n )时，f (x )的最大值a n ＝54×⎝ ⎛⎭⎪⎫14n －1，由等比数列的前n 项和公式，得S n ＝54⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫14n 1－14＝53－53×⎝ ⎛⎭⎪⎫14n <53.若S n <k 对任意的正整数n 均成立，则k ≥53，故选B.(2)(2019·某某师X 大学附属中学高三模拟)设数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n ＝4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1，若对于任意的n ∈N *都有1≤x (S n －4n )≤3恒成立，则实数x 的取值X 围是________． 答案 [2,3]解析 由题设可得S n ＝4n ＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝4n ＋23－23×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n ，则S n －4n ＝23－23⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n ，不等式1≤x (S n －4n )≤3可化为1≤x ⎣⎢⎡⎦⎥⎤23－23⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n ≤3，即32×11－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n ≤x ≤92×11－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n ，则问题转化为求⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n 的最大值和最小值．由于n ∈N *，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n 的最大值和最小值分别为14和－12，则32×11－14≤x ≤92×11－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，即2≤x ≤3. (3)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 10＝0，S 15＝25，则数列{a n }的公差d ＝________，nS n 的最小值为________．答案 23－49解析 由题意知10a 1＋45d ＝0,5a 1＋60d ＝25， 解得d ＝23，a 1＝－3.所以nS n ＝n ⎣⎢⎡⎦⎥⎤na 1＋n n －12d ＝n 3－10n 23，设f (x )＝x 3－10x 23(x ＞0)，则f ′(x )＝13x (3x －20)，令f ′(x )＝0，解得x ＝203(x ＝0舍去)，当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，203时，f (x )单调递减，当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫203，＋∞时，f (x )单调递增．所以当x ＝203时，f (x )取得极小值．取n ＝6，得f (6)＝－48，取n ＝7，得f (7)＝－49，故nS n 的最小值为－49.数列的通项与前n 项和是自变量为整数的函数，可用函数的观点去处理数列问题．常涉及最值问题或参数X 围问题，解决问题的关键是利用函数的单调性来研究最值问题．1．(2019·某某省天河区高三年级摸底考试)已知数列{a n }是以1为首项，2为公差的等差数列，{b n }是以1为首项，2为公比的等比数列，设＝abn ，T n ＝c 1＋c 2＋…＋(n∈N *)，则当T n <2019时，n 的最大值是( )A ．9B ．10C ．11D ．12答案 A解析 ∵{a n }是以1为首项，2为公差的等差数列，∴a n ＝2n －1，∵{b n }是以1为首项，2为公比的等比数列，∴b n ＝2n －1，∴T n ＝c 1＋c 2＋…＋＝ab 1＋ab 2＋…＋abn ＝a 1＋a 2＋a 4＋…＋a 2n －1＝(2×1－1)＋(2×2－1)＋(2×4－1)＋…＋(2×2n －1－1)＝2(1＋2＋4＋…＋2n －1)－n ＝2×1－2n1－2－n ＝2n ＋1－n －2，∵T n <2019，∴2n ＋1－n －2<2019，得n ≤9.则当T n <2019时，n 的最大值是9.故选A.2．(2019·某某市高三第三次质量检测)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1，若集合M ＝{n |n (n ＋1)≥t (a n ＋1)，n ∈N *}中有3个元素，则实数t 的取值X 围是________．答案 1＜t ≤54解析 由题意，因为数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1，所以a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)， 即数列{a n ＋1}是以2为首项，公比为2的等比数列，所以a n ＋1＝2n，得a n ＝2n－1. 因为n (n ＋1)≥t (a n ＋1)，化简可得t ≤n n ＋12n，记f (x )＝x x ＋12x， f ′(x )＝2x ＋12x－x 2＋x2xln 22x 2＝[2x ＋1－x 2＋x ln 2]2x.当x ≥3时，f ′(x )＜0，此时f (x )是单调递减的． 故当n ≥3时，f ′(n )＜0，此时f (n )也是单调递减的；f (1)＝1，f (2)＝32，f (3)＝32，f (4)＝54；当n ≥5，f (n )＜54.因为集合M ＝{n |n (n ＋1)≥t (a n ＋1)，n ∈N *}中有3个元素，故只需找出f (n )＝n n ＋12n中最大的三个数，而f (2)，f (3)，f (4)是最大的三个数，故集合M 中的这三个元素只能是2,3,4.所以1＜t ≤54.3．已知数列{a n }满足a 1＝33，a n ＋1－a n ＝2n ，则a n n的最小值为________．答案212解析 根据数列的递推关系式a n ＋1－a n ＝2n ，可利用累加法求解其通项公式，a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝2[1＋2＋…＋(n －1)]＋33＝n 2－n ＋33. 所以a n n ＝33n ＋n －1，设f (x )＝33x ＋x －1，令f ′(x )＝－33x2＋1＞0，则f (x )在(33，＋∞)上是单调递增的，在(0，33)上是单调递减的，因为n ∈N *，所以当n ＝5或6时，a nn有最小值．又因为a 55＝535，a 66＝636＝212，所以a n n 的最小值为a 66＝212.热点3 函数与方程思想在解析几何中的应用例 3 (2019·某某八校高三联考)已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上的点到右焦点F (c,0)的最大距离是2＋1，且1，2a,4c 成等比数列．(1)求椭圆的方程；(2)过点F 且与x 轴不垂直的直线l 与椭圆交于A ，B 两点，线段AB 的中垂线交x 轴于点M (m,0)，某某数m 的取值X 围．解 (1)由已知，得⎩⎨⎧a ＋c ＝2＋1，1·4c ＝2a 2，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝1，c ＝1.所以椭圆的方程为x 22＋y 2＝1.(2)由题意得F (1,0)，设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)．与椭圆方程联立得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2y 2－2＝0，y ＝k x －1，消去y 可得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2－2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k 21＋2k 2，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－2k ＝－2k1＋2k2.可得线段AB 的中点为N ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 21＋2k 2，－k 1＋2k 2.当k ＝0时，直线MN 为y 轴，此时m ＝0；当k ≠0时，直线MN 的方程为y ＋k1＋2k 2＝－1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2k 21＋2k 2，化简得ky ＋x －k21＋2k2＝0.令y ＝0，得m ＝k 21＋2k2. 所以m ＝k 21＋2k 2＝11k 2＋2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12. 综上所述，实数m 的取值X 围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，12.解析几何中的X 围问题是高考的热点，在圆锥曲线的综合问题中经常出现，求解此类问题的关键是抓住函数关系，将目标量表示为一个(或者多个)变量的函数，然后借助于函数的性质来使问题得以解决．(2019·某某中学高三一调)已知焦点在y 轴上的抛物线C 1过点(2,1)，椭圆C 2的两个焦点分别为F 1，F 2，其中F 2与C 1的焦点重合，过点F 1与C 2的长轴垂直的直线交C 2于A ，B 两点，且|AB |＝3，曲线C 3是以坐标原点O 为圆心，以|OF 2|为半径的圆．(1)求C 2与C 3的标准方程；(2)若动直线l 与C 3相切，且与C 2交于M ，N 两点，求△OMN 的面积S 的取值X 围． 解 (1)由已知，设抛物线C 1的方程为x 2＝2py (p >0)， 则4＝2p ，解得p ＝2，即C 1的标准方程为x 2＝4y .则F 2(0,1)，不妨设椭圆C 2的方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2a 2＋x 2b 2＝1，y ＝－1，得x ＝±b 2a ，所以|AB |＝2b2a＝3，又a 2＝b 2＋1，所以a ＝2，b ＝3， 故C 2的标准方程为y 24＋x 23＝1.易知|OF 2|＝1，所以C 3的标准方程为x 2＋y 2＝1.(2)因为直线l 与C 3相切，所以圆心O 到直线l 的距离为1.所以S ＝12×|MN |×1＝|MN |2.当直线l 的斜率不存在时，其方程为x ＝±1，易知两种情况所得到的△OMN 的面积相等．由⎩⎪⎨⎪⎧y 24＋x 23＝1，x ＝1得y ＝±263.不妨设M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，263，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－263，则|MN |＝463，此时S ＝|MN |2＝263.当直线l 的斜率存在时，设其方程为y ＝kx ＋m ， 则|m |1＋k2＝1，即m 2＝k 2＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧y 24＋x 23＝1，y ＝kx ＋m得(3k 2＋4)x 2＋6kmx ＋3m 2－12＝0，所以Δ＝36k 2m 2－4(3k 2＋4)(3m 2－12)＝48(4＋3k 2－m 2)＝48(2k 2＋3)>0恒成立． 设M (x M ，y M )，N (x N ，y N )， 则x M ＋x N ＝－6km 3k 2＋4，x M x N ＝3m 2－123k 2＋4.所以S ＝|MN |2＝121＋k2x M ＋x N2－4x M x N＝121＋k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫－6km 3k 2＋42－4×3m 2－123k 2＋4 ＝121＋k 2·482k 2＋33k 2＋4＝2 3 1＋k 22k 2＋33k 2＋4. 令3k 2＋4＝t (t ≥4)，则k 2＝t －43，所以S ＝2332t 2－t －1t 2＝233－⎝ ⎛⎭⎪⎫1t 2－1t＋2， 令1t ＝m ′，则m ′∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14， 易知y ＝－m ′2－m ′＋2在区间⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14上单调递减，所以32≤S <263.综上，△OMN 的面积S 的取值X 围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，263.。