9.2 重积分的换元法

则由积分(3)确定的函数 ( x )在 [a , b]上可微，并且
( x ) f ( x , y ) d ( x) ( x ) ( x ) f ( x , y )dy ( x ) dy dx x f [ x , ( x )] ( x ) f [ x , ( x )] ( x ). (7)
v
柱面坐标 4. 三重积分换元法 球面坐标
（1） 柱面坐标的体积元素
dxdydz rdrd dz
x r cos , y r sin , z z.
x r sin cos , （2） 球面坐标的体积元素 2 dxdydz r sindrdd y r sin sin , z r cos . （3） 广义球面坐标的体积元素 x ar sin cos , 2 dxdydz abcr sindrdd y br sin sin , z cr cos .
当 x 0 时，上式右端最后一个积分的积分限不变，
根据证明定理1时同样的理由，这个积分趋于 零. ( x ) 又 ( x x ) f ( x x , y )dy M ( x x ) ( x ) ,

( x)
( x x )
f ( x x , y )dy M ( x x ) ( x ) .
f ( x , y )dxdy f [ x(u, v ), y(u, v )] J ( u, v ) dudv.
D D
注意：
同时也兼顾被积函数 f ( x , y ) 的形式．
基本要求:变换后定限简便，求积容易．
1．作什么变换主要取决 于积分区域 D 的形状，

∴ | J |= r ,
∫∫∫ f ( x, y, z )dxdydz
Ω
= ∫∫∫ f ( r cosθ , r sinθ , z )rdrdθdz .
Ω
球面坐标与直角坐标的关系为
x = r sinϕ cosθ , y = r sinϕ sinθ , z = r cosϕ.
| J |= r sin ϕ ,
D
y− x y+ x
dxdy, 其中D由 x 轴、y轴和直
所围成的闭区域． 线 x  = y − x,
v = y + x,
D
x+ y=2
v−u , 则x= 2
v+u y= . 2
o
v
u = −v
x
v=2
D → D′, 即 x = 0 → u = v;
y = 0 → u = −v; x + y = 2 → v = 2.
变换后区域为
D′ ： x + y = 1 ⇒ u = 1 D′ x = 0 ⇒ u−v = 0 o y=0 ⇒v=0 y ( x + y )2 ∫∫ x + ye dσ = ∫∫′ f ( u, v ) | J | dudv D D
v
u=v
u
v u u u2 1 = ∫ du ∫ ⋅e dv = ∫ ⋅e du = (e − 1). 4 0 0u 0 2
2
∫∫∫ f ( x , y, z )dxdydz =
Ω
∫∫∫
Ω
f ( r sin ϕ cosθ , r sin ϕ sinθ , r cos ϕ )r 2 sin ϕdrdϕdθ .
I 例6 计算三重积分 = ∫∫∫( x + y + z) cos(x + y + z)dv, 其中

所围成的闭区域.
y
解 区域 D 的图形如右图 令 u = y − x, v = y + x 解得变换式
v u x 2 y v u 2
x+ y=2
D
O x
5
则 xy 平面上的闭区域 D 在 uv 平面上的对应区域
D1
(u, v )
v u v , 0 v 2 ,
2
D1
c O a b u
0
( u , v ) D1
故
A
d x d y
D

d
v (1 u )
2
dudv
1 1 u
b
D1


b a
du (1 u )
2

vdv (
2
)(
a
1 2
d
v
2 c
)
c

( b a )( d
2
c )
8
2 (1 a )(1 b )

D
f ( x , y )d x d y

D1
f [ ( u , v ), ( u , v )]
(x, y) (u, v )
dudv
3
注1
雅 可 比 (J a c o b i ) 行 列 式 为 x , y 对 u , v 的 偏 导 数 所 记为
x v y v
构成的函数行列式.
在直角坐标系下二重积分的计算的公式有
y
b a

D
f ( x , y )d

dx
2( x) 1 ( x )
y 2(x)

f ( x , y )dxdy f [ x(u, v ), y( u, v )] J ( u, v ) dudv.
D D
二重积分化为二次积分时，根据积分区域 D
的特征，可分为以下三种情况：
（1）极点 O 在区域 D 的外部
r1 ( ) r r2 ( ) D:
x
练习
计算
e
D
x2 y2
dxdy
y a
其中积分区域 D为x 2 y 2 a 2 . 由直角坐标化 x r cos 解 极坐标公式 y r sin
圆的极坐标方程为 r a
D o
a x
0 r a 故 D: 0 2
e
D
f ( x , y )dxdy f [ x(u, v ), y( u, v )] J ( u, v ) dudv.
D D
r r
将区域 D 用从O出发的射线和 以O为圆心的圆弧进行划分 .



D

则 r r 于是面积微元 d r drd
f ( r cos , r sin ) r dr d D
r r1 ( )
D
r r2 ( )

o




d
r1 ( )
r2 ( )
f ( r cos , r sin ) r dr
（2）极点 O 在区域 D 的边界上
r r ( )
D
0 r r ( ) D: f (r cos , r sin ) r dr d
2
r ( )
f ( r cos , r sin ) r dr