大工《高等数学》(下)课程考试模拟试卷

大学高等数学下考试题库附答案新编Last updated on the afternoon of January 3, 2021《高等数学》试卷1（下）一.选择题（3分⨯10）1.点1M ()1,3,2到点()4,7,22M 的距离=21M M （）..4 C 向量j i b k j i a +=++-=2,2，则有（）.A.a ∥bB.a ⊥b 3,π=b a .4,π=b a 3.函数1122222-++--=y x y x y 的定义域是（）.(){}21,22≤+≤y xy x .(){}21,22<+<y x y x (){}21,22≤+<y x y x (){}21,22<+≤y x y x4.两个向量a 与b 垂直的充要条件是（）.0=⋅b a 0 =⨯b a 0 =-b a 0 =+b a 函数xy y x z 333-+=的极小值是（）. 2-1-设y x z sin =，则⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂4,1πy z ＝（）. 2222-22-若p 级数∑∞=11n p n 收敛，则（）. p 1<1≤p 1>p 1≥p 幂级数∑∞=1n nnx 的收敛域为（）.[]1,1-()1,1-[)1,1-(]1,1-幂级数nn x ∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛02在收敛域内的和函数是（）.x -11x -22x -12x-21微分方程0ln =-'y y y x 的通解为（）. x ce y =x e y =x cxe y =cx e y =二.填空题（4分⨯5） 1.一平面过点()3,0,0A 且垂直于直线AB ，其中点()1,1,2-B ，则此平面方程为______________________.2.函数()xy z sin =的全微分是______________________________.3.设13323+--=xy xy y x z ，则=∂∂∂y x z 2_____________________________. 4.x+21的麦克劳林级数是___________________________. 5.微分方程044=+'+''y y y 的通解为_________________________________.三.计算题（5分⨯6）1.设v e z u sin =，而y x v xy u +==,，求.,yz x z ∂∂∂∂ 2.已知隐函数()y x z z ,=由方程05242222=-+-+-z x z y x 确定，求.,y z x z ∂∂∂∂ 3.计算σd y x D⎰⎰+22sin ，其中22224:ππ≤+≤y x D .4.如图，求两个半径相等的直交圆柱面所围成的立体的体积（R 为半径）.5.求微分方程x e y y 23=-'在00==x y条件下的特解.四.应用题（10分⨯2）1.要用铁板做一个体积为23m 的有盖长方体水箱，问长、宽、高各取怎样的尺寸时，才能使用料最省？2..曲线()x f y =上任何一点的切线斜率等于自原点到该切点的连线斜率的2倍，且曲线过点⎪⎭⎫ ⎝⎛31,1，求此曲线方程 .试卷1参考答案一.选择题CBCADACCBD二.填空题1.0622=+--z y x .2.()()xdy ydx xy +cos .3.19622--y y x .4.()n n n nx ∑∞=+-0121.5.()xe x C C y 221-+=.三.计算题 1.()()[]y x y x y e x zxy +++=∂∂cos sin ，()()[]y x y x x e y zxy +++=∂∂cos sin . 2.12,12+=∂∂+-=∂∂z yy z z xx z.3.⎰⎰=⋅πππρρρϕ202sin d d 26π-. 4.3316R .5.x x e e y 23-=.四.应用题1.长、宽、高均为m 32时，用料最省.2..312x y =《高数》试卷2（下）一.选择题（3分⨯10）1.点()1,3,41M ，()2,1,72M 的距离=21M M （）. 12131415设两平面方程分别为0122=++-z y x 和05=++-y x ，则两平面的夹角为（）.6π4π3π2π函数()22arcsin y x z +=的定义域为（）.(){}10,22≤+≤y x y x .(){}10,22<+<y x y x()⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤+≤20,22πy x y x .()⎭⎬⎫⎩⎨⎧<+<20,22πy x y x4.点()1,2,1--P 到平面0522=--+z y x 的距离为（）..4 C 函数22232y x xy z --=的极大值为（）..1 C 1-21设223y xy x z ++=，则()=∂∂2,1xz （）..7 C 若几何级数∑∞=0n n ar 是收敛的，则（）.1≤r 1≥r 1<r 1≤r 幂级数()n n x n ∑∞=+01的收敛域为（）.[]1,1-[)1,1-(]1,1-()1,1-级数∑∞=14sinn nna 是（）. A.条件收敛B.绝对收敛C.发散D.不能确定10.微分方程0ln =-'y y y x 的通解为（）.cx e y =x ce y =x e y =x cxe y =二.填空题（4分⨯5）1.直线l 过点()1,2,2-A 且与直线⎪⎩⎪⎨⎧-==+=t z t y t x 213平行，则直线l 的方程为__________________________.2.函数xy e z =的全微分为___________________________.3.曲面2242y x z -=在点()4,1,2处的切平面方程为_____________________________________.4.211x +的麦克劳林级数是______________________. 5.微分方程03=-ydx xdy 在11==x y 条件下的特解为______________________________.三.计算题（5分⨯6）1.设k j b k j i a 32,2+=-+=，求.b a ⨯2.设22uv v u z -=，而y x v y x u sin ,cos ==，求.,yz x z ∂∂∂∂3.已知隐函数()y x z z ,=由233=+xyz x 确定，求.,yz x z ∂∂∂∂ 4.如图，求球面22224a z y x =++与圆柱面ax y x 222=+（0>a ）所围的几何体的体积.5.求微分方程023=+'+''y y y 的通解.四.应用题（10分⨯2）1.试用二重积分计算由x y x y 2,==和4=x 所围图形的面积.2.如图，以初速度0v 将质点铅直上抛，不计阻力，求质点的运动规律().t x x =（提示：g dt x d -=22.当0=t 时，有0x x =，0v dt dx=）试卷2参考答案一.选择题CBABACCDBA.二.填空题 1.211212+=-=-z y x .2.()xdy ydx e xy +.3.488=--z y x .4.()∑∞=-021n n n x .5.3x y =.三.计算题1.k j i 238+-.2.()()()y y x y y y y x y z y y y y x x z 3333223cos sin cos sin cos sin ,sin cos cos sin +++-=∂∂-=∂∂. 3.22,z xy xz y z z xy yz x z +-=∂∂+-=∂∂. 4.⎪⎭⎫ ⎝⎛-3223323πa . 5.x x e C e C y --+=221.四.应用题 1.316. 2.00221x t v gt x ++-=. 《高等数学》试卷3（下）一、选择题（本题共10小题，每题3分，共30分）1、二阶行列式2-3的值为（）45A 、10B 、20C 、24D 、222、设a=i+2j-k,b=2j+3k ，则a 与b 的向量积为（）A 、i-j+2kB 、8i-j+2kC 、8i-3j+2kD 、8i-3i+k3、点P （-1、-2、1）到平面x+2y-2z-5=0的距离为（）A 、2B 、3C 、4D 、54、函数z=xsiny 在点（1，4π）处的两个偏导数分别为（） A 、,22,22B 、,2222-C 、22-22-D 、22-,225、设x 2+y 2+z 2=2Rx ，则y z x z ∂∂∂∂,分别为（） A 、z y z R x --,B 、z y z R x ---,C 、z y z R x ,--D 、zy z R x ,- 6、设圆心在原点，半径为R ，面密度为22y x +=μ的薄板的质量为（）（面积A=2R π）A 、R 2AB 、2R 2AC 、3R 2AD 、A R 221 7、级数∑∞=-1)1(n nnn x 的收敛半径为（） A 、2B 、21C 、1D 、3 8、cosx 的麦克劳林级数为（）A 、∑∞=-0)1(n n)!2(2n x n B 、∑∞=-1)1(n n )!2(2n x n C 、∑∞=-0)1(n n )!2(2n x n D 、∑∞=-0)1(n n )!12(12--n x n 9、微分方程(y``)4+(y`)5+y`+2=0的阶数是（）A 、一阶B 、二阶C 、三阶D 、四阶10、微分方程y``+3y`+2y=0的特征根为（）A 、-2，-1B 、2，1C 、-2，1D 、1，-2二、填空题（本题共5小题，每题4分，共20分）1、直线L 1：x=y=z 与直线L 2：的夹角为z y x =-+=-1321___________。

大学高等数学下考试题库(附答案)一、填空题（每题2分，共20分）1. 设函数f(x)在区间I上单调递增，若a < b，则必有__________。

【答案】f(a) < f(b)2. 函数y = e^x在区间（-∞，+∞）上的最小值为__________。

【答案】03. 设函数f(x) = x^3 - 6x + 9，则f'(x) =__________。

【答案】3x^2 - 64. 设矩阵A = [a_{ij}]，则矩阵A的行列式det(A) = __________。

【答案】a_{11}a_{22}...a_{nn} -a_{11}a_{23}...a_{n2} + a_{12}a_{21}...a_{n3} - ... + (-1)^(n+1)a_{1n}a_{21}...a_{n1}5. 向量组α = (α1, α2, α3)和β = (β1, β2, β3)垂直的条件是__________。

【答案】α1β1 + α2β2 + α3β3 = 06. 设线性方程组Ax = b的解集为N，则N是__________。

【答案】向量空间7. 若函数f(x)在区间（a，b）上连续，且f(a) = f(b)，则函数f(x)在区间（a，b）上必有零点，此结论称为__________。

【答案】零点定理8. 设函数f(x)在区间I上单调递减，若a < b，则必有__________。

【答案】f(a) > f(b)9. 设函数f(x) = ln(x)，则f''(x) =__________。

【答案】1/x10. 设矩阵A = [a_{ij}]，则矩阵A的逆矩阵A^-1 = __________。

【答案】(1/det(A))[c_{ij}]，其中c_{ij} = (-1)^(i+j)det(A)/a_{ii}a_{jj}二、选择题（每题2分，共20分）1. 下列函数在区间（0，1）上单调递增的是__________。

一.选择题（3分⨯10）1.点1M ()1,3,2到点()4,7,22M 的距离=21M M （ ）.A.3B.4C.5D.62.向量j i b k j i a+=++-=2,2，则有（ ）.A.a ∥bB.a ⊥bC.3,π=b aD.4,π=b a3.函数1122222-++--=y x y x y 的定义域是（ ）.A.(){}21,22≤+≤y x y x B.(){}21,22<+<y x y xC.(){}21,22≤+<y xy x D (){}21,22<+≤y x y x4.两个向量a 与b垂直的充要条件是（ ）.A.0=⋅b aB.0 =⨯b aC.0 =-b aD.0 =+b a5.函数xy y x z 333-+=的极小值是（ ）. A.2 B.2- C.1 D.1- 6.设y x z sin =，则⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂4,1πyz ＝（ ）.A.22B.22-C.2D.2-7.若p 级数∑∞=11n pn收敛，则（ ）. A.p 1< B.1≤p C.1>p D.1≥p8.幂级数∑∞=1n nn x 的收敛域为（ ）.A.[]1,1- B ()1,1- C.[)1,1- D.(]1,1-9.幂级数nn x ∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛02在收敛域内的和函数是（ ）.A.x -11 B.x -22 C.x -12 D.x-2110.微分方程0ln =-'y y y x 的通解为（ ）.A.xce y = B.xe y = C.xcxe y = D.cxe y =二.填空题（4分⨯5）1.一平面过点()3,0,0A 且垂直于直线AB ，其中点()1,1,2-B ，则此平面方程为______________________.2.函数()xy z sin =的全微分是______________________________.3.设13323+--=xy xy y x z ，则=∂∂∂yx z2_____________________________. 4.x+21的麦克劳林级数是___________________________. 5.微分方程044=+'+''y y y 的通解为_________________________________. 三.计算题（5分⨯6）1.设v e z usin =，而y x v xy u +==,，求.,yz x z ∂∂∂∂ 2.已知隐函数()y x z z ,=由方程05242222=-+-+-z x z y x 确定，求.,yz x z ∂∂∂∂ 3.计算σd y x D⎰⎰+22sin ，其中22224:ππ≤+≤y x D . 4.如图，求两个半径相等的直交圆柱面所围成的立体的体积（R 为半径）.5.求微分方程xey y 23=-'在00==x y条件下的特解.四.应用题（10分⨯2）1.要用铁板做一个体积为23m 的有盖长方体水箱，问长、宽、高各取怎样的尺寸时，才能使用料最省？2..曲线()x f y =上任何一点的切线斜率等于自原点到该切点的连线斜率的2倍，且曲线过点⎪⎭⎫ ⎝⎛31,1，求此曲线方程试卷1参考答案一.选择题 CBCAD ACCBD 二.填空题1.0622=+--z y x .2.()()xdy ydx xy +cos .3.19622--y y x .4.()n n n n x ∑∞=+-0121.5.()xe x C C y 221-+= .三.计算题 1.()()[]y x y x y e xzxy +++=∂∂cos sin ，()()[]y x y x x e y z xy +++=∂∂cos sin . 2.12,12+=∂∂+-=∂∂z yy z z x x z . 3.⎰⎰=⋅πππρρρϕ202sin d d 26π-.4.3316R . 5.x xe ey 23-=.四.应用题1.长、宽、高均为m 32时，用料最省.2..312x y =《高数》试卷2（下）一.选择题（3分⨯10）1.点()1,3,41M ，()2,1,72M 的距离=21M M （ ）. A.12 B.13 C.14 D.152.设两平面方程分别为0122=++-z y x 和05=++-y x ，则两平面的夹角为（ ）. A.6π B.4π C.3π D.2π 3.函数()22arcsin yx z +=的定义域为（ ）.A.(){}10,22≤+≤y x y x B.(){}10,22<+<y x y x C.()⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤+≤20,22πy x y x D.()⎭⎬⎫⎩⎨⎧<+<20,22πy x y x 4.点()1,2,1--P 到平面0522=--+z y x 的距离为（ ）. A.3 B.4 C.5 D.6 5.函数22232y x xy z --=的极大值为（ ）. A.0 B.1 C.1- D.21 6.设223y xy x z ++=，则()=∂∂2,1xz （ ）.A.6B.7C.8D.9 7.若几何级数∑∞=0n nar是收敛的，则（ ）.A.1≤rB. 1≥rC.1<rD.1≤r8.幂级数()nn xn ∑∞=+01的收敛域为（ ）.A.[]1,1-B.[)1,1-C.(]1,1-D. ()1,1-9.级数∑∞=14sin n n na是（ ）. A.条件收敛 B.绝对收敛 C.发散 D.不能确定二.填空题（4分⨯5）1.直线l 过点()1,2,2-A 且与直线⎪⎩⎪⎨⎧-==+=t z t y t x 213平行，则直线l 的方程为__________________________.2.函数xye z =的全微分为___________________________.3.曲面2242y x z -=在点()4,1,2处的切平面方程为_____________________________________.4.211x+的麦克劳林级数是______________________. 三.计算题（5分⨯6）1.设k j b k j i a32,2+=-+=，求.b a ⨯2.设22uv v u z -=，而y x v y x u sin ,cos ==，求.,y z x z ∂∂∂∂ 3.已知隐函数()y x z z ,=由233=+xyz x 确定，求.,yz x z ∂∂∂∂ 4.如图，求球面22224a z y x =++与圆柱面ax y x 222=+（0>a ）所围的几何体的体积.四.应用题（10分⨯2） 1.试用二重积分计算由x y x y 2,==和4=x 所围图形的面积.试卷2参考答案一.选择题 CBABA CCDBA. 二.填空题 1.211212+=-=-z y x . 2.()xdy ydx exy+.3.488=--z y x .4.()∑∞=-021n n nx .5.3x y =. 三.计算题1.k j i238+-.2.()()()y y x y y y y x yz y y y y x x z 3333223cos sin cos sin cos sin ,sin cos cos sin +++-=∂∂-=∂∂ . 3.22,z xy xz y z z xy yz x z +-=∂∂+-=∂∂. 4.⎪⎭⎫ ⎝⎛-3223323πa . 四.应用题 1.316.《高等数学》试卷3（下）一、选择题（本题共10小题，每题3分，共30分） 1、二阶行列式 2 -3 的值为（ ）4 5A 、10B 、20C 、24D 、222、设a=i+2j-k,b=2j+3k ，则a 与b 的向量积为（ ） A 、i-j+2k B 、8i-j+2k C 、8i-3j+2k D 、8i-3i+k3、点P （-1、-2、1）到平面x+2y-2z-5=0的距离为（ ） A 、2 B 、3 C 、4 D 、54、函数z=xsiny 在点（1，4π）处的两个偏导数分别为（ ）A 、,22 ,22 B 、,2222- C 、22- 22- D 、22-,225、设x 2+y 2+z 2=2Rx ，则yzx z ∂∂∂∂,分别为（ ） A 、z y z R x --, B 、z y z R x ---, C 、zyz R x ,-- D 、zyz R x ,- 6、设圆心在原点，半径为R ，面密度为22y x +=μ的薄板的质量为（ ）（面积A=2R π）A 、R 2AB 、2R 2AC 、3R 2A D 、A R 221 7、级数∑∞=-1)1(n nnn x 的收敛半径为（ ）A 、2B 、21C 、1D 、3 8、cosx 的麦克劳林级数为（ ）A 、∑∞=-0)1(n n)!2(2n x n B 、∑∞=-1)1(n n )!2(2n x n C 、∑∞=-0)1(n n )!2(2n x n D 、∑∞=-0)1(n n)!12(12--n x n9、微分方程(y``)4+(y`)5+y`+2=0的阶数是（ ） A 、一阶 B 、二阶 C 、三阶 D 、四阶 10、微分方程y``+3y`+2y=0的特征根为（ ） A 、-2，-1 B 、2，1 C 、-2，1 D 、1，-2 二、填空题（本题共5小题，每题4分，共20分） 1、直线L 1：x=y=z 与直线L 2：的夹角为z y x =-+=-1321___________。

《高等数学》试卷6（下）一.选择题（3分⨯10）1.点1M ()1,3,2到点()4,7,22M 的距离=21M M （ ）.A.3B.4C.5D.62.向量j i b k j i a ρρρρρϖϖ+=++-=2,2，则有（ ）.A.a ρ∥b ρB.a ρ⊥b ρC.3,π=b a ρρD.4,π=b a ρρ3. 设有直线1158:121x y z L --+==-和26:23x y L y z -=⎧⎨+=⎩，则1L 与2L 的夹角为（ ） （A ）6π； （B ）4π； （C ）3π； （D ）2π. 4.两个向量a ρ与b ρ垂直的充要条件是（ ）.A.0=⋅b a ρρB.0ρρρ=⨯b aC.0ρρρ=-b aD.0ρρρ=+b a5.函数xy y x z 333-+=的极小值是（ ）. A.2 B.2- C.1 D.1-6.设y x z sin =，则⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂4,1πyz ＝（ ）.A.22B.22-C.2D.2-7. 级数1(1)(1cos ) (0)n n nαα∞=-->∑是（ ）（A ）发散； （B ）条件收敛； （C ）绝对收敛； （D ）敛散性与α有关.8.幂级数∑∞=1n nnx 的收敛域为（ ）.A.[]1,1- B ()1,1- C.[)1,1- D.(]1,1-9.幂级数nn x ∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛02在收敛域内的和函数是（ ）.A.x -11 B.x -22 C.x -12 D.x-21 二.填空题（4分⨯5）1.一平面过点()3,0,0A 且垂直于直线AB ，其中点()1,1,2-B ，则此平面方程为______________________.2.函数()xy z sin =的全微分是______________________________.3.设13323+--=xy xy y x z ，则=∂∂∂yx z2_____________________________. 4. 设L 为取正向的圆周：221x y +=，则曲线积分2(22)d (4)d Lxy y x x x y -+-=⎰Ñ____________. 5. .级数1(2)n n x n ∞=-∑的收敛区间为____________.三.计算题（5分⨯6）1.设v e z u sin =，而y x v xy u +==,，求.,yzx z ∂∂∂∂ 2.已知隐函数()y x z z ,=由方程05242222=-+-+-z x z y x 确定，求.,yz x z ∂∂∂∂ 3.计算σd y x D⎰⎰+22sin ，其中22224:ππ≤+≤y x D .4.．计算10d d y xy x x⎰ .试卷6参考答案一.选择题 CBCAD ACCBD 二.填空题1.0622=+--z y x .2.()()xdy ydx xy +cos .3.19622--y y x .4. ()n n n n x ∑∞=+-0121.5.()x e x C C y 221-+= . 三.计算题1.()()[]y x y x y e xzxy +++=∂∂cos sin ，()()[]y x y x x e y z xy +++=∂∂cos sin . 2.12,12+=∂∂+-=∂∂z yy z z x x z . 3.⎰⎰=⋅πππρρρϕ202sin d d 26π-. 4.3316R . 5.x x e e y 23-=. 四.应用题1.长、宽、高均为m 32时，用料最省.2..312x y =《高数》试卷7（下）一.选择题（3分⨯10）1.点()1,3,41M ，()2,1,72M 的距离=21M M （ ）. A.12 B.13 C.14 D.152.设两平面方程分别为0122=++-z y x 和05=++-y x ，则两平面的夹角为（ ）. A.6π B.4π C.3π D.2π 3.点()1,2,1--P 到平面0522=--+z y x 的距离为（ ）. A.3 B.4 C.5 D.6 4.若几何级数∑∞=0n n ar 是收敛的，则（ ）.A.1≤rB. 1≥rC.1<rD.1≤r 8.幂级数()n n x n ∑∞=+01的收敛域为（ ）.A.[]1,1-B.[)1,1-C.(]1,1-D. ()1,1- 9.级数∑∞=14sin n n na是（ ）.A.条件收敛B.绝对收敛C.发散D.不能确定 10. ．考虑二元函数(,)f x y 的下列四条性质：（1）(,)f x y 在点00(,)x y 连续； （2）(,),(,)x y f x y f x y 在点00(,)x y 连续 （3）(,)f x y 在点00(,)x y 可微分； （4）0000(,),(,)x y f x y f x y 存在. 若用“P Q ⇒”表示有性质P 推出性质Q ，则有（ ） （A ）(2)(3)(1)⇒⇒； （B ）(3)(2)(1)⇒⇒ （C ）(3)(4)(1)⇒⇒； （D ）(3)(1)(4)⇒⇒ 二.填空题（4分⨯5）1. 级数1(3)nn x n ∞=-∑的收敛区间为____________.2.函数xy e z =的全微分为___________________________.3.曲面2242y x z -=在点()4,1,2处的切平面方程为_____________________________________. 4.211x +的麦克劳林级数是______________________. 三.计算题（5分⨯6）1.设k j b k j i a ρρρρρρρ32,2+=-+=，求.b a ρρ⨯2.设22uv v u z -=，而y x v y x u sin ,cos ==，求.,y z x z ∂∂∂∂ 3.已知隐函数()y x z z ,=由233=+xyz x 确定，求.,yz x z ∂∂∂∂ 4. 设∑是锥面1)z z =≤≤下侧，计算y z 2d d 3(1)d d xd d y z x z x y ∑++-⎰⎰四.应用题（10分⨯2）试用二重积分计算由x y x y 2,==和4=x 所围图形的面积.试卷7参考答案一.选择题 CBABA CCDBA.二.填空题 1.211212+=-=-z y x . 2.()xdy ydx e xy +. 3.488=--z y x . 4.()∑∞=-021n n n x .5.3x y =. 三.计算题1.k j i ρρρ238+-.2.()()()y y x y y y y x yz y y y y x x z 3333223cos sin cos sin cos sin ,sin cos cos sin +++-=∂∂-=∂∂ . 3.22,z xy xz y z z xy yz x z +-=∂∂+-=∂∂. 4.⎪⎭⎫ ⎝⎛-3223323πa . 5.x x e C e C y --+=221. 四.应用题 1.316. 2. 00221x t v gt x ++-=.《高等数学》试卷3（下）一、选择题（本题共10小题，每题3分，共30分） 1、二阶行列式 2 -3 的值为（ ）4 5A 、10B 、20C 、24D 、222、设a=i+2j-k,b=2j+3k ，则a 与b 的向量积为（ ） A 、i-j+2k B 、8i-j+2k C 、8i-3j+2k D 、8i-3i+k3、点P （-1、-2、1）到平面x+2y-2z-5=0的距离为（ ） A 、2 B 、3 C 、4 D 、54、函数z=xsiny 在点（1，4π）处的两个偏导数分别为（ ） A 、,22 ,22 B 、,2222- C 、22- 22- D 、22-,225、设x 2+y 2+z 2=2Rx ，则yzx z ∂∂∂∂,分别为（ ） A 、z y z R x --, B 、z y z R x ---, C 、zyz R x ,-- D 、zyz R x ,- 6、设圆心在原点，半径为R ，面密度为22y x +=μ的薄板的质量为（ ）（面积A=2R π） A 、R 2A B 、2R 2A C 、3R 2A D 、A R 2217、级数∑∞=-1)1(n nnn x 的收敛半径为（ ）A 、2B 、21 C 、1 D 、3 8、cosx 的麦克劳林级数为（ ）A 、∑∞=-0)1(n n)!2(2n x n B 、∑∞=-1)1(n n )!2(2n x n C 、∑∞=-0)1(n n )!2(2n x n D 、∑∞=-0)1(n n)!12(12--n x n9、微分方程(y``)4+(y`)5+y`+2=0的阶数是（ ） A 、一阶 B 、二阶 C 、三阶 D 、四阶 10、微分方程y``+3y`+2y=0的特征根为（ ） A 、-2，-1 B 、2，1 C 、-2，1 D 、1，-2 二、填空题（本题共5小题，每题4分，共20分） 1、直线L 1：x=y=z 与直线L 2：的夹角为z y x =-+=-1321___________。

高等数学下考试题库(附答案)一、选择题（每题5分，共25分）1. 设函数f(x)在区间[a, b]上单调递增，且f(a) = 1，f(b) = 2，则下列不等式成立的是：A. f(x) ≥ 1，a ≤ x ≤ bB. f(x) ≤ 2，a ≤ x ≤ bC. f(x) ≥ f(a)，a ≤ x ≤ bD. f(x) ≤ f(b)，a ≤ x ≤ b答案：C2. 设函数f(x) = x^3 - 3x，其导函数f'(x) =3x^2 - 3，则f'(x)的符号变化点为：A. x = -1 和 x = 1B. x = 0 和 x = 2C. x = -1 和 x = 1D. x = 0 和 x = 1答案：A3. 下列关于极限的叙述正确的是：A. 当x → 0时，sinx → 0B. 当x → ∞时，e^x → ∞C. 当x → -∞时，|x| → ∞D. 当x → a时，x^2 → a^2答案：B4. 设函数f(x) = (x - 1)^2，则f(x)的极值点为：A. x = 1B. x = -1C. x = 0D. x = 2答案：A5. 下列关于积分计算的叙述正确的是：A. 定积分与不定积分具有相同的计算法则B. 定积分的计算结果为数值，不定积分的计算结果为函数C. 被积函数为偶函数时，定积分的计算结果为非负数D. 被积函数为奇函数时，定积分的计算结果为0答案：D二、填空题（每题5分，共25分）1. 设函数f(x) = x^3 - 3x，其导函数为f'(x) = ______。

答案：3x^2 - 32. 函数y = e^x的导数为y' = ______。

答案：e^x3. 定积分$$ ∫_{ a }^{ b }$$f(x)dx的定义为f(x)在[a, b]上的______。

答案：面积4. 设函数f(x) = x^2，则f(x)的极值点为______。

答案：x = 05. 设函数f(x) = sinx，则f(x)的周期为______。

大工模拟试题一、选择题（每题2分，共20分）1. 根据题目所给的函数 \( f(x) = 3x^2 - 2x + 1 \)，求导后的函数 \( f'(x) \) 是：A. \( 6x - 2 \)B. \( 3x^2 - 2 \)C. \( 6x + 1 \)D. \( 3x + 1 \)2. 一个物体从静止开始，以加速度 \( a \) 进行匀加速直线运动，经过时间 \( t \) 后，其速度 \( v \) 为：A. \( v = at \)B. \( v = a + t \)C. \( v = at^2 \)D. \( v = a \cdot t^2 \)3. 在化学中，氧化还原反应的特征是：A. 电子的转移B. 质量守恒C. 能量守恒D. 电荷守恒4. 根据题目所给的电路图，计算通过电阻 \( R \) 的电流 \( I \)，假设电源电压为 \( U \)，电阻值为 \( R \)，且电路为纯电阻电路：A. \( I = \frac{U}{R} \)B. \( I = R \cdot U \)C. \( I = U - R \)D. \( I = R + U \)5. 以下哪个选项是描述原子核的组成？A. 质子和中子B. 质子和电子C. 中子和电子D. 电子和离子6. 根据题目所给的DNA序列 \( 5'-ATCGTACG-3' \)，其互补序列是：A. \( 5'-TAGCATGC-3' \)B. \( 3'-TAGCATGC-5' \)C. \( 5'-TAGCTAGC-3' \)D. \( 3'-ATCGTACG-5' \)7. 在经济学中，市场均衡价格是由以下哪个因素决定的？A. 消费者偏好B. 政府规定C. 供给和需求D. 生产成本8. 以下哪个是描述相对论的基本原理？A. 物质不灭B. 能量守恒C. 光速不变D. 万有引力9. 根据题目所给的历史事件，以下哪个选项是描述法国大革命的？A. 1789年7月14日，巴黎人民攻占巴士底狱B. 1776年7月4日，美国发表《独立宣言》C. 1917年11月，俄国十月革命D. 1945年5月8日，第二次世界大战欧洲战场战争结束10. 在计算机科学中，以下哪个选项是描述操作系统的？A. 编译器B. 解释器C. 操作系统D. 应用软件二、填空题（每题2分，共20分）11. 根据牛顿第二定律，力 \( F \)、质量 \( m \) 和加速度 \( a \) 之间的关系是 \( F = \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\)。

机 密★启用前大连理工大学网络教育学院2014年8月份《高等数学》课程考试 模拟试卷答案考试形式：闭卷 试卷类型：B一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1、B2、C3、B4、C5、C6、C7、D8、C9、C 10、B二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1、x e -2、213、()C x d +ln4、)31,1( 5、-4 6、C x x x +-ln 7、0≠k 8、)ln(2y x -9、y x e ydx xdy )(+ 10、12+e三、计算题（本大题共5小题，每小题8分，共40分）1、解：x x y 632+='，由导数的几何意义，曲线在（-1，-3）点的切线的斜率36311-=-='=-=x y k （2分），法线斜率31112=-=k k （2分）， 所以切线方程为)1(33+-=+x y ，即063=++y x （2分） 法线方程为)1(313+=+x y ，即083=--y x （2分） 2、解:设t a x sin =，2 2 ππ<<-t ,（1分） 那么22x a -t a t a a cos sin 222=-=,tdt a dx cos =，（2分） 于是⎰⎰⋅=-tdt a t a dx x a cos cos 22C t t a tdt a ++==⎰)2sin 4121(cos 222（2分） 因为a x t arcsin =,ax a a x t t t 222cos sin 22sin -⋅==,（1分） 所以dx x a ⎰-22C t t a ++=)2sin 4121(2C x a x a x a +-+=22221arcsin 2（2分）3、解：1-⋅=∂∂y x y x z （3分），x x y z y ln =∂∂（3分），xdy x dx yx dy yz dx x z dz y y ln 1+=∂∂+∂∂=-（2分） 4、解：由于0=x 时，)(x f 无定义，故0=x 是)(x f 的间断点，因为+∞=-=-→→--11lim )(lim 200x x x x e x f -∞=-=-→→++11lim )(lim 200x x x x e x f 所以，0=x 是)(x f 的第二类间断点（无穷间断点）。

机 密★启用前大连理工大学网络教育学院2015年3月份《高等数学》课程考试 模拟试卷答案考试形式：闭卷 试卷类型：A一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1、C2、A3、C4、B5、B6、C7、D8、B9、C 10、A二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1、21-=x y2、03、dx x x x x x x x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+---2222121)23(arccos 6 4、>（或写成“大于”）5、C x x +-3sin 31sin6、13-=x y7、x 2sin 2ππ 8、C e x+--9、必要 10、22y x xy+三、计算题（本大题共5小题，每小题8分，共40分）1、解：所给极限为“00”型，注意当0→x 时，x x ~)1ln(+（4分）。

因此211sin lim sin lim )1ln(sin lim 000=+=⎪⎭⎫⎝⎛+=+=++→→→x x x x x xx x xx x x x （4分）2、解：本题为第一类换元法计算不定积分解法Ⅰ 做变量代换，令,1,ln du dx x u x ==（4分）C x C u udu dx x x+=+==⎰⎰ln sin sin cos ln cos （4分）解法Ⅱ 凑微分法，使用凑微分公式⎰⎰+===Cx x xd dx x xx d dx x ln sin )(ln ln cos ln cos ),ln(13、解：依前述求定义域的原则，需有⎩⎨⎧>+-≥--01204222x y y x ，（4分）即⎩⎨⎧>+≤+x y y x 214222（4分） 从几何图形来看，已给函数的定义域为介于圆422≤+y x （包括边界）内，在抛物线x y 212=+右侧（不包括抛物线上的点）的区域，如下图所示。

4、解法一：利用全微分公式，设y z y z x z y x F ++=2222),,(，则z y x F yz F xz F z y x 2224,14,2+='+='='。

《高等数学》试卷6（下）一.选择题（3分⨯10）1.点1M ()1,3,2到点()4,7,22M 的距离=21M M （ ）.A.3B.4C.5D.62.向量j i b k j i a ρρρρρϖϖ+=++-=2,2，则有（ ）.A.a ρ∥b ρB.a ρ⊥b ρC.3,π=b a ρρD.4,π=b a ρρ3. 设有直线1158:121x y z L --+==-和26:23x y L y z -=⎧⎨+=⎩，则1L 与2L 的夹角为（）（A ）6π； （B ）4π； （C ）3π； （D ）2π.4.两个向量a ρ与b ρ垂直的充要条件是（ ）.A.0=⋅b a ρρB.0ρρρ=⨯b aC.0ρρρ=-b aD.0ρρρ=+b a5.函数xy y x z 333-+=的极小值是（ ）.A.2B.2-C.1D.1-6.设y x z sin =，则⎪⎭⎫⎝⎛∂∂4,1πy z＝（ ）. A.22 B.22- C.2 D.2-7. 级数1(1)(1cos ) (0)n n nαα∞=-->∑是（ ）（A ）发散； （B ）条件收敛； （C ）绝对收敛； （D ）敛散性与α有关.8.幂级数∑∞=1n nnx 的收敛域为（ ）.A.[]1,1- B ()1,1- C.[)1,1- D.(]1,1-9.幂级数nn x ∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛02在收敛域内的和函数是（ ）. A.x -11 B.x -22 C.x -12 D.x -21二.填空题（4分⨯5）1.一平面过点()3,0,0A 且垂直于直线AB ，其中点()1,1,2-B ，则此平面方程为______________________.2.函数()xy z sin =的全微分是______________________________.3.设13323+--=xy xy y x z ，则=∂∂∂y x z 2_____________________________. 4. 设L 为取正向的圆周：221x y +=，则曲线积分2(22)d (4)d Lxy y x x x y -+-=⎰Ñ____________. 5. .级数1(2)nn x n ∞=-∑的收敛区间为____________. 三.计算题（5分⨯6）1.设v e z u sin =，而y x v xy u +==,，求.,yz x z ∂∂∂∂ 2.已知隐函数()y x z z ,=由方程05242222=-+-+-z x z y x 确定，求.,yz x z ∂∂∂∂ 3.计算σd y x D⎰⎰+22sin ，其中22224:ππ≤+≤y x D . 4.．计算10d d yx y x x⎰. 试卷6参考答案一.选择题 CBCAD ACCBD二.填空题1.0622=+--z y x .2.()()xdy ydx xy +cos .3.19622--y y x . 4. ()n n n n x ∑∞=+-0121. 5.()x ex C C y 221-+= .三.计算题1.()()[]y x y x y e x zxy +++=∂∂cos sin ，()()[]y x y x x e y zxy +++=∂∂cos sin . 2.12,12+=∂∂+-=∂∂z yy zz xx z.3.⎰⎰=⋅πππρρρϕ202sin d d 26π-. 4.3316R .5.x x e e y 23-=.四.应用题1.长、宽、高均为m 32时，用料最省.2..312x y =《高数》试卷7（下）一.选择题（3分⨯10）1.点()1,3,41M ，()2,1,72M 的距离=21M M （ ）. A.12 B.13 C.14 D.152.设两平面方程分别为0122=++-z y x 和05=++-y x ，则两平面的夹角为（）. A.6π B.4π C.3π D.2π3.点()1,2,1--P 到平面0522=--+z y x 的距离为（ ）.A.3B.4C.5D.64.若几何级数∑∞=0n n ar 是收敛的，则（ ）.A.1≤rB. 1≥rC.1<rD.1≤r8.幂级数()n n x n ∑∞=+01的收敛域为（ ）.A.[]1,1-B.[)1,1-C.(]1,1-D. ()1,1-9.级数∑∞=14sin n n na 是（ ）. A.条件收敛 B.绝对收敛 C.发散 D.不能确定10. ．考虑二元函数(,)f x y 的下列四条性质：（1）(,)f x y 在点00(,)x y 连续； （2）(,),(,)x y f x y f x y 在点00(,)x y 连续（3）(,)f x y 在点00(,)x y 可微分； （4）0000(,),(,)x y f x y f x y 存在.若用“P Q ⇒”表示有性质P 推出性质Q ，则有（ ）（A ）(2)(3)(1)⇒⇒； （B ）(3)(2)(1)⇒⇒（C ）(3)(4)(1)⇒⇒； （D ）(3)(1)(4)⇒⇒二.填空题（4分⨯5）1. 级数1(3)nn x n ∞=-∑的收敛区间为____________. 2.函数xye z =的全微分为___________________________.3.曲面2242y x z -=在点()4,1,2处的切平面方程为_____________________________________.4.211x +的麦克劳林级数是______________________. 三.计算题（5分⨯6）1.设k j b k j i a ρρρρρρρ32,2+=-+=，求.b a ρρ⨯2.设22uv v u z -=，而y x v y x u sin ,cos ==，求.,yz x z ∂∂∂∂ 3.已知隐函数()y x z z ,=由233=+xyz x 确定，求.,y z x z ∂∂∂∂ 4. 设∑是锥面1)z z =≤≤下侧，计算y z 2d d 3(1)d d xd d y z x z x y ∑++-⎰⎰四.应用题（10分⨯2） 试用二重积分计算由x y x y 2,==和4=x 所围图形的面积.试卷7参考答案一.选择题 CBABA CCDBA.二.填空题 1.211212+=-=-z y x . 2.()xdy ydx e xy +.3.488=--z y x .4.()∑∞=-021n n n x . 5.3x y =.三.计算题1.k j i ρρρ238+-.2.()()()y y x y y y y x y z y y y y x x z 3333223cos sin cos sin cos sin ,sin cos cos sin +++-=∂∂-=∂∂ . 3.22,z xy xz y z z xy yz x z +-=∂∂+-=∂∂. 4. ⎪⎭⎫ ⎝⎛-3223323πa . 5.x x e C e C y --+=221.四.应用题 1.316. 2. 00221x t v gt x ++-=.《高等数学》试卷3（下）一、选择题（本题共10小题，每题3分，共30分）1、二阶行列式 2 -3 的值为（ ） 4 5A 、10B 、20C 、24D 、222、设a=i+2j-k,b=2j+3k ，则a 与b 的向量积为（ ）A 、i-j+2kB 、8i-j+2kC 、8i-3j+2kD 、8i-3i+k3、点P （-1、-2、1）到平面x+2y-2z-5=0的距离为（ ）A 、2B 、3C 、4D 、54、函数z=xsiny 在点（1，4π）处的两个偏导数分别为（ ） A 、,22 ,22 B 、,2222- C 、22- 22- D 、22- ,22 5、设x 2+y 2+z 2=2Rx ，则yz x z ∂∂∂∂,分别为（ ） A 、z y z R x --, B 、z y z R x ---, C 、zy z R x ,-- D 、z y z R x ,- 6、设圆心在原点，半径为R ，面密度为22y x +=μ的薄板的质量为（ ）（面积A=2R π）A 、R 2AB 、2R 2AC 、3R 2AD 、A R 221 7、级数∑∞=-1)1(n nn n x 的收敛半径为（ ） A 、2 B 、21 C 、1 D 、3 8、cosx 的麦克劳林级数为（ ）A 、∑∞=-0)1(n n)!2(2n x n B 、∑∞=-1)1(n n )!2(2n x n C 、∑∞=-0)1(n n )!2(2n x n D 、∑∞=-0)1(n n )!12(12--n x n 9、微分方程(y``)4+(y`)5+y`+2=0的阶数是（ ）A 、一阶B 、二阶C 、三阶D 、四阶10、微分方程y``+3y`+2y=0的特征根为（ ）A 、-2，-1B 、2，1C 、-2，1D 、1，-2二、填空题（本题共5小题，每题4分，共20分）1、直线L 1：x=y=z 与直线L 2：的夹角为z y x =-+=-1321___________。

高数（下）试题（一）解答一、1．0；2．1a b ⋅= 、3πθ=；3．1x >；4．/2xy y =；5．10m =；6．(,)cos cos df x y y xydx x xydy =+；7．13x ≤<；8．312()x y c c x e -=+； 二、 B ；A ；B ；A ；A ；C ；A ；D ；A ；C ； 三、解：所求平面法向量为：11122111i jkn i j ==-+-故所求平面方程为：(1)(1)00x y x y ---=⇒-=． 四、解：两边对x 求偏导得：(1)zz z z z yz yz e yz xy x x x xy z e xy ∂∂∂=+⇒==∂∂∂--； 两边对y 求偏导得：(1)zz z z z xz xz e xz xy y y y xy z e xy ∂∂∂=+⇒==∂∂∂--． 五、解：222222222244164(4)(4)Dx y x y x y dxdy x y dxdy x y dxdy +≤≤+≤+-=--++-⎰⎰⎰⎰⎰⎰2224220224442202(4)(4)2(2)2(2)8647244d r rdr d r rdrr r r r ππθθπππππ=-+-=-+-=+=⎰⎰⎰⎰六、解：因为1(1)nn n a ∞=-∑发散，若lim 0n n a →∞=，则由交错级数可知，必有1(1)n n n a ∞=-∑收敛；故lim 0n n a →∞≠，由于0n a ≥，lim 0n n a →∞∴>，1lim lim11n n n n n u a →∞→∞∴=<+； 故级数11()1nn n a ∞=+∑收敛． 七、解：1(1)n a n n =+ ，1(1)lim lim1(1)(2)n n n na n n a n n +→∞→∞+==++，1;1R ρ∴== 又1x =±时，级数收敛，故收敛区间为[1,1]-；记12111()()()(1)1n n nn n n x x x S x S x S x n n n n ∞∞∞=====-=-++∑∑∑，则有： 1111'(),(11)1n n S x x x x ∞-===-<<-∑，10()ln(1)1xdxS x x x ∴==---⎰；又2211()(())',(11)11n n n n x xxS x xS x x x n x ∞∞===⇒==-<<+-∑∑ 20()ln(1)1xxdx xS x x x x ∴==----⎰，2ln(1)0,()1x x S x x -∴≠=--； ln(1)1ln(1),0()0,0x x x S x xx -⎧+--≠⎪∴=⎨⎪=⎩，又11,lim lim(1)11n n n x S S n →∞→∞===-=+． 八、解：设圆柱体的高为h ，底面半径为r ，222()2hr R +=，又体积为2V r h π=；则拉格朗日函数为2222(,)()4h L r h r h R r πλ=+--，令2222220102()02Lrh r r Lr h h L h R r πλπλλ∂⎧=-=⎪∂⎪∂⎪=-=⎨∂⎪∂⎪=--=⎪∂⎩，解得2222,336h R r h R === 由实际问题可知，这样求得的h ，r 可使得圆柱体的体积最大．模拟试题（二）解答一、1．极小值；2．220(,)(,)y ydy f x y dx dy f x y dy ππππ-+⎰⎰⎰⎰；3．90；4．4；5．3(1)e e π-；6．1q >； 二、C ；B ；D ；A ；B ；D ；B ；三、解：因为(3)(75)0(1)(4)(72)0(2)a b a b a b a b ⎧+⋅-=⎨-⋅-=⎩由(1)得22716150(3)a a b b +⋅-= ；由(2)得2273080(4)a a b b -⋅+= ；由(3),(4)得22b a b =⋅ 且有22b b = ，1cos 2a b a b θ⋅∴==⋅，3πθ=．四、解：设曲线方程为，设00(,)x y 为其上任一点，则切线方程为：'00()()y y f x x x -=-，切线必过原点，则有'000()y f x x -=-⋅；故曲线满足的微分方程为：dy y dy dx y cx dx x y x =⇒=⇒=； 又曲线过点1(2,1)22xc y ⇒=⇒=．五、证明：设,,u tx v ty w tz ===，两边对t 求导得：1(,,)k f f f x y z kt f x y z u v w-∂∂∂++=∂∂∂ 两边乘以t 得：(,,)k f f f tx ty tz kt f x y z u v w∂∂∂++=∂∂∂ 即 (,,)f f f u v w k f u v w u v w ∂∂∂++=∂∂∂，(,,)f f f x y z kf x y z x y z∂∂∂∴++=∂∂∂． 六、21n n a ∞=∑ 收敛，而211n n ∞=∑收敛，2211()n n a n ∞=+∑收敛；又2212n n a a n n +≥⋅，由比较判别法可知1n n a n∞=∑绝对收敛．七、432dx x y ay y =+为一阶线性微分方程，先求3dx x ay y = 33dx dy x cy x y =⇒=，令3'32()()3()dx x c y y c y y c y y dy=⋅⇒=⋅+； 代入原方程得：'342()2()c y y y c y y c ⋅=⇒=+．故原方程的通解为：2353()x y c y y cy =+⋅=+；又53(0)20224y c c =⇒=+⋅⇒=-，即求得特解为534x y y =-．八、解：切向量为2{1,2,3}t t 垂直于{1,2,1}，则有211430,13t t t t ++=⇒=-=-，故所求之点为(1,1,1)--和111(,,)3927--． 九、解：过点(1,1,1)作垂直于平面1x y z ++=的直线方程得：111111x y z ---==； 用参数表示成：1;1;1x t y t z t =+=+=+，则此直线与平面的交点即为所求：2(1)(11)(1)13t t t +++++=⇒=-，投影坐标为：111(,,)333．十、解：特征方程为312300,1r r r r ⋅-=⇒==±，方程的通解为123xx c c ec e -++； 又"(0)0,'(0)2,(0)0y y y ===，由此可解出10c =，21c =-，31c =； 故满足要求的积分曲线为：x x y e e -=-+．模拟试题（三）解答一、1．76；2．2'3ln 3sin 1'sin 3xy y z F z x xz yz y F xy yz z ∂--=-=∂+；3．12S u -；4．(3,2)-，(1,0)； 5．3；6．32；7．12cos sin y C x C x =+；8．3322dx dy +；9．4(1)e π-； 二、 C ；A ；D ；A ；C ；C ；C ；C ；C ；三、解：222()cos sin 111ax axax du u u dy u dz y z e e ae a x x dx x y dx z dx a a a αααααα-=+⋅+=+⋅++++．四、解：0!n xn x e n ∞==∑，121!x n n e x x n -∞=-∴=∑，111()(1)!x n n d e nx dx x n -∞=-∴=+∑； 又因为211()x x x d e xe e dx x x --+=，所以12111()(1)!x n x x n d e nx xe e dx x n x -∞=--+∴==+∑ 当取1x =时，111(1)!1n n e e n ∞=-+==+∑． 五、解：因为22(3412288)169x y z d ++-=设2222(,,,)(3412288)(1)96x F x y z x y z y z λλ=+--+++-，则有22216(3412288)0488(3412288)204(3412288)201096xy z F x y z x F x y z y F x y z z x F y z λλλλ⎧=++-+=⎪⎪=++-+=⎪⎨=++-+=⎪⎪=++-=⎪⎩，解得：72,3,16x y y z λ===± 得点的坐标为13(9,,)88和13(9,,)88---把点13(9,,)88和13(9,,)88---代入距离公式得：121232013,,13d d d d ==<，故最近点为13(9,,)88，最远点为13(9,,)88---．六、解：22(1)01(1)!lim1(1)n n n n n+→+++ 七、解：因为112231111()nn ii n n n i S a aa a a a a a a a +++==-=-+-++-=-∑故n S 单调递增，且有上界11a C -，所以n S 有极限，即原级数收敛．八、解：1．(2)()242240A B a b a b ab ba λλλλ⋅=++=+++=+=2λ∴=-2．6S A B =⨯=(2)()2226A B a b a b a b b a λλλ∴⨯=+⨯+=⨯+⨯=-=所以1λ=-或5λ=．九、1．04πθ≤≤，12r ≤≤；22440101sin cos r I d arctg rdr d rdrr ππθθθθθ∴==⎰⎰⎰⎰2222401()413342216464d rdr ππππθθ-==⋅==⎰⎰； 2．02πθ≤≤ ，01r ≤≤；1122220(1)(1)(1)(221)44I d ln r rdr ln r d r ln πππθ∴=+=++=-⎰⎰⎰．模拟试题（四）解答一、1．4a =-；2．32-；3．（1，－2，－3）；4．22x y -；5．[1,1]-；6．sin y x c =+； 7．220nn n a x ∞=∑；8．11001xI dx e dy e ==-⎰⎰；9．外积为零或a b λ= ；10．aR b =；二、 A ；A ；D ；B ；B ；C ；A ；C ；A ；C ；三、证明：'z f x ∂=∂ ，2"'zf x yϕ∂=⋅∂∂，''z f y ϕ∂=⋅∂，22"z f x ∂=∂； 222z z z z x x y y x∂∂∂∂∴⋅=⋅∂∂∂∂∂． 四、解：2211x x y y yyx I dy e dx ydy e dy==⎰⎰⎰⎰ 2111100111(1)(1)222y x yy y yyedy y e dy ye dy y e ==-=-=--=⎰⎰⎰．五、解：六、解：设方程为660x y z D +-+=，即166x y zD D D ++=-- 11,6666D DD D ⋅⋅=∴=±；故所求方程为660x y z D +-±=． 七、解：111222ABC S a b a c b c ∆=⨯=⨯=⨯即sin sin sin ab C ac B bc A ==；所以原式得证．八、解：1121(1)22n n n n a n a n ++⋅=→+⋅ ，2R ∴= 当2x =-时，11(2)2n n n n -∞=-⋅∑收敛；当2x =时，1122n nn n -∞=⋅∑发散 即收敛区间为[2,2]-；设11()2n n n x S x n -∞==⋅∑，则两边求积分得：012()2212nx n n xx x S x dx x x ∞====--∑⎰ 22(),22(2)S x x x ∴=-≤≤-．九、解：设cos ,sin x y θθ==，并且θ是从π变到0，得sin (sin )cos cos d d πθθθθθθπ--=⎰．模拟试题（五）解答一、1．22221x y a b+≤；2．5、103、2；3．(0,0)；4．/2xy y =；5．1-、2y ；6．332；7．(1,1,2)；8．4e ；9．221x ce -+；10．0a b ⋅=二、 D ；C ；D ；C ；B ；A ；B 或C ；A ；D ；C ； 三、解：210sin sin x x Dxx ds dx dy x x=⎰⎰⎰⎰112001100sin ()(1)sin 1(1)cos (1)cos cos 01sin1xx x dx x xdxxx d x x x xdx =-=-=-=--=-⎰⎰⎰⎰四、解：因为22(,)xy z f x y e =-121222xy xy zf x f ye xf ye f x ∂=⋅+⋅=+∂ 21112221222[(2)]()[(2)]xy xy xy xy xy zx f y f xe e xye f ye f y f xe x y∂=⋅-+⋅+++⋅-+⋅∂∂ 222111222242()(1)xy xy xy xyf e x y f e xy f xye f =-+-+++．五、解：因为(1)n a n n =+，1(1)(2)limlim 1(1)n n n na n n a n n +→∞→∞++==+，1;1R ρ∴==又1x =±时，级数发散，故收敛区间为(1,1)-； 记11(1)()n n n n xs x ∞-=+=∑，两边积分得，01(1)()xn n n x s x dx ∞=+=∑⎰211()1xx n n x s x dxdx xx∞+===-∑⎰⎰，2//323()()1(1)x x s x x x -==-- 故31(23)(1)()(1)nn x x n n xxs x x ∞=-+==-∑．六、解：因为2222(26);6(26)6x y z d d x y z +--==+--设2222(,,,)(26)(21)F x y z x y z x y z λλ=+--+++-，则有2224(26)402(26)202(26)20210x y zF x y z x F x y z y F x y z z F x y z λλλλ=+--+=⎧⎪=+--+=⎪⎨=-+--+=⎪⎪=++-=⎩，解得：12x y z ==-=± 把点(1/2,1/2,-1/2)和(-1/2,-1/2,1/2)代入距离公式得：122646,33d d ==，故最近点为(1/2,1/2,-1/2)，最远点为(-1/2,-1/2,1/2)． 七、/24621(arctan )11x x x x x==-+-++3572460arctan (1)357xx x x x x x x dx x =-+-+=-+-+⎰当1x =时，111arctan11357=-+-+1(1)111arctan111213574n n n π∞=-∴=-+-+=-=-+∑ ．八、解：直线的方向向量为：1443215ij kl i j k =-=-----方程为325431x y z +--==．。