二次函数专题一：角度问题

二次函数角度问题解法一、介绍在数学中，二次函数是一种常见的函数形式，具有形如 y = ax^2 + bx + c 的特点。

二次函数角度问题解法是指在给定二次函数的情况下，通过求解函数的相关角度问题，来对函数进行分析和理解的方法。

二、相关角度问题二次函数角度问题包括函数的顶点、对称轴、开口方向、最值等问题。

通过对这些角度进行求解和分析，可以帮助我们更好地理解和应用二次函数。

2.1 顶点二次函数的顶点坐标可以通过求解函数的导数来确定。

对于一般形式的二次函数 y = ax^2 + bx + c，其导函数为y’ = 2ax + b。

令导数等于零，即 2ax + b = 0，解得 x = -b/2a。

将 x 值代入原函数，即可求得对应的 y 值。

这样就可以确定二次函数的顶点坐标。

2.2 对称轴二次函数的对称轴是指与函数图像关于直线 x = p 对称的直线。

对于一般形式的二次函数 y = ax^2 + bx + c，其对称轴的方程式为 x = -b/2a，该方程式由顶点的横坐标给出。

这表明，二次函数图像关于直线 x = -b/2a 对称。

2.3 开口方向二次函数的开口方向可以通过二次项系数 a 的正负来确定。

如果 a > 0，则二次函数的图像开口向上；如果 a < 0，则二次函数的图像开口向下。

这个特点对于理解二次函数的凹凸性以及判断最值都非常重要。

2.4 最值二次函数的最值可以通过函数的开口方向和顶点的纵坐标来确定。

当二次函数开口向上时，函数不取最小值，即不存在最小值；当二次函数开口向下时，函数的最小值即为顶点的纵坐标。

类似地，最大值也可以通过函数开口方向和顶点坐标的判断来确定。

三、解决方法在解决二次函数角度问题时，我们可以按照以下步骤进行：1.根据函数形式确定二次函数的各项系数 a、b、c。

2.求解顶点坐标：通过导数求解，令导数等于零，求得顶点的横坐标 x，再代入原函数求得顶点的纵坐标 y。

二次函数角度问题1、如图1，已知抛物线(a ≠0)经过A(3，0)、B(4，4)两点.（1）求抛物线的解析式；（2）将直线OB 向下平移m 个单位长度后，得到的直线与抛物线只有一个公共点D ，求m 的值及点D 的坐标；（3）如图2，若点N 在抛物线上，且∠NBO=∠ABO ，则在（2）的条件下，求出所有满足△POD ∽△NOB 的点P 的坐标（点P 、O 、D 分别与点N 、O 、B 对应）．2、如图，矩形OABC 的两边在坐标轴上，连接AC ，抛物线242y x x =-- 经过A ，B 两点.（1）求A 点坐标及线段AB 的长；（2）若点P 由点A 出发以每秒1个单位的速度沿AB 边向点B 移动，1秒后点Q 也由点A 出发以每秒7个单位的速度沿AO ，OC ，CB 边向点B 移动，当其中一个点到达终点时另一个点也停止移动，点P 的移动时间为t 秒.①当PQ⊥AC 时，求t 的值；②当PQ ∥AC 时，对于抛物线对称轴上一点H ，∠HOQ ＞∠POQ ，求点H 的纵坐标的取值范围.bx ax y +=2y x O A B D 图1 y O A B D N 图23、如图，点P 是直线：上的一点，过点P 作直线m ，使直线m 与抛物线有两个交点，设这两个交点为A 、B.（1）如果直线m 的解析式为，直接写出A 、B 的坐标；（2）如果已知P 点的坐标为（2， 2），点A 、B 满足PA=AB ，试求直线m 的解析式；（3）设直线与轴的交点为C ，如果已知∠AOB ＝90°且∠BPC=∠OCP ，求点P 的坐标．4、如图，抛物线1C ：23y ax bx =++与x 轴交于A 、B （4，0）两点，与y 轴交于点C ，且AB=BC.（1）求抛物线的函数关系式；（2）P 为第一象限内抛物线上一点，过点P 作PH ⊥x 轴于点H ，PQ ⊥BC 交x 轴于点Q ，PH 、PQ 分别交BC 于M 、N 两点，试问：是否存在这样的点P ，使得△PHQ 的周长恰好被BC 平分？若能，请求点P 的坐标；若不能，请说明理由；（3）将抛物线1C 向上平移t （0t ＞）个单位得到抛物线2C ，若抛物线2C 的顶点为T ，与x 轴两个交点分别为R 、S ，若∠RTS ＞∠ABC ，求t 的取值范围.22-=x y 2x y =2+=x y y1D C O xy PB A 5、如图1，已知抛物线1C ：22y ax =-的顶点为点P ，交x 轴于A 、B 两点（A 点在B 点左侧），且213sin 13ABP ∠=.（1）求抛物线的函数解析式；（2）过点A 的直线交第一象限的抛物线于点C ，交y 轴于点D ，若△ABC 的面积被y 轴分为1∶5两个部分，求直线AC 的解析式；（3）如图2，将抛物线1C 绕顶点P 旋转180°得到抛物线2C ，Q 为y 轴负半轴上的一点，过点Q 任作直线交旋转后的抛物线2C 于M 、N 两个不同点，是否存在这样的点Q ，使得∠MPN 恒为直角？若存在，请求出Q 点的坐标；若不存在，请说明理由.6、已知抛物线y=x 2﹣2x+c 与x 轴交于A ．B 两点，与y 轴交于C 点，抛物线的顶点为D 点，点A 的坐标为（﹣1，0）．（1）求D 点的坐标；（2）如图1，连接AC ，BD 并延长交于点E ，求∠E 的度数；（3）如图2，已知点P （﹣4，0），点Q 在x 轴下方的抛物线上，直线PQ 交线段AC 于点M ，当∠PMA=∠E 时，求点Q 的坐标．7、已知抛物线332++=bx ax y 与x 轴交于点A(1，0)、B(3，0)两点，与y 轴交于点C ．P 为抛物线的对称轴上的动点，且在x 轴的上方，直线AP 与抛物线交于另一点D ：(1) 求抛物线的解析式：(2) 如图1，连接AC 、DC ．若∠ACD ＝60°，求点D 的横坐标：(3) 如图2，过点D 作直线3-=y 的垂线，垂足为点E ．若PD PE 2=，求点P 的坐标？8、已知抛物线422-+-=a ax ax y 与x 轴分别交于A,B ，与y 轴交于C 点，顶点为P ． ⑴直接写出此抛物线的对称轴．⑵连接BP ，Q 点是抛物线上一动点（不与P 点重合），过Q 点的直线y=-3x+b 与直线BP 相交所成的锐角为45度，求此抛物线的解析式；⑶平移（2）中的抛物线，使抛物线的顶点在直线CP 上滑动，且与PC 交于另一点Q ．若点M 在直线AC 上方，且为（2）中的抛物线上点，当以M ，P ，Q 三点为顶点的三角形是含30°角的直角三角形时，求出所有符合条件的M 的坐标．。

二次函数角度类问题1．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线2=-+与x轴相交于O，A两点，顶点P的坐标为(2,1)y a x h k()-．点B为抛物线上一动点，连接AP，AB，过点B的直线与抛物线交于另一点C．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点B的横坐标与纵坐标相等，ABC OAP∠=∠，且点C位于x轴上方，求点C的坐标；（3）若点B的横坐标为t，90t<时，点C的横坐标ABC∠=︒，请用含t的代数式表示点C的横坐标，并求出当0的取值范围．2．如图，抛物线22(3)(69)y mx m x m =++-+与x 轴交于点A 、B ，与y 轴交于点C ，已知(3,0)B ．（1）求m 的值和直线BC 对应的函数表达式；（2）P 为抛物线上一点，若PBC ABC S S ∆∆=，请直接写出点P 的坐标；（3）Q 为抛物线上一点，若45ACQ ∠=︒，求点Q 的坐标．3．如图，抛物线(1)()a>与x轴交于A、B两点，交y轴于点C．y x x a=+-（其中1)（1）直接写出OCA∠的度数和线段AB的长（用a表示）；（2）若点D为ABC∆4，求此抛物线的解析式；∆的外心，且BCD∆与ACO（3）在（2）的前提下，试探究抛物线(1)()=+-上是否存在一点P，使得CAP DBAy x x a∠=∠？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．4．如图，抛物线2=++经过点(2,0)y ax bx cA-，(4,0)B，与y轴正半轴交于点C，且2OC OA=，抛物线的顶点为D，对称轴交x轴于点E．直线y mx n=+经过B，C两点．（1）求抛物线及直线BC的函数表达式；（2）点F是抛物线对称轴上一点，当FA FC+的最小值；+的值最小时，求出点F的坐标及FA FC（3）连接AC，若点P是抛物线上对称轴右侧一点，点Q是直线BC上一点，试探究是否存在以点E为直角顶点的∆，且满足tan tanRt PEQEQP OCA∠=∠．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．5．如图，已知抛物线24(0)y ax bx a=++≠与x轴交于点(1,0)A和B，与y轴交于点C，对称轴为直线52x=．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，若点P是线段BC上的一个动点（不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，连接OQ，当线段PQ长度最大时，判断四边形OCPQ的形状并说明理由；（3）如图2，在（2）的条件下，D是OC的中点，过点Q的直线与抛物线交于点E，且2DQE ODQ∠=∠．在y轴上是否存在点F，得BEF∆为等腰三角形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由．6．如图，在平面直角坐标系中，直线132y x=-+与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线213y x bx c=++经过坐标原点和点A，顶点为点M．（1）求抛物线的关系式及点M的坐标；（2）点E是直线AB下方的抛物线上一动点，连接EB，EA，当EAB∆的面积等于252时，求E点的坐标；（3）将直线AB向下平移，得到过点M的直线y mx n=+，且与x轴负半轴交于点C，取点(2,0)D，连接DM，求证：45ADM ACM∠-∠=︒．7．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线24(0)=++≠经过点(2,0)y ax bx aA-和点(4,0)B．（1）求这条抛物线所对应的函数表达式；（2）点P为该抛物线上一点（不与点C重合），直线CP将ABC∆的面积分成2:1两部分，求点P的坐标；（3）点M从点C出发，以每秒1个单位的速度沿y轴移动，运动时间为t秒，当OCA OCB OMA∠=∠-∠时，求t的值．8．如图，抛物线22=++经过(1,0)y ax bxB两点，与y轴交于点C，连接BC．A-，(4,0)（1）求该抛物线的函数表达式；（2）如图2，直线:3=+经过点A，点P为直线l上的一个动点，且位于x轴的上方，点Q为抛物线上的一个l y kx动点，当//PQ y轴时，作QM PQ⊥，交抛物线于点M（点M在点Q的右侧），以PQ，QM为邻边构造矩形PQMN，求该矩形周长的最小值；（3）如图3，设抛物线的顶点为D，在（2）的条件下，当矩形PQMN的周长取最小值时，抛物线上是否存在点F，使得CBF DQM∠=∠？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．9．已知二次函数．（1）若，，求方程的根的判别式的值； （2）如图所示，该二次函数的图象与轴交于点，、，，且，与轴的负半轴交于点，点在线段上，连接、，满足，． ①求证：；②连接，过点作于点，点在轴的负半轴上，连接，且，求的值．2(0)y ax bx c a =++>12a =2bc ==-20ax bx c ++=x 1(A x 0)2(B x 0)120x x <<y C D OC AC BD ACO ABD ∠=∠1b c x a-+=AOC DOB ∆≅∆BC D DE BC ⊥E 12(0,)F x x -y AF ACO CAF CBD ∠=∠+∠1cx10．如图，抛物线交轴于点，，是抛物线的顶点，是抛物线上的动点，点的横坐标为，交直线于点，交于点，交轴于点． （1）求抛物线的表达式；（2）设的面积为，的面积为，当时，求点的坐标；（3）连接，点在抛物线的对称轴上（位于第一象限内），且，在点从点运动到点的过程中，点也随之运动，直接写出点的纵坐标的取值范围．23y ax bx =+-x (1,0)A -(3,0)B D P P (03)m m //AE PD 1:22l y x =+E AP DE F y Q PDF ∆1S AEF ∆2S 12S S =P BQ M 45BMQ ∠=︒P B C M Mt11．抛物线过点，点，顶点为．（1）求抛物线的表达式及点的坐标；（2）如图1，点在抛物线上，连接并延长交轴于点，连接，若是以为底的等腰三角形，求点的坐标；（3）如图2，在（2）的条件下，点是线段上（与点，不重合）的动点，连接，作，边交轴于点，设点的横坐标为，求的取值范围．23y ax bx =++(1,0)A -(3,0)B C C P CP x D AC DAC ∆AC P E AC A C PE PEF CAB ∠=∠EF x F F mm12．如图，已知：抛物线与直线交于点，，与轴另一交点为．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上找一点，使的内心在轴上，求点的坐标；（3）是抛物线上一动点，过点作轴的垂线，垂足为，连接．在（2）的条件下，是否存在点，使？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．2y x bx c =++l (1,0)A -(2,3)C -x B P ACP ∆x P M M x N BM M MBN APC ∠=∠M13．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．（1）求抛物线的函数表达式．（2）若点为第三象限内抛物线上一动点，作轴于点，交于点，过点作的垂线与抛物线的对称轴和轴分别交于点、，设点的横坐标为．①求的最大值；②连接、，若，求的值．2y x bx c =++x A (1,0)B y (0,3)C -P PD x ⊥D AC E E AC y F G Pm PE DF DG 45FDG ∠=︒m14．如图1，抛物线与轴负半轴交于点，与轴正半轴交于点，与轴的负半轴交于点，． （1）求抛物线的解析式；（2）点、在第四象限内抛物线上，点在点下方，连接，，，设点的横坐标为，点的横坐标为，求与的函数关系式；（3）如图2，在（2）条件下，连接交于点，过点作于，连接，，是否存在点，使，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．214y x bx c =++x A x B y C 10OC OB ==P Q P Q CP CQ 180OCP OCQ ∠+∠=︒Q m P n m n AP CO D Q QE AB ⊥E BQ DE P 2AED EQB ∠=∠P15．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于和两点，交轴于点，点是线段上一动点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，过点作直线轴于，交抛物线于点，过点作于．（1）求抛物线解析式．（2）如图2，当点恰好在抛物线上时（与点重合），①求线段的长；②连接，求的值；③试探究在直线上，是否存在点，使？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．23y ax bx =++x (1,0)A -(5,0)B y C D OB CD CD D 90︒DE E l x ⊥H M C CF l ⊥F F M EH DF tan FDE ∠lG 45EDG ∠=︒G16．已知：在平面直角坐标系中，抛物线交轴于、两点．（1）如图1，求抛物线的解析式；（2）如图2，过点作射线轴，点是射线上一点，射线交抛物线于点，交轴于点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，射线交轴于点，设点的横坐标为，长为，求与的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；（3）如图3，在（2）的条件下，延长交抛物线于点，交轴于点，过点作轴于点，交于点，延长与过点且垂直于的直线交于点，连接、，若，求的值．xOy 2y x bx c =++x (1,0)A -(3,0)B (0,2)D //DR x E DR AE P y H AE E 90︒EF FB y C P t CH d d t t FE Q x G Q QM x ⊥M DR N QM F QF K AK GK 2180GKF AKG ∠+∠=︒d17．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点、，与轴交于点，直线经过、两点．（1）求抛物线的解析式；（2）若点为线段上的一个动点，过点作轴，交抛物线于点，过作轴，交直线于点，以、为边作矩形，矩形的周长能为10吗？如果能，请求出点的横坐标；如果不能，请说明理由；（3）点是抛物线上的一个动点，当时，请直接写出点的坐标．232y ax x c =-+x A B y C 122y x =+A C D AC D //DE y E E EF y ⊥AC F DE EF DEFG DEFG E P PCA BCO ∠=∠P18．如图所示：二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，连接，．（1）求直线的函数表达式；（2）如图1，若点为抛物线上线段右侧的一动点，连接，．求面积的最大值及相应点的坐标；（3）如图2，该抛物线上是否存在点，使得？若存在，请求出所有点的坐标；若不存在，请说明理由．26y x x =--x A B y C AC BC BC M BC CM BM BMC ∆M P ACO BCP ∠=∠P19．如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，抛物线的图象经过、两点，且与轴的负半轴交于点． （1）求二次函数的表达式；（2）若点在直线下方的抛物线上，如图1，连接、，设四边形的面积为，求的最大值；（3）若点在抛物线上，如图2，过点作于点，试问是否存在点，使得中的某个角恰好等于？若存在，请求点的横坐标；若不存在，请说明理由．122y x =-x B y C 212y x bx c =++B C x A D BC DC DB OCDB S S D D DM BC ⊥M D CDM ∆ABC ∠D20．如图抛物线与轴交于、两点在的右侧），且与直线交于，两点，已知点的坐标为．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点是线段上一点，且满足； ①若点为直线上方抛物线上一动点，设点的横坐标为，当为何值时，的面积最大； ②过点向轴作垂线，交轴于点，在抛物线上是否存在一点，使得．若存在，直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由．2y x bx c =-++x A B (B A 2y x =+A C B (6,0)E AC 16CE AE =P AC P t t PEA ∆E x x F N NAC FEB ∠=∠N21．如图①，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．（1）求该抛物线的解析式；（2）如图②，若点是抛物线上一动点，设点的横坐标为，连接，，当的面积等于面积的2倍时，求的值；（3）抛物线上是否存在点，使？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．23(0)y ax bx a =++≠x (1,0)A -(3,0)B y C D D (03)m m <<CD BD BCD ∆AOC ∆m P CBP ACO ABC ∠+∠=∠P22．已知：抛物线经过点和点，与轴交于另一点．（1）求抛物线的解析式；（2）点为第四象限内抛物线上的点，连接，，．设点的横坐标为．①如图1，当时，求的值；②如图2，连接，过点作轴的垂线，垂足为点．过点作的垂线，与射线交于点，与轴交于点．当时，求的值．2y x bx c =++(1,0)A -(0,3)C -x B P CP AP AC P (03)m m <<CP AC ⊥tan PAB ∠AC P x D C AP PD E x F EAD ACO ∠=∠m23．如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，直线为． （1）求抛物线的解析式．（2）过点作直线与抛物线在第一象限的交点为．当时，确定直线与的位置关系．（3）在第二象限抛物线上求一点，使．2y ax c =+x A B y CBC 2y x =-A AD D 3ABD ABC S S ∆∆=AD BC P 15PCA ∠=︒24．已知抛物线与轴交于点，点，与轴交于点，顶点为点，如图1所示．（1）求抛物线的解析式；（2）若点在抛物线上，点在轴上，是否存在以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图2所示，抛物线的对称轴与轴交于点，连接，将绕着点顺时针旋转得到△，在旋转过程中，连接，当首次出现时．求直线的函数表达式．23y ax bx =++x (1,0)A -(3,0)B y CD P Q x A C P Q P x N CN OCN ∆N O C N ''OO 'O ON OCN '∠=∠C O ''25．综合与探究：如图，抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点，直线经过，两点．（1）求，两点的坐标及直线的函数表达式．（2）点是直线上方抛物线上一点，其横坐标为，过点作直线轴于点，交直线于点．当时，求点的坐标．（3）在（2）的条件下，在轴上是否存在点，使得？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．2168y x x =-++x A B A B y C l B C A B l D l m D DE x ⊥E l F 2DF EF =D y P 2PAB DAB ∠=∠P26．如图，已知抛物线的对称轴为直线且与轴相交于点，与轴相交于点，直线经过点．（1）求该抛物线与直线的表达式；（2）设动点在该抛物线上，当时，求的值．212y x bx c =++52x =-x (6,0)A -y C :2l y x b =+C l (,)P m n 45PAC ∠=︒m27．综合与探究：如图1，已知抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点，顶点为，．（1）求抛物线的函数表达式；（2）判断的形状并说明理由；（3）如图2，是下方的抛物线上的一个动点，且点的横坐标为，求面积与的函数关系式及的最大值；（4）在抛物线上是否存在一点，使得，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．2y x bx c =++x A B A B y C D 3OA OC ==ACD ∆N AC N n CAN ∆S n S N NAB ABC ∠=∠N（1）求抛物线的解析式；（2）为轴上一动点，过点作轴，交直线于点，交抛物线于点，连接． ①点在线段上运动，若直角三角形，求点的坐标；②点在轴的正半轴上运动，若．请直接写出的值．(,0)E m x E ED x ⊥AB D P BP E OA BPD ∆E E x 45PBD CBO ∠+∠=︒m（1）求抛物线的解析式．（2）是抛物线对称轴上的一点连接，，求的最小值．（3）若为轴正半轴上一动点，过点作直线轴，交直线于点，交抛物线于点，连接，，当时，请求出的值．M BM CM BM CM +(,0)E m x E ED x ⊥AB D P BP BC 45PBD CBO ∠+∠=︒m30．抛物线交轴于，两点在的左边），交轴于，直线经过，两点． （1）求抛物线的解析式；（2）如图1，为直线上方的抛物线上一点，轴交于点，过点作于点．设，求的最大值及此时点坐标； （3）如图2，点在轴负半轴上，点绕点顺时针旋转，恰好落在第四象限的抛物线上点处，且，求点坐标．213y x bx c =-++x A B (A B y C 4y x =-+B C P BC //PD y BC D D DE AC ⊥E 1021m PD DE =+m P N y A N M 180ANM ACM ∠+∠=︒N答案与解析1．【答案】（1）y 2211(2)144y x x x =--=-（2）(6,3)或5(1,)4-（3）当0t <时，点C 的横坐标的取值范围是12C x 【详解】（1）抛物线2()y a x h k =-+，顶点P 的坐标为(2,1)-，2h ∴=，1k =-，即抛物线2()y a x h k =-+为2(2)1y a x =--，抛物线2()y a x h k =-+经过O ，即2(2)1y a x =--的图象过(0,0)，20(02)1a ∴=--，解得14a =， ∴抛物线的函数表达为2211(2)144y x x x =--=-； （2）在214y x x =-中，令y x =得214x x x =-， 解得0x =或8x =，(0,0)B ∴或(8,8)B ，①当(0,0)B 时，过B 作//BC AP 交抛物线于C ，此时ABC OAP ∠=∠，如图：在214y x x =-中，令0y =，得2104x x -=， 解得0x =或4x =，(4,0)A ∴，设直线AP 解析式为y kx b =+，将(4,0)A 、(2,1)P -代入得：0412k b k b =+⎧⎨-=+⎩，解得122k b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩， ∴直线AP 解析式为122y x =-， //BC AP ，∴设直线BC 解析式为12y x b '=+，将(0,0)B 代入得0b '=， ∴直线BC 解析式为12y x =， 由21214y x y x x ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩得00x y =⎧⎨=⎩（此时为点O ，舍去）或63x y =⎧⎨=⎩， (6,3)C ∴；②当(8,8)B 时，过P 作PQ x ⊥轴于Q ，过B 作BH x ⊥轴于H ，作H 关于AB 的对称点M ，作直线BM 交抛物线于C ，连接AM ，如图：(2,1)P -，(4,0)A ，1PQ ∴=，2AQ =，Rt APQ ∆中，1tan 2PQ OAP AQ ∠==， (8,8)B ，(4,0)A ，4AH ∴=，8BH =，Rt ABH ∆中，1tan 2AH ABH BH ∠==，OAP ABH ∴∠=∠， H 关于AB 的对称点M ，ABH ABM ∴∠=∠，ABM OAP ∴∠=∠，即C 是满足条件的点，设(,)M x y ， H 关于AB 的对称点M ，4AM AH ∴==，8BM BH ==，∴222222(4)(0)4(8)(8)8x y x y ⎧-+-=⎨-+-=⎩， 两式相减变形可得82x y =-，代入即可解得80x y =⎧⎨=⎩（此时为H ，舍去）或85165x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 8(5M ∴，16)5， 设直线BM 解析式为y cx d =+，将8(5M ，16)5，(8,8)B 代入得； 8816855c d c d =+⎧⎪⎨=+⎪⎩，解得342c d ⎧=⎪⎨⎪=⎩， ∴直线BM 解析式为324y x =+， 解232414y x y x x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩得154x y =-⎧⎪⎨=⎪⎩或88x y =⎧⎨=⎩（此时为B ，舍去）， 5(1,)4C ∴-， 综上所述，C 坐标为(6,3)或5(1,)4-； （3）设BC 交y 轴于M ，过B 作BH x ⊥轴于H ，过M 作MN BH ⊥于N ，如图：点B 的横坐标为t ，21(,)4B t t t ∴-，又(4,0)A ， |4|AH t ∴=-，21||4BH t t =-，||OH t MN ==， 90ABC ∠=︒，90MBN ABH BAH ∴∠=︒-∠=∠，且90N AHB ∠=∠=︒，ABH BMN ∴∆∆∽， ∴AH BH BN MN=，即21|||4|4||t t t BN t --= 22|4|41||4t t BN t t -∴==-， 2144NH t t ∴=-+， 21(0,4)4M t t ∴-+， 设直线BM 解析式为2144y ex t t =+-+， 将21(,)4B t t t -代入得2211444t t et t t -=+-+， 4e t∴=-，∴直线BC 解析式为24144y x t t t =-+-+， 由22144144y x x y x t t t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+-+⎪⎩得22141444x x x t t t -=-+-+， 解得1(x t B =的横坐标），22416164t t x t t t-+=-=--+， ∴点C 的横坐标为164t t--+； 当0t <时，164C x t t=--+224=++212=+，∴=时，C x 最小值是12，此时4t =-，∴当0t <时，点C 的横坐标的取值范围是12C x ．2．【答案】（1）1m =-，3y x =-（2）(2,1)，(1,0)，，（3）7(2Q ∴，5)4-． ：（1）将(3,0)B 代入22(3)(69)y mx m x m =++-+，化简得，20m m +=， 则0m =（舍)或1m =-，1m ∴=-，243y x x ∴=-+-．(0,3)C ∴-，设直线BC 的函数表达式为y kx b =+，将(3,0)B ，(0,3)C -代入表达式，可得，033k b b =+⎧⎨-=⎩，解得，13k b =⎧⎨=-⎩，∴直线BC 的函数表达式为3y x =-．（2）如图，过点A 作1//AP BC ，设直线1AP 交y 轴于点G ，将直线BC 向下平移GC 个单位，得到直线23P P ．由（1）得直线BC 的表达式为3y x =-，(1,0)A ，∴直线AG 的表达式为1y x =-，联立2143y x y x x =-⎧⎨=-+-⎩，解得10x y =⎧⎨=⎩，或21x y =⎧⎨=⎩， 1(2,1)P ∴或(1,0)，由直线AG 的表达式可得(0,1)G -，2GC ∴=，2CH =，∴直线23P P 的表达式为：5y x =-，联立2543y x y x x =-⎧⎨=-+-⎩，解得，x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，或，x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，2P ∴，3P； 综上可得，符合题意的点P 的坐标为：(2,1)，(1,0)，，；（3）如图，取点Q 使45ACQ ∠=︒，作直线CQ ，过点A 作AD CQ ⊥于点D ，过点D 作DF x ⊥轴于点F ，过点C 作CE DF ⊥于点E ，则ACD ∆是等腰直角三角形，AD CD ∴=，()CDE DAF AAS ∴∆≅∆，AF DE ∴=，CE DF =．设DE AF a ==，则1CE DF a ==+， 由3OC =，则3DF a =-，13a a ∴+=-，解得1a =．(2,2)D ∴-，又(0,3)C -，∴直线CD 对应的表达式为132y x =-， 设1(,3)2Q n n -，代人243y x x =-+-， ∴213432n n n -=-+-，整理得2702n n -=． 又0n ≠，则72n =． 7(2Q ∴，5)4-． 3．【答案】（1）45OCA ∴∠=︒，1AB a ∴=+（2）2(1)(2)2y x x x x =+-=--（3）存在，(1,2)-或1(2-，5)4-【详解】（1）定义抛物线(1)()y x x a =+-，令0y =，可得1x =-或a ， (1,0)B ∴-，(,0)A a ，令0x =，得到y a =-，(0,)C a ∴-，OA OC a ∴==，1OB =，1AB a ∴=+．90AOC ∠=︒，45OCA ∴∠=︒．（2）AOC ∆是等腰直角三角形，45OAC ∴∠=︒，点D 是ABC ∆的外心，290BDC CAB ∴∠=∠=︒，DB DC =， BDC ∴∆也是等腰直角三角形，DBC OAC ∴∆∆∽，∴BC AC =，∴=， 解得2a =或2(2--不是分式方程的根舍弃）， ∴抛物线的解析式为2(1)(2)2y x x x x =+-=--．（3）作点C 关于抛物线的对称轴12x =的对称点C '，连接AC '．(0,2)C -，(1,2)C '-，//PC AB ∴， BC ，AC '关于直线12x =对称， CB AC ∴='，∴四边形ABCP 是等腰梯形，CBA C AB ∴∠=∠'，45DBC OAC ∠=∠=︒，ABD CAC ∴∠=∠'，∴当点P 与点C '重合时满足条件，(1,2)P ∴-．作点P 关于直线AC 的对称点(0,1)E -，则EAC PAC ABD ∠=∠=∠，作直线AE 交抛物线于P '，点P '满足条件， (2,0)A ，(0,1)E -，∴直线AE 的解析式为112y x =-， 由21122y x y x x ⎧=-⎪⎨⎪=--⎩，解得20x y =⎧⎨=⎩（即点)A 或1254x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， 1(2P ∴'-，5)4-， 综上所述，满足条件的点P 的坐标为(1,2)-或1(2-，5)4-．4．【答案】（1）4y x =-+（2）3）存在，或【详解】（1）由点A 的坐标知，2OA =， 24OC OA ==，故点C 的坐标为(0,4)，将点A 、B 、C 的坐标代入抛物线表达式得：42016404a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=⎩，解得1214a b c ⎧=-⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩， 故抛物线的表达式为2142y x x =-++； 将点B 、C 的坐标代入一次函数表达式得：044m n n =+⎧⎨=⎩，解得14m n =-⎧⎨=⎩， 故直线BC 的表达式为4y x =-+；（2）点A 、B 关于抛物线的对称轴对称， 设抛物线的对称轴交BC 于点F ，则点F 为所求点，此时，当FA FC +的值最小，理由：由函数的对称性知，AF BF =， 则AF FC BF FC BC +=+=为最小，当1x =时，43y x =-+=，故点(1,3)F ， 由点B 、C 的坐标知，4OB OC ==，则BC ==即点F 的坐标为(1,3)、FA FC +的最小值为（3）存在，理由：设点P 的坐标为21(,4)2m m m -++、点Q 的坐标为(,4)t t -+， ①当点Q 在点P 的左侧时，如图2，过点P 、Q 分别作x 轴的垂线，垂足分别为N 、M ，由题意得：90PEQ ∠=︒，90PEN QEM ∴∠+∠=︒，90EQM QEM ∠+∠=︒，PEN EQM ∴∠=∠，90QME ENP ∴∠=∠=︒，QME ENP ∴∆∆∽， ∴21tan tan 42PN EN PE OA EPQ OCA ME QM QE OC ===∠=∠===， 则2142PN m m =-++，1ME t =-，1EN m =-，4QM t =-+， ∴214112142m m m t t -++-==--+，解得m =，当m =2142m m -++=故点P的坐标为． ②当点Q 在点P 的右侧时，分别过点P 、Q 作抛物线对称轴的垂线，垂足分别为N 、M ，则1MQ t =-，4ME t =-，2142NE m m =-++、1PN m =-， 同理可得：QME ENP ∆∆∽， ∴tan 2MQ ME EQ PQE EN PN PE===∠=， 即21421142t t m m m --==--++，解得m =（舍去负值），故m =故点P的坐标为， 故点P的坐标为或． 5．【答案】（1）254y x x =-+（2）见解析（3）存在，(0,1)或(0,1)-或25(0,)8 【详解】（1）由题意得：40522a b b a ++=⎧⎪-⎨=⎪⎩，解得15a b =⎧⎨=-⎩，故抛物线的表达式为254y x x =-+①；（2）对于254y x x =-+，令2540y x x =-+=，解得1x =或4，令0x =，则4y =， 故点B 的坐标为(4,0)，点(0,4)C ，设直线BC 的表达式为y kx t =+，则440t k t =⎧⎨+=⎩，解得14k t =-⎧⎨=⎩， 故直线BC 的表达式为4y x =-+，设点P 的坐标为(,4)x x -+，则点Q 的坐标为2(,54)x x x -+，则22(4)(54)4PQ x x x x x =-+--+=-+，10-<，故PQ 有最大值，当2x =时，PQ 的最大值为4CO =，此时点Q 的坐标为(2,2)-；PQ CO =，//PQ OC ，故四边形OCPQ 为平行四边形；（3）D 是OC 的中点，则点(0,2)D ，由点D 、Q 的坐标，同理可得，直线DQ 的表达式为22y x =-+， 过点Q 作QH x ⊥轴于点H ，则//QH CO ，故AQH ODA ∠=∠，而2DQE ODQ ∠=∠．HQA HQE ∴∠=∠，则直线AQ 和直线QE 关于直线QH 对称，故设直线QE 的表达式为2y x r =+，将点Q 的坐标代入上式并解得6r =-，故直线QE 的表达式为26y x =-②，联立①②并解得54x y =⎧⎨=⎩（不合题意的值已舍去）， 故点E 的坐标为(5,4)，设点F 的坐标为(0,)m ，由点B 、E 的坐标得：222(54)(40)17BE =-+-=，同理可得，当BE BF =时，即21617m +=，解得1m =±；当BE EF =时，即225(4)17m +-=，方程无解；当BF EF =时，即221625(4)m m +=+-，解得258m =； 故点F 的坐标为(0,1)或(0,1)-或25(0,)8． 6．【答案】（1）21233y x x =-=-，(3,3)-（2）5(1,)3-或7(2，35)12-（3）见解析 【详解】（1）对于132y x =-+，令1302y x =-+=，解得6x =，令0x =，则3y =， 故点A 、B 的坐标分别为(6,0)、(0,3)， 抛物线213y x bx c =++经过坐标原点，故0c =，将点A 的坐标代入抛物线表达式得：103663b =⨯+，解得2b =-， 故抛物线的表达式为2123y x x =-； 则抛物线的对称轴为3x =，当3x =时，21233y x x =-=-， 则点M 的坐标为(3,3)-；（2）如图1，过点E 作//EH y 轴交AB 于点H ，设点E 的坐标为21(,2)3x x x -，则点1(,3)2H x x -+， 则EAB ∆的面积21111256(32)22232EHB EHA S S EH OA x x x ∆∆=+=⨯⨯=⨯⨯-+-+=， 解得1x =或72， 故点E 的坐标为5(1,)3-或7(2，35)12-； （3）直线AB 向下平移后过点(3,3)M -，故直线CM 的表达式为113(3)3222y x x =---=--， 令13022y x =--=，解得3x =-， 故点(3,0)C -；过点D 作DH CM ⊥于点H ，直线CM 的表达式为1322y x =--，故1tan 2MCD ∠=，则sin MCD ∠=则sin (23)DH CD MCD =∠=+=由点D 、M 的坐标得，DM则sin DH HMD MD ∠=== 故4545HMD DMC ADM ACM ∠=︒=∠=∠-∠=︒，45ADM ACM ∴∠-∠=︒．7．【答案】（1）2142y x x =-++（2）(6,8)-（3）2t =或10 【详解】（1）设抛物线的表达式为12()()y a x x x x =--，则2(2)(4)28y a x x ax ax a =+-=--，即84a -=，解得12a =-， 故抛物线的表达式为2142y x x =-++①； （2）由点A 、B 的坐标知，2OB OA =，故CO 将ABC ∆的面积分成2:1两部分，此时，点P 不在抛物线上；如图1，当123BH AB ==时，CH 将ABC ∆的面积分成2:1两部分， 即点H 的坐标为(2,0)，则CH 和抛物线的交点即为点P ，由点C、H的坐标得，直线CH的表达式为24y x=-+②，联立①②并解得68xy=⎧⎨=-⎩（不合题意的值已舍去），故点P的坐标为(6,8)-；（3）在OB上取点(2,0)E，则ACO OCE∠=∠，OCA OCB OMA∠=∠-∠，故AMO ECB∠=∠，过点E作EF BC⊥于点F，在Rt BOC∆中，由OB OC=知，45OBC∠=︒，则2)EF BF==-，由点B、C的坐标知，BC=则CF BC BF=-=则1tan tan3EFECB AMOCF∠===∠，则21tan 3AO AMO OM OM ∠===， 则6OM =，故642CM OM OC =±=±=或10，则2t =或10．8．【答案】（1）213222y x x =-++（2）314（3）存在，(1,0)-或， 【详解】（1）设抛物线的表达式为12()()y a x x x x =--，即22(1)(4)(34)34y a x x a x x ax ax a =+-=--=--，即42a -=，解得12a =-， 故抛物线的表达式为213222y x x =-++； （2）将点A 的坐标代入直线l 的表达式得：03k =-+，解得3k =， 故直线l 的表达式为33y x =+，设点Q 的坐标为213(,2)22x x x -++，则点P 的坐标为(,33)x x +， 由题意得，点Q 、M 关于抛物线对称轴对称，而抛物线的对称轴为直线32x =， 故点M 的横坐标为3x -，则332QM x x x =--=-，设矩形周长为C ，则22132()2[3233(2)]822C PQ QM x x x x x x =+=-++--++=-+， 10>，故C 有最小值， 当12x =时，矩形周长最小值为314； （3）当12x =时，213212228y x x =-++=，即点Q 的坐标为1(2，21)8， 由抛物线的表达式知，点D 的坐标为3(2，25)8， 5(328)9过点D作DK QM⊥于点K，则25211882D QDK y y=-=-=，同理可得，1QK=，则1 tan2DKDQMQK∠==，CBF DQM∠=∠，故1 tan tan2CBF DQM∠=∠=，在BOC∆中，21 tan42COCBOOB∠===，故BF和BO重合，故点F和点A重合，即点F的坐标为(1,0)-，当点F在直线BC的上方时，5AC=BC=5AB=，222AB AC BC∴=+，90ACB∴∠=︒，则点A关于BC的对称点(1,4)A'，∴直线BF的解析式为41633y x=-+，由24163313222y x y x x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-++⎪⎩，解得40x y =⎧⎨=⎩或53289x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 5(3F ∴，28)9， 综上所述，满足条件的点F 的坐标为(1,0)-或， 9．【答案】（1）△（2）见解析 【详解】（1）当，时，△；（2）①设，则，， 则，即，， ，，，；②，，，，故，， 则， 则， 则， 5(328)92214(2)4(2)82b ac =-=--⨯⨯-=12a =2b c ==-2214(2)4(2)82b ac =-=--⨯⨯-=20ax bx c ++=12b x x a +=-12c x x a =12b x x c a +=-=2x c OC =-=121c x x a a=÷=-2OB x CO ==ACO ABD ∠=∠90COA BOD ∠=∠=︒()AOC DOB ASA ∴∆≅∆OCA CAF CFA ∠=∠+∠ACO CAF CBD ∠=∠+∠CBD AFO ∴∠=∠OB OC =45OCB ∠=︒1CD OC OD OC OA c a=-=-=--1)DE c CE a==+=1)BE BC CE CE c a =-=-=-+11)tan 1c c DE a CBD BE c a ++∠===-。

二次函数综合--角度存在性问题【题型解读】二次函数综合中的角度问题是大部分地区全卷的压轴题，具有较好的区分度和选拔功能，此类试题不仅可以考查二次函数与平面几何的基础知识，还可以考查数形结合、分类讨论等数学思想方法，以及阅读理解能力、收集处理信息能力、运用数学知识探究问题的能力等.解题关键是，充分挖掘题目中的隐含条件，构造角，利用解直角三角形或相似进行计算求解.【主要类型】1.相等角的存在性，主要形式为基于动点构造某个角使其与特定已知角相等2.二倍角的存在性，主要形式为基于动点构造某个角使其等于特定已知角的2倍3.半角的存在性，主要形式为基于动点构造某个角使其等于特定已知角的一半【方法总结】角度存在性问题主要解题突破口在于构造相关角，主要有以下几种构造方法：⑴构造相等角的方法1利用平行线的性质或者等腰三角形的性质构造相等角2利用相似三角形构造相等角⑵构造二倍角的方法⑶构造半角的方法【典型例题】1．如图，已知直线BC的解析式为y＝﹣x+3，与x轴，y轴交于点B，C．抛物线y＝ax2+bx+3过A（﹣1，0），B，C三点，D点为抛物线的顶点，抛物线的对称轴与x轴交于点E，连接BD，CD．（1）求二次函数及直线CD的解析式；（2）点P是线段CD上一点（不与点C，D重合），当△BCP的面积为时，求点P的坐标．（3）点F是抛物线上一点，过点F作FG⊥CD交直线CD于点G，当∠CFG＝∠EDB 时，请直接写出点F的坐标．2．如图，已知二次函数y＝ax2+x+b的图象经过点A（﹣3，0）和点B（0，4），∠BAO 的平分线分别交抛物线和y轴于点C，D．点P为抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线交直线AC于点E，连接PC．（1）求二次函数的解析式；（2）当以点P，C，E为顶点的三角形与△ADO相似时，求点P的坐标；（3）设点F为直线AC上一点，若∠BFD＝∠ABO，请直接写出点F的坐标．3．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝x﹣2的图象分别交x、y轴于点A、B，抛物线y＝x2+bx+c经过点A、B，点P为第四象限内抛物线上的一个动点．（1）求此抛物线对应的函数表达式；（2）如图1所示，过点P作PM∥y轴，分别交直线AB、x轴于点C、D，若以点P、B、C为顶点的三角形与以点A、C、D为顶点的三角形相似，求点P的坐标；（3）如图2所示，过点P作PQ⊥AB于点Q，连接PB，当△PBQ中有某个角的度数等于∠OAB度数的2倍时，请直接写出点P的横坐标．4．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过AB两点，与x轴的另一个交点为C．（1）直接写出点A和点B的坐标．（2）求抛物线的解析式．（3）D为直线AB上方抛物线上一动点．①连接DO交AB于点E，若DE：OE＝3：4，求点D的坐标；②是否存在点D，使得∠DBA的度数恰好是∠BAC的2倍？如果存在，直接写出点D的坐标；如果不存在，请说明理由．5．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y＝ax2+bx+4（a≠0）经过点A（﹣8，0）、B（2，0），与y轴交于点C，点D是AB中点，连接CD．点P是抛物线上一点．（1）求a、b的值；＝S△CDO，求点P的横坐标；（2）若S△CDP（3）过点P作直线CD的垂线，垂足为E，若∠CPE＝∠CDO，求点P的横坐标．。

二次函数中角度问题二次函数是高中数学中非常重要的一章内容，其中涉及到许多重要的概念和知识点，其中一个比较重要的问题就是二次函数中角度问题。

本文将从以下几个方面进行详细的阐述。

一、什么是角度问题在二次函数中，我们经常会遇到关于角度的问题。

例如，我们可以将二次函数表示为 $y = a\sin^2(x) + b\cos^2(x)$ 的形式，其中$a$ 和 $b$ 是常数。

这个式子中的 $x$ 就代表了一个角度。

此外，在解决一些实际问题时，我们也经常需要用到角度概念。

例如，在物理学中，我们需要计算物体在斜面上滑动时的倾斜角度；在工程学中，我们需要计算建筑物或桥梁的倾斜角度等等。

因此，在二次函数中涉及到角度问题时，我们需要对角度有一个清晰准确的认识。

二、如何理解角度在数学中，我们通常使用弧度来表示角度。

弧度是一个长度单位，它表示弧长与半径之比。

例如，在一个半径为 $r$ 的圆上走过弧长为$l$ 的弧所对应的弧度就是 $\theta = l/r$。

在初学者中，我们通常使用度数来表示角度。

一个圆的周长是 $2\pi r$，因此一个完整的圆的角度是 $360$ 度。

因此，我们可以将一个任意角度 $\theta$ 转换为弧度制：$$\theta_{\text{弧度}} = \frac{\theta_{\text{度}}}{180^\circ}\pi$$例如，$45^\circ$ 对应的弧度是 $\pi/4$。

三、如何解决二次函数中的角度问题在二次函数中，我们经常需要用到三角函数和反三角函数。

例如，在上面提到的二次函数 $y = a\sin^2(x) + b\cos^2(x)$ 中，我们需要用到正弦和余弦函数。

在解决这些问题时，我们需要掌握以下几个重要的知识点：1. 三角函数的定义域和值域正弦和余弦函数都是周期为 $2\pi$ 的周期函数。

它们的定义域是实数集合 $\mathbb{R}$，值域是区间 $[-1, 1]$。

二次函数中角度的存在性问题类型一：等角构造法（作垂直，找相似）例1：如图，抛物线y＝x2-4x＋3与x轴交于点A，B两点，与y轴交C，连接AC.抛物线上是否存在点M，使∠OBM ＝∠OCA.若存求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.分析：1.假设∠OBM=∠OCA，过M作ME垂直x轴，构造∆MEB~∆AOC，利用对应边成比例，可求出M点坐标。

2.利用对称性，求出点M的对称点H,可得∠HBO=∠OBM，延长BH交抛物线于点M’，则点M’就为所求的。

类型二：2倍角构造法（作垂直平分线，构造等腰三角形，则外角就为已知角的两倍）例2.如图，直线y＝-3x＋3与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝-x2＋bx＋c经过点A，B．抛物线上是否存在点M，使直线AM与y轴所夹锐角是∠ABO的2倍？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.分析：1.作AB的垂直平分线CD,交y轴于点D,则构造等腰三角形BDA，所以∠ODA=2∠OBA，延长AD交抛物线于点M，则联立解析式可求点M坐标。

2.利用对称性可求点M的对称点H（或者求D点的对称点），则延长AH交抛物线于M’。

类型三：半角构造法（作角平分线或向外延长作等腰三角形）例3：如图，抛物线交x 轴于A ，C 两交y 轴于点B ，连接AB .抛物线上是否存在点M ，使∠ACM ＝？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由.分析：方法1：作∠OAB 的J 角平分线AE ，求出E 点坐标及AE 解析式。

过点C 作CM ∥AE ，则∠MCA=∠OAE=∠OAB ，则点M 就为所求作的。

然后利用对称性，可求点M ’.4x 31x 31y 2+--=BAO ∠2121方法2：延长OA 至D ，使AD 等于AB ，构造等腰三角形BAD,则∠ADB=∠OAB ，过C 点作CM ∥BD,则点M 就为所求作的。

然后一样利用对称性求出点M ’。

21。

二次函数角度问题1. 什么是二次函数二次函数是一种形式为f(x) = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b和c是实数，并且a不等于0。

二次函数的图像通常是一个开口朝上或朝下的抛物线。

2. 什么是二次函数的角度二次函数的角度是指抛物线与其自身的对称轴之间的夹角。

对称轴是一个垂直于x轴的线，通过抛物线的顶点。

角度的大小决定了抛物线的形状和方向。

3. 如何确定二次函数的角度要确定二次函数的角度，我们可以使用二次函数的标准形式f(x) = a(x-h)^2 + k，其中(h, k)是抛物线的顶点坐标。

对称轴的方程为x = h，因此角度可以通过计算抛物线开口朝上或朝下的倾斜程度来确定。

4. 如何计算二次函数的角度计算二次函数的角度，可以使用函数的一阶导数。

一阶导数表示函数的斜率，也就是抛物线在某一点处的斜率。

当斜率为正时，抛物线开口朝上；当斜率为负时，抛物线开口朝下。

我们可以对二次函数f(x) = ax^2 + bx + c求导，得到f'(x) = 2ax + b。

通过求解f'(x) = 0，可以找到抛物线与对称轴的交点。

这个交点的x坐标可以代入原函数，得到对称轴的方程x = h。

如果a大于0，则抛物线开口朝上，角度为锐角。

如果a小于0，则抛物线开口朝下，角度为钝角。

角度的大小与a的绝对值成正比。

5. 如何解释二次函数角度对抛物线的影响二次函数的角度决定了抛物线的形状和开口的方向。

角度较小时，抛物线较为陡峭；角度较大时，抛物线较为平缓。

当角度比较小的时候，抛物线的增长或减少速度较快，曲线较为陡峭。

这意味着函数的值在x轴附近迅速变化，对应于一个较为敏感的函数。

当角度比较大的时候，抛物线的增长或减少速度较慢，曲线较为平缓。

这意味着函数的值在x轴附近变化得较为缓慢，对应于一个较为平滑的函数。

因此，角度对二次函数的图像具有重要影响，它决定了函数的形状、敏感性和平滑度。

总结起来，二次函数是一种具有角度的函数，角度决定了抛物线的形状和开口的方向。

二次函数与角的有关问题专项辅导资料要理解二次函数与角的有关问题，首先需要了解二次函数的基本性质和角度的概念。

在此基础上，我们将讨论二次函数与角度的关系，以及如何利用角度解决二次函数的问题。

一、二次函数的基本性质二次函数是形如f(x) = ax^2+bx+c的函数，其中a、b和c是常数，并且a≠0。

二次函数的图像是一个抛物线，其开口方向由a的正负决定。

如果a>0，则抛物线开口向上，如果a<0，则抛物线开口向下。

二次函数的顶点坐标为(-b/2a, f(-b/2a))，其对称轴为直线x=-b/2a。

二、角的概念角度是平面上两条射线所夹的空间部分。

角度通常用度（°）来表示，一个完整的角度为360°。

我们可以通过不同的单位来表示角度，如弧度和百分度。

其中，360°等于2π弧度。

三、二次函数与角的关系1.抛物线的开口方向与角度的对应关系二次函数的开口方向与角度的对应关系如下：-当抛物线开口向上时，与x轴正半轴的夹角是锐角。

-当抛物线开口向下时，与x轴正半轴的夹角是钝角。

2.抛物线的顶点与角度的对应关系二次函数的顶点与角度的对应关系如下：-抛物线的顶点左侧的区域对应于一个小于180°的角度区间。

-抛物线的顶点右侧的区域对应于一个大于180°的角度区间。

3.求解二次函数与角度的交点可以利用角度的概念来求解二次函数与角度的交点。

假设二次函数的表达式为f(x)，要求解f(x)=k（k为常数）的交点，可以通过以下步骤：- 将f(x) = k转化为ax^2+bx+c = k的形式。

- 将该方程转化为标准形式ax^2+bx+(c-k)=0，并解出方程。

-得到方程的根之后，可以将根代入f(x)中求得交点的坐标。

四、利用角度解决二次函数的问题1.求解二次函数的极值问题二次函数的极值问题可以通过角度的方法来解决。

假设二次函数的表达式为f(x)，要求解f(x)的最小（或最大）值，可以通过以下步骤：- 将二次函数转化为标准形式ax^2+bx+c。

2023年九年级数学中考复习：二次函数综合压轴题--角度问题1．在平面直角坐标系 xOy 中， 已知抛物线 y =2x −2x −3 与 x 轴交于 A 、 B 两点， 与 y 轴交于 C 点， D 为抛物线顶点．(1)A 点坐标： ；顶点D 的坐标： ；(2)如图1，抛物线的对称轴上是否存在点T ，使得线段TA 绕点T 顺时针旋转90°后，点A 的对应点A '恰好也落在此拋物线上? 若存在，求出点T 的坐标；若不存在，请说明理由；(3)如图2，连接AD ，交y 轴于点E ，P 是抛物线上第四象限的一个动点，连接 AP 、BE 交于点G ，设BGP ABGSw S=， 则w 有最大值还是最小值？w 的最值是多少？(4)点Q 是抛物线对称轴上一动点， 连接OQ 、AQ ，设 AOQ △ 外接圆圆心为H ， 当 sin OQA ∠的值最大时， 变直接写出点H 的坐标 ．2．如图，抛物线222433y x x =-++与坐标轴分别交于A ，B ，C 三点，P 是第一象限内抛物线上的一点且横坐标为m ．(1)A ，B ，C 三点的坐标为____________，____________，____________；(2)连接AP ，交线段BC 于点D ， ①当CP 与x 轴平行时，求PDDA的值； ①当CP 与x 轴不平行时，求PDDA的最大值； (3)连接CP ，是否存在点P ，使得290BCO PCB ∠+∠=︒，若存在，求m 的值，若不存在，请说明理由．3．如图，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与x 轴交于()()2,08,0A B -、两点，与y 轴交于点()0,4C ，连接AC 、BC ．(1)求抛物线的表达式；(2)将ABC 沿AC 所在直线折叠，得到ADC ，点B 的对应点为D ，直接写出点D 的坐标．并求出四边形OADC 的面积；(3)点P 是抛物线上的一动点，当PCB ABC ∠=∠时，求点P 的坐标．4．如图，已知抛物线的顶点坐标为M （1，4），且经过点N （2，3），与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ．抛物线的对称轴与x 轴交于点E ，点P 在对称轴上．（1）求抛物线的解析式；（2）直线CM 与x 轴交于点D ，若DME APE ∠∠=，求点P 的坐标；（3）请探索：是否存在这样的点P ，使ANB 2APE ∠∠=？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．5．如图1，抛物线()22212y x t x t t =--+--+与x 轴交于A 、B 两点（点B 在点A 右边），与y 轴交于C 点． （1）当12t =时，直接写出点A 、B 、C 的坐标； （2）在（1）的条件下，点P 在y 轴的负半轴上，延长PB 至点M ，使CBM OBC ∠=∠，求直线PM 的解析式；（3）如图2，若点Q 是抛物线上点B ．C 之间的动点，直线QA ．QB 分别交y 轴于D ．E 两点，设点Q 的横坐标为m ，求DEm的值．6．抛物线2y x bx c =++与x 轴交于点A 和B （点A 在点B 的左侧），与y 轴负半轴交于点C ，OB OC =，点()2,3D -在抛物线上． （1）求抛物线的解析式；（2）点1(,1)4P m km +（n 为任意实数），当m 变化时，点P 在直线l 上运动，若点A ，D 到直线l 的距离相等，求k 的值；（3）M 为抛物线在第二象限内一动点，若45AMB ∠>︒，求点M 的横坐标M x 的取值范围．7．如图，在平面直角坐标系中，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的顶点坐标为C(3，6)，与y 轴交于点B(0，3)，点A 是对称轴与x 轴的交点．（1）求抛物线的解析式；（2）如图①所示，直线AB 交抛物线于点E ，连接BC 、CE ，求①BCE 的面积； （3）如图①所示，在对称轴AC 的右侧作①ACD ＝30°交抛物线于点D ，求出D 点的坐标；并探究：在y 轴上是否存在点Q ，使①CQD ＝60°？若存在，求点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．8．如图，已知抛物线212y x bx c =-++与x 轴交于点小B ，与y 轴分别交于点C ，其中点()1,0A -，点()0,2C ．（1）求抛物线的解析式并确定ABC 形状；（2）点P 是线段AB 上一动点，过P 作//PD AC 交BC 于D ，当PCD 面积最大时，求点P 的坐标；（3）点M 是位于线段BC 上方的抛物线上一点，当ABC ∠恰好等于ABCM 中的某个角时，直接写出M 的坐标．9．已知，如图，在平面直角坐标系中，直线y ＝12x ＋2与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，抛物线y ＝－12x 2＋bx ＋c 经过A 、B 两点，与x 轴的另一个交点为C ． （1）直接写出点A 和点B 的坐标 （2）求抛物线的解析式（3）D 为直线AB 上方抛物线上一动点①连接DO 交AB 于点E ，若DE①OE ＝3①4，求点D 的坐标①是否存在点D ，使得∠DBA 的度数恰好是∠BAC 的2倍，如果存在，求点D 的坐标，如果不存在，请说明理由．10．如图，抛物线22y ax ax c =-+与x 轴交于点()2,0A -和B 两点，点()6,4C 在抛物线上．（1）直接写出B 点坐标：_________________，抛物线解析式为_________________（一般式）；（2）如图1，D 为y 轴左侧抛物线上一点，且2∠=∠DCA CAB ，求点D 的坐标； （3）如图2，直线y mx n =+与抛物线交于点E 、F ，连接CE 、CF 分别交y 轴于点M 、N ，若·3=OM ON ，求证：直线EF 经过定点，并求出这个定点的坐标．11．如图1，已知抛物线23y ax x c =-+与x 轴交于A 、C 点，与y 轴交于B 点，并与直线4y x =-交于A 、B 两点．（1）点A 的坐标为____；点B 的坐标为___；抛物线的解析式为___．（2）若在直线AB 的下方抛物线上有一点D （不与A ，B 重合），使得2DBA BAC ∠=∠，求点D 的坐标．（3）如图2，在（2）的条件下，过点D 作DE x ⊥轴于E ，在平面内是否存在点M ，使得DEA △绕M 点逆时针旋转90度后得到111D E A △，使111D E A △的两个顶点恰好落在抛物线上，若存在请求出点1D 的坐标，若不存在请说明理由．12．如图，直线3y kx =-与x 轴正半轴交于点A ，与y 轴交于点B ，经过A ，B 两点的抛物线2(1)=-+y x m 与x 轴负半轴交于点C ．（1）求m 和k 的值；（2）过点B 作//BD x 轴交该抛物线于点D ，连结CD 交y 轴于点E ，连结CB ． ①求BCD OBC ∠+∠的度数；①在x 轴上有一动点F ，直线BF 交抛物线于点P ，若ABP BCD ∠=∠时，求此时点P 的坐标．13．如图，抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ＜0）与x 轴交于点A （﹣2，0）和点B ，与y 轴交于点C ，对称轴为直线x ＝12；连接AC ，BC ，S △ABC ＝15． （1）求抛物线的解析式；（2）①点M 是x 轴上方抛物线上一点，且横坐标为m ，过点M 作MN ①x 轴，垂足为点N ．线段MN 有一点H （点H 与点M ，N 不重合），且①HBA +①MAB ＝90°，求HN 的长； ①在①的条件下，若MH ＝2NH ，直接写出m 的值； （3）在（2）的条件下，设d ＝MANNBHS S ∆∆，直搂写出d 关于m 的函数解析式，并写出m 的取值范围．14．已知，点53,4A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，点()4,3B 和抛物线214y x =，将抛物线214y x =沿着y 轴方向平移经过点53,4A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，画出平移后的抛物线如图所示．（1）平移后的抛物线是否经过点 ()4,3B ？说明你的理由；（2）在平移后的抛物线上且位于直线AB 下方的图像上是否存在点P ，使7PABS =？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在平移后的抛物线上有点M ，过点M 作直线2y =-的垂线，垂足为N ，连接OM ON 、，当60MON ∠=︒时，求点M 的坐标．15．综合与探究如图，在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，抛物线2(0)y x bx c c =++<的顶点为A ，且与y 轴的交点为B ，过点B 作//BC x 轴交抛物线于点(4,4)C --，在CB 延长线上取点D ，使12BD BC =，连接OC ，OD ，AC 和AD ．（1）求抛物线的解析式；（2）试判断四边形ADOC 的形状，并说明理由；（3）试探究在抛物线上是否存在点P ，使得45POC ∠=︒．若存在，请求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．16．如图1，直线:2l y x =-+与y 轴相交于点A ，抛物线21:(1)L y x m =-+也经过点A ，其顶点为B ．将该抛物线沿直线l 平移使顶点B 落在直线l 上的点D 处，点D 的横坐标为(1)n n >．（1）求点B 坐标；（2）求平移后的抛物线2L 的解析式（用含n 的式子表示）；（3）若平移后的抛物线2L 与原抛物线1L 相交于点C ，且点C 的横坐标为a ． ①请求出a 关于n 的函数关系式；①如图2，连接AC 、CD ，若90ACD ∠=︒，求a 的值．17．如图，抛物线2()20y ax x c a =++＜与x 轴交于点A 和点B (点A 在原点的左侧，点B 在原点的右侧)，与y 轴交于点C ，3OB OC ==． (1)求该抛物线的函数解析式．(2)如图1，连接BC ，点D 是直线BC 上方抛物线上的点，连接OD ，CD ．OD 交BC 于点F ，当32COFCDFSS=：:时，求点D 的坐标．(3)如图2，点E 的坐标为(03)2-，，点P 是抛物线上的点，连接EB PB PE ，，形成的PBE △中，是否存在点P ，使PBE ∠或PEB ∠等于2OBE ∠？若存在，请直接写出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．18．已知抛物线过点A （-4，0），顶点坐标为C （-2，-1）． （1）求这个抛物线的解析式．（2）点B 在抛物线上，且B 点的横坐标为-1，点P 在x 轴上方抛物线上一点，且①PAB=45°，求点P 的坐标．（3）点M 在x 轴下方抛物线上一点，点M 、N 关于x 轴对称，直线AN 交抛物线于点D ．连结MD 交两坐标轴于E 、F 点. 求证：OE=OF ．19．如图1，已知：抛物线2y ax bx c =++过点()()()104358，、，、，，交x 轴于点C ，点B （C在B 左边），交y 轴于点A ． （1）求抛物线的解析式；（2）D 为抛物线上一动点，ABD CAB ABC ∠=∠+∠，求点D 的坐标；（3）如图2，():370l y kx k k =-+≠交抛物线于,M N 两点（,M N 不与,C B 重合），直线,MC NC 分别交y 轴于点I ，点J ，试求此时OI OJ 是否为定值？如果是，请求出它的值；如果不是，请说明理由．20．如图，为已知抛物线25y ax bx =++经过()()5,0,4,3A B ---两点，与x 轴的另一个交点为C ，顶点为D ，连结CD ．（1）求该抛物线的表达式；（2）点P 为该抛物线上一动点（与点B C 、不重合），设点P 的横坐标为t ． ①当3PBC S ∆=时，求t 的值；①该抛物线上是否存在点P ，使得PBC BCD ∠=∠？若存在，求出所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由．21．如图，点A 在x 轴正半轴上，点B 在y 轴正半轴上，OA ＝OB ，点C 的坐标为（﹣1，0），OA ：OC ＝3：1，抛物线y ＝ax 2+bx +c 经过点A 、B 、C ，顶点为D ．（1）求a、b、c的值；（2）若直线y＝13x+n与x轴交于点E，与y轴交于点F．①当n＝﹣1时，求①BAF﹣①BAD的值；①若直线EF上有点H，使①AHC＝90°，求n的取值范围．参考答案：1．(1)（-1，0），（1，-4）(2)点T 的坐标为(1，3)或(1，-2)；(3)w 有最小值，最小值为2425； (4)（-12-12，）2．(1)()2,0A -;()3,0B ;()0,4C (2)①15；①940 (3)存在点P ，74m =3．(1)213442y x x =-++ (2)()8,8,24D -(3)()6,4P 或34100,39⎛⎫- ⎪⎝⎭4．（1）y=-x 2+2x+3；（2）P （1，2）或（1，-2）；（3）P （1）或（1，1）．5．（1）5(,0)2A -、1(,0)2B 、5(0,)4C ；（2）20102121y x =-；（3）36．（1）223y x x =--；（2）54-或14-；（3）1M x ＜﹣17．（1）21233y x x =-++；（2）27；（3）D 点坐标为()33D +-，存在，Q 点坐标为(0，或(0，8．（1）213222y x x =-++，直角三角形；（2）3(,0)2p ；（3）M 点坐标为()3,2或528,39⎛⎫ ⎪⎝⎭9．（1）()()4,0,0,2A B -；（2）213222y x x =--+；（3）①()1,3D -或()3,2D -；①存在，()2,3D -． 10．（1）()4,0，211242y x x =--；（2）D 坐标为()6,10-；（3）定点坐标为45,39⎛⎫-- ⎪⎝⎭11．（1）()()4,0,0,4-，234y x x =--；（2）()2,6D -；（3）存在，1543,39D ⎛⎫- ⎪⎝⎭12．（1）4m =-，1k =；（2）①45︒；①(5,12)或720,39⎛⎫- ⎪⎝⎭13．（1）y ＝﹣x 2+x +6；（2）①1；（3）d ＝（m +2）2（﹣2＜m ＜3）．14．（3）M （2）或（，23-）． 15．（1）244y x x =+-；（2）四边形ADOC 是平行四边形，见解析；（3）存在，P 的坐标是(2--或(0,4)-16．（1）()1,1B ；（2）2()2=--+y x n n ；（3）①2n a =；①117．（1）2y x 2x 3=-++；（2）点D 的坐标为(14)，或(2)3，；（3）点P 的坐标为：(14)，或17()24-，或13209()24--，或． 18．（1）y=214x x +；（2）（125，9625）； 19．（1）243y x x =-+；（2）不存在点D ；（3）是，720．（1）265y x x =++；（2）①2t =-或3t =-或t =或t =①点P 的坐标为(32-，74-)或（0，5）21．（1）a =-1，b=2，c=3；（2）①①BAF ﹣①BAD ＝45°；①n 的取值范围n。

二次函数与几何综合专题--角问题【模型解读】二次函数与角综合问题，常见的主要有三种类型： 1. 特殊角问题：（1） 利用特殊角的三角函数值找到线段之间的数量关系（2） 遇到特殊角可以构造特殊三角形，如遇到45°构造等腰直角三角形，遇到30°、60°构造等边三角形，遇到90°构造直角三角形2.角的数量关系问题（1）等角问题：借助特殊图形的性质、全等和相似的性质来解决；构造圆，利用圆周角的性质来解决 （2）二倍角问题：利用角平分线的性质、等腰三角形的性质、对称、辅助圆等知识来解答 （3）角的和差问题3.角的最值问题：利用辅助圆等知识来解答【引例】如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x bx c =++与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，3OA OC ==，顶点为D ，对称轴交x 轴于点E ． （1）求抛物线的解析式、对称轴及顶点D 的坐标．（2）在抛物线上是否存在点P ，使PAO OCE ∠=∠，若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．（3）该抛物线上是否存在点P，使得PCA CAD∠=∠？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．∠的平分线与y轴的交点M的坐标．（4）直线AC与抛物线的对称轴交于点F，请求出CDF∠=∠，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理（5）在抛物线上是否存在点P，使得POC PCO由．（6）过点B 的直线交直线AC 于点M ，当直线AC 与BM 的夹角等于ACB ∠的2倍时，求点M 的坐标．（7）在y 轴上是否存在点N ，使得BCO BNO BAC ∠+∠=∠，若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．（8）在对称轴左侧的抛物线上有一点M ，在对称轴右侧的抛物线上有一点N ，满足90MDN ∠=︒．求证：MN 恒过定点，并求出定点坐标．【模型实例】1．如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()2y a x h k =-+与x 轴相交于O ，A 两点，顶点P 的坐标为()2,1-．点B 为抛物线上一动点，连接,AP AB ，过点B 的直线与抛物线交于另一点C ．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点B 的横坐标与纵坐标相等，ABC OAP ∠=∠，且点C 位于x 轴上方，求点C 的坐标；（3）若点B 的横坐标为t ，90ABC ∠=︒，请用含t 的代数式表示点C 的横坐标，并求出当0t <时，点C 的横坐标的取值范围．2.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线E：y＝﹣（x﹣m）2+2m2（m＜0）的顶点P在抛物线F：y＝ax2上，直线x＝t与抛物线E，F分别交于点A，B．（1）求a的值；（2）将A，B的纵坐标分别记为y A，y B，设s＝y A﹣y B，若s的最大值为4，则m的值是多少？（3）Q是x轴的正半轴上一点，且PQ的中点M恰好在抛物线F上．试探究：此时无论m为何负值，在y轴的负半轴上是否存在定点G，使∠PQG总为直角？若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．3.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2经过A（，0），B（3，）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）点P在抛物线上，过P作PD⊥x轴，交直线BC于点D，若以P、D、O、C为顶点的四边形是平行四边形，求点P的横坐标；（3）抛物线上是否存在点Q，使∠QCB＝45°？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．4.如图1，在平面直角坐标系中．抛物线y＝ax2+bx+2与x轴交于A（﹣4，0）和B（1，0），与y轴交于点C，连接AC，BC．（1）求该抛物线的解析式；（2）如图2，点M为直线AC上方的抛物线上任意一点，过点M作y轴的平行线，交AC于点N，过点M作x轴的平行线，交直线AC于点Q，求△MNQ周长的最大值；（3）点P为抛物线上的一动点，且∠ACP＝45°﹣∠BAC，请直接写出满足条件的点P的坐标．5.抛物线y＝x2﹣4x+c与直线I：y＝kx交于点G（1，m）和点H，﹣1≤m＜0，直线x＝m﹣1交直线l于点A，交抛物线于点B．（1）求c和k的值（用含m的代数式表示）；（2）过点A作x轴的平行线交抛物线于M，N两点（M在N的左侧），交y轴于点C．求的取值范围；（3）在（2）的条件下，过点B作x轴的平行线，与抛物线另一个交点为D，若点E是线段BD的中点，探究∠MEN与∠ABC的数量关系，并说明理由．6.抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴的正半轴交于C点，△ABC的面积为6．（1）直接写出点A、B的坐标为；抛物线的解析式为．（2）如图1，连结AC，若在第一象限抛物线上存在点D，使点D到直线AC的距离为，求点D的坐标；（3）如图2，平行于AC的直线交抛物线于M、N两点，在抛物线上存在点P，当PQ⊥y轴时，PQ恰好平分∠MPN，求P点坐标．7.如图，抛物线y＝mx2+3mx﹣2m+1的图象经过点C，交x轴于点A（x1，0），B（x2，0）（点A在点B左侧），且x2﹣x1＝5，连接BC，D是AC上方的抛物线一点．（1）求抛物线的解析式；（2）连接BC，CD，S△DCE：S△BCE是否存在最大值？若存在，请求出其最大值及此时点D的坐标；若不存在，请说明理由；（3）第二象限内抛物线上是否存在一点D，DF垂直AC于点F，使得△DCF中有一个锐角等于∠BAC的两倍？若存在，求点D的横坐标，若不存在，请说明理由．1.如图1，抛物线y＝ax2+bx+3经过A（1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C，（1）求抛物线的函数解析式；（2）如图2，M是x轴下方的抛物线上一点，连接MO、MB、MC，若△MOC的面积是△MBC面积的3倍，求点M的坐标；（3）如图3，连接AC、BC，在抛物线上是否存在一点N（不与点A重合），使得∠BCN＝∠ACB？若存在，求点N的横坐标；若不存在，请说明理由．2.如图，抛物线与x轴交于点A和点C（﹣1，0），与y轴交于点B（0，3），连接AB，BC，对称轴PD交AB与点E．（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，试探究：线段BC上是否存在点M，使∠EMO＝∠ABC，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图3，点Q是抛物线的对称轴PD上一点，若以点Q、A、B为顶点的三角形是锐角三角形，请直接写出点Q纵坐标n的取值范围．3.如图1，抛物线y＝ax2﹣x+c与x轴交于A（﹣2，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C，直线l与抛物线交于A、D两点，其中D点的横坐标为2．（1）求抛物线的解析式以及直线AD的解析式；（2）点P是抛物线上位于直线AD下方的动点，过点P作x轴，y轴的平行线，交AD于点E、F，当PE+PF取最大值时，求点P的坐标；（3）如图2，连接AC，点Q在抛物线上，且满足∠QAB＝2∠ACO，求点的坐标．。