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第六课时 1.4数学归纳法【教学目标】1．使学生了解归纳法, 理解数学归纳的原理与实质．2．掌握数学归纳法证题的两个步骤；会用“数学归纳法”证明简单的与自然数有关的命题．3．培养学生观察, 分析, 论证的能力, 进一步发展学生的抽象思维能力和创新能力，让学生经历知识的构建过程, 体会类比的数学思想．4．努力创设课堂愉悦情境，使学生处于积极思考、大胆质疑氛围，提高学生学习的兴趣和课堂效率．5．通过对例题的探究，体会研究数学问题的一种方法(先猜想后证明), 激发学生的学习热情，使学生初步形成做数学的意识和科学精神．【教学重点】归纳法意义的认识和数学归纳法产生过程的分析【教学难点】数学归纳法中递推思想的理解【教学方法】类比启发探究式教学方法【教学手段】多媒体辅助课堂教学【教学程序】第一阶段：输入阶段——创造学习情境，提供学习内容1．创设问题情境，启动学生思维(1) 不完全归纳法引例：明朝刘元卿编的《应谐录》中有一个笑话：财主的儿子学写字．这则笑话中财主的儿子得出“四就是四横、五就是五横……”的结论，用的就是“归纳法”，不过，这个归纳推出的结论显然是错误的．(2) 完全归纳法对比引例：有一位师傅想考考他的两个徒弟，看谁更聪明一些．他给每人一筐花生去剥皮，看看每一粒花生仁是不是都有粉衣包着，看谁先给出答案．大徒弟费了很大劲将花生全部剥完了；二徒弟只拣了几个饱满的，几个干瘪的，几个熟好的，几个没熟的，几个三仁的，几个一仁、两仁的，总共不过一把花生．显然，二徒弟先给出答案，他比大徒弟聪明．在生活和生产实际中，归纳法也有广泛应用．例如气象工作者、水文工作者依据积累的历史资料作气象预测，水文预报，用的就是归纳法．这些归纳法却不能用完全归纳法．2．回顾数学旧知，追溯归纳意识（从生活走向数学，与学生一起回顾以前学过的数学知识，进一步体会归纳意识，同时让学生感受到我们以前的学习中其实早已接触过归纳．）(1) 不完全归纳法实例：给出等差数列前四项, 写出该数列的通项公式．(2) 完全归纳法实例：证明圆周角定理分圆心在圆周角内部、外部及一边上三种情况．3.借助数学史料, 促使学生思辨（在生活引例与学过的数学知识的基础上，再引导学生看数学史料，能够让学生多方位多角度体会归纳法，感受使用归纳法的普遍性．同时引导学生进行思辨：在数学中运用不完全归纳法常常会得到错误的结论，不管是我们还是数学大家都可能如此．那么，有没有更好的归纳法呢？）问题1 已知n a ＝22)55(+-n n （n ∈N ），(1)分别求1a ；2a ；3a ；4a ． (2)由此你能得到一个什么结论？这个结论正确吗？ （培养学生大胆猜想的意识和数学概括能力．概括能力是思维能力的核心．鲁宾斯坦指出：思维都是在概括中完成的．心理学认为“迁移就是概括”，这里知识、技能、思维方法、数学原理的迁移，我找的突破口就是学生的概括过程．）问题2 费马（Fermat ）是17世纪法国著名的数学家，他曾认为，当n ∈N 时，122+n 一定都是质数，这是他对n ＝0，1，2，3，4作了验证后得到的．后来，18世纪伟大的瑞士科学家欧拉（Euler ）却证明了1252+＝4 294 967 297＝6 700 417×641，从而否定了费马的推测．没想到当n ＝5这一结论便不成立．问题3 41)(2++=n n n f , 当n ∈N 时，)(n f 是否都为质数？验证： f （0）＝41，f （1）＝43，f （2）＝47，f （3）＝53，f （4）＝61，f （5）＝71，f （6）＝83，f （7）＝97，f （8）＝113，f （9）＝131，f （10）＝151，…，f （39）＝1 601．但是f （40）＝1 681＝241，是合数．第二阶段：新旧知识相互作用阶段——新旧知识作用，搭建新知结构3． 搜索生活实例，激发学习兴趣（在第一阶段的基础上，由生活实例出发，与学生一起解析归纳原理, 揭示递推过程．孔子说：“知之者不如好之者，好之者不如乐之者．”兴趣这种个性心理倾向一般总是伴随着良好的情感体验．）实例：播放多米诺骨牌录像关键：(1)第一张牌被推倒； (2) 假如某一张牌倒下, 则它的后一张牌必定倒下． 于是, 我们可以下结论： 多米诺骨牌会全部倒下．搜索：再举几则生活事例：推倒自行车, 早操排队对齐等．4． 类比数学问题, 激起思维浪花类比多米诺骨牌过程, 证明等差数列通项公式d n a a n )1(1-+=：(1) 当n ＝1时等式成立； (2) 假设当n ＝k 时等式成立, 即d k a a k )1(1-+=, 则d a a k k +=+1=d k a ]1)1[(1-++, 即n ＝k ＋1时等式也成立． 于是, 我们可以下结论： 等差数列的通项公式d n a a n )1(1-+=对任何n ∈*N 都成立．（布鲁纳的发现学习理论认为，“有指导的发现学习”强调知识发生发展过程．这里通过类比多米诺骨牌过程，让学生发现数学归纳法的雏形，是一种再创造的发现性学习．）5． 引导学生概括, 形成科学方法证明一个与正整数有关的命题关键步骤如下：(1) 证明当n 取第一个值0n 时结论正确；(2) 假设当n ＝k (k ∈*N ，k ≥0n ) 时结论正确, 证明当n ＝k ＋1时结论也正确． 完成这两个步骤后, 就可以断定命题对从0n 开始的所有正整数n 都正确．这种证明方法叫做数学归纳法．第三阶段：操作阶段——巩固认知结构，充实认知过程6． 蕴含猜想证明, 培养研究意识典例分析（本例要求学生先猜想后证明，既能巩固归纳法和数学归纳法，也能教给学生做数学的方法，培养学生独立研究数学问题的意识和能力．）例1 数列{}n a 满足,2n n S n a =-*n N ∈，先计算前4项后，猜想n a 的表达式，并用数学归纳法证明； 解：815472314321====a a a a ,,,，猜想：1212--=n n n a 下面用数学归纳法证明：证明：(1)当时n=1有上面过程知猜想成立（2）假设)(1≥=k k n 时，命题真，即：1212--=k k k a ∵1111121222+-++++--=+-=+=k k k k k k k k a k a a k a S S 又1112++-+=k k a k S )( ∴112122+-+--k k k a k =112+-+k a k )(111121221222-+-+-=-+=⇒k k k k k a ∴kk k a 21211-=++，即当1+=k n 时也成立。
数学归纳法(第一课时)教学设计【教学目标】知识与技能：（1）初步理解数学归纳法的原理；（2）掌握用数学归纳法证明数学命题的两个步骤；（3）会用数学证明一些与正整数相关的简单恒等式。
过程与方法亲历知识的构建过程----发现问题、提出问题、分析问题、解决问题；体会类比的数学思想；感受无限的问题用有限的步骤来解决的思想方法。
情感目标体会数学源于实际，高于实际的科学价值与文化价值；培养学生大胆猜想，小心求证的思维素质和科学精神；通过发现问题、提出问题、解决问题、合作交流等环节培养数学交流能力和合作精神。
【教学重点】借助具体实例了解数学归纳法的基本思想，掌握它的基本步骤，运用它证明一些与正整数有关的简单恒等式，特别要注意递推步骤中归纳假设的运用。
【教学难点】（1）理解数学归纳法整体的严密性和有效性。
（2）递推步骤中如何利用归纳假设，即如何利用假设证明当n=k+1时结论正确。
【教学过程设计】精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。
读沙漠，读出了它坦荡豪放的胸怀；读太阳，读出了它普照万物的无私；读春雨，读出了它润物无声的柔情。
读大海，读出了它气势磅礴的豪情。
读石灰，读出了它粉身碎骨不变色的清白。
2、幸福幸福是“临行密密缝，意恐迟迟归”的牵挂；幸福是“春种一粒粟，秋收千颗子”的收获. 幸福是“采菊东篱下，悠然见南山”的闲适；幸福是“奇闻共欣赏，疑义相与析”的愉悦。
幸福是“随风潜入夜，润物细无声”的奉献；幸福是“夜来风雨声，花落知多少”的恬淡。
幸福是“零落成泥碾作尘，只有香如故”的圣洁。
幸福是“壮志饥餐胡虏肉，笑谈渴饮匈奴血”的豪壮。
幸福是“先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”的胸怀。
幸福是“人生自古谁无死，留取丹心照汗青”的气节。
3、大自然的语言丰富多彩：从秋叶的飘零中，我们读出了季节的变换；从归雁的行列中，我读出了集体的力量；从冰雪的消融中，我们读出了春天的脚步；从穿石的滴水中，我们读出了坚持的可贵；从蜂蜜的浓香中，我们读出了勤劳的甜美。
§4 数学归纳法(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能(1)通过具体实例的探究，使学生知道数学归纳法可以完成一些与正整数n有关的命题的证明；(2)通过具体实例的证明，让学生体会归纳法原理，并能应用数学归纳法证明简单的命题．2．过程与方法从具体实例出发，让学生认识到与正整数n有关的命题是蕴含了无数个命题，然后借助多米诺骨牌游戏等引伸出通过有限个步骤的推理，证明n取无限多个正整数的情形，进而理解归纳法原理．3．情感、态度与价值观通过数学归纳法的学习和运用，体会数学中“无限”与“有限”的相互转化及辨证统一．●重点难点重点：了解数学归纳法的思想实质，掌握它的步骤，运用它证明一些与正整数n(n取无限多个值)有关的数学命题．难点：数学归纳法的思想实质，以及归纳递推的证明．学生对归纳法并不陌生，但对完全归纳法如何来实施是一个新的增长点，教学时应详细分析“多米诺骨牌”全部倒下的两个条件：①第一块骨牌倒下；②任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下．并通过思考，引导学生分析条件②的作用：给出一个递推关系，从而突破难点，然后通过具体实例的求解强化重点．(教师用书独具)●教学建议可通过具体实例(如求数列通项)引出归纳法(不完全归纳法和完全归纳法)，并分析归纳法的特点，进而提出问题，“如何进行完全归纳”，即解决无限个命题的证明，然后通过多米诺骨牌游戏引出数学归纳法原理，再通过例题及练习深化提高．●教学流程创设问题情境，提出问题：要使排成一排的自行车倒下，需要几个条件.⇒通过引导学生对问题导思的分析，引出数学归纳法的证明步骤.⇒通过例1及互动探究，使学生掌握利用数学归纳法证明恒等式.⇒通过例2及互动探究，使学生掌握利用数学归纳法证明不等式.⇒通过例3及变式训练，使学生掌握数学归纳法在数列问题中的应用.⇒归纳小结，整体认识本节知识.⇒完成当堂双基达标，巩固本节课所学知识，并进行反馈矫正.在学校，我们经常会看到这样的一种现象：排成一排的自行车，如果一个同学将第一辆自行车不小心弄倒了，那么整排自行车就会倒下．1．试想要使整排自行车倒下，需要具备哪几个条件？【提示】(1)第一辆自行车倒下；(2)任意相邻的两辆自行车，前一辆倒下一定导致后一辆倒下．2．利用这种思想方法能解决哪类数学问题？【提示】一些与正整数n有关的问题．数学归纳法是用来证明与正整数n有关的数学命题的一种方法，它的基本步骤是：(1)验证：n＝1时，命题成立；(2)在假设当n＝k(k≥1)时命题成立的前提下，推出当n＝k＋1时，命题成立．根据(1)(2)可以断定命题对一切正整数n都成立．拓展：一般地，数学归纳法可按下列步骤进行：(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立；(2)(归纳递推)假设n＝k(k≥n0)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立；只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立.＋【思路探究】第(1)步验证n＝1时等式成立，第(2)步在假设n＝k等式成立的基础上，等式左边加上n＝k＋1时新增的项，整理出等式右边的项．【自主解答】(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝1，等式成立．(2)假设当n＝k(k≥1)时，等式成立，即1＋3＋…＋(2k－1)＝k2，那么，当n＝k＋1时，1＋3＋…＋(2k－1)＋[2(k＋1)－1]＝k2＋[2(k＋1)－1]＝k2＋2k＋1＝(k＋1)2.这就是说，当n＝k＋1时等式成立．根据(1)和(2)，可知等式对任意正整数n都成立．1．本题在推证“n＝k＋1”等式成立时，必须把归纳假设“n＝k”时1＋3＋…＋(2k－1)＝k2作为必备条件使用上，否则就不是数学归纳法了．2．用数学归纳法证明与自然数有关的等式命题，关键在于“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式的两边各有多少项，项的多少与n的取值是否有关，由n＝k到n＝k＋1时，等式两边会增加多少项．将本例等式左边的“n个奇数的和”改为“n个偶数的和”即变为2＋4＋…＋2n＝n2＋n(n∈N＋)．【证明】(1)当n＝1时，左边＝2，右边＝1＋1＝2，等式成立．(2)假设当n ＝k (k ≥1)时等式成立，即2＋4＋…＋2k ＝k 2＋k 成立， 那么当n ＝k ＋1时， 2＋4＋…＋2k ＋2(k ＋1) ＝k 2＋k ＋2(k ＋1) ＝(k ＋1)2＋k ＋1，这就说，当n ＝k ＋1时等式成立．根据(1)和求证：1n ＋1＋1n ＋2＋…＋13n >56，(n ≥2，n ∈N *)．【思路探究】 在由n ＝k 到n ＝k ＋1的推证过程中，可用分析法或“放缩”的技巧来证明．【自主解答】 (1)当n ＝2时，左边＝13＋14＋15＋16＝5760，故左边>右边，不等式成立．(2)假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时命题成立，即 1k ＋1＋1k ＋2＋…＋13k >56，则当n ＝k ＋1时，1(k ＋1)＋1＋1(k ＋1)＋2＋…＋13k ＋13k ＋1＋13k ＋2＋13(k ＋1)＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋13k ＋(13k ＋1＋13k ＋2＋13k ＋3－1k ＋1) >56＋(13k ＋1＋13k ＋2＋13k ＋3－1k ＋1)，* 法一 (分析法)下面证*式≥56，即13k ＋1＋13k ＋2＋13k ＋3－1k ＋1>0， 只需证(3k ＋2)(3k ＋3)＋(3k ＋1)(3k ＋3)＋(3k ＋1)(3k ＋2)－3(3k ＋1)(3k ＋2)>0， 只需证(9k 2＋15k ＋6)＋(9k 2＋12k ＋3)＋(9k 2＋9k ＋2)－(27k 2＋27k ＋6)>0， 只需证9k ＋5>0，显然成立．所以当n ＝k ＋1时，不等式也成立．法二 (放缩法)*式>(3×13k ＋3－1k ＋1)＋56＝56，所以当n ＝k ＋1时，不等式也成立．由(1)(2)可知，原不等式对一切n ≥2，n ∈N *均成立．1．本题中证明*式>56，用到了两种方法，其中分析法思维量较小，但运算量较大，而放缩法虽然运算量小，但需要通过观察、比较挖掘出已有代数式和目标间的差异，适当放缩，故思维量较大．2．对与正整数有关的不等式的证明，如果其它方法较困难，可考虑用数学归纳法证明，使用数学归纳法的难点在第二个步骤上，这时除了一定要运用归纳假设外，还经常用到比较法、放缩法、配凑法、分析法等．若n 为大于1的自然数，求证：1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n >1324.【证明】 (1)n ＝2时，12＋1＋12＋2＝712>1324.(2)假设当n ＝k 时成立，即1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k >1324.则当n ＝k ＋1时，1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2＋1k ＋1－1k ＋1>1324＋12k ＋1＋12k ＋2－1k ＋1＝1324＋1－1＝13＋1>13.由(1)(2)可知，原不等式成立.n n ＋1n n (1)当a 1＝2时，求a 2，a 3，a 4，并由此猜想出a n 的一个通项公式； (2)当a 1≥3时，证明对所有的n ≥1，有a n ≥n ＋2.【思路探究】 令n ＝1，2，3，求a 2，a 3，a 4→由a 2，a 3，a 4的式子结构猜想a n→数学归纳法证明【自主解答】 (1)由a 1＝2，得a 2＝a 21－a 1＋1＝3， 由a 2＝3，得a 3＝a 22－2a 2＋1＝4， 由a 3＝4，得a 4＝a 23－3a 3＋1＝5，由此猜想a n 的一个通项公式：a n ＝n ＋1(n ≥1)． (2)证明：①当n ＝1时，a 1≥3＝1＋2，不等式成立．②假设当n ＝k (k ≥1)时不等式成立，即a k ≥k ＋2， 那么，a k ＋1＝a k (a k －k )＋1≥(k ＋2)(k ＋2－k )＋1≥k ＋3. 即n ＝k ＋1时，a k ＋1≥(k ＋1)＋2.由①②可知，对n ≥1，都有a n ≥n ＋2.1．本题用数学归纳法证明数列问题的思路为：归纳—猜想—证明．2．数列是定义在N ＋上的特殊函数，这与数学归纳法运用的范围是一致的，并且数列的递推公式与归纳原理实质上是一致的，数列中不少问题常用数学归纳法解决．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，S n ＝n 2a n (n ∈N ＋)． (1)试求出S 1，S 2，S 3，S 4，并猜想S n 的表达式； (2)证明你的猜想，并求出a n 的表达式．【解】 (1)∵a n ＝S n －S n －1(n ≥2)，S n ＝n 2a n ， ∴S n ＝n 2(S n －S n －1)．∴S n ＝n 2n 2－1S n －1(n ≥2)，∵a 1＝1，∴S 1＝a 1＝1，S 2＝43，S 3＝32＝64，S 4＝85，猜想S n ＝2nn ＋1.(2)证明：①当n ＝1时，S 1＝1成立．②假设n ＝k (k ≥1，k ∈N ＋)时，等式成立，即S k ＝2kk ＋1，当n ＝k ＋1时，S k ＋1＝(k ＋1)2·a k ＋1＝a k ＋1＋S k ＝a k ＋1＋2kk ＋1，∴a k ＋1＝2(k ＋2)(k ＋1)，∴S k ＋1＝(k ＋1)2·a k ＋1＝2(k ＋1)k ＋2＝2(k ＋1)(k ＋1)＋1，∴n ＝k ＋1时等式也成立，得证．∴根据①②可知，对于任意n ∈N ＋，等式均成立．又∵a k ＋1＝2(k ＋2)(k ＋1)，∴a n ＝2n (n ＋1).放缩法在不等式证明中的应用(12分)已知S n ＝1＋12＋13＋…＋1n(n >1，n ∈N *)．求证：S 2n >1＋n2(n ≥2，n ∈N *)．【思路点拨】 先弄清S 2n 的含义，然后用数学归纳法证明，在由n ＝k 推证n ＝k ＋1时，要注意已有代数式和目标的区别，适当放缩．【规范解答】 (1)当n ＝2时，S 2n ＝1＋12＋13＋14＝2512>1＋22，即n ＝2时命题成立.3分(2)假设n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时命题成立，4分即S 2k ＝1＋12＋13＋…＋12k >1＋k2，5分则当n ＝k ＋1时，S 2k ＋1＝1＋12＋13＋…＋12k ＋12k ＋1＋…＋12k 1>1＋k 2＋12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k 1 8分>1＋k 2＋2k 2k ＋2k ＝1＋k 2＋12＝1＋k ＋12，10分故当n ＝k ＋1时，命题也成立.11分由(1)(2)知，对于一切n ≥2的正整数不等式都成立.12分1．此题容易犯两个错误，一是由n ＝k 到n ＝k ＋1项数变化弄错，认为12k 的后一项为121，实际上应为12＋1，二是12＋1＋12＋2＋…＋12＋1共有多少项，实际上2k ＋1到2k ＋1是自然数递增，项数为2k ＋1－(2k ＋1)＋1＝2k.2．由n ＝k 推证n ＝k ＋1的过程中，用上归纳假设后，要有目标意识，如本题得到1＋k 2＋12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k 1后，注意到目标为1＋k ＋12，故只需证12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k 1≥12即可，故考虑将12k ＋m 缩小为12k ＋2k，从而得出目标．。
