在区间[ 1，1上有最小值，记作g a
(1)求g a 的函数表达式；（2）求g a 的最大值。
解：⑴ f x 2x2 2ax 3
2(x a )2 a2 3 22
⑵
①当 a 2 时
g(a) 2a 5 1
g(a)
f ( 1)
f (a) 2
f (1)
2a 5
(a 2
1a
2)
a2 2
3( 1
a 2
1
2 a 2)
a 9(x
⑴当
a
13
)2 即
2a
a
6
1时
331
f (x)min
a2 5
f(
0
) 30Βιβλιοθήκη a 1a⑶当即a
3
f(
a2
3
x)min
4a
f
(
1) 3
5
1时
0
0
a
5或a 5
a5
⑵当 1 a 1 即 1 a 1时
333
a
f (x)min
2a
f( ) 0
63 0
(a
a
5)(a1或1)a
0
5
a5
综上：a 5或a 5
思3、 考已讨知论函：数f x 2x2 2ax 3
2a
5
(a 2
1
a
2)
②当
g(a)
③当a
g(a)
2a2
a2 3 2
2.当1<a<2时,函数在[0,1]上单 调递减,在[1,a]上单调递增,
∴当x=1时,ymin=2 当x=0时，ymax=3
3 2
o 1 2x a
例2 求函数y=x2-2x+3在区间[0，a]上的最
值，并求此时x的值。
解:函数图象的对称轴为直线x=1,抛物线开口向上 1.当a≤1时，函数在[0，a]上单调递减，
(2)当a<
a 2
时,即-1<a<0时,
由二次函数的图象可知:
ymax =f (a)=0
-1 a
综上所述:当-1<a<0时, ymax =0
a2
4
x o
a
2
当 a≥0时,ymax =
a2 4
课堂小结：
对于求有限闭区间上的二次函数的最值问题，
关键抓住二次函数图象的开口方向，对称轴及
定义区间，应用数形结合法求解。
2
故a>-1,
a 2
> - 1 ,∴对称轴在x= -
2
1的右边.
2
∴(1)当 -1< a2≤a时,即a≥0时,由二次函数图象
y
可知:
ymax
=f
(a
2
a2
)= 4
(2)当a<
a 2
时,即-1<a<0时,
a2 4
-1 o
a ax
2
例4 求函数y=-x(x-a)在x∈[-1,a]上的最大值
解:函数图象的对称轴方程为x=a ,又x∈[-1,a] ∴(1故)当可a>知--11:,<ya2ma2a≤x>a=-时f12(,即a2,∴a)对≥=0a称4时2轴,由在二2x次= -函12数的图右y象边.
⑶当 a 1 即a
2
f (x)max f ( 1)
2a 2 4
a1
14
时
2
4
a1
综上：a
1或a
1 4
4a 5 4 a 1
4
a
思考讨论： 2、不等式9x2 6ax a2 2a 6 0
在
1 3
x
13内恒成立，求实数a的取a 值范5或围a。5
解： f (x) 9x2 6ax a2 2a 6
a3
当x=a时,ymax= a2-2a+3
四、动函数定区间的二次函数的值域
例3、求 f (x) x2 ax 3 在 0 x 1 上的最值。
xa 2
01
图（1）
xa 2
01
图（2）
1、由图（1）得：
当 a 1 ，即 a 2 时，
2
ymax
f (0) 3
ymin f (1) a 4
2、由图（2）得：
思考讨论：
1、已知函数f x x2 2ax 1
解在：f 区x 间[x21，22上ax的1最大值为4，求a的1或值。1
⑴当
a
1( x
即
a)2
a
2
a
2
1
1
2时
f (x)max f (2) 4
4a 5 4
a1
a 14
4
⑵当 a 1 即 a
1时
2
2
f (x)max f ( 1) f (2) 4
2a 2 4 a 1
另外也可以从函数的图象上去理解。
2 1
-1 0 -1
123
A( b , 4ac b2 ) 2a 4a
b 4ac b2
2
A( , 2a
4a
)
1
-1 0 -1
123
二、定义域不为R的二次函数的值域
例1、 当x∈(2,3] 时, 求函数 y x2 2 x 3 的值域
从图象上观察得到当x (2, 3] 时y[0, 3 4 y
当 a 0 ，即 a 0 时， 2
ymax f (1) a 4 ymin f (0) 3
例3、求 f (x) x2 ax 3 在 0 x 1 上的最值。
xa 2
01 1 2
图（3）
3、由图（3）得：
当 0 a 1 ，即1 a 0时，
22
ymax f (1) a 4
y
∴当x=0时，ymax=3
当x=a时，ymin=a2-2a+3
3
2
o1
x
a
例2 求函数y=x2-2x+3在区间[0，a]上的最 值，并求此时x的值。
解:函数图象的对称轴为直线x=1,抛物线开口向上
1.当a≤1时，函数在[0，a]上单调递减，
∴当x=0时，ymax=3
y
当x=a时，ymin=a2-2a+3
3
(1,4)
练习
2
1
在下列条件下求函数y x2 2x 3的值域
(1)x[1, 4)
-1
答(1) y[2,11)
x
1
2
3
4
三、定函数动区间的二次函数的值域
例2 求函数y=x2-2x+3在区间[0，a]上的最 值，并求此时x的值。
解:函数图象的对称轴为直线x=1,抛物线开口向上 1.当0<a≤1时，函数在[0，a]上单调递减，
一、定义域为R的二次函数的值域
求二次函数y ax2 bx ca 0当x R时的值域是先把它配方
为y a x
b
2
4ac
b2
2a
4a
当a
0时y
4ac 4a
b2
,
;当a 0时,
值域为 ,
4ac 4a
b
2
;
如 : y x2 2x 3 (x 1)2 4
值域为 , 4
∴当x=0时，ymax=3;当x=a时，ymin=a2-2a+3
2.当1<a<2时,函数在[0,1]上单
y
调递减,在[1,a]上单调递增,
∴当x=1时,ymin=2;当x=0时，ymax=3
3
3.当a≥2时 ,函数在[0,1]上单调
2
递减,在[1，a]上单调递增, ∴当x=1时,ymin=2,
o 1 2x a
ymin
f ( a ) 3 a2
2
4
xa 2
11
2
图（4）
4、由图（4）得：
当
1 a 1 22
，即2 a 1时，
ymax f (0) 3
ymin
f ( a ) 3 a2
2
4
五、动函数动区间的二次函数的值域
例4 求函数y=-x(x-a)在x∈[-1,a]上的最大值
解:函数图象的对称轴方程为x=a ,又x∈[-1,a]
