2012年第17届华杯赛高年级组决赛A卷详解

2012年全国高中数学联合竞赛（A 卷）一试一、填空题：本大题共8个小题，每小题8分，共64分。

2012A1、设P 是函数xx y 2+=（0>x ）的图像上任意一点，过点P 分别向直线x y =和y 轴作垂线，垂足分别为B A ,，则PB PA ⋅的值是 ◆答案：1- ★解析：设0002(,),p x x x +则直线PA 的方程为0002()(),y x x x x -+=--即0022.y x x x =-++由00000011(,).22y xA x x y x x x x x=⎧⎪⇒++⎨=-++⎪⎩又002(0,),B x x +所以00011(,),(,0).PA PB x x x =-=-故001() 1.PA PB x x ⋅=⋅-=-2012A 2、设ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，且满足c A b B a 53cos cos =-，则BAtan tan 的取值为◆答案：4★解析：由题设及余弦定理得222223225c a b b c a a b c ca bc +-+-⋅-⋅=,即22235a b c -=， 故222222222222228tan sin cos 2542tan sin cos 52a c b a c A A B c a b ac b c a B B A b c a c b bc+-⋅+-=====+-+-⋅2012A 3、设]1,0[,,∈z y x ，则||||||x z z y y x M -+-+-=的最大值为 ◆答案：12+★解析：不妨设01,x y z ≤≤≤≤则M ==所以 1.M ≤=≤当且仅当1,0,1,2y x z y x z y -=-===时上式等号同时成立.故max 1.M =2012A 4、在平面直角坐标系xOy 中，抛物线x y 42=的焦点为F ，准线为l ，B A ,是抛物线上的两个动点，且满足3π=∠AFB ，设线段AB 的中点M 在准线l 上的投影为N ，则||||AB MN 的最大值 为 ◆答案：1★解析：由抛物线的定义及梯形的中位线定理得.2AF BFMN +=在AFB ∆中,由余弦定理得2222cos3AB AF BF AF BF π=+-⋅2()3AF BF AF BF =+-⋅22()3()2AF BF AF BF +≥+-22().2AF BF MN +== 当且仅当AF BF =时等号成立.故MNAB的最大值为1.2012A 5、设同底的两个正三棱锥ABC P -和ABC Q -内接于同一个球.若正三棱锥ABC P -的侧面与底面所成角为045，则正三棱锥ABC Q -的侧面与底面所成角的正切值为◆答案：4★解析：如图.连结PQ ,则PQ ⊥平面ABC ,垂足H 为 正ABC ∆的中心,且PQ 过球心O ,连结CH 并延长交AB 于点M ,则M 为AB 的中点,且CM AB ⊥,易知,PMH QMH ∠∠分别为正三棱锥,P ABC Q ABC --的侧面与底面所成二角的平面角,则45PMH ∠= ,从而12PH MH AH ==,因为90,,PAQ AH PQ ∠=⊥所以2,AP PH QH =⋅即21.2AH AH QH =⋅所以24.QH AH MH ==, 故tan 4QHQMH MH∠==2012A 6、设函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，且当0≥x 时，2)(x x f =.若对任意的]2,[+∈a a x ，不等式)(2)(x f a x f ≥+恒成立，则实数a 的取值范围是◆答案：).+∞★解析：由题设知22(0)()(0)x x f x x x ⎧≥⎪=⎨-<⎪⎩,则2()).f x f =因此,原不等式等价于()).f x a f +≥因为()f x 在R 上是增函数,所以,x a +≥即1).a x ≥-又[,2],x a a ∈+所以当2x a =+时,1)x 取得最大值1)(2).a +因此,1)(2),a a ≥+解得a ≥故a 的取值范围是).+∞2012A 7、满足31sin 41<<n π的所有正整数n 的和为 ◆答案：33★解析：由正弦函数的凸性,有当(0,)6x π∈时,3sin ,x x x π<<由此得131sin,sin ,1313412124πππππ<<>⨯=131sin ,sin .10103993πππππ<<>⨯=所以11sinsin sin sin sin .134********πππππ<<<<<< 故满足11sin 43n π<<的正整数n 的所有值分别为10,11,12,它们的和为33.2012A 8、某情报站有D C B A ,,,四种互不相同的密码，每周使用其中的一种密码，且每周都是从上周未使用的三种密码中等可能地随机选用一种。

历届华杯赛决赛试题剖析5华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题（小学组）第十七届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛笔试试题A 参考答案（小学高年级组）一、填空（每题 10 分, 共80分）二、解答下列各题（每题 10 分, 共40分, 要求写出简要过程）9. 答案：是.解答. 连接AC . 则ECKB CEB BCK S S S ∆∆=+CEB BCA S S ∆∆=+ACE S ∆=EAD S ∆=所以ECKB OBE EAD OBE S S S S ∆∆∆-=-.因此.ECKO ABOD S S = 即四边形ABOD 的面积=四边形ECKO 的面积.10. 答案：能解答. 首先构造45⨯的长方形如下:然后用50个45⨯的即可拼成2005⨯的长方形.11. 答案：2025, 3025, 9801.解答. 设一个四位卡布列克怪数为 100x y +, 其中1099,099x y ≤≤≤≤. 则由题意知2100()x y x y +=+, 两边模99得2()(mod99)x y x y +=+,因此 99|()(1)x y x y ++-, 故x y +与1x y +-中有一个能被9整除, 也有一个能被11整除（可能是同一个数）, 且有22210()100100x y x y ≤+=+<，即10100x y ≤+<. （*）若x y +能被99整除，由（*）知x y +只能是99，满足条件的四位数是9801；若x y +－1能被99整除，由（*）, 显然没有满足条件的四位数；此外，可设x y +＝9m ，x y +－1＝11n ，则有9m -11n =1, 由（*）, m 和n 均为小于12的正整数，故得到m ＝5，n ＝4， x y +只能是45，满足条件的四位数是2025；反之，可设x y +－1＝9m ，x y +＝11n ，满足条件的四位数是3025.故四位数中有三个卡布列克怪数, 它们分别为2025, 3025和9801.12. 答案：1或2解答. 对于质数3, 23 被3整除. 其余的质数, 要么是31k +型的数, 要么是32k +型的数. 由于22(31)9613(32)1,k k k k k +=++=++被3除余1, 且222(32)91243(341)1k k k k k +=++=+++,被3除也余1. 因此有（1）若这98个质数包含3时, N 被3除的余数等于97被3除的余数, 等于1. （2）若这98个质数不包含3时, N 被3除的余数等于98被3除的余数, 等于2.三、解答下列各题（每题 15 分, 共30分, 要求写出详细过程）13. 答案：18,11,9,3解答. 设起跑时间为0秒时刻, 则小李和小张在划定区间跑的时间段分别为]9,0[, ]972,972[+-k k , ,3,2,1=k ,和]10,0[, ]1080,1080[+-m m , ,3,2,1=m .其中 [a , b ] 表示第a 秒时刻至第b 秒时刻. 显然 ]9,0[ 即前9秒里两类时间段的公共部分. 此外, 考虑]972,972[+-k k 和]1080,1080[+-m m 的公共区间, m k ,为正整数, 分两种情况:1) m k 8072=, 即小李和小张分别跑了k 圈和m 圈同时回到起点, 他们二人同时在划定区域跑了18秒.2) m k 8072≠, 例如10809721080972+≤+≤-≤-m k m k ⇔1972801≤-≤k m ①.两人同时在划定区域内跑了)1080(972--+m k )7280(19k m --=. 由①知87280=-k m , 16. 于是两人同时在划定区域内跑持续时间为11秒或3秒. 其它情况类似可得同样结果.综上, 答案为18,11,9,3.14. 答案: 150解答. 设立方体的长, 宽, 高分别为x y z ,,, 其中z y x ≤≤, 且为整数. 注意, 两面有红色的小立方块只能在长方体的棱上出现.如果1,1==y x , 则没有两面为红色的立方块, 不符合题意. 如果1,1>=y x , 则没有只有一面为红色的立方块, 不符合题意.因此2≥x . 此时两面出现红色的方块只能与长方体的棱共棱. 一面出现红色的方块只与立方体的面共面. 有下面的式子成立40)]2()2()2[(4=-+-+-⨯z y x , （1）66)]2)(2()2)(2()2)(2[(2=--+--+--⨯z y z x y x . （2）由（1）得到16=++z y x , （3）由（2）得到85=++yz xz xy . （4）由（3）和（4）可得，86222=++z y x ，这样 9,,1≤≤z y x . 由（4）得到285))((x z x y x +=++. （5）若2=x , 则由（5）得到89189485)2)(2(⨯==+=++z y , z y ,的取值不能满足（3）.若3=x , 则由（5）得到47294985)3)(3(⨯==+=++z y , z y ,的取值不能满足（3）.若4=x , 则由（5）得到10111011685)4)(4(⨯==+=++z y , z y ,的取值不能满足（3）.当5=x 时, 由（5）得到11521102585)5)(5(⨯⨯==+=++z y , 此时6,5==z y 满足条件.如果6≥x , 则18≥++z y x , 与（3）矛盾.综上, 6,5,5===z y x 是问题的解, 这是长方体的体积为150.。

2012年全国高中数学联合竞赛（A 卷）一试一、填空题：本大题共8个小题，每小题8分，共64分。

2012A1、设P 是函数xx y 2+=（0>x ）的图像上任意一点，过点P 分别向直线x y =和y 轴作垂线，垂足分别为B A ,，则PB PA ⋅的值是◆答案：1-★解析：设0002(,),p x x x +则直线PA 的方程为0002((),y x x x x -+=--即0022.y x x x =-++由00000011(,).22y xA x x y x x x x x=⎧⎪⇒++⎨=-++⎪⎩又002(0,),B x x +所以00011(,(,0).PA PB x x x =-=-故001() 1.PA PB x x ⋅=⋅-=- 2012A 2、设ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，且满足c A b B a 53cos cos =-，则BAtan tan 的取值为◆答案：4★解析：由题设及余弦定理得222223225c a b b c a a b c ca bc +-+-⋅-⋅=,即22235a b c -=，故222222222222228tan sin cos 2542tan sin cos 5a cb a cA AB c a b ac b c a B B A b c a c b bc+-⋅+-=====+-+-⋅2012A 3、设]1,0[,,∈z y x ，则||||||x z z y y x M -+-+-=的最大值为◆答案：12+★解析：不妨设01,x y z ≤≤≤≤则M =所以 1.M ≤=当且仅当1,0,1,2y x z y x z y -=-===时上式等号同时成立.故max 1.M =2012A 4、在平面直角坐标系xOy 中，抛物线x y 42=的焦点为F ，准线为l ，B A ,是抛物线上的两个动点，且满足3π=∠AFB ，设线段AB 的中点M 在准线l 上的投影为N ，则||||AB MN 的最大值为◆答案：1★解析：由抛物线的定义及梯形的中位线定理得.AF BFMN +=在AFB ∆中,由余弦定理得2222cos3AB AF BF AF BF π=+-⋅2()3AF BF AF BF =+-⋅22()3()AF BFAF BF +≥+-22().AF BFMN +==当且仅当AF BF =时等号成立.故MN AB的最大值为1.2012A 5、设同底的两个正三棱锥ABC P -和ABC Q -内接于同一个球.若正三棱锥ABC P -的侧面与底面所成角为045，则正三棱锥ABC Q -的侧面与底面所成角的正切值为◆答案：4★解析：如图.连结PQ ,则PQ ⊥平面ABC ,垂足H 为正ABC ∆的中心,且PQ 过球心O ,连结CH 并延长交AB 于点M ,则M 为AB 的中点,且CM AB ⊥,易知,PMH QMH ∠∠分别为正三棱锥,P ABC Q ABC --的侧面与底面所成二角的平面角,则45PMH ∠=,从而12PH MH AH ==,因为90,,PAQ AH PQ ∠=⊥所以2,AP PH QH =⋅即21.2AH AH QH =⋅所以24.QH AH MH ==,故tan 4QHQMH MH∠==2012A 6、设函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，且当0≥x 时，2)(x x f =.若对任意的]2,[+∈a a x ，不等式)(2)(x f a x f ≥+恒成立，则实数a 的取值范围是◆答案：).+∞★解析：由题设知22(0)()(0)x x f x x x ⎧≥⎪=⎨-<⎪⎩,则2()).f x f =因此,原不等式等价于()).f x a f +≥因为()f x 在R 上是增函数,所以,x a +≥即1).a x ≥又[,2],x a a ∈+所以当2x a =+时,1)x -取得最大值1)(2).a -+因此,1)(2),a a ≥+解得a ≥故a 的取值范围是).+∞2012A 7、满足31sin 41<<n π的所有正整数n 的和为◆答案：33★解析：由正弦函数的凸性,有当(0,6x π∈时,3sin ,x x x π<<由此得131sin ,sin ,1313412124πππππ<<>⨯=131sin ,sin .10103993πππππ<<>⨯=所以11sinsin sin sin sin .134********πππππ<<<<<<故满足11sin 43n π<<的正整数n 的所有值分别为10,11,12,它们的和为33.2012A 8、某情报站有D C B A ,,,四种互不相同的密码，每周使用其中的一种密码，且每周都是从上周未使用的三种密码中等可能地随机选用一种。