小学数学课本改版 0成为自然数教授自叹水平低

由0是自然数引发的思考由0是自然数引发的思考由0是自然数引发的思考由0是自然数引发的思考随着九年义务教育小学数学教材（试用修订版），把0划归自然数后，一些数的概念是否发生变化，引起小学了数学教师的关注。

无论是在日常的教研活动，还是教师私下交流，或是因特网上的教育论坛，都有许多教师提出疑问，引发了大家的思考。

思考之一：为什么要把0划归自然数。

从历史上看，国内外数学界对于0是不是自然数历来有两种观点：一种认为0是自然数，另一种认为0不是自然数。

建国以来，我国的中小学教材一直规定自然数不包括0。

目前，国外的数学界大部分都规定0是自然数。

为了方便于国际交流，1993年颁布的《中华人民共和国国家标准》（GB3100-3102-93）《量和单位》（11-2.9）第311页，规定自然数包括0。

所以在近几年进行的中小学数学教材修订中，教材研究编写人员根据上述国家标准进行了修改。

即一个物体也没有，用0表示。

0也是自然数。

思考之二：最小的一位数是“1”还是“0”？0是最小的自然数，那么最小的一位数是“1”还是“0”？在0没有归入自然数以前大家都很清楚，最小的一位数是1。

那么，现在0也成为自然数了，最小的一位数还是1吗？这是许多教师提出的疑问，笔者认为最小的一位数还是1。

大家都知道，0是自然数中最小的一个。

0加1得1，1加1得2，2加1得3，……这样继续下去可以得到任意一个自然数。

而从自然数的排列顺序可知，后面一个自然数比前面一个自然数多1。

因此，任何一个自然数都是由若干个1合并而成，所以1是自然数的单位。

0可以看成是由0个1组成的自然数。

思考之四：0是其它非零自然数的倍数吗？《九年义务教育六年制小学数学》第十册中，关于“数的整除”及“约数和倍数”的定义并未做任何改变，教材第54页就有这样的叙述：“因为0也能被2整除，所以0也是偶数”。

以此类推，0能被所有非零自然数整除，根据约数倍数的定义，0是任何非零自然数的倍数，任何非零自然数都是0的约数。

九年义务教育小学数学教材把0划归自然数后，一些数的概念是否发生变化的问题．引起了小学数学教师的关注。

无论是在日常的教研活动中，还是教师私下交流中．都有许多教师提出了疑问，引发了大家的思考。

思考之一：为什么要把0划归自然数从历史上看，国内外数学界对于0是不是自然数历来有两种观点：一种认为0是自然数，另一种认为0不是自然数。

建国以来，我国的中小学教材一直规定自然数不包括0。

目前，国外的数学界大部分都规定0是自然数。

为了方便于国际交流，1993年颁布的《中华人民共和国国家标准》(GB3100-3102-93)《量和单位》(11 2．91第311页，规定自然数包括0。

所以在近几年进行的中小学数学教材修订中，教材研究编写人员根据上述国家标准进行了修改。

即一个物体也没有，用0表示。

0也是自然数。

思考之二：最小的一位数是“1”还是“0”0是最小的自然数，那么最小的一位数是“l”还是“0”?在0没有归人自然数以前大家都很清楚，最小的一位数是1。

那么．现在0也成为自然数了，最小的一位数还是1吗?这是许多教师提出的疑问。

笔者认为最小的一位数还是1。

因为，0表示一个物体也没有，在记数法中是表示空位的一个符号，如3005里“0”就分别表示这个数的十位、百位、都是空位。

这次调整虽然将“0”划归自然数，然而对几位数的概念并没改变。

关于“几位数”是这样定义的，“只用一个有效数字表示的数，叫做一位数，只用两个有效数字，其中左边第一个数字是有效数字来表示的数就叫做两位数……”假设0也算作一位数的话，那么最小的两位数是“10"还是"00’呢?那么最小的三位数、四位数……又是多少呢?《九年义务教育六年制小学数学第八册教师教学用书》第98页“关于几位数”是这样叙述的：“通常在自然数里，含有几个数位的数，叫做几位数。

例如，2是含有一个数位的数，叫做一位数；30是含有两个数位的数，叫做两位数；405是含有三个数位的数，叫做三位数……但是要注意，一般不说0是几位数。

“0”的突破自从“0”归为自然数后，教师在实际教学中对有些问题的确不好界定和划分。

正如《小学教学参考》(数学版)第5期蓝玉文老师在《都是“0”惹的祸》一文中所阐述的那样：“0是偶数吗?0是合数，还是质数?相邻的自然数是互质数吗?0/4是真分数吗?”笔者在教学中曾疑惑过，也和同事们讨论过，但就是没有提起笔像蓝老师这样正式“申请”过。

因此，笔者读过蓝老师这篇文章后，就其中几个问题提出个人拙见，以期与同行们商榷。

0是合数，还是质数?笔者赞同蓝老师的意见，教材上应注明0和1既不是质数也不是合数，原因是0不能被它本身整除。

相邻的自然数是互质数吗?笔者也赞同蓝老师的选择，即互质数的定义应添补上0除外的自然数，原因是0没有倍数。

0是偶数吗?这个问题是大家争论得最多的，也是教学中的难点之一。

蓝老师认为0既不是偶数，也不是奇数。

原因是倍数应比它本身大或相等，即0与2的积比2小。

笔者认为蓝老师在理解这个问题时，站错了“领奖台”。

如果站在倍数或最小公倍数的角度进行思考，0的确不是偶数；如果站在数轴上思考，显然0是偶数。

我们大家都知道在10个数字中，0是最后出生的“胎儿”，它表示没有或表示起点。

在数轴上，0不仅表示数数的起点，还表示奇偶数的起点，即偶数、奇数、偶数、奇数……如果说从奇数1开始，即奇数、偶数、奇数、偶数……这与整数数轴所表述的起点不相符，所以说0是偶数，且是最小的偶数。

0/4是真分数吗?这个问题，笔者的许多同事和蓝老师的想法是一样的，即0/4是真分数，但他们所说的理由远没有蓝老师阐述的这样有根有据。

在这点上，他们都犯了一个同样的错误：无论是真分数、假分数，还是带分数，它们都是分数的“子公司”。

大家都知道每个“子公司”都是由“总公司”主管的，也就是说真分数还是要归属分数的，而分数的定义明确指出：把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数。

显然，真分数的分子最小是1，而不是0。

所以，分母是4的真分数有1/4、2/4与0/4，而不是0/4、1/4、2/4和3/4。

五年级上册小学数学教材主要问题与解答一、为什么把“0”看作自然数？最小的一位数是几？最小的偶数是几？从历史上看，国内外数学界对于“0”是不是自然数历来是有争议的，建国以来，我国的中小学教材一直规定自然数不包括“0”。

目前，国外数学界大部分都规定“0”是自然数。

1993年我国颁布的《中华人民共和国国家标准》（GB3100~3102-93）《量和单位》（11-2.9）第311页，规定自然数包括“0”。

把“0”作为一个自然数，数学家们给出了相应的解释。

我们知道“空集”是集合中一种最主要也是最基本的集合，也是我们在描述周围现象时经常用到的集合。

把“空集”作为一个有限集合是很自然的，并且我们很容易理解用“0”来描述“空集”中所含元素的多少。

如果把“0”作为一个自然数，那么“所有自然数”就可以刻画“所有的有限集合元素多少”。

而如果“所有自然数”不包括“0”，那么就没有自然数可以表示“空集”所含元素的多少。

这是从“自然数刻画有限集合的基数的基本功能”方面说明了把“0”作为自然数的好处。

把零作为自然数在数学上还有很多好处，详细可见2005年1期《小学教学设计》王尚志教授写的《为什么把“0”作为一个自然数》二、在第一单元中，教材指明研究倍数与因数，小学阶段偶数不研究“0”。

如果在测试的时候，最小的偶数是写“2”还是写“0”？回答这个问题首先要明确所讨论的数的范围。

在我们的教材这一单元中，已经说明是在非零的自然数范围内，这样最小的偶数是2。

如果在教学和考试中，首先必须明确在什么范围内，如果在自然数范围内，最小的偶数是0。

三、为什么新世纪小学数学教材不讲“整除”这一概念？教材没有出现“整除”的概念，《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》对整除不做要求。

传统教材在学习分数的意义之前，要安排“数的整除”这一单元，在这个单元中，概念名词很多，如，整除、除尽、约数、倍数、奇数、偶数、质数、合数、质因数、互质数、公约数、最大公约数、公倍数、最小公倍数。

0为什么是最小的自然数0是自然数最小的一位数是1. 随着九年义务教育小学数学教材（试用修订版），把0划归自然数后，一些数的概念是否发生变化，引起小学了数学教师的关注。

无论是在日常的教研活动，还是教师私下交流，或是因特网上的教育论坛，都有许多教师提出疑问，引发了大家的思考。

思考之一：为什么要把0划归自然数从历史上看，国内外数学界对于0是不是自然数历来有两种观点：一种认为0是自然数，另一种认为0不是自然数。

建国以来，我国的中小学教材一直规定自然数不包括0。

目前，国外的数学界大部分都规定0是自然数。

为了方便于国际交流，1993年颁布的《中华人民共和国国家标准》（GB 3100-3102-93）《量和单位》（11-2.9）第311页，规定自然数包括0。

所以在近几年进行的中小学数学教材修订中，教材研究编写人员根据上述国家标准进行了修改。

即一个物体也没有，用0表示。

0也是自然数。

思考之二：最小的一位数是“1”还是“0”？0是最小的自然数，那么最小的一位数是“1”还是“0”？在0没有归入自然数以前大家都很清楚，最小的一位数是1。

那么，现在0也成为自然数了，最小的一位数还是1吗？这是许多教师提出的疑问，笔者认为最小的一位数还是1。

因为，0表示一个物体也没有，在记数法中是表示空位的一个符号，如3005里“0”就分别表示这个数的十位、百位、都是空位。

这次调整虽然将“0”划归自然数，然而对几位数的概念并没改变。

关于“几位数”是这样定义的“只用一个有效数字表示的数，叫做一位数，只用两个有效数字，其中左边第一个数字是有效数字来表示的数就叫做两位数……”假设0也算作一位数的话，那么最小的两位数是“10”还是“00”呢？那么最小的三位数、四位数……又是多少呢？《九年义务教育六年制小学数学第八册教师教学用书》第98页“关于几位数”是这样叙述的：“通常在自然数里，含有几个数位的数，叫做几位数。

例如，2，含有一个数位的数，叫做一位数；30含有两个数位的数，叫做两位数；405含有三个数位的数，叫做三位数……但是要注意：一般不说0是几位数。

由0是自然数引起的思虑由0是自然数引起的思虑由0是自然数引起的思虑跟着九年义务教育小学数学教材（试用订正版），把0划归自然数后，一些数的看法能否发生变化，惹起小学了数学教师的关注。

不论是在平时的教研活动，仍是教师私下沟通，或是因特网上的教育论坛，都有很多教师提出疑问，引起了大家的思虑。

思虑之一：为何要把0划归自然数。

从历史上看，国内外数学界对于0能否是自然数向来有两种看法：一种以为0是自然数，另一种以为0不是自然数。

建国以来，我国的中小学教材向来规定自然数不包含0。

当前，外国的数学界大多数都规定0是自然数。

为了方便于国际沟通，1993年公布的《中华人民共和国国家标准》GB3100-3102-93）《量和单位》（）第311页，规定自然数包含0。

所以在近几年进行的中小学数学教材订正中，教材研究编写人员依据上述国家标准进行了改正。

即一个物体也没有，用0表示。

0也是自然数。

思虑之二：最小的一位数是“1”仍是“0”？0是最小的自然数，那么最小的一位数是“1”仍是“0”？在0没有纳入自然数从前大家都很清楚，最小的一位数是1。

那么，此刻0也成为自然数了，最小的一位数仍是1吗？这第1页是多教提出的疑，笔者最小的一位数是1。

因，0表示一个物体也没有，在数法中是表示空位的一个符号，如3005里“0”就分表示个数的十位、百位、都是空位。

次整然将“0”划自然数，但是几位数的看法并没改。

对于“几位数”是定的“只用一个有效数字表示的数，叫做一位数，只用两个有效数字，此中左第一个数字是有效数字来表示的数就叫做两位数⋯⋯”假0也算作一位数的，那么最小的两位数是“10”是“00”呢？那么最小的三位数、四位数⋯⋯又是多少呢？《九年教育六年制小学数学第八册教教课用》第98“对于几位数”是表达的：“往常在自然数里，含有几个数位的数，叫做几位数。

比如，2，含有一个数位的数，叫做一位数；30含有两个数位的数，叫做两位数；405含有三个数位的数，叫做三位数⋯⋯可是要注意：一般不0是几位数。

为什么0也是自然数？ (2020-09-14 11:24:50)分类：问题思考为什么0也是自然数？作者：海韵互联课标教材对“０也是自然数”的规定，颠覆了人们对自然数的传统认识。

于此，中央教科所教材编写组主编陈昌铸如是说：国际上对自然数的定义一直都有不同的说法，以法国为代表的多数国家都认为自然数从0开始，我国教材以前一直都是遵循前苏联的说法，认为0不是自然数。

2000年教育部主持召开教材改编会议时，已明确提出将0归为自然数。

这次改版也是与国际惯例接轨。

从教学实践层面来说，将“０”规定为“自然数”也有着积极的现实意义。

一、“0”作为自然数的“好处”。

众所周知，数学中的集合被分为有限集合和无限集合两类。

有限集合是含有有限个元素的集合，像某班学生的集合。

无限集合是含有的元素个数是非有限的集合，如分数的集合。

因为自然数具有“基数”的性质，因此用自然数来描述有限集合中元素的个数是很自然的。

但在有限集合中，有一个最主要也是最基本的集合，叫空集｛｝，元素个数为0。

如果不把0作为自然数，那么空集的元素的个数就无法用自然数来表示了。

如果把“0”作为一个自然数，那么自然数就可以完成刻画“有限集合元素个数”的任务了。

于此，从“自然数的基数性”这个角度，我们看到了把“0”作为自然数的好处。

二、把“0”作为自然数，不会影响自然数的“运算功能”。

“0”加入传统的自然数集合，所有的“运算规则”依旧保持，如新自然数集合{0,1,2,…,ｎ,…}中的任何两个自然数都可以进行加法和乘法运算，而运算结果仍然是自然数。

同时，加法、乘法运算的结合律和交换律，以及乘法的分配律也不会受到影响。

所以，“0”加盟到自然数集合实属理所当然，而不仅仅是人为的“规定”。

它让我们更好地理解自然数和它的功能，同时也让我们意识到教学时不仅要知道和记住数学的“定义”和“规定”，还应该思考“规定”背后的数学涵义。

人教四年级上册教材疑难解答小学数学课程教材研究开发中心丁国忠一、教材第20页提到“0也是自然数，最小的自然数是0”，这与九年义务教育小学数学教科书中的说法不一致。

这什么要做出这样的改动？从历史上看，国内外数学界对于自然数的定义一直存在着两种观点。

一种观点认为0不是自然数。

例如,意大利数学家皮亚诺于1889年提出了一组刻画自然数特征的公理，包括以下五条：（1）1是自然数。

（2）任一自然数都有唯一自然数为其后继数。

（3）没有两个相异的自然数有同一后继数。

（4）1不是任何自然数的后继数。

（5）如果1具有性质P，且任何具有性质P的自然数其后继数也具有性质P，则一切自然数都具有性质P。

从这组公理可以清楚地看到，皮亚诺把0划归在自然数之外的。

再如，上海辞书出版社出版的《辞海》（1999年版）把自然数解释为：在人类历史发展的最初阶段，由于计量的需要，用以表示个数的数目。

首先有数目一，以后逐次加一，即得二、三、四等等，统称为“自然数”。

建国以来，我国的中小学教材一直采用自然数的这种定义，用N={1，2，3，4，5，…}来表示自然数集，而用N*={0，1，2，3，4，5，…}表示扩展的自然数集。

还有一种观点把0划归为自然数的范畴。

例如，对现代数学基础有很大影响的法国布尔巴基学派的《数学原本》中，从集合论的角度，把0作为空集的基数，这样，所有有限集合的基数就都可以用自然数来刻画了。

目前，国际上大多数国家也把0纳入自然数集中。

为了国际交流的方便，国家技术监督局于1993年12月27日发布的《中华人民共和国国家标准》（GB3100～3102-93）《量和单位》第311页，就已经规定自然数集N={0，1，2，3，…}。

在《现代汉语词典》2005年6月第5版中也把自然数定义成：零和大于零的整数，即0，1，2，3，4，5，…。

根据上述原因，教材研究编写人员在对原九年义务教育教材进行修订和编写课程标准实验教材时，依据有关国家标准对自然数的定义进行了修改，规定0属于自然数。

小学-数学-上册-打印版“0”是自然数的问题从历史上看，国内和国外对于0是不是自然数历来有两种规定：一种规定0是自然数，另一种规定0不是自然数。

建国以来，我们国家的中小学教材一直规定自然数集合不包括0。

现在，国外的数学界，大部分都是规定0是自然数，为了国际交流的方便，《国家标准》中规定，自然数集包括0。

因此，在我们新出版的教材中，按照《国家标准》进行了这样的处理，原来的自然数集合现在称为正整数集。

同时，我们也按照国家标准的规定规范使用了一些数学符号的表示方法。

从使用上看，规定自然数集合是否包括0并无太大影响。

作为序数，从0开始和从1开始是一样的；以前我们所说的n∈N，现在只要说n是正整数就可以了除以的问题0不能做除数（分母、后项）的原因（1）0不能做除数（分母、后项）的数学原因：*1如果除数（分母、后项）是0，被除数是非零自然数时，商不存在。

这是由于任何数乘0都不会得出非零自然数。

*2如果被除数除数（分母、后项）都等于0，在这种情况下，商不唯一，可以是任何数。

这是由于任何数乘0都等于0。

（2）0不能做除数的物理原因：一个正整数x (被除数）除以另一个正整数n（除数）意味着将被除数等分n份后每一份的大小。

除以0的物理意义就是要把一个物体等分成0份，也就是将一个存在的物体完全消灭，使它在宇宙中消失。

但是，在一般的物理电学计算中，把0一般当作无限小。

爱因斯坦相对论向我们揭示了物质和能量的关系，这个理论说明整个宇宙中的物质和能量是守恒的，根本不可能将一个物体完全毁灭，有时候一个物体看起来消失了，其实是转化成了能量。

除以0从物理意义看违背质能量守恒定理。

2. 假设除以0有意义的推断1/0的大小的推断若除以0是有意义的，那么是多大呢？如果1除以一个越来越小的正数，得到的是一个越来越大的正数。

1/0.1=10 1/0.01=100 1/0.001=1000 …...也就是说若1/n=y n>0 y>0 当n 越趋近于0，y越来越大。

0为什么是最小的自然数0是自然数最小的一位数是1. 随着九年义务教育小学数学教材（试用修订版），把0划归自然数后，一些数的概念是否发生变化，引起小学了数学教师的关注。

无论是在日常的教研活动，还是教师私下交流，或是因特网上的教育论坛，都有许多教师提出疑问，引发了大家的思考。

思考之一：为什么要把0划归自然数从历史上看，国内外数学界对于0是不是自然数历来有两种观点：一种认为0是自然数，另一种认为0不是自然数。

建国以来，我国的中小学教材一直规定自然数不包括0。

目前，国外的数学界大部分都规定0是自然数。

为了方便于国际交流，1993年颁布的《中华人民共和国国家标准》（GB 3100-3102-93）《量和单位》（11-2.9）第311页，规定自然数包括0。

所以在近几年进行的中小学数学教材修订中，教材研究编写人员根据上述国家标准进行了修改。

即一个物体也没有，用0表示。

0也是自然数。

思考之二：最小的一位数是“1”还是“0”？0是最小的自然数，那么最小的一位数是“1”还是“0”？在0没有归入自然数以前大家都很清楚，最小的一位数是1。

那么，现在0也成为自然数了，最小的一位数还是1吗？这是许多教师提出的疑问，笔者认为最小的一位数还是1。

因为，0表示一个物体也没有，在记数法中是表示空位的一个符号，如3005里“0”就分别表示这个数的十位、百位、都是空位。

这次调整虽然将“0”划归自然数，然而对几位数的概念并没改变。

关于“几位数”是这样定义的“只用一个有效数字表示的数，叫做一位数，只用两个有效数字，其中左边第一个数字是有效数字来表示的数就叫做两位数……”假设0也算作一位数的话，那么最小的两位数是“10”还是“00”呢？那么最小的三位数、四位数……又是多少呢？《九年义务教育六年制小学数学第八册教师教学用书》第98页“关于几位数”是这样叙述的：“通常在自然数里，含有几个数位的数，叫做几位数。

例如，2，含有一个数位的数，叫做一位数；30含有两个数位的数，叫做两位数；405含有三个数位的数，叫做三位数……但是要注意：一般不说0是几位数。