概率论第四章

1 1 a arcsin( ) 0 2 π 2a
由定义，对任意实数 x1<x2，随机点落 在区间（ x1 , x2 ] 的概率为： P{ x1<X x2 } = P{ X x2 } - P{ X x1 } = F(x2)-F(x1) 因此，只要知道了随机变量X的分布函 数， 它的统计特性就可以得到全面的描述.
说明
(1) 分布函数主要研究随机变量在某一区间内取值
证明
1 F ( )




f ( x ) d x 1.
f ( x ) d x.
S f ( x) d x 1


p( x )
S1 f ( x) d x
x1
x2
1
0
x2
1
x1 x 2
S1
x
(3) P{x1 X x2 } F ( x2 ) F ( x1 ) x f ( x)dx
证明
P{ x1 X x2 } F ( x2 ) F ( x1 )
f ( x) d x f ( x) d x f ( x) d x.
x2
x2 x1
x1
同时得以下计算公式
P{ X a } F (a )

a

f ( x) d x,
P{ X a } 1 P{ X a } 1 F (a )
由 F ( x) f ( x) d x 得

x
0, x 0, xx d x , 0 x 3, 0 6 F ( x) 3 x x d x ( 2 x ) d x , 3 x 4, 3 2 0 6 1, x 4.

第四章 数字特征前面我们介绍了随机变量及其分布，对于一个随机变量，只要知道了它的分布（分布函数或分布律、分布密度），它取值的概率规律就全部掌握了。

但在实际问题中，一个随机变量的分布往往不易得到，且常常只需知道随机变量的某几个特征就够了。

例如检查棉花的质量时，我们关心的是棉花纤维的平均长度和纤维长度与平均长度的偏差大小，这些数字反映了随机变量的一些特性，我们称能够反映随机变量特征的数字为随机变量的数字特征。

本章将介绍几个最常用的数字特征：数学期望、方差、协方差和相关系数。

第一节 数学期望一、离散型随机变量的数学期望数学期望反映的是随机变量取值的集中位置的特征，能够满足这一要求的自然是随机变量的平均取值，那么这个平均取值如何得到呢？怎样定义，我们先看一个例题例1：全班40名同学，其年龄与人数统计如下：该班同学的平均年龄为：4092115201519118⨯+⨯+⨯+⨯=a8.194092140152040151940118=⨯+⨯+⨯+⨯=若令X 表示从该班同学中任选一同学的年龄，则X 的分布律为于是，X 取值的平均值，即该班同学年龄的平均值为4092140152040151940118)(⨯+⨯+⨯+⨯==a X E8.19==∑ii i p x定义1：设X 为离散型随机变量，其分布律为i i p x X P ==}{， ,2,1=i如果级数 绝对收敛，则此级数为X 的数学期望（或均值），记为 E(X)，即 ∑=ii i p x X E )(意义：E(X)表示X 取值的（加权）平均值。

如果级数 不绝对收敛，则称数学期望不存在。

例2：甲、乙射手进行射击比赛，设甲中的环数为X1，乙中的环数为X2，已知 X1和X2的分布律分别为：问谁的平均击中环数高？解：甲的平均击中环数为 E(X1)=8 0.3+9 0.1+10 0.6=9.3 乙的平均击中环数为 E(X2)=8 0.2+9 0.5+10 0.3=9.1 可见E(X1)> E(X2)，即甲的平均击中环数高于乙的平均击中环数。

二项分布
描述$n$重伯努利试验中成功次数的概率分 布。
泊松分布
用于描述单位时间或空间内事件发生的次数 的概率分布。
常见的连续概率分布
正态分布
描述自然界中许多现象的分布情况，具有钟 形曲线的特点。
均匀分布
在一定范围内的取值概率均相等的分布。
期望和方差
期望是随机变量取值的加权平均值，反映了随机变量的平均水平。 方差是随机变量取值与其期望之差的平方的加权平均值，反映了随机变量的离散程度。
概率论课件第四章
本章将回顾概率论的基础知识，包括实验、样本空间和事件，概率和频率， 离散和连续概率分布，以及期望和方差。
实验、样本空间和事件
在概率论中，实验是指可以重复进行的过程，样本空间是实验所有可能结果的集合，事件是样本空间中 的一个子集。 通过对实验和事件的定义，我们可以定量地描述事件的发生概率。
概率和频率
概率是事件发生的可能性的度量，通常用数字表示。 频率是事件在多次独立重复实验中发生的相对次数，随着实验次数增多，频 率逐渐趋近于概率值。
离散和连续概率分布
离散概率分布用于描述离散型随机ห้องสมุดไป่ตู้量的取值及其对应的概率。 连续概率分布用于描述连续型随机变量的取值及其对应的概率密度函数。
常见的离散概率分布

上述定理还可以推广到两个或两个以上随 机变量的函数的情况。
02
该公式的重要性在于: 当我们求E[g(X)]时, 不必知道g(X)的分布，而只需知道X的分布就可以了. 这给求随机变量函数的期望带来很大方便.
01
例6
例 7
解：
设(X,Y)在区域A上服从均匀分布，其中A为x轴，y轴和直线x+y+1=0所围成的区域。 求EX，E(-3X+2Y)，EXY。
例5
若将这两个电子装置串联连接组成整机,求整机
寿命(以小时计) N 的数学期望.
的分布函数为
三、随机变量函数的数学期望
1. 问题的提出：
设已知随机变量X的分布，我们需要计算的不是X的期望，而是X的某个函数的期望，比如说g(X)的期望. 那么应该如何计算呢？
一种方法是，因为g(X)也是随机变量，故应有概率分布，它的分布可以由已知的X的分布求出来. 一旦我们知道了g(X)的分布，就可以按照期望的定义把E[g(X)]计算出来.
若设
i=1,2，…，n
则 是n次试验中“成功” 的次数
解
X~B(n,p),
“成功” 次数 .
则X表示n重努里试验中的
于是
i=1,2，…，n
由于X1,X2,…, Xn 相互独立
= np(1- p)
E(Xi)= p,
D(Xi)=
p(1- p) ,
例7
解
1
展开
2
证：D(X)=E[X-E(X)]2
3
=E{X2-2XE(X)+[E(X)]2}
4
=E(X2)-2[E(X)]2+[E(X)]2
5
=E(X2)-[E(X)]2