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概率论与数理统计(浙大版)第四章

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浙江大学概率论与数理统计第四章习题

浙江大学概率论与数理统计第四章习题

















其它 0, 1 E( X ) xf X ( x )dx 0 4 x 4dx 4 / 5 1 2 2 3 12 y dx 12 ( y y ),0 y 1 fY ( y ) f ( x, y )dx y 其它 0, E (Y ) yfY ( y )dy 112( y 3 y 4 )dx 12( 1 1 ) 3 0 4 5 5
P{Z =k}= 0.1 0.9
i
10 k
k
10-k
,k=0,1,2,…,10.
1, 第i次检验时要调整设备(Zi>1) (i=1,2,3,4) 设随机变量Xi= 0, 第i次检验时不调整设备(Zi1) 则 X=X1+ X2+ X3+ X4 , 由于 P{Xi=0}=P{Zi1}=P{Zi=0}+P{Zi=1} =0.910+100.10.99=1.90.99 P{Xi=1}=1-P{Xi=0}=1-1.90.99 Xi服从(0-1)分布,故其数学期望 E(Xi)=P{Xi=1}=1-1.90.99 (i=1,2,3,4) 而 E(X)=E(X1)+E(X2)+E(X3)+E(X4)=4[1-1.90.99]=1.0556
Z 22 32 42 12 22 32 0 2 12 22 pk 0.2 0.1 0.0 0.1 0.0 0.3 0.1 0.1 0.1
1 2
1 3
1 3
1 2
1 15
整理得
Z pk 0 1 4 9 0.1 0.2 0.3 0.4

概率论与数理统计第四章

概率论与数理统计第四章

E (b) b E (aX ) aE ( X )
2. E(X+Y) = E(X)+E(Y);
推广 : E [ X i ] E ( X i )
i 1 i 1 n n
E ( ai X i ) ai E ( X i )
i 1 i 1
n
n
3. 设X、Y独立，则 E(XY)=E(X)E(Y);
例2.（X,Y）服从二维正态分布，其概率密度为 1 f ( x, y ) 2 21 2 1
1 y 1 2 x 1 y 2 y 2 2 exp{ [( ) 2 ( )( )( ) ]} 2 1 1 2 2 (1 )
证明： XY
Cov(kX, kY)=k2Cov(X,Y)
■相关系数
定义 设D(X)>0, D(Y)>0, 称
XY
Cov( X , Y ) X EX Y EY E[ ] D( X ) D(Y ) DX DY
为随机变量X和Y的相关系数（标准协方差）
X Y E( X Y ) XY
练习
1.设离散型随机变量(Ｘ,Y)的分布列为 Y 0 1 2 X 则E(XY)=( ) 0 1/3 1/6 1/9 1 0 1/6 1/9 2 0 0 1/9
2.设随机变量Ｘ的概率密度为
e x f ( x) 0 x0 其它
Y=e-2X,则EY=( )
■数学期望的性质
1. 设a,b是常数，则E(aX+b)=aE(X)+b;
对正态分布而言，X、Y相互独立 与互不相关是等价的。
例4.设随机变量(X,Y)~N(1, 1, 9, 16, -0.5) 令
第四章 随机变量的数字特征

浙大《概率论与数理统计(第四版)简明本》盛骤著 课后习题解答

浙大《概率论与数理统计(第四版)简明本》盛骤著 课后习题解答

解 （1）高该小班有 n 个人，每个人数学考试的分数的可能取值为 0，1，2，…，100，n
个人分数这和的可能取值为 0，1，2，…，100n，平均分数的可能取值为 0 , 1 ,..., 100n , 则 nn n
样本空间为
S=
k n
k
=
0,1, 2,⋯,100n
（2）样本空间 S={10，11，…}，S 中含有可数无限多个样本点。 （3）设 1 表示正品，0 有示次品，则样本空间为
而 AB= {（1，6），（6，1）}。由条件概率公式，得
P(B
A)
=
P( AB) P( A)
∑200
P(B) = P( A2 ∪ A3 ∪⋯∪, A200）= P( Ai )
i=2
显然，这种解法太麻烦，用对立事件求解就很简单。令事件 B ={恰有 0 个次品或恰有
1 个次品}，即 B = A0 ∪ A1 ，而
P(B)
=
P( A0
∪
A1 )
=
P( A0 ) +
P( A1)
=
C 200 1100
{ } S= (x, y) x2 + y2 ≤ 1
------------------------------------------------------------------------------2．设 A，B，C 为三个事件，用 A，B，C 的运算关系表示下列事件。 （1）A 发生，B 与 C 不发生； （2）A 与 B 都发生，而 C 不发生； （3）A，B，C 中至少有一个发生； （4）A，B，C 都发生； （5）A，B，C 都不发生； （6）A，B，C 中不多于一个发生； （7）A，B，C 中不多于两个发生； （8）A，B，C 中至少有两个发生。

浙江大学概率论与数理统计第4版复习笔记详解

浙江大学概率论与数理统计第4版复习笔记详解

浙江大学概率论与数理统计第4版复习笔记详解|才聪学习网浙江大学《概率论与数理统计》（第4版）笔记和课后习题（含考研真题）详解文章来源：才聪学习网/概率论与数理统计内容简介本书是浙江大学盛骤等主编的《概率论与数理统计》（第4版）的学习辅导书，主要包括以下内容：（1）梳理知识脉络，浓缩学科精华。

本书每章的复习笔记均对该章的重难点进行了整理，并参考了国内名校名师讲授该教材的课堂笔记。

因此，本书的内容几乎浓缩了该教材的知识精华。

（2）详解课后习题，巩固重点难点。

本书参考大量相关辅导资料，对盛骤主编的《概率论与数理统计》（第4版）的课后思考题进行了详细的分析和解答，并对相关重要知识点进行了延伸和归纳。

（3）精选考研真题，培养解题思路。

本书从历年考研真题中挑选最具代表性的部分，并对之做了详尽的解析。

所选考研真题基本涵盖了每章的考点和难点，考生可以据此了解考研真题的命题风格和难易程度，并检验自己的复习效果。

目录第1章概率论的基本概念1.1 复习笔记1.2 课后习题详解1.3 考研真题详解第2章随机变量及其分布2.1 复习笔记2.2 课后习题详解2.3 考研真题详解第3章多维随机变量及其分布3.1 复习笔记3.2 课后习题详解3.3 考研真题详解第4章随机变量的数字特征4.1 复习笔记4.2 课后习题详解4.3 考研真题详解第5章大数定律及中心极限定理5.1 复习笔记5.2 课后习题详解5.3 考研真题详解第6章样本及抽样分布6.1 复习笔记6.2 课后习题详解6.3 考研真题详解第7章参数估计7.1 复习笔记7.2 课后习题详解7.3 考研真题详解第8章假设检验8.1 复习笔记8.2 课后习题详解8.3 考研真题详解第9章方差分析及回归分析9.1 复习笔记9.2 课后习题详解9.3 考研真题详解第10章bootstrap方法10.1 复习笔记10.2 课后习题详解10.3 考研真题详解第11章在数理统计中应用Excel软件11.1 复习笔记11.2 课后习题详解11.3 考研真题详解第12章随机过程及其统计描述12.1 复习笔记12.2 课后习题详解12.3 考研真题详解第13章马尔可夫链13.1 复习笔记13.2 课后习题详解13.3 考研真题详解第14章平稳随机过程14.1 复习笔记14.2 课后习题详解14.3 考研真题详解复习笔记详解第1章概率论的基本概念1.1 复习笔记在个别试验中其结果呈现出不确定性，在大量重复试验中其结果又具有统计规律性的现象，称为随机现象．一、随机试验1．定义试验包括各种各样的科学实验，甚至对某一事物的某一特征的观察也认为是一种试验．2．试验的特点（1）可以在相同的条件下重复地进行；（2）每次试验的可能结果不止一个，并且能事先明确试验的所有可能结果；（3）进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现．在概率论中，将具有上述三个特点的试验称为随机试验．二、样本空间、随机事件1．样本空间随机试验E的所有可能结果组成的集合称为E的样本空间，记为S．样本空间的元素，即E的每个结果，称为样本点．2．随机事件一般地，称试验E的样本空间S的子集为E的随机事件，简称事件．在每次试验中，当且仅当这一子集中的一个样本点出现时，称这一事件发生．特别地，由一个样本点组成的单点集，称为基本事件．样本空间S包含所有的样本点，它是S自身的子集：（1）在每次试验中它总是发生的，S称为必然事件．（2）空集不包含任何样本点，也是样本空间的子集，它在每次试验中都不发生，称为不可能事件．3．事件间的关系与事件的运算事件间的关系与事件的运算按照集合论中集合之间的关系和集合运算来处理．设试验E的样本空间为S，而A，B，A k（k＝1，2，…）是S的子集．（1）包含关系①若，则称事件B包含事件A，即事件A发生必导致事件B发生；②若且，即A＝B，则称事件A与事件B相等．（2）和事件事件A∪B＝{x|x∈A或x∈B）称为事件A与事件B的和事件．当且仅当A，B 中至少有一个发生时，事件A B发生．称为n个事件A1，A2，…，A n的和事件；称为可列个事件A1，A2，…的和事件．（3）积事件事件A∩B＝{x|x∈A且x∈B）称为事件A与事件B的积事件．当且仅当A，B 同时发生时，事件A∩B发生.A∩B也记作AB．称为n个事件A1，A2，…，A n的积事件；称为可列个事件A1，A2，…的积事件．（4）差事件事件A-B＝{x|x∈A且x B）称为事件A与事件B的差事件．当且仅当A发生、B不发生时事件A-B发生．（5）互斥若，则称事件A与B是互不相容的，或互斥的．即事件A与事件B不能同时发生．基本事件是两两互不相容的．（6）逆事件若A∪B＝S且，则称事件A与事件B互为逆事件，又称事件A与事件B互为对立事件．对每次试验而言，事件A、B中必有一个发生，且仅有一个发生．A的对立事件记为．（7）定律设A，B，C为事件，则有：①交换律：A∪B＝B∪A；A∩B＝B∩A；②结合律：A∪（B∪C）＝（A∪B）∪C；A∩（B∩C）＝（A∩B）∩C；③分配律：A∪（B∩C）＝（A∪B）∩（A∪C）；A∩（B∪C）＝（A∩B）∪（A ∩C）；④德摩根律：；．。

概率论与数理统计》课后习题答案第四章

概率论与数理统计》课后习题答案第四章

习题4.11．设10个零件中有3个不合格． 现任取一个使用，若取到不合格品，则丢弃重新抽取一个，试求取到合格品之前取出的不合格品数X 的数学期望．解 可得X 的概率分布为0123~77711030120120X ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦于是X 的数学期望为7771()012310301201204531208E X =⨯+⨯+⨯+⨯==2．.某人有n 把外形相似的钥匙，其中只有1把能打开房门，但他不知道是哪一把，只好逐把试开．求此人直至将门打开所需的试开次数X 的数学期望．解 可得X 的概率分布为12~111n X nn n ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦于是X 的数学期望为111()121(1)122E X n n n nn n n n =⨯+⨯++⨯++==3．设5次重复独立试验中每次试验的成功率为0.9，若记失败次数为X ，求X 的数学期望。

解 由题意~(5,0.1)X B ，则X 的数学期望为 ()50.10.E X =⨯= 4．设某地每年因交通事故死亡的人数服从泊松分布．据统计，在一年中因交通事故死亡一人的概率是死亡两人的概率的21，求该地每年因交通事故死亡的平均人数。

解 设该地每年因交通事故死亡的人数为X ，由题意X 服从泊松分布() (0)P λλ>.因1{1}{2}2P X P X === 即121 41!22!ee λλλλλ--=⇒= 于是X 的数学期望为()4E X λ== 所以地每年因交通事故死亡的平均人数为4人。

5．设随机变量X 在区间(1,7)上服从均匀分布，求2{()}P X E X <. 解 因X 在区间(1,7)上服从均匀分布，故X 的数学期望为17()42E X +== 于是22{()}{4}1 {22}6P X E X P X P X <=<=<-<<=6．设连续型随机变量X 的概率密度为01() (,0)0 b ax x p x a b ⎧<<=>⎨⎩其它又知()0.75E X =,求,a b 的值解 由密度函数的性质可得()1p x dx +∞-∞=⎰即1111b aax dx b =⇒=+⎰又由()0.75E X =，可得1()0.75b xp x dx x ax dx +∞-∞=⋅=⎰⎰即0.752ab =+ 求解110.752ab a b ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩可得 3,2a b ==.7．设随机变量X 的概率密度为0<1()2 120 x x p x x x <⎧⎪=-≤<⎨⎪⎩其它求数学期望()E X解1201331221()() (2) ()133E X xp x dxx xdx x x dx x x x +∞-∞==⋅+⋅-=+-=⎰⎰⎰8.设随机变量X 的概率分布为X -2 -1 0 1 P 0.2 0.3 0.1 0.4 求 (1)(21)E X -；（2）2()E X .解 (1) (21)2()1E X E X -=- 其中()20.210.3010.40.3E X =-⨯-⨯++⨯=-则(21)2()12(0.3)1 1.6E X E X -=-=⨯--=-(2）22222()0.2(2)0.3(1)0.100.41 1.5E X =⨯-+⨯-+⨯+⨯=9．假设一部机器在一天内发生故障的概率为0.2，机器发生故障时全天停止工作。

概率论与数理统计第四章补充习题

概率论与数理统计第四章补充习题

第四章补充习题一、 填空题1、 设随机变量X 则Y X 和的相关系数XY ρ= ，=),(2222Y X Cov Y X 的协方差和 。

2、设随机变量Y X 和的数学期望分别为22和-，方差分别为41和，而相关系数为5.0-，则根据切比雪夫不等式{}≤≥+6Y X P 。

3、设随机变量Y X 与相互独立且均服从正态分布2(0,)N ， 则)(Y X E -= ，=-)(Y X D 。

4、随机变量ξ服从指数分布，参数λ= 时，72)(2=ξE 。

5、设随机变量Y X ,，2)(-=X E ，4)(=Y E ，4)(=X D ，9)(=Y D ，5.0-=XY ρ， =-+-)323(22Y XY X E 。

6、设随机变量Y X 与的相关系数9.0=XY ρ，若4.0-=X Z ，则=YZ ρ 。

7、设Y X ,同分布，密度函数均为⎪⎩⎪⎨⎧<<=其它若0102)(2tx xtx f ，使t Y X C E 1))2((=+， 则=C 。

8、设随机变量X 的数学期望和方差均为0，则{}=≠0X P 。

9、将一枚均匀硬币连掷3次，用X 表示正面出现的总次数，Y 表示第一次掷得的正面数， 则=)(XY E ，=),(Y X Cov ，=XY ρ 。

二、选择题1、设随机变量Y X 和独立同分布，记 Y X V Y X U +=-=,，则随机变量V U 与必然（ ） （A ）不独立， (B) 独立， (C) 相关系数不为零， (D) 相关系数为零。

2、将一枚硬币掷n 次，以Y X 和分别表示正面朝上和反面朝上的次数，则Y X 和的相关系数等于（ ）。

（A ）1- (B) 0 (C)21(D) 1。

3、设随机变量Y X 和相互独立且分别服从正态分布(0, 1)N 和(1, 1)N ，则（ ）。

(A) {}210=≤+Y X P , (B) {}211=≤+Y X P , (C) {}210=≤-Y X P , (D) {}211=≤-Y X P 。

(浙大第四版)概率论与数理统计知识点总结

1° 0≤P(A)≤1，
2° P(Ω) =1
3° 对于两两互不相容的事件 ， ，…有
常称为可列（完全）可加性。
则称P(A)为事件 的概率。
（8）古典概型
1° ，
2° 。
设任一事件 ，它是由 组成的，则有
P(A)= =
（9）几何概型
若随机试验的结果为无限不可数并且每个结果出现的可能性均匀，同时样本空间中的每一个基本事件可以使用一个有界区域来描述，则称此随机试验为几何概型。对任一事件A，
（4）
（5）对于
.
（4）离散型与连续型的关系
（5）边缘分布
离散型
X的边缘分布为
；
Y的边缘分布为
。
连续型
X的边缘分布密度为
Y的边缘分布密度为
（6）条件分布
离散型
在已知X=xi的条件下，Y取值的条件分布为
在已知Y=yj的条件下，X取值的条件分布为
连续型
在已知Y=y的条件下，X的条件分布密度为
；
在已知X=x的条件下，Y的条件分布密度为
Z=X+Y
根据定义计算：
对于连续型，fZ(z)＝
两个独立的正态分布的和仍为正态分布（ ）。
n个相互独立的正态分布的线性组合，仍服从正态分布。
，
Z=max,min(X1,X2,…Xn)
若 相互独立，其分布函数分别为 ，则Z=max,min(X1,X2,…Xn)的分布函数为：
分布
设n个随机变量 相互独立，且服从标准正态分布，可以证明它们的平方和
条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。
例如P(Ω/B)=1 P( /A)=1-P(B/A)
（13）乘法公式
乘法公式：

概率论与数理统计第四章习题参考答案


=
⎡ E⎢
1
⎢⎣ n −1
n i =1
(Xi
−
⎤ X )2 ⎥
⎥⎦
=
1 n −1
⎡ E⎢
⎢⎣
n i =1
X
2 i
−
nX
2⎤ ⎥ ⎥⎦
=
1 n −1
⎡n ⎢ ⎢⎣ i=1
E
(
X
2 i
)
−
nE( X
2⎤ )⎥ ⎥⎦
∑[ ] [ ] =
1 n −1
⎧ ⎨ ⎩
n i =1
D(X i ) + E 2 (X i )
X −µ 3/2
<
⎫ 1.96⎬
=
0.95
⎭
故，正态总体均值 µ 的 95%的置信区间为 (X − 2.94, X + 2.94)
代入样本值得正态总体均值 µ 的 95%的置信区间为（-2.565，3.315）。
（2）当σ 未知时，由 T = X − µ ~ t(n − 1) 即T = X − µ ~ t(3) ，所以
n
−a n
=0 =0
无解。由此不能求得
a,
b
的极大似然估计量。
⎩ ∂b
b−a
解：X
的概率密度为
f
(x)
=
⎪⎧ ⎨b
1 −
a
,
a
≤
x
≤
b
，
⎪⎩ 0, 其它
似然函数为 L(a, b) = 1 , θ1 ≤ xi ≤ θ 2 ,i = 1,2,L, n ， (b − a)n
对于给定的样本值 (x1 , x2 ,L, xn )
−
n
D(

浙江大学概率论与数理统计(盛骤第四版)——概率论部分1-90页精品文档

fn ( A )
# 频率 反映了事件A发生的频繁程度。
15
n
Ai Ai A1 A2
n
n
An； Ai Ai＝A1A2 An；
i1
i1
i1
i1
例：设A={ 甲来听课 }，B={ 乙来听课 } ，则：
A B {甲、乙至少有一人来}
都不来}
A BAB{甲、乙至少有一人不来}
14
§3 频率与概率
例：



称S中的元素e为基本事件或样本点．
一枚硬币抛一次 S={正面，反面}； 记录一城市一日中发生交通事故次数
S={0,1,2,…}； 记录某地一昼夜最高温度x，最低温度y
S={(x,y)|T0≤y≤x≤T1}； 记录一批产品的寿命x S={ x|a≤x≤b }
10
(二) 随机事件
一般我们称S的子集A为E的随机事件A，当且 仅当A所包含的一个样本点发生称事件A发生。 例：观察89路公交车浙大站候车人数，S＝{0,1,2,…}；
概率论与数理统计是研究随机现象 数量规律的一门学科。
1
第一章 概率论的基本概念
• 1.1 随机试验 • 1.2 样本空间 • 1.3 概率和频率 • 1.4 等可能概型（古典概型） • 1.5 条件概率 • 1.6 独立性
第二章 随机变量及其分布
• 2.1 随机变量 • 2.2 离散型随机变量及其分布 • 2.3 随机变量的分布函数 • 2.4 连续型随机变量及其概率密度 • 2.5 随机变量的函数的分布
记 A＝{至少有10人候车}＝{10,11,12,…} S， A为随机事件，A可能发生，也可能不发生。
如果将S亦视作事件，则每次试验S总是发生， 故又称S为必然事件。 为方便起见，记Φ 为不可能事件，Φ 不包含

概率论与数理统计(浙江大学版本)

随机事件
二、样本空间(p2)
1、样本空间：试验的所有可能结果所 组成的集合称为样本空间，记为={e}； 2、样本点: 试验的单个结果或样本空间 的单元素称为样本点,记为e. 3.由样本点组成的单点集称为基本事件, 也记为e.

幻灯片 6
随机事件
1.定义 样本空间的任意一个子集称为随机事件, 简称“ 事件”.记作A、B、C等

(3) 可列可加性：设A1，A2，…, 是一列两两互不 相容的事件，即AiAj＝，(ij), i , j＝1, 2, …, 有 P( A1 A2 … )＝ P(A1) ＋P(A2)+…. 则称P(A)为事件A的概率。 (1.1)
2.概率的性质 P(10-13) (1) 有限可加性：设A1，A2，…An , 是n个两两互 不相容的事件，即AiAj＝ ，(ij), i , j＝1, 2, …, n ,则有 P( A1 A2 … An)＝ P(A1) ＋P(A2)+… P(An); (2) 单调不减性：若事件AB，则 P(A)≥P(B) (3)事件差 A、B是两个事件， 则 P(A-B)=P(A)-P(AB)
(4) 加法公式：对任意两事件A、B，有 P(AB)＝P(A)＋P(B)－P(AB) 该公式可推广到任意n个事件A1，A2，…，An的 情形；
(3) 互补性：P(A)＝1－ P(A);
(5) 可分性：对任意两事件A、B，有 P(A)＝P(AB)＋P(AB ) .
某市有甲,乙,丙三种报纸,订每种报纸的人数分 别占全体市民人数的 30%, 其中有 10% 的人同 时定甲,乙两种报纸.没有人同时订甲乙或乙丙 报纸.求从该市任选一人,他至少订有一种报纸 的概率.
随机现象：不确定性与统计规律性
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E (Z )



g ( x, y) f ( x, y)dxdy
x 20 20 10 x
dx 1000 y 1 100 dy dx 500( x y) 1 100 dy
10 10
20
14166.7(元）
数学期望的特性：
1.设C是常数，则有E(C) C
k 解：X的分布律为：P( X k ) e
k!
k 0,1, 0
X的数学期望为：
E( X ) k e
k 0

k
k!
e

(k 1)!
k 1

k 1
e e
即 E( X )
பைடு நூலகம்
设 X U (a, b)，求E( X )。 例6：
x0 x0
根据N的概率密度fmin(x),可得到E(N).
E( N ) x 2 e
0 2x
x 2 2 x0 e f min ( x) x0 0
是 指 数 分 布 的 密 度 函 数


dx xe
2 x 0
| e
这一性质可以推广到任意有限个随机变量线性组合的情况
证明：
1. C是常数，P( X C) 1, E( X ) E(C ) 1 C C
下面仅对连续型随机变量给予证明：
2. E (CX ) Cxf ( x)dx C




xf ( x)dx CE( X )
2.设X 是一个随机变量，C是常数，则有E(CX ) CE( X )
3.设X , Y 是两个随机变量，则有E( X Y ) E( X ) E(Y )
将上面三项合起来就是：E(aX bY c) aE( X ) bE(Y ) c
4.设X , Y 是相互独立的随机变量，则有E( XY ) E( X ) E(Y )
x

解：
1 e x 0 X k (k 1, 2) 的分布函数F ( x) x0 0 串联情况下，N min X1, X 2 , 故N的分布函数为：
x
2x Fmin ( x) 1 (1 F ( x)) 2 1 e 0
若级数 xk pk 绝对收敛，则称级数 xk pk的和为随机变量X
k 1 k 1
的数学期望，记为E X ,即 E X xk pk
k 1

定义： 设连续型随机变量X 的概率概率为f x , 若积分



xf ( x)dx 绝对收敛 (即



x f x dx <)
0
2 x

2 x dx e |0
2
2
从而E ( N ) 2
问题：将2个电子装置并联联接组成整机， 整机的平均寿命又该如何计算？
例3：设有10个同种电子元件，其中2个废品。装配仪器
时，从这10个中任取1个，若是废品，扔掉后重取 1只，求在取到正品之前已取出的废品数X的期望。 解：X的分布律为：
考虑：先求E (Y )


yfY ( y )dy，这里
你算对了吗？哪个更容易呢?
3 dx 3 2 1 y 2x y 3 dx fY ( y ) y 2 x3 y 2 0
0 y 1 y 1 其他
例10：某商店经销某种商品，每周进货量X与需求量Y是相互独立的 随机变量，且都在区间[10,20]上均匀分布。商店每售出一 单位商品可获利1000元；若需求量超过进货量，商店可从它处 调剂供应，这时每单位商品可获利500元；试计算此商店经销 该种商品每周所获得利润的数学期望。
则 X ~ b(5, 0.2)
设Y表示一周内所获利润，则
P(Y 10) P( X 0) (1 0.2)5 0.328, 其余同理可得，于是Y的分布率为：
Y
2
0
5
10
pk
0.057 0.205 0.410 0.328
于是 E (Y ) 5.216 （万元）
设 X ( ), 求E( X )。 例5：
X 是连续型随机变量，它的概率密度为f ( x)
则有E (Y ) E( g ( X ))
若


g ( x) f ( x)dx 绝对收敛

g ( x) f ( x)dx
定理的重要意义在于我们求E (Y )时，不必算出Y的分布律或 概率密度，而只要利用X 的分布律或概率密度就可以了。
§1 数学期望
例1：甲、乙两人射击比赛，各射击100次，其中甲、乙的成绩 如下： 甲 8 9 10 乙 8 9 10 次数 10 80 10 次数 20 65 15
评定他们的成绩好坏。 解：计算甲的平均成绩： 计算乙的平均成绩：
8 10 9 80 10 10 8 10 9 80 10 10 9 100 100 100 100 8 20 9 65 10 15 8 20 9 65 10 15 8.95 100 100 100 100
i 1 j 1
若二维连续型随机变量 X , Y 的概率密度为：
则有E ( Z ) E ( g ( X , Y ))





g ( x, y) f ( x, y)dxdy
这里设上式右边的积分绝对收敛
特别地，E ( X )



xf ( x, y)dxdy


yf ( x, y)dydx
y 1 x
X=1
x 1 E( ) 1 f ( x, y )dydx dx 1 3 dy 4 3 xy 1 XY x 2x y x 3 3 1 ( 16 12 )dx 3 ( 1 1) 3 [ 2 ] | 1 dx 4 1 4 1 4 5 5 x x 2x 2y x
(0 0)
2
(1 0)
2
0.15
(0 1)
2 2 (1 2) sin 0.15 0.25 2
0.25 sin
(1 1)
0.2 sin
(0 2)
0.15
例9：设随机变量(X,Y)的概率密度为：
3 3 2 f ( x, y) 2 x y 0 1 y x, x 1 x 求数学期望E 其他
例7：已知某零件的横截面是个圆，对横截面的直径X进
行测量，其值在区间（1，2）上均匀分布，求横截 面面积S的数学期望。
1, 1 x 2 解：X 的密度函数为：f ( x) 其他 0,
4 E (S ) x2 f ( x)dx 4
S
X2

2
1
x2 dx
4
7 12
例8：设二维随机变量 X , Y 的联合分布律为
X 0 1 Y 0 1 2
0.1 0.25 0.15 0.15 0.2 0.15
求随机变量 Z sin
解：E ( Z ) E[sin sin 2
(X Y)
2
] sin
的数学期望。
0.1 sin 2
(X Y)

10
定理：设Y是随机变量X的函数：Y g ( X ) g是连续函数 ,
X 是离散型随机变量，它的分布律为：
P( X xk ) pk , k 1, 2,
若 g ( xk ) pk 绝对收敛，则有E (Y ) E[ g ( X )] g ( xk ) pk
k 1 k 1
上述定理也可以推广到两个或两个以上 随机变量的函数的情况。
定理：设Z是随机变量X , Y的函数：Z g( X , Y ) g是连续函数 ,
若二维离散型随机变量 X , Y 的分布律为：
P( X xi , Y y j ) pij , i, j 1, 2,
则有E (Z ) E[ g ( X , Y )] g ( xi , y j ) pij 这里设上式右边的级数绝对收敛，
1 b－a a x b 解：X的概率密度为： f ( x) 其他 0
X的数学期望为：
E( X )


xf ( x)dx

b
a
x dx a b 2 ba
即数学期望位于区间(a, b)的中点
几种重要分布的数学期望
1、 设X ~ b( n, p), 则E ( X ) np 2、 设X ~ ( ), 则E ( X ) ab 3、 设X ~ U (a , b), 则E ( X ) 2 4、 设X ~ N ( , 2 ), 则E ( X ) 5、 设X服 从 参 数 为 的 指 数 分 布 , 则E ( X ) 1
解：设Z表示该种商品每周所得的利润，则
若Y X 1000Y , Z g( X ,Y ) 500(X+Y), 若Y X
X 和Y 相互独立，因此( X , Y )的概率密度为 1 100, 10 x 20,10 y 20 f ( x, y ) 其他 0,
则称积分



xf ( x)dx 的值为随机变量X 的数学期望，记为E ( X )

即 E ( X ) xf ( x)dx
数学期望简称期望，又称均值。
例2：有2个相互独立工作的电子装置，它们的寿命 X k k 1,2 , 1 服从同一指数分布，其概率密度为： f ( x) x0 e 0 x0 若将这2个电子装置串联联接 0 组成整机，求整机寿命N(以小时计)的数学期望。