概率论第四章2012

E(X| Y=y) 是 y 的函数. 所以可记 g(y) = E(X| Y=y). 进一步记 E(X| Y)= g(Y)
第四章 随机变量的数字特征
重期望公式
E ( X ) E ( E ( X | Y ))
E ( E ( X | Y y j )) P (Y y j ) j E( X ) E ( E ( X | Y y j )) pY ( y )dy
X Pk Y Pk
9.8 9.9 10 0.1 0.2 0.4
10.1 10.2 0.2 0.1
9.4 9.6 9.8 10.2 10.4 10.6 0.1 0.3 0.1 0.1 0.3 0.1
第四章 随机变量的数字特征
■方差的定义
设X是一个随机变量，若E[X-E(X)]2<∞，则 称 Var(X)=E[X-E(X)]2
第四章 随机变量的数字特征
设已知随机变量X的分布， 如何计算g(X)的期望？
第四章 随机变量的数字特征
例1：已知离散型随机变量X的分布列为
X
Pk
-2
-1
0
1
2
0.1 0.3 0.3 0.2 0.1
求X2的数学期望。
第四章 随机变量的数字特征
三、随机变量函数的数学期望
设X是一个随机变量，Y=g(X)，则
2 3/2

3
( 2 )
3/2
为X 的偏度系数.
第四章 随机变量的数字特征
β1 =0
β1 > 0
β1 < 0
偏度系数可描述分布的形状特征（对称性） β1 = 0，分布关于均值对称； β1 > 0，分布为正偏（右偏），即均值在峰值的右边； β1 < 0，分布为负偏（左偏），即均值在峰值的左边； | β1 | 越大，对称性越差。
第四章 随机变量的数字特征
■常见分布的期望和方差
名称 两点分布 二项分布 泊松分布 正态分布
概率分布
P( X k) p (1 p)
k k
期望
1k
方差
p(1 p) np(1 p)
k
, k 0,1.
nk
p np
P( X k )Cn p (1 p)
k
,
k 0,1, , n
2. 设X,Y独立且均服从[0,1]上的均匀分布， 求E(|X-Y|), Emin(X,Y).
第四章 随机变量的数字特征
五、数学期望的性质
1. 设a,b是常数，则E(aX+b)=aE(X)+b;
2. E(X+Y) = E(X)+E(Y);
第四章 随机变量的数字特征
3. 设X、Y独立，则 E(XY)=E(X)E(Y); 例1：设X~b(n,p),求E(X).

中心


中心
甲炮射击结果
乙炮射击结果
第四章 随机变量的数字特征
为此需要引进另一个数字特征,用它 来度量随机变量取值在其中心附近的离 散程度. 这个数字特征就是我们这一讲要介绍的 方差
第四章 随机变量的数字特征
甲乙两部机床生产同一种机轴，其直径尺寸 分布律X,Y如下.若轴的标准尺寸为10mm,比 较两部机床。
第四章 随机变量的数字特征
例1.设随机变量X~N(0,1),求E(|X|). 例2.某公司经销某种原料，根据历史资料表 明：这种原料的市场需求量X(单位：吨)服 从(300,500)上的均匀分布。每售出1吨该原 料，公司可获利1.5(千元)；若积压1吨，则 公司损失0.5(千元)。问公司应该组织多少 货源，可使平均收益最大？
(b a ) 12
2
指数分布

1
1

2
第四章 随机变量的数字特征
■方差的性质
1. 设c是常数，则Var(c)=0
1. 设a,b是常数，则Var(aX+b)=a2Var(X);
第四章 随机变量的数字特征
2.设X,Y为相互独立的随机变量，则 Var(X+Y)=Var (X)+Var (Y) 推论：设X,Y为相互独立的随机变量， a,b是 常数， 则Var (aX+bY+c)=a2D(X)+b2D(Y) Var(X+Y)=Var (X)+Var (Y) +2E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}
E(X)=-2,E(X2-2)=5, 则Var(X)=?
第四章 随机变量的数字特征
E(X)=-2,Var(X)=1,则E(2X2-4)=?
第四章 随机变量的数字特征
例1. 设X服从参数为p的0-1分布，求Var(X).
Y~P(λ), 求Var(Y)
例2. 设X~U[a,b]，求Var(X). 设Y~N(μ,σ2)，求Var(Y).
为X的方差.
采用平方是为了保证一切 差值X-E(X)都起正面的作用
方差的算术平方根
Var ( X ) 称为标准差
第四章 随机变量的数字特征
已知X的概率分布， 方差如何计算？
X为离散型， P(X=xk)=pk
X为连续型，
Var(X)=E(X2)-[E(X)]2
X~p(x)
第四章 随机变量的数字特征
第四章 随机变量的数字特征
例1. 将长度为1米的棍子任意地分为两段， 任意地选取一根再分为两段，求最后这两 段中任意一段的平均长度。
第四章 随机变量的数字特征
例2. 一矿工被困在有三个门的矿井里。第一个 门通一坑道，沿此坑道走3小时可到达安全区； 第二个门通一坑道，沿此坑道走5小时又回到 原处；第二个门通一坑道，沿此坑道走7小时 也回到原处。假定此矿工总是等可能地在三个 门中选择一个，试求他平均要用多少时间才能 到达安全区。
第四章 随机变量的数字特征
■中位数
称 p = 0.5 时的p 分位数 x0.5 为中位数，即
P( X x0.5 ) = 0.5
例2. 求指数分布的中位数。
第四章 随机变量的数字特征
■偏度系数
设随机变量X的三阶矩存在，则称
E ( X E ( X ))
3
1
[ E ( X E ( X )) ]
CV Var( X ) E( X )
为X 的变异系数. CV 是无量纲的量, 用于比较量纲不同的 两个随机变量的波动大小.
第四章 随机变量的数字特征
■分位数
P( X xp ) = F(xp) = p
则称 xp 为此分布 p 分位数，又称下侧p 分位数。
P(X x’p) = p
记 x’p 为上侧 p - 分位数。
2 2 2 2
第四章 随机变量的数字特征
例3. 设随机变量X~N(50,1),Y~N(60,4),且X与Y 相互独立，记Z=3X-2Y-10,求Z的概率密度。
第四章 随机变量的数字特征
■切比雪夫不等式
定理 设随机变量X有期望和方差 ，则对于 任给 >0,
P{| X E ( X ) | } Var ( X )
例3. 设X~b(n,p),求Var (X).
第四章 随机变量的数字特征
X,Y相互独立，X ~ N ( 1 , 1 ), Y ~ N ( 2 , 2 ) 则aX+bY+c服从什么分布？
2 2
aX bY c ~ N (a 1 b2 c, a 1 b 2 )
第四章 随机变量的数字特征
一、离散型随机变量的数学期望
定义 设X是离散型随机变量，它的分布律是: P(X=xk)=pk , k=1,2,… 如果 | xk | pk 有限,定义X的数学期望
k 1
E ( X ) xk pk
k 1

否则称X的数学期望不存在。
第四章 随机变量的数字特征
■k阶矩 设X为随机变量，k为正整数。如果以下的数 学期望都存在，则称 k = E(Xk) 为X的k阶原点矩。称 k = E[XE(X)]k 为X的k阶中点矩。
第四章 随机变量的数字特征
例1.设X~N(μ,σ2)，求X的k阶中心矩。
第四章 随机变量的数字特征
■变异系数
设随机变量X的二阶矩存在，则称
第四章 随机变量的数字特征
例1： ( X , Y ) ~ N ( , , 2 , 2 , ) 1 2 1 2 求在Y=y条件下, X 的数学期望。
在Y y条件下, X ~ N ( 1
1 2
( y 2 ), 1 (1 ))
2 2
第四章 随机变量的数字特征
第四章 随机变量的数字特征
不用分布列求几何分布的数 学期望？
第四章 随机变量的数字特征
随机个随机变量和的数学期望
随机变量X1，X2，…独立同分布，随机变量N 只取正整数值，且N与｛Xn}独立，则
E ( X i ) E ( X 1 ) E ( N )
i 1 N
第四章 随机变量的数字特征
习题：
P( X k )
e
, k 0,1, , n

( x ) 2 2 2
k!
f ( x) 1 2 , x
Βιβλιοθήκη a b 22
e
均匀分布
1 f ( x) ba 0
e x f ( x) 0
a xb 其它
x0 其它 ( 0)
E( X )


x f ( x )dx
否则称X的数学期望不存在.
第四章 随机变量的数字特征
例4. X~U[a,b],求E(X).
例5. 设X~N(μ,σ2)，求E(X).
第四章 随机变量的数字特征
例5. X的密度函数如下，求E(X).