2019届广东省潮州市高三上学期期末教学质量检测数学(文)试题(解析版)
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2019届广东省潮州市高三上学期期末教学质量检测数学（文）试题一、单选题1．设集合，，则A．B．C．R D．【答案】D【解析】求解不等式化简集合A、B，然后直接利用交集运算得答案．【详解】，，．故选：D．【点睛】本题考查了交集及其运算，考查了不等式的解法，是基础题．2．复数z满足为虚数单位，则A．B．C．D．【答案】C【解析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．【详解】由，得，．故选：C．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．A．B．C．D．【答案】C【解析】因为全称命题的否定是特称命题，所以命题的否定为，故选C.4．已知具有线性相关的变量x、y，设其样本点为2，3，，，回归直线方程为，若，，则A．B．C．D．【答案】B【解析】首先求得样本中心点，然后利用线性回归方程的性质求解实数a的值即可．【详解】，，因为线性回归直线经过样本中心点，则，即，．故选：B．【点睛】线性回归直线经过样本中心点．5．下列函数在区间为单调递增函数的是A．B．C．D．【答案】D【解析】利用基本函数的单调性逐个判断即可.【详解】，，在都为单调递减函数，在为单调递增函数．故选：D．【点睛】本题考查基本函数的单调性，熟记简单函数的单调性是关键.6．已知函数，则A．2019 B．C．2 D．1【答案】B【解析】根据自变量所在的范围代入相应的解析式计算即可得到答案.【详解】函数，，．故选：B．【点睛】本题考查分段函数函数值的计算，解决策略:(1)在求分段函数的值f(x0)时，一定要判断x0属于定义域的哪个子集，然后再代入相应的关系式;(2) 求f(f(f(a)))的值时，一般要遵循由里向外逐层计算的原则.7．在等比数列中，已知，且，，成等差数列则的前5项和为A．31 B．62 C．64 D．128【答案】B【解析】设等比数列公比为q，由，可得根据，，成等差数列，可解得，再求和即可.【详解】设等比数列的公比为q，，，，解得．又，，成等差数列，，，解得的前5项和为，故选：B．本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式，属于基础题.8．已知向量、，满足，，且，则在上的投影为A．B．C．D．4【答案】C【解析】根据可得，进而可求出，利用投影公式即可得结果.【详解】，；；；又；；在上的投影为．故选：C．【点睛】本题考查向量垂直的充要条件，向量的数量积运算，向量投影的计算公式，属于基础题.9．某几何体的三视图如图所示，若图中，则该几何体的体积为A．2B．1C．4D．6【答案】A【解析】根据三视图知几何体为四棱锥，且侧棱垂直于底面，由图中数据可求该几何体【详解】根据三视图知该几何体为四棱锥，且侧棱底面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，画出直观图，如图所示；由图中数据，计算几何体的体积为：．故选：A ． 【点睛】解答此类题目的关键是由多面体的三视图想象出空间几何体的形状并画出其直 观图.10．已知函数，则A ．0B ．7C ．D ．4【答案】B 【解析】推导出，且，由此能求出的值．【详解】函数，，且．故．故选：B ． 【点睛】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．11．若双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的渐近线与直线1y =-所围成的三角形面积为A B C D 【答案】A【解析】渐近线为b y x a =±， 1x =-时， b y a =±，所以12122ba⨯⨯=，即2b a =，c =， ce a==A ．12．平面直角坐标系xOy 中，点在单位圆O 上，设，若，且，则的值为A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】利用两角和差的余弦公式以及三角函数的定义进行求解即可． 【详解】，，，，则，故选：C ． 【点睛】本题主要考查两角和差的三角公式的应用，结合三角函数的定义是解决本题的关键．二、填空题【答案】【解析】首先利用诱导公式和辅助角公式化简函数解析式，即可求出函数的最大值．【详解】函数，当时，函数的最大值为，故答案为：．【点睛】本题考查诱导公式和辅助角公式的应用，考查正弦函数图像的性质的应用，属于基础题.14．已知实数x、y满足约束条件，则的最小值为______．【答案】【解析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，即可得到结论．【详解】作出不等式组对应的平面区域如图：由解得：由得，平移直线，由图象可知当直线经过点时，直线的截距最小，此时，故答案为：．【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键．15．曲线在点处的切线与圆相切，则______．【答案】【解析】求切线的斜率和切点，由点斜式方程得切线方程，再由圆心到切线的距离等于半径，计算可得所求值．【详解】的导数为，可得切线的斜率为，切点为，即有在处的切线方程为，即为，由切线与圆相切，可得，可得．故答案为：．【点睛】本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查直线和圆相切的条件：，考查方程思想和运算能力，属于基础题．16．设数列的前n项和为，已知，且对任意正整数n都有，则______【答案】【解析】对任意正整数n都有，可得，利用等差数列的通项公式即可得出．【详解】即，．数列是首项与公差都为1的等差数列．，解得．故答案为：．【点睛】本题考查由数列递推关系求通项公式，考查等差数列的通项公式的应用，考查推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题17．在中，角的对边分别为，且满足.（1）求角的大小；（2）已知，的面积为1，求边.【答案】（1）；（2）.【解析】(1)利用正弦定理化简即得A的值.(2)通过三角形的面积以及余弦定理，转化求解即可．【详解】（1）∵bcosA+asinB=0∴由正弦定理得：sinBcosA+sinAsinB=0∵0＜B＜π，∴sinB≠0，∴cosA+sinA=0∵，∴tanA=﹣1又0＜A＜π∴（2）∵，S=1，∴△ABC又由余弦定理得：故：【点睛】本题考查正弦定理以及余弦定理的应用，三角形底面积的求法，考查计算能力．18．某种植园在芒果临近成熟时，随机从一些芒果树上摘下100个芒果，其质量分别在，，，，，单位：克中，经统计得频率分布直方图如图所示．经计算估计这组数据的中位数；现按分层抽样从质量为，的芒果中随机抽取6个，再从这6个中随机抽取3个，求这3个芒果中恰有1个在内的概率．某经销商来收购芒果，以各组数据的中间数代表这组数据的平均值，用样本估计总体，该种植园中还未摘下的芒果大约还有10000个，经销商提出如下两种收购方案：A：所以芒果以10元千克收购；B：对质量低于250克的芒果以2元个收购，高于或等于250克的以3元个收购．通过计算确定种植园选择哪种方案获利更多？【答案】（1）268.75；（2）；（3）见解析.【解析】试题分析：（1）根据频率分布直方图和中位数的定义求解．（2）有分层抽样可得，应从况，然后判断出这个芒果中恰有个在的所有情况，根据古典概型概率公式求解．（3）分别求出两种收购方案中的获利情况，然后做出选择．试题解析：（1）由频率分布直方图可得，前3组的频率和为，前4组的频率和为，所以中位数在内，设中位数为，则有，解得．故中位数为268.75.（2）设质量在内的4个芒果分别为，质量在内的2个芒果分别为. 从这6个芒果中选出3个的情况共有，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共计20种，其中恰有一个在内的情况有，，，，，，，，，，，，共计12种，因此概率．（3）方案A：．方案B：由题意得低于250克：元；高于或等于250克元故的总计元．由于，故B 方案获利更多，应选B 方案．点睛：利用频率分布直方图估计样本数字特征的方法(1)中位数：在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积相等，由此可以估计中位数值；(2)平均数：平均数的估计值等于每个小矩形的面积乘以矩形底边中点横坐标之和； (3)众数：最高的矩形的中点的横坐标．19．如图，在四棱锥E ABCD -中， //,90AB CD ABC ∠=︒, 224CD AB CE ===，点F 为棱DE 的中点.（1）证明： //AF 平面BCE ；（2）若4,120,BC BCE DE =∠=︒=B CEF -的体积.【答案】（1）见解析（2【解析】试题分析：（1）取CE 的中点M ，连接,FM BM ，根据三角形中位线定理可得//FM CD ，从而可得四边形ABMF 为平行四边形， //AF BM ，利用线面平行的判定定理可得//AF 平面BCE ；（2）由//,90AB CD ABC ∠=︒得CD BC ⊥，由勾股定理可得CD CE ⊥，从而得CD ⊥平面BCE ， F 到平面BCE 的距离为2，利用三角形面积公式求出底面积，根据等积变换及棱锥的体积公式可得123B CEF F BCE BCE V V S --∆==⨯ =试题解析：（1）取CE 的中点M ，连接,FM BM . 因为点F 为棱DE 的中点， 所以//FM CD 且122FM CD ==， 因为//AB CD 且 2AB =，所以//FM AB 且FM AB =， 所以四边形ABMF 为平行四边形， 所以//AF BM ，因为AF ⊄平面BCE ， BM ⊂平面BCE ， 所以//AF 平面BCE .（2）因为//,90AB CD ABC ∠=︒， 所以CD BC ⊥.因为4,2,CD CE DE ===，所以222CD CE DE +=， 所以CD CE ⊥，因为BC CE C ⋂=, BC ⊂平面BCE ， CE ⊂平面BCE , 所以CD ⊥平面BCE .因为点F 为棱DE 的中点，且4CD =， 所以点F 到平面BCE 的距离为2.11sin 42sin12022BCE S BC CE BCE ∆=⋅∠=⨯⨯︒=三棱锥B CEF -的体积123B CEF F BCE BCE V V S --∆==⨯ 123=⨯=【方法点晴】本题主要考查线面平行的判定定理、利用等积变换求三棱锥体积，属于中档题. 证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面. 本题（1）是就是利用方法①证明的.20．已知椭圆：与抛物线：相交于，两点的顶点是的一个焦点，过点B且斜率为的直线l与、分别交于点M、均异于点A、．Ⅰ求的方程．Ⅱ若点A在以线段MN为直径的圆外，求k的取值范围．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】Ⅰ由抛物线的顶点，可得椭圆下焦点为即得c值，由，可得，代入抛物线得b，再利用，可得椭圆的方程．Ⅱ依题意知直线l的方程为，分别与椭圆、抛物线的方程联立得点M，N 的坐标，再利用数量积的运算性质及其根与系数的关系即可得出．【详解】解：Ⅰ抛物线的顶点为，即椭圆的下焦点为，，由，知，代入抛物线得，得，，的方程为．Ⅱ依题意知直线l的方程为，与联立消去y得：，则，得，，由，得，由，得，则，得，，点A在以MN为直径的圆外，，又，，解得，综上知．【点睛】本题考查椭圆与抛物线的方程及其性质、数量积运算性质、一元二次方程的根与系数的关系，考查推理能力与计算能力，属于中档题．21．已知函数.其中(1)当时，求函数的单调区间；(2)若对于任意，都有恒成立，求的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）.【解析】试题分析：（1）求导得到区间上单调递减，上单调递增；（2）直接求导，对分类讨论，得到.试题解析：（1），令其为，则所以可得即单调递增，而，则在区间上，，函数单调递减；在区间上，函数单调递增（2），另，可知.，令，①当时，结合对应二次函数的图像可知，，即，所以函数单调递减，∵，∴时，，时，. 可知此时满足条件.②当时，结合对应二次函数的图像可知，，单调递增，∵，∴时，，时，.可知此时不成立.③当时，研究函数.可知.对称轴.那么在区间大于0，即在区间大于0，在区间单调递增，，可知此时.所以不满足条件.综上所述：.22．已知在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），在极坐标系（与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，以轴正半轴为极轴）中，直线的方程为.（1）求曲线在极坐标系中的方程；（2）求直线被曲线截得的弦长.【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）把曲线的参数方程利用同角三角函数的基本关系消去参数，化为普通方程，再根据，化为极坐标方程．（2）把直线和圆的直角坐标方程联立方程组，求得交点的坐标，再利用两点间的距离公式求得弦长．试题解析：（Ⅰ）把曲线的参数方程利用同角三角函数的基本关系消去参数，化为普通方程为再化为极坐标方程是．（Ⅱ）直线的直角坐标方程为由求得或可得直线与曲线的交点坐标为，，所以弦长为．【考点】极坐标、参数方程23．已知函数.（1）求的解集；（2）若的最小值为,正数满足，求证：.【答案】（1）；（2）见解析.【解析】试题分析：（1）将函数写成分段函数形式，画出函数图象，利用数形结合思想可得的解集；（2）由（1）中的图象可得的最小值为，利用均值不等式可知，进而可得结果.试题解析：（1）由图像可知：的解集为.（2）图像可知的最小值为1，由均值不等式可知，当且仅当时，“”成立，即.。
