高考数学一轮复习课件：第4章平面向量、数系的扩充与复数的引入4.2

＝ x21＋y12，|a＋b|＝ x2＋x12＋y2＋y12.
3．平面向量共线的坐标表示
设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a∥b⇔ x1y2－x2y1＝0
.
4．向量的夹角
已知两个 非零 向量 a 和 b，作O→A＝a，O→B＝b，则∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量 a 与 b 的夹角．如 果向量 a 与 b 的夹角是 90°，我们说 a 与 b 垂直，记作 a⊥b .
典例2
(1)在平面直角坐标系中，点 O(0,0)，P(6,8)，将向量O→P绕点 O 按逆时针方向旋转34π后得向
量O→Q，则点 Q 的坐标是( )
A．(－7 2，－ 2) B．(－7 2， 2)
C．(－4 6，－2) D．(－4 6，2)
(2)[2013·北京高考]向量 a，b，c 在正方形网格中的位置如图所示．若 c＝ λa＋μb(λ，μ∈R)，则μλ＝ ___4_____.
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小题快做 1.思考辨析 (1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底．( × ) (2)平面向量的基底不唯一，只要基底确定后，平面内的任何一个向量都可被这组基底唯一表示．( √ ) (3)设 a，b 是平面内的一组基底，若实数 λ1，μ1，λ2，μ2 满足 λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则 λ1＝λ2，μ1＝μ2.( √ )
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考点多维探究
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考点 1 平面向量基本定理的应用 回扣教材 平面向量基本定理 如果 e1，e2 是同一平面内的两个 不共线 向量，那么对于这一平面内的任意向量 a，有且只有 一对实 数 λ1，λ2，使 a＝λ1e1＋λ2e2.其中，不共线的向量 e1，e2 叫做表示这一平面内所有向量的一组 基底． 把一个 向量分解为两个 互相垂直 的向量，叫做把向量正交分解．

＝
(2)复数加法的运算定律
Байду номын сангаас
复数的加法满足交换律、结合律，即对任何 z1，z2，z3∈C， 有 z1＋z2＝__z_2_＋__z1__，(z1＋z2)＋z3＝__z_1＋___(z_2_＋__z_3)_．
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第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入
1．辨明三个易误点 (1)两个虚数不能比较大小． (2)利用复数相等 a＋bi＝c＋di 列方程时，注意 a，b，c，d ∈R 的前提条件． (3)注意不能把实数集中的所有运算法则和运算性质照搬到 复数集中来．例如，若 z1，z2∈C，z21＋z22＝0，就不能推出 z1＝z2＝0；z2<0 在复数范围内有可能成立．
(1)复数的加、减 、乘、除运算法则
设 z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则
①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝___(a_＋__c_)_＋__(_b_＋__d_)i_；
②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝__(a_－__c_)_＋__(_b_－__d_)i__；
解决复数概念问题的方法及注意事项 (1)复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实 部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式， 列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可． (2)解题时一定要先看复数是否为 a＋bi(a，b∈R)的形式，以 确定实部和虚部．
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第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入
实 虚数 数（ （bb______≠__＝________00） ）， 纯 非虚 纯数 虚（ 数a（__a＝≠ ___0_，0，b≠b_0_）_≠_. __0），
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第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入

得 a＝2，b＝1，∴ab＝2.]
[规律方法] 1.复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式运算，除法关 键是分子分母同乘以分母的共轭复数，注意要把 i 的幂写成最简形式．
2．记住以下结论，可提高运算速度 (1)(1±i)2＝±2i；(2)11＋－ii＝i；(3)11－ ＋ii＝－i；(4)－b＋ai＝i(a＋bi)；(5)i4n＝1； i4n＋1＝i；i4n＋2＝－1；i4n＋3＝－i(n∈N)．
复数的有关概念
(1)若
z＝1＋2i，则 z
z4－i 1＝(
)
A．1
B．－1
C．i
D．－i
(2)i 是虚数单位，若复数(1－2i)(a＋i)是纯虚数，则实数 a 的值为________．
(1)C (2)－2[(1)因为 z＝1＋2i，则 z ＝1－2i，所以 z z ＝(1＋2i)(1－2i)＝5，
2．复数的几何意义
复数 z＝a＋bi 量__O→_Z__＝__(a_，__b_)__．
复平面内的点_Z_(_a_，_b_)___
3．复数代数形式的四则运算
(1)运算法则：设 z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R.
z1±z2＝(a＋bi)±(c＋di)＝_(_a_±_c)_＋_(_b_±_d_)_i ____. z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝_(_a_c_－_b_d_)＋__(b_c_＋__a_d)_i _____. zz12＝ac＋＋dbii＝acc2＋ ＋bdd2 ＋bcc2－ ＋add2 i(c＋di≠0)．
抓
基
础
·
自
主
第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入
学
课
习
时
第四节 数系的扩充与复数的引入

(2)设复数 z＝(x－1)＋yi(x，y∈R)，若|z|≤1，则 y≥x 的概率为( ) A．34＋21π B．12＋1π C．12－1π D．14－21π 解析 (2)由|z|≤1 知复数 z 在复平面内对应的点构成的区域是以(1,0) 为圆心，1 为半径的圆及其内部，如图中阴影部分表示在圆内(包括边界)且 满足 y≥x 的区域，该区域的面积为14π－12×1×1＝14π－12，故满足 y≥x 的概
【变式训练】
→ (1)如图，若向量OZ对应的复数为
z，则
z＋4z表示的复
数为( )
A．1＋3i B．－3－i
C．3－i D．3＋i
解析 (1)由题图可得 Z(1，－1)，即 z＝1－i，所以 z＋4z＝1－i＋1－4 i＝ 1－i＋1－41i＋1＋i i＝1－i＋4＋2 4i＝1－i＋2＋2i＝3＋i。故选 D。
)
A．2－i B．2＋i
C．3－4i D．3＋4i
解析 2－5 i2＝2－52i＋2＋i i2＝(2＋i)2＝3＋4i，所以其共轭复数是 3－ 4i。故选 C。
答案 C
二、走近高考 3．(2018·全国卷Ⅱ)i(2＋3i)＝( ) A．3－2i B．3＋2i C．－3－2i D．－3＋2i
必考部分
第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入
第四节 数系的扩充与复数的引入
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1．复数的有关概念
(1)复数的概念： 形如 a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中 a，b 分别是它的实部 和 虚部。
若 b＝0 ，则 a＋bi 为实数；若 b≠0，则 a＋bi 为虚数；若 a＝0 且 b≠0 ，