浅析解应用题的思路与方法
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浅析解应用题的思路与方法
龙山县华塘中学 邹联宏 龙山县四小 彭玉兰
列方程（组）解应用题是初中数学的重点和难点之一，不少同学由于思路不清，方法不当而失败，其实列方程（组）解应用题的关键在于正确找出已知量与未知量之间的等量关系，然后适当地选取未知数，把等量关系转化成代数式列出方程，通过解方程（组）实现未知量向已知量的转换。
一、合理地选择未知数
在解应用题时，大家往往最关心“设什么”，通常是问什么设什么，结果不是列不出方程就是所列方程不好解，其实，设知数必须满足以下原则：1、所设未知数必须比较容易地写出与其他相关量的代数式（已知量与未知量及其他量）；2、必须能比较容易地列出方程（组）；3、所列的方程（组）必须比较容易地解出来。
设未知数的方法通常有直接设法、间接设法和设而不答。
所谓直接设未知数法就是问什么设什么，有几问设几个未知数，这是设未知数最常用的方法，也是最先考虑的方法。
例1 某水利工地派48人挖土和运土，如果每人每天平均挖土5方或运土3方，应怎样分配挖土和运土的人数才能使挖出的土及时运走？
分析：此问题要求的量有两个，即挖土人数和运土人数，因此我们可以设挖
土x 人，运土y 人，根据题意得方程组：⎩⎨⎧==+y
x y x 3548 所谓间接设法就是所设未知数不是所求量，而是一个与已知量、所求量都有密切联系的中间量，通过先求出这个中间量再来求未知量的方法。
这种设未知数的方法一般适用于采用直接设法不易得到方程或所得方程不易解出来的问题。
例2 一个三位数，它的百位上的数比十位上的数的2倍大1，个位上的数比十位上的数3倍小1，若百位上的数字与个位上的数字对换，所得三位数比原三位数大99，求此三位数。
分析：此问题若采用直接设法显然无法列方程，若能求出十位上的数则百位上的数、个位上的数都能求得，这个三位数亦很快确定了，因此可设十位上的数
为x，则百位的数为1
3-
x，原三位数可表示为
x，个位上的数为1
2-
100+
)1
2(
+
10
x
x，根据题意x，对换后的三位数为)1
-x
+
3(
)1
3(
x
)1
2(
10
+x
100-
+
+
得方程：
=
+
+
+
+
+
x
x
-
x
x
x
-x
+
10
)1
3(
)1
99
2(
100
)1
3(
10
2(
)1
100+
还有一些问题已知数据较少，直接设法和间接设法求解都较困难，解题时设一些不用求的未知数，更能理顺问题中的数量关系，从而顺利求解，这种方法叫“设而不答法”。
例3 现在对某商品降价10%促销，为了使销售总金额不变，销售量要比按原价销售时增加百分之几？
解：设该商品的原销售量和原价分别为x件、y元，降价后的销售量为m件，于是%)
,
m11
.0
≈，故销售量要比原价销售时
-
.1≈
11
x
x
10
=my
1(-
m
xy，解得x
增加约11%。
直接设法、间接设法和设而不答法都是常用的设未知数的方法，至于在解题中选哪种方法才算合理，无一定之规，必须根据题中的数量关系来确定，选择未知数的一般顺序是：先考虑直接设法，再考虑间接设法，最后是设而不答。
二、正确地寻找数量关系
应用中的数量关系是指应用题中的已知量与已知量，已知量与未知量、未知量与未知量之间的关系，应用题的数量关系可分两类：即基本数量关系和题设数量关系。
基本数量关系是方程的基础，如路程＝速度×时间，工作量＝工作效率×工作时间等，题设数量关系是题目中可以找到的，是列方程的依据。
例4 甲乙两人合打一份稿件，合作4小时后，甲方有任务，余下部分由乙单独又用3.6小时才完成，已知甲打6小时的稿件，乙要打7.5小时，问甲乙单独完成各需多少小时。
分析：基本数量关系为：工作量＝工作时间×工作效率。
相等数量关系为：1、合作4小时工作量+乙独工作6小时工作量＝1；2、甲6小时工作量等于乙方7.5小时的工作量.设甲独工作需x小时，乙独工作需要y小时，则由基本数量关系有
2
3
甲、乙的工作效率分别为x 1 和y
1，以上两个相等数量关系得方程组： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⨯==+⨯+y x
y y x 15.7616411 寻找数量关系是列方程解应题的关键也是难点，寻找数量关系可以从以下几个方面考虑。
1、从题中的关键用语中找：很多题目中的数量关系是“多”“少”“快”“提前”“超过”“节约”“降低”“倍”“几分之几”“几倍还多”等关键用语中给出，我们只需把这些语句用等式表示出来，便得到了数量关系。
例5 甲仓存粮30吨，乙仓存粮40吨，要再往甲仓和乙仓共运去粮食80吨，使甲仓粮食量为乙仓粮食数量的1.5倍，应往甲仓和乙仓分别运去粮食多少吨。
分析：此问题的关键语句是“甲仓粮食为乙仓粮食数量的1.5倍”， 将数量关系换成等量关系：“甲仓粮食数量＝乙仓粮食数量×1.5”。
.
2、利用线路图来找数量关系，即把题中各种量在线段图中直观的表示出来，然后根据线段图找出数量关系。
例6 甲乙两汽车在同一条公路上同时从A 站和B 站出发，相向而行，相遇时甲车比乙车多行驶了108km ，相遇后甲车经9小时到达B 站，乙车经16小时到A 站，求两车速度及两站间的距离。
相遇前甲车所走路程 相遇前乙车所走路程 B A _________________________________________
相遇后乙车16小时所走路程 甲车9小时所走路程
分析：从图中不难看出相遇前甲车所走路程等于相遇后乙车16小时所走路程，相遇前乙车所行驶的路程等于相遇后甲车9小时所行驶路程，我们设甲乙两车的行驶速度分别为x km/时和y km/时，不难得方程组：
⎪⎩
⎪⎨⎧==-y x x y x y 916108916 解得⎩⎨⎧==2736y x
4
3、挖隐含数量关系，有些题目数量关系在问题本身中不会给出，只有通过分析明确题目的性质和特征以后才能找出，如例5中的：相遇前甲车行驶路程等于相遇后乙车16小时行驶路程，相遇前乙车行驶路程等于相遇后甲车9小时行驶路程。
4、根据不变量找等量关系，从事物的变化过程中找不变量，然后根据不变量建立等量关系。
例 7 在90克食盐中加入多少克水才能变成10%的食盐水。
分析：盐不变，即加水前盐（90克）＝加水后盐水中盐的重量（90克），又如例6中相遇前两车行驶时间相同等。
5、利用列表来确定等量关系。
对于一些数量关系比较复杂的问题，我们可以通过列表把各种量及其相关联系体现在表中，然后从表上面找出数量关系。
例 8 有锌、铜、镍三种金属构成三种不同的合金，合金中锌、铜、镍的重量比，第一种合金是：2：3：1，第二种合金是：2：4：3，第三种合金是1：2：1，现将三种合金重新熔炼，合成含锌、铜、镍的比为5：9：5的合金570克，这三种合金应各取多少克。
分析：设取第一各合金x 克，第二种合金 y 克，第三种合金 z 克。
合金种类 重量 含锌 含铜量 含镍量
一 x x 62 x 63 x 6
1 二 y y 9
2 y 94 y 9
3 三 z z 41 z 42 z 4
1 新合金 570 150570195=⨯ 270570199=⨯ 15057019
5=⨯ 方程组：
⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧⨯=++⨯=++⨯=++19557041936119957042946
3195570419262z y x z y x z y x。
