2 代数式
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2 代数式1．代数式的概念(1)定义 用运算符号把数和字母连接而成的式子叫做代数式．单独一个数或一个字母也是代数式． 注意：运算符号指加、减、乘、除、乘方等．(2)代数式的判断 判断一个式子是不是代数式：①看它是否符合代数式的定义；②代数式中不能含有“＝”，“≠”，“＜”，“＞”，“≤”，“≥”等关系符号．【例1】 下列各式中，哪些是代数式，哪些不是代数式：(1)a ＋b ＝5；(2)5a －3y ；(3)2；(4)n ；(5)2(a＋b )＋7；(6)4a b ＋c；(7)2＋7－6；(8)23；(9)x ＋5>3. 分析：代数式是用运算符号(加、减、乘、除、乘方等)把数和字母连接而成的式子；而用“＝”，“≠”，“＜”，“＞”，“≤”，“≥”等关系符号连接而成的式子都不是代数式．解：(2)，(3)，(4)，(5)，(6)，(7)，(8)是代数式，而(1)，(9)不是代数式．2．代数式的书写规则(1)含有乘法运算的代数式的书写规则①字母与字母相乘，乘号一般省略不写，字母的排列顺序一般按字母表的顺序．如a ×b 写成ab .②数与字母相乘，乘号一般也省略不写，但数一定要写在字母的前面，而且当数是带分数时一定要化为假分数．如a ×8要写成8a ，不要写为a 8；513×m要写为163m ，不要写成513m .切记，数字与数字相乘，不能省略乘号，如6×5不能写成65. ③带括号的式子与字母的地位相同．如a ×(b －3)可以写为a (b －3)，也可以写成(b －3)a ；(m －1)×2可写为2(m －1)，但不要写成(m －1)2.(2)含有除法运算的代数式的书写规则当代数式中含有除法运算时，一般不用“÷”号，而改用分数线．如x 与y 的商一般写为x y ，而不写成x ÷y ；因为分数线具有括号的作用，所以分数线又称括线．如m 与n 的和除以2的商可以列为m ＋n 2，而不要列为(m ＋n )2.(3)含有单位名称的代数式的书写规则①若代数式是和或差的形式，如需注明单位，则必须用括号把整个式子括起来后再写单位，如甲的身高为x cm ，乙比甲矮6 cm ，那么乙的身高应写成(x －6) cm ，而不能写成x －6 cm.②若代数式是积或商的形式，则无需加括号，直接在代数式后面写出单位即可．如10p 千米，a －2b 5千克等．【例2】 下列各式中符合代数式书写要求的个数为( )．①514x 2y ②y ×3 ③ab ÷2 ④a 2－b 6A ．4B ．3C ．2D ．1解析：根据代数式的书写要求，不能出现带分数，故①不符合；数字与字母相乘时，乘号省略或用“·”表示，并且数字在前，故②不符合；代数式中不能出现除号，故③不符合．答案：D3．代数式的值(1)代数式的值一般地，用具体数值代替代数式中的字母，按照代数式中指明的运算计算出的结果，叫做代数式的值．(2)字母的取值①代数式中的字母取值必须使这个代数式有意义．如在代数式1x－3中，x不能取3，因为当x＝3时，分母x－3＝0，代数式1x－3无意义．②实际问题中，字母的取值要符合题意．如当x 表示人数时，x不能取负数和分数．【例3】下列代数式中，a不能取0的是( )．A.13a B.3a C.2a－5D．2a－b解析：代数式中字母的取值必须使这个代数式有意义，由分母不能为0可知，B选项中的a不能取0.故选B.答案：B4．代数式求值的步骤(1)步骤：第一步：代入，用具体数值代替代数式里的字母；第二步：计算，按照代数式中指明的运算，计算出结果．(2)注意事项： ①一个代数式中的同一个字母，只能用同一个数值去代替；②如果代数式里省略乘号，那么字母用数值代替时要添上乘号，代入负数和分数时要加括号；③代入时，不能改变原式中的运算符号及数字；④运算时，要注意运算顺序，即先算平方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的．【例4】 已知x ＝12，y ＝3，求代数式2x 2y －4x 2y＋10x 2y 的值．分析：分别将x ＝12，y ＝3代入代数式中，再按照指定的运算进行计算；也可以先求出x 2y 的值，然后再整体代入．解：(方法1)当x ＝12，y ＝3时，原式＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫122×3－4×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫122×3＋10×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫122×3＝2×14×3－4×14×3＋10×14×3＝32－3＋152＝6.(方法2)当x ＝12，y ＝3时，x 2y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫122×3＝34. 原式＝2×34－4×34＋10×34＝(2－4＋10)×34＝6.5．代数式的读法及意义(1)代数式的读法 代数式的读法一般有两种：①按运算关系来读，如x ＋5读作“x 加5”；②按运算的结果来读，如x ＋5读作“x 与5的和”．谈重点代数式的读法①对于含有括号的代数式，应把括号里的代数式看成一个整体按运算结果来读；②对于含有分数的代数式，要把分子与分母分别看成一个整体按运算结果来读．(2)代数式的意义代数式的意义包括三种：①运算中的意义：几个字母加、减、乘、除、乘方等运算的结果．②实际意义：表示实际问题中的数量关系．③几何意义：主要从图形的面积、周长和体积考虑．【例5－1】对于代数2x－3y，下列读法不正确的有( )．A．2x减去3y B．2x与3y的差C．x的2倍减去y的3倍的差D．2乘x 减去3乘y解析：代数式的读法有两种，一种是按运算关系读，另一种是按运算结果来读．无论哪一种，都要注意运算顺序．A，B，C的读法都可以与代数式相对应，D有可能误理解为(2x－3)·y，故是错误的．答案：D【例5－2】举例说明下列代数式的意义：(1)4a2可以解释为______________________________________________ ________；(2)x(1－5%)可以解释为______________________________________________ ____．解析：将代数式放入具体的问题情境去理解，赋予它具体的实际意义，解决的关键是想出不同的实际背景或几何背景．答案：(1)如果一个正方形的边长为a，则4个这样的正方形的面积为4a2(2)如果某件商品的原价为x元，按照降价5%进行降价促销，则降价后这件商品的售价为x(1－5%)元6.代数式求值的方法求代数式的值常用的方法有：直接代入计算、整体代入计算、按指定的程序代入计算．(1)直接代入计算当已知一个代数式中各字母的取值时，可以用直接代入计算的方法．(2)整体代入计算已知一个含有字母的代数式的值，求另一个代数式的值时，可以选用整体代入的方法．整体代入步骤：①对已知代数式或所求代数式进行适当变形；②整体代入求值．点技巧运用整体思想求代数式的值运用整体思想求代数式的值就是将一个代数式(的值)作为一个整体代入到欲求值的代数式中，从而求出代数式的值的方法．解答此类问题时，要从整体上分析已知代数式与欲求值的代数式之间结构的异同，从整体上把握解题思路，寻求解决问题的方法．(3)按指定的程序代入计算按指定的程序代入计算，即数值转换机．给出一个代数式，或提供运算程序，给出字母的取值，代入求值即可．【例6－1】已知x＋y＝2 013，xy＝2 012，求xy －2(x＋y)的值．分析：由于条件是关于x ＋y ，xy 的值，故应考虑用整体代入的方法计算，即将xy 看成一个整体，将x ＋y 看成一个整体．解：xy －2(x ＋y )＝2 012－2×2 013＝－2 014.【例6－2】 按如图所示的程序计算，若开始输入的数为x ＝3，则最后输出的结果是( )．A ．6B ．21C ．156D ．231解析：按照本题的运算程序，是否输出结果，关键是看每次计算的结果是否大于100，在输出结果之前的计算可以是多次反复循环的．第一次：输入的数x ＝3，则x (x ＋1)2＝3×(3＋1)2＝6，因为6＜100，所以不能输出结果，而是进入“否”程序，回到“输入”，再进行计算；第二次：输入的数x ＝6(此时输入的数已变为第一次的计算结果)，则x (x ＋1)2＝6×(6＋1)2＝21，因为21＜100，所以再次进入“否”程序，回到“输入”，再进行计算；第三次：输入的数x ＝21(此时输入的数已变为第二次的计算结果)，则x (x ＋1)2＝21×(21＋1)2＝231，因为231＞100，所以进入“是”程序，“输出结果”231，故选D.答案：D7．代数式求值的应用代数式求值的应用主要有两类：(1)根据代数式的值推断规律根据字母取值的不同，判断一个代数式的值的变化规律，其步骤是：①将某一范围内的数值代入指定的代数式求值；②观察代数式的值的变化，得出规律．(2)解决实际问题利用代数式的值解决实际问题的一般步骤：①认真观察问题中的不变量与变化量之间的关系；②用代数式表示其中的数量关系，即列代数式；③将提供的数据代入所求出的代数式计算求值．【例7】(1)填表：(2)当x的值逐渐变大时，推断2x的值的变化规律．分析：本题通过填表、分析表中的数据来推断2x－12x的值的变化趋向，正确地填出表中的数据是解答的关键．解：(1)填表：(2)当x的值逐渐变大时，2x的值也逐渐变大，2x－1当x非常大时，2x的值趋向于1，但不能等于1.。
