电磁学课件：8 静电场的唯一性定理

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chapter2-2 静电场的唯一性定理-2015-09-28

n n
（2.2）
至此，对于区域 V 而言，我们还不知道外边界上的条件。这个问题正是唯一性定理所要解决的：就是我们还需要知道外边界上的什么条件之后，求能够唯一确定区域内的静电场。 2）唯一性定理的内容：若
i）区域 V 内给定自由电荷分布 f x ； ii）区域的外边界 S 上给定电势 S , 或者电势的法向导数 n ，
唯一性定理定理也表明， a)唯一性定理对于静电问题的重要性在于：只要我们得到一个满足泊松方程以及相应的边界条件的
解，那么这个解一定就是该问题的严格解。 b)从方法论上，我们根据物理直觉和物理图像可以猜测出一些问题的解，此时唯一性定理保证了其正确性 c)如果我们针对这类边值问题，找到一个试探的解，但若我们验证这个试探的解满足上述的几个条件，包括验证它是否满足微分方程，是否满足内部的边值关系，以及在外边界上是否满足边值关系，如果都满足，那这个试探解就是这个问题的解； d)有时，我们在给出一个试探解的时候，可以在一开始保留 1-2 个未知的系数（但并不影响所满足的微分方程），然后根据边值关系，来确定这些系数。 2、有导体存在时的唯一性定理对于导体存在的静电问题，每个导体上的总电荷 Q 与电势φ实际上是一对共轭量，通常求解这类问题时不可能同时预先设定每个导体上的总电荷和电势。因此，当有导体存在时，为了确定电场，我们可以根据这一对共轭量，将导体的静电问题设置为以下两类问题：第一类问题：给定每个导体上的电势 i ;
f x ；

b)在 V 的外边界 S 上给定 S ，或者电势的法向导数
n S ；
c) 势 i 亦给定，则 V ' 内的电场唯一确定。
每个导体 i 的电
由于当给定了导体的电势后相当于给定了体系完备的外边界条件，那么给定导体的唯一性定理就退化成了一般形式，因此此定理的证明方法同上。 2）第二类问题的唯一性定理：

第2节唯一性定理

o R 0
M 在圆心缩为一点，条件不变，解不变。
由此得出
Q 4 0 r
1
r R0
请说明原因，并画出电力线图示。
例：求偶极子在远区的场。偶极子：1 其线度 l r 2 电荷线度线度 l 定义——偶极矩 P ql
(r ) 1
q q q r r' r' ( ) 4 0 r r' 4 0 rr ' q l cos 1 Pr 2 3 q l q 4 0 r 4 0 r
或
u
n s
0
使等式左端=0，则右端
2 2 ( u ) 0 u 0 ( u ) dV 0
v
u 0
V内 u =常数 1）若 u 0即1 2，同一个势，对应同一个场。 2）1 , 2 可相差一个常数，不影响场分布。电场分布唯一确定。
r
1 Pr 1 1 E 3 ( P ) 4 0 r 4 0 r 1 3( P r )r P ( 3) 5 4 0 r r 1 P cos ( E ) r E er 2 0 r3 1 P sin ( E ) E e 3 4 r 0 (E) E e 0
2 s'
2u 0
s'
uu dS uu dS uu dS
s si

v'
(u ) dV uu dS
2 s'
在 Si 表面上 u 常数
u u dS u u dS u dS 0 su si si n i
E1 E2 n

静电场边值问题唯一性定理

场分布。
02
指导数值计算
在数值计算中，唯一性定理为我们提供了判断计算结果正确性的依据。
如果计算结果不满足唯一性定理，则说明计算过程中存在错误或近似方
法不够精确。
03
简化问题求解
在某些情况下，唯一性定理可以帮助我们简化问题的求解过程。例如，
在某些对称性问题中，我们可以利用唯一性定理直接得出部分解或特殊
01 02 03
深入研究复杂边界条件下的静电场边值问题
目前的研究主要集中在简单边界条件下的问题，对于复杂边界条件的研究相对较少。未来可以进一步探讨复杂边界条件下的静电场边值问题，为实际应用提供更广泛的理论支持。
发展高效稳定的数值计算方法
尽管现有的数值计算方法已经取得了显著的进展，但在处理大规模、高维度问题时仍面临挑战。未来可以致力于发展更高效稳定的数值计算方法，以应对日益复杂的实际问题。
导体表面的电荷分布
导体表面电荷分布的特点
在静电平衡状态下，导体表面电荷分布是不均匀的，电荷密度与导体表面的曲率有关，曲率越大电荷密度越大。
导体表面电荷与电场的关系
导体表面电荷产生的电场与导体内部电荷产生的电场相互抵消，使得导体内部电场为零。
导体表面电荷分布的求解方法
可以通过求解泊松方程或拉普拉斯方程得到导体表面的电荷分布。
数值计算方法的改进
针对静电场边值问题的求解，提出了一系列高效的数值计算方法，如有限元法、有限差分法等，这些方法在保持计算精度的同时，显著提高了计算效率。
实际应用领域的拓展
将静电场边值问题唯一性定理应用于多个实际领域，如电子工程、生物医学等，成功解决了一系列具有挑战性的实际问题。
对未来研究的展望
解，从而简化计算过程。

静电场微分方程及唯一性定理

2 0
泊松方程和拉普拉斯方程统称为微分方程。二、泊松方程与拉普拉斯方程适用条件只适用于各向同性、线性的均匀媒质。(?)
§2.8.2
唯一性定理（Uniquness Theorem）
一、定理内容
在静电场中，满足给定边界条件的微分方程（泊松方程或
拉普拉斯方程）的解是唯一的，称之为静电场的唯一性定理。
2 2 2 式中： ( ex ey ez ) ( ex ey ez ) 2 2 2 2 x y z x y z x y z
2
泊松方程（针对场源点）
拉普拉斯方程（针对场点,ρ=0）
《电磁场理论》
主讲教师：李志刚辽宁科技大学电信学院通信系 2012年05月
§2.8 静电场边值问题唯一性定理
§2.8.1 泊松方程与拉普拉斯方程一、静电场微分方程
D
E E E
E
E 0
常数
二、物理角度理解
场源相同、场分布相同，则场一定相同。
三、数学角度理解
方程相同、边界条件相同，则解一定相同。
四、唯一性定理的作用
1、确定何为相同场的判定条件；
2、可以采用等效方法进行问题的求解，只要保证满足唯一
性定理的条件，则解法不同，但解却一

唯一性定理

唯一性定理
静电场的基本问题：
求出在每个均匀区域内满足泊松方程，在所有分界面上满足边值关系，在所研究的整个区域边界上满足边界条件的电势的解
2 i
i
Sij
j
Sij
i
i
n
Sij
j
j
n
Sij
V
j S
i
Sij evn
除此之外，要完全确定V内静电场的解，还必须给出整个区域边界S上的一些条件。
1
到底需要给定哪些条件，才能求得静电场的解，并且解是唯一的？
Ra
(2) 介质内无自由电荷分布； (3) R=a处导体球带总电量Qf 该定解问题有唯一解。
9
1. 给出边值关系和边界条件设左、右介质的电势分别为 1 和 2
Ñ dS Qi
Si n
根据唯一性定理，只要能找到一个满足上面定解条件的特解，那该解就一定是该问题的唯一解。
10
2. 提出尝试解
C与 0为待定系数，且 0与外球壳半径a’有关 3. 由边值关系和边界条件确定待定系数
2 0 Qf 2 1 2 a2
相同
v
2
0Q f
1 2 a2
（, 右半球）
P1
v P2
15
所以，由于有束缚电荷的存在，在内导体球壳两半球面上束缚电荷与自由电荷之和是球对称的，所以电场强度E是球对称的。
首先判断该问题是否满足唯一性定理。 1. 给出边值关系和边界条件 2. 提出尝试解 3. 由边值关系和边界条件确定待定系数 4. 求电场和球壳上的电荷分布
Ñ i
Vi
i
2dV
v
Si i dS i
2 0
Vi i 2 dV
积分区域包括沿区域V的边界S上的面积分和沿各分区的分界面Sij的面积4分

静电场唯一性定理

静电场唯一性定理
静电场唯一性定理是一种重要的物理定理，它有助于我们理解电场，研究电磁场，有助于研究一般相对论、量子力学和统计物理等科学理论的发展。

它指出，当电场的空间和时间的变化都可以完全确定时，其静态状态就是唯一的。

在实际应用中，它为解决复杂的电力电子、光电子和微电子学问题提供了有力的理论支持。

静电场唯一性定理是由19世纪90年代著名物理学家雷诺兹等提出的。

他们提出，电场的动量和能量有相应的定律，可以用来描述其变化，不论是在空间上还是时间上都是这样。

根据它们提出的新定律，假设电场的状态完全确定，不论是在空间上还是时间上，其静态状态都是唯一的。

结合泰勒到的变分原理，可以证明静电场唯一性定理的有效性。

当电场的状态完全确定时，可以用变分原理来证明它的静态态一定是唯一的，这就是静电场唯一性定理的关键性证明过程。

除了可以用于研究电场外，静电场唯一性定理也可以用于研究重力场。

由于重力场是空间和时间变量关系的最简单形式，可以用静电场唯一性定理来分析它，并且可以证明重力场也是唯一的。

总之，静电场唯一性定理是一种重要的物理定理，它对研究电场、重力场以及一般相对论、量子力学和统计物理等科学理论都有着重要的意义。

通过它，我们可以更加有效率地研究和分析物理现象，从而不断地拓展物理知识面，并进一步深入地研究物理本质。

- 1 -。

静电场的唯一性定理_工程电磁场_[共5页]

（2-8-12）（2-8-13）
讨论的是同一个体系，必有： ∇ ⋅ D ' = ∇ ⋅ D '' = ρ
则式（2-8-13）第一项为零，得 ∇ ⋅ Z (r) = −(E '− E '') ⋅ (D '− D '')
对上式两边积分
∫∫∫ ∇ ⋅ Z(r)dV = −∫∫∫ (E '− E '') ⋅ (D '− D '')dV
分布在有限区域的无界电场问题，在无限远处（ r → ∞ ）应有
lim[rϕ] = 有限值
r→∞
（2-8-9）
这表明 rϕ 在无限远处是有界的，即电位 ϕ 在无限远处取值为零 ϕ r→∞ = 0 。当场域中存在多种介质时，还必须引入不同介质分界面上的边界条件，常称为辅助的边
界条件。
2.8.3 静电场的唯一性定理
（2-8-10）
构造如下的函数：
Z (r) = (ϕ '− ϕ '')(D '− D '')
（2-8-11）
在给定边界所包围的体积内对上式进行体积分，并利用散度定理得
∫∫∫ ∇ ⋅ Z(r)dV= ∫∫∫ ∇ ⋅[(ϕ '− ϕ '')(D '− D '')]dV
V
V
利用矢量恒等式 ∇ ⋅ (ϕ A) = ∇ϕ ⋅ A + ϕ∇ ⋅ A ，则 ∇ ⋅ Z (r=) (ϕ '− ϕ '')(∇ ⋅ D '− ∇ ⋅ D '') +(∇ϕ '− ∇ϕ '') ⋅ (D '− D '')

1.8 静电场的唯一性定理

像电荷
在这个竟争激烈的社会中，若想永不落伍，就必须懂得终身学习的道理。
物理系：杨友昌编
解：
• 任一点的电势任一P点的电势
q q' U(x, y, z) = ( + ) z ≥0 4 0 r r' πε 2 2 2 其 r' = x + y +(z +a) ；中
r = x2 + y2 +(z −a)2 1 1 1 U(x, y, z) = − 2 2 2 2 2 2 4 0 x + y +(z −a) πε x + y +(z +a)
§8 静电场边值问题的唯一性定理
在这个竟争激烈的社会中，若想永不落伍，就必须懂得终身学习的道理。
物理系：杨友昌
编
一. 典型的静电问题
–给定导体系中各导体的电量或电势给定导体系中各导体的电量或电势给定导体系中各导体的以及各导体的形状、相对位置（以及各导体的形状、相对位置（统称边界条件），求空间电场分布，），求空间电场分布称边界条件），求空间电场分布，即在一定边界条件下求解泛定方程
1
导体上电荷的面密度e =ε0En(z = 0) = −n⋅ε0∇ σ U
q a ∂U σe = −ε0 ==− 3 2 2 2 2 π 2 (x + y +a ) ∂z z=0
l
2
编
ρ
在这个竟争激烈的社会中，若想永不落伍，就必须懂得终身学习的道理。
物理系：杨友昌
真空中有一半径为R的接地导体球，距球心为真空中有一半径为的接地导体球，距球心为a(a>R)处有一处有一点电荷Q,求空间各点电势点电荷求空间各点电势

关于静电场中唯一性定理的证明

关于静电场中唯一性定理的证明
静电场中唯一性定理：满足静电场的**Maxwell方程组的唯一解，取决于指定的边界条件而不受初始条件的约束。

为了证明该定理，我们首先考虑Maxwell方程组：
$\nabla\cdot\vec{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0}$
可以看出，这套方程是由边界条件决定的，其解也是由边界条件决定的。

为证明唯一性定理，我们使用变分法从而得出以下**Euler-Lagrange方程组：
$\frac{\partial L}{\partial \vec{E}}-\frac{\partial}{\partial
\vec{x}}\frac{\partial L}{\partial(\frac{\partial\vec{E}}{\partial
x})}+\frac{\partial}{\partial t}\frac{\partial L}{\partial\frac{\partial
\vec{E}}{\partial t}}=0$
其中，$L$表示Lagrange函数，它是由Maxwell方程组构成的。

由此，我们可以得出雅可比方程：
这组方程有两个基本性质，一是称为“唯一性原理”，一是称为“不变性定理”。

不变性定理：对于给定的满足Maxwell方程组的特定边界条件，解不会随着时间变化而变化。

这两个定理说明，解是唯一的，而且不受初始条件的限制，而只受边界条件的约束。

因此，以上证明了静电场中唯一性定理。

静电场边值问题的唯一性定理共21页文档

33、如果惧怕前面跌宕的山岩，生命就永远只能是死水一潭。 34、当你眼泪忍不住要流出来的时候，睁大眼睛，千万别眨眼!你会看到世界由清晰变模糊的全过程，心会在你泪水落下的那一刻变得清澈明晰。盐。注定要融化的，也许是用眼泪的方式。
35、不要以为自己成功一次就可以了，也不要以为过去的光荣可以被永远肯定。
静电场边值问题的唯一性定理
31、别人笑我太疯癫，我笑他人看不穿。(名言网) 32、我不想听失意者的哭泣，抱怨者的牢骚，这是羊群中的瘟疫，我不能被它传染。我要尽避免以失败收常在别人停滞不前时，我继续拼搏。
45、自己的饭量自己知道。——苏联
41、学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸收都不可耻。——阿卜·日·法拉兹
42、只有在人群中间，才能认识自己。——德国
43、重复别人所说的话，只需要教育；而要挑战别人所说的话，则需要头脑。—— 玛丽·佩蒂博恩·普尔
44、卓越的人一大优点是：在不利与艰难的遭遇里百折不饶。——贝多芬

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极大
几个引理
极小

引理一：在无电荷的空间里电势不可能有极大值和极小值

引理二：若所有导体的电势为0，则导体以外空间的电势处处为0
证明（反证）
即意味着空间电势有极大值，违背引理一
在无电荷空间里电势分布连续变化，若空间有电势大于0 （或小于0）的点，而边界上电势又处处等于零——必出现极大值或极小值——矛盾
设对应同一组边值有两种恒定电势分布
U Qk e dS 0 En dS 0 dS n Sk Sk Sk
与电势参考点有关，不影响电势梯度
U 0 dS 0 U U I U II 常量 EI E II n Sk
推广：若完全由导体所包围的空间里各导体
的电势都相等（设为U0），则空间电势等于常量U0
引理三：若所有导体都不带电，则各导体的电势都相等

证明（反证）

若不相等，必有一个最高，如图设U1>U2、U3，——导体1是电场线的起点——其表面只有正电荷——导体1 上的总电量不为0——与前提矛盾
静电场边值问题的唯一性定理

典型的静电问题

给定导体系中各导体的电量或电势以及各导体的形状、相对位置（统称边界条件），求空间电场分布，即在一定边界条件下求解
唯一性定理

对于静电场，给定一组边界条件，空间能否存在不同的恒定电场分布？——回答：否！边界条件可将空间里电场的分布唯一地确定下来该定理对包括静电屏蔽在内的许多静电问题的正确解释至关重要理论证明在电动力学中给出，p66 给出普物方式的论证论证分三步：引理——叠加原理——证明
引理二
( ＋)引理三可推论：所有导体都不带电的情况下空间各处的电势也和导体一样，等于同一常量
叠加原理

在给定各带电导体的几何形状、相对位置后，赋予两组边界条件：
1：给定每个导体的电势UⅠk（或总电量QⅠk） 2：给定每个导体的电势UⅡk（或总电量QⅡk) 设UⅠ、 UⅡ满足上述两条件，则它们的线性组合 U=a UⅠ+b UⅡ必满足条件3: 3：给定每个导体的电势Uk=a UⅠk+b UⅡ k （或总电量Qk= QⅠk a k+b QⅡ k）特例：取UⅠk＝ UⅡ k，则U=UⅠ－UⅡ(a=1,b=-1)满足 4：给定每个导体的电势为0

唯一性定理

给定每个导体电势的情形

设对应同一组边值 U k (k 1,2) 有两种恒定的电势分布 U I 和U II
相当于所有导体上电势为0时的恒定电势分布
U I U II E I E II
说明场分布是唯一的
给定每个导体上总电量的情形

第k个导体上的电量
电量与场强、电势的关系
说明场分布是唯一的
解释静电屏蔽

唯一性定理表明：一旦找到某种电荷分布，既不违背导体平衡特性，又是物理实在，则这种电荷分布就是唯一可能的分布。

图中是根据导体内场强处处为零判断存在两种实在的电荷分布的迭加就是唯一的分布
电像法——解静电问题的一种特殊方法

在一接地的无穷大平面导体前有一点电荷q求空间的电场分布和导体表面上的电荷分布基本思想：利用唯一性定理，边界条件确定了，解是唯一的，可以寻找合理的试探解
像电荷