1.4&1.5 无穷级数和微分方程

满足 lim
(2) 当 l = 0
(3) 当 l =∞
例3. 判别级数
n 1
ln 1

1 n
2
的敛散性.
1 n
1 ln(1 2 ) n 解: lim 1 n 1 n2
根据比较审敛法的极限形式知
n 1
ln 1

n
2 1 ln(1 12n ) 收敛 . n 2
称为级数的部分和. 收敛 , 并称 S 为级数的和。
则称无穷级数
等比级数(又称几何级数)
( q 称为公比 ).
当 q 1时 级数收敛 ,
级数发散 . P-级数
a ; 其和为 1 q
1 1 1 1 p p p 2 3 n
当p 1收敛，p 1发散。
2.无穷级数的基本性质 性质1. 若级数 乘以常数 c 所得级数 性质2. 设有两个收敛级数 收敛于 S , 即 S u n , 则各项
*例1.判断级数的敛散性:
解:该级数是下列两级数之差
1 1 是 q 的等比级数 , 收敛. n 2 n 1 2

1 1 是q 的等比级数 , 收敛. n 3 n 1 3

故原级数收敛.
3.正项级数审敛法
(比较审敛法) 且存在 则有
设 对一切 有
是两个正项级数, (常数 k > 0 ),
s( x)是f ( x)的傅立叶级数的和函数
1
y
o
1
3 (1)求S (0), S ( ), S ( ), S ( )的值。 2 2


x
3 解: (1) 当x k , S ( x) f ( x), S ( ) 1, S ( ) 1 2 2 1 (1) 当x k , S ( x) 0, S (0) S ( ) 0 2
n

在 x 1 处是收敛还是发散？若收敛，是条件收敛 还是绝对收敛？ 解：由Abel定理 ，该幂级数在 x 3 处绝对收敛， 故在 x 1 绝对收敛。
例7. 已知 半径是多少 ?
处条件收敛 , 问该级数收敛
答: 根据Abel 定理可知, 级数在 时发散 . 故收敛半径为
收敛 ,
2.求收敛半径
x 为连续点 f ( x) , f ( x ) f ( x ) , x 为间断点 2 其中 an , bn 为 f (x) 的傅里叶系数 .
例13. 设 f (x) 是周期为 2 的周期函数 , 它在 上的表达式为
1 , x 0 f ( x) 1, 0 x
1
比值审敛法 ( D’alembert 判别法) u n 1 设 为正项级数, 且 lim , 则 n u n (1) 当 1 时, 级数收敛 ;
(2) 当 1 或 时, 级数发散 . . 根值审敛法 ( Cauchy判别法) 设 为正项
级数, 且
n
ln y P( x)d x ln C
y C e P ( x )d x
dy P( x) y Q( x) 2. 解非齐次方程 d x P ( x )d x y C e 对应齐次方程通解 P( x) d x 则 , 用常数变易法: 作变换 y ( x) u ( x) e P( x) d x P( x) d x P( x) d x P( x) u e Q( x) u e P( x) u e
5、交错级数审敛法：莱布尼兹定理 6、一般级数审敛法：先判断是否绝对收敛，如果绝 对收敛则一定收敛；否则判断是否条件收敛
1.数项级数及收敛定义： 给定一个数列 u1 , u2 , u3 , , un , 将各项依 次相加, 简记为 u n , 即
n 1
称上式为无穷级数， 其中第 n 项 u n 叫做级数的一般项, 级数的前 n 项和
1 1 x 2 x3 x n (1,1) 1 x x2 xn x 1 x (,)
e
2 n 1 x3 x5 x 2 n 1 x ( 1 ) sin x 3! 5! (2n 1)!
2!
n!
二、求幂级数收敛域
1.Abel定理
若幂级数
n 0 n a x n
则对满足不等式 反之, 若当
的一切 x 幂级数都绝对收敛. 时该幂级数发散 ,则对满足不等式
的一切 x , 该幂级数也发散 .
收敛 发散 发 散 收
o
敛
发
散
x
*例6.已知幂级数
n 0
an x 在 x 3 处收敛，则该级数
n

当0 p 1条件收敛; 当p 1绝对收敛.
sin n 例5. 证明下列级数绝对收敛 : 4 n n 1

证:
sin n 1 4,而 4 n n

1 n 4 收敛 , n 1




n 1
sin n 收敛 4 n
sin n 因此 绝对收敛 . 4 n 1 n
当 t = 2 时, 级数为
此级数发散; 此级数条件收敛;
当 t = – 2 时, 级数为
即 1 x 3 .
因此级数的收敛域为 2 t 2 , 故原级数的收敛域为
三、求函数的幂级数展开式
1、对函数作恒等变形（如果需要的话） 2、利用已知结论，用变量代换或求导积分得所求 函数的幂级数 3、写出收敛范围(P34例1-37)
则有
a0 f ( x) ~ (an cos nx bn sin nx) 2 n 1
①
②
定理 (收敛定理, 展开定理)
设 f (x) 是周期为2的
周期函数, 并满足狄利克雷( Dirichlet )条件: 1) 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点; 2) 在一个周期内只有有限个极值点, 则 f (x) 的傅里叶级数收敛 , 且有
(2)求b3 .


(1) sin 3x d x

1
0
1

0
1 sin 3xdx
4 3
微分方程
一、微分方程的基本概念 二、解微分方程
三、微分方程应用
一、微分方程的基本概念
含未知函数及其导数的方程叫做微分方程 . 方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程 的阶 . 例如：
1 n! lim 1 n (n 1) !

0
所以级数仅在 x = 0 处收敛 .
例10. 解: 令 级数变为
的收敛域.
1 an R lim lim 2 n n n an 1 n
1 2 n 1 (n 1)
2 n 1 (n 1) 2 lim n 2n n
lim n un , 则
注： 1时上述定理失效。
n 例4. 判别级数 n 的敛散性. n 1 e
解:

2
u n 1 lim n u n
(n 1) n 1 e lim n n2 en 2 1 1 n 1 lim 1 e n e n
n 1 ( 1 ) u n 收敛 。 则级数 n 1
5.绝对收敛与条件收敛
定义: 对任意项级数 数 绝对收敛 ；
若
收敛 , 则称原级
若原级数收敛, 但取绝对值以后的级数发散, 则称原级
数
条件收敛 .
绝对收敛的级数一定收敛 .
由绝对收敛概念和莱布尼兹定理知: 交错级数
1 (1) p n n 1
若 的系数满足 1) 当 ≠0 时, 则
2) 当 ＝0 时, R ; 3) 当 ＝∞时, R 0 .
n an 1
例8..求幂级数 的收敛半径及收敛域.
1 n 1 n 1
an lim 解: R lim n an 1 n
n 1
也收敛 , 其和为 c S .
S

n 1
un ,


n 1
vn

则级数
n 1
( u n vn )
也收敛, 其和为 S .
说明: (1) 性质2 表明收敛级数可逐项相加或减 .
(2) 若两级数中一个收敛一个发散 , 则 ( u n vn )
必发散 . (用反证法可证) 但若二级数都发散 ,
(1) 若强级数
(2) 若弱级数
收敛 , 则弱级数 发散 , 则强级数
也收敛 ;
也发散 .
例2 判别级数
n 1

1 的敛散性。 n(n 1)
1 1 1 n(n 1) (n 1) 2 n 1
(比较审敛法的极限形式) 设两正项级数
un l , 则有 n vn (1) 当 0 < l <∞ 时, 两个级数同时收敛或发散 ;
两边积分 因此可能增、 减解.
3
得 ln y x ln C
即 ( C 为任意常数 )
一阶线性微分方程
dy P( x) y Q( x) 一阶线性微分方程标准形式: dx 若 Q(x) 0, 称为齐次方程 ;
若 Q(x) 0, 称为非齐次方程 . dy P( x) y 0 1. 解齐次方程 dx 分离变量 两边积分得 故通解为
一阶微分方程
(1 x 2 ) y 2x y 二阶微分方程
100 80 60 40 20 0 第一季度 第三季度 东部 西部 北部
微分方程的解 — 使方程成为恒等式的函数. 通解 — 解中所含独立的任意常数的个数与方程 的阶数相同. 特解 — 不含任意常数的解, 其图形称为积分曲线. 定解条件 — 确定通解中任意常数的条件.