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有限元方法求解微分方程，特别是椭圆型边值问题的一种离散化方法，其基础是变分原理和剖分逼近。
有限元方法是传统的里茨－加廖金方法的发展，并融会了差分法的优点，处理上统一，适应能力强，已广泛应用于科学与工程中庞大复杂的计算问题。
作为有限元方法出发点的变分原理，是表达物理基本定律的一种普遍形式。
其表述可概括如下：给出一个依赖物理状态v的变量J(v)（v是函数,J(v)在数学上称为泛函），同时给出J(v)的容许函数集V,即一切可能的物理状态,则真实的状态是V中使J(v)达到极小值的函数。
剖分逼近是有限元离散化的手段，把问题的整体（即求解域）剖分为有限个基本块，称为"单元"，然后通过单元上的插值逼近，得到一个结构简单的函数集，称为"有限元空间",它一般是容许函数集V的子集或有某种联系。
有限元方法就是在这个有限元空间中寻找J(v)的极小解作为近似解。
典型问题为具体说明有限元方法，讨论二维有界域Ω上的椭圆型方程, (1)变系数β表示介质不均匀。
物理学中许多平衡态或定常态问题都可归结为这个典型方程。
与方程(1)相配的有如下三类边界条件：第一类：；第二类：；第三类：。
这里的φ、g及α均为定义在边界дΩ上的已知函数，表示外法向导数，第二类边界条件是第三类当α=0时的特例。
为说明有限元方法能统一处理复杂的情况，假定讨论的问题是混合边值，并且介质有间断,即дΩ分成Г0和Г1两部分，分别有边界条件, (2),(3)β（x,y)有间断线，把Ω分为Ω-,Ω+两部分，在间断线上微分方程(1)无定义，而代之以接触条件, (4)及表示间断线上分别指向Ω+及Ω-的法向导数。
变分原理与微分方程(1)及附加条件(2)、(3)、(4)的边值问题相对应的是物理学中的极小能量原理。
构造"能量积分"并取J(v)的容许函数集V为一切满足边界条件(2)且一阶偏导数平方可积的函数,则使J(v)达到极小值的u,即,(6)也必满足方程(1)及(2)、(3)、(4)。
有限元法10.3.2 有限元法解题步骤有限元法解题步骤如下：(1) 建立积分方程，根据变分原理或方程余量与权函数正交化原理，建立与微分方程初边值问题等价的积分表达式。
许多物理问题的分析结果在数学上都可以归结为下面形式的重要微分方程：ρϕϕ=+∇∇-g p )( (10.3-1)一般边界条件有三种形式，分为本质边界条件(狄里克莱边界条件)、自然边界条件(黎曼边界条件)、混合边界条件(柯西边界条件)。
狄利克莱边界条件可表示为：)(Γ=Γf φ (10.3-2))(Γf 为位置的一般函数，在特殊情况下f 可以为常数或零。
狄利克莱条件表明电势在某个边界的值是给定的。
黎曼边界条件或者混合边界条件可以表示为：)()(ΓΓ+∂∂ΓΓb q n ＝ϕϕ(10.3-3) n为边界的外法向矢量，)(Γq 和)(Γb 为一般函数，在特殊情形下)(Γq 和)(Γb 为常数和零。
对应于上面的微分方程式(10.3-1)和边界条件式(10.3-2)，式(10.3-3)的泛函应为dS b q dV g p I S V ⎰⎰ΓΓ-+-+∇=)(222)()2()2()(ϕϕρϕϕϕϕ (10.3-4)式中)(ΓV 为以Γ为边界的体积(三维)或面积区域(二维)；S '为边界Γ上的一部分边界，在S '上势函数满足混合边界条件式(10.3-3)。
在二维情况下，如果ε=p ，εα=q ，b εβ=，0=g ，S '为整个Γ边界的情况下，微分方程式(10.3-1)及边界条件式(10.3-3)可以写为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⎪⎭⎫ ⎝⎛+∂∂-=∂∂+∂∂)(),(2222s y x ny x L βϕαϕερϕϕ (10.3-5) 这里平面场域为D , L 为D 的边界，s 为边界上的点。
根据式(10.3-4)，此时的泛函可取为()()⎰⎰Γ-+-∇=)()(2222)(L D S dS dV I βϕαϕερϕϕεϕ (10.3-6)证明：求泛函式(10.3-6)的极值与满足上述边界条件下的微分方程式(10.3-5)的求解是等价的。
有限元法的基本步骤有限元法是一种用于求解较为复杂的实际工程问题的数值分析方法。
它将一个连续的物体或系统划分为许多小的单元，然后通过建立在这些单元上的数学方程来模拟和求解实际问题。
在这篇文章中，我们将探讨有限元法的基本步骤，并深入讨论其原理和应用。
1. 确定问题的边界和几何形状在使用有限元法求解实际问题之前，需要先确定问题的边界和几何形状。
通常情况下，问题的边界需要定义为固定边界或自由边界，以便在数学模型中进行处理。
问题的几何形状也需要被建模和描述，这样才能得到准确的计算结果。
2. 划分网格划分网格是有限元法中非常重要的一步。
网格划分是将问题的几何形状划分为一系列小的单元。
这些小单元称为有限元，它们可以是三角形、四边形或其他形状。
网格的划分需要根据问题的几何形状和求解精度来确定，并且需要保证各个有限元之间具有充分的连续性和相互联系，以确保模拟结果的准确性和可靠性。
3. 建立数学模型和方程在确定问题的边界和划分网格之后，下一步是建立与物理现象相关的数学模型和方程。
根据问题的具体情况，可以使用不同类型的方程，如静力学方程、热传导方程、流体力学方程等。
这些方程将物理现象转化为数学表达式，并可以通过有限元法进行求解。
4. 应用边界条件在建立数学模型和方程之后，需要应用边界条件。
边界条件可以是物体的固定边界条件，如固定端或自由端；也可以是物体的外部边界条件，如外力、温度等。
边界条件的正确应用对于求解实际问题非常重要，它们将影响模拟结果的准确性和可靠性。
5. 求解数学方程一旦建立了数学模型、划分网格并应用了边界条件，下一步就是使用数值方法求解数学方程。
有限元法将整个问题转化为一个求解代数方程组的问题，并通过迭代方法求解。
求解过程中需要根据初始条件和边界条件进行迭代计算，直到得到收敛的解。
通过以上的基本步骤，我们可以使用有限元法对复杂的实际工程问题进行数值求解。
有限元法的优点在于可以模拟各种不同的物理现象，并且可以对复杂的几何形状进行建模和求解。
有限元法的定义嘿，朋友们！今天咱来唠唠有限元法。
你说这有限元法啊，就像是一个超级厉害的魔法工具！咱可以把一个复杂得让人头疼的东西，比如说一个结构体，想象成是一块超级大的拼图。
而有限元法呢，就是那个能把这块大拼图拆分成好多好多小拼图的神奇手段。
你看啊，现实中那些结构体多复杂呀，各种奇奇怪怪的形状和特性。
要是直接去研究它，那简直就是无从下手，就像在一团乱麻里找线头一样困难。
但有了有限元法就不一样啦！它能把这个复杂的结构体划分成一个个小小的单元，就好像把那团乱麻给理顺了，变成了一根根清晰的线。
这些小单元虽然简单，但是它们组合起来就能很好地近似原来那个复杂的结构体。
这就好比盖房子，一砖一瓦虽然小，但积累起来就能建成高楼大厦。
有限元法就是这样，通过对这些小单元进行分析和计算，就能了解整个结构体的行为和特性啦。
比如说，咱想知道这个结构体在受到外力的时候会怎么变形，或者它的强度够不够。
有限元法就能帮我们搞清楚这些问题。
它就像是一个聪明的小侦探，能在这些小单元里找到线索，然后拼凑出整个真相。
你说神奇不神奇？而且啊，有限元法还特别灵活。
不管是什么样的结构体，它都能应对自如。
不管是飞机的翅膀，还是大桥的桥墩，它都能把它们拆分成合适的小单元来进行分析。
咱再想想，如果没有有限元法，那工程师们得费多大的劲去研究那些复杂的结构体啊！可能要做无数次的实验，花费大量的时间和精力。
但有了它，就轻松多啦！这有限元法真的是工程领域的一大宝贝啊！它让我们能更轻松、更准确地理解和设计那些复杂的结构体。
让我们能造出更安全、更可靠的东西。
难道这还不值得我们好好夸赞一番吗？所以啊，大家可千万别小瞧了这有限元法，它可是有着大本事的呢！。
有限元法，它的基本概念和思想是什么？
概念：将待解区域进行分割，离散成有限个元素的集合。
元素（单元）的形状原则上是任意的。
二维问题一般采用三角形单元或矩形单元，三维空间可采用四面体或多面体等。
每个单元的顶点称为节点（或结点）。
思想：有限单元法最早可上溯到20世纪40年代。
Courant第一次应用定义在三角区域上的分片连续函数和最小位能原理来求解St.Venant扭转问题。
现代有限单元法的第一个成功的尝试是在1956年，Turner、Clough等人在分析飞机结构时，将钢架位移法推广应用于弹性力学平面问题，给出了用三角形单元求得平面应力问题的正确答案。
1960年，Clough 进一步处理了平面弹性问题，并第一次提出了"有限单元法"，使人们认识到它的功效。
