19考研数学三

考研数学三（线性代数）模拟试卷19(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．设三阶矩阵A的特征值为一1，1，2，其对应的特征向量为α1，α2，α3，令P=(3α2，-α3，2α1)，则P-1AP等于( )．A．B．C．D．正确答案：C解析：显然3α2，-α3，2α1也是特征值1，2，一1的特征向量，所以P-1AP=，选C．知识模块：线性代数2．设A，B为n阶矩阵，且A，B的特征值相同，则( )．A．A，B相似于同一个对角矩阵B．存在正交阵Q，使得QTAQ=BC．r(A)=r(B)D．以上都不对正确答案：D解析：令A=，显然A，B有相同的特征值，而r(A)≠r(B)，所以A，B，C 都不对，选D．知识模块：线性代数3．设A是n阶矩阵，下列命题错误的是( )．A．若A2=E，则一1一定是矩阵A的特征值B．若r(E+A)＜n，则一1一定是矩阵A的特征值C．若矩阵A的各行元素之和为一1，则一1一定是矩阵A的特征值D．若A是正交矩阵，且A的特征值之积小于零，则一1一定是A的特征值正确答案：A解析：若r(E+A)＜n，则｜E+A｜=0，于是一1为A的特征值；若A的每行元素之和为一1，则，根据特征值特征向量的定义，一1为A的特征值；若A 是正交矩阵，则ATA=E，令AX=λE(其中X≠0)，则XTAT=λXT，于是XTATAX=λ2XTX，即(λ2一1)XTX=0，而XTX＞0，故λ2=1，再由特征值之积为负得一1为A的特征值，选A．知识模块：线性代数4．与矩阵A=相似的矩阵为( )．A．B．C．D．正确答案：D解析：A的特征值为1，2，0，因为特征值都是单值，所以A可以对角化，又因为给定的四个矩阵中只有选项(D)中的矩阵特征值与A相同且可以对角化，所以选D．知识模块：线性代数5．设A为n阶矩阵，下列结论正确的是( )．A．矩阵A的秩与矩阵A的非零特征值的个数相等B．若A～B，则矩阵A与矩阵B相似于同一对角阵C．若r(A)=r＜n，则A经过有限次初等行变换可化为D．若矩阵A可对角化，则A的秩与其非零特征值的个数相等正确答案：D解析：知识模块：线性代数6．设A，B为n阶可逆矩阵，则( )．A．存在可逆矩阵P，使得P-1AP=BB．存在正交矩阵Q，使得QTAQ=BC．A，B与同一个对角矩阵相似D．存在可逆矩阵P，Q，使得PAQ=B正确答案：D解析：因为A，B都是可逆矩阵，所以A，B等价，即存在可逆矩阵P，Q，使得PAQ=B，选D．知识模块：线性代数填空题7．设A=，｜A｜＞0且A*的特征值为一1，一2，2，则a11+a22+a33=________．正确答案：-2解析：因为｜A*｜=｜A｜2=4，且｜A｜＞0，所以｜A｜=2，又AA*=｜A｜E=2E，所以A-1=，一1，1，根据逆矩阵之间特征值的倒数关系，则A的特征值为一2，一1，1，于是a11+a22+a33=一2—1+1=一2．知识模块：线性代数8．设三阶矩阵A的特征值为λ1=一1，λ2=一，其对应的特征向量为α1，α2，α3，令P=(2α3，-3α1，-α2)，则P-1(A-1+2E)P= ．正确答案：解析：P-1(A-1+2E)P-1A-1P+2E，而-1A-1P= 知识模块：线性代数9．设λ1，λ2，λ3是三阶矩阵A的三个不同特征值，α1，α2，α3分别是属于特征值λ1，λ2，λ3的特征向量，若α1，A(α1，α2)，A2(α1+α2+α3)线性无关，则λ1，λ2，λ3满足________．正确答案：λ2λ3≠0解析：令x1α1+x2A(α1+α2)+x3A2(α1+α2+α3)一0，即(x1+λ1x2+λ12x3)α1+(λ2x2+λ22x3)α2+λ32x3α3=0，则有x1+λ1x2+λ12x3=0，λ22x2+λ22x3=0，λ32x3=0，因为x1，x2，x3只能全为零，所以≠0→λ2λ3≠0．知识模块：线性代数10．若α1，α2，α3是三维线性无关的列向量，A是三阶方阵，且Aα1=α1+α2，Aα=α2+α3，Aα3=α3+α1，则｜A｜= ．正确答案：2解析：令P=(α1，α2，α3)，因为α1，α2，α3线性无关，所以P可逆，知识模块：线性代数11．设A为三阶实对称矩阵，α1=(a，一a，1)T是方程组AX=0的解，α=(a，1，1一a)T是方程组(A+E)X=0的解，则a=________．正确答案：1解析：因为A为实对称矩阵，所以不同特征值对应的特征向量正交，因为AX=0及(A+E)X=0有非零解，所以λ1=0，λ2=一1为矩阵A的特征值，α1=(a，一a，1)T，α2=(a，1，1一a)T是它们对应的特征向量，所以有α1Tα2=a2一a+1一a=0，解得a=1．知识模块：线性代数12．设A=有三个线性无关的特征向量，则a=________．正确答案：4解析：由｜λE一A｜==(λ+1)(λ一1)2=0得λ1=一1，λ2=λ3=1．因为A有三个线性无关的特征向量，所以r(E—A)=1，解得a=4．知识模块：线性代数13．设A=有三个线性无关的特征向量，则a=________．正确答案：0解析：由｜λE一A｜=0得A的特征值为λ1=一2，λ1=λ3=6．因为A有三个线性无关的特征向量，所以A可以对角化，从而r(6E—A)=1，解得a=0．知识模块：线性代数解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

考研数学三（线性代数）-试卷19(总分：60.00，做题时间：90分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 解析：2.设A=E—2ξξT，其中ξ=（x 1，x 2，…，x n）T，且有ξTξ=1。

则①A是对称矩阵；②A 2是单位矩阵；③A是正交矩阵；④A是可逆矩阵。

上述结论中，正确的个数是（）（分数：2.00）A.1B.2C.3D.4 √解析：解析：A T =（E—2ξξT）T =E T一（2ξξT）T =E—2ξξT =A，①成立。

A 2 =（E—2ξξT）（E—2ξξT）=E一4ξξT +4ξξTξξT =E一4ξξT +4ξ（ξTξ）ξT =E，②成立。

由①、②，得A 2 =AA T =E，故A是正交矩阵，③成立。

由③知正交矩阵是可逆矩阵，且A —1 =A T，④成立。

故应选D。

3.设A为正交矩阵，则下列矩阵中不属于正交矩阵的是（）（分数：2.00）A.A TB.A 2C.A *D.2A √解析：解析：因A为正交矩阵，所以AA T =A T A=E，且|A| 2 =1。

而（2A）（2A）T =4AA T =4E，故2A不为正交矩阵。

所以选D。

事实上，由A T（A T）T =A T A=E，（A T）T A T =AA T =E，可知A T为正交矩阵。

由A 2（A 2）T =A（AA T）A T =AA T =E，（A 2）T A 2 =A T（A T）A=A T A=E，可知A 2为正交矩阵。

由A * =|A|A —1 =|A|A T，可得 A *（A *）T =|A|A T（|A|A）=|A| 2 A T A=|A| 2 E=E，（A *）T A * =（|A|A）|A|A T =|A| 2 AA T =|A| 2 E=E，故A *为正交矩阵。

2019全国研究生考试数学三真题及参考答案解析一、选择题1.（）为同阶无穷小，则与时，若当=-→k xx x x ktan 0 A.0 B.1 C.2 D.3 2.的取值范围为（）个不同的实根，则有已知k k x x 3055=+- A.()4-∞-, B.()∞+，4 C.]44[,- D.），（44- 3.c ,b ,a ,x C C y ce by y a y x -x x 则的通解为已知e )e (21++==+'+''的值为（ ）A.1,0,1B.1,0,2C.2,1,3D.2,1,44.的是（）条件收敛，则下列正确绝对收敛，已知∑∑∞=∞=11n nn n nv nu A.条件收敛nn n v u ∑∞=1 B.绝对收敛∑∞=1n nn v uC.）收敛（nn nv u +∑∞=1D.）发散（nn nv u +∑∞=15个的基础解析有的伴随矩阵，且为阶矩阵，为已知204*=Ax A A A 线性无关的解，则) ()(=*A r A.0 B.1 C.2 D.36.设A 是3阶实对称矩阵，E 是3阶单位矩阵.若E A A 22=+，且4=A ，则二次型Ax x T 的规范形为A.232221y y y ++.B.232221y y y -+.C.232221y y y --.D.232221y y y ---.7.设B A ,为随机事件，则)()(B P A P =的充分必要条件是A.).()()(B P A P B A P +=YB.).()()(B P A P AB P =C.).()(A B P B A P =D.).()(B A P AB P =8.设随机变量X 与Y 相互独立，且都服从正态分布),(2σμN ，则{}1<-Y X P A.与μ无关，而与2σ有关. B.与μ有关，而与2σ无关. C.与2,σμ都有关. D.与2,σμ都无关.二．填空题，9~14小题，每小题4分，共24分.9.()=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++⨯+⨯∞→nn n n 11321211lim Λ 10. 曲线⎪⎭⎫⎝⎛-+=232cos 2sin ππ＜＜x x x y 的拐点坐标为 11. 已知()t t x f xd 114⎰+=，则()=⎰x x f x d 10212. A, B 两种商品的价格为A p ,B p ,A 商品的价格需求函数为222500B B A A p p p p +--,则当A p =10，B p =20时，A 商品的价格需求弹性AA η(0＞AA η)=13. 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=1101111012a A ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=a b 10，若b Ax =有无穷多解，则a= 14 设随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<=，其他，020,2)(x xx f ）（x F 为X 的分布函数，X E 为X 的数学期望，则{}=->1X X F P E ）（ . 三、解答题15.已知函数⎩⎨⎧≤+>=010)(2x xe x x x f x x ，求的极值并求)(f )('f x x16.设)(v u f ，具有连续的2阶偏导数，求),,(),(y x y x f xy y x g -+-=22222y gy x g x g ∂∂+∂∂∂+∂∂ 17.)(x y 显微分方程2221'x e xxy y =-满足条件e y =)1(的特解.（1）求)(x y（2）区域D {})(0,21,x y y x y x ≤≤≤≤）（，D 绕轴旋转的旋转体的体积 18.求曲线)0(sin >=-x x e y x与x 轴之间图形的面积。

绝密★启用前2019年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）（科目代码:304）（模拟试卷3）考生注意事项1. 答题前，考生须在答题纸指定位置上填写考生姓名、报考单位和考生编号。

2. 答案必须书写在答题纸指定的位置上，写在其他地方无效。

3. 填（书）写必须使用蓝（黑）色字迹钢笔、圆珠笔或签字笔。

4. 考试结束，将答题纸和试题一并装入试题袋中交回。

绝密 * 启用前2019年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）试卷 （模拟3）考生注意:本试卷共二十三题,满分150分,考试时间为3小时.一、选择题：1～8小题,每小题4分,共32分.在每小题给出的四个选项中,只有一个符合要求,把所选项前的字母填在题后的括号里.（（0>，g（（（6）设A 是3阶矩阵，P 是3阶可逆阵，且满足⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-0111AP P ，若11αα=A ，22A αα=，03=αA ，其中321,,ααα为3维非零向量，且21,αα线性无关，则矩阵P 不能是（ ）。

(A) ()321,5,ααα- (B) ()312,,ααα (C) ()3221,,αααα+ (D) ()3221,,αααα+（7）设随机变量X Y 与独立，且1{1}{1},~(0,1)2P X P X Y U =-===均匀分布，则正确（ ） （A ）31{}22P X Y +≤= （B ）33{}24P X Y +≤=（C ）31{}24P X Y +≤= （D ）31{}23P X Y +≤=（8）设12,,,n X X X 为从某总体X 中抽取的一个简单随机样本，=EX μ和2=DX σ均存在，X 为样本2三、解答题:15～23小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分10分）设220(1limsin ln(1)x ax bx cd x x →++=+，求常数,,,a b c d 的值．（16）（本题满分10分）设(,,)zu f x xy e =，且函数(,)z z x y =由方程()zxz xyg xy z t dt e +-=⎰，求.u ux y∂∂+∂∂ （17）（本题满分10分）计算22ln(d (1)x x x x +⎰.（18）（本题满分10分）设010,,,,(0)na a a a ≠为公差为正数d 的等差数列（1）求幂级数0n n n a x ∞=∑的（g 使得（ α（222y ，（；（II ）（,n X 为【参考答案】一、选择题：1～8小题,每小题4分,共32分.（1）【解】：2,0,[()],012x x f f x xx x +≥⎧⎪=⎨<⎪-⎩，故0x =是[()]f f x 的跳跃间断点。

2019考研数学三真题答案解析（完整版）1.3tan 3x x x --若要x - tan x 与x b 同阶无穷小，\ k = 3\选C2.54()5()5501f x x x k f x x x '=-+=-==±(1,1)()0,(),(,1)(1,),()0x f x f x x f x ''∈-<↓∈-∞-⋃+∞>，()f x ↑极大值(1)154f k k -=-++=+极小值(1)154f k k =-+=-lim ();lim ()x x f x f x →-∞→+∞=-∞=+∞若要550x x k -+=有3个不同的实根∴(1)0(1)04040f f k k -><+>-<即∴44(4,4)k -<<-即选D 。

3.解：∵通解为12()e e xxy C C x -=++∴e ,e 0x x x y ay by --'''++=为的两个解.即1λ=-为重根.22010402,1,a b a b a b a b λλ++=⇒-+=∆=-=⇒==∴e x 为e x y ay by c '''++=的特解：2exy y y c '''++=将e x y =代入e 2e e e 4x x x x c c ++=⇒=∴2,1,4a b c ===∴选D.4.1n n nu ¥=å 绝对收敛，1nn v n ¥=å 条件收敛n n u nu £ 1n n u ¥=\å绝对收敛.nv n有界.不妨设n v M n <n n nu v M u \£1n n M u ¥=å 收敛1n n n u v ¥=\å绝对收敛.故选B5.0Ax = 的基础解系中只有2个向量()24()n r A r A \-==-()0r A *\=\选A6.选（C ）解：由22A A E +=得22λλ=+，λ为A 的特征值，2λ=-或1，又1234A =λλλ=，故1232,1,λλλ==-=规范形为222123y y y --，选（C ）7.选（C ）解：法一：()()()P AB P A P AB =-()()()P B A P B P AB =-()()()()P A P B P AB P B A =\=选（C ）法二排除法（A ）A B ==W 时排除（A ）（B ）若A 、B 互斥，且0()1,0()1,P A P x <<<<排除（B ）（D ）若A B ==W ，则()()1,()()0P AB P P AB P =W ==F =，排除(D)8.解：因为22(,)(,)X N u Y N u s s X 与Y 相互独立2(0,2)X Y N s \-{}11121222X Y P X Y Pss s -÷ç\-<=<=F -÷ç÷ç\与u 无关，即与2a 有关选择（A ）9.11lim 12(1)nx n n +¥÷ç÷++ç÷ç÷×+11lim eenn x -++¥==10.3sin 2cos 22y x x x x p p ÷ç=+-<<÷ç÷çsin cos 2sin cos sin y x x x x x x x¢=+-=-令()cos sin cos sin 0y x x x x x x x =--=-=得0,x x p==0x <时，()0y x <0x >时，()0y x <不为拐点.0x p <<时，()0y x <32x pp >>时，()0y x >拐点为(),2p -11.解析：()()()1201201130113130104034120()d d 1d 31|311)341211(1)|1)1231818x f x xx t xt xx t x xx x ===-=-⋅+=-⋅+=-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰12.解析：2222(2)5002(2)5002A AA A AAA B A A B B A A B A A B B P Q Q P P P P P P P P P P P P P P P h ¶=-׶=-×----++=-+故10,20A B P P ==时，10404000.45001002008001000h ´===--+13.解析：2221010()111101110101010010101010110011A b a a a a a a -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭当a =1时()()23r A r A b ==< ，Ax =b 有无穷多解.14.X 的概率密度为,02()20,else xx f x ⎧<<⎪=⎨⎪⎩3222210022221184d d |2223630()024121{()1}{()}{2}2}32d 2243xx EX x x x x x x F x x x P F X EX P F X P X P X x P X x x =⋅====<⎧⎪⎪=≤<⎨⎪≥⎪⎩≥-=≥=≥=<⎫=<<=⎬⎭==⎰⎰15.解：当0x >时22ln 2ln ()e ()e (2ln 2)x x x x x f x x f x x ¢===+当0x <时()e e x xf x x ¢=+当0x =时0000()(0)e 11lim ()lim lim lim e 10x xx x x x f x f x f x x x-----+-====-2000()(0)11lim ()lim lim 0x x x x f x f x f x x x----+-==-不存在\有()f x 在0x =点不可导.于是2ln e (2ln 2)0(),0e +e ,0x x x x x xf x x x x ，不存在ìï+>ïïï¢==íïïï<ïî令()0f x ¢=得121,1,ex x ==-于是有下列表x (,1)-¥--1（-1，0）010,e ÷ç÷ç÷ç1e1,e÷ç+¥÷ç÷ç()f x ¢-0+不存在-0+()f x ¯极小值极大值¯极小值于是有()f x 的极小值为2e 11(1)1,e e ef f -÷ç-=-=÷ç÷ç，极大值为(0)1f =16.解析：(,)(,)g x y xy f x y x y =-+-''2""""2''2""""22""""(,)(,)1u v uu uv vu vvu v uu vv vu vv uu uv vu vvgy f x y x y f x y x y x g f f f f x gx f f yg f f f f yx g f f f f x y∂=-+--+-∂∂=----∂∂=-+∂∂=-++-∂=-+-+∂∂所以：22""""212uu uu vv uu g g xg f f f f x x y y ∂∂∂++=---+-∂∂∂∂""13uu vvf f =--17.解析：（1）22x y xy ¢-=)2222222d d 22222ee d e e d e ex x x xx xx x x x y x C x C x C C通解--÷ç÷ç=×+÷ç÷÷ç÷ç÷ç=×+÷ç÷÷ç÷ç=+÷ç÷ç=òòò由(f C =+0C =所以22(e x f x （2）()22222221221222411e d e d e d e =e -e 222x x x x x V x x x x p p p p p ÷÷=÷÷÷=×==òòò18.[)2,2x k k p p p Î+时()(21)12(21)2(21)(21)22(21)2(21)(21)22(21)21(21)2e sin d sin de sin e e cos d e cos d =e cos d cos e +e (sin )d e e1e e 2k x k k xk k k x x x k k k x k k k x x k k k k k k S x x x x x x x xx xx x xS x p pp pp p ppp pp p ppppp p +-+-++---+-++---+--+-==-=-×+=-=+-=+òòòòò[)22,22x k k p p p Î++(22)22(22)(22)22(21)21)(22)2(21)2(22)(21)2(22)e sin d sin e -e cos d =-ecos d cos e -e (sin )d e e 1e e 2k x k k k x x k k k k k xx x k k k k k k S x xx x xx x x x xS p p pp p pp pp p pp ppp pp p p +-+++--++++---+++-+-+-+==-=+-=-+--=+òò((21)k p -+ùúû面积为(())()12(21)2(22)02202212e e e 21=12e e e 211e 112e e 21e 2e 1k k k k k k k SS p p p p pp p p p p p ¥=¥-+--+=¥---=----ù=++úû+++=++=--ååå19.设1(0,1,2,)n a x n ==⎰…（1）证明：数列{}n a 单调减少，且21(2,3,);2n n n a a n n --==+ （2）求1lim.nn n a a →∞-解析（1）111110(1)0.n n n n a a xxx x ----=-=-<⎰⎰⎰则{}n a 单调递减.1/2/222201sin sin cos sin (1sin ),2n n n n n n a x dxx t t tdt t t dt I I I n ππ+=-⋅=⋅-=-=+⎰⎰⎰则2222111,.(2)(2)n n n n n n n a I a a I n n n n ------===++则（2）由（1）知，{}n a 单调递减，则211111, 1.222n n n n n a n n n a a a n n n a ------=><<+++即由夹逼准则知，1lim1.nn n a a →∞-=20.解：123123(,,,,,)αααβββ2222111101102123443313111101011022001111a a a a r a a a a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪++-+⎝⎭⎛⎫⎪- ⎪ ⎪----⎝⎭①若a =1，则123123123123(,,)(,,)(,,,,,)r r r αααβββαααβββ==此时向量组（Ⅰ）与（Ⅱ）等价，令123(,,)A ααα=则31023()01120000A β⎛⎫⎪→-- ⎪⎪⎝⎭此时3123(32)(2)k k k βααα=-+-++②若a =-1，则()2(,)3r A r A B =≠=，向量组（Ⅰ）与（Ⅱ）不等价.③若1,1a ≠-，31001()01010011A β⎛⎫⎪→- ⎪⎪⎝⎭3123βααα=-+21.2212102201000200A x B y --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦与相似（1）1231~413()()242210(2)010(1)(2)(2)00021,2,21211211201242000001210001001000022A Bx yx tr A tr B y x y E B x x A E A E λλλλλλλλλξλ∴-=+=⎧∴=⇒⇒⎨=-+=-⎩---=+=++-=-=-=-=---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-+=-→→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦=-+=T 时,　＝(-,,)时,()2311321410440125201050211240000000004212122102221200100112004000000211,122040A E P ξλξξξξ-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-→-→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-=-→→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦---⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦TT　＝(-,,)时,　＝(-,,0), 111122P AP --⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦1223310310100000113000100041010022010010001000000010010322030001100004000B E x B E x B E x λλλ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-+=→=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-+=→=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-=-→=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦TT时， （-，，）时， （，，）时， （，，121232212212121211221()22122()1211030122001040130111212004101100()3000006100011011000P x x x P BP B P P B P P A PP P PP P iE -----⎡⎤⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥⎣⎦-⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦=-=---⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦---⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦--→T） 故＝03310010001101100010001100100311000030100011001103⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎢⎥--⎢⎥→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎢⎥⎢⎥→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦22.（1）随机变量X 的分布函数为⎩⎨⎧<≥-=-0,00,1)(x x e x F x X {}{}{}{}())(1)()1(1,1,)(z F p z F p Y z X P Y z X P z XY P z Z P z F XXZ --+-=-=-≥+=≤=≤=≤=当0<z 时，()zX Z pe z F p z F =--=)(1)(当0≥z 时，()pe p z F p z F p z F z X X Z +--=--+-=-)1)(1()(1)()1()(则⎩⎨⎧≤>-=-0,0,)1()(z pe z e p z f z zZ （2）p EY EX XY E EZ EX 21)(,1-=⋅===()())21(221)()()()()(222p p EX DX Y E X E Y X E XZ E -=-+===当())()(2Z E XE XZ E =时，Z X ,不相关.即)21(221p p -=-，可得21=p .（3）因为{}{}01,1,11,1=≥-=≤=-≤≤X Y X P Z X P 又{}111--=≤e X P ，{}11-=-≤peZ P 则{}{}{}111,1-≤⋅≤≠-≤≤Z P X P Z X P ，故不独立.23.（1）由1222222222)(2)(==-=⎰⎰∞+----∞+πσμσμσμσμμA x deA dx eAx x 可得：π2=A .（2）设n x x x ,,,21 为样本值，似然函数为()()⎪⎩⎪⎨⎧>∑⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==--elsex x x e L n x nn ni i ,0,,,,2121212122μπσσμσ当μ>n x x x ,,,21 时，()()()()2122221ln 2ln 2ln 2ln ∑----==n i i x n n L μσσπσ令()()()0)(2112ln 1222222=∑-+-==n i i x n d L d μσσσσ，可得()nx ni ∑=-=1212μσ故2σ的最大似然估计量为()nXni ∑=-=1212μσ .。

考研数学三（线性代数）历年真题试卷汇编19(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．[2014年] 行列式A．(ad—bc)2B．一(ad—bc)2C．a2d2一b2c2D．b2c2一a2d2正确答案：B解析：解一令则此为非零元素仅在主、次对角线上的行列式由命题2．1．1．1(1)，即得|A|=一(ad—bc)(ad—bc)=一(ad一bc)2．仅(B)入选．解二将|A|按第1行展开，然后可利用命题2．1．1．1(2)，即式(2．1．1．5)直接写出结果：解三仅(B)入选．解四仅(B)入选．(注：命题2．1．1．1 设非零元素仅在主、次对角线上的2n阶、2n一1阶行列式分别为D2n，D2n-1，则命题2．1．2．3 设A，B分别是m阶与n阶矩阵，则) 知识模块：线性代数2．[2008年] 设A为n阶非零矩阵，E为n阶单位矩阵．若A3=O，则( )．A．E—A不可逆，E+A不可逆B．E—A不可逆，E+A可逆C．E—A可逆，E+A可逆D．E—A可逆，E+A不可逆正确答案：C解析：解一由A3=O得E=E-A3=(E－A)(E+A+A3)，E=E+A3=(E+A)(E －A+A3)．由命题2．2．1．2知，E－A，E+A均可逆．仅(C)入选．解二因A3=0，即A为幂零矩阵，其n个特征值全部都等于零，则A的矩阵多项式f1(A)=E－A的n个特征值为f1(λ)｜λ=0=(1-λ)｜λ=0=1．因而|E－A|=1≠0，故E一A可逆．A的另一个矩阵多项式f2(A)=E+A的n个特征值为f2(λ)｜λ=0=(1+λ)｜λ=0=1．故|E+A|=1，所以E+A可逆．知识模块：线性代数3．[2017年] 设α为n维单位列向量，E为n阶单位矩阵，则( )．A．E—ααT不可逆B．E+ααT不可逆C．E+2ααT不可逆D．E一2ααT不可逆正确答案：A解析：令A=ααT，则A2=A．又令AX=λX，由(A2－A)X=(λ2－λ)X=0得λ2－λ=0，即λ=0或λ=1．因为tr(A)=αTα=1=λ1+…+λn故得A的特征值为λ1=…=λn-1=0，λn=1．而E－ααT的特征值为λ1=…=λn－1=1，λn=0，从而|E－ααT|=0，E－ααT不可逆．仅(A)入选．知识模块：线性代数4．[2005年] 设矩阵A=[aij]3×3满足A*=AT，其中A*为A的伴随矩阵，AT为A的转置矩阵，若a11，a12，a13为3个相等的正数，则a11为( )．A．B．3C．1／3D．正确答案：A解析：解一显然矩阵A满足命题2．2．2．1中的三个条件，因而由该命题得|A|=1．将|A|按第1行展开得到1=|A|=a11A11+a12A12+a13A13=a112+a122+a132=3a112，故仅(A)入选．解二由A*=AT，即其中Aij为|A|中元素aij的代数余子式，得aij=Aij(i，j=1，2，3)．将|A|按第1行展开，得到|A|=a11A11+a12A12+a13A13=a112+122+a132=3a112＞0．又由A*=AT得到|A*|=|A|3-1=|AT|=|A|，即|A|(|A|=1)=0，而|A|>0，故|A|－1=0，即|A|=1，则3a112=1．因a11＞0，故仅(A)入选．注：命题2．2．2．1 设A为n(n≥3)阶实矩阵，其元素分别与其代数余子式相等(aij=Aij(i，j=1，2，…，n)，即AT－A*或A=(A*)T)且其中一元素不等于0，则其行列式|A|等于1．知识模块：线性代数5．[2009年] 设A，B均为二阶矩阵，A*，B*分别为A，B的伴随矩阵，若|A|=2，|B|=3，则分块矩阵的伴随矩阵为( )．A．B．C．D．正确答案：B解析：解一令则|C|=(－1)2×2|A||B|=2×3=6，即分块矩阵可逆，则由C*=|C|C-1得到解二因对任一四阶矩阵C，有C*C=CC*=|C|4，其中C*为C的伴随矩阵．下面用直接验证法进行选择．对于选项(A)，有其中E2，E4分别为二阶、四阶单位矩阵．对于选项(B)，有满足伴随矩阵的性质．对选项(C)、(D)，分别有由此可知，仅(B)入选．知识模块：线性代数6．[2004年] 设n阶矩阵A与B等价，则必有( )．A．当|A|=a(a≠0)时，|B|=aB．当|A|=a(a≠0)时，|B|=－aC．当|A|≠0时，|B|=0D．当|A|=0时，|B|=0正确答案：D解析：解一因A与B等价，由命题2．2．5．4(1)知，仅(D)入选．（注：命题2．2．5．4 (1)矩阵等价的必要条件是矩阵的行列式同时为零或同时不为零．）解二因A与B等价，其秩必相等．当|A|=0时，秩(A)&lt;n，故秩(B)＜n，于是|B|=0．所以选项(D)正确．因秩(A)=秩(B)，不一定有|A|=|B|或|A|=－|B|，故(A)、(B)不成立．至于(C)，显然有秩(A)&gt;秩(B)，故(C)不成立．仅(D)入选．解三因A与B等价，由矩阵等价的必要条件知，存在可逆矩阵P与Q，使得A=PBQ．两边取行列式得|A|=|P||B||Q|，而|P|≠0，|Q|≠0，因而|A|与|B|同时为零或同时不为零．故当|A|=0时，必有|B|=0．仅(D)入选．知识模块：线性代数7．[2013年] 设矩阵A，B，C均为n阶矩阵，若AB=C，且B可逆，则( )．A．矩阵C的行向量组与矩阵A的行向量组等价B．矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价C．矩阵C的行向量组与矩阵B的行向量组等价D．矩阵C的列向量组与矩阵B的列向量组等价正确答案：B解析：解一对矩阵A，C分别按列分块，记A=[α1，α2，…，αn]，C=[γ1，γ2，…，γn]，又令B=(bγij)γn×n，则由AB=C得到可见，C的列向量组可由A的列向量组线性表出．因B可逆，由A=CB-1类似可证，A的列向量组也可由C的列向量组线性表出．由两向量组等价的定义知，仅(B)入选．解二因可逆矩阵可表示成若干个初等矩阵的乘积，而每个初等矩阵表示一次初等变换，可逆矩阵B左乘矩阵A，于是A经过有限次初等列变换化为C，而初等列变换能保持变换前的矩阵与变换后所得矩阵的列向量组的等价关系(见命题2．3．1．3)，因而仅(B)入选．注：命题2．3．1．3 如果矩阵A 经有限次初等行(列)变换化成矩阵B(即A≌B)，则A的行(列)向量组与B的行(列)向量组等价．知识模块：线性代数8．[2003年] 设α1，α2，…，α3均为n维向量，下列结论中不正确的是( )．A．若对于任意一组不全为零的数k1，k2，…，ks，都有k1α1+k2α2+…+ksαs≠0，则α1，α2，…，αs线性无关B．若α1，α2，…，αs线性相关，则对于任意一组不全为零的数k1，k2，…，ks，有k1α1+k2α2+…+ksαs=0C．α1，α2，…，αs线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为sD．α1，α2，…，α3线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关正确答案：B解析：解一(A)正确．事实上，若α1，α2，…，α3线性相关，则存在一组不全为零的数k1，k2，…，ks使得k1α1+k2α2+…+ksαs=0．这定义的逆否命题就是选项(A)中的命题．可见(A)成立．若α1，α2，…，αs线性相关，由其定义知，存在一组而不是任意一组不全为零的数k1，k2，…，ks使得k1α1+k2αs+…+ksαs=0．(B)不成立．由“向量组α1，α2，…，αs线性无关的充要条件是秩([α1，α2，…，αs])=s”知，(C)也成立．因α1，α2，…，αn线性无关的必要条件是其任一部分向量组线性无关．当然其中任意两个向量也线性无关，(D)也成立．仅(B)入选．解二可举反例证明(B)不正确：向量组α1=[1，0]T，α2=[4，0]T线性相关，但对于一组不全为零的常数k1=1，k2=0，却有k1α1+k2α2=α1=[1，0]T≠0．知识模块：线性代数9．[2006年] 设α1，α2，…，αs都是n维列向量，A是m×n矩阵，则( )成立．A．若α1，α2，…，αs线性相关，则Aα1，Aα2，…，Aαs线性相关B．若α1，α2，…，αs线性相关，则Aα1，Aα2，…，Aαs线性无关C．若α1，α2，…，αs线性无关，则Aα1，Aα2，…，Aαs线性相关D．若α1，α2，…，αs线性无关，则Aα1，Aα2，…，Aαs线性无关正确答案：A解析：解一由定义知，若α1，α2，…，αs线性相关，则存在不全为零的数c1，c2，…，cs，使得c1α1+c2α2+…+csαs=0．用A左乘等式两边，得c1A α1+c2Aα2+…+csAαs=0，于是Aα1，Aα2，…，Aαs线性相关．仅(A)入选．解二若α1，α2，…，αs线性相关，则秩([α1，α2，…，αs])其中c1，c2，c3，c4为任意常数，则下列向量组线性相关的为( )．A．α1，α2，α3B．α1，α2，α4C．α1，α3，α4D．α2，α3，α4正确答案：C解析：因故α1，α3，α4线性相关．仅(C)入选．知识模块：线性代数11．[2007年] 设向量组α1，α2，α3线性无关，则下列向量组线性相关的是( )．A．α1一α2，α2一α3，α3一α1B．α1+α2，α2+α3，α3+α1C．α1—2α2，α2—2α3，α3—2α1D．α1+2α2，α2+2α3，α3+2α1正确答案：A解析：解一用观察易知，选项(A)中向量有关系(α1－α2)+(α2－α3)+(α3－α1)=0，故(A)中向量线性相关．解二由命题2．3．2．3判别之．s=3为奇数，k=3也为奇数，故(A)中向量线性相关．(注：命题2．3．2．3 已知向量组α1，α2，…，αs(s≥2)线性无关，设β1=α1±α2，β2=α2±α3，…，βs-1=αs-1±αs，βs=αs±α1，其中s为向量组中的向量个数．又设上式中带负号的向量个数为k，则(1)当s与k的奇偶性相同时，向量组β1，β2，…，βs线性相关；(2)当s与k的奇偶性不同时，向量组β1，β2，…，βs线性无关．) 解三用线性相关的定义判定．为此令x1(α1－α2)+x2(α2－α3)+x3(α3－α1)=0，即(x1－x3)α1+(－x1+x2)α2+(－x2+x3)α3=0．因α1，α2，α3线性无关，故因其系数矩阵行列式等于零，故上述方程组有非零解，即α1－α2，α2－α3，α3－α1线性相关．知识模块：线性代数12．[2014年] 设α1，α2，α3是三维向量，则对任意常数k，l，向量α1+kα3，α2+α3线性无关是向量α1，α2，α3线性无关的( )．A．必要非充分条件B．充分非必要条件C．充分必要条件D．既非充分也非必要条件正确答案：A解析：记β1=α1+kα3，β2=α2+lα3，则若α1，α2，α3线性无关，则[α1，α2，α3]为可逆矩阵，故秩即β1=α1+kα3，β2=α2+lα3线性无关．反之，设α1，α2线性无关，α3=0，则对任意常数k，l必有α1+kα3，α2+lα3线性无关，但α1，α2，α3线性相关，故α1+kα3，α2+lα3线性无关是向量组α1，α2，α3线性无关的必要但非充分条件．仅(A)入选．知识模块：线性代数填空题13．[2016年] 行列式正确答案：λ4+λ3+2λ2+3λ+4解析：知识模块：线性代数14．[2010年] 设A，B为三阶矩阵，且|A|=3，|B|=2，|A-1+B|=2，则|A+B-1|=________．正确答案：3解析：|A+B-1|=|AE+EB-1|=|ABB-1+AA-1B-1|=|A(B+A-1)B-1|=|A||B+A-1||B-1|=|A||A-1+B ||B|-1=3×2×(1／2)=3．解二|A+B-1|=|EA+B-1E|=|B-1BA+B-1A-1A|=|B-1||B+A-1||A|=|B|-1|B+A-1||A|=(1／2)×2×3=3．知识模块：线性代数15．[2006年] 设矩阵E为二阶单位矩阵，矩阵A满足BA=B+2E，则|B|=____________．正确答案：2解析：解一由BA=B+2E得到B(A-E)=2E，两边取行列式利用命题2．1．2．1(2)和(5)得到|B||A—|=|2E|=22|E|=4．而故|B|=2．解二解一中没有求出矩阵B．但若要求出也不难．由B(A—E)=2E知B==2(A-E)-1而故从而|B|=2．(注：命题2．1．2．1 设A=[aij]n×n，B=[bij]n×n，E为n阶单位矩阵，k为常数．(2)|AB|=|A||B|，|AB|=|BA|，但AB≠BA；(5)|kA|=kn|A|，但[kaij]n ×n=k[aij]n×n=kA；) 知识模块：线性代数16．[2008年] 设三阶矩阵A的特征值为1，2，2，E为三阶单位矩阵，则|4A-1一E|=_________.正确答案：3解析：解一因A的特征值为1，2，2，故A-1的特征值为1，1／2，1／2．因而4A-1一E的特征值为λ1=4×1—1=3，λ2=4×(1／2)一1=1，λ3=4×(1／2)一1=1，故|4A-1一E|=λ1λ2λ3=3×1×1=3．解二所求结果应与A能否与对角矩阵相似无关，现用加强条件法求出此结果．如果A与对角矩阵相似，则存在可逆矩阵P，使得P-1AP—diag(1，2，2)①=Λ，即A=PΛP-1．于是A-1=PΛ-1P-1，4A-1一E=4．PΛ-1P-1一PEP-1=P(4Λ-1-E)P-1，两端取行列式得到|4A-1一E|=|P||4Λ-1一E||P-1|=|4Λ-1一E|=|4diag(1，1／2，l ／2)一E|=|diag(3，1，1)|=3．知识模块：线性代数17．[2003年] 设n维向量α=[a，0，…，0，a]T，a＜0，E为n阶单位矩阵，矩阵A=E－ααT，B=E+(1／a)ααT，其中A的逆矩阵为B，则a=____________．正确答案：－1解析：解一由题设有A－1=B，故AB=E，注意到αTα=2a2(是一个数)，有E=AB－(E－ααT)[E+(1／a)ααT]=E+(1／a)ααT－ααT－(1／a)α(αTα)αT =E+[1／a－1－(1／a)·2a2]ααT=E+(1／a－1－2a)ααT，故(1／a－1－2a)ααT=O．因ααT≠O，所以1／a－1－2a=0，即(2a－1)(a+1)=0．因而a=1／2或a=－1．因a＜0，故a=－1．解二因(E－A)2=(ααT)2=ααTααT=(αTα)ααT=2a2ααT=2a2(E－A)，即A2－2A+2a2A=2a2E－E，亦即A[A－(2－2a2)E]=(2a2－1)E，故A可逆，且由题设有故整理得到而ααT≠O，故(a+1)(2a－1)=0，又因a＜0，故a=-1．知识模块：线性代数18．[2012年] 设A为三阶矩阵，|A|=3，A*为A的伴随矩阵．若交换A 的第1行与第2行得矩阵B，则|BA*|=__________．正确答案：－27解析：由题设有B=E12A，两边右乘A*，得到BA*=E12AA*=|A|E12E=|A|E12，则|BA*|=||A|E12|=|A|3|E12|=33×(-1)=－27．知识模块：线性代数解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

考研数学三（概率统计）模拟试卷19(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．将一枚硬币独立地掷两次，引进事件：A1={掷第一次出现正面}，A2={掷第二次出现正面}，A3={正、反面各出现一次}，A4={正面出现两次}，则事件A．A1，A2，A3相互独立B．A2，A3，A4相互独立C．A1，A2，A3两两独立D．A2，A3，A1两两独立正确答案：C解析：(本题的硬币应当设是“均匀”的)。

由题意易见：可见A1，A2，A3两两独立，故选(C)。

知识模块：概率与数理统计填空题2．设X1，X2，X3，X4是来自正态总体N(0，22)的简单随机样本，X=a(X1一2X2)2+b(3X3一4X4)2。

则当a=________，b=________时，统计量X服从χ2分布，其自由度为________。

正确答案：解析：∵E(X1一2X2)=EX1—2EX2=0D(X1一2X2)=DX1+4DX2=4+4×4=20E(3X3—4X4)=3EX3—4EX4=3×0—4×0=0D(3X3—4X4)=9DX3+16DX4=9X4+16×4=100与题目的X比较即得结果。

知识模块：概率与数理统计3．设总体X的概率密度为(一∞＜x＜+∞)，X1，X2，…，Xn为总体X的简单随机样本，其样本方差为S2，则ES2=________。

正确答案：2解析：而E(S2)=DX，故ES2=2。

知识模块：概率与数理统计4．设X1，…，Xn是来自正态总体N(μ，σ2)的简单随机样本，其中参数μ，σ2未知。

记则假设H0：μ=0的t检验使用的统计量t________。

正确答案：解析：知识模块：概率与数理统计解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

5．设二维随机变量(X，Y)的概率密度为求常数A及条件概率密度fY|X(y|x)。