八年级数学上册第13章全等三角形5作已知线段的垂直平分线作业课件华东师大版

第13章 全等三角形
13．4 尺规作图
第1课时 作一条线段等于已知线段与作一个角等于已知角
知识点❶ 尺规作图
1．尺规作图是指( C)
A．用直尺规范作图 B．用刻度尺和圆规作图 C．用没有刻度的直尺和圆规作图 D．直尺和圆规是作图工具
知识点❷ 作一条线段等于已知线段
2．如图，已知线段a，b(a＞b)，作一条线段AD，使它等于2a－b，正确的
A．延长线段AB至点C，使AC＝AB B．以点O为圆心作弧 C．以点O为圆心，以AC的长为半径作弧 D．在射线OA上截取OB＝a，BC＝b，则有OC＝a＋b
8．(随州中考)如图，用尺规作图作∠AOC＝∠AOB的第一步是以点O为 圆心，以任意长为半径画弧①，分别交OA，OB于点E，F，那么第二步的
作图痕迹②的作法是( D )
13．如图，已知线段a及∠O，只用直尺和圆规，求作△ABC，使BC＝a， ∠B＝∠O，∠C＝2∠B.(保留作图痕迹，不写作法)
解：如图
10．如图，已知线段a，c和∠α，求作△ABC，使BC＝a，AB＝c，∠ABC
＝∠α，根据作图在下面空格填上适当的文字或字母． (1)如图①所示，作∠MBN＝___∠__α_； (2)如图②所示，在射线BM上截取BC＝___a，在射线BN上截取BA＝__；c (3)连结AC，如图③所示，△ABC就是_____所__要__求__作__的__三__角__形_．
解：作法：(1)作射线OM；(2)在OM上顺次截取OH＝HF＝AB；(3)在线段 OF上顺次截取OG＝GE＝CD，则线段EF就是所要求作的线段
知识点❸ 作一个角等于已知角
5．用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出△C′O′D′≌△COD的
依据是(
)

1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年3月11日星期五2022/3/112022/3/112022/3/11 2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于 独立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年3月2022/3/112022/3/112022/3/113/11/2022 3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022/3/112022/3/11March 11, 2022 4、享受阅读快乐，提高生活质量。2022/3/112022/3/112022/3/112022/3/11
又∵E是AC上一点，
∴BE＝DE.
(2)在△ABE和△ADE中，
∵AB＝AD，BE＝DE，AE＝AE，
∴△ABE≌△ADE，
∴∠ABE＝∠ADE.
总结
知2－讲
证明两条线段或两个角相等 常用方法： 1. 通过证明两条线段所在的 三角形全等； 2. 用线段垂直平分线的性质 证明两条线段相等； 3. 用轴对称图形的对应元素 证明 .
总结
知1－讲
利用线段垂直平分线的性质得出边相等，从而 得出三角形全等，再利用全等三角形中对应角相等 确定∠DCA的度数，根据角度差解决问题．
知1－练
1 (中考·义乌)如图，直线CD是线段AB的垂直平分线， P为直线CD上的一点，已知线段PA＝5，则线段PB 的长度为( )
A．6 B．5 C．4 D．3
知2－讲
总结
知2－讲
判断线段垂直平分线的两种方法： 一是定义法，二是判定定理 . 一般习惯用定义法 进 行判断，而利用判定定理 判断更简单 . 用判定定理判 定一条直线是线段的垂直平分线时，一定要证明直线上 有两点到线段两个端点的距离相等 .

PA=PB
几何语言: ∵ PC⊥AB ∴ PA=PB
AC=BC
AC
B
N
运用新知 解决问题
如图，小聪在A处，小明在B处，他们两人做抢礼 物的游戏，请问：礼物放在何处游戏才公平？
前知运用 你能写出线段垂直平分线性质定理的逆命题吗？
条件
结论
性质定理
一个点在一条线段 的垂直平分线上
该点到线段两端 点的距离相等
逆命题
一点到线段两端 该点在这条线段 点的距离相等 的垂直平分线上
性质定理逆命题： 到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上
已知:如图,QA=QB. 求证:点P在线段AB的垂直平分线上.
证明：过点Q作MN⊥AB,垂足为C, 则∠QCA＝∠QCB＝90°.
在Rt△QCA和Rt△QCB中
M Q
∵QA=QB QC=QC
线段的垂直平分线
创设情景 引入新知
如图，小聪在A处，小明在B处，他们两人做抢礼 物的游戏，请问：礼物放在何处游戏才公平？
知识回顾
1.线段垂直平分线的定义：
垂直 并且 平分 一条线段的直线称为这条线段
的垂直平分线.
M
如图：直线MN是线段AB
的垂直平分线， 则MN⊥AB AO=BO
A OB
N
2.尺规作已知线段AB的垂直平分线MN.
动手操作 探索新知
1.作线段AB的垂直平分线MN,
M
垂足为C；
2.在MN上任取一点P,连结PA、
P
PB； 3.量一量PA、PB的长，你能
发现什么？
PA=PB QA=QB ……
A
C
B
由此你能得出什么规律？
Q N
验证猜想 探索性质

∴∠1＝∠2（ ） ∴∠3＝∠4（ ）
∴AC∥FD（内错角
BC＝ED（已证） 相等，两直线平行
∴△ABC≌△FED（SAS）
如图小线明段的设AB计是方一案个：池先在塘池的塘长旁度取，一个能 现直在接到想达测A量和这B处个的池点塘C的，连长结度A，C并在延长至 水方D使这点上法个BC，长测较=使度E量方CA就，不便C等=连方地D于结便把CAC，池，，D连，B塘你两结用的有点B米C长什的并尺度么距延测测好离长出。量的至D请EE的点你长，说， 出明来理由吗。？想想看。
2cm
60°
80°
60°
80°
你画的三角形与同伴
画的一定全等吗?
2、角.角.边
若三角形的两个内角分别是60° 和45°，且45°所对的边为3cm， 你能画出这个三角形吗?
60°
45°
分析：
这里的条件与1中的条件有什 么相同点与不同点？你能将它 转化为1中的条件吗？
60°
75°
两角和它们的夹边对应相 等的两个三角形全等，简写 成“角边角”或“ASA”
“边边角”不能判定两个三角形全等
2.在下列推理中填写需要补 充的条件，使结论成立：
(1)如图，在△AOB和△DOC中
A
D
O
AO=DO(已知)
B
C
∠__A__O_B_=_∠___D_O__C_( 对顶角相等 )
BO=CO(已知)
∴ △AOB≌△DOC（ SAS ）
(2).如图，在△AEC和△ADB中， C
AB = AC，
B
C
∠A = ∠A（公共角），
AD = AE，
∴ △ ABE ≌ △ ACD（SAS）.
练习二
1.若AB=AC，则添加什么条件可得

(2)同一个角的两个补角相等． 解：如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等
6．(4分)下列命题是真命题的是( C ) A．不相交的两条直线是平行线 B．同旁内角互补 C．对顶角的角平分线成一条直线 D．一个数能被5整除，那么这个数的末位数是0
7．(4 分)下列命题是假命题的是( B )
A．若 x＜y，则 x＋2 015＜y＋2 015 B．单项式－4x72y3 的系数是－4 C．若|x－1|＋(y－3)2＝0，则 x＝1，y＝3 D．平移不改变图形的形状和大小
两个直角 以举反例：____________．
15．把命题“平行于同一直线的两直线平行”改写成“如果……，那 么……”的形式：
___如__果__有__两__条__直__线__平__行__于__同__一__条__直__线__，__那__么__这__两__条__直__线__互__相__平__行_____． 16．对于同一平面内的三条直线a，b，c，给出下列五个论断：①a∥b； ②b∥c；③a⊥b；④a∥c；⑤a⊥c.以其中两个论断为条件，一个论断为 结论，组成一个你认为正确的命题： ____如__果__a_∥__b_，__b_∥__c_._那__么__a_∥__c(_答__案__不__唯__一__)______．
三、解答题(共32分) 17．(12分)写出下列各命题的条件和结论： (1)如果x＝0，那么xy＝0； 解：条件是x＝0，结论是xy＝0 (2)如果两条直线相交，那么它们只有一个交点； 解：条件是两条直线相交，结论是它们只有一个交点 (3)互补的两个角是邻补角； 解：条件是两个角互补，结论是它们是邻补角 (4)过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． 解：条件是过一点作已知直线的垂线，结论是有且只有一条直线垂直 于已知直线

第13章 全等三角形
13. 4 尺规作图 4．经过一已知点作已知直线的垂线 5．作已知线段的垂直平分线
第13章 全等三角形
4.经过一已知点作已知直线的垂线 5.作已知线段的垂直平分线
知识目标 目标突破 总结反思
13.4 尺规作图知识来自标1．经过复习等腰三角形的“三线合一”、讨论、画图，理解、掌 握基本作图“经过一已知点作已知直线的垂线”． 2．通过自学阅读、探索、讨论，会作已知线段的垂直平分线， 理解其依据．
例 3 教材补充例题 如图 13－4－12 所示，已知线段 AB 和线 段 CD，求作一点 P，使点 P 既在线段 AB 的垂直平分线上，又在线 段 CD 的垂直平分线上．
图 13－4－12
13.4 尺规作图
解：(1)作线段 AB 的垂直平分线 EF； (2)作线段 CD 的垂直平分线 MN，MN 交 EF 于点 P. 则点 P 就是所求作的点，如图．
图 13－4－11
13.4 尺规作图
解：过点 A 作直线 BC 的垂线，垂线段就是边 BC 上的高，如图中的线段 AF 就 是所求作的高．
【归纳总结】作三角形的高是作垂线的简单运用．由于钝角三角形
有两条高在三角形的外部，所以作图时要注意延长三角形的边，保
留作图痕迹．
13.4 尺规作图
目标二 会作已知线段的垂直平分线
13.4 尺规作图
3．在理解五种基本作图的基础上，能解决尺规作图的综合问题．
通过对特殊的同底数幂的除法算式的计算，在观察、思考计算结
果中探究、归纳出同底数幂的除法法则，并会直接运用该法则进
行计算．
13.4 尺规作图
目标突破
目标一 会经过已知点作已知直线的垂线
例 1 教材补充例题 如图 13－4－10 所示， 过点 P 作∠A 两边 的垂线．

为半径画弧，交OA 于点E，交OB 于点F；
分别以点E 和点F 为圆心、大于
1
EF
的长为半径画
2
弧，两弧在∠ AOB 的内部交于点C；
画射线OC；
感悟新知
知4－练
同理，作∠ AOC 的平分线OM. 则∠ AOM 即为所求 作的角(如图13.4-6).
感悟新知
4-1. 已知：∠ AOB(如图). 求作：∠ AOB 的补角的平分线. 解：如图，射线OD即为所求．
2
过点P 和点Q 作直线PQ，则直线PQ 就是要求作
的垂线.
感悟新知
图示
知5－讲
感悟新知
知5－讲
2. 经过已知直线外一点作已知直线的垂线
步骤
已知：直线AB 和AB 外一点P.
求作：直线PQ，且PQ ⊥ AB.
作法：以点P 为圆心、适当长为半径画弧，交直
线AB 于点M、N；
1
分别以点M 和点N 为圆心、大于 径画弧，两弧交于点Q；
答案：B
感悟新知
知1－练
1-1. 在下列各项中，属于尺规作图的是( D ) A. 利用三角尺画45°角 B. 用直尺和三角尺画平行线 C. 用直尺画一工件边缘的垂线 D. 用圆规在已知直线上截取一条线段等于已知线段
感悟新知
知识点 2 作一条线段等于已知线段
知2－讲
已知：线段a. 求作：线段AB，使AB=a. 步骤 作法：作射线AP； 在射线AP 上截取AB=a，则线段AB 就是 要求作的线段.
解：如图13.4-2，线段AB 即为所求.
知2－练
感悟新知
知2－练
作法：作射线OP； 在射线OP 上顺次截取OM=MB=a； 在线段OB 上顺次截取ON=NA=b，则线段AB 就是所 求作的线段.

2.已知三边作三角形．
a b
已知：线段a，b，c.
c
求作：△ABC，使得三边为线段a,b,c.
作法：(1)画一条线段AB，使得AB＝c.
(2)以点A为圆心，以线段b的长为半
径画圆弧；再以点B为圆心，以线段
a的长为半径画圆弧；两弧交于点C. (3)连结AC，BC．
△ABC即为所求．
如图13.4.3，∠AOB为已知角，试按下
列步骤用圆规和直尺准确地画一个角
等于∠AOB．
B
第一步： 画射线O′A′． 第二步：以点O为圆心，以适
当长为半径画弧，交OA于C，
交OB于D．
O 图13.4.3 A
第三步：以点O′为圆心，以OC长为半径画弧，
交O′A′于C′． 第四步：以点C′为圆心，以CD长为半径画弧， 交前一条弧于D′．
注意：几何作图要保留作图痕迹！
如图13.4.3，∠AOB为已知角，试按下 列步骤用圆规和直尺准确地画一个角 等于∠AOB．
第五步： 经过点D′画射线O′B′．
∠A′O′B′就是所要画的角．
请你利用直尺和圆规分别画出满足图 13.4.4和图13.4.5中条件的三角形ABC.
（1）已知两边及夹角； （2）已知两角及夹边.
‘
图 13.4.4
如图13.4.1，MN为已知线段，你能用 直尺和圆规准确地画一条与MN相等的 线段吗？
图 24.4.1
如图13.4.2，我们可以先画射线AB， 然后用圆规量出线段MN的长，再在 射线AB上截取AC＝MN，线段AC就 是所要画的线段．
图 13.4.2
1.已知线段AB和CD，如下图，求作 ห้องสมุดไป่ตู้线段，使它的长度等于AB＋2CD.

(全等三角形的对应角相等).
A
B
∴ CD 垂直平分线段 AB
(等腰三角形的“三线合一”).
D
探究讨论 通过上面的作图，你还能发现什么？你
会作任意一个三角形的三条中线吗？
通过作图，知道直线 CD 与线段 AB 的交点就 是 AB 的中点，因此我们可以用这种方法作出线段 AB 的中点，从而可以作出任意一个三角形的的三 条中线
直线 CD 就是所要求作的线段 AB
的垂直平分线．
B D
想一想：为什么 CD 是线段 AB 的垂直平分线呢？
你能给出证明吗？
证明：如图，连结 CA、CB、DA、DB.
∵ AC = BC，ＡD = BD，CD = CD，
C
∴ △ACD≌△BCD (S. S. S. ).
∴ ∠ACD =∠BCD，∠ADC =∠BDC
典例精析 例2 如图，A，B 是路边两个新建小区，要
在公路边增设一个公共汽车站，使两个小区到车站的路
程一样长，该公共汽车站应建在什么地方？
分析：增设的公共汽车站要满足
到两个小区的路程一样长，应在
线段 AB 的垂直平分线上，又要 在公路边上，所以找到 AB 的垂 A 直平分线与公路的交点便是.
B
公共汽车站
N 两处参加植树劳动，现要在道路 AB、AC 的交叉区域
内设一个茶水供应点 P，使 P 到两条道路的距离相等，
且 PM = PN，
B
请你用折纸的方法 找出 P 点并说明理由.
PM
N A
C
课堂小结
经过一已 知点作已 知直线的 垂线
经过已知直线上一点作已知 直线的垂线，实质是作一个平角 的平分线，并将角的平分线反向 延长.

练习：将下列命题改写成“如果…那么…”
的形式，然后指出这个命题的题设和结论。
（1）同角的补角相等。 （2）两直线平行，同位角相等。 （3）在同一平面内，同垂直于第三条
直线的两直线平行。
分析命题“不相等的两个角不可能是对顶角” 条件： 两个角不相等
结论： 这两个角不可能是对顶角
改写成“如果……，那么……”的形式： 如果两个角不相等， 那么这两个角不可能是对顶角。
观察 2、下列各图中的两个三角形是全等形吗？ 思考
A
D
B A
C
E
M C
F S
O
O
B
D
N
T
经过平移、旋转、翻折等位移变换
得到的三角形与原三角形全等。
1、能够完全重合的两个三角形,叫做
全等三角形。
A
D
B
CE
F
2、把两个全等的三角形重叠到一起时， 重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做 对应边，重合的角叫做对应角。
强调：
观察、猜想、度量、实验得 出的结论未必都正确；
一个命题的真假，常常需要 进行有理有据的推理才能作出正 确的判断，这个推理过程叫做命 题的证明．把经过证明的真命题 叫做定理．
巩固：
下列语句中哪些是命题？请判断其中命题 的真假，并说明理由。
（1）每单位面积所受到的压力叫做压强. （2）两个奇数的和是偶数. （3）两个无理数的乘积一定是无理数. （4）偶数一定是合数吗？ （5）连结AB. （6）不相等的两个角不可能是对顶角.
3、全等三角形的表示法：
A
D
B
CE
F
表示图中的△ABC和△DEF全等：
记作△ABC≌△DEF， 读作△ABC全等于△DEF.