二级结论——抛物线

抛物线知识点二级结论嘿，朋友！咱今天来聊聊抛物线这神奇的家伙，特别是那些超有用的二级结论。

你想啊，抛物线就像一个会跳舞的精灵，在数学的大舞台上展现着独特的魅力。

先说抛物线的对称轴，那可是它的脊梁骨！你知道吗，对称轴决定了抛物线的对称美。

就好比人的脊梁，直挺挺地撑起了整个身体的平衡。

再看看抛物线的焦点，这可是个关键角色。

它就像一个聚光灯，把所有的光芒都聚集在一点。

如果把抛物线比作一场演出，那焦点就是舞台中央最耀眼的明星，吸引着所有人的目光。

还有抛物线的准线，那简直就是给抛物线划定边界的尺子。

它让抛物线知道自己的活动范围，不能越界。

这就好像是给调皮的孩子画了个圈，让他在圈内玩耍。

说到抛物线的顶点，那可是它的标志性位置。

就如同山峰的顶点，是最高、最独特的存在。

你想想，要是没有这些二级结论，我们在解决抛物线相关的问题时，不就像在黑暗中摸索，找不到方向吗？比如说，知道了抛物线焦点到准线的距离，解题的时候是不是就能一下子找到突破口？这就好像在迷宫中突然有了一盏明灯，照亮了前进的道路。

还有抛物线的焦半径公式，那可真是解题的利器。

它能让我们迅速算出抛物线上一点到焦点的距离，省了多少麻烦呀！再比如说，抛物线的切线方程，这就像是给抛物线披上了一层神秘的外衣，让我们能更深入地了解它的特性。

朋友，掌握这些抛物线的二级结论，就如同拥有了一把神奇的钥匙，能轻松打开数学难题的大门。

难道你不想拥有这把钥匙，在数学的世界里畅游吗？别再犹豫啦，赶紧把这些结论牢记于心，让它们成为你解题的得力助手！。

微重点 抛物线的二级结论的应用抛物线是高中数学的重要内容之一，知识的综合性较强，因而解题时需要运用多种基础知识，采用多种数学手段，熟记各种定义、基本公式．法则固然很重要，但要做到迅速、准确地解题，还要掌握一些常用结论，特别是抛物线的焦点弦的一些二级结论，在考试中经常用到，正确灵活地运用这些结论，一些复杂的问题便能迎刃而解．考点一 抛物线的焦点弦核心提炼与抛物线的焦点弦有关的二级结论若倾斜角为α⎝⎛⎭⎫α≠π2的直线l 经过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，且与抛物线相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(y 1>y 2)两点，则(1)焦半径|AF |＝x 1＋p 2＝p1－cos α，|BF |＝x 2＋p 2＝p1＋cos α，(2)焦点弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2α，(3)S △OAB ＝p 22sin α(O 为坐标原点)，(4)x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2，(5)1|AF |＋1|BF |＝2p， (6)以AB 为直径的圆与准线相切，以F A 为直径的圆与y 轴相切．考向1 焦半径、弦长问题例1 (1)已知F 是抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，过点F 作两条相互垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 相交于A ，B 两点，直线l 2与C 相交于D ，E 两点，则|AB |＋|DE |的最小值为( ) A ．16 B ．14 C ．12 D ．10 答案 A解析 如图，设直线l 1的倾斜角为θ，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则直线l 2的倾斜角为π2＋θ，由抛物线的焦点弦弦长公式知|AB |＝2p sin 2θ＝4sin 2θ， |DE |＝2p sin 2⎝⎛⎭⎫π2＋θ＝4cos 2θ，∴|AB |＋|DE |＝4sin 2θ＋4cos 2θ＝4sin 2θcos 2θ＝16sin 22θ≥16，当且仅当sin 2θ＝1， 即θ＝π4时取等号．∴|AB |＋|DE |的最小值为16.(2)斜率为3的直线经过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 与抛物线交于A ，B 两点，A 在第一象限且|AF |＝4，则|AB |＝________. 答案163解析 直线l 的倾斜角α＝60°，由|AF |＝p1－cos α＝4，得p ＝4(1－cos α)＝2， ∴|AB |＝2p sin 2α＝434＝163. 考向2 面积问题例2 (2022·长沙模拟)已知抛物线C ：y 2＝16x ，倾斜角为π6的直线l 过焦点F 交抛物线于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△ABO 的面积为________． 答案 64解析 方法一 (常规解法)依题意， 抛物线C ：y 2＝16x 的焦点为F (4,0)，直线l 的方程为x ＝3y ＋4.由⎩⎨⎧x ＝3y ＋4，y 2＝16x ，消去x ， 得y 2－163y －64＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则y 1＋y 2＝163，y 1y 2＝－64. S △OAB ＝12|y 1－y 2|·|OF |＝2(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝2(163)2－4×(－64)＝64. 方法二 (活用结论)依题意知， 抛物线y 2＝16x ，p ＝8. 又l 的倾斜角α＝π6.所以S △OAB ＝p 22sin α＝822sinπ6＝64.考向31|AF |＋1|BF |＝2p的应用 例3 (2022·“四省八校”联考)已知抛物线y 2＝4x ，过焦点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，则2|AF |＋|BF |最小值为( ) A ．2 B ．26＋3 C ．4 D ．3＋2 2答案 D解析 因为p ＝2， 所以1|AF |＋1|BF |＝2p ＝1，所以2|AF |＋|BF |＝(2|AF |＋|BF |)·⎝⎛⎭⎫1|AF |＋1|BF | ＝3＋2|AF ||BF |＋|BF ||AF |≥3＋22|AF ||BF |·|BF ||AF |＝3＋22， 当且仅当|BF |＝2|AF |时，等号成立， 因此，2|AF |＋|BF |的最小值为3＋2 2.考向4 利用平面几何知识例4 (2022·遂宁模拟)已知F 是抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点，过点F 的直线l 与抛物线交于P ，Q 两点，直线l 与抛物线的准线l 1交于点M ，若PM →＝2FP →，则|FQ ||PQ |等于( )A.13B.34C.43 D ．3 答案 B解析 如图，过点P 作准线的垂线交于点H ，由抛物线的定义有|PF |＝|PH |＝m (m >0)，过点Q 作准线的垂线交于点E ，则|EQ |＝|QF |， ∵PM →＝2FP →， ∴|PM |＝2m ，根据△PHM ∽△QEM ， 可得|PH ||PM |＝|QE ||QM |＝12，∴2|EQ |＝|QM |＝|FQ |＋3m . ∴|EQ |＝3m ，即|FQ |＝3m ， ∴|FQ ||PQ |＝3m 3m ＋m ＝34. 易错提醒 焦半径公式和焦点弦面积公式容易混淆，用时要注意使用的条件；数形结合求解时，焦点弦的倾斜角可以为锐角、直角或钝角，不能一律当成锐角而漏解．跟踪演练1 (1)已知A ，B 是过抛物线y 2＝2px (p ＞0)焦点F 的直线与抛物线的交点，O 是坐标原点，且满足AB →＝3FB →，S △OAB ＝23|AB |，则|AB |的值为( )A.92B.29 C ．4 D ．2 答案 A解析 如图，不妨令直线AB 的倾斜角为α，α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∵AB →＝3FB →∴F 为AB 的三等分点， 令|BF |＝t ，则|AF |＝2t ， 由1|BF |＋1|AF |＝2p， 得1t ＋12t ＝2p ⇒t ＝34p ， ∴|AB |＝3t ＝94p ，又|AB |＝2psin 2α， ∴2p sin 2α＝94p ⇒sin α＝223， 又S △AOB ＝23|AB |， ∴p 22sin α＝23|AB |， 即p 2423＝23·94p ⇒p ＝2， ∴|AB |＝92.(2)(多选)已知抛物线C ：x 2＝4y ，焦点为F ，过点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，该抛物线的准线与y 轴交于点M ，过点A ，B 作准线的垂线，垂足分别为H ，G ，如图所示，则下列说法正确的是( )A ．线段AB 长度的最小值为2B ．以AB 为直径的圆与直线y ＝－1相切C ．∠HFG ＝90°D ．∠AMO ＝∠BMO答案 BCD解析 如图，取AB 的中点为C ，作CD ⊥GH ，垂足为D ，当线段AB 为通径时长度最小，为2p ＝4，故A 不正确； ∵直线y ＝－1为准线， ∴|CD |＝12(|AH |＋|BG |)＝12|AB |，故以AB 为直径的圆与准线y ＝－1相切， 故B 正确；又|BF |＝|BG |，∴∠BFG ＝∠BGF ， 又BG ∥FM ， ∴∠BGF ＝∠MFG ， ∴∠BFG ＝∠MFG ， 同理可得∠AFH ＝∠MFH ，又∠BFG ＋∠MFG ＋∠MFH ＋∠AFH ＝180°， ∴FG ⊥FH .即∠HFG ＝90°，故C 正确； 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∴直线AB ：y ＝kx ＋1，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2＝4y ，得x 2－4kx －4＝0， ∴x 1x 2＝－4，x 1＋x 2＝4k ， k AM ＋k BM ＝y 1＋1x 1＋y 2＋1x 2＝kx 1＋2x 1＋kx 2＋2x 2＝2k ＋2(x 1＋x 2)x 1x 2＝2k ＋2·4k－4＝0，∴∠AMO ＝∠BMO ，故D 正确．考点二 定点问题核心提炼抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，过(2p ，0)的直线与之交于A ，B 两点，则OA ⊥OB ，反之，也成立．例5 如图，已知直线与抛物线x 2＝2py 交于A ，B 两点，且OA ⊥OB ，OD ⊥AB 交AB 于点D ，点D 的坐标为(2,4)，则p 的值为( )A ．2B ．4 C.32 D.52答案 D解析 如图，令AB 与y 轴交于点C ，∵OA ⊥OB ，∴AB 过定点C (0,2p )， 又D (2,4)，∴CD →＝(2,4－2p )，OD →＝(2,4)， ∵OD ⊥AB ， ∴CD →·OD →＝0， 即4＋4(4－2p )＝0， 解得p ＝52.易错提醒 要注意抛物线的焦点位置，焦点不同，定点是不同的；在解答题中用该结论时需证明该结论．跟踪演练2 已知抛物线y 2＝4x ，A ，B 为抛物线上不同两点，若OA ⊥OB ，则△AOB 的面积的最小值为________． 答案 16解析 如图，∵OA ⊥OB ，∴直线AB 过定点(2p ，0)， 即点C 坐标为(4,0)，设直线AB ：x ＝ty ＋4，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＋4，y 2＝4x ⇒y 2－4ty －16＝0，Δ＝16t 2＋64>0，y 1＋y 2＝4t ，y 1y 2＝－16， ∴S △AOB ＝12|OC ||y 1－y 2|＝2|y 1－y 2|＝216t 2＋64，∴当t ＝0时，S min ＝16.专题强化练1．(2022·菏泽模拟)设坐标原点为O ，抛物线y 2＝4x 与过焦点的直线交于A ，B 两点，则OA →·OB →等于( )A.34 B ．－34 C ．3 D ．－3 答案 D解析 方法一 抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)， 设直线AB 的方程为x ＝ty ＋1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＋1，y 2＝4x ，得y 2－4ty －4＝0， Δ＝16t 2＋16>0恒成立，则⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝4t ，y 1y 2＝－4， 所以OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝y 214·y 224＋y 1y 2＝1616＋(－4)＝－3. 方法二 因为AB 过抛物线的焦点， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1x 2＝p 24＝1，y 1y 2＝－p 2＝－4，所以OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝－3.2.如图，过抛物线y 2＝8x 的焦点F 的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，与抛物线准线交于C 点，若B 是AC 的中点，则|AB |等于( )A ．8B ．9C ．10D ．12答案 B解析 如图所示，令|BF |＝t ， 则|BB ′|＝t ， 又B 为AC 的中点， ∴|AA ′|＝|AF |＝2t ， ∴|BC |＝|AB | ＝|AF |＋|BF |＝3t ， 又△CBB ′∽△CFE ， ∴|BC ||CF |＝|BB ′||FE |， 即3t 3t ＋t ＝t p⇒t ＝34p ，∴|AB |＝3t ＝94p ＝9.3．倾斜角为π4的直线l 交抛物线C ：y 2＝2px (p >0)于A ，B 两点，且OA ⊥OB ，S △AOB ＝85，则抛物线C 的方程为( ) A ．y 2＝2xB ．y 2＝4xC ．y 2＝42xD ．y 2＝8x答案 B解析 ∵OA ⊥OB ， ∴直线过定点(2p ，0) 设直线l 的方程为x ＝y ＋2p ， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝y ＋2p ，y 2＝2px ，得y 2－2py －4p 2＝0，Δ＝4p 2－4×(－4p 2)＝20p 2>0， ∴y 1＋y 2＝2p ，y 1y 2＝－4p 2， S △AOB ＝12·2p ·|y 1－y 2|＝p (y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝p ·4p 2＋16p 2＝25p 2＝85， ∴p ＝2，∴抛物线C 的方程为y 2＝4x .4．直线l 过抛物线y 2＝6x 的焦点F ，交抛物线于A ，B 两点，且|AF |＝3|BF |，过A ，B 分别作抛物线C 的准线的垂线，垂足分别为A ′，B ′，则四边形ABB ′A ′的面积为( ) A ．4 3 B ．8 3 C ．16 3 D ．32 3 答案 C解析 不妨令直线l 的倾斜角为θ，则|AF |＝p 1－cos θ＝31－cos θ，|BF |＝p 1＋cos θ＝31＋cos θ，又|AF |＝3|BF |， ∴31－cos θ＝3·31＋cos θ，解得cos θ＝12，又θ∈[0，π)，∴θ＝π3，∴|AF |＝31－cos θ＝6，|BF |＝31＋cos θ＝2， ∴|AA ′|＝6，|BB ′|＝2，∴|A ′B ′|＝|AB |sin θ＝8×32＝43， ∴S 四边形ABB ′A ′＝12×(2＋6)×43＝16 3. 5．(多选)(2022·聊城模拟)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点F 到准线的距离为2，过F 的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，则( )A ．C 的准线方程为x ＝－2B ．若|AF |＝4，则|OA |＝21C ．若|AF |·|BF |＝4p 2，则l 的斜率为±33D ．过点A 作准线的垂线，垂足为H ，若x 轴平分∠HFB ，则|AF |＝4答案 BCD解析 因为抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点F 到准线的距离为2，所以p ＝2，所以抛物线方程为y 2＝4x ，则焦点F (1,0)，准线为x ＝－1，故A 错误；若|AF |＝4，则x A ＝3，所以y 2A ＝4x A＝12， 所以|OA |＝x 2A ＋y 2A ＝21，故B 正确；设直线AB 的倾斜角为α，α∈(0，π)，|AF ||BF |＝p 1－cos α·p 1＋cos α＝p 2sin 2α＝4p 2， ∴sin 2α＝14， ∴sin α＝12， ∴α＝30°或150°，∴tan α＝±33，故C 正确； 对于D ，若x 轴平分∠HFB ，则∠OFH ＝∠OFB ，又AH ∥x 轴，所以∠AHF ＝∠OFH ＝∠OFB ＝∠AFH ，所以HF ＝AF ＝AH ，所以x A ＋x H 2＝x F ，即x A ＝3， 所以|AF |＝x A ＋1＝4，故D 正确．6．(多选)(2022·武汉模拟)斜率为k 的直线l 经过抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点F ，且与抛物线C 相交于A ，B 两点，点A 在x 轴上方，点M (－1，－1)是抛物线C 的准线与以AB 为直径的圆的公共点，则下列结论正确的是( )A ．p ＝2B ．k ＝－2C ．MF ⊥ABD.|F A ||FB |＝25 答案 ABC解析 由题意知，抛物线C 的准线为x ＝－1，即p 2＝1，解得p ＝2， 故选项A 正确；∵p ＝2，所以抛物线C 的方程为y 2＝4x ，其焦点为F (1,0)，∵以AB 为直径的圆与准线相切，∴点M (－1，－1)为切点，∴圆心的纵坐标为－1，即AB 中点的纵坐标为－1，设AB ：x ＝ty ＋1，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＋1，y 2＝4x ， 得y 2－4ty －4＝0，Δ＝16t 2＋16>0，∴y 1＋y 2＝4t ＝－2，∴t ＝－12，即k ＝－2，故选项B 正确； ∵k ＝－2，k MF ＝－1－0－1－1＝12，k MF·k ＝－1， ∴MF ⊥AB ，故选项C 正确；过A 作AA 1⊥x 轴，过B 作BB 1⊥x 轴，抛物线的准线交x 轴于点C ，设∠BFB 1＝θ，∴|BF |＝p 1－cos θ， |AF |＝p 1＋cos θ， 又p ＝2，k ＝－2，则cos θ＝55， ∴|F A ||FB |＝5－55＋5＝(5－5)225－5＝30－10520＝3－52， 故选项D 错误．7．已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过点F 的直线l 交抛物线于M ，N 两点，且|MF |＝2|NF |，则直线l 的斜率为______．答案 ±2 2解析 由抛物线的焦点弦的性质知1|MF |＋1|NF |＝2p＝1， 又|MF |＝2|NF |，解得|NF |＝32，|MF |＝3， ∴|MN |＝92， 设直线l 的倾斜角为θ，∴k ＝tan θ，又|MN |＝2p sin 2θ， ∴4sin 2θ＝92， ∴sin 2θ＝89，∴cos 2θ＝19， ∴tan 2θ＝8，∴tan θ＝±22，故k ＝±2 2.8.(2022·攀枝花模拟)如图所示，已知抛物线C 1：y 2＝2px 过点(2,4)，圆C 2：x 2＋y 2－4x ＋3＝0.过圆心C 2的直线l 与抛物线C 1和圆C 2分别交于P ，Q ，M ，N ，则|PM |＋4|QN |的最小值为________．答案 13解析 由题设知，16＝2p ×2，则2p ＝8，故抛物线的标准方程为y 2＝8x ，则焦点F (2,0)， 由直线PQ 过抛物线的焦点，则1|PF |＋1|QF |＝2p ＝12， 圆C 2：(x －2)2＋y 2＝1的圆心为(2,0)，半径为1， |PM |＋4|QN |＝|PF |－1＋4(|QF |－1)＝|PF |＋4|QF |－5＝2(|PF |＋4|QF |)⎝⎛⎭⎫1|PF |＋1|QF |－5＝2×⎝⎛⎭⎫|PF ||QF |＋4|QF ||PF |＋5≥4|PF ||QF |·4|QF ||PF |＋5＝13， 当且仅当|PF |＝2|QF |时，等号成立，故|PM |＋4|QN |的最小值为13.。

抛物线的二级结论及推导全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：抛物线始终是数学中一个重要的概念，它具有很多重要的性质和实际应用。

在高中数学学习的过程中，我们经常会接触到关于抛物线的二级结论及推导。

在这篇文章中，我们将详细介绍抛物线的二级结论，并推导相关的内容。

抛物线是一条平面曲线，它的数学定义是平面上到一个定点的距离等于到一直线的距离的点的集合。

在直角坐标系中，抛物线的标准方程是：y = ax^2 + bx + c其中a、b、c都是常数，a ≠ 0。

在这个方程中，a决定了抛物线的开口方向（向上还是向下）、b决定了抛物线的位置，c决定了抛物线与y轴的交点。

抛物线的二级结论是指关于抛物线上的二次项的系数a的性质。

具体来说，当a > 0时，抛物线开口向上；当a < 0时，抛物线开口向下。

在我们的推导中，我们将证明这一结论的有效性。

我们来看当a > 0时，抛物线开口向上的情况。

我们假设抛物线的标准方程为y = ax^2 + bx + c，其中a > 0。

我们知道抛物线的顶点坐标为(-b/2a, c - b^2/4a)。

由于a > 0，所以当x取任意值时，ax^2的值都大于等于0。

整个方程的值都不会小于c（当x取顶点坐标时，ax^2 = 0）。

这说明抛物线的图象是向上开口的。

除了抛物线的开口方向之外，二级结论还包括了抛物线的顶点、焦点等重要性质。

在实际问题中，我们可以利用这些结论来解决一些与抛物线相关的问题，比如确定一个抛物线的开口方向、求解最值等。

抛物线的二级结论是抛物线研究中一个非常重要的内容，它帮助我们理解和利用抛物线的各种性质，为我们的数学学习和实际问题的解决提供了有力的支持。

希望通过本文的介绍，读者能够对抛物线的二级结论有更深入的理解，并能够灵活运用这些知识。

第二篇示例：抛物线是代数表达式的一种特殊形式，常见于数学课程中。

学习抛物线的二级结论及推导可以帮助我们更深入地了解这个概念，并应用于实际问题的求解中。

【NO.187】二级结论，谨慎
之前推送过一些关于抛物线的二级结论，这几次考试有学生反馈恰巧都用上了，比如说这次的大连一模考试。

掌握好一些重要的二级结论确实非常方便，对于在考试中遇到圆锥曲线的小题目。

但是这让我想起了另外一件事。

在2018年全国2卷高考数学中，也是考察了抛物线的问题。

但是有的人因为没有把二级结论记牢固而出现了错误，比较可惜。

所以，二级结论，要记，一定要记清楚，如果记得模糊，那反而会适得其反。

结论1、两个相切：（1）以抛物线焦点弦为直径的圆与准线相切；（2）过抛物线焦点弦的两个端点向准线作垂线，以两垂足端点为直径的圆与焦点弦相切。

下面是详细的证明过程：
好了，来看看去年的考试试题。

所以说如果这个题目的二级结论记得不清楚，答案将会算成一个，可惜了。

这一期，没有推送【NO.185】高考标准答案里的“点”是怎么想出来的？（解析1）
【NO.186】高考标准答案里的“点”是怎么想出来的？（解析2）这个系列的专题，下面就给几个例题作为分析，后期继续推送。

好了，这一期先分享到这里。

抛物线二级定理抛物线二级定理引言在平面几何中，抛物线是一种重要的曲线，具有许多独特的性质和应用。

本文将介绍抛物线二级定理，该定理是关于抛物线的一个基本性质，对于理解抛物线的性质和应用具有重要意义。

一、基本概念1. 抛物线：抛物线是一种平面曲线，由一个固定点（焦点）F和一条直线（准线）L组成，定义为到焦点距离与到准线距离相等的点的轨迹。

2. 焦距：焦距是指焦点到准线的距离。

3. 对称轴：对称轴是指过焦点垂直于准线的直线。

4. 顶点：顶点是指抛物线上离对称轴最近的点。

5. 参数方程：参数方程是指用参数表示曲线上每个点坐标的方程。

6. 标准方程：标准方程是指将抛物线移到以对称轴为x轴、以顶点为原点的坐标系中后得到的方程。

7. 切线：切线是指与曲面相切于一点且在该点处与曲面重合的直线。

8. 法线：法线是指与切线垂直的直线。

二、抛物线二级定理的表述抛物线二级定理又称为焦点定理，它表述了一个点到抛物线焦点的距离等于这个点到抛物线准线距离的平方与这个点到抛物线顶点距离的平方之和的一半。

具体地说，设P(x,y)为抛物线上任意一点，F为焦点，L为准线，V为顶点，则有：PF² = (x-a)² + (y-b)²PL = |y-c|PV² = (x-a)² + (y-b+c)²其中a,b,c分别是标准方程y²=2px中的参数。

则有：PF² = (PL² + PV²)/2三、证明过程1. 基本思路：首先将抛物线移到以对称轴为x轴、以顶点为原点的坐标系中，并将焦点F移到原点O处。

然后通过参数方程求出P(x,y)到O和L的距离，并利用勾股定理和代数运算得到PF²、PL和PV²。

最后代入公式中进行简化即可得到结论。

2. 具体步骤：（1）将抛物线移到以对称轴为x轴、以顶点为原点的坐标系中，此时抛物线的标准方程为y²=2px。

＝，＝（图1 图2 图3①以为直径的圆与准线相切；②以为直径的圆与轴相切；③以为直径的圆与轴相切；④分别以为直径的圆之间的关系：圆与圆外切；圆与圆既与轴相切，⼜与圆相内切．结合圆的⼏何性质易得有关直线垂直关系的结论，如图3有，①以为直径的圆的圆⼼在准线上的射影与两点的连线互相垂直，即；②以为直径的圆的圆⼼在轴上的射影与两点的连线互相垂直，即；③以为直径的圆的圆⼼在轴上的射影与两点的连线互相垂直，即；④以为直径的圆必过原点，即；⑤．【应⽤场景】AB M AF C y BF D y AB ,AF ,BF C D C D y M AB M 1A ,B A ⊥B M 1M 1AF y C 1A ,F A ⊥F C 1C 1BF y D 1B ,F B ⊥F D 1D 1A 1B 1F ⊥F A 1B 1F ⊥AB M 1运⽤焦点弦与圆有关的结论可以很⽅便的解决直线、圆、抛物线有关综合题，解题中要注意抛物线的定义、⼏何性质以及圆的⼏何性质的应⽤．【典例指引1】【反思】本题考查了抛物线的标准⽅程，抛物线的⼏何性质，以及直线和圆，直线和抛物线的位置关系的相关问题，当题设涉及直线，圆，圆锥曲线时，⼀般是直线与圆锥曲线相交于两点，需联⽴⽅程，得到根与系数的关系，⽽直线与圆经常利⽤圆的⼏何性质，得到⼀些常量，这些不变的量和圆锥曲线建⽴联系，从⽽进⼀步求解．【典例指引2】【针对训练】⼀、单选题：11. 在平⾯直⻆坐标系中，已知点，直线，动直线垂直于于点，线段的垂直平分线交于点，设的轨迹为.(1)求曲线的⽅程；(2)以曲线上的点为切点作曲线的切线，设 分别与，轴交于，两点，且恰与以定点为圆⼼的圆相切. 当圆的⾯积最⼩时，求与⾯积的⽐.12. 已知抛物线的准线为l ，记l 与y 轴交于点M ，过点M 作直线与C 相切，切点为N ，则以MN 为直径的圆的⽅程为（ ）A ．或B ．或C ．或D ．或13. 阿基⽶德（公元前287年---212年）是古希腊伟⼤的物理学家、数学家、天⽂学家，不仅在物理学⽅⾯贡献巨⼤，还享有“数学之神”的称号.抛物线上任意两点A 、B 处的切线交于点P ，称△为“阿基⽶德三⻆形”，当线段AB 经过抛物线焦点F 时，△具有以下特征：（1）P 点必在抛物线的准线上；（2）△为直⻆三⻆形，且;（3）.若经过抛物线焦点的⼀条弦为AB ，阿基⽶德三⻆形为△，且点P 的纵坐标为4，则直线AB 的⽅程为（ ）A ．x -2y -1=0B ．2x +y -2=0C ．x+2y -1=0D ．2x -y -2=0(1)若的⾯积为，求的值及圆的⽅程(2)若直线与抛物线C交于P，Q两点，且，准线与y轴交于点S，点S关于直线PQ的对称点为T，求的取值范围.。

抛物线的二级结论高中抛物线是高中数学中以描述物体经过重力加速下落或弹射而上升运动的曲线。

本文将主要介绍抛物线的几何定义和特点，以及抛物线的几何求解、性质及典型问题的分析思路。

抛物线的几何定义抛物线是满足某一关系式的曲线，这个关系式通常是一元二次方程：y＝ax2＋bx＋c或者是参数方程：x＝at2，y＝bt3其中a、b、c为常数，t为参数。

它是空间曲线，但在数学中，它以二维平面形式存在。

抛物线的特点抛物线有以下几个特点：首先，它是由多条直线段拼接成的，因此，它是一种连续的曲线；其次，它的几何形状是“半椭圆”形的，它的凸度满足：根据椭圆的特性，它的形状有明显的不对称性，它的一边是凸起的，相反的一边是凹下的；此外，抛物线具有可积性，可以求解出它的积分；最后，抛物线两条轴线对称，在数学上抛物线的方程也是对称的。

抛物线的几何求解1、夹角法抛物线的求解，可以利用夹角法，即不断地找到与x轴、y轴、抛物线有夹角的线段，从而确定抛物线的形状。

由于抛物线的组成为多条直线段，因此，当把这些线段根据它们的夹角来确定，就可以求解抛物线的形状了。

2、椭圆法根据抛物线的几何性质，可以把它看做由多条椭圆段拼接而成，可以用椭圆法来求解抛物线。

即根据椭圆线段的几何性质，首先求解出椭圆段的长短轴，再把椭圆段拼接起来，即可组成抛物线。

抛物线的性质抛物线的形状决定了它的性质，最明显的是连续性：抛物线的曲线性使它的性质可以连续地变化。

另外，抛物线的可积性也使它具有可计算性，可以求出它的积分，也可以求出其极限。

此外，抛物线的二次函数形式也是其比较显著的性质，使它在数学上有着几何意义，也正是基于此，可以对抛物线进行更多有效的分析，了解它的其他几何性质。

抛物线切线方程二级结论抛物线是一种二次函数，其曲线能够准确描述各种物理现象。

抛物线切线方程是在二次函数曲线上求出曲线和抛物线切线的结果，这可以改善我们对各种物理现象的理解。

抛物线的法线是抛物线的切线，也就是在抛物线上的点P处的切线方程，当定点变化时，抛物线的切线方程也会发生变化。

一般来说，抛物线的切线方程的求解可以分为两种：一种是一级求解，也就是求出抛物线的法向量；另一种是二级求解，也就是求出抛物线的切线方程。

本文将重点关注抛物线切线方程二级求解的结论。

首先，我们来看看抛物线一级求解的结论。

抛物线切线的一级求解，指的是求出抛物线的法向量。

这个法向量是一个单位向量，它的方向恰好与抛物线的切线方向相反。

当抛物线的定点改变时，抛物线的法向量也会发生变化，而只有当抛物线的定点改变后，才能求出抛物线的法向量。

接下来，我们来看看抛物线二级求解的结论。

二级求解就指的是求出抛物线的切线方程。

在求出抛物线的切线方程之前，需要先求出它的法向量，也就是一级求解的结果。

只有当我们知道抛物线的法向量后，才能求出抛物线的切线方程。

这里最重要的是根据法向量的方向，转换到一般方程的形式，即y=ax+b，其中a为斜率，b为常数项，最后可以求出抛物线的切线方程。

最后，我们来总结一下抛物线切线方程二级结论：抛物线切线方程的二级求解，指的是求出抛物线的切线方程。

当抛物线的定点改变时，抛物线的切线方程也会发生变化。

要求出抛物线的切线方程，首先需要求出它的法向量，根据法向量的方向，转换到一般方程的形式，最后可以求出抛物线的切线方程。

抛物线切线方程的求解，是数学中非常重要的一个研究方向，它能够更加准确地描述各种物理现象，能够更好地帮助我们解决实际问题。

因此，要想更好地理解抛物线切线方程，我们需要充分的研究和讨论，以此来发掘出更多的结论。

抛物线焦点弦二级结论分比模型一、概述抛物线是数学中常见的一种曲线，它具有许多特殊的性质和规律。

其中，抛物线焦点弦二级结论分比模型是描述抛物线特征的重要模型之一。

本文将着重探讨抛物线焦点弦二级结论分比模型的相关内容，包括定义、公式推导、应用等方面。

二、抛物线基础知识1. 抛物线的定义抛物线是平面上的一条曲线，它是所有到定点距离与到定直线距离相等的点的轨迹。

数学上，抛物线可以用一般式方程表示为y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为常数且a不等于0。

2. 抛物线焦点和直径定义抛物线的焦点是到抛物线上任意一点的距离与该点到抛物线的准线的距离相等的点。

直径是垂直于准线且过焦点的直线段。

三、抛物线焦点弦二级结论分比模型1. 定理表述设抛物线的焦点为F，抛物线上一点为P，直径的中点为M，过P点作抛物线的直径的垂线交直径于垂足H，则有PF:PH=2:1。

2. 证明过程（1）假设抛物线方程为y=ax^2+bx+c，直径的中点M为（0，c-a/4），焦点F为（0，c+1/4a）。

（2）过P点作抛物线的直径的垂线交直径于垂足H，可得PH的坐标为（x,ax^2+bx+c）。

（3）根据两点距离公式可得PF:PH的比值为2:1。

3. 应用举例抛物线焦点弦二级结论分比模型在几何问题中有着重要的应用。

在确定抛物线上的一点到焦点和直径的垂线的比例时，可以利用该定理简化问题的求解过程。

该定理也可以拓展到工程实践中，用于设计抛物线相关形状的构造。

四、结论抛物线焦点弦二级结论分比模型是抛物线性质的重要定理之一，它描述了抛物线焦点和直径上一点之间的比例关系。

通过本文的介绍，读者对该模型的定义、证明过程和应用有了更深入的了解。

相信随着对抛物线性质的不断研究，抛物线焦点弦二级结论分比模型的应用将会更加广泛和深入。

抛物线是数学中重要的曲线之一，它在许多领域都具有重要的应用价值。

抛物线焦点弦二级结论分比模型作为抛物线性质的重要定理之一，不仅具有理论意义，更在实际问题中发挥着重要作用。

追根溯源之抛物线相当长一段时间，各大群出现了怪题怪解：将固有结论嵌入到题设中（又不作提示）构成“难题”。

这些题让人一时难以下手，有些解法悄然用了相关结论，以致于我们百思不得其解。

正所谓“城门失火，殃及池鱼”，二次函数题也不例外，受到了很大影响。

本专题就是要追根溯源，把关于抛物线的相关结论晒给大家，并引导大家理清结论的来由，从而认清那些“难题”的真面目及命题者的“大法本质”。

可以用这些“题根”命制新题还是不错的，但是要做好引导，让学生更好地思考并解答问题。

要得到这些结论，不得不提“平移思想”。

有时候根据函数图像的定性，利用平移手段，很容易解决一些看似复杂的问题。

当以下问题穿插在一些综合题里面的时候，我们就可以采用平移的方式来处理，将抛物线顶点移动至原点处，以便减少运算量。

解决此类问题，着重用设参消参来处理。

问题一：已知，如图，抛物线2ax y =，其中a ＞0.点A 是此抛物线上一点，连接AO ，并过点A 作AO 的垂线与y 轴相交于点B ，再过点B 作y 轴的垂线，与此抛物线相交于点C 、点D .求证：AB=CB=DB .证明：辅助线如图所示，不妨令A (-m ，am 2)，则BE =a EO AE 12=.从而，a BOBO BE AB =∙=2.又a BODB CB ==22，故AB=CB=DB .练习题：已知，如图，抛物线y =x 2-4x +3与x 轴交于点A 、点B ，点A 在点B 左侧，与y 轴交于点C ，点D 为抛物线的顶点，过点C 作CE ∥x 轴交抛物线的对称轴于点E ，点F 在此对称轴左侧的抛物线上，且∠EFD =90°.求点F 的坐标.问题二：已知，如图，抛物线2ax y =，其中a ＞0.点A 、点B 是此抛物线上两点，且AB 平行于x 轴.点C 在此抛物线上，且满足∠ACB =90°，过点C 作AB 的垂线，垂足为点D .求证：aCD 1=.证明：不妨令AB=2m ，AD =n ，则C (n-m ，a (m-n )2)，A (-m ，am 2).从而，CD =am 2-a (m-n )2=an (2m-n ).又CD 2=BD AD ∙=n (2m-n ).由以上两式相除，得aCD 1=.练习题：已知，如图，抛物线y =x 2-1交x 轴于点A 、点B ，直线y =a (a ＞0)交抛物线于点C 、点D ，点E 在此抛物线上，且∠CED =90°，点E 到CD 的距离是否为一个定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.结合问题一和问题二，你发现了什么？已知，如图，抛物线2ax y ，其中a ＞0.点A 、点B 是此抛物线上两点，且位于y 轴同侧，过点A 作y 轴的垂线，垂足为C .(1)若AC=BC ，求证：∠CBO =90°；(2)若∠CBO =90°，求证：AC=BC .问题三：已知，如图，抛物线2ax y =，其中a ＞0.点A 、点B 均是此抛物线上的点，且分属于y 轴两侧，连接AB 与y 轴相交于点C .在y 轴负半轴上一点D ，满足∠ADC =∠BDC .求证：CO =DO .证明：不妨令A (x 1，ax 12)，B(x 2，ax 22)，D (0，b )，则bax x b ax x-=--222211，即b x ax =21.试问：这一步怎么来？及AB ：2121)(x ax x x x a y -+=，即C (0，-b ).故CO=DO .练习题1：已知，抛物线y =52x 2+1433顶点为D ，直线l 交抛物线于点A 、点B ，交y 轴于点C .若∠AOC =∠BOC ，求证：直线l 过定点.练习题2：2011年武汉市中考数学压轴题如图1，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋3经过A (－3，0)，B (－1，0)两点.(1)求抛物线的解析式；(2)设抛物线的顶点为M ，直线y ＝－2x ＋9与y 轴交于点C ，与直线OM 交于点D ．现在将抛物线平移，保持顶点在直线OD 上，若平移的抛物线与射线CD (含端点C )只有一个公共点，求它的顶点横坐标的值或取值范围；(3)如图2，将抛物线平移，当顶点至原点时，过Q (0，3)作不平行于x 轴的直线交抛物线于E 、F 两点.问在y 轴的负半轴上是否存在点P ，使△PEF 的内心在y 轴上.若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.A BCOx yDM 图1Q EO x y F图2问题四：已知，如图，抛物线2ax y =，其中a ＞0.点A 是此抛物线上一点，过点A 的直线恰好与此抛物线仅有一个交点，且与y 轴相交于点B ，与x 轴相交于点C .求证：AC=BC .证明：令AB ：y=kx+b ，联立抛物线2ax y =，得一元二次方程ax 2-kx -b =0有两个相等的实数根，即此方程的判别式△=k 2+4ab =0，且此实数根为a k 2=kb 2-，即点A 的坐标为(kb 2-，-b ).又B (0，b )，故AC=BC .变式：已知，如图，抛物线2ax y =，其中a ＞0.点A 是此抛物线上一点，过点A 的直线与y 轴相交于点B ，与x 轴相交于点C .若AC=BC ，试说明直线AB 与抛物线的位置关系.点，且在y 轴异侧，连接AB 交y 轴于点C (0，a )，AB 不与x 轴平行.又点D 在y 轴上，且AD=BD .求证：AB =2CD .证明：不妨令AB ：y=kx+a ，与抛物线241x ay =联立，得x 2-4kax -4a 2=0，即ka x x B A 4=+，24a x x B A -=∙，故a a k y y B A 242+=+，2a y y B A =∙，及AB =∆∙+12k =4a (k 2+1).令D (0，D y )，由AD=BD ，得))(()(4)(22222B A B A B A B A B A B A D y y y y y y a y y x x y y y -++-=-+-=-，即a a k y D 322+=，故CD =2a (k 2+1)，所以，AB =2CD .练习题：已知，如图，抛物线241x y =+1，其中a ＞0.点A 、点B 是此抛物线上两点，且在y 轴异侧，连接AB 交y 轴于点C (0，2)，AB 不与x 轴平行.又点D 在y 轴上，且AD=BD .求证：AB =2CD .点，且在y 轴同侧，连接AB 并延长交y 轴于点C (0，-a )，分别过点A 、点B 作y 轴的垂线，垂足分别为点D 、点E .求证：a CE CD 111=+.证明：不妨令AB ：y=kx-a ，与抛物线241x ay =联立，得x 2-4kax +4a 2=0，即ka x x B A 4=+，24a x x B A =∙，从而，a a k a x x k y y y y B A B A E D 242)(2-=-+=+=+，2222161a x x ay y y y B A B A E D =∙∙=∙=∙.故aa y y a y y a y y a y a y CE CD E D E D E D E D 1)(211112=+++∙++=+++=+.练习题：已知，如图，抛物线2--412x x y =与直线y=kx -2k -4相交于点A 、点B ，过点C (2，-4)作y 轴的平行线，再分别过点A 、点B 作此平行线的垂线，垂足分别为点D 、点E .问：CECD 11+是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.问题七：已知，A、B、C、D均是抛物线y=ax2+bx+c上的点，且CD∥AB，E、F在CD上，且AE∥BF∥抛物线对称轴.求证：CE=DF.证明：将抛物线的顶点移动至原点处，则抛物线解析式变为y=ax2.令直线AB的解析式为y=kx+b1，并与抛物线y=ax2联立，得x A+x B=a k，令直线CD的解析式为y=kx+b2，并与抛物线y=ax2联立，得x C+x D=a k，故x A+x B=x C+x D，即CE=DF.变式：已知，A 、B 、C 、D 均是抛物线y=ax 2+bx+c 上的点，且E 、F 在CD 上，且AE ∥BF ∥抛物线对称轴.若CE=DF ，求证：四边形ABFE 是平行四边形.练习题1：已知，如图，抛物线2ax y ，其中a ＞0.点A 、点B 、点C 均是此抛物线上的点(如图所示)，且BC ∥OA ，BC 与y 轴相交于点D .求证：BC-OA =2BD .练习题2：2018年益阳市中考数学压轴题如图，抛物线y＝12x2－32x－n(n＞0)与x轴交于点A、点B(点A在点B的左侧)，与y轴交于点点C．(1)如图1，若△ABC为直角三角形，求n的值；(2)如图1，在(1)的条件下，点P在抛物线上，点Q在抛物线的对称轴上．若以BC为边，以点B、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的坐标；(3)如图2，过点A作直线BC的平行线交抛物线于另一点D，交y轴于点E．若AE∶ED＝1∶4，求n的值．yB A OC图1yBA OCED图2问题八：已知，抛物线2ax y =，其中a ＞0.点A 、点B 均是此抛物线上的点，且分属于y 轴两侧，连接AB 与y 轴相交于点C ，且∠AOB =90°.若△AOB 的面积为S ，求证：(1)CO =a1；(2)直线AB 的解析式为ax a y 11S 224+∙-±=.证明：令A (x 1，ax 12)，B (x 2，ax 22)，则a 2x 1x 2=-1，AB ：y =a (x 1+x 2)x -ax 1x 2，即C (0，a1)，故ax x 1)(21S 12∙-=，x 2-x 1=2a S ，及x 1x 2=21a -，故a (x 1+x 2)=1S 24)(2421221-±=+-±a x x x x a ，从而，AB ：ax a y 11S 224+∙-±=.练习题1：已知，直线y=kx-2与抛物线y=ax 2(a ＜0)交于点A 、点B ，连接AO 、BO ，若∠AOB =90°，则a 的值为.变式：已知，如图，直线y=kx-k 与抛物线y=ax 2-2ax +a +2(a ＜0)交于点A 、点B ，C 为此抛物线的顶点，连接CA 、CB ，若CA ⊥CB ，则a 的值为.练习题2：已知，抛物线221x y ，点A 、点B 均是此抛物线上的点，且分属于y 轴两侧，且∠AOB =90°.若△AOB 的面积为17，求直线AB 的解析式.问题九：已知，如图，抛物线241x ay =，其中a ＞0.点A 、点B 是此抛物线上两点，且在y 轴异侧，连接AB 交y 轴于点C (0，a ).请证明以下结论：(1)24a x x B A -=∙；(2)2a y y B A =∙；(3)θ2sin aAB =，其中θ是直线AB 与x 轴的夹角度数；(4)aBC AC 111=+；(5)△AOB 的面积为θsin 22a ，其中θ是直线AB 与x 轴的夹角度数；(6)△AOB 的面积的平方为3a AB ∙.练习题1：已知，抛物线2--412x x y =与直线y=kx -2k -2相交于点A 、点B .(1)求B A x x ∙和B A y y ∙的值；(2)若点C 的坐标为(2，-2)，求BCAC 11+的值；(3)AB 的长度和△AOB 的面积(用含k 的式子表示).已知，如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y ＝54x ＋m 与x 轴交于点A (－3，0)，与y 轴交于点C ．以直线x ＝1为对称轴的抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c经过A 、C 两点，与x 轴的正半轴交于点B ．(1)求m 的值及抛物线的函数表达式；(2)设E 是y 轴右侧抛物线上一点，过点E 作直线AC 的平行线交x 轴于F ．是否存在这样的点E ，使得以A 、C 、E 、F 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点E 的坐标及相应的平行四边形的面积；若不存在，请说明理由；(3)若P 是抛物线对称轴上使△ACP 的周长取得最小值的点，过点P 任意作一条与y 轴不平行的直线交抛物线于M 1(x 1，y 1)，M 2(x 2，y 2)两点，试探究1212M P M PM M 是否为定值，并写出探究过程．O A B xyCx ＝1已知，如图，抛物线C1：y＝ax2＋bx＋c经过A(－1，0)、C(0，54)两点，与x轴正半轴交于点B，对称轴为直线x＝2．(1)求抛物线C1的函数表达式；(2)设点D(0，2512)，若F是抛物线C1：y＝ax2＋bx＋c的对称轴上使得△ADF 的周长取得最小值的点，过F任意作一条与y轴不平行的直线交抛物线C1于M1(x1，y1)，M2(x2，y2)两点，试探究1M1F＋1M2F是否为定值，请说明理由；(3)将抛物线C1作适当平移，得到抛物线C2：y＝－14(x－h)2，其中h＞1．若当1＜x≤m时，y≥－x恒成立，试求m的最大值．线与抛物线只有一个交点B ，且与y 轴相交于点C .求证：AB=AC .证明：令B (x B ，y B )，则AB =a x aB +241.由问题四可知y C +y B =0，即AC =a x aB +241，故AB=AC .变式1：已知，如图，抛物线241x ay =，其中a ＞0.点A 的坐标为(0，a )，点B 是此抛物线上一点，点C 是y 轴负半轴上一点.若AB=AC ，试判断直线BC 与此抛物线的位置关系.是此抛物线上一点，点C是y轴正半轴上一点且AB=AC，过点B作BC的垂线，试判断此直线与抛物线的位置关系.问题十一：已知，如图，抛物线2ax y =，其中a ＞0.点A 在抛物线内部，过点A 作x 轴的垂线，与此抛物线相交于点B ，垂足为点C .若∠BOC=∠BAO ，求点A 的轨迹.解：令B (m ，am 2)，则OC=m ，BC=am 2.易知，△BCO ∽△OCA ，即aBC OC AC 12==，故点A 的轨迹为ay 1=.练习题：已知，如图，抛物线2ax y =，其中a ＞0.点A 在抛物线内部，且点A 的纵坐标为a1，过点A 作x 轴的垂线，与此抛物线相交于点B ，垂足为点C .求证：∠BOC=∠BAO .问题十二：已知，如图，抛物线2ax y =，其中a ＞0.点A 、点B 均是此抛物线上的点，且分属于y 轴两侧，连接AB 与y 轴相交于点C .过点B 作x 轴的垂线，垂足为点D ，并与AO 的延长线交于点E .求证：DE=CO .证明：构造如图所示辅助线.令A (x 1，ax 12)，B (x 2，ax 22)，则AB ：y =a (x 1+x 2)x -ax 1x 2，即C (0，-ax 1x 2)，1ax DO CO -=.又1ax OF AF -=，故OF AF DO CO =，即△COD ∽△AFO .从而，AE ∥CD ，即四边形CODE 是平行四边形，故DE=CO .练习题：已知，如图，抛物线241x y =，直线AB ：y=kx +2与抛物线相交于点A 、点B ，过点B 作x 轴的垂线，垂足为点C ，并与AO 的延长线交于点D .求CD .问题十三：已知，如图，抛物线241x py =.过点A (0，p )作x 轴的平行线与此抛物线相交于点B ，点C 位于点O 与点B 之间的抛物线上，再过点C 作AB 的垂线CE ，垂足为点D .若∠E =∠CAB ，求证：△BDE 的周长为定值.证明：令p=a 2，易知，B (2a 2，a 2).令C (2ka ，k 2)，则D (2ka ，a 2)，即AD =2ka ，CD =a 2-k 2，BD =2a (a-k )，故AC =a 2+k 2，即△CDA 的周长为2a (a+k ).又△BDE ∽△CDA ，即△BDE 的周长=∙CD BD △CDA 的周长=p a k a a ka k a a 44)(2)(2222==+∙--，故△BDE 的周长为定值.注：用巧设减轻计算量，以达事半功倍之效.练习题1：已知，如图，抛物线241x y ，过点A (0，1)作x 轴的平行线与此抛物线相交于点B ，点C 位于点O 与点B 之间的抛物线上，再过点C 作AB 的垂线CE ，垂足为点D .若∠E =∠CAB ，求△BDE 的周长.练习题2：2015年武汉市中考数学压轴题已知，抛物线y ＝12x 2＋c 与x 轴交于点A (－1，0)、点B ，交y 轴于点C ．(1)求抛物线的解析式；(2)点E (m ，n )是第二象限内一点，过点E 作EF ⊥x 轴交抛物线于点F ，过点F 作FG ⊥y 轴于点G ，连接CE ，CF ．若∠CEF ＝∠CFG ，求n 的值并直接写出m 的取值范围(利用图1完成你的探宄)；(3)如图2，点P 是线段OB 上一动点(不包括点O ，B )，PM ⊥x 轴交抛物线于点M ，∠OBQ ＝∠OMP ，BQ 交直线PM 于点Q ．设点P 的横坐标为t ，求△PBQ 的周长．。