704《数学分析》试题

1 测试题

第一章 实数集与函数

（A）

1．证明：n≥1时，有不等式

)1(21

)1(2nn

nnn.

然后利用它证明：当m≥2时，有

)21

)2(2

1m

nmm

n

.

2．设S是非空数集，试给出数的下界是S

，但不是S的下确界的正面陈述.

3．验证函数Rxxxxf,sin)(，即无上界又无下界.

4．设)(xf是定义在R上的奇函数，)(xg是定义在R上的偶函数，试问))(()),((xfgxgf是奇

函数还是偶函数？

5．证明：)0(sgn

2cotarctanxxxarcx

.

6．试问下列函数的图形关于哪一竖直轴线对称：

（1）cbxaxy2

；（2

）xbxay.

7．设A，B为R中的非空数集，且满足下述条件：

（1）对任何BbAa,

有ba；

（2）对任何0

，存在ByAx,，使得

xY.

证明：.infsupBA

（B）

1．设n为正整数.

（1）利用二项式展开定理证明：



























n

kk

rn

nr

kn

11

01

!1

11

1

，其中1

0

k

r是连乘记号.

（2）若1n

，证明：













n

kn

kn

13

!1

11

12

2

．设

为有理数rrrE,72



，求Esup

，Einf

3．设A，B为位于原点右方的非空数集，



ByAxxyAB,

2 证明： BAABinfinfinf

4．设函数

xf定义于

,0内，试把

xf延拓成R上的奇函数，

xf分别如下：

（1）

x

exf； （2）

xxfln

5．试给出函数

xfy，Dx不是单调函数的正面陈述。

6．证明：当1xy时，有不等式

xyyx

yx





1arctanarctanarctan

7．设A，B是非空数集，记BAS，证明：

（1）

BASsup,supmaxsup；

（2）

BASinf,infmininf

1 枣庄学院2004级数学与应用数学（本科）专业

“数学分析（一）”试题（A卷）

班级 姓名 成绩

一、填空（每小题2分，共20分）

1．Axfax)(lim的定义为

2．2231limxxx

3．xxxsinsinlim0

4．若1)(af，则xxafxafx)()(lim0

5．)(limxfx存在的柯西准则为

6．函数xe带拉格朗日型余项的麦克劳林展开式为

7．若)(xf在),(ba内向下凸且二次可导，则对),(bax有)(xf

8．曲线5412xxy的垂直渐近线为

9．若函数0,00,1sin)(xxxxxf在0x处可导，则

10．若点)3,1(为曲线2322bxaxy的拐点，则ba,的值为

二、判断（每小题2分，共10分）

1．若0)(limAxfax，则0)(xf （ ）

2．若nnalim存在，则数列}{na为有界数列 （ ）

3．若0x为函数)(xf的极值点，则0)(0xf （ ）

《数学分析》试卷 第1页 共2页 

 一、论述简答题（每小题5分，共20分）

1、论述一元函数的连续与一致连续之间的关系。 

2、论述一元函数在点

0x的极限、左极限、右极限之间的关系。 

3、论述一元定积分的几何意义。 

4、论述二元函数的连续、可偏导、可微之间的关系。 

二、填空题（每小题5分，共40分）

1、设函数2,1

()

,1xx

fx

axbx⎧≤

=⎨

+>⎩ 在1x=处可导，则常数a=_____ ，

b=_____ 2、极限

011

lim()

1xxxe→−=

−_________ 3、若lnx

x为()fx的一个原函数，则()xfxdx′=∫ 4、极限 22

22(,)(0,0)lim

11xyxy

xy→+

=

++−_____________ 5、定积分 1

012dx

x=

+∫

6、改变累次积分的次序:

222

0(,)y

ydyfxydx=∫∫__________________

7、设(,)

xfab′存在，则

0(,)(,)

lim

xfxabfaxb

x→+−−

=____________ 8、幂级数2

1(1)

4n

n

nx∞

=−∑的收敛域为___________

三、计算题（每小题9分，共72分） 1、计算极限 3

01

lim

ln(12)x

xxe

x→+−

+ 《数学分析》试卷 第2页 共2页 

 2、计算极限 2

0

30sin

limx

xtdt

x+→∫

3、计算极限 12(1)

lim(sinsinsin)

nn

nnnnπππ

→∞−

+++L.

4、设有参数函数sin

cos2xt

yt=⎧

⎨

=⎩，求2

2dy

dx 

5、设212

00()()2()fxxxfxdxfxdx=−+∫∫，求()fx. 

6、求椭圆22312xy+=的内接等腰三角形，其底边平行于椭圆的长轴，

而使面积最大． 7、计算曲线积分

22()()

Lxydxxydy

xy+−−

+∫，其中22:1Lxy+=（逆时针方

向）. 8、求幂级数

01n

nx

n∞

=+∑的和．

四、证明题（每小题9分，共18分）

2015年硕士研究生入学考试大纲

考试科目名称：数学分析

一、 考试要求：

1.极限与连续：

①. 掌握数列极限和函数极限的基本理论与性质，会用极限的定义与性质证明或计算一般极限方面的命题．

②. 掌握函数连续性定义与性质，会用函数连续性定义与性质证明相关的命题和结论．

③. 了解实数的基本定理，会用实数的基本定理证明相关的命题和结论．

2. 一元函数微积分及其应用：

①. 掌握一元函数微分学的基本理论与性质，会用导数的定义与性质讨论或

证明相关的命题和结论．掌握一元函数常见的求导方法，会求一元函数各阶导数．

②. 掌握导数与微分中值定理及其应用，会用微分中值定理证明相关的命题

和结论．会用导数与微分的基本性质讨论函数的单调性，凹凸性，极值．掌握罗比塔法则，会利用罗比塔法则计算或讨论相关的命题和结论．

③. 掌握原函数、不定积分、定积分的概念与性质，掌握常见的不定积分

与定积分计算方法，掌握变上限定积分定义的函数及其求导方法，掌握牛顿－莱布尼兹公式.

④. 会利用定积分表达或计算一些几何量与物理量，如平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及表面积、质心、变力做功、压力等．

3. 多元函数微积分学：

①.掌握多元函数的极限和连续的基本理论与性质，偏导数和全微分，链式法则，隐函数存在定理及隐函数求导法则，极值和条件极值．

②. 掌握二重积分、三重积分、曲线积分、曲面积分的概念与性质，掌握格林公式、高斯公式、斯托克司公式，会利用有关的性质与公式计算或证明相关的命题和结论．会利用重积分、曲线积分表达或计算一些几何量与物理量，空间曲线的弧长、立体的体积、质心、引力等．

4. 级数理论与广义积分：

①.掌握数项级数、函数项级数、幂级数、傅里叶级数的基本理论与性质，掌握函数项级数、幂级数、傅里叶级数的各种收敛理论与性质，会利用常见的判别方法判断各类级数的敛散性，会利用常见幂级数、傅里叶级数计算数项级数的和．