第11讲 指数与指数函数1．根式 (1)根式的概念①若 ，则x 叫做a 的n 次方根，其中n >1且n ∈N *.式子na 叫做根式，这里 叫做根指数， 叫做被开方数．②a 的n 次方根的表示：x n＝a ⇒⎩⎨⎧x ＝n a ，当n 为奇数且n ∈N *，n >1时，x ＝±n a ，当n 为偶数且n ∈N *时.(2)根式的性质①(na )n ＝a (n ∈N *，且n >1)． ②na n＝⎩⎨⎧a ，n 为奇数，|a |＝⎩⎨⎧a ，a ≥0，－a ，a <0，n 为偶数.2．有理数指数幂(1)幂的有关概念①正分数指数幂：a mn ＝na m (a >0，m ，n ∈N *，且n >1)； ②负分数指数幂：a －mn ＝1a m n＝1na m (a >0，m ，n ∈N *，且n >1)；③0的正分数指数幂等于 ，0的负分数指数幂 ． (2)有理数指数幂的运算性质 ①a r a s ＝a r ＋s (a >0，r ，s ∈Q )； ②a r a s ＝a r －s(a >0，r ，s ∈Q )； ③(a r )s ＝a rs (a >0，r ，s ∈Q )； ④(ab )r ＝a r b r (a >0，b >0，r ∈Q )． 3．指数函数的图象与性质 y ＝a x (a >0且 a ≠1)a >10<a <1图象定义域 值域性质过定点当x >0时，y >1； 当x <0时，0<y <1 当x >0时，0<y <1； 当x <0时，y >1 在R 上是增函数在R 上是减函数➢考点1 指数幂的运算[名师点睛]1．对于指数幂的运算，首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：(1)必须是同底数幂相乘，指数才能相加； (2)运算的先后顺序．2．当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数．3．运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数． 1．（2022·全国·高三专题练习）（1）计算120.75013110.027()81()369-----++-；（2）若11226x x -+22x x -+的值．2．（2022·全国·高三专题练习）化简下列各式(其中各字母均为正数)．（1）()211302270.00210528π---⎛⎫-+-+ ⎪⎝⎭； （2323211113342a b ab a b a b -⎛⎫ ⎪⎝⎭（3）22.53105330.06438π-⎡⎤⎛⎫⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦； （4）12112133265a b a b a b ---⎛⎫⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭⋅.[举一反三]1．（2022·全国·高三专题练习）计算：100.256361.5()87-⨯-+2．（2022·全国·高三专题练习）（1）计算：1111200.253473(0.0081)3()81(3)88------⨯⨯⎡⎤⎡⎤⎢⎣+⎥⎢⎥⎣⎦⎦；（2211113322a b ---3．（2022·全国·高三专题练习）已知11223a a -+=，求下列各式的值．（1）11a a -+；（2）22a a -+；（3）22111a a a a --++++.4．（2022·全国·高三专题练习）已知11223x x -+=，求22332223x x x x--+-+-的值．5．（2022·全国·高三专题练习）分别计算下列数值： （1）()110340.06416π----+ （2）已知16x x -+=，()01x <<，求221122x x x x---+.6．（2022·全国·高三专题练习）化简： （1）126016(2018)449-⎛⎫+--⨯ ⎪⎝⎭（2111332ab a b -⎫⎪⎭a >0，b >0). （3）312211122211111a a aa a a a a -+--++++-.➢考点2 指数函数的图象及应用[名师点睛]1．对于有关指数型函数的图像问题，一般是从最基本的指数函数的图像入手，通过平移、伸缩、对称变换得到．特别地，当底数a 与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．2．有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图像，数形结合求解． [典例]1．（2022·浙江·宁波诺丁汉附中模拟预测）函数()x x kf x a-=（0a >且1a ≠）的图象如图所示，则（ ）A ．1,1k a >>B ．1,1k a ><C ．01,1k a <<<D ．01,1k a <<>2．（2022·北京·高三专题练习）若函数()11x f x a -=-（0a >且1a ≠）的图像经过定点P ，则点P 的坐标是（ ） A ．(1,1)- B ．(1,0) C ．(0,0) D ．(0,1)-[举一反三]1．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()25x f x a -=-（0a >且1a ≠）的图象过定点(),m n ，则不等式210x mx n +++<的解集为（ ） A ．()1,3B ．()3,1--C ．()(),31,-∞-⋃+∞D ．()3,1-2．（多选）（2022·全国·高三专题练习）已知函数()()()f x x a x b =--的图象如图所示，则()x g x a b =-的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．➢考点3 指数函数的性质及其应用[名师点睛]1．比较指数式的大小的方法：(1)能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小；(2)不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小．2．指数方程(不等式)的求解主要利用指数函数的单调性进行转化．3．涉及指数函数的综合问题，首先要掌握指数函数的相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断． 1．（2022·天津河西·一模）设0.3log 0.2a =，0.30.2b =，log b c a =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）． A ．a b c << B ．b a c << C ．c a b <<D ．c b a <<2．（多选）（2022·全国·高三专题练习）若指数函数x y a =在区间[1,1]-上的最大值和最小值的和为103，则a 的值可能是（ ） A ．12B ．13C ．3D ．23．（2022·辽宁·建平县实验中学模拟预测）已知函数()221010,231,2x x x f x x x --⎧-≤⎪=⎨-->⎪⎩，则不等式()()10f x f x +-<的解集为___________.4．（2022·北京·高三专题练习）设()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x ≤时，()2xf x -=，若对任意的[],1x m m ∈+，不等式()()2f x f x m -≥恒成立，则正数m 的取值范围为（ ）A ．m 1≥B ．1mC ．01m <<D ．01m <≤5．（2022·重庆市朝阳中学高三开学考试）已知函数4()2x x ag x -=是奇函数，()()lg 101x f x bx =++是偶函数.（1）求a 和b 的值； （2）设1()()2h x f x x =+，若存在[0,1]x ∈，使不等式()[lg(109)]g x h m >+成立，求实数m 的取值范围.[举一反三]1．（2022·天津·一模）设3ln 2a =，0.80.5b =，0.50.8-=c ，则,,a b c 的大小关系为（ ）A ．c b a <<B ．b a c <<C ．a b c <<D ．c a b <<2．（2022·山西吕梁·二模）已知343344333,,444⎛⎫ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭a b c ，则（ ）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．c b a <<3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数212,022()3,02x a a a x x f x a x +⎧-+-≥⎪⎪=⎨⎪<⎪⎩在()000x x >处取得最小值，且()03-<f x a ，则实数a 的取值范围（ ） A ．[2,3)B ．[1,3)C ．[1,2)D ．(1,3)4．（2022·上海市进才中学高三期中）设函数()2xf x =，若存在[]0,4x ∈使不等式()()22f a x f x +-≥成立，则实数a 的取值范围为______.5．（2022·全国·高三专题练习）设函数()322x x f x x -=-+，则使得不等式()()2130f x f -+<成立的实数x 的取值范围是________6．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()936=-⋅++x x f x m m ，若方程()()0f x f x 有解，则实数m 的取值范围是_________．7．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()x x f x a ka -=+（0a >且1a ≠）是定义在R 上的偶函数，且17(1)4f =. （1）求()f x 的解析式；（2）若函数()()22xxmg x f x m =-⋅+在[0,)+∞上的最小值是1，求m 的值.8．（2022·全国·高三专题练习）已知函数4()1(0,1)2x f x a a a a=->≠+且(0)0f =．（1）求a 的值；（2）若函数()(21)()x g x f x k =++有零点，求实数k 的取值范围． （3）当(0,1)x ∈时，()22x f x m >-恒成立，求实数m 的取值范围．9．（2022·北京·高三专题练习）定义在D 上的函数()f x ，如果满足:对任意,x D ∈存在常数0,M >都有()M f x M -≤≤成立，则称()f x 是D 上的有界函数，其中M 称为函数()f x 的上界.已知()422x xf x a =+⋅-.（1）当2a =-时，求函数()f x 在()0,∞+上的值域，并判断函数()f x 在()0,∞+上是否为有界函数﹐请说明理由﹔ （2）若函数()f x 在(),0-∞上是以2为上界的有界函数，求实数a 的取值范围第12讲 指数与指数函数1．根式 (1)根式的概念①若x n ＝a ，则x 叫做a 的n 次方根，其中n >1且n ∈N *.式子na 叫做根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数．②a 的n 次方根的表示：x n＝a ⇒⎩⎨⎧x ＝n a ，当n 为奇数且n ∈N *，n >1时，x ＝±n a ，当n 为偶数且n ∈N *时.(2)根式的性质①(na )n ＝a (n ∈N *，且n >1)． ②na n＝⎩⎨⎧a ，n 为奇数，|a |＝⎩⎨⎧a ，a ≥0，－a ，a <0，n 为偶数.2．有理数指数幂(1)幂的有关概念①正分数指数幂：a mn ＝na m (a >0，m ，n ∈N *，且n >1)； ②负分数指数幂：a －mn ＝1a m n＝1na m (a >0，m ，n ∈N *，且n >1)；③0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义． (2)有理数指数幂的运算性质 ①a r a s ＝a r ＋s (a >0，r ，s ∈Q )； ②a r a s ＝a r －s(a >0，r ，s ∈Q )； ③(a r )s ＝a rs (a >0，r ，s ∈Q )； ④(ab )r ＝a r b r (a >0，b >0，r ∈Q )． 3．指数函数的图象与性质 y ＝a x (a >0且 a ≠1)a >10<a <1图象定义域 R 值域(0，＋∞) 性质过定点(0，1)当x >0时，y >1； 当x <0时，0<y <1 当x >0时，0<y <1； 当x <0时，y >1 在R 上是增函数在R 上是减函数➢考点1 指数幂的运算[名师点睛]1．对于指数幂的运算，首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：(1)必须是同底数幂相乘，指数才能相加； (2)运算的先后顺序．2．当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数．3．运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数． 1．（2022·全国·高三专题练习）（1）计算120.75013110.027()81()369-----++-；（2）若11226x x -+22x x -+的值． 【解】（1）120.75013110.027()81()369-----++-=0.3﹣1﹣36+33+111033-=-36+27+113-=-5．（2）若11226x x -+∴x 1x ++2＝6，x 1x+=4，∴x 2+x ﹣2+2＝16，∴x 2+x ﹣2＝14．2．（2022·全国·高三专题练习）化简下列各式(其中各字母均为正数)．（1）()211302270.00210528π---⎛⎫-+-+ ⎪⎝⎭； （2323211113342a b ab a b a b -⎛⎫ ⎪⎝⎭（3）22.53105330.06438π-⎡⎤⎛⎫⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦； （4）12112133265a b a b a b ---⎛⎫⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭⋅. 【解】（1）原式()()21210523500125252-⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭-+416710*********=++=-；（2）原式11223233311111122633311233a b a b a a b b ab a b +-++---⎛⎫ ⎪⎝⎭===； （3）原式253112536427110008-⎧⎫⎡⎤⎪⎪⎪⎪⎛⎫⎛⎫⎢⎥=--⎨⎬ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎣⎦⎪⎪⎩⎭1521335233435311010222⎛⎫⨯-⨯ ⎪⎝⎭⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--=--=⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦；（4）原式111111111533223262361566a b a baba b-----+-⋅==⋅1a=. [举一反三]1．（2022·全国·高三专题练习）计算：100.256361.5()87-⨯-+【解】100.256361.5()87-⨯-+1111323334432()1(2)223()23-=⨯+⨯+⨯-， 113322()2427()33=++⨯-， 110=.2．（2022·全国·高三专题练习）（1）计算：1111200.253473(0.0081)3()81(3)88------⨯⨯⎡⎤⎡⎤⎢⎣+⎥⎢⎥⎣⎦⎦；（2211113322a b ---【解】（1）原式111123()4()4(0.25)34231310112101()[3()]31032333333-⨯-⨯--⨯-⎛⎫=-⨯+=-⨯+=-= ⎪⎝⎭； （2）原式11111111153322132623615661a b aba ba aa b-----+--⋅⋅==⋅==⋅. 3．（2022·全国·高三专题练习）已知11223a a -+=，求下列各式的值．（1）11a a -+；（2）22a a -+；（3）22111a a a a --++++. 【解】（1）将11223a a -+=两边平方得1129a a -++=，所以117a a -+=．（2）将117a a -+=两边平方得22249a a -++=，所以2247a a -+=． （3）由（1）（2）可得22114716.171a a a a --+++==+++ 4．（2022·全国·高三专题练习）已知11223x x -+=，求22332223x x x x--+-+-的值．【解】设12x t =，则121x t-=，所以13t t +=，于是，333222321111x xt t t t t t -⎛⎫⎛⎫+=+=++- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，而2224242112x x t t t t -⎛⎫+=+=+- ⎪⎝⎭，将13t t+=平方得22129t t ++=，于是2217t t +=，所以原式()2222221272471137131513t t t t t t ⎛⎫+- ⎪-⎝⎭===--⎛⎫⎛⎫++-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 5．（2022·全国·高三专题练习）分别计算下列数值： （1）()110340.06416π----+ （2）已知16x x -+=，()01x <<，求221122x x x x---+.【解】（1）原式()()()11034340.423ππ--=--++-，()110.4123π--=-++-， 1π=-，（2）∵()()()221116x x x xx x x x -----=+-=-， ∴()()2211432,x x x x ---=+-=∵01x <<， ∴1x x --=-∴()2216x x x x ---=-=-又∵21112228x x x x --⎛⎫+=++= ⎪⎝⎭，∵01x <<，∴1122x x -+= ∴221122x x x x---+=12-.6．（2022·全国·高三专题练习）化简： （1）126016(2018)449-⎛⎫+--⨯ ⎪⎝⎭（2111332ab a b -⎫⎪⎭a >0，b >0). （3）312211122211111a a aa a a a a -+--++++-.【解】（1）原式6614342717399πππ=⨯+--=⨯+-+-=+ （2）原式＝11121082232333354331127272333333a b a b a b a b a b ab a b a b a b -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭===.（3）原式1122313122221211111a a a a a a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫-⋅++ ⎪ ⎪-+--+-+⎝⎭⎝⎭=--++1122111a a a a -=--=-.➢考点2 指数函数的图象及应用1．（2022·浙江·宁波诺丁汉附中模拟预测）函数()x x kf x a-=（0a >且1a ≠）的图象如图所示，则（ ）A ．1,1k a >>B ．1,1k a ><C ．01,1k a <<<D ．01,1k a <<>【答案】D 【解析】因为(0)f k =-，由图得10k -<-<， 所以01k <<，所以排除AB ，因为由图象可知当x →+∞时，()0f x →， 所以1a >，所以排除C ， 故选：D2．（2022·北京·高三专题练习）若函数()11x f x a -=-（0a >且1a ≠）的图像经过定点P ，则点P 的坐标是（ ） A ．(1,1)- B ．(1,0) C ．(0,0) D ．(0,1)-【答案】B 【解析】因为01a =，所以当10x -=，即1x =时，函数值为定值0，所以点P 坐标为(1,0).另解：因为()11x f x a -=-可以由x y a =向右平移一个单位长度后，再向下平移1个单位长度得到，由x y a =过定点(0,1)，所以()11x f x a -=-过定点(1,0).故选：B[举一反三]1．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()25x f x a -=-（0a >且1a ≠）的图象过定点(),m n ，则不等式210x mx n +++<的解集为（ ） A ．()1,3 B ．()3,1-- C ．()(),31,-∞-⋃+∞ D ．()3,1-【答案】D 【解析】当2x =时，()220255154f aa -=-=-=-=-，故2,4m n ==-，所以不等式为2230x x +-<，解得31x -<<，所以不等式的解集为()3,1-. 故选：D2．（多选）（2022·全国·高三专题练习）已知函数()()()f x x a x b =--的图象如图所示，则()x g x a b =-的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】AC【解析】解：令()()()0f x x a x b =--=，解得1x a =、2x b =，根据二次函数图形可知，a 、b 两个数一个大于1，一个大于0且小于1，①当1a >，01b <<时，则()x g x a b =-在定义域上单调递增，且()001g a b b =-=-，即()001g <<，所以满足条件的函数图形为C ；②当1b >，01a <<时，则()x g x a b =-在定义域上单调递减，且()0010g a b b =-=-<，所以满足条件的函数图形为A ； 故选：AC➢考点3 指数函数的性质及其应用1．（2022·天津河西·一模）设0.3log 0.2a =，0.30.2b =，log b c a =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）． A ．a b c << B ．b a c << C ．c a b << D ．c b a <<【答案】D【解析】由指数函数的性质，可得...030002021<<=，所以01b <<， 根据对数的运算性质，可得0.30.3log 0.2log 0.31a =>=，所以1a >， 由01b <<，1a >，所以log log 10b b c a =<=，即0c <， 所以c b a <<. 故选：D2．（多选）（2022·全国·高三专题练习）若指数函数x y a =在区间[1,1]-上的最大值和最小值的和为103，则a 的值可能是（ ）A ．12B ．13C ．3D ．2【答案】BC【解析】当1a >时，函数x y a =在区间[1,1]-上为单调递增函数，当1x =时，max y a =，当1x =-时，1min y a -=，所以1103a a -+=，即231030a a -+=，解得3a =或13a =， 因为1a >，所以3a =；当01a <<时，函数x y a =在区间[1,1]-上为单调递减函数，当1x =时，min y a =，当1x =-时，1max y a -=，所以1103a a -+=，即231030a a -+=，解得3a =或13a =， 因为01a <<，所以13a =.综上可得，实数a 的值为3或13.故选：BC3．（2022·辽宁·建平县实验中学模拟预测）已知函数()221010,231,2x x x f x x x --⎧-≤⎪=⎨-->⎪⎩，则不等式()()10f x f x +-<的解集为___________.【答案】9,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【解析】①当2x ≤时，11x -≤，()221010x x f x --=-在(],2-∞上单调递增，()()20f x f ∴≤=，又()()()1120f x f f -≤<=， ()()10f x f x ∴+-<恒成立；②当23x <≤时，112x <-≤，()3120f x x x =--=-<， 又()()120f x f -≤=，()()10f x f x ∴+-<恒成立；③当34x <≤时，213x <-≤，()314f x x x =--=-，()1413f x x x -=--=-；()()110f x f x ∴+-=-<恒成立；④当4x >时，13x ->，()314f x x x =--=-，()1415f x x x -=--=-，()()1290f x f x x ∴+-=-<，解得：92x <，942x ∴<<； 综上所述：不等式()()10f x f x +-<的解集为9,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭.故答案为：9,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭.4．（2022·北京·高三专题练习）设()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x ≤时，()2xf x -=，若对任意的[],1x m m ∈+，不等式()()2f x f x m -≥恒成立，则正数m 的取值范围为（ ）A ．m 1≥B ．1mC ．01m <<D ．01m <≤【答案】A【解析】因为函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x ≤时，()2xf x -=，则当0x ≥时，0x -≤，()()2xf x f x =-=，故对任意的R x ∈，()2x f x =， 对任意的[],1x m m ∈+，不等式()()2f x f x m -≥恒成立，即222x x m -≥，即2x x m ≥-对任意的[],1x m m ∈+恒成立，且m 为正数，则()2x x m ≥-，可得2x m ≤，所以，12m m +≤，可得m 1≥. 故选：A.5．（2022·重庆市朝阳中学高三开学考试）已知函数4()2x x ag x -=是奇函数，()()lg 101x f x bx =++是偶函数.（1）求a 和b 的值； （2）设1()()2h x f x x =+，若存在[0,1]x ∈，使不等式()[lg(109)]g x h m >+成立，求实数m 的取值范围.【解】解：（1）因为函数4()2x x ag x -=是奇函数，所以(0)0g =得1a =，则41()2x x g x -=，经检验()g x 是奇函数.又()()lg 101xf x bx =++是偶函数，所以(1)(1)f f -=得12b =-，则()1()lg 1012xf x x =+-，经检验()f x 是偶函数，∴112a b ==-，.（2）()()lg 101x h x =+，lg(109)(lg(109))lg[101lg(1010)m h m m +⎤+=+=+⎦，则由已知得，存在(]0,1x ∈，使不等式lg(1010)()m g x >+成立，因为411()222x x x x g x -==-，易知()g x 单调递增，∴max 3()(1)2g x g ==，∴323lg(1010)lg102m +<==∴1010m +<所以1m <，又109010100m m +>⎧⎨+>⎩，解得910m >-，所以9110m -<<.[举一反三]1．（2022·天津·一模）设3ln 2a =，0.80.5b =，0.50.8-=c ，则,,a b c 的大小关系为（ ）A ．c b a <<B ．b a c <<C ．a b c <<D ．c a b <<【答案】C 【解析】3ln ln e 12<=，0.800.50.51<=，0.500.80.81->=，c a ∴>，c b >；31ln22==，0.8110.50.52>=，b a ∴>；a b c ∴<<.故选：C.2．（2022·山西吕梁·二模）已知343344333,,444⎛⎫ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭a b c ，则（ ）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．c b a <<【答案】B【解析】因为函数34xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭单调递减，故3143344⎛⎫⎛⎫=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭a b . 因为3433344433334444⎛⎫ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫<⇒> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以c b <.又34331443331444⎛⎫ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫<⇒< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以a c <.综上a c b <<， 故选B.3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数212,022()3,02x a a a x x f x a x +⎧-+-≥⎪⎪=⎨⎪<⎪⎩在()000x x >处取得最小值，且()03-<f x a ，则实数a 的取值范围（ ） A ．[2,3) B ．[1,3) C ．[1,2) D ．(1,3)【答案】C【解析】由函数()f x 在0(0,)x ∈+∞处取得最小值得()()0f x f x ≥，则0a >且002x a=> 当0x <时1233()2x a a f x +=>，又()20222a a f x f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，所以203222a a a >⎧⎪⎨-≤⎪⎩，得1a ≥．又()03-<f x a ，所以32af a ⎛⎫-< ⎪⎝⎭，即12332a a a -+<，整理得1221a -+>，102a -+>，解得2a <． 综上，12a ≤<. 故选：C ．4．（2022·上海市进才中学高三期中）设函数()2xf x =，若存在[]0,4x ∈使不等式()()22f a x f x +-≥成立，则实数a 的取值范围为______.【答案】3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】解：由()()22f a x f x +-≥，得2222a x x +-≥，两边同除2x ， 即2222a x x -≥+⨯，又222x x -+⨯≥222x x -=⨯， 即12x =[]0,4∈时取等号,所以3222a ≥=，所以32a ≥.故答案为：3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭5．（2022·全国·高三专题练习）设函数()322x x f x x -=-+，则使得不等式()()2130f x f -+<成立的实数x 的取值范围是________ 【答案】(),1-∞-【解析】函数的定义域为R ，()()322x x f x x f x --=--=-，所以函数()f x 是奇函数，并由解析式可知函数()f x 是增函数，原不等式可化为()()213f x f -<-，所以213x -<-，解得1x <-，故x 的取值范围是(),1-∞-． 故答案为：(),1-∞-6．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()936=-⋅++x x f x m m ，若方程()()0f x f x 有解，则实数m 的取值范围是_________．【答案】4,)+∞【解析】由题意得：99(33)2120x x x x m m --+-+++=有解 令233(2),992x x x x t t t --+=≥+=-则22100t mt m ∴-++=有解，即2(2)10m t t -=+有解，显然2t =无意义2,2(0)t t y y ∴>-=>令2(2)101444y m y y y ++∴==++≥,当且仅当14y y =，即y4,)m ∴∈+∞故答案为：)4,∞⎡+⎣.7．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()x xf x a ka -=+（0a >且1a ≠）是定义在R 上的偶函数，且17(1)4f =. （1）求()f x 的解析式；（2）若函数()()22xxmg x f x m =-⋅+在[0,)+∞上的最小值是1，求m 的值. 【解】（1）因为函数()f x 是定义在R 上的偶函数， 所以()()x x x x f x a ka f x a ka ---=+==+，整理得()()10x xk a a ---=，所以1k =，又因为17(1)4f =，可得117(1)4f a a =+=，所以4a =或14a =， 所以()44x xf x -=+.（2）由（1）可知()4422x x xm g x m x-=+-⋅+211(2)(2)222x x x xm =---+ 令122xx u =-，则2()2h u u mu =-+. 因为函数122xxu =-在[0,)+∞上是增函数，所以0u ≥， 因为函数()()2[0,)2xxmg x f x m =-⋅++∞上的最小值是1， 所以函数()h u 在[0,)+∞上的最小值是1. 当0m ≥时，2min()()2124m m h u h ==-+=，解得2m =或2m =-（舍去）；当0m <时，min ()(0)21h u h ==≠，不合题意，舍去. 综上，2m =.8．（2022·全国·高三专题练习）已知函数4()1(0,1)2x f x a a a a=->≠+且(0)0f =．（1）求a 的值；（2）若函数()(21)()x g x f x k =++有零点，求实数k 的取值范围． （3）当(0,1)x ∈时，()22x f x m >-恒成立，求实数m 的取值范围． 【解】解：（1）对于函数4()1(0,1)2x f x a a a a=->≠+，由4(0)102f a =-=+， 解得2a =，故42()1122221xxf x =-=-++． （2）若函数()(21)()21221x x x g x f x k k k =++=+-+=-+ 有零点， 则函数2x y =的图象和直线1y k =-有交点，10k ∴->，解得1k <． （3）当(0,1)x ∈时，()22x f x m >-恒成立，即212221x xm ->-+恒成立． 令2x t =，则(1,2)t ∈，且323112(1)(1)1t m t t t t t t t +<-==++++．由于121t t ++ 在(1,2)上单调递减，∴1212712216t t +>+=++，76m ∴．即7,6m ⎛⎤∈-∞ ⎥⎝⎦ 9．（2022·北京·高三专题练习）定义在D 上的函数()f x ，如果满足:对任意,x D ∈存在常数0,M >都有()M f x M -≤≤成立，则称()f x 是D 上的有界函数，其中M 称为函数()f x 的上界.已知()422x xf x a =+⋅-.（1）当2a =-时，求函数()f x 在()0,∞+上的值域，并判断函数()f x 在()0,∞+上是否为有界函数﹐请说明理由﹔（2）若函数()f x 在(),0-∞上是以2为上界的有界函数，求实数a 的取值范围.【解】（1）当2a =-时，()24222(213)x x x f x =-⨯-=--，令2,x t =由(0,)x ∈+∞， 可得(1,)t ∈+∞，令()2)1(3g t t =--，有()3g t >-，可得函数()f x 的值域为(3,)-+∞ 故函数()f x 在(),0-∞上不是有界函数;（2）由题意有，当(),0x ∈-∞时，24222,x x a -≤+⋅-≤ 可化为0424x x a ≤+⋅≤ 必有20x a +≥且422x x a ≤-， 令2x k =，由(),0x ∈-∞，可得()0,1k ∈， 由20x a +≥恒成立，可得0a ≥， 令()()401h t t t t=-<<， 可知函数()h t 为减函数，有()413h t >-=， 由422x x a ≤-恒成立， 可得3,a ≤故若函数()f x 在(,0)-∞上是以2为上界的有界函数， 则实数a 的取值范围为[]0,3。
第11讲 函数复习专题2.函数图象与零点（教师）一、教学目标：1.会运用函数图象理解和研究函数的性质．2.结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的关系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数．3．根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解二、重点难点：1.函数图像及运用2.函数零点与方程关系三、教学方法：“一学二记三应用” 四、知识梳理：（１）描点法作函数图象，应注意在定义域内依据函数的性质，选取关键的一部分点连接而成.（２）图象变换法，包括有平移变换、伸缩变换、对称翻折变换.的图像的画法：先画时，再将其关于对称，得轴左侧的图像. 的图像画法：先画的图象，然后位于轴上方的图象不变，位于轴下方的图象关于 轴翻折上去. 的图象关于对称；的图象关于点对称.的图象关于轴对称的函数图象解析式为；关于轴对称的函数解析式为；关于原点对称的函数解析式为.(3)熟记基本初等函数的图象，以及形如的图象五．课前评估：1．[2022·重庆六校联考]函数f (x )＝sin πxx2的大致图象为( )0(0(()()a a a a f x f x a ><−−−−−−−→+向左平移个单位）向右平移个单位）0(0(()()+k k k f x f x k ><−−−−−−−→向上平移k 个单位）向下平移个单位）11(101(()()(0,1)f x f x w ωωωωωω><<−−−−−−−−−−−−−−−−→>≠图像上所有点的纵坐标不会，横坐标缩短为原来的）图像上所有点的纵坐标不会，横坐标伸长为原来的）1(01(()()(0,1)A A A f x Af x A A ><<−−−−−−−−−−−−−−−−→>≠图像上所有点的横坐标不会，纵坐标伸长为原来的）图像上所有点的横坐标不会，纵坐标缩短为原来的A ）()f x 0x ≥()y f x =y y ()f x()y f x =x x x ()()f a x f a x +=-()y f x =x =a ()()f a x f a x +=--()y f x =(a,0）()y f x =x (y f x =-）y (-y f x =）-(-y f x =）1y x x=+xyf x () = x +1x–1–2–3–41234–1–2–3–41234O答案：D 解析：易知函数f (x )＝sinπxx 2为奇函数且定义域为{x |x ≠0}，只有选项D 满足， 2．[2022·福州质检]若函数f (x )的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y ＝e x 关于y 轴对称，则f (x )的解析式为( )A ．f (x )＝e x ＋1B ．f (x )＝e x －1C ．f (x )＝e －x ＋1D ．f (x )＝e －x －1答案：D 解析：与y ＝e x 的图象关于y 轴对称的图象对应的函数为y ＝e －x .依题意，f (x )的图象向右平移1个单位长度，得y ＝e －x 的图象，∴f (x )的图象是由y ＝e －x 的图象向左平移1个单位长度得到的，∴f (x )＝e －(x ＋1)＝e －x －1.3．[2022·全国卷Ⅱ]函数f (x )＝e x －e －xx 2的图象大致为( )A BCD答案：B 解析：∵ y ＝e x －e －x是奇函数，y ＝x 2是偶函数，∴ f (x )＝e x －e －xx 2是奇函数，图象关于原点对称，排除A 选项．当x ＝1时，f (1)＝e －e －11＝e －1e>0，排除D 选项．又e>2，∴ 1e <12，∴ e －1e>1，排除C 选项．故选B.题型一 识图与辨图例1（1）（2022年高考浙江卷）在同一直角坐标系中，函数y =1x a ，y =log a (x +12)(a >0，且a ≠1)的图象可能是答：D（2）在同一直角坐标系中，函数()2f x ax =-， ()()log 2a g x x =+（0a >，且1a ≠）的图象大致为（ ）A. B. C. D.（3）（2022年高考全国3卷）函数3222x xxy -=+在[]6,6-的图像大致为 A ． B ．C ．D ．答：B（4）（2022年高考全国1卷）函数f (x )=在[,]-ππ的图像大致为A ．B ．C ．D ．答：D课堂练习1：（1）（内江市高中2022届第一次模拟考试题）函数()()21=ln 2x f x x e -+-的图象大致是（ ）2sin cos ++x xx xA. B C. D.答：C （2）．（2022届吉林省五地六校联考高三考前适应卷）已知函数()(22)ln ||x x f x x -=+的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【详解】()f x 定义域为{}0x x ≠，()()()()22ln 22ln x x x x f x x x f x ---=+-=+=()f x ∴为偶函数，关于y 轴对称，排除D ；当()0,1x ∈时，220x x -+>，ln 0x <，可知()0f x <，排除,A C .题型二 图象初等变换例2 （1）（江西省红色七校2022届高三第一次联考理科数学科试题）设，则函数的图象的大致形状是（ ）答：B（2）已知图①中的图象对应的函数为y ＝f (x )，则在下列给出的四个选项中，图②中的图象对应的函数只可能是( )A ．y ＝f (|x |)B ．y ＝|f (x )|C ．y ＝f (－|x |)D ．y ＝－f (|x |)答案：C 解析：由图②知，图象关于y 轴对称，对应的函数是偶函数．对于A ，当x >00a >()y x x a =-时，y＝f(|x|)＝f(x)，其图象在y轴右侧与图①的相同，不符合，故错误；对于B，当x>0时，对应的函数是y＝f(x)，显然B错误；对于D，当x<0时，y＝－f(－x)，其图象在y轴左侧与图①的不相同，不符合，故错误；所以C选项是正确的．（3）已知函数，则函数的大致图象是（）A. B. C. D.解析】，函数在处图象有跳跃点，选项AC错误；当（4）．若函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝－f(x＋1)的图象大致为()答案：C解析：要想由y＝f(x)的图象得到y＝－f(x＋1)的图象，需要先将y＝f(x)的图象关于x轴对称得到y＝－f(x)的图象，然后向左平移1个单位长度得到y＝－f(x＋1)的图象，根据上述步骤可知C正确．（5）[2022·咸宁模拟]已知a>0，且a≠1，函数y＝a x与y＝log a(－x)的图象可能是图中的()答案：B解析：通解因为y＝a x与y＝log a x互为反函数，而y＝log a x与y＝log a(－x)的图象关于y轴对称，根据图象特征可知选B.优解首先，曲线y＝a x只可能在x轴上方，曲线y＝log a(－x)只可能在y轴左边，从而排除A，C；其次，y＝a x与y＝log a(－x)的增减性正好相反，排除D，选B.（6）（提高）函数的部分图象大致为（）A. B. C. D.【解析】分析：分析函数的奇偶性，以及是函数值的符号，利用排除法即可得到答案.解：由题意，函数满足，所以函数为奇函数，图象关于轴对称，排除B 、D ；又由当时，函数，排除C ，故选A.[规律方法] 识图常用方法：(1)定性分析法：通过对问题进行定性的分析，从而得出图像的上升(或下降)的趋势，利用这一特征分析解决问题；(2)定量计算法：通过定量的计算来分析解决问题；(3)函数模型法：由所提供的图像特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题． 课堂练习2.（1）.函数的图象大致为( )A. B. C. D. 【解析】根据函数表达式得到,故函数是奇函数，排除D 选项，当x 趋向于正无穷时，函数值趋向于0，并且大于0，排除B ；当x 从左侧趋向于1时，函数值趋向于负无穷，故排除 C.故答案为:A. （2） 函数的图象可能是（ ）A. B. C. D. 【解析】试题分析：化简函数的解析式，判断函数的对称性，利用函数的值判断即可． 详解：函数f （x ）==，可知函数的图象关于（2，0）对称，排除A ，B ．当x ＜0时，ln （x ﹣2）2＞0，（x ﹣2）3＜0，函数的图象在x 轴下方，排除D ，故选：C ．题型三 零点判断与运用例3 （1）[2022·南昌调研]函数f (x )＝2x ＋ln 1的零点所在的大致区间是( ) A ．(1,2) B ．(2,3) C ．(3,4) D ．(4,5)答案：B 解析：易知f (x )＝2x ＋ln 1x －1＝2x－ln(x －1)在(1，＋∞)上单调递减且连续，当1<x <2时，ln(x －1)<0，2x>0，所以f (x )>0，故函数f (x )在(1,2)上没有零点．f (2)＝1－ln1＝1，f (3)＝23－ln2＝2－3ln23＝2－ln83，8＝22≈2.828>e ，所以8>e 2，即ln8>2，所以f (3)<0.所以f (x )的零点所在的大致区间是(2,3)，故选B.（2）．[2022·山东枣庄模拟]函数f (x )＝x 12－⎝⎛⎭⎫12x的零点个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3 答案：B解析：在同一直角坐标系中作出函数y ＝x 12与y ＝⎝⎛⎭⎫12x的图象，如图所示．由图知，两个函数图象只有一个交点，所以函数f (x )的零点只有1个．故选B. a c 若()2019()()f x x a x b =---的零点为c ，d ，则下列不等式正确的是（ ） A ． a c b d >>> B ．a b c d >>> C.c d a b >>> D ．c a b d >>>答：由()2019()()f x x a x b =---，又()()2019f a f b ==，c ，d ，为函数()f x 的零点，且a b >，c d >，所以可在平面直角坐标系中作出函数()f x 的大致图像，如图所示，由图可知c a b d >>>，故选D.（4） [2022·河南省实验中学模拟]已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，log 2x ，x >0，则函数y ＝f (f (x ))－1的图象与x 轴的交点个数为( )A ．3 B ．2 C ．0 D ．4答案： A 解析：y ＝f (f (x ))－1＝0，即f (f (x ))＝1.当f (x )≤0时，得f (x )＋1＝1，f (x )＝0. 所以log 2x ＝0，得x ＝1；由x ＋1＝0，得x ＝－1.当f (x )>0时，得log 2f (x )＝1， 所以f (x )＝2.由x ＋1＝2，得x ＝1(舍去)；由log 2x ＝2，得x ＝4. 综上所述，函数y ＝f (f (x ))－1的图象与x 轴的交点个数为3.故选A. （5） （提高）已知函数,则函数的零点个数是( ）A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 【解析】分析：令 函数的零点个数问题的根的个数问题．结合图象可得的根，方程有1解，有3解，有3解.从而得到函数的零点个数详解：令函数的零点个数问题的根的个数问题．即 的图象如图，结合图象可得的根方程 有1解，有3解，有3解.综上，函数的零点个数是7．故选A.（6）（提高） 定义在实数集上的函数满足，当时，，则函数的零点个数为__________．【解析】分析：先根据函数的奇偶性与周期性画出函数的图象，以及的图象，根据的图象在上单调递增函数，当时，，当时，的图象与函数无交点，结合图象可知有个交点.详解：定义在上的函数，满足，上的偶函数，因为满足，函数为周期为的周期函数，且为上的偶函数，因为时，，所以，在上递增，且值域为，根据周期性及奇偶性画出函数的图象和的图象，如图，根据的图象在上单调递增函数，当时，，当时，的图象与函数无交点，结合图象可知有个交点，故答案为.课堂练习3：(1)已知函数f (x )＝1x －a为奇函数，g (x )＝ln x －2f (x )，则函数g (x )的零点所在区间为( ) A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3) D ．(3,4)解：由函数f (x )＝1x －a为奇函数，可得a ＝0，则g (x )＝ln x －2f (x )＝ln x －2x ，所以g (2)＝ln2－1<0，g (3)＝ln3－23>0，所以g (2)·g (3)<0，可知函数的零点在(2,3)之间。
银川市高考数学一轮专题：第11讲函数与方程（II）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2017高一上·南开期末) 函数f（x）=log2x+x﹣4的零点在区间为（）A . （0，1）B . （1，2）C . （2，3）D . （3，4）2. （2分）(2016·天津文) 已知函数f（x）=sin2 + sinωx﹣（ω＞0），x∈R，若f（x）在区间（π，2π）内没有零点，则ω的取值范围是（）A . （0， ]B . （0，]∪[ ，1）C . （0， ]D . （0，]∪[ ， ]3. （2分）函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是（）A .B .C .D .4. （2分）若函数的零点与的零点之差的绝对值不超过，则可以是（）A . =4x－1B . =C . =D .5. （2分） (2017高一下·安庆期末) 若log2a+log2b=6，则a+b的最小值为（）A .B . 6C .D . 166. （2分） (2015高一下·河北开学考) 根据表格中的数据，可以判定方程ex﹣x﹣6=0的一个根所在的区间为（）x﹣10123ex0.371 2.727.3920.09x+656789A . （﹣1，0）B . （0，1）C . （1，2）D . （2，3）7. （2分）右面是“二分法”解方程的流程图．在①~④处应填写的内容分别是（）A . f(a)f(m)<0；a=m；是；否B . f(b)f(m)<0；b=m；是；否C . f(b)f(m)<0；m=b；是；否D . f(b)f(m)<0；b=m；否；是8. （2分）(2017·内江模拟) 已知函数f（x）= ，若f（x）的两个零点分别为x1 ，x2 ，则|x1﹣x2|=（）A .B . 1+C . 2D . +ln29. （2分）若函数f（x）的零点与g（x）=lnx+2x﹣8的零点之差的绝对值不超过0.5，则f（x）可以是（）A . f（x）=3x﹣6B . f（x）=（x﹣4）2C . f（x）=ex﹣1﹣1D . f（x）=ln（x﹣）10. （2分） (2019高一上·海林期中) 函数的零点所在区间为：（）A . （ 1，0）B . （0，1）C . （1，2）D . （2，3）11. （2分）(2019·金华模拟) 已知函数，下列说法正确的是（）A . 任意，函数均有两个不同的零点；B . 存在实数，使得方程有两个负数根；C . 若，则；D . 若实数，满足，则 .12. （2分）已知定义在上的函数(为实数）为偶函数，记,则的大小关系为（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2017高二下·河口期末) 已知函数．若关于的方程有两个不同的实根，则实数的取值范围是________．14. （1分） (2017高一上·温州期中) 函数的零点个数是________；其所有零点之和为________．15. （1分）下列函数图象均与x轴有交点，其中能用二分法求函数零点的是________．16. （1分）根据下表，用二分法求函数f（x）=x3﹣3x+1在区间（1，2）上的零点的近似值（精确度0.1）是________f（1）=﹣1f（2）=3f（1.5）=﹣0.125f（1.75）=1.109375f（1.625）=0.41601562f（1.5625）=0.12719726三、解答题 (共6题；共55分)17. （5分）物理课上老师拿出长为1米的一根导线，此导线中有一处折断无法通电（表面看不出来），如何迅速查出故障所在？如果沿着线路一小段一小段查找，较为麻烦．想一想，怎样工作最合理？要把折断处的范围缩小到3～4厘米左右，要查多少次？18. （5分）若实数a，b满足ab＞0，且a2b=4，若a+b≥m恒成立．（Ⅰ）求m的最大值；（Ⅱ）若2|x﹣1|+|x|≤a+b对任意的a，b恒成立，求实数x的取值范围．19. （10分） (2017高一上·上海期中) 设正有理数a1是的一个近似值，令a2=1+ ，求证：（1）介于a1与a2之间；（2） a2比a1更接近于．20. （10分） (2017高二下·南昌期末) 已知函数g（x）=ax2﹣2ax﹣1+b（a＞0）在区间[2，3]上有最大值4和最小值1．设f（x）= ．（1）求a，b的值；（2）若不等式f（2x）﹣k•2x≥0在x∈[﹣1，1]上有解，求实数k的取值范围．21. （10分）已知函数f（x）=ax3+bx2﹣3x+d在x=±1处取得极值．（1）判断f（1）和f（﹣1）是函数y=f（x）的极大值还是极小值，并说明理由；（2）若函数y=f（x）有三个零点，求d的取值范围．22. （15分） (2019高三上·沈河月考) 已知函数在上的最大值为，当把的图象上的所有点向右平移个单位后，得到图象对应函数的图象关于直线对称.（1）求函数的解析式；（2）在中，三个内角的对边分别为，已知在轴右侧的第一个零点为，若，求的面积的最大值.参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共55分) 17-1、18-1、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、。
