01.二次根式讲义

二次根式考点1二次根式的概念a≥0）的式子叫做二次根式。

二次根式的实质是一个非负数a的算数平方根。

二次根式的概念有两个要点：一是从形式上看，应含有二次根号；二是被开方数的取值范围有限制：被开方数a必须是非负数。

（x≥0，y•≥0）当x考点2二次根式的性质⑴a≥0）是一个非负数，≥ 0a的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0，所以非负数的算术平方根是非负数。

⑵（）一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。

⑶一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。

注：A、化简时，一定要弄明白被开方数的底数a是正数还是负数，若是正数或0，则等于 a本身，若a是负数，则等于a的相反数-aB、中的a的取值范围可以是任意实数，即不论a取何值，一定有意义；C、化简时，先将它化成│a│，再根据绝对值的意义来进行化简。

⑷与的区别前者表示一个正数a的算术平方根的平方，而后者表示一个实数a的平方的算术平方根；a的取值范围不同，因而它的运算结果是有差别的。

练1 ；；；练2 计算1．）22．（23．24．（）22练3计算1．22．）23．√（1-a）2( a＞0 )考点3 二次根式的乘除 二次根式的乘法：)0,0(≥≥=⋅b a ab b a 把被开方数相乘，再作开方运算。

练1．计算（1 （2 （3 （4练2 化简（1 （2 （3 （4 二次根式的除法：ba b a=).0,0(>≥b a 把被开方数相除，再作开方运算。

练1．计算：（1（2 （3 （4练2．化简：（1 （2 （3 （4练3．计算（1， （2， （3 考点4 最简二次根式⑴被开方数不含分母；⑵被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。

练1 下列二次根式中，最简二次根式是（ ）（B ）xy （C （D 练2 下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A. 21a + B. 1a 2+ C. ab 4 D. b a 2练3 下列根式中,不是最简二次根式的是：(A) (C) (D)考点5二次根式的加减⑴、同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式。

二次根式一、知识梳理1、二次根式的概念和性质二次根式的定义：形如a （0a ≥）的式子叫做二次根式.注意点：（1）被开方数是正数或0；（2）二次根式a （0a ≥）表示非负数a 的算术平方根.二次根式的性质：（1）二次根式的非负性：0a ≥；（2）2()(0)a a a =≥；（3）2(0)(0)(0)a a a a a a a a >⎧⎪===⎨⎪-<⎩；（4）当0a ≥时，22()a a =.2、最简二次根式最简二次根式最简二次根式的定义：①被开方数的因数是整数，因式是整式（分母中不含根号）；②被开方数中不含能开 得尽方的因数或因式．这样的二次根式叫做最简二次根式．最简二次根式的满足条件：（1）被开放数的因数是整数，因式是整式（被开方数不能存在小数、分数形式）；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；（3）分母中不含二次根式．说明：二次根式的计算结果要写成最简根式的形式．3、二次根式的加减同类二次根式几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫同类二次根式．二次根式的加减同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次 根式．合并同类二次根式：()a x b x a b x +=+，同类二次根式才可加减合并．分母有理化分母有理化：把分母中的根号化去叫做分母有理化．互为有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，说这两个代数式互为有理化因式．a b+与a b-互为有理化因式；分式有理化时，一定要保证有理化因式不为0．4、二次根式综合运算二次根式的综合运算法则：先算乘除法，再算加减法，有括号的先算括号里面的，最终结果二次根式部分要化为最简二次根式．注意：在二次根式的计算题中，如果题目中没有明确说明字母的取值范围，按照字母使二次根式有意义计算．5、二次根式化简求值二次根式的化简求值：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的加减乘除运算，化为较为简单的一个式子（或直接得出结果），最后代入未知数的值求解，有时候也会存在整体代入的情况．注意：对于二次根式的化简求值如果字母没有明确说明取值范围，必须要进行分类讨论．6、根式的大小比较比较大小的方法1．作差法:比较a、b的大小，0,0,0,a b a b a ba b>>⎧⎪-==⎨⎪<<⎩2．作商法：比较a、b的大小，当0,0a b>>时，可以采用作商法，1,1,1,a b aa b ba b>>⎧⎪==⎨⎪<<⎩二次根式比较大小的方法（1）0a b a b>>⇔>（2）二次根式比较大小：能直接比较大小的直接比较；不能直接比较大小的，先平方再比较．（3）估算法（4）分子有理化（5）倒数法7、二次根式的乘除二次根式的乘除法二次根式的乘法法则：a b ab⋅=（0a≥，0b≥）．二次根式的除法法则：a abb=（0a≥，0b>）．说明：利用乘除法则时注意a、b的取值范围，对于ab a b=⋅，a、b都非负，否则不成立．二、典型例题题型一、二次根式的概念和性质例1： 函数1x y x =-中自变量x 的取值范围是（ ） A ．1x ≥B ．1x <且0x ≠C ．1x >D ．1x ≥且0x ≠【答案】C【解析】该题考查的是函数的定义域．根式下的式子在非负条件下有意义，分数在分母不为0的条件下有意义，综上所述，10x -≥，且10x -≠，∴1x >，故本题答案为C ．例2： 若320-+-=x y ，则xy 的值为____.A ．8B ．6C ．5D ．9【答案】A【解析】该题考查的是的非负性．根据题意得：3020x y -=⎧⎨-=⎩解得：32x y =⎧⎨=⎩∴32x y =，故选A ．变式： 已知：()322512012x x y x -+-=+--，求x y 的值. 【答案】25【解析】该题考查的是二次根式的性质．∵()322512012x xy x -+-=+--有意义∴()32020120120x x x ⎧-≥⎪⎪-≥⎨⎪--≠⎪⎩所以2x =，055y =+=∴2525x y ==题型二、最简二次根式例1、下列二次根式中，最简二次根式是（ ）A ．22xB ．0.5C ．22x y +D ．1x 【答案】C【解析】该题考查最简二次根式．A 、x x 222=被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式；故本选项错误； B 、120.522==，被开方数含分母，不是最简二次根式；故本选项错误； C 、22x y +满足最简二次根式的定义，是最简二次根式；D 、1x x x=，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式． 故选C ．例2、若最简二次根式2342a +与22613a -是同类二次根式，则a =_________【答案】1±【解析】该题考查的是二次根式．满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式：（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式． 根据题意可列：22461a a +=-解得：1a =±变式、若2，m ，4为三角形三边，化简：()()2226m m -+-＝____________．【答案】4【解析】该题考查的是根式的化简求值．∵2，m ，4为三角形三边，可知包括如下关系：①24m +>，即6m <②24m +>，即2m >∴原式264m m =-+-=题型三、二次根式的加减例1、计算124183-⨯=__________．【答案】6【解析】该题考查的是二次根式的计算．原式346923=⨯-⨯⨯326323=-⨯ 2666=-=例2、111115533131317+++=++++____.【答案】1714-【解析】该题考查根式的分母有理化．11115135133171317144444155********-----+++=+++=++++ 故答案为1714-． 变式、已知32x =+，32y =-，则33_________x y xy +=.【答案】10【解析】因为32x =+，32y =-，所以()()32321xy =+-=，()()323223x y +=++-=，所以()()()22332221232110x y xy xy x y xy x y xy ⎡⎤⎡⎤+=+=+-=⨯-⨯=⎢⎥⎣⎦⎣⎦题型四、二次根式综合运算例1、化简：2244112a a a a -+--+（112a ≤≤）【答案】32a -【解析】()()222244112211211a a a a a a a a -+--+---=---，因为112a ≤≤，所以原式21121132a a a a a =---=-+-=-例2、若352x y +=-，325x y -=-，求xy ．【答案】52-【解析】2()352x y +=-；2()325x y -=-∴22()()352(325)5244x y x y xy +-----===-变式、化简22691025a a a a +++-+【答案】当3a <-时，原式=22a -+；当35a -≤<时，原式=8；当5a ≥时，原式=22a -；【解析】()()22226910253535a a a a a a a a +++-+=++-=++-，当3a <-时，原式353522a a a a a =++-=---+=-+；当35a -≤<时，原式35358a a a a =++-=+-+=；当5a ≥时，原式353522a a a a a =++-=++-=-题型五、二次根式化简求值例1、化简：()221269x x x -+-+=____【答案】43x -【解析】该题考查根式的化简．()()2221269123x x x x x -+-+=-+-∵由题得120x -≥，12x ≤∴()2333x x x -=-=-．∴原式12343x x x =-+-=-．故答案为43x -．例2、化简：108322++．【答案】42+【解析】22108322108(12)108(12)1882(42)42++=++=++=+=+=+变式、化简：（1）412-（2）415+【答案】（1）31-（2）1062+【解析】（1）()24124233131-=-=-=- （2）221064158215(53)222++=+=+=题型六、根式的大小比较例1、比较大小：512-_______12．（填“>”、“<”或“=”）． 【答案】>【解析】该题考查的是二次根式比大小．5115115254022222------===>，即511022-->， 即51122->． 例2、设120082006,2007A B =-=，比较大小：A ____B ．【答案】A B >【解析】222008200620082006A ==+-，22220072007B ==；2008200622007+< ∴22A B< ∴A B >变式、已知21a =-，226b =-，62c =-，那么a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c b a >>D ．c b a <<【答案】B【解析】()()221,223,2322a b c ⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭2222(231)2(13)(2223)0222b a -=--+=-+=+->，b a > 2222(132)2(13)(2223)0222a c -=--+=-+=+->,a c >b ac >>题型七、二次根式的乘除例1、下列计算正确的是（ ）A ．235⋅=B ．236⋅=C ．84=D ．2(3)3-=-【答案】B【解析】根据二次根式的乘法运算法则，可得236⋅=，故答案为B 选项．例2、下列计算结果正确的是（ ）A ．257+=B ．2510⨯=C ．3223-=D ．25105=【答案】B【解析】该题考查的是二次根式计算．A 选项2与5不是同类项，不能合并，故本选项错误；B 选项252510⨯=⨯=，故本选项正确；C 选项32222-=，故本选项错误；D 选项21055=，故本选项错误． 故答案是B ．变式、已知：4322232b a a =-+-+，求11a b +的平方根．【答案】2±【解析】该题考查的是二次根式．4322232b a a =-+-+，根据被开方数的非负性我们知道320230a a -≥⎧⎨-≥⎩，所以23a =， 代入得43222322b a a =-+-+=，所以1131222a b +=+=，平方根为2±三、课堂巩固1、函数11y x =-中自变量的取值范围是（ B ）A ．1x ≠B ．1x >C ．1x ≥D ．1x ≥-2、对于所有实数,a b ，下列等式总能成立的是（ C ）A ．()2a b a b +=+B ．22a b a b +=+C ．()22222a b a b +=+ D ．()2a b a b +=+ 3、函数12y x =+中，自变量x 的取值范围是2->x 4、实数P 在数轴上的位置如图所示，化简()()2223p p -+-=15、计算：=⨯121726，=--)84)(213(24， =⨯-03.027.02-0.18，=÷-327348-5.6、化简：()221269x x x -+-+=x 34-.7、设120082006,2007A B =-=，比较大小：A >B ． 8、已知: 21x =-，求223x x +-的值．()()()()2222231322-=-+=+-=-+x x x x 9、已知：,x y 为实数，且113y x x <-+-+，化简：23816y y y ---+． 1=x 3<y 原式=()1-4343=---=---y y y y1 2 3 4 p课后作业1、函数2x y x-=中，自变量x 的取值范围是（ A ） A ．2x ≤且0x ≠B ．2x ≤C ．2x <且0x ≠D ．0x ≠2、若()424A a =+，则A =（ A ） A ．24a +B ．22a +C ．()222a + D ．()224a + 3、若2(2)10m n ++-= 则m n -= -3 ．4、在下列二次根式22211025312232322a a a a b m x a b x a b +-++，，，，，，，，，，中，最简二次根式有6个．5、若最简二次根式35a -与3a +是同类二次根式，则a =___4___.6、若231604b a a +-+=-，则3223a b a b +=-___-18___.7、比较大小：512-___>___12．（填“>”、“<”或“=”）． 8、计算：01186(121)221+---- 原式=01232212=--++9、化简：（1）412-原式=()13132-=- （2）415+221064158215(53)222++=+=+=。

二次根式辅导讲义同步知识梳理一:二次根式得概念二次根式得定义形如得式子叫二次根式,其中叫被开方数,只有当就是一个非负数时,才有意义.二:二次根式得性质1、非负性:a a()≥0就是一个非负数.注意:此性质可作公式记住,后面根式运算中经常用到.2、()() a aa20=≥.注意:此性质既可正用,也可反用,反用得意义在于,可以把任意一个非负数或非负代数式写成完全平方得形式:a a a=≥()()203、a aa aa a20 ==≥-<⎧⎨⎩||()()注意:(1)字母不一定就是正数.(2)能开得尽方得因式移到根号外时,必须用它得算术平方根代替.(3)可移到根号内得因式,必须就是非负因式,如果因式得值就是负得,应把负号留在根号外.4、公式a aa aa a2==≥-<⎧⎨⎩||()()与()()a aa20=≥得区别与联系(1)a2表示求一个数得平方得算术根,a得范围就是一切实数.(2)()a2表示一个数得算术平方根得平方,a得范围就是非负数.(3)a2与()a 2得运算结果都就是非负得.三:最简二次根式与同类二次根式2a B、1-－3＜0,则化简(1)148 (2)4337- (3)11212 (4)13550-【例14】把下列各式分母有理化(1)328x x y(2)38xx【例15】把下列各式分母有理化:（1）221- (2)5353+- (3)333223- 举一反三:1、已知2323x -=+,2323y +=-,求下列各式得值:(1)x y x y +-(2)223x xy y -+专题五:二次根式计算——二次根式得乘除【例16】化简(1)916⨯ (2)1525⋅ (3)229x y (0,0≥≥y x ) (4)12×632⨯ 【例17】计算(1)(2) (3) (4)(5) (6) (7) (8)【例18】化简:(1)364 (2)22649b a )0,0(≥>b a (2)2964xy )0,0(>≥y x (4)25169x y )0,0(>≥y x【例19】计算:(1)123 (2)3128÷ (3)11416÷(4)648【例20】能使等式22xxx x =--成立得得x 得取值范围就是( )A 、2x >B 、0x ≥C 、02x ≤≤D 、无解专题六:二次根式计算——二次根式得加减【例20】计算(1)11327520.53227--+-; (2)12543102024553457⎛⎫⎛⎫+-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭; 【例21】(1)224344x y x y x y x y --+--+ (2)a b a ba b a b--+-+ 专题七:二次根式计算——二次根式得混合计算与求值1、ab b a ab b 3)23(235÷-⋅ 2、 22 (212 +418－348 ) 3、132x y ·(-42y x)÷162x y 4、673)32272(-⋅++5、62332)(62332(+--+)6、1110)562()562(+-【例21】 1.已知:,求得值.2．已知,求得值。

二次根式讲义 一、知识点梳理 1.二次根式式子)0(≥a a 叫做二次根式，二次根式必须满足：含有二次根号“”；被开方数a必须是非负数。

2.定义重点①式子有意义：)0(≥a a 中必须，否则，式子没有意义②隐含条件：)0(≥a a ，则，即也为非负数4. 二次根式的乘除运算b a ab ⋅=（00≥≥b a ，）)0,0(≥≥=b a b ab a根式中分母不能含有根号，且要变为最简。

6.最简二次根式若二次根式满足：被开方数的因数是整数，因式是整式；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式叫做最简二次根式。

化二次根式为最简二次根式的方法和步骤：（1）如果被开方数是分数（包括小数）或分式，先利用商的算数平方根的性质把它写成分式的形式，然后利用分母有理化进行化简。

（2）如果被开方数是整数或整式，先将他们分解因数或因式，然后把能开得尽方的因数或因式开出来。

三、典型例题讲解 例11、用代数式表示：（1）面积为S 的正方形的边长为______．(2）•面积为10•的直角三角形的两直角边的比为1：•2，•则这两条直角边分别为______．2、在二次根式1a -中，字母a 的取值范围是（ ）A ．1<aB ．1≤aC ．1≥aD ．1>a 3、下列式子中，是二次根式的有（ ）①22x +，②3x ，③32，④2()x -A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 4、（1）若0≥a ，则a _____0．（2）若021=++-x y ，则=x _____，=y ______． 5、求使式子有意义的实数x 的取值范围．（1）2x - （2）11x - 例21、计算：（1）=2)3(______；（2）=-2)52(_____． 2、下列式子正确的个数是（ ）①2)4(4±=；②3)3(2-=--；③1)2()3(22=-；④2)7(7=．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3、在实数范围内分解因式792-a ．解：=-=-222)7()3(79a a （ ）·（ ）4、计算：（1）22＝______．（2）2(5)-＝_____； （3）2211010-=＝______．5、计算： （1）2(2)x -（2≤x ） （2）2(32)- （3）－2(3.14)π-例31、计算：（1）2×7＝______．（2）12×8＝______； （3）0.1×100＝_______．2、下列运算不正确的是（ ）A ．0.40.6⨯＝0.2×0.6＝1.2B ．4×36＝2×6＝12C ．0.4 3.60.4 3.6 1.44⨯=⨯=＝＝1.2D ．a ·3＝3a （0≥a ） 3、计算：（1）3×（－212） （2）2×6×13（3）2ab ·1b （4）－12xy ·（－4y ）4、计算：（1）812＝______；（2）126＝_____．5、计算：（1）318÷2＝_____；（2）293x y xy ÷＝______． 例41、化简：（1）8＝______；（2）1327＝____．2、化简：（1）3a ＝_____；（2）2316x y ＝_____．3、化简：（1）56＝______； （2）－125015⨯＝______； （3）2332ab c＝______；4、下列计算正确的是（ ）A ．－1210×2＝－1220B ．y x xy x xy x 31313313=⋅=⋅C ．112882887272⨯=⨯＝4＝2 D ．534＝5435、把38化为最简二次根式为_______．6、下列二次根式中，不是最简二次根式的是（ ）A ．aB ．31C ．1x D ．21a +四、举一反三 1．（2012义乌）一个正方形的面积是15，估计它的边长大小在（ ） A ．2与3之间 B ．3与4之间 C ．4与5之间 D ．5与6之间2．（2012杭州）已知)212()33(-⨯-=m ，则有（ ）A ．5＜m ＜6B ．4＜m ＜5C ．－5＜m ＜－4D ．－6＜m ＜－5 3.（2012泰安）下列运算正确的是（ ）A ．2(5)5-=- B ．21()164--= C ．632x x x ÷= D ．325()x x =4．（2012德阳）使代数式12-x x有意义的x 的取值范围是（ ）A ． 0≥xB ．21≠x C ．0≥x 且21≠x D ．一切实数5.（2011山东菏泽）实数a 在数轴上的位置如图所示，则22(4)(11)a a -+- 化简后为（ ）A ． 7B ． －7C ．152-aD ． 无法确定6.（2011山东济宁）若0)3(12=++-+y y x ，则y x -的值为 （ ）A ．1B ．－1C ．7D ．－77．（2011山东烟台）如果aa 21)12(2-=-，则（ ）A ．21<a B. 21≤a C. 21>a D. 21≥a8．（2011山东日照）已知x ，y 为实数，且满足x +1y y ---1)1(＝0，那么20112011y x -＝ ．9. （2011山东枣庄）对于任意不相等的两个实数a 、b ，定义运算※如下：a※b ＝b a b a -+，如3※2＝32532+=-．那么8※12＝ ．10.已知a ，b ，c 为△ABC 的三边长，化简22()()a b c b a c +-+--－a b c --．a 105第2题图第4题图 五、过关测试二次根式的定义 1、二次根式11x --有意义，则实数x 的取值范围为_____． 2、矩形面积为12cm 2，矩形的长与宽之比为3：2，则矩形长为_____cm ，宽为____cm ． 3、无论实数x 取何值下列式子总有意义为（ ）A ．2(1)x -- B ．21x -+ C ．21x + D ．1x -4、如图所示，方格图中小正方形的边长为1，将方格图中阴影部分剪下来，再把剪下来的阴影部分拼成一个正方形，那么新正方形的边长是（ ） A ．3 B ．2 C ．5 D ．65、如图所示，在平面直角坐标系中，A （－2，3），B （－4，0），C （－2，0）是三角形的三个顶点，求三角形各边的长．6、已知1433b a --与114+-b a 互为相反数，试求a ，b 的值．7、已知x ，y 为实数，且y ＝1122x x -+-＋12，求x ，y 的值．二次根式的性质1、计算：（1）=2)75(____________； （2）=-2)2(x ______．2、（1）当0≥x 时，=-2x ______________；（2）当0≤x 时，2x ＝______． 3、下列式子计算不正确的是（ ）A ．3)3(2=B ．a a =-2)(（0≥a ）C ．2(32)-＝3－2D ．15)53(2-=- 4、计算：（1）22)3553()54(- （2）22(6)(8)-+-（3）2)52(494-⋅+ （4）2230.6--5、已知实数x 在数轴上的位置如图所示，化简2222(1)(2)x x x --+-．6、（改错题）计算：（2x -）2＋2(3)x - 解：（2x -）2＋2(3)x -＝2－x ＋x －3 ① ＝－1 ②你认为上述解答过程是错在第_____步，为什么？并求出正确的结果．二次根式的乘法 1、计算：（1）－122×3＝_____； （2）18×（－32）＝_____． 2、计算：（1）110×110＝______； （2）131x·3xy ＝______． 3、化简：（1）3a -＝_____；（2）34m n （0<m ）＝______． 4、若)2)(1(21--=-⋅-x x x x ．则x 的取值范围是（ ）A ．1>xB ．2≥xC ．2>xD ．1≥x 5、定义运算“@”运算法则，x@y@z ＝xyz ，则2@3@6值为（ ）A ．3B ．2C ．6D ．126、下列各等式成立的是（ ）A ．45×25＝85B ．53×42＝205C ．43×32＝75D ，53×42＝20 7、已知2＝a ，则200的值为（ ）A ．a 2B ．a 3C ．a 10D ．a 8 8、下列计算正确的是（ ）A ．(121)(9)1219-⨯-=-⨯-＝33B ．23x ＝x 3C ．(16)(25)1625-⨯-=⨯＝20D ．249x -＝32-x 9、阅读解答题:因为23＝223⨯＝12 ①－23＝2(2)3-⨯＝12 ②所以23＝－23 ③ 即2＝－2导致以上出现错误的结果错因在第几步（ ） A ．① B ．② C ．③ D ．④ 10、化简：（1）2000 （2）250a b （0<a ，0>b ）（3）18×3220×（－1315） （4）627×（－23）（5）2xy ×12x （6）115×23×（－1210）11、计算（1）5xy ×（－323x y ）×361y （2）32ab b ·（－323a b ）·3ab（0<a ，0>b ）（3）)))((abx ax x a b x ab --- （0>a ，0>b ，0>x ）12、将aa 1-括号外的因式a 移到括号内部．二次根式的除法及最简二次根式 1、计算：（1）49＝_____________；（2）2764＝______．2、计算：（1）0.680.17＝__________；（2）328＝______． 3、计算：（1）0.48＝______；（2）512＝_____． 4、若2211x xx x--=++，则x 取值范围为_______． 5、下列各式是最简二次根式为（ ） A ．15B ．24C ．28D ．7326、如图所示，小芳想在墙壁上钉一个三角形架，•其中两直角边的长度之比为3：2，斜边长为520，则较短直角边的长度为（ ） A ．40 B ．210 C ．410 D ．426 7、化去下列各式中根号内的分母正确的是（ ） A ．2225555== B ．22151535=⨯ C ．3333n n mn m m m ==（0>m ，0>n ） D ．11aa a a==＝a 8、下列各式计算正确的是（ ）A ．442939---==---＝23B ．238499=＝2132C ．3163727÷= D ．825＝58 9、把下列二次根式化为最简二次根式： （1）338＝_______； （2）712＝_______；（3）2.11.0⋅＝_______；（4）3273x ＝_______； 10、计算：（1）48÷（32·3）（2）43623x x ÷（3）3520÷（－136）（4）8243311、计算：（1）3223×（－1815）÷1225（2）－4318÷（28×1354）。

专题01 二次根式及其性质【考点剖析】1、二次根式概念：一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫二次根式.2、二次根式有意义的条件：二次根式中的被开方数是非负数.（1）如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数．（2）如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零．3、二次根式的性质与化简（1）二次根式的基本性质：①；②；③（2）与要注意区别与联系：①a的取值范围不同，中a≥0，中为任意值；②a≥0时，；a＜0时，无意义，二次根式的定义【典例】例1．下列式子：，，，，，，中，一定是二次根式的是（ ）A．3个B．4个C．5个D．6个【答案】B【解析】解：在所列式子中，一定是二次根式的是，，，这4个，故选：B．【点睛】根据二次根式的性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义，逐一判断．本题考查了二次根式的定义．理解被开方数是非负数，给出一个式子能准确的判断其是否为二次根式，并能根据二次根式的定义确定被开方数中的字母取值范围．【巩固练习】1．、、、、中二次根式有（ ）A．5个B．4个C．3个D．2个【答案】C【解析】解：、、是二次根式，、的被开方数不一定为非负数，故不一定是二次根式．故选：C．2．下列各式中①；②；③；④；⑤；是二次根式的有（ ）个．A．2个B．3个C．4个D．5个【答案】A【解析】解：①、②的被开方数是负数，不是二次根式；③；④符合二次根式的定义；⑤当﹣1＜x＜1时，被开方数是负数，不是二次根式．综上所述，二次根式的个数是2．故选：A．3．下列各式中：①；②；③；④．其中，二次根式的个数有（ ）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】A【解析】解：①；②；③；④．二次根式的只有①，故选：A．二次根式有意义的条件【典例】例1．式子中x的取值范围是（ ）A．x≥1且x≠2B．x＞1且x≠2C．x≠2D．x＞1【答案】A【解析】解：由题意得：x﹣1≥0且x﹣2≠0，解得：x≥1且x≠2．故选：A．【点睛】根据二次根式有意义的条件可得x﹣1≥0，再根据分式有意义的条件可得x﹣2≠0，再解出x的值．此题主要考查了二次根式有意义的条件，以及分式有意义的条件，关键是掌握分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．例2．若已知a、b为实数，且2b+4，则a+b＝______．【答案】1【解析】解：由题意得，a﹣5≥0，5﹣a≥0，解得，a＝5，则b＝﹣4，则a+b＝1，故答案为：1．【点睛】根据二次根式中的被开方数必须是非负数解答即可．本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数必须是非负数是解题的关键．【巩固练习】1．若二次根式有意义，则x的取值范围是（ ）A．x B．x C．x D．x≤5【答案】B【解析】解：由题意得，5x﹣1≥0，解得，x，故选：B．2．代数式有意义，则x应满足的条件是（ ）A．x≠3B．x C．x且x≠3D．x且x≠3【答案】C【解析】解：由题意得，1+3x≥0，x﹣3≠0，解得，x且x≠3，故选：C．3．如果代数式有意义，那么x的取值范围是（ ）A．x≥0B．x≠1C．x＞1D．x≥0且x≠1【答案】C【解析】解：由题意得，x≥0，x﹣1＞0，解得，x＞1，故选：C．4．如果y3，那么y x的算术平方根是（ ）A．2B．3C．9D．±3【答案】B【解析】解：由题意得，x﹣2≥0，2﹣x≥0，解得，x＝2，∴y＝3，则y x＝9，9的算术平方根是3．故选：B．5．若|2017﹣m|m，则m﹣20172＝____________．【答案】2018【解析】解：∵|2017﹣m|m，∴m﹣2018≥0，m≥2018，由题意，得m﹣2017m．化简，得2017，平方，得m﹣2018＝20172，m﹣20172＝2018．故答案为：20186．已知a满足|2017﹣a|a，则a﹣20172的值是____________．【答案】2018【解析】解：∵|2017﹣a|a，∴a﹣2018≥0，故a≥2018，则原式可变为：a﹣2017a，故a﹣2018＝20172，则a﹣20172＝2018．故答案为：2018．二次根式的性质【典例】例1．下列各式中，一定能成立的是（ ）A．B．（）2C．x﹣1D．•【答案】A【解析】解：A、，所以A选项正确；B、（）2当a为负数是不成立，所以B选项错误；C、x﹣1当x＜1时不成立，所以C选项错误；D、•当x＜3时不成立，所以D选项错误．故选：A．例2．实数a，b在数轴上的位置如图，则化简|a﹣b|的结果为（ ）A．2a B．﹣2a C．2b D．﹣2b 【答案】B【解析】解：由题意得：a＞b，|a|＜|b|，a＞0，b＜0，∴a﹣b＞0，a+b＜0，∴|a﹣b|＝﹣a﹣b﹣a+b＝﹣2a，故选：B．例3．阅读下面的解题过程，判断是否正确？若不正确，请写出正确的解答．已知m为实数，化简：解：原式．【答案】见解析【解析】解：不正确，根据题意，m成立，则m为负数，＝m＝m＝（m+1）．【点睛】本题主要考查了二次根式的性质的灵活运用，关键是根据成立，则m为负数，要求熟练掌握负整数指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．【巩固练习】1．下列各式成立的是（ ）A．2B．（）2＝2C．a D．3【答案】D【解析】解：A、2，故此选项错误；B、（）2＝4，故此选项错误；C、|a|，故此选项错误；D、3，正确．故选：D．2．实数a在数轴上的位置如图所示，则化简后为（ ）A．8B．﹣8C．2a﹣18D．无法确定【答案】A【解析】解：由题意可知6＜a＜12，∴a﹣5＞0、a﹣13＜0．∴|a﹣5|+|a﹣13|＝a﹣5+13﹣a＝8．故选：A．3．如图所示，实数a、b在数轴上的位置化简的结果是（ ）A．﹣2a B．﹣2b C．0D．2a﹣2b 【答案】A【解析】解：由数轴可知：a＜0，b＞0，a﹣b＜0，∴原式＝﹣a﹣b﹣（a﹣b）＝﹣a﹣b﹣a+b＝﹣2a故选：A．4．把x根号外的因数移到根号内，结果是（ ）A．B．C．D．【答案】C。

《二次根式》讲义一、二次根式的定义形如\（＼sqrt{a}＼）（＼（a\geq 0\））的式子叫做二次根式。

其中，＼（a\）叫做被开方数。

需要注意的是，二次根式具有双重非负性，即被开方数\（a\geq 0\），二次根式的值\（＼sqrt{a}＼geq 0\）。

例如，＼（＼sqrt{4}＼），＼（＼sqrt{5}＼），＼（＼sqrt{16}＼）等都是二次根式，而\（＼sqrt{－4}＼）就不是二次根式，因为被开方数\（－4\lt 0\）。

二、二次根式有意义的条件要使二次根式\（＼sqrt{a}＼）有意义，被开方数\（a\）必须是非负数，即\（a\geq 0\）。

例如，对于二次根式\（＼sqrt{x 2}＼），要使其有意义，则\（x2\geq 0\），解得\（x\geq 2\）。

三、二次根式的性质1、＼（（＼sqrt{a}）＾2 ＝ a\）（＼（a\geq 0\））这一性质表明，一个非负的二次根式的平方等于被开方数。

例如，＼（（＼sqrt{5}）＾2 ＝ 5\），＼（（＼sqrt{10}）＾2 ＝10\）。

2、＼（＼sqrt{a^2} ＝｜a|＼）当\（a\geq 0\）时，＼（＼sqrt{a^2} ＝ a\）；当\（a\lt 0\）时，＼（＼sqrt{a^2} ＝ a\）。

例如，＼（＼sqrt{4^2} ＝ 4\），＼（＼sqrt{（－3)＾2} ＝ 3\）。

3、＼（＼sqrt{ab} ＝＼sqrt{a}＼cdot\sqrt{b}＼）（＼（a\geq 0\），＼（b\geq 0\））这一性质是二次根式乘法运算的基础。

例如，＼（＼sqrt{2}＼times\sqrt{8} ＝＼sqrt{2\times 8} ＝＼sqrt{16} ＝ 4\）。

4、＼（＼dfrac{＼sqrt{a}｝｛＼sqrt{b}｝＝＼sqrt{＼dfrac{a}｛b}｝＼）（＼（a\geq 0\），＼（b\gt 0\））这是二次根式除法运算的依据。

第01讲二次根式的性质第1讲二次根式的性质知识导航1．二次根式的概念与被开方数中字母的取值范围；2．二次根式的双重非负性；3．开平方与平方两种运算的关系【板块一】二次根式的概念与基本性质方法技巧一般地，我们把形如(a0)的式子叫做二次根式，”称为二次根号．开平方时，被开方数a的取值范围是a0，二次根式有两个非负性，也叫二次根式的双重非负性，即被开方数a的取值范围是a0，算术平方根的结果0．题型一判断式子是否为二次根式【例1】下列式子中是二次根式的有()；；－；；；(x＞1)；A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【分析】形如(a0)的式子叫做二次根式，被开方数a的取值范围是a0；不符合被开方数a的取值范围是a0，是开3次方，为二次根式，故选C．【解答】C题型二二次根式有意义的字母的取值范围【例2】在下列式子：；(x－2)0；中，x不可以取2的是()A．只有 B．只有 C．和 D．和【分析】二次根式中被开方数大于等于零，零指数幂的底数不为零，分母的值不为零．，x－20，则x2；(x－2)0，x－20，则x2；中，x－20，解得x2，故x不可以取2的是和，故选C【解谷】C题型三二次根式的双重非负性【例3】若x，y为实数，y＝，则4y－3x的平方根是．【分析】，故只有x2－4＝0，即x＝±2，又x－2≠0，x＝－2，y＝＝－，4y－3x＝－1－(－6)＝5，故4y－3r的平方根是±．【解答】士．【例4】已知|7－9m|＋(n－3)2＝9m－7－，求(n－m)2019的值．【分析】非负数有三种呈现形式：绝对值，平方，算术平方根，几个非负数的和一定是非负数，若几个非负数的和为0，则这几个非负数均为0．【解答】＋(n－3)2＝9m－7－，＋(n－3)2＋＝9m－70，9m－7＋(n－3)2＋＝9m－7，(n－3)2＋＝0，n－3＝0，m－4＝0，n＝3，m＝4，(n－m)2019＝(－1)2019＝－1．题型四二次根式中的隐含条件的运用【例5】若实数x，y，m适合关系式＋＝·，求m的值．【分析】由(x＋y)－200，20－(x＋y)0，所以x＋y＝20．再利用两个二次根式的和等于0，即每一个被开方数等于0．【解答】x＋y－200，20－(x＋y)0，x＋y＝20．＋＝0，≥0，0，3x＋3y－m＝0，m＝3(x＋y)＝3×20＝60．针对练习11．x取何值时，下列各式有意义(1)；(2)；－；(4)．【解答】(1)x＞；(2)x4且x－5；(3)1x≤2；(4)x5且x6．2．代数式＋＋的最小值是()A．0 B．1＋ C．1 D．不存在【解答】B．3．方程＋＝0的解是．【解答】，或4．已知x，y为实数，且满足－(3y－1)＝0，则(xy)2019＝．【解答】－15．如果x，y，z为实数，且满足＋＋z2－z＋＝0，求(y＋z)x2的值．【解答】|4x－4y＋1|＋＋(z－)2＝0，又≥0，0，(z－)20，4x－4y＋1＝0，2y＋z＝0，z－＝0，x＝－，y＝－，z＝，(y＋z)x2＝(－＋)(－)2＝．6．若m适合关系式：－＝－，求m的值．【解答】由条件得x＋y－1160，116－(x＋y)0，116≤x＋y116，x＋y＝116，＝－，≥0，－0，，＋得5(x＋y)＋18＝2m，2m＝5×116＋18，m＝299．【板块二】二次根式的两个基本性质的综合运用方法技巧二次根式的两个性质()2＝a(a≥0)和＝，可以运用上述两个性质进行有关计算和化简．题型五＝的运用【例1】已知0＜a＜1，化简－＝．【分析】a＝()2，＝，又0＜a＜1，()2＜，即＜．原式＝－＝－＝＋－（－）＝2．【解答】2．【例2】若化简－的结果为2x－5，则x的取值范围是．【分析】根据x的取值化简绝对值和二次根式的性质分析．－＝－＝2x－5，则－＝x－1＋x－4，即1－x0，x－40，解得1x≤4．【解答】1x≤4．题型六()2＝a(a0)的运用【例3】已知ABC的三边a，b，c满足关系式a＋b＋c－2－4－6＋4＝0，试求ABC的周长．【分析】根据式子的结构特点，运用a＝()2配方，然后利用非负性解题．【解答】a＋b＋c－2－4－6＋4＝0，(a－5)－2＋1＋(b－4)－4＋4＋(c－1)－6＋9＝0，(－1)2＋(－2)2＋(－3)2＝0，a－5＝1，b－4＝4，c－1＝9．a＝6，b＝8，c＝10，ABC的周长为6＋8＋10＝24．题型七二次根式的规律探究【例4】观察分析，探求出规律，然后填空：，2，，2，，，…，(第n个数)．【分析】由题意可知，被开方数是2的倍数，由此即可求解＝，2＝，＝，2＝，＝，第6个数是＝2，第n个数是．【解答】2，．【例5】观察下列各式：＝2；＝3；＝4；，请你猜想⑴＝，＝；(2)计算(请写出推导过程)：；(3)请你将猜想到的规律用含有自然数n(n≥1)的代数式表达出来．【分析】先将被开方数化为假分数，再用二次根式的性质化简．【解答】＝5，＝6；(2)＝＝＝14；＝(n＋1)（n1）．题型八求值【例6】已知：x＝2－，求代数式x2－4x－6的值．【分析】由x＝2－得x－2＝－，两边平方可得二次式．【解答】x＝2－，x－2＝－，(x－2)2＝(－)2，x2－4x＋4＝10，x2－4x＝6，x2－4x－6＝0．【例7】已知x＝2－，那么x4－8x3＋16x2－x＋1的值是．【分析】由x＝2－得出x2－4x－1＝0，用x2－4x－1除x4－8x3＋16x2－x＋1，得出商和余数，利用：被除数＝除数×商十余数，将多项式化简，再代值计算．【解答】由x＝2－得x－2＝－，两边平方，得x2－4x＋4＝5，x2－4x－1＝0，x4－8x3＋16x2－x＋1＝(x2－4x－1)(x2－4x＋1)＋(－x＋2)＝2－x＝．题型九复合二次根式的化简【例8】先阅读下面的解答过程，然后作答：形如的化简，只要我们找到两个非负数a，b，使a＋b＝m，ab ＝n，这样()2＋()2＝m，(＝，那么便有＝＝(a＞b)．例如：化简．首先把化为，这里m＝7，n＝12；由于4＋3＝7，43＝12，即()2＋()2＝7，(＝，＝＝＝2＋．由上述例题的方法化简：(1)；(2)；(3)．【分析】由例题所给信息知关键是要找到两个合适的非负数．【解答】(1)＝＝；(2)＝＝＝－；(3)＝＝(＝(－1)＝－．＝＝＝＝1＋．解决问题：(1)在括号内填上适当的数：＝＝＝＝________；(2)根据上述思路，试将予以化简．【分析】通过完全平方公式，将被开方数化成平方的形式，再根据二次根式的性质，化去里面的一层根号．【解答】(1)＝＝＝＝3＋；(2)＝＝＝＝5－．针对训练21．a，b，＋＋－a－．a，b在数轴上的位置可得a＜0a＋b＜0－a＞0b－＜0．－a|－|b －|＝－a－a－b＋－a＋b－＝－3a．2．＝·，－2＋．＝·3x＋10，2－x0，∴－≤x≤2，x－2＋＝x－2＋3x＋1＝－(x－2)＋(3x＋1)＝2x＋3．＋＋1，试化简代数式：|x－1|－－．【解答】∵－x≥0，x－≥0，－x＝，y＞0＋0＋1，y＞1y－1＞，＝－＝－14．当1＜x＜5时，化简：－．【解答】原式＝－＝|x－1|－|x－5|，又∵1＜x＜5，原式＝(x－1)－[－(x－5)]＝2x－6．5．若x，y为实数，且y＝＋＋，求－的值．【解答】∵1－4x≥0，4x－1≥0，∴1－4x＝0，∴x＝，∴y＝，＋＝2＋＝．∴原式＝－＝＝．6．已知a为偶数，且＝，求－的值．【解答】∵＝，∴a－1≥0，3－a＞0，∴1≤a＜3，又∵a为偶数，∴a＝2，又∵－＝－，∵a＝2，a－3＜0，∴原式＝a－1－＝a－1＋＝2－1＋＝．7．对于题目“化简求值：＋，其中a＝”甲、乙两人的解答不同．甲的解答是：＋＝＋＝＋－a＝－a＝；乙的解笞是：＋＝＋＝＋a－＝a＝，谁的解答是错误的?为什么?【解答】乙的解答是错误的．∵当a＝时，－a＞0，∴＝－a．8．化简：(1)；(2)．【解答】(1)原式＝＝＝；(2)原式＝＝＝(＋1)＝＋．9．已知a＋b＋c＝2＋4＋6－14，求a(b＋c)＋b(c＋a)＋c(a＋b)的值．【解答】依题意得(a＋1)－2＋1＋(b＋1)－4＋4＋(c－2)－6＋9＝0，∴(－1)2＋(－2)2＋(－3)2＝0，∴＝1，＝2，＝3，∴a＝0，b＝3，c＝11．a(b＋c)＋b(c＋a)＋c(a＋b)＝0＋33＋33＝66．10．利用“≥0”解答下列问题：(1)若＋＋＝0，求a，b，c的值；(2)若a＋b＋c＝4＋6＋2，求a，b，c的值．【解答】(1)∵≥0，≥0，≥0．＋＋＝＝0，＝0＝0，a＝1b＝4，c ＝9；(2a－2＋b－4＋c－6＝0，[()2－2＋1]＋[()－4＋4]＋[()－6＋9]＝0，(－1＋(－2)＋(－3)＝0，(－10，(－2)0，(－3)0．－1＝0，－2＝0－3＝0，a＝2，b＝8，c＝18．11．＋＝a－2017＝__．a－2018≥0，即a≥2018，则原方程可化为|2017－a＋＝aa－2017＋＝a＝2017a－2018＝201720172＝2018．2018．。

第01课 二次根式课程标准1、理解二次根式的概念，了解被开方数是非负数的理由.2、理解并掌握下列结论：0(0)a a ≥≥，2()(0)a a a =≥，2(0)a a a =≥，并利用它们进行计算和化简．知识点01 二次根式及代数式的概念1.二次根式：一般地，我们把形如 的式子叫做二次根式，“”称为 ．要点诠释：正确理解二次根式的概念，要把握以下五点：（1） 二次根式的概念是从形式上界定的， “ ”，“”的根指数为 ，即“2”，我们一般 ，写作“”。

如25可以写作 。

（2） 二次根式中的被开方数既可以是一个 ，也可以是一个含有字母的 。

（3） 式子 a 表示 的 ，因此a ≥0， a ≥0。

其中a ≥0是 a 有意义的前提条件。

（4） 在具体问题中，如果已知二次根式 a ，就意味着给出了 这一隐含条件。

（5） 形如b a （a ≥0）的式子也是二次根式，b 与 a 是 的关系。

要注意当b 是分数时 ，例如83 2 可写成8 2 3 ，但不能写成2 23 2 。

2.代数式：形如5，a ，a+b ，ab ，s t，2x ，0(0)a a ≥≥这些式子，用基本的运目标导航知识精讲算符号(基本运算包括加、减、乘、除、乘方、开方)把和表示数的连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式.列代数式的常用方法：（1）：根据问题的语言叙述直接写出代数式。

（2）：根据公式列出代数式。

（3）：将蕴含在一组数或一组图形中的排列规律用代数式表示出来。

知识点02 二次根式的性质注意：2()a与2a的区别与联系：2()a2a区别表示的意义不同表示表示取值范围不同a a读法不同读作“”或“”读作“”或“”被开方数不同被开方数是被开方数是运算顺序不同先后先后运算结果，运算依据不同（ a ）2 =a，依据平方与开平方得到依据算术平方根的定义得到作用不同（ a ）2 = a（a≥0），正向运用可化简二次根式，逆向运用可以将任意一个非负数写成一个数的平方的形式a2=｜a｜，正向运用可以将根号内的非负因式取算术平方根移到根号外，逆用运用可以将根号外的非负因式平方后移到根号内联系①含有两种相同的运算，都要进行平方与开方②结果都是；③a时，（ a ）2=a2考法01 二次根式的判断【典例1】在式子2x（x＞0），2，33，21x+，3x-（x＞0）中，二次根式有（）A．5个B．4个C．3个D．2个【即学即练】下列各式中，不是二次根式的是（）A．21B．3π-C．222a+D．12考法02 二次根式有意义的条件【典例2】若二次根式2x-在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A．2x>B．2x≥C．2x≤D．2x<【典例3】式子22xx+-中x的取值范围是（）能力拓展A．x＞2B．x≥﹣2C．x≠2D．x≥﹣2且x≠2【典例4】x的取值范围是（）A．x＞﹣3且x≠0B．x＞﹣3C．x≥﹣3D．x≠﹣3【典例5】如果5y，那么xy的值是______．考法03 二次根式非负性的逆用【典例6】12a=-，则a的取值范围是（）A．12a<B．12a≤C．12a>D．12a≥【即学即练】1x-，则x的取值范围是（）A．x≤1B．x≥1C．x＜1D．x＞1【典例7】把）A B．C D．考法04 利用二次根式的非负性化简求值【典例8】计算：2______．【即学即练】=______．【典例9】（y﹣3）2＝0_____．【即学即练】若x＜23x-＝_______________．【即学即练】＝_______________．考法05 ｜a｜并结合数轴化简求值【典例10】如图，a，b，c||b c+______________【即学即练】如果表示a、b的实数的点在数轴上的位置如图所示，那么化简|a﹣的结果是_____．【即学即练】如图，数轴上点A 表示的数为a ，化简：a244a a +-+=_____．【即学即练】已知实数a ，b ，c 在数轴上的位置如图所示，化简：222||()()a a c c a b -++--.考法06 利用2a =｜a ｜与三角形三边关系的综合应用【典例11】已知：a 、b 、c 是△ABC 的三边长，化简()2a b c ++－()2b c a +-＋()2c b a --.【即学即练】设a ，b ，c 为△ABC 的三边，化简：()()()()2222a b c a b c b a c c b a +++--+--+-- .考法07 逆用2()a = a （a ≥0）在实数范围内分解因式【典例12】在实数范围内分解因式： （1）22x -； （2）253x -．【即学即练】分解因式（在实数范围内）：33a a -．题组A 基础过关练1．在式子23(0),2,1(2),2(0),3,1,2xx y y x x x x y >+=-->++中，二次根式有（ ） A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个分层提分2x 的取值范围是（ ） A ．x≤3 B ．x ＜3C ．x≥3D ．x ＞33A ．﹣3B ．3C ．﹣9D ．94．已知3y ，则2xy 的值为（ ） A ．15-B ．15C ．152-D ．1525．实数a 、b 在数轴上的位置如图所示，且|a|＞|b|a b +的结果为（ ）A ．2a+bB ．-2a+bC ．bD ．2a -b621a =-，那么（ ）A ．12a <B ．12a ≤C ．12a >D ．12a ≥7．已知－2＜m ＜3|m ＋2|的结果是( ) A ．5B ．1C ．2m －1D ．2m －58．在Rt ABC ∆中，90︒∠=C ， c 为斜边，a. b 为直角边，2c a b --的结果为( ) A ．3a b c +- B ．33a b c --+ C ．33a b c +- D ．2a9．化简2+）A ．152x -B ．1-C ．27x -D ．1题组B 能力提升练12得（ ）．A ．2B ．44x -+C ．－2D ．44x -2．已知△ABC 的三边之长分别为a 、1、3，则化简|9-2a| ） A ．12-4aB ．4a -12C ．12D ．-123．把(2-x) 2-x ）适当变形后移入根号内，得（ ）AB C ． D ．4．已知1＜x ＜5-5|=____．54－m ，则m 的取值范围是____________．6．把(2-x ____________． 7．已知a ，b ，c 是三角形的三边长，化简：-+---=a b c a b c ________．81的最小值是______．9．当1时，代数式x 2+2x+2的值是__________． 10．在实数范围内因式分解：348a a -=________． 11．观察下列各式：11111122⎛⎫+=+- ⎪⨯⎝⎭，111112323⎛⎫+=+- ⎪⨯⎝⎭，111113434⎛⎫+=+- ⎪⨯⎝⎭，请利用你发现的规律，计算：____．题组C 培优拔尖练1．若实数a 、b 、c b c a c ++-．2．阅读理解题，下面我们观察：2221)211213=-⨯=-=-反之23211)-=-=，所以231)-=1 完成下列各题：（1）在实数范围内因式分解：（2（3 3．阅读下列解题过程：2=，求a 的取值． 解：原式=24a a -+-，当a<2时，原式＝(2-a)+(4-a)=6-2a=2，解得a ＝2(舍去)； 当2≤a ＜4时,原式＝(a -2)+(4-a)=2=2，等式恒成立； 当a≥4时，原式＝(a -2)+(a -4)=2a －6＝2，解得a=4； 所以，a 的取值范围是2≤a≤4．上述解题过程主要运用了分类讨论的方法，请你根据上述理解，解答下列问题：(1)当3≤a≤7_________；(2)5的a 的取值范围__________；(3)6，求a 的取值．4．小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3＋＝（12，善于思考的小明进行了以下探索：设a ＋＝（m ＋2（其中a ，b ，m ，n 均为正整数），则有a ＋m 2＋2n 2＋，△a ＝m 2＋2n 2，b ＝2mn ．这样小明就找到了一种把a ＋ 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：（1）当a ，b ，m ，n 均为正整数时，若a ＋m ＋2，用含m ，n 的式子分别表示a ，b ，得a ＝ ，b ＝ ；（2）利用所探索的结论，找一组正整数a ，b ，m ，n 填空： ＋2 ＝（ ＋ ）2；（答案不唯一）（3）若a ＋m ＋2，且a ，m ，n 均为正整数，求a 的值。

二次根式【知识要点】必杀技：要注意二次根式中字母的取值范围：被开方数必须是非负数.1. 二次根式的主要性质：A、最简二次根式：被开方数中不含分母，并且被开方数中不含开的尽方的因数或因式，像这样的二次根式成为最简二次根式最简二次根式的条件:①根号内不含有开的尽方的因数或因式②根号内不含有分母③分母不含有根号B、同类二次根式：被开方数相同的最简二次根式叫做同类二次根式C、乘法公式：4a∙y[b=(4≥O,h≥O);反N:4ab=(4≥O,h≥O)E、合并同类二次根式：ιn4a+n4a=∖m4a-n4a=【典型例题】例1X是怎样的实数时，下列二次根式有意义？(1)√77T;(2)√3T≡2；(3)A Q≡;(4)J-.V2x+1 V3-2x例2.若G—灯有意义,则a的值为.例3.若岳涛=(G^)2,则X的取值范围是.例4.已知2VxV3,化简：√U-2)2+∣X-3∣.例5.数a、b在数轴上的位置如图所示，化简Js+1)2+Js-1)2一Jg-勿2.(1)√(-25)×(-169) (2)√27×15(3)√8∕π2π2(4)-2√3α∙∣√Γ2^例2:除法运算⑴甯⑵艮我⑶辩⑷偿例3：加减混合运算二次根式加减时，可以先将二次根式化简成最简二次根式，再合并同类二次根式，一般步骤为：化简一分类一合并典型例题例1、计算：(1)(Λ∕a3b-3ab+Λ/ab3)÷4ab>其中α>0,方>0(4)加超—综352)。

+而后【变式练习】计算：6'海-Q+日-看⑵2[-*(M+亚-20(3)2ay∣3ah2-∣√27^3+2ab,其中必›0(4)(V1^8—4^1——V3—Λ∕2)÷—-V2 3【课堂练习】1.如果卜+啊+y一半］=0'则(Xy)2°°s=∙2.已知乂y的实数，y=在三专£±1,则3x+4）,的值为.x-23.化简下列各式:(1)J(α-3)2-"(4-d(α>4)(2 7(-5)2-J(-√3)2+∣√3-√2∣4.已知"6-虚，求的值.a-aa-∖【贴近中考】1. (2011 江办官南乐巾）Vr>(√2+1)(2-√2)=.2. (2011 江苏省扬州市）计算：√8-√2=.3. (2011 内蒙古包头市）化简二次根式：√27-———心等于2-√34. (2011 青海省）计算：√18÷>^-√32=.5. (2011 山东省范泽市）实数α在数轴上的位置如图所示，则J（α-4）2+J（α-11）2化简后为（）八二A.7B.-7C.25-15D.无法确定6.（2011山东省济宁市）下列各式计算正确的是（）A.√2+√3=√5B.2+&=2应C.3√2-√2=2√2D.^~^1θ=√6-√57.（2011山东省聊城市）化简：√20-√5=.8.（2011山东省临沂市）计算24-64+而的结果是（）A.3√2-2√3B.5-√2C.5-√3D,2√2。

专题01 二次根式及其运算知识讲义【相关概念】二次根式：a≥0）的式子叫做二次根式.a为被开方数，a可以是数字或代数式.代数式：含有字母的数学表达式称为代数式.整式、分式均为代数式.最简二次根式：1、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；2、被开方数的因数是整数，因式是整式.同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式.【二次根式运算】乘法=a≥0，b≥0）除法=（a≥0，b ＞0）加（减）法先把各根式化成最简根式，再合并同类根式分母有理化====【二次根式性质】，a≥0非负数：|a|，a 2n()()00a a a a ≥⎧=⎨-≤⎩2a =【二次根式应用】因式的内移和外移：（1）负号不能移到根号下；（2）根号下的负号不能移到根号外.【题型一】二次根式有意义条件例1. （2020·m 能取的最小整数值是（）A ．m = 0B ．m = 1C ．m = 2D ．m = 3【答案】B.3m －1≥0，解得：m≥13， 所以，m 能取的最小整数值是1．故答案为：B ．例2. （2020·=-，那么x 的取值范围是_______． 【答案】－3≤x≤0.【解析】解：∵233x x +-∴x≤0，且x+3≥0，解得：－3≤x≤0，故答案为：－3≤x≤0.例3．（2019·=x 的取值范围是______. 【答案】x≥2.=∴x≥0，x−2≥0，∴x≥2.故答案为：x≥2.【题型二】同类二次根式例4. （2020·是同类二次根式，那么满足条件的m 中最小正整数是________．【答案】4.【解析】解：当5m+8=7时，m=-15，不合题意，，即5m+8=28时，m=4，是同类二次根式，那么m 的最小正整数是4，故答案为：4．例5. mn =_________．【答案】10.∴n=2，2m-5=5，∴m=5，n=2∴mn=10故答案为：10．例6. mn＝________．【答案】21.∴1221343nm m-=⎧⎨-=-⎩，解得，73mn=⎧⎨=⎩，∴mn=21故答案为：21.【题型三】变式考查例7. （2020·浙江宁波市期中）我们把形如b（a，b为最简二次根式）32是（）A型无理数B C型无理数D型无理数【答案】B.【解析】解：2故答案为：B．例8. （1n所有可能的值；（2是整数，求正整数n的最小值．【答案】（1）自然数n 的值为2、9、14、17、18；（2）正整数n 的最小值为6．【解析】解：（1是整数，∴18-n=0或1或4或9或16，解得：n=18或17或14或9或2，则自然数n 的值为2，9，14，17，18；（2=是整数，n 为正整数，∴正整数n 的最小值为6．例9．（2020·21x =-，则x=__________． 【答案】12或1.21x =-，∴2x-1=0或2x-1=1，解得：x=12或x=1． 故答案为12或1． 【题型四】二次根式运算例10．（2020·周长为( )A ．B ．C ．D ．无法确定【答案】A.若，，则周长为若，∴，此三角形不存在，∴个三角形的周长为故答案为：A ．例11)2211-．)2211--1313=--+-=例12．（2020·福建省泉州月考）已知1x =，x 的整数部分为a ，小数部分为b ，求a b的值．.【解析】解：∵3，∴+1<4，故a=3，－2，∴)3232274a b ====-. 例13．（2020·广东佛山市月考）先阅读，再解答:由222=-= 可以看出，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式，在进行二次根式计算时，利用有理化因式，有时可以化去分母中的根号，例如：==，请完成下列问题：1的有理化因式是；(2)= ．（直接写结果）>或<）(4)利用你发现的规律计算下列式子的值：)1+【答案】（1+1；（2）；（3）<；（4）2017.【解析】解：（1+1；（2333==+；（3=>（4）原式=)120181+=)11=2018-1=2017．例14. 若a，b都是正整数，且a＜b是可以合并的二次根式，是否存在a，b，＝a，b的值；若不存在，请说明理由．【答案】当a＝3，b＝48；当a＝12，b＝27.，m、n为正整数，m＜n，∴m=1，n=4或m=2，n=3故a=3，b=48或a=12，b=27．例15．（2019·辽宁大连市期中）[观察]请你观察下列式子的特点，并直接写出结果：11112=+-=；11123=+-=；11134=+-=；……[发现]根据你的阅读回答下列问题：（1）请根据上面式子的规律填空：=（n为正整数）；（2）请证明(1) 中你所发现的规律．[应用]请直接写出下面式子的结果：11n++=．【答案】[观察]32，76，1312；[发现]（1）1111n n+-+或221n nn n+++；（2）证明见解析；[应用]221n nn++．【解析】[观察]32，76，1312，[发现]（1）1111n n+-+或221n nn n+++（2）左边=====∵n 为正整数，∴()11111011n n n n +-=+>++ ∴左边=右边[应用11n +++111111111111223341n n =+-++-++-+++-+…… 1111n n =⨯+-+ 1n n n =++ 22=1n n n ++. 【题型五】化简求值例16. （2021·江苏南通市期末）化简2+的结果是（ ） A ．152x -B ．1-C ．27x -D ．1 【答案】A.【解析】解：∵二次根式被开方数为非负数，∴7-x≥0，则x≤7∴x-8＜0，原式=7-x+8-x=15-2x故答案为：A ．例17．（2020·浙江杭州期中）实数a ，b 在数轴上的位置如图，||a b -的结果为（ ）A ．2aB ．2a -C ．2bD ．2b -【答案】B.【解析】解：由题意得：a ＞b ，|a |＜|b |，a ＞0，b ＜0，∴a -b ＞0，a +b ＜0，∴原式＝-a -b -a +b ＝-2a ，故答案为：B ．例18．若数轴上表示数x 的点在原点的左边，则化简3x + ） A ．4x - B ．4x C ．2x - D ．2x【答案】C.【解析】解：∵数x 的点在原点的左边，∴x ＜0，∴原式＝|3x +|x ||＝|3x -x |＝|2x |＝-2x ．故答案为：C ．例19．（2020·温州月考）下列四个式子中，与(a -的值相等的是（） AB ．CD ．【答案】D.【解析】解：由题意得：2021-a>0，得：a<2021，∴a-2021<0，∴原式=(2021a --== 故答案为：D ． 例20．下列给出的四个命题：①若a b = ，则a a b b =；②若a 2﹣5a+5=01a =- ；③(1a -=其中是真命题是【答案】②.【解析】解：①当a=-1，b=1时，命题不成立，是假命题，②a 2=5a-5，∴5a-5≥0，即a≥1，，是真命题；③(a -==，是假命题， 故答案为：②．【题型六】阅读材料例21．（2021·北京延庆区期末）我们规定用（a ，b ）表示一对数对．给出如下定义：记m=，n = a ＞ 0，b ＞ 0），将（m ，n ）与（n ，m ）称为数对（a ，b ）的一对“对称数对”．例如：（4，1）的一对“对称数对”为（12，1）和（1，12）； （1）数对（9，3）的一对“对称数对”是 ；（2）若数对（3，y ）的一对“对称数对”相同，则y 的值为 ；（3）若数对（x ，2）的一个“对称数对”，1），则x 的值为 ；（4）若数对（a ，b ）的一个“对称数对”，，求ab 的值．【答案】（1）1(3与1)3， ；（2）13；（3）1 ；（4）16或6.【解析】解：（1）由题意得13=，∴数对(9，3)的一对“对称数对”是1(3与1)3，；（2）由题意得，∴数对(3，y ）的一对“对称数对”为⎝与⎭， ∵数对(3，y ）的一对“对称数对”相同，= ∴y=13；（3）∵数对(x ，2)的一对“对称数对”是与而数对(x ，2)的一个“对称数对”，1）， 1=， ∴x=1；（4）∵数对(a ，b)的一对“对称数对”是与，而数对(a ，b)的一个“对称数对”是，==1,183a b == ∴11863ab =⨯=；==1,318a b ==， ∴113186ab =⨯=，综上所述，16ab =或6ab =． 例22. 阅读理解：二次根式的除法，要化去分母中的根号，需将分子、分母同乘以一个恰当的二次根式．．11==． 类比应用：（1= ； （29++=+ ． 拓展延伸：的矩形叫黄金矩形．如图①，已知黄金矩形ABCD 的宽AB =1． （1）黄金矩形ABCD 的长BC = ；（2）如图②，将图①中的黄金矩形裁剪掉一个以AB 为边的正方形ABEF ，得到新的矩形DCEF ，猜想矩形DCEF 是否为黄金矩形，并证明你的结论；（3）在图②中，连结AE ，则点D 到线段AE 的距离为 ．【答案】类比应用：（1）；（2）2；拓展延伸：（1）12；（2）矩形DCEF为黄金矩形，理由见解析；（3【解析】解：类比应用：（1）根据题意可得：== （2）根据题意可得：9++(9+++19-+-1=2；拓展延伸：（1的矩形叫黄金矩形， 若黄金矩形ABCD 的宽AB =1，则黄金矩形ABCD 的长BC； （2）矩形DCEF 为黄金矩形，理由是：由裁剪可知：AB=AF=BE=EF=CD=1，根据黄金矩形的性质可得：AD=BC=1=∴FD=EC=AD-AF=112-=12，∴DF EF =11122÷=，故矩形DCEF 为黄金矩形；（3）连接AE ，DE ，过D 作DG ⊥AE 于点G ，∵AB=EF=1，，∴=在△AED 中，S △AED =1122AD EF AE DG ⨯⨯=⨯⨯，即AD EF AE DG ⨯=⨯1DG =，解得∴点D 到线段AE 的距离为4+. 例23. （2019·四川月考）阅读下列材料，然后回答问题．一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：====1以上这种化简的步骤叫做分母有理化．②学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算，比如我们熟悉的下面这个题：已知 a +b =2，ab = -3 ，求 a 2 + b 2 ．我们可以把a +b 和ab 看成是一个整体，令 x =a +b ， y = ab ，则 a 2 + b 2 = (a + b)2 - 2ab = x 2- 2y = 4+ 6=10．这样，我们不用求出a ，b ，就可以得到最后的结果．（1...+（2）已知 m 是正整数， ab且 2a 2+ 1823ab + 2b 2 = 2019 ．求 m ． （31=【答案】（1）12；（2）2；（3）9. 【解析】解：（1）原式12019+2222=+++2019++== （2）∵ab∴=2（2m+1），=1∵2a 2+ 1823ab + 2b 2 = 2019∴2（a 2+b 2）+1823=2019∴a 2+b 2=98∴4（2m+1）2=100∴m=2或m=-3∵m是正整数∴m=2．（31=，得：21=20=2281=-+=0≥≥．例24.（2020·湖南怀化市期末）同学们，我们以前学过完全平方公式222)2(a ab b a b ±+=±，你一定熟练掌握了吧！现在，我们又学习了二次根式，那么所有的非负数（以及0）都可以看作是一个数的平方，如23=，25=，下面我们观察：)2221211213=-⨯=-=-23211)-=-=，∴231)-=1= 求：（1；（2（3=，则m 、n 与a 、b 的关系是什么？并说明理由．【答案】（11；（21；（3）m+n=a ，mn=b ，理由见解析.【解析】解：（11；（21==；（3）m+n ＝a ，mn ＝b.=∴2a =+，∴，∴m+n ＝a ，mn ＝b.例25．（2020·安徽安庆市）阅读理解题，下面我们观察：2221)211213=-⨯=-=-反之23211)-=-=，所以231)-=1= 完成下列各题：（1）在实数范围内因式分解：（2（3．【答案】（1）2(1+；（21；（3【解析】解：（1）22231(1+=+=+（21==（3==。