二次根式标准讲义

学习必备欢迎下载二次根式基本运算、分母有理化内容基本要求 略高要求 较高要求二次根式的 化简和运算理解二次根式的加、减、乘、除运算法则 会进行二次根式的化简，会进行二次根式的混合运算（不要求分母有理化）板块一二次根式的乘除最简二次根式：二次根式、W （。

> 0 ）中的a 称为被开方数.满足下面条件的二次根式我们称为最简二次根式： ⑴被开放数的因数是整数，因式是整式（被开方数不能存在小数、分数形式）⑵被开方数中不含能开得尽方的因数或因式⑶分母中不含二次根式 二次根式的计算结果要写成最简根式的形式.二次根式的乘法法则：a a - 口 =x 嬴（a > 0 ， b > 0 ）二次根式的除法法则：f 二利用这两个法则时注意a 、b 的取值范围，对于abb = 'Ji •、J 如 1：'（一7） • （—5）中 \：（—7） • \；（-5） 一、二次根式的加减1 .同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式. 合并同类二次根式：a--x + b<x = （a + b ）%：'x .同类二次根式才可加减合并.【例1】若最简二次根式怎二5与V 0T 3是可以合并的二次根式，则a =—。

【例2】下列二次根式中，与、应是可以合并的是（）学习必备 欢迎下载b 都非负，否则不成立， A . 21a B . v 3a 2 C . a a 3 置要求【巩固】判断下列各组二次根式是不是同类二次根式:【例3】下列二次根式中，哪些是同类二次根式？（字母均为正数） 淳・,友…i° ； 2、而；^；史.【例4】若最简二次根式a +b 石Tb 与a7~2bb 是同类根式，求—a 2b 的值.【巩固】若a ,b 为非负数，a +b 4b 与石二b 是可以合并的二次根式，则a ,b 的值是（ ）A . a = 0, b = 2B . a = 1, b = 1C . a = 0, b = 2 或a = 1, b = 1D . a = 2, b【例5】已知最简根式a 、,：.五万与a -b 7是同类二次根式，则满足条件的a , b 的值（ ）A .不存在B .有一组C .有二组D .多于二组【巩固】若a 4与最简二次根式瓜K 为同类二次根式，其中a , b 为整数，则a =, b 二【例6】 方程、X +。

二次根式考点1二次根式的概念a≥0）的式子叫做二次根式。

二次根式的实质是一个非负数a的算数平方根。

二次根式的概念有两个要点：一是从形式上看，应含有二次根号；二是被开方数的取值范围有限制：被开方数a必须是非负数。

（x≥0，y•≥0）当x考点2二次根式的性质⑴a≥0）是一个非负数，≥ 0a的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0，所以非负数的算术平方根是非负数。

⑵（）一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。

⑶一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。

注：A、化简时，一定要弄明白被开方数的底数a是正数还是负数，若是正数或0，则等于 a本身，若a是负数，则等于a的相反数-aB、中的a的取值范围可以是任意实数，即不论a取何值，一定有意义；C、化简时，先将它化成│a│，再根据绝对值的意义来进行化简。

⑷与的区别前者表示一个正数a的算术平方根的平方，而后者表示一个实数a的平方的算术平方根；a的取值范围不同，因而它的运算结果是有差别的。

练1 ；；；练2 计算1．）22．（23．24．（）22练3计算1．22．）23．√（1-a）2( a＞0 )考点3 二次根式的乘除 二次根式的乘法：)0,0(≥≥=⋅b a ab b a 把被开方数相乘，再作开方运算。

练1．计算（1 （2 （3 （4练2 化简（1 （2 （3 （4 二次根式的除法：ba b a=).0,0(>≥b a 把被开方数相除，再作开方运算。

练1．计算：（1（2 （3 （4练2．化简：（1 （2 （3 （4练3．计算（1， （2， （3 考点4 最简二次根式⑴被开方数不含分母；⑵被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。

练1 下列二次根式中，最简二次根式是（ ）（B ）xy （C （D 练2 下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A. 21a + B. 1a 2+ C. ab 4 D. b a 2练3 下列根式中,不是最简二次根式的是：(A) (C) (D)考点5二次根式的加减⑴、同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式。

二次根式一、知识梳理1、二次根式的概念和性质二次根式的定义：形如a （0a ≥）的式子叫做二次根式.注意点：（1）被开方数是正数或0；（2）二次根式a （0a ≥）表示非负数a 的算术平方根.二次根式的性质：（1）二次根式的非负性：0a ≥；（2）2()(0)a a a =≥；（3）2(0)(0)(0)a a a a a a a a >⎧⎪===⎨⎪-<⎩；（4）当0a ≥时，22()a a =.2、最简二次根式最简二次根式最简二次根式的定义：①被开方数的因数是整数，因式是整式（分母中不含根号）；②被开方数中不含能开 得尽方的因数或因式．这样的二次根式叫做最简二次根式．最简二次根式的满足条件：（1）被开放数的因数是整数，因式是整式（被开方数不能存在小数、分数形式）；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；（3）分母中不含二次根式．说明：二次根式的计算结果要写成最简根式的形式．3、二次根式的加减同类二次根式几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫同类二次根式．二次根式的加减同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次 根式．合并同类二次根式：()a x b x a b x +=+，同类二次根式才可加减合并．分母有理化分母有理化：把分母中的根号化去叫做分母有理化．互为有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，说这两个代数式互为有理化因式．a b+与a b-互为有理化因式；分式有理化时，一定要保证有理化因式不为0．4、二次根式综合运算二次根式的综合运算法则：先算乘除法，再算加减法，有括号的先算括号里面的，最终结果二次根式部分要化为最简二次根式．注意：在二次根式的计算题中，如果题目中没有明确说明字母的取值范围，按照字母使二次根式有意义计算．5、二次根式化简求值二次根式的化简求值：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的加减乘除运算，化为较为简单的一个式子（或直接得出结果），最后代入未知数的值求解，有时候也会存在整体代入的情况．注意：对于二次根式的化简求值如果字母没有明确说明取值范围，必须要进行分类讨论．6、根式的大小比较比较大小的方法1．作差法:比较a、b的大小，0,0,0,a b a b a ba b>>⎧⎪-==⎨⎪<<⎩2．作商法：比较a、b的大小，当0,0a b>>时，可以采用作商法，1,1,1,a b aa b ba b>>⎧⎪==⎨⎪<<⎩二次根式比较大小的方法（1）0a b a b>>⇔>（2）二次根式比较大小：能直接比较大小的直接比较；不能直接比较大小的，先平方再比较．（3）估算法（4）分子有理化（5）倒数法7、二次根式的乘除二次根式的乘除法二次根式的乘法法则：a b ab⋅=（0a≥，0b≥）．二次根式的除法法则：a abb=（0a≥，0b>）．说明：利用乘除法则时注意a、b的取值范围，对于ab a b=⋅，a、b都非负，否则不成立．二、典型例题题型一、二次根式的概念和性质例1： 函数1x y x =-中自变量x 的取值范围是（ ） A ．1x ≥B ．1x <且0x ≠C ．1x >D ．1x ≥且0x ≠【答案】C【解析】该题考查的是函数的定义域．根式下的式子在非负条件下有意义，分数在分母不为0的条件下有意义，综上所述，10x -≥，且10x -≠，∴1x >，故本题答案为C ．例2： 若320-+-=x y ，则xy 的值为____.A ．8B ．6C ．5D ．9【答案】A【解析】该题考查的是的非负性．根据题意得：3020x y -=⎧⎨-=⎩解得：32x y =⎧⎨=⎩∴32x y =，故选A ．变式： 已知：()322512012x x y x -+-=+--，求x y 的值. 【答案】25【解析】该题考查的是二次根式的性质．∵()322512012x xy x -+-=+--有意义∴()32020120120x x x ⎧-≥⎪⎪-≥⎨⎪--≠⎪⎩所以2x =，055y =+=∴2525x y ==题型二、最简二次根式例1、下列二次根式中，最简二次根式是（ ）A ．22xB ．0.5C ．22x y +D ．1x 【答案】C【解析】该题考查最简二次根式．A 、x x 222=被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式；故本选项错误； B 、120.522==，被开方数含分母，不是最简二次根式；故本选项错误； C 、22x y +满足最简二次根式的定义，是最简二次根式；D 、1x x x=，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式． 故选C ．例2、若最简二次根式2342a +与22613a -是同类二次根式，则a =_________【答案】1±【解析】该题考查的是二次根式．满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式：（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式． 根据题意可列：22461a a +=-解得：1a =±变式、若2，m ，4为三角形三边，化简：()()2226m m -+-＝____________．【答案】4【解析】该题考查的是根式的化简求值．∵2，m ，4为三角形三边，可知包括如下关系：①24m +>，即6m <②24m +>，即2m >∴原式264m m =-+-=题型三、二次根式的加减例1、计算124183-⨯=__________．【答案】6【解析】该题考查的是二次根式的计算．原式346923=⨯-⨯⨯326323=-⨯ 2666=-=例2、111115533131317+++=++++____.【答案】1714-【解析】该题考查根式的分母有理化．11115135133171317144444155********-----+++=+++=++++ 故答案为1714-． 变式、已知32x =+，32y =-，则33_________x y xy +=.【答案】10【解析】因为32x =+，32y =-，所以()()32321xy =+-=，()()323223x y +=++-=，所以()()()22332221232110x y xy xy x y xy x y xy ⎡⎤⎡⎤+=+=+-=⨯-⨯=⎢⎥⎣⎦⎣⎦题型四、二次根式综合运算例1、化简：2244112a a a a -+--+（112a ≤≤）【答案】32a -【解析】()()222244112211211a a a a a a a a -+--+---=---，因为112a ≤≤，所以原式21121132a a a a a =---=-+-=-例2、若352x y +=-，325x y -=-，求xy ．【答案】52-【解析】2()352x y +=-；2()325x y -=-∴22()()352(325)5244x y x y xy +-----===-变式、化简22691025a a a a +++-+【答案】当3a <-时，原式=22a -+；当35a -≤<时，原式=8；当5a ≥时，原式=22a -；【解析】()()22226910253535a a a a a a a a +++-+=++-=++-，当3a <-时，原式353522a a a a a =++-=---+=-+；当35a -≤<时，原式35358a a a a =++-=+-+=；当5a ≥时，原式353522a a a a a =++-=++-=-题型五、二次根式化简求值例1、化简：()221269x x x -+-+=____【答案】43x -【解析】该题考查根式的化简．()()2221269123x x x x x -+-+=-+-∵由题得120x -≥，12x ≤∴()2333x x x -=-=-．∴原式12343x x x =-+-=-．故答案为43x -．例2、化简：108322++．【答案】42+【解析】22108322108(12)108(12)1882(42)42++=++=++=+=+=+变式、化简：（1）412-（2）415+【答案】（1）31-（2）1062+【解析】（1）()24124233131-=-=-=- （2）221064158215(53)222++=+=+=题型六、根式的大小比较例1、比较大小：512-_______12．（填“>”、“<”或“=”）． 【答案】>【解析】该题考查的是二次根式比大小．5115115254022222------===>，即511022-->， 即51122->． 例2、设120082006,2007A B =-=，比较大小：A ____B ．【答案】A B >【解析】222008200620082006A ==+-，22220072007B ==；2008200622007+< ∴22A B< ∴A B >变式、已知21a =-，226b =-，62c =-，那么a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c b a >>D ．c b a <<【答案】B【解析】()()221,223,2322a b c ⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭2222(231)2(13)(2223)0222b a -=--+=-+=+->，b a > 2222(132)2(13)(2223)0222a c -=--+=-+=+->,a c >b ac >>题型七、二次根式的乘除例1、下列计算正确的是（ ）A ．235⋅=B ．236⋅=C ．84=D ．2(3)3-=-【答案】B【解析】根据二次根式的乘法运算法则，可得236⋅=，故答案为B 选项．例2、下列计算结果正确的是（ ）A ．257+=B ．2510⨯=C ．3223-=D ．25105=【答案】B【解析】该题考查的是二次根式计算．A 选项2与5不是同类项，不能合并，故本选项错误；B 选项252510⨯=⨯=，故本选项正确；C 选项32222-=，故本选项错误；D 选项21055=，故本选项错误． 故答案是B ．变式、已知：4322232b a a =-+-+，求11a b +的平方根．【答案】2±【解析】该题考查的是二次根式．4322232b a a =-+-+，根据被开方数的非负性我们知道320230a a -≥⎧⎨-≥⎩，所以23a =， 代入得43222322b a a =-+-+=，所以1131222a b +=+=，平方根为2±三、课堂巩固1、函数11y x =-中自变量的取值范围是（ B ）A ．1x ≠B ．1x >C ．1x ≥D ．1x ≥-2、对于所有实数,a b ，下列等式总能成立的是（ C ）A ．()2a b a b +=+B ．22a b a b +=+C ．()22222a b a b +=+ D ．()2a b a b +=+ 3、函数12y x =+中，自变量x 的取值范围是2->x 4、实数P 在数轴上的位置如图所示，化简()()2223p p -+-=15、计算：=⨯121726，=--)84)(213(24， =⨯-03.027.02-0.18，=÷-327348-5.6、化简：()221269x x x -+-+=x 34-.7、设120082006,2007A B =-=，比较大小：A >B ． 8、已知: 21x =-，求223x x +-的值．()()()()2222231322-=-+=+-=-+x x x x 9、已知：,x y 为实数，且113y x x <-+-+，化简：23816y y y ---+． 1=x 3<y 原式=()1-4343=---=---y y y y1 2 3 4 p课后作业1、函数2x y x-=中，自变量x 的取值范围是（ A ） A ．2x ≤且0x ≠B ．2x ≤C ．2x <且0x ≠D ．0x ≠2、若()424A a =+，则A =（ A ） A ．24a +B ．22a +C ．()222a + D ．()224a + 3、若2(2)10m n ++-= 则m n -= -3 ．4、在下列二次根式22211025312232322a a a a b m x a b x a b +-++，，，，，，，，，，中，最简二次根式有6个．5、若最简二次根式35a -与3a +是同类二次根式，则a =___4___.6、若231604b a a +-+=-，则3223a b a b +=-___-18___.7、比较大小：512-___>___12．（填“>”、“<”或“=”）． 8、计算：01186(121)221+---- 原式=01232212=--++9、化简：（1）412-原式=()13132-=- （2）415+221064158215(53)222++=+=+=。

第1课时二次根式课时目标1. 了解二次根式的概念及二次根式有意义的条件；2. 掌握二次根式的四个基本性质；3. 会根据二次根式的性质化简二次根式；4. 了解什么是同类二次根式，并会合并同类二次根式；5. 掌握二次根式的加法和减法运算法则；6. 掌握二次根式的乘法和除法法则.知识精要1. 定义)0a≥叫做二次根式，其中aa≥.2. 二次根式的性质性质1 ()0a a=≥（双重非负性）性质2 ()20a a=≥()()()00a aa aa a≥⎧⎪===⎨⎪-<⎩性质3 =()0,0a b≥≥性质4 =)0,0(>≥ba3. 化简二次根式把二次根式里被开方数所含的完全平方因式移到根号外，或者化去被开方数的分母的过程，称为化简二次根式.化简关键：将被开方数因式分解或因数分解，使出现完全平方数或偶次方因式，最后结果的被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，即化成最简二次根式. 化简二次根式同时满足两个条件：（1）被开方数中各因式的指数都为1； （2）被开方数不含分母. 4. 同类二次根式几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个根式叫做同类二次根式，同类二次根式可以进行合并. 5. 二次根式的加法和减法一般过程：先把各个二次根式化为最简二次根式，再把同类二次根式分别合并.（化简，合并）)0()(≥+=+c c b a c b c a6. 二次根式的乘法和除法（1）两个二次根式相乘，被开方数相乘，根指数不变；)0,0(≥≥=⋅b a ab b a（2）两个二次根式相除，被开方数相除，根指数不变.)0,0(>≥=b a baba 7. 分母有理化把分母中的根号化去就是分母有理化.一般方法是把分子和分母都乘以同一个适当的代数式，使分母不含根号. 8. 有理化因式两个含有二次根式的非零代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就称这两个含有二次根式的非零代数式叫做互为有理化因式. 注:有理化因式不唯一(1)如单独一项 ；(2)；；热身练习1. 当x 取何值时，下列各式有意义.（确定字母的取值范围）（1 32x ⎛⎫⇒≥⎪⎝⎭（2()0x ⇒≤（3( x 是任意实数) （4）()2x ⇒>（5）3x - ()43x x ⇒≥-≠且 （6()3x ⇒=2. 二次根式的运算（1）（48－814）－（313－5.02） （2）（548＋12－76）÷3； 解：原式 ＝33 解：原式＝（203＋23－76）×31＝20＋2－76×33＝22－221．（3）50＋122+－421＋2(2－1)0；解：原式＝52＋2(2－1)－4×22＋2×1 ＝52＋22－2－22＋2 ＝52．精讲名题例1：)0(323543<a c b a解：易知0c ≤，则原式=()2234a b c =⨯⨯-⨯⨯212ab c =-练习：化简二次根式（1 （20)m ≤ 解：0a <易知， 解：原式=m 7-则原式=3=3=-；（3）已知，02x <<解：原式 =22x x =++-2222x x x x +-==例2：解不等式)1x x ≥+解：3x ≤--练习：解方程和不等式（1）=- （2）54215323->+y yx =61211<y（3）-+5x >例3分析：如果把两个式子通分，或把每一个式子的分母有理化再进行计算，这两种方法的运算量都较大，根据式子的结构特点，分别把两个式子的分母看作一个整体，用换元法把式子变形，就可以使运算变为简捷． 解：设422-++=n n a ，422--+=n n b ，那么 )2(2+=+n b a ，)2(4)4()2(22+=--+=n n n ab ，n abb a ab ab b a ab b a a b b a =-+=-+=+=+=∴2)(2)(2222原式练习： 有这样一道题，计算：x x x x x x x x x x +---+--+-->2222244442()的值，其中x =1005，某同学把“x =1005”错抄成“x =1050”，但他的计算结果是正确的.请回答这是怎么回事？试说明理由.解析：这是一道说理型试题，既然x 的值取错，计算结果仍是正确.那么可以猜测此二次根式化简后与x 的值无关.这时应化简二次根式，揭开它神秘的面纱. 解：设42-+=x x a ，42--=x x b ，那么 x b a 2=+，4)4(22=--=x x ab ，22)(2)(22222-=-+=-+=+=+∴x abb a ab ab b a ab b a a b b a 22-=-+=∴x abb a 原式 计算结果不含x ∴即使抄错x 的值，计算结果依然是正确的.备选例题例1. 已知：x +y =－5，xy =4，求xyy x +的值. 分析：因为xy =4，所以x 、y 同号，又因为x +y =－5，所以x 、y 同为负数. 解法一：经分析知，x <0，y <0 原式=xyxy y x x xy y xy x xy y xy xxy yxy )(22+-=-+-=+=+ 当x +y =－5，xy =4时，原式=25解法二：设xy yx +=m 两边平方得：22)(222222+-+=++=++=xyxyy x xy y x x y y x m 当x +y =－5，xy =4时，4252=m ，即原式=25例2. 一类特殊的二次根式求和问题+⋅⋅⋅+解：原式=9900100999910063223222-++-+-=10010099993322221-++-+-=1001001- =910巩固练习1．如图所示，数轴上点A 与点B 分别对应实数a 、b ，下列四个等式中正确的个数有（ B ）（1）a a -=2 （2）a a =2)(（3）b a b a +=+2)(（4）a b a b -=-2)( A 、1 B 、 2 C 、 3 D 、42. 若0,0x y >>，则化简 C ） A、BCD、3．设24-的整数部分为a ，小整数部分为b ，则ba 1-的值为（ A ） A 、221-B 、2 C、12+ D 、2- 4．把（a －1中根号外的（a －1）移入根号内得（ D ） A、 BCD5．设a =，则 ( A ) A 、01a << B 、1a = C 、12a << D 、2a >6. 当m为何值时，二次根式. 解：由已知得：m m 61232624-=-，32234326-=-m m · 0· 1· A· B32612-=-∴m m815=∴m7. 看下列解题过程是否正确，如果错误请说明理由并改正.（1)1解：原式1=同一级运算中，要按从左到又的顺序进行，正确答案是423-.（2解：原式= 乘法对加法的分配律在除法中不能随便套用，正确答案是3223+.8.已知a =和代数式（1）上面的代数式中的两个二次根式的被开方数的式子如何化为完全平方式？解：2222)1(214)1(a a a a a a +=++=+-，2222)1(214)1(aa a a a a -=-+=-+.（2）如何确定1a a -和1a a+的值是正值还是负值？解：23231-=+=a ，231+=a∴0321>=+aa ，0221<-=-a a（3解：原式=2232211|1||1|-==-++=--+a aa a a a a a a自我测试1. 下列函数中，自变量x 的取值范围是x ≥3的是（ D ） A 、31-=x y B 、31-=x yC 、3-=x yD 、3-=x y2. 下列变形中，正确的是………（ D ）A 、(23)2＝2×3＝6B 、2)52(-＝－52C 、169+＝169+D 、)4()9(-⨯-＝49⨯ 3. 下列各组二次根式中，不是同类二次根式的是（ D ） A 、45与20 B 、3x 与2xy C 、x5与2345y x D 、xy 与y x 11+4. 下列根式中，不属于最简二次根式的是（ D ）A 、a 3B 、22y x +C 、x 331D 、9 5. 若0,0x y >>，则化简 C ） A、BCD、6. 如果最简二次根式83-a 和a 217-是同类二次根式，那么求使a x 42-有意义的x 的取值范围.解：由已知得：a a 21783-=- 解得 5=a0202≥-∴a 即 10x ≥7. 分母有理化：10321032-+解：原式(2221122+===+8. 解方程：)35(3)51(5+=+x x解：x =x =25)35(54⨯+=x515210+=x9. 解不等式：x x 181)83(21+<-解： 12>16x >10. 02)+02)+(11|1=++．111=．1=。

二次根式辅导讲义同步知识梳理一:二次根式得概念二次根式得定义形如得式子叫二次根式,其中叫被开方数,只有当就是一个非负数时,才有意义.二:二次根式得性质1、非负性:a a()≥0就是一个非负数.注意:此性质可作公式记住,后面根式运算中经常用到.2、()() a aa20=≥.注意:此性质既可正用,也可反用,反用得意义在于,可以把任意一个非负数或非负代数式写成完全平方得形式:a a a=≥()()203、a aa aa a20 ==≥-<⎧⎨⎩||()()注意:(1)字母不一定就是正数.(2)能开得尽方得因式移到根号外时,必须用它得算术平方根代替.(3)可移到根号内得因式,必须就是非负因式,如果因式得值就是负得,应把负号留在根号外.4、公式a aa aa a2==≥-<⎧⎨⎩||()()与()()a aa20=≥得区别与联系(1)a2表示求一个数得平方得算术根,a得范围就是一切实数.(2)()a2表示一个数得算术平方根得平方,a得范围就是非负数.(3)a2与()a 2得运算结果都就是非负得.三:最简二次根式与同类二次根式2a B、1-－3＜0,则化简(1)148 (2)4337- (3)11212 (4)13550-【例14】把下列各式分母有理化(1)328x x y(2)38xx【例15】把下列各式分母有理化:（1）221- (2)5353+- (3)333223- 举一反三:1、已知2323x -=+,2323y +=-,求下列各式得值:(1)x y x y +-(2)223x xy y -+专题五:二次根式计算——二次根式得乘除【例16】化简(1)916⨯ (2)1525⋅ (3)229x y (0,0≥≥y x ) (4)12×632⨯ 【例17】计算(1)(2) (3) (4)(5) (6) (7) (8)【例18】化简:(1)364 (2)22649b a )0,0(≥>b a (2)2964xy )0,0(>≥y x (4)25169x y )0,0(>≥y x【例19】计算:(1)123 (2)3128÷ (3)11416÷(4)648【例20】能使等式22xxx x =--成立得得x 得取值范围就是( )A 、2x >B 、0x ≥C 、02x ≤≤D 、无解专题六:二次根式计算——二次根式得加减【例20】计算(1)11327520.53227--+-; (2)12543102024553457⎛⎫⎛⎫+-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭; 【例21】(1)224344x y x y x y x y --+--+ (2)a b a ba b a b--+-+ 专题七:二次根式计算——二次根式得混合计算与求值1、ab b a ab b 3)23(235÷-⋅ 2、 22 (212 +418－348 ) 3、132x y ·(-42y x)÷162x y 4、673)32272(-⋅++5、62332)(62332(+--+)6、1110)562()562(+-【例21】 1.已知:,求得值.2．已知,求得值。

二次根式讲义 一、知识点梳理 1.二次根式式子)0(≥a a 叫做二次根式，二次根式必须满足：含有二次根号“”；被开方数a必须是非负数。

2.定义重点①式子有意义：)0(≥a a 中必须，否则，式子没有意义②隐含条件：)0(≥a a ，则，即也为非负数4. 二次根式的乘除运算b a ab ⋅=（00≥≥b a ，）)0,0(≥≥=b a b ab a根式中分母不能含有根号，且要变为最简。

6.最简二次根式若二次根式满足：被开方数的因数是整数，因式是整式；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式叫做最简二次根式。

化二次根式为最简二次根式的方法和步骤：（1）如果被开方数是分数（包括小数）或分式，先利用商的算数平方根的性质把它写成分式的形式，然后利用分母有理化进行化简。

（2）如果被开方数是整数或整式，先将他们分解因数或因式，然后把能开得尽方的因数或因式开出来。

三、典型例题讲解 例11、用代数式表示：（1）面积为S 的正方形的边长为______．(2）•面积为10•的直角三角形的两直角边的比为1：•2，•则这两条直角边分别为______．2、在二次根式1a -中，字母a 的取值范围是（ ）A ．1<aB ．1≤aC ．1≥aD ．1>a 3、下列式子中，是二次根式的有（ ）①22x +，②3x ，③32，④2()x -A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 4、（1）若0≥a ，则a _____0．（2）若021=++-x y ，则=x _____，=y ______． 5、求使式子有意义的实数x 的取值范围．（1）2x - （2）11x - 例21、计算：（1）=2)3(______；（2）=-2)52(_____． 2、下列式子正确的个数是（ ）①2)4(4±=；②3)3(2-=--；③1)2()3(22=-；④2)7(7=．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3、在实数范围内分解因式792-a ．解：=-=-222)7()3(79a a （ ）·（ ）4、计算：（1）22＝______．（2）2(5)-＝_____； （3）2211010-=＝______．5、计算： （1）2(2)x -（2≤x ） （2）2(32)- （3）－2(3.14)π-例31、计算：（1）2×7＝______．（2）12×8＝______； （3）0.1×100＝_______．2、下列运算不正确的是（ ）A ．0.40.6⨯＝0.2×0.6＝1.2B ．4×36＝2×6＝12C ．0.4 3.60.4 3.6 1.44⨯=⨯=＝＝1.2D ．a ·3＝3a （0≥a ） 3、计算：（1）3×（－212） （2）2×6×13（3）2ab ·1b （4）－12xy ·（－4y ）4、计算：（1）812＝______；（2）126＝_____．5、计算：（1）318÷2＝_____；（2）293x y xy ÷＝______． 例41、化简：（1）8＝______；（2）1327＝____．2、化简：（1）3a ＝_____；（2）2316x y ＝_____．3、化简：（1）56＝______； （2）－125015⨯＝______； （3）2332ab c＝______；4、下列计算正确的是（ ）A ．－1210×2＝－1220B ．y x xy x xy x 31313313=⋅=⋅C ．112882887272⨯=⨯＝4＝2 D ．534＝5435、把38化为最简二次根式为_______．6、下列二次根式中，不是最简二次根式的是（ ）A ．aB ．31C ．1x D ．21a +四、举一反三 1．（2012义乌）一个正方形的面积是15，估计它的边长大小在（ ） A ．2与3之间 B ．3与4之间 C ．4与5之间 D ．5与6之间2．（2012杭州）已知)212()33(-⨯-=m ，则有（ ）A ．5＜m ＜6B ．4＜m ＜5C ．－5＜m ＜－4D ．－6＜m ＜－5 3.（2012泰安）下列运算正确的是（ ）A ．2(5)5-=- B ．21()164--= C ．632x x x ÷= D ．325()x x =4．（2012德阳）使代数式12-x x有意义的x 的取值范围是（ ）A ． 0≥xB ．21≠x C ．0≥x 且21≠x D ．一切实数5.（2011山东菏泽）实数a 在数轴上的位置如图所示，则22(4)(11)a a -+- 化简后为（ ）A ． 7B ． －7C ．152-aD ． 无法确定6.（2011山东济宁）若0)3(12=++-+y y x ，则y x -的值为 （ ）A ．1B ．－1C ．7D ．－77．（2011山东烟台）如果aa 21)12(2-=-，则（ ）A ．21<a B. 21≤a C. 21>a D. 21≥a8．（2011山东日照）已知x ，y 为实数，且满足x +1y y ---1)1(＝0，那么20112011y x -＝ ．9. （2011山东枣庄）对于任意不相等的两个实数a 、b ，定义运算※如下：a※b ＝b a b a -+，如3※2＝32532+=-．那么8※12＝ ．10.已知a ，b ，c 为△ABC 的三边长，化简22()()a b c b a c +-+--－a b c --．a 105第2题图第4题图 五、过关测试二次根式的定义 1、二次根式11x --有意义，则实数x 的取值范围为_____． 2、矩形面积为12cm 2，矩形的长与宽之比为3：2，则矩形长为_____cm ，宽为____cm ． 3、无论实数x 取何值下列式子总有意义为（ ）A ．2(1)x -- B ．21x -+ C ．21x + D ．1x -4、如图所示，方格图中小正方形的边长为1，将方格图中阴影部分剪下来，再把剪下来的阴影部分拼成一个正方形，那么新正方形的边长是（ ） A ．3 B ．2 C ．5 D ．65、如图所示，在平面直角坐标系中，A （－2，3），B （－4，0），C （－2，0）是三角形的三个顶点，求三角形各边的长．6、已知1433b a --与114+-b a 互为相反数，试求a ，b 的值．7、已知x ，y 为实数，且y ＝1122x x -+-＋12，求x ，y 的值．二次根式的性质1、计算：（1）=2)75(____________； （2）=-2)2(x ______．2、（1）当0≥x 时，=-2x ______________；（2）当0≤x 时，2x ＝______． 3、下列式子计算不正确的是（ ）A ．3)3(2=B ．a a =-2)(（0≥a ）C ．2(32)-＝3－2D ．15)53(2-=- 4、计算：（1）22)3553()54(- （2）22(6)(8)-+-（3）2)52(494-⋅+ （4）2230.6--5、已知实数x 在数轴上的位置如图所示，化简2222(1)(2)x x x --+-．6、（改错题）计算：（2x -）2＋2(3)x - 解：（2x -）2＋2(3)x -＝2－x ＋x －3 ① ＝－1 ②你认为上述解答过程是错在第_____步，为什么？并求出正确的结果．二次根式的乘法 1、计算：（1）－122×3＝_____； （2）18×（－32）＝_____． 2、计算：（1）110×110＝______； （2）131x·3xy ＝______． 3、化简：（1）3a -＝_____；（2）34m n （0<m ）＝______． 4、若)2)(1(21--=-⋅-x x x x ．则x 的取值范围是（ ）A ．1>xB ．2≥xC ．2>xD ．1≥x 5、定义运算“@”运算法则，x@y@z ＝xyz ，则2@3@6值为（ ）A ．3B ．2C ．6D ．126、下列各等式成立的是（ ）A ．45×25＝85B ．53×42＝205C ．43×32＝75D ，53×42＝20 7、已知2＝a ，则200的值为（ ）A ．a 2B ．a 3C ．a 10D ．a 8 8、下列计算正确的是（ ）A ．(121)(9)1219-⨯-=-⨯-＝33B ．23x ＝x 3C ．(16)(25)1625-⨯-=⨯＝20D ．249x -＝32-x 9、阅读解答题:因为23＝223⨯＝12 ①－23＝2(2)3-⨯＝12 ②所以23＝－23 ③ 即2＝－2导致以上出现错误的结果错因在第几步（ ） A ．① B ．② C ．③ D ．④ 10、化简：（1）2000 （2）250a b （0<a ，0>b ）（3）18×3220×（－1315） （4）627×（－23）（5）2xy ×12x （6）115×23×（－1210）11、计算（1）5xy ×（－323x y ）×361y （2）32ab b ·（－323a b ）·3ab（0<a ，0>b ）（3）)))((abx ax x a b x ab --- （0>a ，0>b ，0>x ）12、将aa 1-括号外的因式a 移到括号内部．二次根式的除法及最简二次根式 1、计算：（1）49＝_____________；（2）2764＝______．2、计算：（1）0.680.17＝__________；（2）328＝______． 3、计算：（1）0.48＝______；（2）512＝_____． 4、若2211x xx x--=++，则x 取值范围为_______． 5、下列各式是最简二次根式为（ ） A ．15B ．24C ．28D ．7326、如图所示，小芳想在墙壁上钉一个三角形架，•其中两直角边的长度之比为3：2，斜边长为520，则较短直角边的长度为（ ） A ．40 B ．210 C ．410 D ．426 7、化去下列各式中根号内的分母正确的是（ ） A ．2225555== B ．22151535=⨯ C ．3333n n mn m m m ==（0>m ，0>n ） D ．11aa a a==＝a 8、下列各式计算正确的是（ ）A ．442939---==---＝23B ．238499=＝2132C ．3163727÷= D ．825＝58 9、把下列二次根式化为最简二次根式： （1）338＝_______； （2）712＝_______；（3）2.11.0⋅＝_______；（4）3273x ＝_______； 10、计算：（1）48÷（32·3）（2）43623x x ÷（3）3520÷（－136）（4）8243311、计算：（1）3223×（－1815）÷1225（2）－4318÷（28×1354）。

二次根式讲义知识点一：二次根式的概念和性质1 定义：形如（）的式子叫做二次根式。

注：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式， 把握的重点：（1）二次根式是形式上定义的，必须含有二次根号。

（2）被开方数a 必须是非负数，即a ≧0 （3）的根指数是2，一般省略根指数2，写作，这一点一定要切实注意，不可误认为根指数为 “1”，“0”。

2.性质 1、两个非负性：（1）根号下的a 必须是非负数，表示为a ≥0； （2）a （a ≥0≥02、a （a ≥0）的平方根是±a ， a （a ≥0）的算术平方根是a 3a │=要特别注意：不能直接将根号、平方一起去掉，应该有绝对值号，然后再计算绝对值。

计算绝对值的时候，要注意绝对值内代数式的正负性，绝对值内是一个整体4、2＝a （a ≥0）注意：与的异同点1、不同点：与表示的意义是不同的，表示一个正数a 的算术平方根的平方，而表示一个实数a 的平方的算术平方根；在中，而中a 可以是正实数，0，负实数。

但与都是非负数，即，。

因而它的运算的结果是有差别的， ，而a (a ≥0) -a (a ＜0)2、相同点：当被开方数都是非负数，即时，=；时，无意义，而.知识点二：二次根式的乘除运算1 乘法公式1a≥0，b≥0）即二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变。

注意（1）在进行二次根式乘法运算中，一定不要忽略被开方数a，b均为非负数。

（2）此法则可以推广到多个二次根式相乘的运算。

（3）若含有系数的二次根式相乘，可类比单项式的乘法法则，将它分为系数和根式两部分的运算，然后相乘。

公式2·（a≥0，b≥0）要注意式子成立的条件限制。

2 除法公式1=（a≥0，b>0）即两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变。

注意（1）除法运算的结果也要进行化简(2) 在运算过程中要注意条件（a≥0，b>0）（3）若含有系数的二次根式相除，可类比单项式的除法法则，将它分为系数和根式两部分分别运算，然后想乘。

2024年中考数学复习专题讲义：二次根式知识点讲解1、二次根式的定义 一般地，形如a (a ≥0)的式子叫做二次根式。

2、二次根式的基本性质①2a =(a ≥0)； a = (a ≥0)； a = (a 取全体实数)。

3、二次根式的乘除(1)二次根式的乘法：①ab b a =⋅； ②b a ab ⋅= (a ≥0， b ≥0)。

(2)二次根式的除法：= = (a ≥0， b ＞0)。

4、最简二次根式 最简二次根式满足的条件：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。

5、二次根式的加减二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。

专题练习一、选择题1．下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）A ．√12B ．√8C ．√13D ．√0.22．若二次根式√x +2有意义，则x 的取值范围是（ ）．A ．x >−2B ．x ≥−2C ．x <−2D ．x ≥23．化简√(−3)2的结果是（ ）A ．−3B ．±3C ．3D ．94．估计(√27−√6)÷√3的值应在（ ）A ．0到1之间B ．1到2之间C ．2到3之间D ．3到4之间5．下列计算错误的是（ ）A ．3√2−√2=3B ．√60÷√5=2√3C ．√25a +√9a =8√aD ．√14×√7=7√26．若 x =√m −√n,y =√m +√n ，则 xy 的值是( ）.A ．2√mB ．m −nC ．m +nD ．2√n 7．计算：√12×√13−√8÷√2的结果是（ ） A ．2 B ．0 C ．-2 D ．−√28．用四张大小一样的长方形纸片拼成一个正方形 ABCD (如图)，它的面积是 48， 已知长方形的一边长 AE =3√3， 图中空白部分是一个正方形，则这个小正方形的周长为( )A ．2√3B ．4√3C ．8√3D ．16√3二、填空题9．化简√3= 10．若√a +√3=3√3，则a = ． 11．计算(2√2+1)(2√2−1)的结果等于 ．12．若二次根式√x+3x 有意义，则x 的取值范围为 ．13．当m ＝ 时，二次根式√m −2取到最小值．三、解答题14．计算 （1）√16÷√2−√13×√6； （2）32√4x +2√x 9−x √1x +4√x4．15．已知2x =+2y =（1）试求22x y +的值； （2）试求x y y x-的值． 16．某居民小区有一块形状为长方形ABCD 的绿地，长方形绿地的长BC 为√162m ，宽AB 为√128m （即图中阴影部分），长方形花坛的长为(√13+1)m ，宽为(√13−1)m ，（1）长方形ABCD 的周长是多少？（结果化为最简二次根式）（2）除去修建花坛的地方．其他地方全修建成通道，通道上要铺上造价为50元每平方米的地砖，若铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？17．已知x=2−√3，y=2+√3．（1）求x2+y2−xy的值；（2）若x的小数部分是a，y的整数部分是b，求ax−by的值．参考答案1．C2．B3．C4．B5．A6．B7．B8．C9．√33 10．1211．712．x ≥−3且x ≠013．214．解：（1）原式=√16÷2−√13×6＝2√2−√2=√2；（2）原式＝3√x +23√x −√x +2√x=143√x ．15．（1）解：∵2x =， 2y =∴x+y=22+，xy=(22+=1 ∴()2222242114x y x y xy +=+-=-⨯= ；（2）解：∵2x =+，2y =-∴x+y=22+，x-y=((2222--=+=xy=(22=1∴()()22x y x yx y x yy x xy xy+---====16．（1）解：长方形ABCD的周长=2(√162+√128)=2(9√2+8√2)=34√2(m)，答：长方形ABCD的周长是34√2m；（2）解：购买地砖需要花费=50[9√2×8√2−(√13+1)(√13−1)]=50(144−13+1)=50×132=6600（元）答：购买地砖需要花费6600元．17．（1）解：∵x=2−√3，y=2+√3，∴xy=(2−√3)(2+√3)=4−3=1，(x−y)2=(2−√3−2−√3)2=(−2√3)2=12，∴x2+y2−xy=(x−y)2+xy=12+1=13；（2）解：∵1<3<4，∴1<√3<2，∴3<2+√3<4，∴2+√3的整数部分是3，∴b=3，∵1<√3<2，∴−2<−√3<−1，∴0<2−√3<1，∴2−√3的整数部分是0，小数部分=2−√3−0=2−√3，∴a=2−√3，∴ax−by=(2−√3)(2−√3)−3(2+√3)=7−4√3+6−3√3=13−7√3，∴ax−by的值为13−7√3．）解：①(30x -2)x -②0020x x -22))(2)x -，又232x -+30x -+代数式当2x =时，代数式。

第一章 二次根式知识点一： 二次根式的概念 知识点二：取值范围：二次根式（）的双重非负性PS;单项式和多项式统称整式。

单项式：由数字与字母或字母与字母的相乘组成的代数式叫做单项式（单独的一个数字或字母也是单项式）形如（）的式子叫做二次根式。

注：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以是为二次根式的前提条件，如，，等是二次根式，而，等都不是二次根式。

例1下列各式13)-其中是二次根式的是_________（填序号）． 例2、求下列二次根式中字母的取值范围（1）x x --+315；（2）22)-(x知识点三：与的异同点1、不同点：与表示的意义是不同的，表示一个正数a 的算术平方根的平方，而表示一个实数a 的平方的算术平方根；在中，而中a 可以是正实数，0，负实数。

但与都是非负数，即，。

因而它的运算的结果是有差别的，，而2、相同：当被开方数是非负数，即时，=；时，无意义，而.例3、（1）-2)3(； （2）2)32(； （3） 2)(b a + （a+b ≥0）知识点四 .最简二次根式：必须同时满足下列条件：⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式；⑵被开方数中不含分母；⑶分母中不含根式。

例4、（1__ __；（2=___ __；（3=____；（40,0)x y≥≥=___ _；（5）_______420=-。

例5、在根式1) ，最简二次根式是（）A．1) 2) B．3) 4) C．1) 3) D．1) 4)知识点五.二次根式的运算：PS把多项式中同类项合成一项，叫做合并同类项1同类二次根式：二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式底数幂相乘，底数不变，指数相加。

即：a m﹒a n=a m+n。

幂的乘方，底数不变，指数相乘。

（a m）n =a m n积的乘方，等于把积中的每个因式分别乘方，然后把所得的幂相乘。

专题一 二次根式【知识点1】二次根式的概念：一般地，我们把形如)0(0≥≥a a 的式子叫做二次根式。

二次根式的实质是一个非负数数a 的算数平方根。

【注】二次根式的概念有两个要点：一是从形式上看，应含有二次根号；二是被开方数的取值范围有限制：被开方数a 必须是非负数。

例1 下列各式1）22211,2)5,3)2,4)4,5)(),6)1,7)2153x a a a --+---+， 其中是二次根式的是_________（填序号）． 例2 使x ＋1x-2有意义的x 的取值范围是（ ） A ．x ≥0 B ．x ≠2 C ．x>2 D ．x ≥0且x ≠2． 例3 若y=5-x +x -5+2009，则x+y= 练习1使代数式有意义的x 的取值范围是（ ）A 、x>3B 、x ≥3C 、 x>4D 、x ≥3且x ≠4练习2若11x x ---2()x y =+，则x －y 的值为（ ）A ．－1B ．1C ．2D ．3例4 若230a b -+-=，则 2a b -= 。

例5 在实数的范围内分解因式：X 4- 4X 2+ 4= ________ 例6 若a 、b 为正实数，下列等式中一定成立的是（ ）： A 、a 2 +b 2 =a 2+b 2 ； B 、（a 2+b 2）2 =a 2+b 2； C 、（ a + b ）2= a 2+b 2； D 、（a —b ）2 =a —b ；【知识点2】二次根式的性质：（1）二次根式的非负性，)0(0≥≥a a 的最小值是0；也就是说（）是一个非负数，即0（）。

注：因为二次根式（）表示a 的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0，所以非负数（）的算术平方根是非负数，即0（），这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。

这个性质在解答题目时应用较多，如若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0。

《二次根式》讲义一、二次根式的定义形如\（＼sqrt{a}＼）（＼（a\geq 0\））的式子叫做二次根式。

其中，＼（a\）叫做被开方数。

需要注意的是，二次根式具有双重非负性，即被开方数\（a\geq 0\），二次根式的值\（＼sqrt{a}＼geq 0\）。

例如，＼（＼sqrt{4}＼），＼（＼sqrt{5}＼），＼（＼sqrt{16}＼）等都是二次根式，而\（＼sqrt{－4}＼）就不是二次根式，因为被开方数\（－4\lt 0\）。

二、二次根式有意义的条件要使二次根式\（＼sqrt{a}＼）有意义，被开方数\（a\）必须是非负数，即\（a\geq 0\）。

例如，对于二次根式\（＼sqrt{x 2}＼），要使其有意义，则\（x2\geq 0\），解得\（x\geq 2\）。

三、二次根式的性质1、＼（（＼sqrt{a}）＾2 ＝ a\）（＼（a\geq 0\））这一性质表明，一个非负的二次根式的平方等于被开方数。

例如，＼（（＼sqrt{5}）＾2 ＝ 5\），＼（（＼sqrt{10}）＾2 ＝10\）。

2、＼（＼sqrt{a^2} ＝｜a|＼）当\（a\geq 0\）时，＼（＼sqrt{a^2} ＝ a\）；当\（a\lt 0\）时，＼（＼sqrt{a^2} ＝ a\）。

例如，＼（＼sqrt{4^2} ＝ 4\），＼（＼sqrt{（－3)＾2} ＝ 3\）。

3、＼（＼sqrt{ab} ＝＼sqrt{a}＼cdot\sqrt{b}＼）（＼（a\geq 0\），＼（b\geq 0\））这一性质是二次根式乘法运算的基础。

例如，＼（＼sqrt{2}＼times\sqrt{8} ＝＼sqrt{2\times 8} ＝＼sqrt{16} ＝ 4\）。

4、＼（＼dfrac{＼sqrt{a}｝｛＼sqrt{b}｝＝＼sqrt{＼dfrac{a}｛b}｝＼）（＼（a\geq 0\），＼（b\gt 0\））这是二次根式除法运算的依据。

二次根式复习讲义（MS ）一、基础知识(一)二次根式的概念：（1）二次根式：式子a (a ≥0)叫做二次根式．（2）最简二次根式：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．把满足这两个条件的二次根式，叫做最简二次根式。

(3)同类二次根式：化成最简二次根式后，如果被开方数相同。

，这几个二次根式就叫做同类二次根式．(4)分母有理化：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。

(5)有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积为有理式，我们说这两个代数式互为有理化因式．（6）代数式：用基本运算符号（加、减、乘、除、乘方和开方）把数和表示数的字母连接起来的式子叫代数式。

（二）.同类二次根式：二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。

（三）二次根式的性质．20)(0);,(0)0,(0),(0)0,0)____(0,0);a a a a a a a a a a b a b ≥=≥>⎧⎪===⎨⎪-<⎩=≥≥=≥>是一个非负数；（*）（三）二次根式的运算：（1）二次根式的加减：先将二次根式化成最简二次根式，然后合并同类二次根式。

（20,0,0)a b a b =≥≥=≥>注意：做乘法时要灵活运用乘法分式；做除法时，有时要写为分数形式，然后分母有理化； 化简时要注意a 的正负性，尤其是隐含的正负性．二、分类考点 二次根式的定义例： ） A 、6个 B 、5个 C 、4个 D 、3个练习：下列各式中，哪些是二次根式，哪些不是二次根式？1．求a 为何值时，下列各式有意义. （1）a a 212-+ （2）32-+a a （4）215.0-a练习1、 53+-x 的取值范围是 _________________练习2有意义的x 的取值范围是 _________________ 练习3、x x --+315的取值范围是 _________________练习4、若31-+a 在实数范围内有意义， 则a 满足的条件是（ ）A.2=aB. 2≥a C ．4-≤a D. 2≥a 或4-≤a例1： 在根式1) ） A ．1) 2) B ．3) 4) C ．1) 3) D ．1) 4)例2.在二次根式45， 2x 3， 11， 54， x 4中，最简二次根式个数是（ ） A ．1个 B.2个 C.3个 D.4个例1．把下列各式中根号外的因式适当改变后移到根号里面（1）53- （2）3.010 （3）1832 （4）616 （5）2142-例2、将根号外的数移到根号内（1）33 （2）717（3）x 2 （4）x x 2练习1．计算化简（1）226061- （2）84252.0b a （3）b b 42-（4）b a 325（0<b ） （5）2211b a -（b a <）练习3．求值（1）当211=x 时，求2244x x x +--的值；（2）当3-=a 时，求4152+-⋅-a a a 的值.练习4．求值22)2()1(+--b a ，其中3,14==b a .练习5、10)21()2006(312-+---+;练习5、已知AB，试比较A 与B 的大小。

龙文教育学科教师辅导讲义教师： 于利 学生： 王楠鑫 时间：课 题二次根式教学目标（1） 理解二次根式的概念．（2）理解a （a ≥0）是一个非负数，（a ）2=a （a ≥0），2a =a （a ≥0）． （3）掌握二次根式的性质与运算法则（4）了解最简二次根式的概念并灵活运用它们对二次根式进行加减．重点、难点重点1．二次根式a （a ≥0）的内涵．a （a ≥0）是一个非负数；（a ）2＝a （a ≥0）；2a =a （a ≥0）•及其运用．2．二次根式乘除法的规定及其运用．3．最简二次根式的概念． 4．二次根式的加减运算．难点:1．对a （a ≥0）是一个非负数的理解；对等式（a ）2＝a （a ≥0）及2a =a （a ≥0）的理解及应用．2．二次根式的乘法、除法的条件限制．3．利用最简二次根式的概念把一个二次根式化成最简二次根式考点及考试要求二次根式是中学数学的基础知识是中考常考题目教学内容第十二章 二次根式1、二次根式式子)0(≥a a 叫做二次根式，二次根式必须满足：含有二次根号“”；被开方数a 必须是非负数。

例1 求下列二次根式中字母a 的取值范围：（1）1+a ， （2）112a-； （3）2(3)a -例2 当x=4时，求二次根式12x -的值例3 .计算（1）（7）2； （2）⎥⎦⎤⎢⎣⎡43 （3）2)23( （4）2)(b a （b ≥0） 例4． 当x 是多少时，23x ++11x +在实数范围内有意义？ 例5 (1)已知y=2x -+2x -+5，求xy的值2、最简二次根式若二次根式满足：被开方数的因数是整数，因式是整式；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式叫做最简二次根式。

化二次根式为最简二次根式的方法和步骤：（1）如果被开方数是分数（包括小数）或分式，先利用商的算数平方根的性质把它写成分式的形式，然后利用分母有理化进行化简。

（2）如果被开方数是整数或整式，先将他们分解因数或因式，然后把能开得尽方的因数或因式开出来。

教学情况记录表课程类别□同步□串讲□其他（请注明类别:_____________________）本次课授课目标1、了解二次根式和最简二次根式的概念2、理解二次根式的加、减、乘、除运算法则，会用它们进行有关实数的简单四则运算3、会确定二次根式有意义的条件教学重点二次根式的加、减、乘、除运算法则，会用它们进行有关实数的简单四则运算教学难点二次根式的混合运算教学步骤及内容一、错题回顾二、知识总结1、二次根式的概念（例1）一般地，我们把形如)0(≥aa的式子叫做二次根式.在二次根式中，a可以是一个数，也可以是一个代数式，但不管是什么形式，作为被开方数的a必须满足0≥a，当0<a时，二次根式无意义.也就是说，当被开方数0≥a时，二次根式才有意义.注意：二次根式的两个基本特征：一是根指数为2，二是被开方数为非负数.比如)1(1,0,2≥-aa等均是二次根式，而像1,32---a等均不是二次根式. 2、二次根式的性质（例2）（1）二次根式的非负性，即)0(0≥≥aa，这一性质也是非负数的算术平方根. （2）一个非负数的算术平方根的平方是它本身，即)0()(2≥=aaa.把公式)0()(2≥=aaa反过来就得到了式子)0()(2≥=aaa，也就是说，逆用这一性质，可以把任何一个非负数写成一个数的平方的形式.（3）任意一个数的平方的算术平方根等于它本身的绝对值，即aa=2.3、积的算术平方根的性质（例3）积的算术平方根的性质：积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积，即baba∙=∙).,0(≥≥ba注意：（1）在这个性质中，ba,可以是实数，也可以是代数式，但不管是实数，还是代数式，都必须使二次根式有意义，即0,0≥≥b a .要防止出现94)9()4(-⨯-=-⨯-这样的错误.（2）另外该性质并非局限于被开方数为两个因数，它可以推广到更多个，如)0,0,0(≥≥≥∙∙=c b a c b a abc .(3)如果一个二次根式的被开方数比较大，可以运用该性质将其分解为若干个，再分别运用a a =2化简二次根式.4、商的算术平方根的性质（例4）商的算术平方根的性质：商的算术平方根等于被除数的算术平方根与除数的算术平方根的商，即).0,0)((>≥÷=÷=b a b a b a ba b a 或可以简单地说：商的算术平方根等于算术平方根的商.注意：（1）在运用商的算术平方根的性质解决有关计算时，一定要准确把握性质成立的条件，即被开方数的分子为非负数，而分母大于0.(2)如果被开方数是带分数，应先化成假分数，如412必须先化成49，注意412412⨯≠；如果被开方数是小数，应先化成分数，如5.0必须先化成21 5、最简二次根式（例5）定义：一般地，如果一个二次根式满足下面两个条件，那么，我们把这样的二次根式叫做最简二次根式.(1)被开方数的因数是整数，因式是整式；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式如229,465,54,63都是最简二次根式.要注意分母中不能含有根号，如21不是最简二次根式.把二次根式化为最简二次根式时，当被开方数为小数或分数时，可运用商的算术平方根的性质变形，使被开方数化为整数；当被开方数为整数时，可以把它分解因数，再运用积的算术平方根的性质变形，化为最简二次根式.6、二次根式的乘法和除法（例6）（1）把积的算术平方根的性质)0,0(≥≥∙=b a b a ab 反过来写为)0,0(≥≥∙=∙b a b a b a ，则为二次根式的乘法法则，即二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变.二次根式的乘法法则可推广到多个二次根式进行相乘的运算，如)0,0,0(≥≥≥=∙∙c b a abc c b a .二次根式前面有系数时，可类比单项式乘单项式的法则进行计算，即系数之积作为积的系数，被开方数之积作为被开方数.（2)把商的算术平方根的性质).0,0)((>≥÷=÷=b a b a b a ba b a 或反过来写为)00)((>≥÷=÷=b a b a b a b a ba ，或，则为二次根式的除法法则，即二次根式相除，就是把被开方数相除，根指数不变.注意：二次根式的乘、除法法则和积的算术平方根、商的算术平方根的性质互为逆运算，在计算和化简二次根式时可结合题目灵活运用，但始终要注意法则与性质成立的条件.7、分母有理化(例7）定义：把分母中的二次根式化去，叫做分母有理化.例如36963232=== 注意：（1）有理化因式：两个含有根式的代数式相乘，如果它们的积不含有根式，那么这两个代数式互为有理化因式.(2）分母有理化的依据：分式的基本性质.(3）分母有理化的方法：将分子和分母都乘分母的有理化因式，化去分母中的二次根式.(4）分母有理化因式不唯一，但以运算最简便为宜，如)0(>a a 的有理化因式是a .8、二次根式的合并（例8）合并被开方数相同的二次根式，把系数相加减，根指数和被开方数不变.方法与整式加减运算中的合并同类项类似，例如3233)2123(3213233=+-=+-.二次根式的系数是带分数的要化成假分数的形式.9、二次根式的加减法（例9)二次根式的加减法法则：二次根式的加减运算，就是将被开方数相同的项进行合并。

【知识回顾】1.二次根式：式子a （a ≥0）叫做二次根式。

2.最简二次根式：必须同时满足下列条件：⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式； ⑵被开方数中不含分母； ⑶分母中不含根式。

3.同类二次根式：二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。

4.二次根式的性质：（1）（a ）2=a （a ≥0）； （2）==a a 2 5.二次根式的运算：（1）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先解因式， 变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面．（2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式． （3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式．=·（a≥0，b≥0）；（b≥0，a>0）． （4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律， 乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算．【典型例题】 1．概念与性质例1下列各式1）， 其中是二次根式的是_________（填序号）．例2求下列二次根式中字母的取值范围（1）x x --+315；（2）22)-(x例3在根式1)，最简二次根式是（ ） A ．1) 2) B ．3) 4) C ．1) 3) D ．1) 4)例4已知：的值。

求代数式22,211881-+-+++-+-=x yy x x yy x x x y例5已知数a ，b ，若=b －a ，则 ( )A. a>bB. a<bC. a≥bD. a≤bab a b b ba a=22211,2)5,3)2,4)4,5)(),6)1,7)2153x a a a --+---+222;2);3);4)275xa b x xy abc +-2()a b -（ ＞0）（ ＜0）0 （ =0）；2．二次根式的化简与计算例6将根号外的a移到根号内，得() A. ； B. －； C. －； D.例7把（a－b ）－1a－b化成最简二次根式例8计算：例9先化简，再求值：，其中a=，b=．例10如图，实数a、b在数轴上的位置，化简：222()a b a b---3.比较数值（1）、根式变形法当0,0a b>>时，①如果a b>，则a b>；②如果a b<，则a b<。

专题01 二次根式及其运算知识讲义【相关概念】二次根式：a≥0）的式子叫做二次根式.a为被开方数，a可以是数字或代数式.代数式：含有字母的数学表达式称为代数式.整式、分式均为代数式.最简二次根式：1、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；2、被开方数的因数是整数，因式是整式.同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式.【二次根式运算】乘法=a≥0，b≥0）除法=（a≥0，b ＞0）加（减）法先把各根式化成最简根式，再合并同类根式分母有理化====【二次根式性质】，a≥0非负数：|a|，a 2n()()00a a a a ≥⎧=⎨-≤⎩2a =【二次根式应用】因式的内移和外移：（1）负号不能移到根号下；（2）根号下的负号不能移到根号外.【题型一】二次根式有意义条件例1. （2020·m 能取的最小整数值是（）A ．m = 0B ．m = 1C ．m = 2D ．m = 3【答案】B.3m －1≥0，解得：m≥13， 所以，m 能取的最小整数值是1．故答案为：B ．例2. （2020·=-，那么x 的取值范围是_______． 【答案】－3≤x≤0.【解析】解：∵233x x +-∴x≤0，且x+3≥0，解得：－3≤x≤0，故答案为：－3≤x≤0.例3．（2019·=x 的取值范围是______. 【答案】x≥2.=∴x≥0，x−2≥0，∴x≥2.故答案为：x≥2.【题型二】同类二次根式例4. （2020·是同类二次根式，那么满足条件的m 中最小正整数是________．【答案】4.【解析】解：当5m+8=7时，m=-15，不合题意，，即5m+8=28时，m=4，是同类二次根式，那么m 的最小正整数是4，故答案为：4．例5. mn =_________．【答案】10.∴n=2，2m-5=5，∴m=5，n=2∴mn=10故答案为：10．例6. mn＝________．【答案】21.∴1221343nm m-=⎧⎨-=-⎩，解得，73mn=⎧⎨=⎩，∴mn=21故答案为：21.【题型三】变式考查例7. （2020·浙江宁波市期中）我们把形如b（a，b为最简二次根式）32是（）A型无理数B C型无理数D型无理数【答案】B.【解析】解：2故答案为：B．例8. （1n所有可能的值；（2是整数，求正整数n的最小值．【答案】（1）自然数n 的值为2、9、14、17、18；（2）正整数n 的最小值为6．【解析】解：（1是整数，∴18-n=0或1或4或9或16，解得：n=18或17或14或9或2，则自然数n 的值为2，9，14，17，18；（2=是整数，n 为正整数，∴正整数n 的最小值为6．例9．（2020·21x =-，则x=__________． 【答案】12或1.21x =-，∴2x-1=0或2x-1=1，解得：x=12或x=1． 故答案为12或1． 【题型四】二次根式运算例10．（2020·周长为( )A ．B ．C ．D ．无法确定【答案】A.若，，则周长为若，∴，此三角形不存在，∴个三角形的周长为故答案为：A ．例11)2211-．)2211--1313=--+-=例12．（2020·福建省泉州月考）已知1x =，x 的整数部分为a ，小数部分为b ，求a b的值．.【解析】解：∵3，∴+1<4，故a=3，－2，∴)3232274a b ====-. 例13．（2020·广东佛山市月考）先阅读，再解答:由222=-= 可以看出，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式，在进行二次根式计算时，利用有理化因式，有时可以化去分母中的根号，例如：==，请完成下列问题：1的有理化因式是；(2)= ．（直接写结果）>或<）(4)利用你发现的规律计算下列式子的值：)1+【答案】（1+1；（2）；（3）<；（4）2017.【解析】解：（1+1；（2333==+；（3=>（4）原式=)120181+=)11=2018-1=2017．例14. 若a，b都是正整数，且a＜b是可以合并的二次根式，是否存在a，b，＝a，b的值；若不存在，请说明理由．【答案】当a＝3，b＝48；当a＝12，b＝27.，m、n为正整数，m＜n，∴m=1，n=4或m=2，n=3故a=3，b=48或a=12，b=27．例15．（2019·辽宁大连市期中）[观察]请你观察下列式子的特点，并直接写出结果：11112=+-=；11123=+-=；11134=+-=；……[发现]根据你的阅读回答下列问题：（1）请根据上面式子的规律填空：=（n为正整数）；（2）请证明(1) 中你所发现的规律．[应用]请直接写出下面式子的结果：11n++=．【答案】[观察]32，76，1312；[发现]（1）1111n n+-+或221n nn n+++；（2）证明见解析；[应用]221n nn++．【解析】[观察]32，76，1312，[发现]（1）1111n n+-+或221n nn n+++（2）左边=====∵n 为正整数，∴()11111011n n n n +-=+>++ ∴左边=右边[应用11n +++111111111111223341n n =+-++-++-+++-+…… 1111n n =⨯+-+ 1n n n =++ 22=1n n n ++. 【题型五】化简求值例16. （2021·江苏南通市期末）化简2+的结果是（ ） A ．152x -B ．1-C ．27x -D ．1 【答案】A.【解析】解：∵二次根式被开方数为非负数，∴7-x≥0，则x≤7∴x-8＜0，原式=7-x+8-x=15-2x故答案为：A ．例17．（2020·浙江杭州期中）实数a ，b 在数轴上的位置如图，||a b -的结果为（ ）A ．2aB ．2a -C ．2bD ．2b -【答案】B.【解析】解：由题意得：a ＞b ，|a |＜|b |，a ＞0，b ＜0，∴a -b ＞0，a +b ＜0，∴原式＝-a -b -a +b ＝-2a ，故答案为：B ．例18．若数轴上表示数x 的点在原点的左边，则化简3x + ） A ．4x - B ．4x C ．2x - D ．2x【答案】C.【解析】解：∵数x 的点在原点的左边，∴x ＜0，∴原式＝|3x +|x ||＝|3x -x |＝|2x |＝-2x ．故答案为：C ．例19．（2020·温州月考）下列四个式子中，与(a -的值相等的是（） AB ．CD ．【答案】D.【解析】解：由题意得：2021-a>0，得：a<2021，∴a-2021<0，∴原式=(2021a --== 故答案为：D ． 例20．下列给出的四个命题：①若a b = ，则a a b b =；②若a 2﹣5a+5=01a =- ；③(1a -=其中是真命题是【答案】②.【解析】解：①当a=-1，b=1时，命题不成立，是假命题，②a 2=5a-5，∴5a-5≥0，即a≥1，，是真命题；③(a -==，是假命题， 故答案为：②．【题型六】阅读材料例21．（2021·北京延庆区期末）我们规定用（a ，b ）表示一对数对．给出如下定义：记m=，n = a ＞ 0，b ＞ 0），将（m ，n ）与（n ，m ）称为数对（a ，b ）的一对“对称数对”．例如：（4，1）的一对“对称数对”为（12，1）和（1，12）； （1）数对（9，3）的一对“对称数对”是 ；（2）若数对（3，y ）的一对“对称数对”相同，则y 的值为 ；（3）若数对（x ，2）的一个“对称数对”，1），则x 的值为 ；（4）若数对（a ，b ）的一个“对称数对”，，求ab 的值．【答案】（1）1(3与1)3， ；（2）13；（3）1 ；（4）16或6.【解析】解：（1）由题意得13=，∴数对(9，3)的一对“对称数对”是1(3与1)3，；（2）由题意得，∴数对(3，y ）的一对“对称数对”为⎝与⎭， ∵数对(3，y ）的一对“对称数对”相同，= ∴y=13；（3）∵数对(x ，2)的一对“对称数对”是与而数对(x ，2)的一个“对称数对”，1）， 1=， ∴x=1；（4）∵数对(a ，b)的一对“对称数对”是与，而数对(a ，b)的一个“对称数对”是，==1,183a b == ∴11863ab =⨯=；==1,318a b ==， ∴113186ab =⨯=，综上所述，16ab =或6ab =． 例22. 阅读理解：二次根式的除法，要化去分母中的根号，需将分子、分母同乘以一个恰当的二次根式．．11==． 类比应用：（1= ； （29++=+ ． 拓展延伸：的矩形叫黄金矩形．如图①，已知黄金矩形ABCD 的宽AB =1． （1）黄金矩形ABCD 的长BC = ；（2）如图②，将图①中的黄金矩形裁剪掉一个以AB 为边的正方形ABEF ，得到新的矩形DCEF ，猜想矩形DCEF 是否为黄金矩形，并证明你的结论；（3）在图②中，连结AE ，则点D 到线段AE 的距离为 ．【答案】类比应用：（1）；（2）2；拓展延伸：（1）12；（2）矩形DCEF为黄金矩形，理由见解析；（3【解析】解：类比应用：（1）根据题意可得：== （2）根据题意可得：9++(9+++19-+-1=2；拓展延伸：（1的矩形叫黄金矩形， 若黄金矩形ABCD 的宽AB =1，则黄金矩形ABCD 的长BC； （2）矩形DCEF 为黄金矩形，理由是：由裁剪可知：AB=AF=BE=EF=CD=1，根据黄金矩形的性质可得：AD=BC=1=∴FD=EC=AD-AF=112-=12，∴DF EF =11122÷=，故矩形DCEF 为黄金矩形；（3）连接AE ，DE ，过D 作DG ⊥AE 于点G ，∵AB=EF=1，，∴=在△AED 中，S △AED =1122AD EF AE DG ⨯⨯=⨯⨯，即AD EF AE DG ⨯=⨯1DG =，解得∴点D 到线段AE 的距离为4+. 例23. （2019·四川月考）阅读下列材料，然后回答问题．一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：====1以上这种化简的步骤叫做分母有理化．②学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算，比如我们熟悉的下面这个题：已知 a +b =2，ab = -3 ，求 a 2 + b 2 ．我们可以把a +b 和ab 看成是一个整体，令 x =a +b ， y = ab ，则 a 2 + b 2 = (a + b)2 - 2ab = x 2- 2y = 4+ 6=10．这样，我们不用求出a ，b ，就可以得到最后的结果．（1...+（2）已知 m 是正整数， ab且 2a 2+ 1823ab + 2b 2 = 2019 ．求 m ． （31=【答案】（1）12；（2）2；（3）9. 【解析】解：（1）原式12019+2222=+++2019++== （2）∵ab∴=2（2m+1），=1∵2a 2+ 1823ab + 2b 2 = 2019∴2（a 2+b 2）+1823=2019∴a 2+b 2=98∴4（2m+1）2=100∴m=2或m=-3∵m是正整数∴m=2．（31=，得：21=20=2281=-+=0≥≥．例24.（2020·湖南怀化市期末）同学们，我们以前学过完全平方公式222)2(a ab b a b ±+=±，你一定熟练掌握了吧！现在，我们又学习了二次根式，那么所有的非负数（以及0）都可以看作是一个数的平方，如23=，25=，下面我们观察：)2221211213=-⨯=-=-23211)-=-=，∴231)-=1= 求：（1；（2（3=，则m 、n 与a 、b 的关系是什么？并说明理由．【答案】（11；（21；（3）m+n=a ，mn=b ，理由见解析.【解析】解：（11；（21==；（3）m+n ＝a ，mn ＝b.=∴2a =+，∴，∴m+n ＝a ，mn ＝b.例25．（2020·安徽安庆市）阅读理解题，下面我们观察：2221)211213=-⨯=-=-反之23211)-=-=，所以231)-=1= 完成下列各题：（1）在实数范围内因式分解：（2（3．【答案】（1）2(1+；（21；（3【解析】解：（1）22231(1+=+=+（21==（3==。