量子力学公式的矩阵表示

ain (t)), 其中i=1,2, …n, …。
(3). 薛定谔方程
i (x, t) Hˆ (x, t)
t
Q表象： （x,t） an (t)un (x) n
i
n
dan (t dt
)
un
(
x)
n
an (t)Hˆun (x)
左边乘以u
* m
(
x)
并积分：
i
dam (x) dt
an (t)Hmn
F (a1*(t), a2*(t),
)
F21
F22
a1(t)
a2
(t
)
(4.3 2)
(2) 本征方程
Fˆ (x, t) (x, t)
F11 F12
Q表象：
F21
F22
a1(t) a1(t)
a2
(t
)
a2
(t
)
(4.3 4)
求解本征值和本征矢 将(4.3-4)式中等号右边部分移至左边，得：
ma1
2 2
a2
0,
2 2
a1
ma2
2 2
a3
0,
( A)
2
2 a2 ma3 0.
齐次方程有非零解的条件是系数行列式等于零，即
m
2 2 0
2 2 m
2 2
0 2 0 2 m
展开后整理得
m(m2 1) 0
即
m 0,1
即Lˆx的本征值为
Lx 0,
当m 0时，由( A)式得，a2 0, a1 a3.
1
利用归一化条件求a3. 即
1
a3* (1
2
1)
2 a3
4
a3
2
1
1
a3
1 2
因此，对应于m=1 的本征函数为
1
1
1 2
2 1
当
m 1时，由( A)式得
a1
2 2
a2 ,
a3
2 2
a2.
本征函数为
2
2
1 a2 1
2
2
利用归一化条件求a2, 即
1
1 (1 2
2
1)
2
a2
2
2
a2
2
1
1
a2
2 2
因此对应于m=-1的本征函数为
1
1
1 2
1
2
（2）求 Lˆ y的本征值和本征函数
设 Lˆy的本征函数为 m ，对应于Ly m 。即 Ly m m m
b1
令 m b2 ，并将 Lˆy的矩阵形式代入本征方程，即有
b3
2 2
当m 0时，由(B)得
b2 0,b1 b3。
再由波函数的归一化条件
2 b1 2 1, b1
2 2
1
所以
0
2 2
0 1
当 m 1时，由(B)得 ,
同样步骤得
b1 b3 , b2 2ib1 再由波函数归一化条件 定出常数，得
1
1 2
1 2i 1
1
1
1 2
2i
1
1 ; Ly 0
2
i 0
i
i 0
求它们的本征值和归一化的本征函数，
解：（1）求 Lˆx
设在Lˆ2 和
的本征值和本征函数。
Lˆ z的共同表象中，Lˆx 的本征函数为
m
a1 a2 a3
，m
为所对应的本征值。
本征方程为
Lx m m m , 即
2 2
0 1 0
1 0 1
0 a1 a1 1 a2 m a2 . 0 a3 a3
n
Hmnan (t)
n
(4.3-7)
i
d dt
a1 a2
(t) (t)
H11 H 21
H12 H 22
a1(t)
a2
(t
)
四、例题
设已知在Lˆ2和 Lˆ z的共同表象中，算符Lˆx和 Lˆ y 的矩阵分别为
2 0 1 0
2 0 i 0
Lx
2
1 0
0 1
F11
F21
Fn1
F12
F22
Fn2
F1n F2n
Fnn
a1(t)
பைடு நூலகம்
a2
(t
)
0
an
(t
)
(4.3 5)
方程（4.3-5）是一个线形齐次代数方程组：
(Fmn mn )an (t) 0, m 1,2,.
n
这个方程组有非零解的条件是系数行列式等于零，即：
0 i 0
i 0 i
0 b1 b1 i b2 mb2 0 b3 b3
2
mb1
2
ib2
2 2
ib1
mb2
2 2
ib2
mb3
0
2 2
ib3
0
0
b1,b2,b3有非零解的条件是
(B)
m 2 i
0
2
2 i m 2 i 0
2
2
0
2i
m
2
由此得m=0, ±1.对应于Ly 0,.
F11 F12 F21 F22
F1n F2n
0 (4.3 6)
Fn1
Fn2
Fnn
方程（4.3-6）称为久期方程。求解久期方程 可得到一组λ 值
1, 2 ,n ; 它们就是F的本征值。把求得的λi 分别代入
（4.3-5）式中就可以求得与这λi 对应的本征矢 (ai1(t), ai2 (t),
§4.3量子力学公式的矩阵表示
一、平均值公式
x表象： F *(x,t)Fˆ (x,t)dx (4.3 1)
Q表象： (x, t) an (t)un (x) n
F
am* (t)an (t) um* (x)Fˆun (x)dx
mn
am* (t)Fmnan (t) (3)
mn
F11 F12
本征函数为
a1
0 0
a1
利用归一化条件，确定常数a1.
由
(a1*
0
a1*)
a1 0
a1 2
a1 2
1
a1
得
a1
2 2
因此，对应于m=0 的本征函数是
1
0
2 2
0 1
当m 1时，由( A)式得 a1 a3, a2 2a3
本征函数为
1
1 a1 2