云南省玉溪一中2021届高三数学下学期第五次调研考试试题 文(含解析)

2021-2022高考数学模拟试卷含解析注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．答题时请按要求用笔。

3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．使得()13nx n N x x +⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭的展开式中含有常数项的最小的n 为( )A ．4B ．5C ．6D ．72．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，已知E 、F 、G 分别是线段11A C 上的点，且11A E EF FG GC ===.则下列直线与平面1A BD 平行的是（ ）A ．CEB ．CFC ．CGD ．1CC3．已知随机变量X 服从正态分布()1,4N ，()20.3P X >=，()0P X <=（ ） A ．0.2B ．0.3C ．0.7D ．0.84．在ABC ∆中，30C =︒，2cos 3A =-，152AC =-，则AC 边上的高为（ ） A ．52B ．2C ．5D ．1525．函数()cos 22x xxf x -=+的部分图像大致为（ ） A ． B ．C．D．6．如图是国家统计局于2020年1月9日发布的2018年12月到2019年12月全国居民消费价格的涨跌幅情况折线图.（注：同比是指本期与同期作对比；环比是指本期与上期作对比.如：2019年2月与2018年2月相比较称同比，2019年2月与2019年1月相比较称环比）根据该折线图，下列结论错误的是（）A．2019年12月份，全国居民消费价格环比持平B．2018年12月至2019年12月全国居民消费价格环比均上涨C．2018年12月至2019年12月全国居民消费价格同比均上涨D．2018年11月的全国居民消费价格高于2017年12月的全国居民消费价格7．德国数学家莱布尼兹(1646年-1716年)于1674年得到了第一个关于π的级数展开式,该公式于明朝初年传入我国.在我国科技水平业已落后的情况下,我国数学家､天文学家明安图(1692年-1765年)为提高我国的数学研究水平,从乾隆初年(1736年)开始,历时近30年,证明了包括这个公式在内的三个公式,同时求得了展开三角函数和反三角函数的6个新级数公式,著有《割圆密率捷法》一书,为我国用级数计算π开创了先河.如图所示的程序框图可以用莱布尼兹“关于π的级n＝,则输出的结果是( )数展开式”计算π的近似值(其中P表示π的近似值),若输入10A ．11114(1)35717P =-+-+⋅⋅⋅+ B ．11114(1)35719P =-+-+⋅⋅⋅- C ．11114(1)35721P =-+-+⋅⋅⋅+D ．11114(1)35721P =-+-+⋅⋅⋅-8． 下列与的终边相同的角的表达式中正确的是( )A ．2k π＋45°(k ∈Z)B ．k ·360°＋π(k ∈Z)C ．k ·360°－315°(k ∈Z) D ．k π＋(k ∈Z)9．设(),1,a b ∈+∞，则“a b > ”是“log 1a b <”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件10．国务院发布《关于进一步调整优化结构、提高教育经费使用效益的意见》中提出，要优先落实教育投入．某研究机构统计了2010年至2018年国家财政性教育经费投入情况及其在GDP 中的占比数据，并将其绘制成下表，由下表可知下列叙述错误的是（ ）A ．随着文化教育重视程度的不断提高，国在财政性教育经费的支出持续增长B ．2012年以来，国家财政性教育经费的支出占GDP 比例持续7年保持在4%以上C ．从2010年至2018年，中国GDP 的总值最少增加60万亿D ．从2010年到2018年，国家财政性教育经费的支出增长最多的年份是2012年11．52mx x ⎫+⎪⎭的展开式中5x 的系数是-10，则实数m =( )A ．2B ．1C ．-1D ．-212．若圆锥轴截面面积为2360°，则体积为( )A ．33π B ．63π C ．233π D ．263π 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

玉溪一中第五次调研考试数学（文）试卷第I卷（选择题）一、选择题（每题5分，共60分）1.若集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为集合，所以，故选A.2.已知是虚数单位，复数满足，则的虚部是（）A.1 B. C. D.【答案】A【解析】，所以的虚部是1，选A.3.函数的图象与函数的图象的交点个数是( )A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】B【解析】【分析】画出两个函数的图像，由此确定两个图像交点的个数.【详解】依题意，画出两个函数的图像如下图所示，由图可知，两个函数图像有个交点，故选B.【点睛】本小题主要考查指数函数和三角函数的图像的画法，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.4.若向量的夹角为，且，，则向量与向量的夹角为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：设向量与的夹角等于,因为向量的夹角为，且，所以，,,,．故选A．考点：平面向量数量积的运算．5.已知，，若不等式恒成立，则的最大值为（）A. 9B. 12C. 18D. 24【答案】B【解析】∵，不等式恒成立∴∵当且仅当a=3b时取等号，∴的最大值为12故选：B点睛：本题主要考查基本不等式，其难点主要在于利用三角形的一边及这条边上的高表示内接正方形的边长.在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值.6.已知，且，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先根据已知条件求得的值，然后求得的值，由此求得题目所求表达式的值.【详解】依题意，由及，解得，故，故选B.【点睛】本小题主要考查两角和的正切公式，考查同角三角函数的基本关系式，考查二倍角公式，考查运算求解能力，属于基础题.7.三棱柱的侧棱垂直于底面，且,若该三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】找出球心的位置，利用勾股定理计算出球的半径，进而计算出球的表面积.【详解】由于底面是直角三角形，其外心是斜边的中点，设上下底面的外心为，由于三棱柱的侧棱垂直于底面，故球心位于的中点处，画出图像如下图所示.设球的半径为，则，故球的体积为，故选C.8.设点是椭圆上异于长轴端点上的任意一点，分别是其左右焦点，为中心，，则此椭圆的离心率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】设，则所以因此，选C.9.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线和粗虚线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】画出三视图对应的原图，根据三棱锥的体积公式计算出体积.【详解】画出三视图对应的原图如下图所示三棱锥.故体积为，故选C.【点睛】本小题主要考查三视图还原为原图，考查三棱锥的体积计算，考查运算求解能力，属于基础题.10.已知是定义域为的奇函数,满足.若，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：先根据奇函数性质以及对称性确定函数周期，再根据周期以及对应函数值求结果.详解：因为是定义域为的奇函数，且，所以,因此，因为，所以，，从而，选C.点睛：函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．11.的内角的对边分别为，若，则（）A. 12B. 42C. 21D. 63【答案】C【解析】【分析】先计算出的值，然后计算的值，由正弦定理计算出的值.【详解】在三角形中，，所以，由正弦定理得，故选C.【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，考查三角形内角和定理，考查两角和的正弦公式，考查利用正弦定理解三角形，属于基础题.12.设双曲线的左、右焦点分别为，若点在双曲线右支上，且为锐角三角形，则的取值范围（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据三角形两边的和大于第三边，排除A,B选项，当时，证明为直角三角形，排除C选项，由此得出正确选项.【详解】依题意，三角形两边的和大于第三边，故排除A,B选项.当轴时，，，，此时为直角三角形，排除C选项.故本小题选D.【点睛】本小题主要考查双曲线的定义和标准方程，考查锐角三角形的知识，属于基础题.第II卷（非选择题）二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）13.若实数x，y满足，则的最大值是__________．【答案】2【解析】试题分析：目标函数在处取得最值．考点：线性规划．14.口袋内装有一些除颜色不同之外其他均相同的红球、白球和黑球,从中摸出1个球,摸出红球的概率是0．42,摸出白球的概率是0．28,若红球有21个,则黑球有个．【答案】15【解析】试题分析：总共有球个,其中白球个,所以黑球有个．考点：古典概型概率．15.在平面直角坐标系中，，求过点与圆相切的直线方程___．【答案】或【解析】【分析】当过的直线斜率不存在时，直线是圆的切线，符合题意.当直线斜率存在时，设出直线的方程，利用圆心到直线的距离列方程，解方程求得直线的斜率，由此求得切线方程.【详解】当过的直线斜率不存在时，直线为，是圆的切线.当直线斜率存在时，设斜率为，则直线方程为，即，圆心到直线的距离，解得，故直线方程为，即.综上所述，切线方程为或.【点睛】本小题主要考查直线和圆相切的表示，考查点到直线的距离公式，考查分类讨论的数学思想方法，属于基础题.16.已知函数，若的四个根为，且,则________．【答案】2【解析】【分析】由，根据指对互换原则，可解得的值，代入即可求解。

云南省玉溪市第一中学2021届高三数学下学期第五次调研考试试题理含解析，因为，与【详解】设向量的夹角为，且，的夹角为所以，，，所以又因为 B，故选所以【点睛】本题考查向量的数量积公式，向量模、夹角的求法，考查化简计算的能力，属基础题。

恒成立，则的最大值为（已知，，若不等式） 5.C.16D.10A.9 B.12C【答案】【解析】【分析^p 】，结合均值不等式即可求解。

将不等式变形为，所以【详解】因为，，恒成立，即可转化为所以不等式恒成立，即，2，当且仅当因为时取等号，。

所以，即m的最大值为16，故选C【点睛】本题考查均值不等式的活用、恒成立问题，解题关键在于将不等式变形为，即可求解，意在考查学生分析^p 计算的能力，属基础题。

在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究中，研究人员获得了一组样本数据，并制作成6.）如图所示的人体脂肪含量与年龄关系的散点图．根据该图，下列结论中正确的是（20 人体脂肪含量与年龄正相关，且脂肪含量的中位数等于A.20 人体脂肪含量与年龄正相关，且脂肪含量的中位数小于B.20 人体脂肪含量与年龄负相关，且脂肪含量的中位数等于C.20D.人体脂肪含量与年龄负相关，且脂肪含量的中位数小于B【答案】【解析】中间的两个.试题分析^p ：从散点图可以看出，年龄增大，脂肪含量也随之增加，故为正相关B.20.选6两个点脂肪含量均低于20，故脂肪含量的中位数小于5点即第、考点：相关关系. ），则的值为（，7.满足已知正项等比数列与的等差中项为 B.2A.4 C.D.A【答案】【解析】，即的等差中项为设公比为，与，，，故选的值为A.3，则已知8.( )D.A.B.C.【答案】B【解析】【分析^p 】，结合，可得，平方可得由的值，代入即可求解。

的范围即可求，【详解】因为，平方得，所以，，所以为钝角。

所以所以所以，故选B。

【点睛】本题考查两角和的正弦公式，同角三角函数的基本关系，意在考查学生化简计算，推理判断的能力，属基础题。

云南省玉溪一中20xx届高三数学下学期第五次调研考试试题文含解析（23页）云南省玉溪一中20xx届高三数学下学期第五次调研考试试题文（含解析）第I卷（选择题）一、选择题（每题5分，共60分），则（ 1.）若集合，D. B.C.A.【答案】A【解析】，所以，故选A.因为集合，则的虚部是（ 2.已知是虚数单位，复数满足） C.B.D.A. 1A 【答案】【解析】 1，选 A.，所以的虚部是 ( )3.函数的图象与函数的图象的交点个数是 B. 3C. 4A. 2 D. 5B 【答案】【解析】【分析】.画出两个函数的图像，由此确定两个图像交点的个数个交点，【详解】依题意，画出两个函数的图像如下图所示，由图可知，两个函数图像有B.故选1考查数形结合的数学思想方法，【点睛】本小题主要考查指数函数和三角函数的图像的画法，属于基础题. ）的夹角为与向量4.，且若向量，的夹角为（，则向量 B. C.A. D.A 【答案】【解析】，所以的夹角为，且的夹角等于试题分析：设向量与,因为向量，A．,,,．故选考点：平面向量数量积的运算．，，若不等式的最大值为（）恒成立，则5.已知 D. 24B. 12C. 18A. 9B 【答案】【解析】∵，不等式恒成立2∴ ∵ a=3b时取等号，当且仅当12 ∴的最大值为B故选：其难点主要在于利用三角形的一边及这条边上的高表示内点睛：本题主要考查基本不等式，关应具备三个条件：一正二定三相等.①一正：接正方形的边长.在用基本不等式求最值时，系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③ .三相等：含变量的各项均相等，取得最值）6.，则已知（，且B.A.D.C.B 【答案】【解析】【分析】 . 的值，然后求得先根据已知条件求得的值，由此求得题目所求表达式的值，【详解】依题意及，由 B.，故，故选解得考查二倍角考查同角三角函数的基本关系式，【点睛】本小题主要考查两角和的正切公式， .公式，考查运算求解能力，属于基础题若该三棱柱的所的侧棱垂直于底面，且7. ,三棱柱）有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ A.B.D.C.C 【答案】【解析】【分析】. 找出球心的位置，利用勾股定理计算出球的半径，进而计算出球的表面积，由于三【详解】由于底面是直角三角形，其外心是斜边的中点，设上下底面的外心为3设.棱柱位于的侧棱垂直于底面，故球心的中点处，画出图像如下图所示，故球的体积为球的半径为，则C.，故选解题突破口在于找到球【点睛】本小题主要考查几何体外接球表面积的求法，属于基础题. 心并求得半径. 分别是其左右焦设点上异于长轴端点上的任意一点，是椭圆8. ，则此椭圆的离心率为（点，为中心，） A. B.D.C.C 【答案】【解析】，则设所以，选C.因此，粗实线和粗虚线画出的是某多面体的三视图，则该19.如图，网格纸上小正方形的边长为）多面体的体积为（4D. C. A. B.C 【答案】【解析】【分析】. 画出三视图对应的原图，根据三棱锥的体积公式计算出体积，【详解】画出三视图对应的原图如下图所示三棱锥.故体积为C.故选【点睛】本小题主要考查三视图还原为原图，考查三棱锥的体积计算，考查运算求解能力， .属于基础题若满足.10.，则已知是定义域为的奇函数, ）（ D. B. A.C.5【答案】C【解析】分析：先根据奇函数性质以及对称性确定函数周期，再根据周期以及对应函数值求结果.的奇函数，且，详解：因为是定义域为 ,所以，因此，因为，所以 C.，从而，选点睛：函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．，则（的对边分别为），若的内角11.D. 63A. 12 B. 42C. 21C 【答案】【解析】【分析】 .的值，由正弦定理计算出先计算出的值，然后计算的值，形中以，所在三角】【详解由正弦定理得，，故选C.【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，考查三角形内角和定理，考查两角和的正弦公式，考查利用正弦定理解三角形，属于基础题.在双曲线右支上，且为锐角设双曲线的左、右焦点分别为，若点12. 三角形，则的取值范围（） D.B.C.A.【答案】D【解析】【分析】6时，证明为直角选项，当根据三角形两边的和大于第三边，排除A,B. C选项，由此得出正确选项三角形，排除，三角形两边的和大于第三边，故排【详解】依题意，除A,B选项.，当轴时，，为直角三角形，排除C选项.故本小题选此时D.【点睛】本小题主要考查双曲线的定义和标准方程，考查锐角三角形的知识，属于基础题.第II卷（非选择题）二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分），则的最大值是__________．若实数x，y 满足13.2 【答案】【解析】试题分析：目标函数在．处取得最值考点：线性规划．14.口袋内装有一些除颜色不同之外其他均相同的红球、白球和黑球,从中摸出1个球,摸出红球的概率是0．42,摸出白球的概率是0．28,若红球有21个,则黑球有个．【答案】15【解析】所以黑球有个． ,个,其中白球试题分析：总共有球个考点：古典概型概率．与圆相切的直线方程___15.在平面直角坐标系，求过点中，．【答案】或【解析】【分析】7当直线斜率存在时，设出直线的.当过的直线斜率不存在时，直线是圆的切线，符合题意. 方程，利用圆心到直线的距离列方程，解方程求得直线的斜率，由此求得切线方程当直线斜率存在时，设斜.的直线斜率不存在时，直线为【详解】当过，是圆的切线，即率为，，则直线方程为，圆心到直线的距离综上所述，切线方程为，即解得，故直线方程为. .或考查分类讨论的考查点到直线的距离公式，【点睛】本小题主要考查直线和圆相切的表示，数学思想方法，属于基础题. 则,，若16.，且已知函数的四个根为．________2 【答案】【解析】【分析】的值，代入，根据指对互换原则，可解得由即可求解。

一中2021届高三数学下学期第五次调研考试试题文〔含解析〕制卷人：打自企；成别使；而都那。

审核人：众闪壹；春壹阑；各厅……日期：2022年二月八日。

第I卷〔选择题〕一、选择题〔每一小题5分，一共60分〕1.假设集合，，那么〔〕A. B. C. D.【答案】A【解析】因为集合，所以，应选A.2.是虚数单位，复数满足，那么的虚部是〔〕A. 1B.C.D.【答案】A【解析】，所以的虚部是1，选A.3.函数的图象与函数的图象的交点个数是( )A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】B【解析】【分析】画出两个函数的图像，由此确定两个图像交点的个数.【详解】依题意，画出两个函数的图像如下列图所示，由图可知，两个函数图像有个交点，应选B.【点睛】本小题主要考察指数函数和三角函数的图像的画法，考察数形结合的数学思想方法，属于根底题.4.假设向量的夹角为，且，，那么向量与向量的夹角为〔〕A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：设向量与的夹角等于,因为向量的夹角为，且，所以，,,,．应选A．考点：平面向量数量积的运算．5.，，假设不等式恒成立，那么的最大值为〔〕A. 9B. 12C. 18D. 24【答案】B【解析】∵，不等式恒成立∴∵当且仅当a=3b时取等号，∴的最大值为12应选：B点睛：此题主要考察根本不等式，其难点主要在于利用三角形的一边及这条边上的高表示内接正方形的边长.在用根本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或者积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，获得最值.6.，且，那么〔〕A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先根据条件求得的值，然后求得的值，由此求得题目所求表达式的值.【详解】依题意，由及，解得，故，应选B.【点睛】本小题主要考察两角和的正切公式，考察同角三角函数的根本关系式，考察二倍角公式，考察运算求解才能，属于根底题.7.三棱柱的侧棱垂直于底面，且 ,假设该三棱柱的所有顶点都在同一球面上，那么该球的外表积为〔〕A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】找出球心的位置，利用勾股定理计算出球的半径，进而计算出球的外表积.【详解】由于底面是直角三角形，其外心是斜边的中点，设上下底面的外心为，由于三棱柱的侧棱垂直于底面，故球心位于的中点处，画出图像如下列图所示.设球的半径为，那么，故球的体积为，应选C.【点睛】本小题主要考察几何体外接球外表积的求法，属于根底题.解题打破口在于找到球心并求得半径.8.设点是椭圆上异于长轴端点上的任意一点，分别是其左右焦点，为中心，，那么此椭圆的离心率为〔〕A. B. C. D.【答案】C【解析】设，那么所以因此，选C.9.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线和粗虚线画出的是某多面体的三视图，那么该多面体的体积为〔〕A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】画出三视图对应的原图，根据三棱锥的体积公式计算出体积.【详解】画出三视图对应的原图如下列图所示三棱锥.故体积为，应选C.【点睛】本小题主要考察三视图复原为原图，考察三棱锥的体积计算，考察运算求解才能，属于根底题.10.是定义域为的奇函数,满足.假设，那么〔〕A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：先根据奇函数性质以及对称性确定函数周期，再根据周期以及对应函数值求结果.详解：因为是定义域为的奇函数，且，所以,因此，因为，所以，，从而，选C.点睛：函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考察求值问题，常利用奇偶性及周期性进展变换，将所求函数值的自变量转化到解析式的函数定义域内求解．11.的内角的对边分别为，假设，那么〔〕A. 12B. 42C. 21D. 63【答案】C【解析】【分析】先计算出的值，然后计算的值，由正弦定理计算出的值.【详解】在三角形中，，所以，由正弦定理得，应选C.【点睛】本小题主要考察同角三角函数的根本关系式，考察三角形内角和定理，考察两角和的正弦公式，考察利用正弦定理解三角形，属于根底题.12.设双曲线的左、右焦点分别为，假设点在双曲线右支上，且为锐角三角形，那么的取值范围〔〕A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据三角形两边的和大于第三边，排除A,B选项，当时，证明为直角三角形，排除C选项，由此得出正确选项.【详解】依题意，三角形两边的和大于第三边，故排除A,B选项.当轴时，，，，此时为直角三角形，排除C选项.故本小题选D.【点睛】本小题主要考察双曲线的定义和HY方程，考察锐角三角形的知识，属于根底题.第II卷〔非选择题〕二、填空题〔此题一共4道小题，每一小题5分，一共20分〕13.假设实数x，y满足，那么的最大值是__________．【答案】2【解析】试题分析：目的函数在处获得最值．考点：线性规划．14.口袋内装有一些除颜色不同之外其他均一样的红球、白球和黑球,从中摸出1个球,摸出红球的概率是0．42,摸出白球的概率是0．28,假设红球有21个,那么黑球有个．【答案】15【解析】试题分析：总一共有球个,其中白球个,所以黑球有个．考点：古典概型概率．15.在平面直角坐标系中，，求过点与圆相切的直线方程___．【答案】或者【解析】【分析】当过的直线斜率不存在时，直线是圆的切线，符合题意.当直线斜率存在时，设出直线的方程，利用圆心到直线的间隔列方程，解方程求得直线的斜率，由此求得切线方程.【详解】当过的直线斜率不存在时，直线为，是圆的切线.当直线斜率存在时，设斜率为，那么直线方程为，即，圆心到直线的间隔，解得，故直线方程为，即.综上所述，切线方程为或者.【点睛】本小题主要考察直线和圆相切的表示，考察点到直线的间隔公式，考察分类讨论的数学思想方法，属于根底题.16.函数，假设的四个根为，且,那么________．【答案】2【解析】【分析】由，根据指对互换原那么，可解得的值，代入即可求解。

玉溪一中第五次调研考试数学（文）试卷第I卷（选择题）注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡上填写自己的准考证号、姓名、试室号和座位号。

用2B型铅笔把答题卡上试室号、座位号对应的信息点涂黑。

2．选择题每小题选出答案后，用2B型铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4．考生必须保持答题卡整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（每题5分，共60分）1.若集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为集合，所以，故选A.2.已知是虚数单位，复数满足，则的虚部是（）A. 1B.C.D.【答案】A【解析】，所以的虚部是1，选A.3.函数的图象与函数的图象的交点个数是( )A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】B【解析】【分析】画出两个函数的图像，由此确定两个图像交点的个数.【详解】依题意，画出两个函数的图像如下图所示，由图可知，两个函数图像有个交点，故选B.【点睛】本小题主要考查指数函数和三角函数的图像的画法，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.4.若向量的夹角为，且，，则向量与向量的夹角为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：设向量与的夹角等于,因为向量的夹角为，且，所以，,,,．故选A．考点：平面向量数量积的运算．5.已知，，若不等式恒成立，则的最大值为（）A. 9B. 12C. 18D. 24【答案】B【解析】∵，不等式恒成立∴∵当且仅当a=3b时取等号，∴的最大值为12故选：B点睛：本题主要考查基本不等式，其难点主要在于利用三角形的一边及这条边上的高表示内接正方形的边长.在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值.6.已知，且，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先根据已知条件求得的值，然后求得的值，由此求得题目所求表达式的值.【详解】依题意，由及，解得，故，故选B.【点睛】本小题主要考查两角和的正切公式，考查同角三角函数的基本关系式，考查二倍角公式，考查运算求解能力，属于基础题.7.三棱柱的侧棱垂直于底面，且,若该三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】找出球心的位置，利用勾股定理计算出球的半径，进而计算出球的表面积.【详解】由于底面是直角三角形，其外心是斜边的中点，设上下底面的外心为，由于三棱柱的侧棱垂直于底面，故球心位于的中点处，画出图像如下图所示.设球的半径为，则，故球的体积为，故选C.【点睛】本小题主要考查几何体外接球表面积的求法，属于基础题.解题突破口在于找到球心并求得半径.8.设点是椭圆上异于长轴端点上的任意一点，分别是其左右焦点，为中心，，则此椭圆的离心率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】设，则所以因此，选C.9.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线和粗虚线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】画出三视图对应的原图，根据三棱锥的体积公式计算出体积.【详解】画出三视图对应的原图如下图所示三棱锥.故体积为，故选C.【点睛】本小题主要考查三视图还原为原图，考查三棱锥的体积计算，考查运算求解能力，属于基础题.10.已知是定义域为的奇函数,满足.若，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：先根据奇函数性质以及对称性确定函数周期，再根据周期以及对应函数值求结果.详解：因为是定义域为的奇函数，且，所以,因此，因为，所以，，从而，选C.点睛：函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．11.的内角的对边分别为，若，则（）A. 12B. 42C. 21D. 63【答案】C【解析】【分析】先计算出的值，然后计算的值，由正弦定理计算出的值.【详解】在三角形中，，所以，由正弦定理得，故选C.【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，考查三角形内角和定理，考查两角和的正弦公式，考查利用正弦定理解三角形，属于基础题.12.设双曲线的左、右焦点分别为，若点在双曲线右支上，且为锐角三角形，则的取值范围（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据三角形两边的和大于第三边，排除A,B选项，当时，证明为直角三角形，排除C 选项，由此得出正确选项.【详解】依题意，三角形两边的和大于第三边，故排除A,B选项.当轴时，，，，此时为直角三角形，排除C选项.故本小题选D.【点睛】本小题主要考查双曲线的定义和标准方程，考查锐角三角形的知识，属于基础题.第II卷（非选择题）二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）13.若实数x，y满足，则的最大值是__________．【答案】2【解析】试题分析：目标函数在处取得最值．考点：线性规划．14.口袋内装有一些除颜色不同之外其他均相同的红球、白球和黑球,从中摸出1个球,摸出红球的概率是0．42,摸出白球的概率是0．28,若红球有21个,则黑球有个．【答案】15【解析】试题分析：总共有球个,其中白球个,所以黑球有个．考点：古典概型概率．15.在平面直角坐标系中，，求过点与圆相切的直线方程___．【答案】或【解析】【分析】当过的直线斜率不存在时，直线是圆的切线，符合题意.当直线斜率存在时，设出直线的方程，利用圆心到直线的距离列方程，解方程求得直线的斜率，由此求得切线方程.【详解】当过的直线斜率不存在时，直线为，是圆的切线.当直线斜率存在时，设斜率为，则直线方程为，即，圆心到直线的距离，解得，故直线方程为，即.综上所述，切线方程为或.【点睛】本小题主要考查直线和圆相切的表示，考查点到直线的距离公式，考查分类讨论的数学思想方法，属于基础题.16.已知函数，若的四个根为，且,则________．【答案】2【解析】【分析】由，根据指对互换原则，可解得的值，代入即可求解。

2021年高三下学期第五次模拟考试数学试题 Word版含解析一、填空题：本题共14小题，每小题5分，共70分.1．已知集合，集合，若，则的值是▲．【答案】5考点：1.并集；2.集合的表示方法；2．若复数是实数（为虚数单位），则实数的值是▲ ．【答案】1【解析】试题分析：，则；考点：1.复数的概念；2.复数的运算；3．交通管理部门为了解机动车驾驶员(简称驾驶员)对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查．假设四个社区驾驶员的总人数为N，其中甲社区有驾驶员36人．若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12，21，25，42，则这四个社区驾驶员的总人数N为▲ ．【答案】300【解析】试题分析：,则；考点：1.分层抽样；4．若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则双曲线的离心率为▲．【答案】2【解析】试题分析：抛物线的焦点坐标为，双曲线的右焦点为，则，得；考点：1.抛物线的几何性质；2.双曲线的几何性质；5．如右图所示的流程图的运行结果是▲ ．【答案】20【解析】试题分析：a=5,s=1；5≥4成立，s=5,a=4；4≥4成立，s=20，a=3；3≥4不成立，输出20；考点：1.流程图；2.循环结构；6．某校有两个学生食堂，若三名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐，则三人不在同一个食堂用餐的概率为▲ ．【答案】【解析】试题分析：三名学生选择食堂的结果有：(A,A,A),(A, A,B),(A,B,A),(B,A,A),(A,B,B), (B,A,B),(B,B,A),(B,B,B)，共8个等可能性的基本事件，三人在同一个食堂用餐的结果有：(A,A,A),(B,B,B)，共两个，所以“三人在同一个食堂用餐”的概率为，而“三人不在同一个食堂用餐”与“三人在同一个食堂用餐”是对立事件，所以“三人不在同一个食堂用餐”的概率为；考点：1.古典概型；2.对立事件；7．在中，若，则的面积为▲ ．【答案】试题分析：由，可得，又，则,所以,则；考点：1.正弦定理；8．已知正四棱锥的底面边长是，侧棱长为5，则该正四棱锥的体积为▲ . 【答案】24【解析】试题分析：该正四棱锥的高为，则该正四棱锥的体积；考点：1.简单几何体的体积；9．已知，且，则的值为▲ ．【答案】【解析】试题分析：由得，而，则，所以，又，则，所以22cos2sin)2sin()4αααπα=+=--；考点：1.同角三角函数的关系式；2.二倍角公式；3.两角和差的正弦；10．已知函数，若对任意，均满足，则实数m的取值范围是▲ ．【答案】【解析】试题分析：由可知在上为增函数，所以在R上恒成立，而，所以，所以；考点：1.函数的单调性；2.导数研究函数的单调性；11．已知．若直线上总存在点，使得过点的的两条切线互相垂直，则实数的最小值为__▲__．【答案】1【解析】试题分析：因为过点的的两条切线互相垂直，所以点到圆心的距离为，又因为直线上总存在这样的点，所以圆心到直线的距离为，则；考点：12．已知均为等比数列，其前项和分别为，若对任意的，总有，则▲ ．【答案】9考点：1.等比数列的通项；2.等比数列的前n 项和；13．已知正△的边长为1，点为边的中点，点是线段上的动点，中点为．若，，则的取值范围为 ▲ ． 【答案】【解析】试题分析：111()()[(1)2]222FG AG AF AB AC AD AE AB AC λλ=-=+-+=-+， 则2222111[(1)4(1·)4](31)424FG λλλλλ=-+-+=+，又即，所以，即；考点：1.平面向量的数量积；2.平面向量的模；3.平面向量的线性运算；14．已知二次函数在区间上至少有一个零点，则的最小值为 ▲ ．【答案】【解析】试题分析：设为在上的零点，则即，则点在直线上，表示点到原点的距离，所以，即()222222222(2)215(1)(2)1(2)42t ta t t t t tb ⎛⎫- ⎪-≥== ⎪-++-++ ⎪-⎝⎭+，又因为，则，所以，则； 考点：1.函数与方程；2.直线的方程；3.函数的性质；二、解答题：本大题共6小题，共计90分．15．（本小题满分14分）函数的部分图象如图所示．（1）求出及图中的值；（2）求在区间上的最大值和最小值．(第15题)【答案】（1），；（2）1，0；【解析】试题分析：（1）代入点的坐标，求解三角方程；（2）利用余弦曲线求最值；试题解析：（1）由图可知，当，即，又，，所以．．（2）由（1）可知：．因为，所以．所以当，即时，取得最大值；当，即时，取得最小值0．考点：1.三角函数的图象与性质；16．（本题满分14分）如图，边长为2的正方形是圆柱的中截面，点为线段的中点，点为圆柱的下底面圆周上异于，的一个动点．（1）在圆柱的下底面上确定一定点，使得平面；（2）求证：平面平面．(第16题)【答案】（1）点为线段的中点；（2）详见解析；【解析】试题分析：（1）要得线面平行，一般寻找线线平行，由三角形中位线的性质易得线线平行；（2）要证面面垂直，即证线面垂直，再寻找线线垂直；一方面，由直径所对圆周角为直角可得线线垂直；另一方面，由线面垂直可得线线垂直；试题解析：（1）点为线段的中点，又点为线段的中点，故，又平面，平面，所以平面．（2）因为正方形是圆柱的中截面，所以底面，而底面，故， 因为点为圆柱的下底面圆周上异于，的一个动点， 所以，又，且平面，所以平面，又平面，所以，平面平面．考点：1.线面平行的判定；2.面面垂直的判定与性质；17．（本小题满分14分）如图，有一景区的平面图是一半圆形，其中AB 长为2km ，C 、D 两点在半圆弧上，满足BC =CD ．设．（1）现要在景区内铺设一条观光道路，由线段AB 、BC 、CD 和DA 组成，则当θ为何值时，观光道路的总长l 最长，并求l 的最大值．（2）若要在景区内种植鲜花，其中在和内种满鲜花，在扇形内种一半面积的鲜花，则当θ为何值时，鲜花种植面积S 最大．【答案】（1），5 km ；（2）；【解析】试题分析：（1）取弦的中点，其与圆心连线平分圆心角并与弦垂直，则在直角三角形中可用的三角函数表示弦长；所得目标函数可化成关于的二次型函数，利用二次函数的性质求解最值；也可利用余弦定理求弦长，再化简；（2）分别利用三角形边夹角面积公式、扇形面积公式求出各部分面积，从而得到目标函数，利用导数求解最值；试题解析：（1）由题，，取BC 中点M ，连结OM ．则，． 所以．同理可得，．所以222sin 2sin 2cos 212sin 4sin 22222l θθθθθ⎛⎫=+++=-++ ⎪⎝⎭．(第17题)即．所以当，即时，有．（2），，．所以．所以()()22111'cos cos sin 4cos 32cos 1244S θθθθθ=+-+=+- 因为，随意解得，列表得＋ 0 － 递增 极大值 递减 答：（1）当时，观光道路的总长l 最长，最长为5km ；（2）当时，鲜花种植面积S 最大．考点：1.三角恒等式；2.利用导数研究函数的最值；18．（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系中，椭圆的左，右顶点分别为，若直线上有且仅有一个点，使得．⑴ 求椭圆的标准方程；⑵ 设圆的圆心在x 轴上方，且圆经过椭圆两焦点．点，分别为椭圆和圆上的一动点．若时, 取得最大值为，求实数的值．【答案】（1）；（2）； (第18题)所以，解得，又，所以.综上,当时,的最大值为.考点：1.椭圆的标准方程；2.直线与圆的位置关系；3.二次函数的图象与性质；19．（本小题满分16分）已知函数满足，且当时，，当时，的最大值为．（1）求实数a的值；（2）设，函数，．若对任意，总存在，使，求实数b的取值范围．【答案】（1）a=- 1；（2），或；【解析】试题分析：（1）由函数递推关系式求出时的解析式或将时的最值转化为时的最值，再利用导数研究函数的最值；（2）由子集的定义可知的值域是的值域的子集，则分别求得的值域再得端点的大小关系；试题解析：（1）当x∈(0，2)时，，由条件，当x- 4∈(-4，-2)，的最大值为- 4，所以的最大值为- 1．因为，令，所以．因为，所以．当x ∈(0，)时，，是增函数；当x ∈(，2)时，；是减函数．则当x =时，取得最大值为．所以a = - 1．（2）设在的值域为A ，在的值域为B ，则依题意知AB ．因为在上是减函数，所以A = ．又，因为，所以．① b > 0时，> 0，g (x )是增函数，B = ．因为AB ，所以．解得．② b < 0时，< 0，g (x )是减函数，B = ．因为AB ，所以．．由①，②知，，或．考点：1.函数的图象与性质；2.利用导数研究函数的最值；3.集合的关系；20．（本小题满分16分）在数列，中，已知，，且，，成等差数列，，，也成等差数列．（1）求证：是等比数列；（2）设是不超过100的正整数，求使成立的所有数对．【答案】（1）详见解析；（2），；【解析】试题分析：（1）由已知条件构造数列的递推关系，从而根据定义证得等比数列；（2）由已知构造数列的递推关系，从而求得通项公式，结合数列的通项公式求得数列的通项公式，代入已知关系式化简为形如的不定方程，由的范围得的范围，从而得到可能的取值；试题解析：（1）由，，成等差数列可得，，①由，，成等差数列可得，， ②①②得，，所以是以6为首项、为公比的等比数列．（2）由（1）知，，③ ①②得，，④③④得，，代入，得，所以11[3(3)1][3(3)3][3(3)1][3(3)3]n m n m m m --⨯---⨯-+=⨯---⨯-+，整理得，，所以，由是不超过100的正整数，可得，所以或，当时，，此时，则，符合题意；当时，，此时，则，符合题意．故使成立的所有数对为，．考点：1.等比数列的概念及通项公式；2.不定方程的整数解问题；江苏省淮安市xx 届高三第五次模拟考试数学试题数学Ⅱ 附加题部分21.【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题．．．．．．．，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．选修4—1：几何证明选讲（本小题满分10分）如图，已知是⊙的直径，是⊙的弦，的平分线交⊙于，过点作交的延长线于点，交于点．若，求的值．【答案】【解析】 试题分析：求的值可以利用相似三角形的性质，则连接，易得；再连接交于，则得四边形为平行四边形，由，结合三角形中位线、平行四边形的性质可得的关系；试题解析：连接OD ，BC ，设BC 交OD 于点M ．因为OA =OD ，所以OAD =ODA ；A B CDEFO (第21-A 题)A B CDEF O (第21-A 题)又因为OAD=DAE，所以ODA=DAE所以OD//AE；又因为ACBC，且DEAC，所以BC//DE．所以四边形为平行四边形，所以，由，设3x，5x，则，又，所以MD，所以，因为//，所以=．考点：1.相似三角形的判定与性质；B．选修4—2：矩阵与变换（本小题满分10分）已知矩阵A＝，若矩阵A属于特征值－1的一个特征向量为α1＝，属于特征值4 的一个特征向量为α2＝．求矩阵A，并写出A的逆矩阵A－1．【答案】，【解析】试题分析：由特征值的定义转化已知的特征值与特征向量而求得矩阵,由逆矩阵公式或逆矩阵定义求得；试题解析：由矩阵A属于特征值－1的一个特征向量为α1＝可得，＝，即a－b＝－1；由矩阵A属于特征值4的一个特征向量为α2＝，可得＝，即3a+2b＝12，解得.即A＝，所以A逆矩阵A-1是考点：1.矩阵的特征值与特征向量；2.逆矩阵；C．选修4—4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）已知直线l：（t为参数）恒经过椭圆C：（ 为参数）的右焦点F．（1）求m的值；（2）设直线l与椭圆C交于A，B两点，求的最大值与最小值．【答案】（1）；（2）或；【解析】试题分析：（1）将参数方程转化为普通方程，求出椭圆的右焦点代入直线方程的；（2）利用直线参数方程中参数的几何意义求解；试题解析：（1）椭圆的参数方程化为普通方程，得，因为,则点的坐标为.因为直线经过点，所以.（2）将直线的参数方程代入椭圆的普通方程，并整理得：222(9cos 25sin )72cos 810t t ααα++-=.设点在直线参数方程中对应的参数分别为，则=当时，取最大值；当时，取最小值考点：1.普通方程与参数方程的互化；2.直线参数方程的应用；D ．选修4—5：不等式选讲（本小题满分10分）已知x ， y ，z 均为正数．求证：．【答案】详见解析；【解析】试题分析：两两组合，利用均值不等式证明；试题解析：因为x ，y ，z 都是为正数，所以．同理可得，当且仅当x ＝y ＝z 时，以上三式等号都成立．将上述三个不等式两边分别相加，并除以2，得．考点：1.均值不等值；2.不等式的证明；【必做题】第22题，第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）如图，已知三棱柱ABC —A 1B 1C 1的侧棱与底面垂直，AA 1＝AB ＝AC ＝1，AB ⊥AC ，M 、N 分别是CC 1、BC 的中点，点P 在直线A 1B 1上，且满足（R ）．（1）证明：PN ⊥AM ；（2）若平面PMN 与平面ABC 所成的角为45°，试确定点P 的位置．【答案】（1）详见解析；（2）点P 在B 1A 1的延长线上，且A 1P ＝12； (第22题)【解析】试题分析：（1）容易建立空间直角坐标系，求得方向向量，利用数量积为零可得线线垂直；（2）求出平面的法向量，利用向量的夹角转化二面角；试题解析：（1）证明：如图，以AB，AC，AA1分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系A－xyz．则P（λ，0,1），N（，，0），M（0,1，），从而＝（－λ，，－1），＝（0,1，），＝（－λ)×0＋×1－1×＝0，所以PN⊥AM；（2）平面ABC的一个法向量为＝＝（0,0,1）．设平面PMN的一个法向量为＝（x，y，z），由（1）得＝（λ，－1，）．由，得解得，令，得．因为平面PMN与平面ABC所成的二面角为45°，所以＝＝，解得λ＝－，故点P在B1A1的延长线上，且A1P＝．考点：1.空间向量的数量积；2.直线的方向向量与平面的法向量；3.空间向量的应用；23．在自然数列中，任取个元素位置保持不动，将其余个元素变动位置，得到不同的新数列．由此产生的不同新数列的个数记为．⑴求；⑵求；⑶证明，并求出的值．【答案】（1）3；（2）24；（3）详见解析，；【解析】试题分析：（1）直接列举求解；（2），，，，,其实；（3）由关系式，结合，可证得，进而通过构造的递推关系式求通项或者直接有；试题解析：⑴ 因为数列中保持其中1个元素位置不动的排列只有，所以；⑵ ()()()()()()4444444001234k P k P P P P P ==++++∑ 011112433424=C C C +C C +C +0+1=9+8+6+0+1=24；⑶ 把数列中任取其中个元素位置不动， 则有种；其余个元素重新排列，并且使其余个元素都要改变位置，则有，故，又因为，所以()()()()11111000000.n n n n k k nn n k n n k n k k k k kP k kC P n C P n P k -------=======∑∑∑∑， 令则且于是23411231234n n n a a a a a a a a na --⋅⋅⋅=⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯，左右同除以，得所以考点：1.排列与组合； 2.数列的递推关系；"21010 5212 划W33874 8452 葒31641 7B99 箙EB~36468 8E74 蹴38339 95C3 闃 30302 765E癞35744 8BA0 讠l。

玉溪一中高2021届校统测试卷文科数学一．选择题：本大题共12小题。

每题5分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的一项。

1．复数z 知足z i ＝1＋3i ，那么z 在复平面内所对应的点的坐标是（ ） A ．(1，－3) B ．(－1,3) C ．(－3,1) D ．(3，－1) 2．已知集合{}{}b a B A a ,,2,1==,假设⎭⎬⎫⎩⎨⎧=21B A ，那么B A 为（ ） A.⎭⎬⎫⎩⎨⎧b ,1,21B.⎭⎬⎫⎩⎨⎧-21,1 C.⎭⎬⎫⎩⎨⎧1,21 D.⎭⎬⎫⎩⎨⎧-1,21,13．假设向量a ，b 知足||1a =，||2b =，且()a a b ⊥+，那么a 与b 的夹角为（ ）A ．2π B ．23π C ．34π D ．56π 4．设变量,x y 知足约束条件250200x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，那么目标函数231z x y =++的最大值（ ）A ．11B ．10C ．9D ．8.55．数列}{n a 为各项都是正数的等比数列，n S 为前n 项和，且70,103010==S S ，那么=40S （ ） A ．150 B ．200- C ．150或200- D ．400或50- 6．函数xx x f 2)1ln()(-+=的其中一个零点所在的区间是（ ）A ．)1,21(B ．)1,1(-eC ．)2,1(-eD ．),2(e7．给出如下四个判定： ①00,e0x x ∃∈≤R ；②2,2x x x ∀∈>+R ；③设,a b 是实数，1,1a b >>是1ab >的充要条件 ; ④命题“若p 则q ”的逆否命题是假设q ⌝,那么p ⌝. 其中正确的判定个数是( )A ．１B ．２C ．３D ．４ 8．方程lg sin x x =的实根个数为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 49．如图, 在矩形区域ABCD 的A, C 两点处各有一个通信基站, 假设其信号覆盖范围别离是扇形区域ADE 和扇形区域CBF(该矩形区域内无其他信号来源, 基站工作正常). 假设在该矩形区域内随机地选一地址, 那么该地址无．信号的概率是（ ） A ．14π-B ．12π-C ．22π-D ．4π10．已知f(x)＝|ln x|，假设11a b c>>> ，那么f(a)，f(b)，f(c)比较大小关系正确的选项是( )． A ．f(c)>f(b)>f(a) B ．f(a)>f(c)>f(b) C ．f(c)>f(a)>f(b) D ．f(b)>f(a)>f(c)11．已知,,a b c 为△ABC 的三内角A ，B ，C 的对边，向量(3,1) (cos ,sin )m n A A =-=，假设m n ⊥，且B AC c A b B a ,,sin cos cos 则角=+的大小别离为（ ）A ．3,6ππB ．6,32ππ C ．6,3ππD ．3,3ππ 12．设双曲线C 的中心为点O ，假设有且只有一对相交于点O 、所成的角为060的直线11A B 和22A B ，使1122A B A B =，其中1A 、1B 和2A 、2B 别离是这对直线与双曲线C 的交点，那么该双曲线的离心率的取值范围是 A ．23(,2]3 B ．23[,2)3C ．23(,)3+∞D ．23[,)3+∞ 二．填空题：本大题共四小题，每题5分。

2021年高三数学下学期第五次模拟试卷文（含解析）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合A={x|x＞2}，若m=lne e（e为自然对数底），则( )A．∅∈A B．m∉ A C．m∈A D．A⊆{x|x＞m} 2．设a，b∈R，则“（a﹣b）a2＜0”是“a＜b”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．若z=1+i，则z•+||﹣1=( )A．2﹣1 B．+1 C．+3 D．2+14．已知log2a＞log2b，则下列不等式一定成立的是( )A．B．log2（a﹣b）＞0 C．2a﹣b＜1 D．5．如图所示，四面体ABCD的四个顶点是长方体的四个顶点（长方体是虚拟图形，起辅助作用），则四面体ABCD的三视图是（用①②③④⑤⑥代表图形）( )A．①②⑥B．①②③C．④⑤⑥D．③④⑤6．阅读如图所示的程序框图，则该算法最后输出的结果为( )A．15 B．31 C．63 D．1277．设x，y满足，则z=x+y( )A．有最小值2，最大值3 B．有最小值2，无最大值C．有最大值3，无最小值D．既无最小值，也无最大值8．从某高中随机选取5名xx届高三男生，其身高和体重的数据如下表所示：身高x（cm）160 165 170 175 180体重y（kg）63 66 70 72 74根据上表可得回归直线方程=0.56x+，据此模型预报身高为172cm的xx届高三男生的体重为( )A．70.09kg B．70.12kg C．70.55kg D．71.05kg9．已知曲线C：﹣y2=1的左右焦点分别为F1F2，过点F2的直线与双曲线C的右支相交于P，Q两点，且点P的横坐标为2，则PF1Q的周长为( )A．B．5 C．D．410．将函数y=sin（2x+）的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是( )A．y=2cos2x B．y=2sin2x C．D．y=cos2x11．若在曲线f（x，y）=0（或y=f（x））上两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线f（x，y）=0或y=f（x）的“自公切线”．下列方程：①x2﹣y2=1；②y=x2﹣|x|；③y=3sinx+4cosx；④|x|+1=对应的曲线中存在“自公切线”的有( )A．①③B．①④C．②③D．②④12．若圆锥的内切球与外接球的球心重合，且内切球的半径为1，则圆锥的体积为( ) A．πB．2πC．3πD．4π二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上．13．公共汽车在8：00到8：20内随机地到达某站，某人8：15到达该站，则他能等到公共汽车的概率为__________．14．已知单调递增的等比数列{a n}中，a2•a6=16，a3+a5=10，则数列{a n}的前n项和S n=__________．15．若关于x的函数f（x）=（t＞0）的最大值为M，最小值为N，且M+N=4，则实数t的值为__________．16．在平面直角坐标系xOy中，已知点A在椭圆=1上，点P满足，且=6，则向量在方向上的正射影的数量为__________．三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．已知△ABC是斜三角形，内角A、B、C所对的边的长分别为a、b、c．若csinA=acosC．（Ⅰ）求角C；（Ⅱ）若c=，且sinC+sin（B﹣A）=5sin2A，求△ABC的面积．18．在直三棱柱ABC﹣A′B′C′中，底面ABC是边长为2的正三角形，D′是棱A′C′的中点，且AA′=2．（Ⅰ）证明：BC′∥平面AB′D′；（Ⅱ）棱CC′上是否存在一点M，使A′M⊥平面AB′D′，若存在，求出CM的长；若不存在，说明理由．19．“光盘行动”已经发起两年，为了调查人们的节约意识，某班几位同学组成研究性学习小组，从某社区[25，55]岁的人群中随机抽取n人进行了一次调查，得到如下统计表：组数分组频数频率关盘组占本组的比例第一组[25，30）50 0.05 30%第二组[30，35）100 0.1 30%第三组[35，40）150 0.15 40%第四组[40，45）200 0.2 50%第五组[45，50） a b 65%第六组[50，55）200 0.2 60%（1）求a，b的值，并估计本社区[25，55]岁的人群中“光盘族”人数所占的比例；（2）从年龄段在[35，45）的“光盘族”中采用分层抽样法抽取8人参加节约粮食宣传活动，并从这8人中选取2人作为领队，求选取的2名领队分别来自[35，40）和[40，45）两个年龄段的概率．20．已知椭圆的焦点坐标为F1（﹣1，0），F2（1，0），过F2垂直于长轴的直线交椭圆于P、Q两点，且|PQ|=3．（1）求椭圆的方程；（2）过F2的直线l与椭圆交于不同的两点M、N，则△F1MN的内切圆的面积是否存在最大值？若存在求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由．21．已知函数f（x）=e x﹣ax2（1）求函数f（x）在点P（0，1）处的切线方程；（2）当a＞0时，若函数f（x）为R上的单调递增函数，试求a的范围；（3）当a≤0时，证明函数f（x）不出现在直线y=x+1的下方．四、请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．选修4-1：几何证明选讲22．如图，AB是⊙O的一条切线，切点为B，直线ADE，CFD，CGE都是⊙O的割线，已知AC=AB．（1）求证：FG∥AC；（2）若CG=1，CD=4．求的值．选修4-4：极坐标与参数方程23．（选做题）在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系，直线l的极坐标方程为ρsin（θ+）=，圆C的参数方程为，（θ为参数，r＞0）（Ⅰ）求圆心C的极坐标；（Ⅱ）当r为何值时，圆C上的点到直线l的最大距离为3．选修4-5：不等式选讲24．设函数f（x）=|x﹣a|，a＜0．（Ⅰ）证明f（x）+f（﹣）≥2；（Ⅱ）若不等式f（x）+f（2x）＜的解集非空，求a的取值范围．辽宁省沈阳市东北育才学校xx届高考数学五模试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合A={x|x＞2}，若m=lne e（e为自然对数底），则( )A．∅∈A B．m∉A C．m∈A D．A⊆{x|x＞m}考点：元素与集合关系的判断．专题：集合．分析：先求出m的值，从而判断出m属于结合A．解答：解：∵m=elne=e，∴m∈A，故选：C．点评：本题考查了集合和运算的关系的判断，是一道基础题．2．设a，b∈R，则“（a﹣b）a2＜0”是“a＜b”的( )A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据充分必要条件定义判断，结合不等式求解．解答：解：∵a，b∈R，则（a﹣b）a2＜0，∴a＜b成立，由a＜b，则a﹣b＜0，“（a﹣b）a2≤0，所以根据充分必要条件的定义可的判断：a，b∈R，则“（a﹣b）a2＜0”是a＜b的充分不必要条件，故选：A点评：本题考查了不等式，充分必要条件的定义，属于容易题．3．若z=1+i，则z•+||﹣1=( )A．2﹣1 B．+1 C．+3 D．2+1考点：复数代数形式的乘除运算；复数求模．专题：数系的扩充和复数．分析：直接把z=1+i代入z•+||﹣1，然后由复数摸的计算公式得答案．解答：解：∵z=1+i，∴z•+||﹣1===．故选：B．点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题．4．已知log2a＞log2b，则下列不等式一定成立的是( )A．B．log2（a﹣b）＞0 C．2a﹣b＜1 D．考点：指、对数不等式的解法．专题：函数的性质及应用．分析：由题意可得a＞b＞0，依次比较即可．解答：解：∵log2a＞log2b，∴a＞b＞0，所以0＜，2a﹣b＞20=1，故A、C不正确；当a﹣b＞1时，log2（a﹣b）＞0，当0＜a﹣b≤1时，log2（a﹣b）≤0，故B不正确；∵，∴选项D正确；故选：D．点评：本题考查函数的单调性，函数值的比较，属于中档题．5．如图所示，四面体ABCD的四个顶点是长方体的四个顶点（长方体是虚拟图形，起辅助作用），则四面体ABCD的三视图是（用①②③④⑤⑥代表图形）( )A．①②⑥B．①②③C．④⑤⑥D．③④⑤考点：简单空间图形的三视图．专题：空间位置关系与距离．分析：由已知中的四面体ABCD的直观图，分析出四面体ABCD的三视图的形状，可得答案．解答：解：由已知中四面体ABCD的四个顶点是长方体的四个顶点，可得：四面体ABCD的正视图为①，四面体ABCD的左视图为②，四面体ABCD的俯视图为③，故四面体ABCD的三视图是①②③，故选：B点评：本题考查的知识点是简单空间图形的三视图，难度不大，属于基础题．6．阅读如图所示的程序框图，则该算法最后输出的结果为( )A．15 B．31 C．63 D．127考点：程序框图．专题：图表型；算法和程序框图．分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的A，i的值，当i=7时，满足条件i＞6，退出循环，输出A的值为63．解答：解：模拟执行程序框图，可得A=0，i=1A=1，i=2不满足条件i＞6，A=3，i=3不满足条件i＞6，A=7，i=4不满足条件i＞6，A=15，i=5不满足条件i＞6，A=31，i=6不满足条件i＞6，A=63，i=7满足条件i＞6，退出循环，输出A的值为63．故选：C．点评：本题主要考查了循环结构的程序框图，依次写出每次循环得到的A，i的值是解题的关键，属于基本知识的考查．7．设x，y满足，则z=x+y( )A．有最小值2，最大值3 B．有最小值2，无最大值C．有最大值3，无最小值D．既无最小值，也无最大值考点：简单线性规划．分析：本题考查的知识点简单线性规划问题，我们先在坐标系中画出满足约束条件对应的平面区域，根据目标函数z=x+y及直线2x+y=4的斜率的关系，即可得到结论．解答：解析：如图作出不等式组表示的可行域，如下图所示：由于z=x+y的斜率大于2x+y=4的斜率，因此当z=x+y过点（2，0）时，z有最小值，但z没有最大值．故选B点评：目判断标函数的有元最优解，处理方法一般是：①将目标函数的解析式进行变形，化成斜截式②分析Z与截距的关系，是符号相同，还是相反③根据分析结果，结合图形做出结论④根据目标函数斜率与边界线斜率之间的关系分析，即可得到答案．8．从某高中随机选取5名xx届高三男生，其身高和体重的数据如下表所示：身高x（cm）160 165 170 175 180体重y（kg）63 66 70 72 74根据上表可得回归直线方程=0.56x+，据此模型预报身高为172cm的xx届高三男生的体重为( )A．70.09kg B．70.12kg C．70.55kg D．71.05kg考点：回归分析的初步应用．专题：应用题；概率与统计．分析：根据所给的表格做出本组数据的样本中心点，根据样本中心点在线性回归直线上，利用待定系数法做出的值，现在方程是一个确定的方程，根据所给的x的值，代入线性回归方程，预报身高为172cm的xx届高三男生的体重解答：解：由表中数据可得==170，==69∵（，）一定在回归直线方程=0.56x+上故69=0.56×170+解得 =﹣26.2故 =0.56x﹣26.2当x=172时，=0.56×172﹣26.2=70.12故选B．点评：本题主要考查线性回归方程的求解与运用，解题的关键是线性回归方程经过样本点的中心同时注意理解线性回归方程中相关系数的意义．9．已知曲线C：﹣y2=1的左右焦点分别为F1F2，过点F2的直线与双曲线C的右支相交于P，Q两点，且点P的横坐标为2，则PF1Q的周长为( )A．B．5 C．D．4考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：求出双曲线的a，b，c，求得焦点，判断三角形PF1Q为等腰三角形，PQ⊥x轴，令x=2，求得|PQ|，再由勾股定理，求得|PF1|，即可求得周长．解答：解：双曲线C：﹣y2=1的a=，b=1，c==2，则F1（﹣2，0），F2（2，0），由于点P的横坐标为2，则PQ⊥x轴，令x=2则有y2=﹣1=，即y=．即|PF2|=，|PF1|===．则三角形PF1Q的周长为|PF1|+|QF1|+|PQ|=++=．故选：A．点评：本题考查双曲线的方程和性质，考查直线与双曲线的关系，考查运算能力，属于基础题．10．将函数y=sin（2x+）的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是( )A．y=2cos2x B．y=2sin2x C．D．y=cos2x考点：正弦函数的图象．专题：三角函数的图像与性质．分析：首先根据函数的图象变换求出关系式y=cos2x+1，进一步利用诱导公式求出结果．解答：解：函数y=sin（2x+）的图象向左平移个单位，得到：y=sin（2（x+）+）=cos2x函数图象再向上平移1个单位，得到：y=cos2x+1=2cos2x故选：A点评：本题考查的知识要点：函数图象的变换问题，诱导公式的应用，属于基础题型．11．若在曲线f（x，y）=0（或y=f（x））上两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线f（x，y）=0或y=f（x）的“自公切线”．下列方程：①x2﹣y2=1；②y=x2﹣|x|；③y=3sinx+4cosx；④|x|+1=对应的曲线中存在“自公切线”的有( )A．①③B．①④C．②③D．②④考点：命题的真假判断与应用．专题：新定义．分析：化简函数的解析式，结合函数的图象的特征，判断此函数是否有自公切线．解答：解：①、x2﹣y2=1 是一个等轴双曲线，没有自公切线；②、y=x2﹣|x|=，在 x= 和 x=﹣处的切线都是y=﹣，故②有自公切线．③、y=3sinx+4cosx=5sin（x+φ），cosφ=，sinφ=，此函数是周期函数，过图象的最高点的切线都重合，故此函数有自公切线．④、由于|x|+1=，即 x2+2|x|+y2﹣3=0，结合图象可得，此曲线没有自公切线．故答案为 C．点评：本题考查函数的自公切线的定义，函数图象的特征，准确判断一个函数是否有自公切线，是解题的难点．12．若圆锥的内切球与外接球的球心重合，且内切球的半径为1，则圆锥的体积为( ) A．πB．2πC．3πD．4π考点：球内接多面体．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：过圆锥的旋转轴作轴截面，得△ABC及其内切圆⊙O1和外切圆⊙O2，且两圆同圆心，即△ABC的内心与外心重合，易得△ABC为正三角形，由题意⊙O1的半径为r=1，进而求出圆锥的底面半径和高，代入圆锥体积公式，可得答案．解答：解：过圆锥的旋转轴作轴截面，得△ABC及其内切圆⊙O1和外切圆⊙O2，且两圆同圆心，即△ABC的内心与外心重合，易得△ABC为正三角形，由题意⊙O1的半径为r=1，∴△ABC的边长为2，∴圆锥的底面半径为，高为3，∴V=．故选：C．点评：本题考查的知识点是旋转体，圆锥的体积，其中根据已知分析出圆锥的底面半径和高，是解答的关键．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上．13．公共汽车在8：00到8：20内随机地到达某站，某人8：15到达该站，则他能等到公共汽车的概率为．考点：几何概型．专题：概率与统计．分析：由已知中公共汽车在8：00到8：20内随机地到达某站，某人8：15到达该站，我们可以分别求出所有基本事件对应的时间总长度和事件“他能等到公共汽车”对应的时间总长度，代入几何概型公式可得答案．解答：解：∵公共汽车在8：00到8：20内随机地到达某站，故所有基本事件对应的时间总长度LΩ=20某人8：15到达该站，记“他能等到公共汽车”为事件A则L A=5故P（A）=；故答案为．点评：本题考查的知识点是几何概型，几何概型分长度类，面积类，角度类，体积类，解答的关键是根据已知计算出所有基本事件对应的几何量和满足条件的基本事件对应的几何量14．已知单调递增的等比数列{a n}中，a2•a6=16，a3+a5=10，则数列{a n}的前n项和S n=．考点：等比数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：由题意和等比数列的性质可得a3和a5为方程x2﹣10x+16=0的两根，解方程可得数列的首项和公比，由求和公式可得．解答：解：由等比数列的性质可得a3a5=a2•a6=16，又a3+a5=10，∴a3和a5为方程x2﹣10x+16=0的两根，解方程可得x=2或x=8，∵等比数列{a n}单调递增，∴a3=2，a5=8，∴公比q=2，a1=，∴S n==故答案为：点评：本题考查等比数列的求和公式，涉及等比数列的性质和韦达定理，属中档题．15．若关于x的函数f（x）=（t＞0）的最大值为M，最小值为N，且M+N=4，则实数t的值为2．考点：函数的最值及其几何意义．专题：函数的性质及应用．分析：由题意f（x）=t+g（x），其中g（x）=是奇函数，从而2t=4，即可求出实数t的值．解答：解：由题意，f（x）==t+，显然函数g（x）=是奇函数，∵函数f（x）最大值为M，最小值为N，且M+N=4，∴M﹣t=﹣（N﹣t），即2t=M+N=4，故答案为：2．点评：本题考查函数的最大值、最小值，考查函数是奇偶性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．16．在平面直角坐标系xOy中，已知点A在椭圆=1上，点P满足，且=6，则向量在方向上的正射影的数量为2．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：由便得，所以，的夹角为0°，而根据可得出，从而根据射影的定义即可求出答案．解答：解：根据已知条件，同向，所以和同向；并且；∴；∴由=6得，；∴；∴在方向的正射影的数量为：||cos0°=2．故答案为：．点评：考查共线向量基本定理，数量积的运算，以及向量减法的几何意义，正射影的定义．三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．已知△ABC是斜三角形，内角A、B、C所对的边的长分别为a、b、c．若csinA=acosC．（Ⅰ）求角C；（Ⅱ）若c=，且sinC+sin（B﹣A）=5sin2A，求△ABC的面积．考点：余弦定理；正弦定理．专题：解三角形．分析：（I）由，利用正弦定理可得sinCsinA=sinAcosC，于是，即可得出；（II）由sinC+sin（B﹣A）=5sin2A，sinC=sin（A+B），可得sinB=5sinA，由正弦定理可知b=5a，由余弦定理c2=a2+b2﹣2abcosC，联立解出，再利用三角形面积计算公式即可得出．解答：解：（I）∵，由正弦定理可得sinCsinA=sinAcosC，sinA≠0，∴，得，∵C∈（0，π），∴．（II）∵sinC+sin（B﹣A）=5sin2A，sinC=sin（A+B），∴sin（A+B）+sin（B﹣A）=5sin2A，∴2sinBcosA=2×5sinAcosA，∵△ABC为斜三角形，∴cosA≠0，∴sinB=5sinA，由正弦定理可知b=5a （1）由余弦定理c2=a2+b2﹣2abcosC，由（1）（2）解得a=5，b=1，∴．点评：本题考查了正弦定理余弦定理、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．在直三棱柱ABC﹣A′B′C′中，底面ABC是边长为2的正三角形，D′是棱A′C′的中点，且AA′=2．（Ⅰ）证明：BC′∥平面AB′D′；（Ⅱ）棱CC′上是否存在一点M，使A′M⊥平面AB′D′，若存在，求出CM的长；若不存在，说明理由．考点：点、线、面间的距离计算；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（Ⅰ）连结A′B交AB′于点E，连结D′E，证明D′E∥BC′，利用在与平面平行的判定定理证明BC′∥平面AB′D′．（Ⅱ）作A′M⊥AD′，交CC′于M，通过证明△A′AD∽△C′A′M，求出CM的长，得到结果．解答：解：（Ⅰ）连结A′B交AB′于点E，连结D′E，∵四边形A′ABB′为矩形，∴E为A′B的中点，又∵D′是棱A′C′的中点∴D′E∥BC′∵D′E⊂平面AB′D′BC′⊄平面AB′D′∴BC′∥平面AB′D′…（Ⅱ）作A′M⊥AD′，交CC′于M∵D′是棱A′C′的中点∴B′D′⊥A′C′∴B′D′⊥平面A′ACC′∴B′D′⊥A′M∴A′M⊥平面AB′D′此时△A′AD∽△C′A′M∴，即，∴即当时，A′M⊥平面AB′D′．…点评：本题考查空间点线面距离的求法，直线与平面平行的判定定理的应用，考查空间想象能力以及计算能力．19．“光盘行动”已经发起两年，为了调查人们的节约意识，某班几位同学组成研究性学习小组，从某社区[25，55]岁的人群中随机抽取n人进行了一次调查，得到如下统计表：组数分组频数频率关盘组占本组的比例第一组[25，30）50 0.05 30%第二组[30，35）100 0.1 30%第三组[35，40）150 0.15 40%第四组[40，45）200 0.2 50%第五组[45，50） a b 65%第六组[50，55）200 0.2 60%（1）求a，b的值，并估计本社区[25，55]岁的人群中“光盘族”人数所占的比例；（2）从年龄段在[35，45）的“光盘族”中采用分层抽样法抽取8人参加节约粮食宣传活动，并从这8人中选取2人作为领队，求选取的2名领队分别来自[35，40）和[40，45）两个年龄段的概率．考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．专题：概率与统计．分析：（1）由第一组的人数和频率可得n值，进而可得b值，可得a值，易得样本中光盘族的人数，可得所占比例；（2）可得采用分层抽样抽取8人则应分别抽取3人和5人，分别记为a、b、c和1、2、3、4、5，列举可得总的基本事件共28种，符合题意的有15种，由概率公式可得．解答：解：（1）第一组的人数为50，第一组的频率里为0.05，故n==1000，第五组的频率b=1﹣（0.2+0.2+0.15+0.1+0.05）=0.3，第五组的人数a=1000×0.3=300人，样本中光盘族的人数为50×30%+100×30%+150×40%+200×50%+300×65%+200×60%=520，∴光盘族所占的比例为=52%；（2）[35，40）的“光盘族”人数为150×40%=60，[40，45）的“光盘族”人数为200×50%=100，∴两段的人数比值为3：5，采用分层抽样抽取8人则应分别抽取3人和5人，分别记为a、b、c和1、2、3、4、5，任取2人有（a，b），（a，c），（a，1），（a，2），（a，3），（a，4），（a，5），（b，c），（b，1），（b，2），（b，3），（b，4），（b，5），（c，1），（c，2），（c，3），（c，4），（c，5），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，3），（2，4），（2，5），（3，4），（3，5），（4，5）共28种其中来自不同年龄段的有（a，1），（a，2），（a，3），（a，4），（a，5），（b，1），（b，2），（b，3），（b，4），（b，5），（c，1），（c，2），（c，3），（c，4），（c，5）共15种，∴所求概率P=．点评：本题考查列举法计算基本事件数以及事件发生的概率，涉及频率分布表，属基础题．20．已知椭圆的焦点坐标为F1（﹣1，0），F2（1，0），过F2垂直于长轴的直线交椭圆于P、Q两点，且|PQ|=3．（1）求椭圆的方程；（2）过F2的直线l与椭圆交于不同的两点M、N，则△F1MN的内切圆的面积是否存在最大值？若存在求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．专题：综合题；圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（1）设椭圆方程，由焦点坐标可得c=1，由|PQ|=3，可得=3，又a2﹣b2=1，由此可求椭圆方程；（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），不妨y1＞0，y2＜0，设△F1MN的内切圆的径R，则△F1MN 的周长=4a=8，（|MN|+|F1M|+|F1N|）R=4R，因此最大，R就最大．设直线l的方程为x=my+1，与椭圆方程联立，从而可表示△F1MN的面积，利用换元法，借助于导数，即可求得结论．解答：解：（1）设椭圆方程为=1（a＞b＞0），由焦点坐标可得c=1…由|PQ|=3，可得=3，…又a2﹣b2=1，解得a=2，b=，…故椭圆方程为=1…（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），不妨y1＞0，y2＜0，设△F1MN的内切圆的径R，则△F1MN的周长=4a=8，（|MN|+|F1M|+|F1N|）R=4R因此最大，R就最大，…由题知，直线l的斜率不为零，可设直线l的方程为x=my+1，由得（3m2+4）y2+6my﹣9=0，…得，，则=，…令t=，则t≥1，则，…令f（t）=3t+，则f′（t）=3﹣，当t≥1时，f′（t）≥0，f（t）在[1，+∞）上单调递增，有f（t）≥f（1）=4，S△F1MN≤3，即当t=1，m=0时，S△F1MN≤3，S△F1MN=4R，∴R max=，这时所求内切圆面积的最大值为π．故直线l：x=1，△F1MN内切圆面积的最大值为π…点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查三角形面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，分析得出最大，R就最大是关键．21．已知函数f（x）=e x﹣ax2（1）求函数f（x）在点P（0，1）处的切线方程；（2）当a＞0时，若函数f（x）为R上的单调递增函数，试求a的范围；（3）当a≤0时，证明函数f（x）不出现在直线y=x+1的下方．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：（1）求出函数的导数，切线斜率，切点坐标，然后求解f（x）在点P（0，1）处的切线方程．（2）由题意推出f′（x）=e x﹣2ax≥0恒成立，通过构造函数，求出新函数的最值，即可求解0＜a≤（3）记F（x）=e x﹣ax2﹣x﹣1，a≤0，利用函数的导数，判断函数的单调性，求解最值即可证明函数f（x）不出现在直线y=x+1的下方．解答：解：（1）∵f′（x）=e x﹣2ax，∴f′（0）=1所以f（x）在点P（0，1）处的切线方程为y﹣f（0）=f′（0）（x﹣0），即y=x+1．…（2）由题意f′（x）=e x﹣2ax≥0恒成立x＞0时2a≤，令g（x）=，则g′（x）=，由g′（x）=0得x=1，x＞1时g′（x）＞0，x＜1时g′（x）＜0．∴g（x）min=g（1）=e，∴a≤；x＜0时2a≥，∵＜0，2a≥0 恒成立；综上，若函数f（x）为R上的单调递增函数，则0＜a≤ …（3）记F（x）=e x﹣ax2﹣x﹣1，a≤0则F′（x）=e x﹣2ax﹣1，F′′（x）=e x﹣2a＞0，∴F′（x）单调递增，又F′（0）=0∴F（x）在（﹣∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增∴F（x）≥F（0）=0，即函数f（x）不出现在直线y=x+1的下方．…点评：本题考查函数的导数的综合应用，转化思想以及计算能力，注意二次求导的应用．四、请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．选修4-1：几何证明选讲22．如图，AB是⊙O的一条切线，切点为B，直线ADE，CFD，CGE都是⊙O的割线，已知AC=AB．（1）求证：FG∥AC；（2）若CG=1，CD=4．求的值．考点：与圆有关的比例线段；相似三角形的判定．专题：直线与圆；推理和证明．分析：（1）由切割线定理得AB2=AD•AE，从而AD•AE=AC2，进而△ADC∽△ACE，由此能证明FG∥AC．（2）由题意可得：G，E，D，F四点共圆，从而△CGF∽△CDE，由此能求出．解答：（1）证明：∵AB为切线，AC为割线，∴AB2=AD•AE，又∵AC=AB，∴AD•AE=AC2．∴，又∵∠EAC=∠DAC，∴△ADC∽△ACE，∴∠ADC=∠ACE，又∵∠ADC=∠EGF，∴∠EGF=∠ACE，∴FG∥AC．（2）解：由题意可得：G，E，D，F四点共圆，∴∠CGF=∠CDE，∠CFG=∠CED．∴△CGF∽△CDE，∴=．又∵CG=1，CD=4，∴=4．点评：本题考查两直线平行的证明，考查两线段比值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意切割线定理的合理运用．选修4-4：极坐标与参数方程23．（选做题）在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系，直线l的极坐标方程为ρsin（θ+）=，圆C的参数方程为，（θ为参数，r＞0）（Ⅰ）求圆心C的极坐标；（Ⅱ）当r为何值时，圆C上的点到直线l的最大距离为3．考点：简单曲线的极坐标方程；直线与圆的位置关系．专题：计算题．分析：（1）利用两角差的余弦公式及极坐标与直角坐标的互化公式可得直线l的普通方程；利用同角三角函数的基本关系，消去θ可得曲线C的普通方程，得出圆心的直角坐标后再化面极坐标即可．（2）由点到直线的距离公式、两角和的正弦公式，及正弦函数的有界性求得点P到直线l 的距离的最大值，最后列出关于r的方程即可求出r值．解答：解：（1）由ρsin（θ+）=，得ρ（cosθ+sinθ）=1，∴直线l：x+y﹣1=0．由得C：圆心（﹣，﹣）．∴圆心C的极坐标（1，）．（2）在圆C：的圆心到直线l的距离为：∵圆C上的点到直线l的最大距离为3，∴．r=2﹣∴当r=2﹣时，圆C上的点到直线l的最大距离为3．点评：本小题主要考查坐标系与参数方程的相关知识，具体涉及到极坐标方程、参数方程与普通方程的互化，点到直线距离公式、三角变换等内容．选修4-5：不等式选讲24．设函数f（x）=|x﹣a|，a＜0．（Ⅰ）证明f（x）+f（﹣）≥2；（Ⅱ）若不等式f（x）+f（2x）＜的解集非空，求a的取值范围．考点：绝对值不等式的解法；其他不等式的解法．专题：计算题；分类讨论；不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）运用绝对值不等式的性质和基本不等式，即可得证；（Ⅱ）通过对x的范围的分类讨论去掉绝对值符号，转化为一次不等式，求得（f（x）+f （2x））min即可．解答：（Ⅰ）证明：函数f（x）=|x﹣a|，a＜0，则f（x）+f（﹣）=|x﹣a|+|﹣﹣a|=|x﹣a|+|+a|≥|（x﹣a）+（+a）|=|x+|=|x|+≥2=2．（Ⅱ）解：f（x）+f（2x）=|x﹣a|+|2x﹣a|，a＜0．当x≤a时，f（x）=a﹣x+a﹣2x=2a﹣3x，则f（x）≥﹣a；当a＜x＜时，f（x）=x﹣a+a﹣2x=﹣x，则﹣＜f（x）＜﹣a；当x时，f（x）=x﹣a+2x﹣a=3x﹣2a，则f（x）≥﹣．则f（x）的值域为[﹣，+∞），不等式f（x）+f（2x）＜的解集非空，即为＞﹣，解得，a＞﹣1，由于a＜0，则a的取值范围是（﹣1，0）．点评：本题考查绝对值不等式的解法，通过对x的范围的分类讨论去掉绝对值符号是关键，考查不等式恒成立问题转化为求最值问题，考查分类讨论思想，属于中档题．@x20643 50A3 傣37525 9295 銕v34122 854A 蕊#((31805 7C3D 簽39034 987A 顺•] 22429 579D 垝。

玉溪一中第五次调研考试数学（理）试卷第I卷（选择题）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.若集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为集合，所以，故选A.2.已知是虚数单位，复数满足，则的虚部是（）A.1 B. C. D.【答案】A【解析】，所以的虚部是1，选A.3.函数的大致图象如图,则函数=的图象可能是A. B. C. D.【答案】D【解析】由题可得，所以结合图象可知,选D.4.若向量的夹角为，且，，则向量与向量的夹角为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】结合数量积公式可求得、、的值，代入向量夹角公式即可求解。

【详解】设向量与的夹角为，因为的夹角为，且，，所以，，所以，又因为所以，故选B【点睛】本题考查向量的数量积公式，向量模、夹角的求法，考查化简计算的能力，属基础题。

5.已知，，若不等式恒成立，则的最大值为（）A. 9B. 12C. 16D. 10【答案】C【解析】【分析】将不等式变形为，结合均值不等式即可求解。

【详解】因为，，所以，所以不等式恒成立，即可转化为恒成立，即，因为，当且仅当时取等号，所以，即m的最大值为16，故选C。

【点睛】本题考查均值不等式的活用、恒成立问题，解题关键在于将不等式变形为，即可求解，意在考查学生分析计算的能力，属基础题。

6. 在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究中，研究人员获得了一组样本数据，并制作成如图所示的人体脂肪含量与年龄关系的散点图．根据该图，下列结论中正确的是（）A. 人体脂肪含量与年龄正相关，且脂肪含量的中位数等于20%B. 人体脂肪含量与年龄正相关，且脂肪含量的中位数小于20%C. 人体脂肪含量与年龄负相关，且脂肪含量的中位数等于20%D. 人体脂肪含量与年龄负相关，且脂肪含量的中位数小于20%【答案】B【解析】试题分析：从散点图可以看出，年龄增大，脂肪含量也随之增加，故为正相关.中间的两个点即第5、6两个点脂肪含量均低于20%，故脂肪含量的中位数小于20%.选B.考点：相关关系.7.已知正项等比数列满足，与的等差中项为，则的值为（）A. 4B. 2C.D.【答案】A【解析】设公比为，，与的等差中项为，，即的值为，故选A.8.已知，则( )A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由，可得，平方可得，结合的范围即可求的值，代入即可求解。

玉溪一中第五次调研考试数学（理）试卷注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡上填写自己的准考证号、姓名、试室号和座位号。

用2B型铅笔把答题卡上试室号、座位号对应的信息点涂黑。

2．选择题每小题选出答案后，用2B型铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4．考生必须保持答题卡整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.若集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为集合，所以，故选A.2.已知是虚数单位，复数满足，则的虚部是（）A. 1B.C.D.【答案】A【解析】，所以的虚部是1，选A.3.函数的大致图象如图,则函数=的图象可能是A. B. C. D.【答案】D【解析】由题可得，所以结合图象可知,选D.4.若向量的夹角为，且，，则向量与向量的夹角为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】结合数量积公式可求得、、的值，代入向量夹角公式即可求解。

【详解】设向量与的夹角为，因为的夹角为，且，，所以，，所以，又因为所以，故选B【点睛】本题考查向量的数量积公式，向量模、夹角的求法，考查化简计算的能力，属基础题。

5.已知，，若不等式恒成立，则的最大值为（）A. 9B. 12C. 16D. 10【答案】C【解析】【分析】将不等式变形为，结合均值不等式即可求解。

【详解】因为，，所以，所以不等式恒成立，即可转化为恒成立，即，因为，当且仅当时取等号，所以，即m的最大值为16，故选C。

【点睛】本题考查均值不等式的活用、恒成立问题，解题关键在于将不等式变形为，即可求解，意在考查学生分析计算的能力，属基础题。

2021年云南省玉溪市高考数学模拟试卷（05）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）“m=1”是“直线x﹣y=0和直线x+my=0彼此垂直”的（）A．充分没必要要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．（5分）如图，若一个空间几何体的三视图中，正视图和侧视图都是直角三角形，其直角边均为1，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．13．（5分）设a=30.5，b=log32，c=cos2，则（）A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．a＜b＜c D．b＜c＜a4．（5分）设向量，若，则=（）A．﹣3 B．3 C．D．5．（5分）已知集合，集合N={y|y=3x，x＞0}，则如图所示的韦恩图中阴影部份所表示的集合为（）A．（2，+∞） B．[0，1）∪（2，+∞）C．[0，1]∪（2，+∞）D．[0，1]∪[2，+∞）6．（5分）由曲线xy=1，直线y=x，x=3及x轴所围成的曲边四边形的面积为（）A． B．C．D．4﹣ln37．（5分）函数y=1﹣2sin2（x+）是（）A．最小正周期为π的偶函数B．最小正周期为π的奇函数C．最小正周期为2π的偶函数D．最小正周期为2π的奇函数8．（5分）下列命题正确的是（）A．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行9．（5分）设a＜b，函数y=（x﹣a）2（x﹣b）的图象可能是（）A．B．C．D．10．（5分）已知不等式组所表示的平面区域为面积等于的三角形，则实数k的值为（）A．﹣1 B．﹣ C．D．111．（5分）以双曲线的右核心为圆心且与双曲线的渐近线相切的圆的方程是（）A． B．（x﹣3）2+y2=3 C．=3 D．（x﹣3）2+y2=9 12．（5分）函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中）的图象如图所示，为了取得g（x）=sin2x的图象，则只需将f（x）的图象（）A．向右平移个长度单位B．向右平移个长度单位C．向左平移个长度单位D．向左平移个长度单位二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分.请把答案填在答题纸的相应位置上.13．（4分）设非零向量知足，则=．14．（4分）下面图形由小正方形组成，请观察图1至图4的规律，并依此规律，写出第n个图形中小正方形的个数是．15．（4分）已知F是抛物线y=x2的核心，M、N是该抛物线上的两点，|MF|+|NF|=3，则线段MN的中点到x轴的距离为．16．（4分）已知函数f（x）的概念域为[﹣1，5]，部份对应值如下表，f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图所示，给出关于f（x）的下列命题：x﹣10245f（x）12021①函数y=f（x）在x=2取到极小值；②函数f（x）在[0，1]是减函数，在[1，2]是增函数；③当1＜a＜2时，函数y=f（x）﹣a有4个零点；④若是当x∈[﹣1，t]时，f（x）的最大值是2，那么t的最小值为0．其中所有正确命题是（写出正确命题的序号）．三、解答题：本大题共6个小题，满分74分.解承诺写出必要的文字说明、证明进程或演算步骤.请将解答进程写在答题纸的相应位置.17．（12分）△ABC的内角A、B、C所对的边别离为a，b，c，且（I）求角C；（II）求的最大值．18．（12分）在等差数列{a n}中，a1=3，其前n项和为S n，等比数列{b n}的各项均为正数，b1=1，公比为q，且．（I）求a n与b n；（II）设，求T n的值．19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PB⊥底面ABCD．底面ABCD为直角梯形，∠ABC=90°，AD∥BC，AB=AD=PB，BC=2AD．点E在棱PA上，且PE=2EA．（I）求证：CD⊥平面PBD；（II）求二面角A﹣BE﹣D的余弦值．20．（12分）小张于年初支出50万元购买一辆大货车，第一年因缴纳各类费用需支出6万元，从第二年起，每一年都比上一年增加支出2万元，假定该车每一年的运输收入均为25万元．小张在该车运输累计收入超过总支出后，考虑将大货车作为二手车出售，若该车在第x年年底出售，其销售收入为25﹣x万元（国家规定大货车的报废年限为10年）．（1）大货车运输到第几年年底，该车运输累计收入超过总支出？（2）在第几年年底将大货车出售，能使小张取得的年平均利润最大？（利润=累计收入+销售收入﹣总支出）21．（12分）已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为、F2别离为椭圆C的左、右核心，过F2的直线l与C相交于A、B两点，△F1AB的周长为．（I）求椭圆C的方程；（II）若椭圆C上存在点P，使得四边形OAPB为平行四边形，求此时直线l的方程．22．（14分）已知函数f（x）=xlnx+ax（a∈R）（I）若函数f（x）在区间[e2，+∞）上为增函数，求a的取值范围；（II）若对任意x∈（1，+∞），f（x）＞k（x﹣1）+ax﹣x恒成立，求正整数k的值．2021年云南省玉溪市高考数学模拟试卷（05）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）“m=1”是“直线x﹣y=0和直线x+my=0彼此垂直”的（）A．充分没必要要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：当m=1时，两直线的方程别离为x﹣y=0，与x+y=0，可得出此两直线是垂直的；当两直线垂直时1×1+（﹣1）×m=0，可解得，m=1，所以“m=1”可得出“直线x﹣y=0和直线x+my=0彼此垂直”，由“直线x﹣y=0和直线x+my=0互相垂直”可得出“m=1”所以“m=1”是“直线x﹣y=0和直线x+my=0彼此垂直”的充要条件，故选C2．（5分）如图，若一个空间几何体的三视图中，正视图和侧视图都是直角三角形，其直角边均为1，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．1【解答】解：由三视图可知，该几何体是四棱锥，底面为边长为1的正方形，高为1的四棱锥，所以体积为V=×1×1×1=．故选A．3．（5分）设a=30.5，b=log32，c=cos2，则（）A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．a＜b＜c D．b＜c＜a【解答】解：∵，0=log31＜log32＜log33=1，又∵，∴cos2＜0，所以c＜b＜a．故选A．4．（5分）设向量，若，则=（）A．﹣3 B．3 C．D．【解答】解：∵=（cosα，﹣1），=（2，sinα），⊥，∴2cosα﹣sinα=0，∴tanα=2．∴tan（α﹣）===．故选C．5．（5分）已知集合，集合N={y|y=3x，x＞0}，则如图所示的韦恩图中阴影部份所表示的集合为（）A．（2，+∞）B．[0，1）∪（2，+∞）C．[0，1]∪（2，+∞）D．[0，1]∪[2，+∞）【解答】解：，N={y|y=3x，x＞0}={y|y＞1}，则阴影部份为{x|x∈M∪N且x∉M∩N}，M∪N={x|x≥0}，M∩N={x|1＜x≤2}，所以，即阴影部份为{x|x∈M∪N且x∉M∩N}={x|0≤x≤1或x＞2}，即[0，1]∪（2，+∞），故选C．6．（5分）由曲线xy=1，直线y=x，x=3及x轴所围成的曲边四边形的面积为（）A．B．C．D．4﹣ln3【解答】解：由xy=1得，由得x D=1，所以曲边四边形的面积为：，故选C．7．（5分）函数y=1﹣2sin2（x+）是（）A．最小正周期为π的偶函数B．最小正周期为π的奇函数C．最小正周期为2π的偶函数D．最小正周期为2π的奇函数【解答】解：因为函数y=f（x）=1﹣2sin2（x+）=cos2（x+）=﹣sin2x，x∈R；所以函数y=f（x）的最小正周期为T==π，且f（﹣x）=﹣sin2（﹣x）=sin2x=﹣f（x），所以f（x）是概念域R上的奇函数．故选：B．8．（5分）下列命题正确的是（）A．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行【解答】解：A、若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行、相交或异面，故A错误；B、若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行或相交，故B错误；C、设平面α∩β=a，l∥α，l∥β，由线面平行的性质定理，在平面α内存在直线b∥l，在平面β内存在直线c∥l，所以由平行公理知b∥c，从而由线面平行的判定定理可证明b∥β，进而由线面平行的性质定理证明得b∥a，从而l∥a，故C 正确；D，若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行或相交，排除D．故选C．9．（5分）设a＜b，函数y=（x﹣a）2（x﹣b）的图象可能是（）A．B．C．D．【解答】解：由题，=（x﹣a）2的值大于等于0，故当x＞b时，y＞0，x＜b时，y≤0．对照四个选项，C选项中的图符合故选C．10．（5分）已知不等式组所表示的平面区域为面积等于的三角形，则实数k的值为（）A．﹣1 B．﹣ C．D．1【解答】解：∵不等式组所表示的平面区域三角形，如图：平面为三角形所以过点（2，0），∵y=kx﹣1，与x轴的交点为（，0），y=kx﹣1与y=﹣x+2的交点为（），三角形的面积为：=，解得：k=1．故选D．11．（5分）以双曲线的右核心为圆心且与双曲线的渐近线相切的圆的方程是（）A． B．（x﹣3）2+y2=3 C．=3 D．（x﹣3）2+y2=9【解答】解：由已知，双曲线中，c2=6+3，c=3，核心在x轴上，故圆心（3，0），渐近线方程：y=±x，又圆与渐近线相切，∴圆心到渐近线距离即为半径长，r==，∴所求圆的方程为（x﹣3）2+y2=3，故选B．12．（5分）函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中）的图象如图所示，为了取得g（x）=sin2x的图象，则只需将f（x）的图象（）A．向右平移个长度单位B．向右平移个长度单位C．向左平移个长度单位D．向左平移个长度单位【解答】解：由已知中函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中）的图象，过（，0）点，（）点，易患：A=1，T=4（）=π，即ω=2即f（x）=sin（2x+φ），将（）点代入得：+φ=+2kπ，k∈Z又由∴φ=∴f（x）=sin（2x+），设将函数f（x）的图象向左平移a个单位取得函数g（x）=sin2x的图象，则2（x+a）+=2x解得a=﹣故将函数f（x）的图象向右平移个长度单位取得函数g（x）=sin2x的图象，故选A二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分.请把答案填在答题纸的相应位置上.13．（4分）设非零向量知足，则= 120°．【解答】解：因为，所以，所以，所以，即，所以，由向量夹角的范围可得．故答案为：120°14．（4分）下面图形由小正方形组成，请观察图1至图4的规律，并依此规律，写出第n个图形中小正方形的个数是．【解答】解：∵a1=1，a2=3，a3=6，a4=10，∴a2﹣a1=2，a3﹣a2=3，a4﹣a3=4，…a n =n，﹣a n﹣1等式两边同时累加得a n﹣a1=2+3+…+n，即，所以第n个图形中小正方形的个数是．故答案为15．（4分）已知F是抛物线y=x2的核心，M、N是该抛物线上的两点，|MF|+|NF|=3，则线段MN的中点到x轴的距离为．【解答】解：抛物线的核心为（0，），准线为y=﹣，过M，N别离作准线的垂线，则|MM'|=|MF|，|NN'|=|NF|，所以|MM'|+|NN'|=|MF|+|NF|=3，所以中位线|PP′|==，所以中点P到x轴的距离为|PP′|﹣=﹣=．故答案为：．16．（4分）已知函数f（x）的概念域为[﹣1，5]，部份对应值如下表，f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图所示，给出关于f（x）的下列命题：x﹣10245f（x）12021①函数y=f（x）在x=2取到极小值；②函数f（x）在[0，1]是减函数，在[1，2]是增函数；③当1＜a＜2时，函数y=f（x）﹣a有4个零点；④若是当x∈[﹣1，t]时，f（x）的最大值是2，那么t的最小值为0．其中所有正确命题是①③④（写出正确命题的序号）．【解答】解：由图象可知当﹣1＜x＜0，2＜x＜4时，f′（x）＞0，此时函数单调递增，当0＜x＜2，4＜x＜5时，f′（x）＜0，此时函数单调递减，所以当x=0或x=4时，函数取得极大值，当x=2时，函数取得极小值．所以①正确．②函数在[0，2]上单调递减，所以②错误．③因为x=0或x=4时，函数取得极大值，当x=2时，函数取得极小值．所以f（0）=2，f（4）=2，f（2）=0，因为f（﹣1）=f（5）=1，所以由函数图象可知当1＜a＜2时，函数y=f（x）﹣a 有4个零点；正确．④因为函数在[﹣1，0]上单调递增，且函数的最大值为2，所以要使当x∈[﹣1，t]时，f（x）的最大值是2，则t≥0即可，所以t的最小值为0，所以④正确．故答案为：①③④．三、解答题：本大题共6个小题，满分74分.解承诺写出必要的文字说明、证明进程或演算步骤.请将解答进程写在答题纸的相应位置.17．（12分）△ABC的内角A、B、C所对的边别离为a，b，c，且（I）求角C；（II）求的最大值．【解答】解：（I）∵∴即由余弦定理cosC==∵C∈（0，π）∴（II）由题意可得====2sin（A）∵A∈（0，π）∴∴∴的最大值为218．（12分）在等差数列{a n}中，a1=3，其前n项和为S n，等比数列{b n}的各项均为正数，b1=1，公比为q，且．（I）求a n与b n；（II）设，求T n的值．【解答】解（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，∵差数列{a n}的前n项和为S n，数列{b n}为等比数列，且，∴，即，解得：．∴a n=a1+（n﹣1）d=3+（n﹣1）•3=3n，．（Ⅱ）T n=a n b1+a n﹣1b2+a n﹣2b3+…+a1b n=3n•1+3（n﹣1）•3+3（n﹣2）•32+…+3×2×3n﹣2+3•3n﹣1=n•3+（n﹣1）•32+（n﹣2）•33+…+2•3n﹣1+3n．∴．∴=（32+33+…+3n+1）﹣3n==．∴．19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PB⊥底面ABCD．底面ABCD为直角梯形，∠ABC=90°，AD∥BC，AB=AD=PB，BC=2AD．点E在棱PA上，且PE=2EA．（I）求证：CD⊥平面PBD；（II）求二面角A﹣BE﹣D的余弦值．【解答】解：（Ⅰ）证明：因为PB⊥底面ABCD．底面ABCD为直角梯形，∠ABC=90°，所以AB⊥BC．PB⊥底面ABCD．而CD⊂底面ABCD，所以PB⊥CD．在底面ABCD中，因为∠ABC=∠BAD=90°，AB=AD=BC，所以BD=CD=BC，所以BD⊥CD．又因为PB∩BD=B，所以CD⊥平面PAC（Ⅱ）解：设平面EBD的法向量为=（x，y，1），B（0，0，0），E，，D（1，1，0），则，即，又∵平面ABE的法向量为=（0，1，0），∴cos==．即二面角A﹣BE﹣D的大小的余弦值为．20．（12分）小张于年初支出50万元购买一辆大货车，第一年因缴纳各类费用需支出6万元，从第二年起，每一年都比上一年增加支出2万元，假定该车每一年的运输收入均为25万元．小张在该车运输累计收入超过总支出后，考虑将大货车作为二手车出售，若该车在第x年年底出售，其销售收入为25﹣x万元（国家规定大货车的报废年限为10年）．（1）大货车运输到第几年年底，该车运输累计收入超过总支出？（2）在第几年年底将大货车出售，能使小张取得的年平均利润最大？（利润=累计收入+销售收入﹣总支出）【解答】解：（1）设大货车运输到第x年年底，该车运输累计收入与总支出的差为y万元，则y=25x﹣[6x+x（x﹣1）]﹣50=﹣x2+20x﹣50（0＜x≤10，x∈N）由﹣x2+20x﹣50＞0，可得10﹣5＜x＜10+5∵2＜10﹣5＜3，故从第3年，该车运输累计收入超过总支出；（2）∵利润=累计收入+销售收入﹣总支出，∴二手车出售后，小张的年平均利润为=19﹣（x+）≤19﹣10=9当且仅当x=5时，等号成立∴小张应当在第5年将大货车出售，能使小张取得的年平均利润最大．21．（12分）已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为、F2别离为椭圆C的左、右核心，过F2的直线l与C相交于A、B两点，△F1AB的周长为．（I）求椭圆C的方程；（II）若椭圆C上存在点P，使得四边形OAPB为平行四边形，求此时直线l的方程．【解答】解：（I）∵椭圆离心率为，∴=，∴a=c，又△F1AB周长为4，∴4a=4，解得a=，∴c=1，b=，∴椭圆C的标准方程为：；（II）设点A（x1，y1），B（x2，y2），P（x0，y0），当斜率不存在时，这样的直线不知足题意，∴设直线l的斜率为k，则直线l的方程为：y=k（x﹣1），将直线l的方程代入椭圆方程，整理得：（2+3k2）x2﹣6k2x+3k2﹣6=0，∴x1+x2=，故y1+y2=k（x1+x2）﹣2k=﹣2k=，∵四边形OAPB为平行四边形，∴=+，从而，，又P（x0，y0）在椭圆上，∴，整理得：，12k4+8k2=4+12k2+9k4，3k4﹣4k2﹣4=0，解得k=±，故所求直线l的方程为：y=±（x﹣1）．22．（14分）已知函数f（x）=xlnx+ax（a∈R）（I）若函数f（x）在区间[e2，+∞）上为增函数，求a的取值范围；（II）若对任意x∈（1，+∞），f（x）＞k（x﹣1）+ax﹣x恒成立，求正整数k的值．【解答】（Ⅰ）解：由f（x）=xlnx+ax，得：f′（x）=lnx+a+1∵函数f（x）在区间[e2，+∞）上为增函数，∴当x∈[e2，+∞）时f′（x）≥0，即lnx+a+1≥0在区间[e2，+∞）上恒成立，∴a≥﹣1﹣lnx．又当x∈[e2，+∞）时，lnx∈[2，+∞），∴﹣1﹣lnx∈（﹣∞，﹣3]．∴a≥﹣3；（Ⅱ）若对任意x∈（1，+∞），f（x）＞k（x﹣1）+ax﹣x恒成立，即x•lnx+ax＞k（x﹣1）+ax﹣x恒成立，也就是k（x﹣1）＜x•lnx+ax﹣ax+x恒成立，∵x∈（1，+∞），∴x﹣1＞0．则问题转化为k对任意x∈（1，+∞）恒成立，设函数h（x）=，则，再设m（x）=x﹣lnx﹣2，则．∵x∈（1，+∞），∴m′（x）＞0，则m（x）=x﹣lnx﹣2在（1，+∞）上为增函数，∵m（1）=1﹣ln1﹣2=﹣1，m（2）=2﹣ln2﹣2=﹣ln2，m（3）=3﹣ln3﹣2=1﹣ln3＜0，m（4）=4﹣ln4﹣2=2﹣ln4＞0．∴∃x0∈（3，4），使m（x0）=x0﹣lnx0﹣2=0．∴当x∈（1，x0）时，m（x）＜0，h′（x）＜0，∴在（1，x0）上递减，x∈（x0，+∞）时，m（x）＞0，h′（x）＞0，∴在（x0，+∞）上递增，∴h（x）的最小值为h（x0）=．∵m（x0）=x0﹣lnx0﹣2=0，∴lnx0+1=x0﹣1，代入函数h（x）=得h（x0）=x0，∵x0∈（3，4），且k＜h（x）对任意x∈（1，+∞）恒成立，∴k＜h（x）min=x0，∴k≤3，∴k的值为1，2，3．。