2020-2021学年云南省玉溪一中高三(上)期中考试数学(理科)试题Word版含解析版

云南省玉溪市普通高中2021届上学期高三年级第一次教学质量检测数学试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}2{|1},|0=≥-=-<A x x B x x x ，则⋂=A B （ ） A ．(1,1)- B ．[1,1)- C ．(0,1) D ．[0,1) 2．设21+=-iz i，则在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3．已知31cos 25⎛⎫+= ⎪⎝⎭πα，则cos2=α（ ） A ．2325 B ．2325- C ．2425 D ．2425-4．在一个文艺比赛中，12名专业人士和12名观众代表各组成一个评判小组，给参赛选手打分．根据两个评判小组对同一名选手的打分绘制了下面的折线图．根据以上折线图，下列结论错误的是（ ） A ．A 小组打分分值的最高分为55分，最低分为42分 B ．A 小组打分分值的标准差小于B 小组打分分值的标准差 C ．B 小组打分分值的中位数为 D ．B 小组更像是由专业人士组成的5．已知向量a ，b 的夹角为120°，||2||2==a b ，则|23|+=a b （ ）A ．13B ．37C ．7D ．136．数列{}n a 中，若1112,+==n n a a a a ，则246810++++=a a a a a （ ） A ．61 B ．62 C ．63 D ．647．曲线2(3)=+xy ax e 在点(0,3)处的切线的斜率为4-，则=a （ ）A ．2B ．3-C ．7-D ．10-8．设12,F F 分别为双曲线C ：22221(0,0)-=>>x y a b a b的左、右焦点，双曲线C 上存在点215+=PF PF b2198⋅=PF PF ab235262()3sin()0,||2⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭f x x πωϕωϕ5132424⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭f f ππ3,()88⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦k k k Z ππππ32,2()88⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦k k k Z ππππ37,()88⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦k k k Z ππππ372,2()88⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦k k k Z ππππ1=+y kx 221+=x y MON 3=S =k 33±3±33333±3±1111-ABCD A B C D 1AA AB 1CC 1=AE 2=AF 32=CG αα991001101,,ln 101100-===a b e c <<a b c <<a c b <<c a b <<b a c 103103--≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩x y x y x 2=-z x y{}n a 21122,1--=+=n n n a a a =n a -P ABC 2===PA PB PC ABC PC ⊥PC BE -P ABC22⊥PC BE -P ABC 6π⊥PA BE -P ABC 23⊥PA BE -P ABC 12πABC 2=AB AC ∠BAC BCABD ADCS S1,2==AC BD AD(),(1,2,,10)=⋅⋅⋅i i x y i i x iy 1010102111112.4,12,3.196,0.6432========∑∑∑∑ii i i i i i i i xy x y x ba 1221,==-==--∑∑nni ii ii x ynx y b a y bxxnx111-ABC A B C 12==AB AA AB AC 11∥B C 1A EF 11B C 1--A EF G 22221(0)+=>>x y a b a b 12=e 1F 2F 28=y x 1=x MA MB DE (4,0)H 2(),()=-=--x f x e mx g x x m ()f x ()()()=-h x f x g x ()h x [0,)+∞的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑．22．（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为3cos sin 20++=ρθρθ，半圆C 的极坐标方程为1([0,])=∈ρθπ． （1）求直线l 的直角坐标方程及C 的参数方程；（2）若直线'l 平行于l ，且与C 相切于点D ，求点D 的直角坐标． 23．（本小题满分10分）已知函数()||||(0,0)=-++>>f x x a x b a b ． （1）若1==a b ，解不等式()2>f x ； （2）若()f x 的值域是[2,)+∞，且1121+≥++k a b ，求的最大值．【试题答案】一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分． 题号 1 2 3 4 5 67 8 9 10 11 12 答案 CAADABDCADCB二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．题号 13 141516 答案2352(1)2-+⨯n n①②④三、解答题：本大题共6小题，共70分．17．（本小题满分12分）解：（1）∵AD 为∠BAC 的角平分线，∴∠=∠BAD CAD ，即sin sin ∠=∠BAD CAD ． 1分∴1sin 21sin 2⋅∠=⋅∠ABD ADCAB AD BAD S SAC AD CAD 2分 =ABAC． 3分 又∵2=AB AC ， ∴2=ABD ADCS S． 5分（2）由（1）知2==AB BDAC CD且1,2==AC BD ， ∴22,2==AB CD ． 6分 在ABD 中，222cos 2+-∠=⋅AB AD BD BAD AB AD22422224+-+==⨯⨯AD AD AD AD． 8分 在ACD 中，222cos 2+-∠=⋅AC AD CD CAD AC AD2211122212+-+==⨯⨯AD AD AD AD ． 10分 ∵∠=∠BAD CAD ， ∴cos cos ∠=∠BAD CAD ，∴2212242++=AD ADAD AD， ∴1=AD ． 12分 18．（本小题满分12分）解：（1）1010.2410===∑ii xx ， 1分1011.210===∑ii yy ， 2分 1221ˆ==-=-∑∑ni ii nii x ynx y bxnx23.196100.24 1.20.6432100.24-⨯⨯=-⨯ 4分0.3160.0672=4.70≈， 6分1.2 4.700.240.0720.07=-⨯=≈a ． 8分所以，回归直线方程为 4.700.07=+y x ． 10分（2）由“伏安法”可知，直线的斜率是电阻的估计值，所以电阻的估计值为欧姆． 12分 19．解：（1）证明：在正三棱柱111-ABC A B C 中，11//BC B C ． 1分 ∵E ，F 分别是AB ，AC 的中点，∴EF 是ABC 的中位线，∴//EF BC ． 2分 又∵11//BC B C ，∴11//EF B C ． 3分 又11⊄B C 平面1A EF ，⊂EF 平面1A EF ， ∴11//B C 平面1A EF ． 5分 （2）向量法：在正三棱柱111-ABC A B C 中，取11AC 的中点H ，连接FH ，则1//FH CC ． 在正ABC 中，连接FB ，则⊥FB AC ． 又因为12==AB AA ， 所以3,1==FB FC ．如图，以F 为原点建立空间直角坐标系-F xyz ． 7分13131(0,1,2),,0,(0,0,0),,22222⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A E F G113131,,2,(0,1,2),(0,1,2),,222⎛⎫⎛⎫=-=-=--=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A E A F GE GF ．设(,,)=m x y z 为平面1A EF 的一个法向量，则1131202220⎧⋅=+-=⎪⎨⎪⋅=-=⎩m A E x y z m A F y z ． ∴23⎛⎫=⎪⎝⎭m ． （9分） 同理可求，平面GEF 的一个法向量为∴23,2,13⎛⎫=- ⎪⎝⎭n ． 10分设二面角1--A EF G 的平面角为θ，∴441133cos 19191933+-==⨯θ， 11分所以二面角1--A EF G 的正弦值为8319． 12分 几何法：在正三棱柱111-ABC A B C 中，取BC 中点D ，连接AD ，且⋂=AD EF O ，连接1AO ，GO 6分则⊥AD BC ，又1⊥AA BC ，1⋂=AA AD A ， ∴⊥BC 平面1AOG ． 7分 由（1）知：//EF BC ， ∴⊥EF平面1AOG ． 8分 ∴1∠AOG 即为二面角1--A EF G 的平面角，记为θ． 9分 连接1A G ，1AOG 中，131944=+=AO ，31944=+=GO ，13=AG ， 由余弦定理得：191931344cos 1919192+-==⨯⨯θ． 11分 所以二面角1--A EF G 83． 12分 20．解：（本小题满分12分） （1）因为椭圆C 的离心率12=e ，所以12=c a ，即2=a c ． 1分 因为抛物线28=y x 的焦点(2,0)F 恰好是该椭圆的一个顶点， 2分 所以2=a ，所以1,3==c b 3分所以椭圆C 的方程为22143+=x y ． 4分 （2）由（1）可得(2,0)-A ，(2,0)B ，设点M 的坐标为(1,)m ， 直线MA 的方程为：(2)3=+my x ． 将(2)3=+m y x 与22143+=x y 联立消去y 整理 得：()222242716161080+++-=m x m x m ． 5分设点D 的坐标为(),D D x y ，则22161082427--=+D m x m ， 6分故22548427-=+D m x m ，则()23623427=+=+D D m m y x m ． 7分 直线MB 的方程为：(2)=--y m x ，将(2)=--y m x 与22143+=x y 联立消去y 整理得： ()2222431616120+-+-=mx m x m ． 8分设点E 的坐标为(),E E x y ，则221612243-=+E m x m ， 9分 故228643-=+E m x m ，则()212243=--=+E E m y m x m ． 10wv 直线HD 的斜率为()12223664495484427===--+--+D D y m mk x m m m ，直线HE 的斜率为()222212644986443===--+--+E E y m mk x m m m ． 11分 因为12=k k ，所以直线DE 经过定点H ． 12分 21．（本小题满分12分）解：（1）()='-xf x e m 1分①若0≤m ，则()0'>f x ，∴()f x 在R 上单调递增． 2分 ②若0>m ，令()0'=f x ，则ln =x m ， 3分 当(,ln )∈-∞x m 时，()0'<f x ；当(ln ,)∈+∞x m 时，()0'>f x ， ∴()f x 在(,ln )-∞m 上单调递减，在(ln ,)+∞m 上单调递增．综上，当0≤m 时，()f x 在R 上单调递增；当0>m 时，()f x 在(,ln )-∞m 上单调递减，在(ln ,)+∞m 上单调递增． 4分（2）由题意知：2()=-++xh x e mx x m ，则()2=+-'xh x e x m ， 5分 易知()'h x 在(0,)+∞上单调递增，且(0)1-'=h m ． ①若1≤m ，则()0'≥h x ，∴()h x 在(0,)+∞上单调递增，∵()h x 在[0,)+∞上有且只有一个零点，(0)1,(1)10=+=+>h m h e ， ∴(0)10=+≤h m ，即1≤-m ．∴当1≤-m 时，()h x 在[0,)+∞上有且只有一个零点． 7分 ②若1>m ，则(0)10,(ln )2ln 0=-<''=>h m h m m ，∴存在0(0,ln )∈x m ，使()00'=h x ，即002+=xe x m ， 8分∴当()00,∈x x 时，()0'<h x ；当()0,∈+∞x x 时，()0'>h x ． ∴()h x 在()00,x 上单调递减，在()0,+∞x 上单调递增，又(0)10=+>h m ，()0=+>mh m e m ，()h x 在[0,)+∞上有且只有一个零点， ∴()00=h x ，即02000-++=xe mx x m ．把002=+xm e x 代入上式可知：()()00020-+=x x e x ，∴02=x ， 10分从而24=+m e ． 11分综上，当1≤-m 或24=+m e 时，()h x 在[0,)+∞上有且只有一个零点． 12分 22．（本小题满分10分） 解析：（1）直线l的普通方程为203++=x y ； 2分 C 的普通方程为221(01)+=≤≤x y y ．可得C 的参数方程为cos sin =⎧⎨=⎩x ty t（t 为参数，0≤≤t π）． 5分（2）由点D 在曲线C 上可设(cos ,sin )D t t ， 6分 由题意可知曲线C 在点D处的切线斜率为3-， 7分tan 3==t t π． 8分故D 的直角坐标为cos,sin33⎛⎫⎪⎝⎭ππ，即12⎛⎝⎭． 10分23．（本小题满分10分） 解析：（1）∵1=a ，1=b ，∴2,1()|1||1|2,112,1≥⎧⎪=-++=-<<⎨⎪-≤-⎩x x f x x x x x x 2分当1≥x 时，()2>f x 化为1>x ，不等式的解为1>x ； 当11-<<x 时，()2>f x ，不等式的解为∅；当1≤-x 时，()2>f x 化为221->⇒<-x x ，所以不等式的解为1<-x ． 4分 综上所述，不等式的解集为{|11}><-或x x x ． 5分（2）∵()|||||()()|||=-++≥--+=+f x x a x b x a x b a b ， 6分 当且仅当()()0-+≤x a x b 时取“＝”号． 又()f x 的值域是[2,)+∞， 所以||2+=a b ，∵0,0>>a b ．∴2215+=⇒+++=a b a b ． 7分∵1121(21)2242112++⎛⎫⎛⎫+++⋅+=++≥+≥⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭a b a b a b b a（当且仅当1221++=++b aa b，即0.5, 1.5==a b时取“＝”号），∴114215+≥++a b，当且仅当0.5, 1.5==a b时取“＝”号． 9分又∵1121+≥++ka b恒成立，∴45≤k，故的最大值是45． 10分。

玉溪一中2020—2021学年上学期高三年级第一次月考数学学科试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题；每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.设是虚数单位，则复数A ．B ．C ．D ． 2.已知集合{4}x x a A =-≤，{(3)0}x x x B =-≤，{2}x x A B =0≤≤，则=a A. 2-B ．0C ．2D ．43.命题:p x ∃∈R ，2+0x x >的否定为 A ．x ∀∈R ，2+0x x ≤B ．x ∀∈R ，2+0x x <C ．x ∃∈R ，2+0x x >D ．x ∃∈R ，2+0x x ≤4.右图为一个四棱锥的三视图，其体积为A ．B ．C ．D ．5.若对任意的x R ∈都有()2()3cos sin f x f x x x +-=-，则函数(2)f x 的对称轴为 A ．()4x k k ππ=+∈Z B ．()8x k k ππ=+∈ZC ．()24k x k ππ=+∈Z D ．()28k x k ππ=+∈Z 6.干支历法是上古文明的产物，又称节气历或中国阳历，是一部深奥的历法。

它是用60组各不相同的天干地支标记年月日时的历法。

具体的算法如下：先用年份的尾数查出天干，如2013年3为癸；再用2013年除以12余数为9，9为巳。

i 43ii-=34i -+34i -34i +34i --43834822222俯视图))那么2013年就是癸巳年了。

2020年高三应届毕业生李东是壬午年出生，李东的父亲比他大25岁，问李东的父亲是哪一年出生A.甲子B.乙丑C.丁巳D.丙卯 7.如果对于任意实数x ，[]x 表示不超过x 的最大整数. 例如[]3.273=，[]0.60=.那么][][y x =是1x y -<的 （ ）A ．充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件8.已知函数()f x 是定义域为R 的偶函数，当0x ≥时，2()=2f x x x -，则()0xf x >的解集为A ．(2,0)(0,2)-B ．(2,0)(2,+)-∞C ．(,2)(0,2)-∞-D ．(,2)(2,+)-∞-∞9.2020年是脱贫攻坚年，为顺利完成“两不愁，三保障”，即农村贫困人口不愁吃、不愁穿，农村贫困人口义务教育、基本医疗、住房安全有保障，某市拟派出6人组成三个帮扶队，每队两人，对脱贫任务较重的甲、乙、丙三县进行帮扶，则不同的派出方法种数共有 A. 15 B. 60 C. 90 D. 540 10.在三角形ABC △中，3AC =，2AB =，60CAB =∠，点D 是BC 边上靠近B 的三等分点，则AD =A ．B C D 11.已知函数3()ln f x x m x =+在区间[]2,3上不是单调函数，则m 的取值范围是 A ．(,81)-∞- B ．(24,)-+∞C ．(81,24)--D ．(81,)-+∞12.点P 在双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的右支上，其左、右焦点分别为1F 、2F ，直线1PF 与以坐标原点O 为圆心、a 为半径的圆相切于点A ，21PF F ∆是以1PF 为底的等腰三角形，则该双曲线的离心率为（ ）A ．32B ．43C ．54D ． 53二、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分.13.曲线()21ln y x x =+在()1,0处的切线方程为______.14.在9x⎛+ ⎝的展开式中，则3x 的系数是______.15.在正项等比数列中{}n a 中，11a =，前三项的和为7，若存在m ，*n N ∈，使14a =，则1912m n +++的最小值为______. 16.已知定义在R 上的函数()f x 和(1)f x +都是奇函数， （i ）()f x 周期T =________． （ii ）当(]0,1x ∈时，21()log f x x=，若函数()()()sin π=-F x f x x 在区间[]1,m -上有且仅有10个零点，则实数m 的取值范围是________．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分.17.（12分）已知锐角三角形ABC 中，内角,,A B C对边分别为,,a b c ，且2cos cos a b Bc C-= （1）求角C 的大小;（2）求函数sin sin y A B =+的值域.18.（12分）现在很多年轻人热衷提前消费，其中分期付款就是比较流行的一种消费方式.现某苹果手机直营店推出一种分期消费模式，若某顾客在店内选择任意一款手机进行购买，如果该顾客选择相应的分期消费模式，可获得相应的红包返现.ξ（月数） 1 3 6 12 返现金额50100200300顾客采用的付款月数ξ的分布列如下表2：ξ（月数）1 3 6 12P2.03.04.0 1.0现该苹果手机店内有2位顾客正准备购买某型号手机，这两位顾客选择怎样的分期消费模式相互独立.设事件A 为“购买该商品的2位顾客中，至少有1位采用1个月付款”．（1）求事件A 发生的概率()P A ；（2）设这两位顾客返现红包总额为随机变量X ，求X 的分布列及数学期望. 19.（12分）如图所示，在四棱锥ABCD E -中，四边形ABCD 为平行四边形，⊥DE 平面ABE ，点F 为AD 中点，AE AB ⊥，2===DE AB AE . （1）证明：BD EF ⊥；（2）求直线EF 与平面BCE 所成角的正弦值.20.（12分）已知函数+3()e x m f x x =-,()()ln 12g x x =++．（1）若曲线()y f x =在点()()00f ，处的切线斜率为1，求实数m 的值；（2）当1m ≥时，证明：()3()f x g x x >-.21.（12分）已知F 1，F 2为椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，点P (1，32)在椭圆E 上，且|PF 1|＋|PF 2|＝4． (1)求椭圆E 的方程；(2)过F 1的直线l 1，l 2分别交椭圆E 于A ，C 和B ，D ，且l 1⊥l 2，问是否存在常数λ，使得1|AC |，λ，1|BD |成等差数列？若存在，求出λ的值，若不存在，请说明理由．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分. 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系xOy 中，已知曲线)(sin cos 3:1111为参数t t y t x C ⎩⎨⎧=+-=αα.曲线)(sin cos 3:2222为参数t t y t x C ⎩⎨⎧=+=ββ，且1tan tan =βα，点P 为曲线.21的公共点与C C（1）求动点P 的轨迹方程；（2）在以原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为05sin 2cos =+-θρθρ，求动点P 到直线l 距离的最大值. 23.（10分）【选修4-5：不等式选讲】已知函数()||||f x x a b x c =+++-的最小值为6，,,a b c R +∈. （1）求a b c ++的值； （2）若不等式149|23|123m a b c ++-+++恒成立，求实数m 的取值范围.玉溪一中2020—2021学年上学期高三年级第二次月考数学学科试卷（理科）答案一、选择题：1-5：DAACD 6-10：BACCA 11-12：CD 二、填空题：13.220x y --= 14.32415.2，114 16.7,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭17.（1）由2cos cos a b Bc C-=，利用正弦定理可得2sin cos sin cos sin cos A C B C C B -=， 可化为()2sin cos sin A C sin C B A =+=，1sin 0,cos 2A C ≠∴=0,,23C C ππ⎛⎫∈∴= ⎪⎝⎭.………………6分（2）sin cos sin 3y A B A sin A ππ⎛⎫=+=+-- ⎪⎝⎭31sin cos sin 3226A A A sin A π⎛⎫=++=+ ⎪⎝⎭，2,032A B A ππ+=<<，62A ππ∴<<，23,3636A sin A ππππ⎤⎛⎫∴<+<∴+∈⎥⎪⎝⎭⎝⎦，332y ⎛∴∈ ⎝.………………6分18.解：（1）抽取的老年员工201407400⨯=人， 中年员工201809400⨯=人，青年员工20804400⨯=人 ………………3分（2）X 的可取值为0,1,2 ……………… 4分23283(X=0)28C P C ==，11352815(X=1)28C C P C ==，25285(X=2)14C P C == ……………… 10分 所以的分布列为X 012P3281528514()0122828144E X =⋅+⋅+⋅= …………… 12分19.（1）证明：因为E 是AC 的中点，PA PC =， 所以AC PE ⊥. …………1分因为底面ABCD 是菱形，所以AC BD ⊥. …………2分 又PE BD E = ，所以AC PDB ⊥面. …………3分又因为PB PDB ⊂面，所以AC PB ⊥. …………4分 （2）方法一：由（1）知CE PDB ⊥面，PD PDB ⊂面，所以CE PD ⊥. （5分） 过E 作EH PD ⊥于H ，连接CH ，则PD CEH ⊥面，又CH ⊂面CEH ，则PD CH ⊥， …………6分 所以CHE ∠是二面角E PD C --的平面角． …………7分 由（1）知PEB ∠是二面角P AC B --的平面角，所以60PEB ∠=︒．…………8分 设AB a =，在Rt PBD ∆中，1322PE BD BE a ===，PBE ∆是等边三角形，32PB a =， EH 是PBD ∆的中位线，则1324EH PB a ==， …………10分2a CE =，227CH CE CH =+= ， …………11分 21cos 7EH PEB CH ∠==，即二面角E PD C --的正弦值为 277. …………12分方法二：由（1）知AC PDB ⊥面. 如图，分别以ED ，EC 方向为x 轴，y 轴正半轴建立空间直角坐标系.设AB a =，则3,0,02D a ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，0,,02a C ⎛⎫⎪⎝⎭. …………5分 由（1）知PEB ∠是二面角P AC B --的平面角，所以60PEB ∠=︒． …………6分在Rt PBD ∆中，1322PE BD BE a ===， PBE ∆是等边三角形，所以33,0,44P a a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭， …………7分333,0,4PD a ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，3,,02a DC ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭ …………8分 设1(,,)n x y z =是平面PDC 的一个法向量，则110,0.n DC n PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即30,23330.4ay ax az ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪ …………9分 令1x =，则3y z ==，所以1(1,3,3)n =是平面PDC 的一个法向量. …………10分平面EDP 的一个法向量为2(0,1,0)n =. …………11分 设二面角E PD C --的平面角为θ，则1212321cos ||||1331n n n n θ⋅===⋅++⨯， 所以二面角E PD C --的正弦值为27. …………12分20.解：(1)∵|PF 1|＋|PF 2|＝4， ∴2a ＝4，a ＝2. ∴椭圆E ：x 24＋y 2b 2＝1.将P (1，32)代入可得b 2＝3，∴椭圆E 的方程为x 24＋y 23＝1.………………4分(2)①当AC 的斜率为零或斜率不存在时，1|AC |＋1|BD |＝13＋14＝712；②当AC 的斜率k 存在且k ≠0时，AC 的方程为y ＝k (x ＋1)，21.（1）解：因为+3()ex mf x x =-，所以+2()e 3x m f x x '=-.………………………1分因为曲线()y f x =在点()()00f ，处的切线斜率为1，所以()0e 1mf '==，解得0m =.…………………………………………………2分（2）证法一：因为+3()ex mf x x =-,()()ln 12g x x =++，所以()3()f x g x x >-等价于()+e ln 120x mx -+->．当1m ≥时，()()+1eln 12e ln 12x mx x x +-+-≥-+-．要证()+eln 120x mx -+->，只需证明1e ln(1)20x x +-+->.………………4分以下给出三种思路证明1e ln(1)20x x +-+->．思路1：设()()1e ln 12x h x x +=-+-，则()11e 1x h x x +'=-+. 设()11e 1x p x x +=-+，则()()121e 01x p x x +'=+>+． 所以函数()p x =()11e 1x h x x +'=-+在()1+-∞，上单调递增．…………………6分 因为121e 202h ⎛⎫'-=-< ⎪⎝⎭，()0e 10h '=->，所以函数()11e 1x h x x +'=-+在()1+-∞，上有唯一零点0x ，且01,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭. 8分因为()00h x '=，所以0+101e1x x =+，即()()00ln 11x x +=-+.………………9分 当()01,x x ∈-时，()0h x '<；当()0,x x ∈+∞时，()0h x '>，所以当0x x =时，()h x 取得最小值()0h x .………………………………………10分 所以()()()0100=e ln 12x h x h x x +≥-+-()0011201x x =++->+. 综上可知，当1m ≥时，()3()f x g x x >-. ……………………………………12分 思路2：先证明1e 2x x +≥+()x ∈R ．……………………………………………5分 设()1e2x h x x +=--，则()+1e 1x h x '=-．因为当1x <-时，()0h x '<，当1x >-时，()0h x '>，所以当1x <-时，函数()h x 单调递减，当1x >-时，函数()h x 单调递增． 所以()()10h x h ≥-=．所以1e 2x x +≥+（当且仅当1x =-时取等号）．…………………………………7分 所以要证明1eln(1)20x x +-+->，只需证明()2ln(1)20x x +-+->．………………………………………………8分 下面证明()ln 10x x -+≥．设()()ln 1p x x x =-+，则()1111xp x x x '=-=++． 当10x -<<时，()0p x '<，当0x >时，()0p x '>，所以当10x -<<时，函数()p x 单调递减，当0x >时，函数()p x 单调递增． 所以()()00p x p ≥=．所以()ln 10x x -+≥（当且仅当0x =时取等号）．……………………………10分 由于取等号的条件不同，所以1eln(1)20x x +-+->．综上可知，当1m ≥时，()3()f x g x x >-. ……………………………………12分 22.解：（1）设动点(,)p x y 由题意知()tan 3+3y x x α=≠-，()tan 33yx x β=≠- 由tan tan 1αβ=-，所以1+33y yx x =--所以点p 的轨迹方程为22+=9(3)x y x ≠±………………5分由已知，直线l 的方程为250x y -+=，圆心O 到直线l的距离为d ==，所以动点p 到直线l .23.（1）()|||||()()|||f x x a b x c x a b x c a b c a b c =+++-++--=++=++，当且仅当()a b x c -+≤≤等号成立 ∴6a b c ++=；………………5分 （2）由柯西不等式得2149[(1)(2)(3)](123)36123a b c a b c ⎛⎫+++++++++=⎪+++⎝⎭，∴1493123a b c +++++， 当且仅当1,2,3a b c ===时等号成立，∴|23|3m -，即3233m --，解得03m . 故m 的取值范围是[0,3].………………10分。

【高三】云南省玉溪第一中学分校届高三上学期期中考试（数学）无答案试卷说明：届第一学期期中试卷高三数学命题人：周进时间：120分钟总分：150分考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟。

2．请将各卷答案填在试卷后面的答题卷上。

3．本试卷主要考试内容，集合与简易逻辑、函数与导数、数列、三角函数。

第Ⅰ卷（选择题）本卷共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

一、选择题1．全集U={1，2，3，4}，集合A={1，2}，B={1，3}，则等于A．{1}B．{2}C．{4}D．{1，2，4}2．函数的定义域为A．B．C．D．3．下列函数中,既是偶函数又在区间上递增的函数为A．B．C．D．，则等于、A．B．C．D．5．设命题的充要条件；命题，A．“”为真B．“”为真C．假D．p,q均为假6．将函数的图象沿轴向左平移个单位后,得到一个偶函数的图象,则的一个可能取值为B．C．0D．设a∈,则使函数y=xa的定义域是R,且为奇函数的所有a的值是A．1,3B．-1,1C．-1,3D．-1,1,3的图象按向量平移后，得到函数的图象，则函数的单调递增区间是A.B．C．D．9．函数的零点位于A．B．C．D．定义在R上的函数满足,则的值为A．0B．-1C．1D．11．已知函数,则下列结论正确的是A．此函数的图象关于直线对B．此函数在区间上是增函数 C．此函数的最大值为1D．此函数的最小正周期为恰有3个单调区间，则实数a的取值范围A．B．CD．第Ⅱ卷（非选择题）本卷共10题，共90分。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

把答案填在答题卷中的横线上。

13. 设集合,则=_____.14．不等式的解集是。

15．函数是奇函数的充要条件是a=____________________.已知,则的值为______. （1）当m=3时，求；（2）若，求实数m的值。

玉溪一中高2021届高三上学期第四次月考理科数学本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分．满分150分，考试时间120分钟．第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合{}32,A x x n n N ==+∈，{}6,8,10,12,14B =，则集合A B ⋂中的元素个数为（ ） A.5 B.4C.3D.22．复数(2)(12)z i i =-+在复平面内对应的点位于（ ） A.第一象限 B.其次象限 C.第三象限 D.第四象限 3.下列说法错误的是（ ）A.命题“若0a =，则0ab =”的否命题是：“若0a ≠，则0ab ≠”B.假如命题“p ⌝”与命题“p q ∨”都是真命题，则命题q 肯定是真命题C.若命题：0x R ∃∈，20010x x -+<，则p ⌝：x R ∀∈，210x x -+≥D.“1sin 2θ=”是“6πθ=”的充分不必要条件4.已知函数210()cos 0x x f x x x ⎧+>=⎨≤⎩，则下列结论正确的是（ ）A.()f x 是偶函数B. ()f x 的值域为[1,)-+∞C.()f x 是周期函数D. ()f x 是增函数5.《张丘建算经》是中国古代的数学著作，书中有一道题为：“今有女善织，日益功疾（注：从第2天开头，每天比前一天多织相同量的布），第一天织5尺布，现一月（按30天计）共织390尺布”，则从第2天起每天比前一天多织（ ）尺布.A ．21 B.158 C.3116 D.29166．一个简洁几何体的正视图、侧视图如图所示，则其俯视图可能为：①长、宽不相等的长方形；②正方形；③圆；④椭圆．其中正确的是（ ）A ．①② B.②③ C. ①④ D.③④7.设函数()sin(2)6f x x π=+，则下列结论正确的是（ ）A.()f x 的图像关于直线3x π=对称B.()f x 的图像关于点(,0)6π对称C.()f x 的最小正周期为π，且在[0,]6π上为增函数D.把()f x 的图像向右平移6π个单位，得到一个奇函数的图像8．函数3lg ||x y x =的图象大致是 （ ）9.曲线21x y e -=+在点(0,2)处的切线与直线0y =和y x =围成的三角形的面积为（ ）A.12 B. 13 C. 23D. 1 10.等比数列{}n a 中，公比2q =，1479711a a a a +++=，则数列{}n a 的前99项的和99S =（ ）A.99B.88C.77D.6611.已知1tan()42πα+=，且(,0)2πα∈-，则22sin sin 2cos()4ααπα+=-（ ） A. 3510- B. 255- C.255D.3101012.ABC ∆中，若动点D 满足22+20CA CB AB CD -=，则点D 的轨迹肯定经过ABC ∆的（ ） A.外心 B.内心 C.垂心 D.重心第II 卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13.已知向量(1,2)=a ，(1,)m =-b ，若⊥a b ，则m = .14.已知实数,x y 满足条件001x y x y y -≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则2x y +的最小值为 .15.由曲线sin y x =，cos y x =与直线0x =，2x π=所围成的平面图像的面积是 .16. 设双曲线22221x y a b -=(0,0)a b >>的右焦点为F ，过点F 与x 轴垂直的直线l 交两渐近线于A ，B 两点，与双曲线的其中一个交点为P ，设坐标原点为O ，若OP mOA nOB =+(,)m n R ∈，且29mn =，则该双曲线的离心率为 .三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17、（本小题满分12分）如图，在ABC ∆中，点D 在边AB 上，且13AD DB =．记∠ACD α= ，∠BCD β=． （1）求证：sin 3sin AC BC βα=； （2）若,,1962AB ππαβ===BC 的长．18.（本小题满分12分）某训练主管部门到一所中学检查同学的体质健康状况．从全体同学中，随机抽取12名进行体质健康测试，测试成果（百分制）以茎叶图形式表示如下：成果5 26 57 28 8 1 2 6 7 7 8 98依据同学体质健康标准，成果不低于76分为优良． （1）写出这组数据的众数和中位数；（2）将频率视为概率．依据样本估量总体的思想，在该校同学中任选3人进行体质健康测试，记ξ表示成果“优良”的同学人数，求ξ的分布列及数学期望． 19．（本题满分12分）如图，在正三棱柱111C B A ABC -中，点D 是棱AB 的中点，12,23BCAA 。

云南省玉溪一中2021届高三上学期期中考试数学（理）试题（解析版）【试卷综析】本试卷是高三理科试卷，考查学生解决实际问题的综合能力，是份较好的试卷.以基础知识和大体技术为载体，以能力测试为主导，在注重考查学科核心知识的同时，突出考查考纲要求的大体能力，重视学生科学素养的考查.知识考查注重基础、注重常规、注重骨干知识，兼顾覆盖面.试题重点考查：集合、不等式、复数、向量、三视图、导数函数的应用、三角函数的性质、三角恒等变换与解三角形、命题，椭圆，参数方程等；【题文】一、选择题本大题共12小题,每题5分,共60分,在每题给出的四个选项中,只有一项为哪一项符合题目要求的．【题文】1．已知集合}1|||{<=x x A ，|{x B =0log 31>x },那么B A ⋂是 ( )A ．∅B ．()1,1-C ．D ．()1,0 【知识点】集合及其运算A1【答案解析】D 由题意得A={x 11x -<<},B={x 01x <<}那么A B ⋂={01}x x <<， 应选D.【思路点拨】先别离求出A,B 再求B A ⋂。

【题文】2．已知复数z 知足25)43(=+z i ，那么=z（ ）A ． i 43-B ． i 43+C ． i 43--D ．i 43+- 【知识点】复数的大体概念与运算L4【答案解析】A ∵复数z 知足（3+4i ）z=25，【思路点拨】利用复数的运算法那么即可得出． 【题文】3．以下命题中正确的选项是( )A ．若01,:2<++∈∃x x R x p ,那么01,:2<++∈∀⌝x x R x pB ．若q p ∨为真命题,那么q p ∧也为真命题C ．“函数)(x f 为奇函数”是“0)0(=f ”的充分没必要要条件D ．命题“若0232=+-x x ,那么1=x ”的否命题为真命题【知识点】命题及其关系A2【答案解析】D 对A 选项，￢P 为：∀x ∈R ，x 2+x+1≥0，故A 错误；对B 选项，若p ∨q 为真命题，那么命题p 、q 至少一个为真命题；而p ∧q 为真命题，那么命题p 、q 都为真命题，故B 错误；对C 选项，∵奇函数f （x ）的概念域不包括0，那么f （0）=0不成立，∴不知足充分性，故C 错误；对D 选项，∵命题“假设x 2-3x+2=0，那么x=1”的否命题是：“假设x 2-3x+2≠0，那么x≠1”，又x 2-3x+2≠0⇒x≠1且x≠2，故D 正确．应选：D ．【思路点拨】依照特称命题的否定是全称命题判定A 是不是正确；依照复合命题真值表判定B 的正确性；利用函数是不是在0上有概念判定C 是不是正确；写出命题的否命题，判定真假，可得D 是正确的． 【题文】4．公比不为1的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且13a -，2a -，3a 成等差数列，假设11=a ，那么4S ＝( )A ．20-B ．0C ．7D ．40 【知识点】等比数列及等比数列前n 项和D3【答案解析】A 设数列的公比为q （q≠1），那么∵-3a 1，-a 2，a 3成等差数列，∴-3a 1+a 3=-2a 2， ∵a 1=1，∴-3+q 2+2q=0，∵q≠1，∴q=-3∴S 4=1-3+9-27=-20应选A ． 【思路点拨】利用-3a 1，-a 2，a 3成等差数列，确信数列的公比，从而可求S 4．【题文】5．假设框图所给的程序运行结果为S ＝20，那么判定框中应填入的关于k 的条件是( )． A ．k ＝9? B ．k ≤8? C ．k ＜8? D ．k ＞8? 【知识点】算法与程序框图L1【答案解析】D k=10，s=1，不输出，k 的值知足判定框中的条件 经过一次循环得到s=11，k=9，此时不输出，k 的值满足判断框中的条件 再经过一次循环得到s=20，k=8输出，k 的值满足判断框中的条件 即k=10，k=9满足判断框中的条件；而k=8不满足判断框中的条件所以判断框中的条件是k ＞8故选D【思路点拨】依照程序框图的流程写出前几回循环的结果，由结果中的s 的值，判定是不是需要输出；取得k 取什么值知足条件，取什么值不知足条件；取得判定框中的条件． 【题文】6．函数a xx f x--=22)(的一个零点在区间(1,2)内，那么实数a 的取值范围是 （ ） ( )．A ．(1,3)B ．(1,2)C ．(0,3)D ．(0,2) 【知识点】函数与方程B9【答案解析】C 由题意可得f （1）f （2）=（0-a ）（3-a ）＜0，解得：0＜a ＜3， 故实数a 的取值范围是（0，3），故答案为：C【思路点拨】由题意可得f （1）f （2）=（0-a ）（3-a ）＜0，解不等式求得实数a 的取值范围． 【题文】7． 如图，在正方体1111D C B A ABCD -中，点P 是上底面1111D C B A 内一动点，那么三棱锥BCD P -的正视图与侧视图的面积之比为（ ）A ．1 1B ．21C ．23D ．32【知识点】空间几何体的三视图和直观图G2【答案解析】A 由题意可知，P 在主视图中的射影是在C 1D 1上，AB 在主视图中，在平面CDD 1C 1上的射影是CD ，P 的射影到CD 的距离是正方体的棱长；P 在左视图中，的射影是在B 1C 1上，在左视图中AC 在平面BCC 1B 1三度射影是BC ，P 的射影到BC 的距离是正方体的棱长，因此三棱锥P-ABC 的主视图与左视图的面积的比值为12CD 2：12CD 2=1：1，应选：A 【思路点拨】由题意确信P 在正视图中的射影到AB 在平面CDD 1C 1上的射影的距离，P 的射影在左视图中到AC 在平面BCC 1B 1三度射影的距离，即可求出正视图与左视图的面积的比值．【题文】8．在平行四边形ABCD 中，=∠=BAD AD ,160°，E 为CD 的中点，假设21=•BE AD ，那么AB 的长为( ) A ．21B ．1C ．2D ．3 （7题图）【知识点】平面向量的数量积及应用F312BE BC CE AD AB =+=-, 212AD BE AD AD AB ⋅=-⋅=1-12【思路点拨】 由题意可得12BE AD AB =- ，212AD BE AD AD AB ⋅=-⋅=1-12×1×AB×cos60°=【题文】9．假设任取[]1,0,∈y x ，那么点),(y x P 知足 A ．31 B ．32C ．21D ．22 【知识点】几何概型K3【题文】10．已知A ),(A A y x 是圆心在座标原点的单位圆上任意一点，且射线OA 绕原点逆时针旋转30°到OB 交单位圆于点B),(B B y x ，那么B A y x -的最大值为（ ）A ．21B ．1C ．23D ．2【知识点】两角和与差的正弦、余弦、正切C5【答案解析】B 由题意可得：x A =cosθ，y B =sin(θ+30°)． ∴x A -y B 的最大值为1．应选B ．【思路点拨】由题意可得：x A =cosθ，y B =sin(θ+30°)．可得x A -y B =cosθ-sin （θ+30°），利用两角和的正弦公式、余弦函数的单调性即可得出．【题文】11．函数y ＝x 33x －1的图象大致是 ( )【知识点】导数的应用B12【答案解析】C 依照概念域x 不等于0排除A,利用导数判定单调性为x>0时先增后减排除B,D 应选C. 【思路点拨】依照概念域和单调性排除即可。

云南省玉溪第一中学2020届高三数学上学期期中试题文（含解析）一、选择题（本大题共12小题）1.已知集合，，则A. B.C. D.2.“”是“直线与圆相切”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件3.在中，若，则角A的值为A. B. C. D.4.已知定义域为的奇函数，则的值为A. 0B. 1C. 2D. 不能确定5.设m，n为空间两条不同的直线，，为空间两个不同的平面，给出下列命题：若，，则；若，，，，则；若，，则；若，，，则．其中所有正确命题的序号是A. B. C. D.6.从总体中抽取的样本数据的频率分布直方图如图所示，若总体中的数据不超过b，则b的估计值为A. 25B. 24C.D.7.设，，，则A. B. C. D.8.已知，则A. B. C. D.9.如图，在区域内任取一点，则该点恰好取自阴影部分阴影部分为“”与“”在第一、第二象限的公共部分的概率为A. B. C. D.10.公元前5世纪，古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论：他提出让乌龟在阿基里斯前面1000米处开始，和阿基里斯赛跑，并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍．当比赛开始后，若阿基里斯跑了1000米，此时乌龟便领先他100米；当阿基里斯跑完下一个100米时，乌龟仍然前于他10米．当阿基里斯跑完下一个10米时，乌龟仍然前于他1米，所以，阿基里斯永远追不上乌龟．按照这样的规律，若阿基里斯和乌龟的距离恰好为米时，乌龟爬行的总距离为A. B. C. D.11.在ABC中，，，，点M满足，则A. 0B. 2C.D. 412.已知，分别为椭圆的左、右焦点，点P是椭圆上位于第一象限内的点，延长交椭圆于点Q，若且，则椭圆的离心率为A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题）13.已知向量，，，若，则______．14.已知数列满足，，，则______．15.设a，，，则的最小值是______．16.已知函数e为自然对数的底数与的图象上存在关于直线对称的点，则实数a的取值范围是______．三、解答题（本大题共7小题）17.设等差数列的前n项和为，，．求数列的通项公式；求．18.已知向量，，且．求的单调递增区间；先将函数的图象上所有点的横坐标缩小到原来的倍纵坐标不变，再将所得图象向左平移个单位，得到函数的图象，求方程在区间上所有根之和．19.已知三棱锥如图的展开图如图2，其中四边形ABCD为边长等于的正方形，和均为正三角形．证明：平面平面ABC；若M是PC的中点，点N在线段PA上，且满足，求直线MN与平面PAB所成角的正弦值．20.在中，角A，B，C的对边分別为a，b，c，若，，．求a；已知点M在边BC上，且AM平分，求的面积．21.已知函数，．求函数的极值；Ⅱ对，不等式都成立，求整数k的最大值；22.在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为，若直线l与曲线C相切．Ⅰ求实数r的值；Ⅱ在圆C上取两点M，N，使得，点M，N与直角坐标原点O构成，求面积的最大值．23.已知函数．当时，有解，求实数b的取值范围；若的解集包含，求实数a的取值范围．答案和解析1.【答案】B【解析】解：，，，故选：B．根据对数不等式的解法求出集合A，结合并集的定义进行计算即可．本题主要考查集合的基本运算，结合对数的性质求出集合的等价条件是解决本题的关键．2.【答案】A【解析】解：由直线与圆相切，得，解得或．则由能推出直线与圆相切，反之，由直线与圆相切，不一定得到．则“”是“直线与圆相切”的充分不必要条件．故选：A．由圆心到直线的距离等于半径列式求得m，然后结合充分必要条件的判定得答案．本题考查直线与圆位置关系的判定及其应用，考查充分必要条件的判定，是基础题．3.【答案】C【解析】解：，由正弦定理可得，，，，，，，，故选：C．由已知结合正弦定理及诱导公式进行化简即可求解．本题考查三角形的正弦定理和内角和定理的运用，考查运算能力，属于基础题．4.【答案】A【解析】解：是奇函数，定义域关于原点对称，则，得，，此时定义域为为，是奇函数，，则，即，则，故选：A．根据奇函数定义域关于原点对称求出a的值，利用，求出b，即可．本题主要考查函数值的计算，结合函数奇偶性的定义和性质，建立方程求出a，b是解决本题的关键．比较基础．5.【答案】D【解析】解：，则内一定存在一条直线l，使得，又，则，所以，所以正确，当时，，可能相交，所以错误，，n的位置还可能是相交和异面；故选：D．对四个命题进行逐一判断，正确，当时，，肯能相交，所以错误，，n的位置还可能是相交和异面；本题主要考查空间点、直线、平面的位置关系，属于基础题．6.【答案】A【解析】解：由于第一组频率为，第二组频率为，第三组频率为，第四组，第五组频率都为：；由于，．故选：A．先求出每一小组的频率，结合总体中的数据不超过b，即可求出b的值．本题考查了频率分布直方图，属于基础题．7.【答案】A【解析】解：，，，．故选：A．容易得出，从而得出a，b，c的大小关系．考查对数函数、指数函数的单调性，以及增函数和减函数的定义．8.【答案】B【解析】解：，，．故选：B．由已知利用诱导公式可求，进而利用二倍角的余弦函数公式化简所求即可得解．本题主要考查了诱导公式，二倍角的余弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．9.【答案】B【解析】解：圆的面积为，阴影部分面积为，所以在区域内任取一点，则该点恰好取自阴影部分的概率为：，故选：B．先求出圆的面积，再用割补法求出阴影部分面积，利用几何概型概率公式即可求出概率．本题主要考查了几何概型，注意不规则图形面积一般用割补法来求，是基础题．10.【答案】B【解析】【分析】本题考查了等比数列的应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题．由题意知乌龟每次爬行的距离构成等比数列，写出、q和，由此求出乌龟爬行的总距离．【解答】解：由题意知，乌龟每次爬行的距离构成等比数列，且，，；乌龟爬行的总距离为．故选B．11.【答案】A【解析】【分析】本题考查了平面向量的数量积计算问题，建立适当的坐标系是解题的关键．建立平面直角坐标系，利用坐标表示向量，计算向量的数量积即可．【解答】解：建立平面直角坐标系如图所示，，，，所以，，；，，，，，则．故选A．12.【答案】D【解析】【分析】本题考查椭圆的定义、方程和性质，主要是离心率的求法，考查等腰直角三角形的性质和勾股定理，以及运算求解能力，属于中档题．由题意可得为等腰直角三角形，设，，运用椭圆的定义可得，，再由等腰直角三角形的性质和勾股定理，计算可得离心率．【解答】解：且，可得为等腰直角三角形，设，，由椭圆的定义可得，，即有，，则，在直角三角形中，可得，，化为，可得．故选D．13.【答案】【解析】解：，，，又，且，，解得．故答案为：．由已知求得的坐标，再由向量共线的坐标运算列式求解．本题考查向量的坐标加法运算，考查向量共线的坐标表示，是基础题．14.【答案】【解析】解：由已知得，，，，所以数列是以3为周期的周期数列，故，故答案为．直接根据已知求出，和即可发现数列是以3为周期的周期数列，进而求出．本题考查数列递推公式的直接应用，难度较易．15.【答案】【解析】解：a，，，则；设，，其中；则，，所以，当，，即，时，取得最小值是．故答案为：．方程化为，设，，利用三角函数求的最小值．本题考查了利用参数法求最值的问题，是基础题．16.【答案】【解析】解：若函数e为自然对数的底数与的图象上存在关于直线对称的点，则函数e为自然对数的底数与函数的图象有交点，即，有解，即，有解，令，，则，当时，，函数为减函数，当时，，函数为增函数，故时，函数取最小值1，由于当时，；当时，；故当时，函数取最大值，故实数a取值范围是，故答案为：若函数e为自然对数的底数与的图象上存在关于直线对称的点，则函数e为自然对数的底数与函数的图象有交点，即，有解，利用导数法，可得实数a取值范围本题考查的知识点是函数图象的交点与方程根的关系，利用导数求函数的最值，属于中档题．17.【答案】解：等差数列的公差设为d，，，可得，，解得，可得，；．【解析】等差数列的公差设为d，运用等差数列的通项公式和求和公式，可得首项和公差的方程，解方程可得首项和公差，进而得到所求通项公式；运用裂项相消求和，化简可得所求和．本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，以及裂项相消求和，考查化简运算能力，属于基础题．18.【答案】解：函数，，，，；的单调增区间为，；由题意，，又，得，解得：，，即或，，，，或，故所有根之和为．【解析】化函数为余弦型函数，再求它的单调增区间；由三角函数图象平移法则，得出的解析式，再求在内的实数解即可．本题主要考查了三角函数的性质与三角恒等变换问题，是基础题．19.【答案】解：取AC的中点O，连接OP，OB，则有且O为AC的中点，；同理，．平面POB，则有为平面的平面角，又在中，，，则有，平面平面ABC．由可知，平面ABC，则有，，又，所以，建立如右图所示的空间直角坐标系．则有，，0，，1，，0，，0，，是PC的中点，，又，，设平面PAB的一个法向量为，则有，，设直线MN与平面PAB所成角为，．故直线MN与平面PAB所成角的正弦值为．【解析】利用线面垂直来证面面垂直；利用向量法来求直线与平面所成的角此题是一道立体几何中档题，第一小题用几何法，证明面面垂直；第二小题用向量法更为方便．20.【答案】解：由正弦定理得，得，得，得，，，，，由正弦定理得，由角平分线定理得，，，【解析】由正弦定理以及二倍角正弦公式可得；由余弦定理可得，再根据角平分线定理可得MB，然后根据面积公式可得的面积．本题考查了三角形中的几何计算，属中档题．21.【答案】解：Ⅰ，，，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，当时，取得极小值，极小值为无极大值．Ⅱ，，不等式都成立，在上恒成立，即在上恒成立，令，，，当时，即时，在上恒成立，在上单调递增，，，此时整数k的最大值为2，当时，令，解得，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，，由，令，在上恒成立，在上单调递减，又，，存在使得，故此时整数k的最大值为3综上所述整数k的最大值3．【解析】Ⅰ求出函数的单调区间然后求解函数的极值，Ⅱ问题转化为在上恒成立，令，，再求导，利用导数求出函数的最值，即可求出k的值，需要分类讨论．本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的极值，构造法的应用，考查转化思想以及计算能力．22.【答案】解：Ⅰ直线l的极坐标方程为，转换为直角坐标方程为，若直线l与曲线C相切，则圆心到直线的距离，解得，Ⅱ由Ⅰ得圆的方程为．转换为极坐标方程为．设，，所以，当时，，即最大值为．【解析】Ⅰ直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换，进一步利用直线和曲线的位置关系式的应用求出r的值．Ⅱ利用圆的极坐标方程进一步利用三角形的面积公式和三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数的性质的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，直线和园的位置关系式的应用，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.【答案】解：当时，，当且仅当，即时取等号，，有解，只需，的取值范围是；当时，，，的解集包含，对恒成立，当时，不等式化为，解得；当时，不等式化为，解得；综上知，a的取值范围是．【解析】当时，利用绝对值三角不等式求出的最小值，由有解，可知；由的解集包含，化为对恒成立，再分和两种情况求出a的范围．本题考查了绝对值三角不等式和不等式恒成立问题，也考查了转化思想和分类讨论思想，是中档题．。

2020届云南省玉溪第一中学高三上学期期中数学（理）试题一、单选题1．已知集合()2{|log 31}A x x =+<,{|42}B x x =-<<-，则A B =U ( ) A ．{|32}x x -<<- B ．{|41}x x -<<- C ．{|1}x x <-D ．{}4x x >-解：()2{|log 31}{|032}{|31}A x x x x x x =+<=<+<=-<<-， {|42}B x x =-<<-Q ， {|41}A B x x ∴⋃=-<<-，故选：B ． 点评：本题主要考查集合的基本运算，结合对数的性质求出集合的等价条件是解决本题的关键． 2．“43m =”是“直线420x my m -+-=与圆224x y +=相切”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件解：由圆的方程知，圆心坐标为()0,0，半径2r = 当43m =时，直线为：410033x y -+=，即34100x y -+= ∴圆心到直线距离2d r ===∴当43m =时，直线与圆相切，则充分条件成立当直线与圆相切时，圆心到直线距离2d ==，解得：0m =或43则必要条件不成立 综上，“43m =”是“直线420x my m -+-=与圆224x y +=相切”的充分不必要条件本题正确选项：A 点评：本题考查充分条件与必要条件的判定，关键是能够掌握直线与圆位置关系的判定方法，明确当直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于半径.3．在ABC △中,若cos cos sin b C c B a A +=,则角A 的值为( ) A ．3π B ．6π C ．2π D ．23π 解：bcosC ccosB asinA +=,由正弦定理可得,sinBcosC sinCcosB sinAsinA +=,()sin B C sinAsinA ∴+=,sinA sinAsinA ∴=, 0sinA ≠Q , 1sinA ∴=, ()0,A π∈Q ,12A π∴=.故选：C ． 点评：本题考查三角形的正弦定理和内角和定理的运用,考查运算能力,属于基础题． 4．已知定义域为[]4,22a a --的奇函数()32020sin 2f x x x b =-++，则()()f a f b +的值为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．不能确定解：奇函数定义域必关于原点对称，即4+22=02a a a --⇒=()02=02f b b =+⇒=-，即()32020sin f x x x =-，()()()()+2+2=0f a f b f f =-故选A 点评：本题考查奇函数的相关性质，属于基础题。