江苏省普通高等学校2018年高三招生考试20套模拟测试附加题数学试题(七)

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江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(七)

数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)

21. 【选做题】在A，B，C，D四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

A. (选修41：几何证明选讲)

已知圆O的直径AB＝4，C为AO的中点，弦DE过点C且满足CE＝2CD，求△OCE的面积．

B. (选修42：矩阵与变换)

已知向量 1－1是矩阵A的属于特征值－1的一个特征向量．在平面直角坐标系xOy中，点P(1，1)在矩阵A对应的变换作用下变为P′(3，3)，求矩阵A.

C. (选修44：坐标系与参数方程)

在极坐标系中，求直线θ＝π4(ρ∈R)被曲线ρ＝4sin θ所截得的弦长．

D. (选修45：不等式选讲)

求函数y＝3sin x＋22＋2cos 2x的最大值．

【必做题】第22，23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

22. 如图，在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，P为棱C1D1的中点，Q为棱BB1上的点，且BQ＝λBB1(λ≠0)．

(1) 若λ＝12，求AP与AQ所成角的余弦值；

(2) 若直线AA1与平面APQ所成的角为45°，求实数λ的值．

在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线x2＝2py(p＞0)上的点M(m，1)到焦点F的距离为2.

(1) 求抛物线的方程；

(2) 如图，点E是抛物线上异于原点的点，抛物线在点E处的切线与x轴相交于点P，直线PF与抛物线相交于A，B两点，求△EAB面积的最小值．

(七)

(南通市、泰州市2017届高三第一次调研测试)21. A. 解：设CD＝x，则CE＝2x.

因为CA＝1，CB＝3，

由相交弦定理，得CA·CB＝CD·CE，

所以1×3＝x·2x＝2x2，所以x＝62.(2分)

取DE中点H，则OH⊥DE.

因为OH2＝OE2－EH2＝4－32x2＝58，

所以OH＝104.(6分)

因为CE＝2x＝6，所以△OCE的面积S＝12OH·CE＝12×104×6＝154.(10分)

B. 解：设A＝a bc d，因为向量 1－1是矩阵A的属于特征值－1的一个特征向量，

所以a bc d 1－1＝(－1) 1－1＝－1 1.

所以a－b＝－1，c－d＝1.(4分)

因为点P(1，1)在矩阵A对应的变换作用下变为P′(3，3)，

所以a bc d11＝33.所以a＋b＝3，c＋d＝3.(8分)

解得a＝1，b＝2，c＝2，d＝1，所以A＝1 22 1.(10分)

C. 解：(解法1)在ρ＝4sin θ中，令θ＝π4，得ρ＝4sin π4＝22，即AB＝22.(10分)

(解法2)以极点O为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系．

直线θ＝π4(ρ∈R)的直角坐标方程为y＝x①，(3分)

曲线ρ＝4sin θ的直角坐标方程为x2＋y2－4y＝0②.(6分)

由①②，得x＝0，y＝0或x＝2，y＝2.(8分)

所以A(0，0)，B(2，2)，所以直线θ＝π4(ρ∈R)被曲线ρ＝4sin θ所截得的弦长AB＝22.(10分)

D. 解：y＝3sin x＋22＋2cos 2x＝3sin x＋4cos2x.(2分)

由柯西不等式，得y2＝(3sin x＋4cos2x)2≤(32＋42)(sin2x＋cos2x)＝25，(8分)

所以ymax＝5，此时sin x＝35.

所以函数y＝3sin x＋22＋2cos 2x的最大值为5.(10分)

22. 解：以{AB→，AD→，AA1→}为正交基底，建立如图所示空间直角坐标系Axyz.

(1) 因为AP→＝(1，2，2)，AQ→＝(2，0，1)，

所以cos〈AP→，AQ→〉＝AP→·AQ→|AP→||AQ→|＝1×2＋2×0＋2×19×5＝4515.

所以AP与AQ所成角的余弦值为4515.(4分)

(2) 由题意可知，AA1→＝(0，0，2)，AQ→＝(2，0，2λ)．

设平面APQ的法向量为n＝(x，y，z)，

则n·AP→＝0，n·AQ→＝0，即x＋2y＋2z＝0，2x＋2λz＝0.

令z＝－2，则x＝2λ，y＝2－λ.

所以n＝(2λ，2－λ，－2)．(6分)

因为直线AA1与平面APQ所成角为45°，

所以|cos〈n，AA1→〉＝|n·AA1→|n||AA1→||

＝42（2λ）2＋（2－λ）2＋（－2）2＝22，

可得5λ2－4λ＝0.

因为λ≠0，所以λ＝45.(10分)

23. 解：(1) 抛物线x2＝2py(p＞0)的准线方程为y＝－p2，

因为M(m，1)，由抛物线定义，得MF＝1＋p2，

所以1＋p2＝2，即p＝2，

所以抛物线的方程为x2＝4y.(3分)

(2) 因为y＝14x2，所以y′＝12x.

设点Et，t24，t≠0，则抛物线在点E处的切线方程为y－t24＝12t(x－t)．

令y＝0，则x＝t2，即点Pt2，0.

因为Pt2，0，F(0，1)，所以直线PF的方程为

y＝－2tx－t2，即2x＋ty－t＝0.

则点Et，t24到直线PF的距离为d＝2t＋t34－t4＋t2＝|t|4＋t24.(5分)

联立方程组y＝x24，2x＋ty－t＝0，消元，得t2y2－(2t2＋16)y＋t2＝0.

因为Δ＝(2t2＋16)2－4t4＝64(t2＋4)＞0，

所以y1＝2t2＋16＋64（t2＋4）2t2，y2＝2t2＋16－64（t2＋4）2t2，

所以AB＝y1＋1＋y2＋1＝y1＋y2＋2＝2t2＋16t2＋2＝4（t2＋4）t2.(7分)

所以△EAB的面积为S＝12×4（t2＋4）t2×|t|4＋t24＝12×（t2＋4）32|t|.

不妨设g(x)＝（x2＋4）32x(x＞0)，则g′(x)＝（x2＋4）12x2(2x2－4)．

当x∈(0，2)时，g′(x)＜0，所以g(x)在(0，2)上单调递减；

当x∈(2，＋∞)时，g′(x)＞0，所以g(x)在(2，＋∞)上单调递增．

所以当x＝2时，g(x)min＝（2＋4）322＝63.

所以△EAB的面积的最小值为33.(10分)

2018高考数学理科(江苏专用)总复习训练题：——附加题高分练5含答案

5．离散型随机变量的概率分布

1．(2017·南京、盐城一模)某年级星期一至星期五每天下午排3节课，每天下午随机选择1节作为综合实践课(上午不排该课程)，张老师与王老师分别任教甲、乙两个班的综合实践课程．

(1)求这两个班“在星期一不同时上综合实践课”的概率；

(2)设这两个班“在一周中同时上综合实践课的节数”为X，求X的概率分布与数学期望E(X)．

解 (1)这两个班“在星期一不同时上综合实践课”的概率为P＝1－33×3＝23.

(2)由题意得X～B5，13，P(X＝k)＝Ck513k·235－k，k＝0,1,2,3,4,5.

所以X的概率分布为

X 0 1 2 3 4

P 32243

80243 80243 40243 10243 1243

所以X的数学期望为E(X)＝5×13＝53.

2．一位网民在网上光顾某网店，经过一番浏览后，对该店铺中的A，B，C三种商品有购买意向．已知该网民购买A种商品的概率为34，购买B种商品的概率为23，购买C种商品的概率为12.假设该网民是否购买这三种商品相互独立．

(1)求该网民至少购买2种商品的概率；

(2)用随机变量η表示该网民购买商品的种数，求η的概率分布和数学期望．

解

(1)该网民恰好购买2种商品的概率为

P(ABC)＋P(ABC)＋P(ABC)＝34×23×12＋34×13×12＋14×23×12＝1124；

该网民恰好购买3种商品的概率为P(ABC)＝34×23×12＝14，

所以P＝1124＋14＝1724. 故该网民至少购买2种商品的概率为1724.

(2)随机变量η的可能取值为0,1,2,3，

由(1)知，P(η＝2)＝1124，P(η＝3)＝14，而P(η＝0)＝

P(ABC)＝14×13×12＝124，

所以P(η＝1)＝1－P(η＝0)－P(η＝2)－P(η＝3)＝14.

随机变量η的概率分布为

2018年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(江苏卷,含答案)

2018年普通高等学校招生全国统一考试数学试题（江苏卷）

数学Ⅰ

注意事项

考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求

1．本试卷共4页，均为非选择题(第1题~第20题，共20题)。本卷满分为160分，考试时间为120分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一片交回。

2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。

3．请认真核对监考员从答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。

4．作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。

5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。

参考公式：

锥体的体积13VSh，其中S是锥体的底面积，h是锥体的高．

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．．

1．已知集合{0,1,2,8}A，{1,1,6,8}B，那么AB ▲ ．

2．若复数z满足i12iz，其中i是虚数单位，则z的实部为 ▲ ．

3．已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5位裁判打出的分数的平均数为 ▲ ．

4．一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S的值为 ▲ ．

5．函数2()log1fxx的定义域为 ▲ ． 6．某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为

▲ ．

7．已知函数sin(2)()22yx的图象关于直线3x对称，则的值是 ▲ ．

8．在平面直角坐标系xOy中，若双曲线22221(0,0)xyabab的右焦点(,0)Fc到一条渐近线的距离为32c，则其离心率的值是 ▲ ．

9．函数()fx满足(4)()()fxfxxR，且在区间(2,2]上，cos,02,2()1||,20,2xxfxxx- 则((15))ff的值为

普通高等学校2018届高三招生全国统一考试仿真卷(七)数学(文)含答案

绝密 ★ 启用前

2018年普通高等学校招生全国统一考试仿真卷

文科数学（七）

本试题卷共2页，23题（含选考题）。全卷满分150分。考试用时120分钟。

★祝考试顺利★

注意事项：

1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。

2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知全集1,2,3,4U，若1,3A，3B，则UUAB痧等于（）

A．1,2 B．1,4 C．2,3 D．2,4

2．已知复数z满足34i34iz，z为z的共轭复数，则z（）

A．1 B．2 C．3 D．4

3．如果数据1x，2x，…，nx的平均数为x，方差为28，则152x，252x，…，52nx的平均数和方差分别为（）

级姓名准考证号考场号座位号

卷只装订不密封．x，28 B．52x，28

C．52x，2258 D．x，2258

4．《九章算术》有这样一个问题：今有女子善织，日增等尺，七日共织二十八尺，第二日、第五日、第八日所织之和为十五尺，则第十日所织尺数为（）