江苏省普通高等学校高三数学招生考试模拟测试附加题(

5．离散型随机变量的概率分布

1．(2017·南京、盐城一模)某年级星期一至星期五每天下午排3节课，每天下午随机选择1节作为综合实践课(上午不排该课程)，张老师与王老师分别任教甲、乙两个班的综合实践课程．

(1)求这两个班“在星期一不同时上综合实践课”的概率；

(2)设这两个班“在一周中同时上综合实践课的节数”为X，求X的概率分布与数学期望E(X)．

解 (1)这两个班“在星期一不同时上综合实践课”的概率为P＝1－33×3＝23.

(2)由题意得X～B5，13，P(X＝k)＝Ck513k·235－k，k＝0,1,2,3,4,5.

所以X的概率分布为

X 0 1 2 3 4

5

P 32243

80243 80243 40243 10243 1243

所以X的数学期望为E(X)＝5×13＝53.

2．一位网民在网上光顾某网店，经过一番浏览后，对该店铺中的A，B，C三种商品有购买意向．已知该网民购买A种商品的概率为34，购买B种商品的概率为23，购买C种商品的概率为12.假设该网民是否购买这三种商品相互独立．

(1)求该网民至少购买2种商品的概率；

(2)用随机变量η表示该网民购买商品的种数，求η的概率分布和数学期望．

解

(1)该网民恰好购买2种商品的概率为

P(ABC)＋P(ABC)＋P(ABC)＝34×23×12＋34×13×12＋14×23×12＝1124；

该网民恰好购买3种商品的概率为P(ABC)＝34×23×12＝14，

所以P＝1124＋14＝1724. 故该网民至少购买2种商品的概率为1724.

(2)随机变量η的可能取值为0,1,2,3，

由(1)知，P(η＝2)＝1124，P(η＝3)＝14，而P(η＝0)＝

P(ABC)＝14×13×12＝124，

所以P(η＝1)＝1－P(η＝0)－P(η＝2)－P(η＝3)＝14.

随机变量η的概率分布为

江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(二)

数 学

(满分160分，考试时间120分钟)

参考公式：

1. 样本数据x1，x2，„，xn的方差s2＝1ni＝1n (xi－x－)2，其中x－＝1ni＝1nxi；

2. 锥体的体积公式：V＝13Sh，其中S是锥体的底面面积，h是高．

一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．

1. 已知集合A＝{x|－1≤x≤1}，则A∩Z＝______________．

2. 若复数z＝(1－i)(m＋2i)(i为虚数单位)是纯虚数，则实数m的值为____________．

3. 数据10，6，8，5，6的方差s2＝____________．

4. 抛掷甲、乙两枚质地均匀且四面上分别标有1，2，3，4的正四面体，记落在桌面的底面上的数字分别为x，y，则xy为整数的概率是________．

(第6题)

5. 已知双曲线x2－y2m2＝1(m＞0)的一条渐近线方程为x＋3y＝0，则m＝______________．

6. 执行如图所示的算法流程图，则输出的结果是__________．

7. 底面边长为2，侧棱长为3的正四棱锥的体积为____________．

8. 在等比数列{an}中，若a1＝1，a3a5＝4(a4－1)，则a7＝__________．

9. 已知|a|＝1，|b|＝2，a＋b＝(1，2)，则向量a，b的夹角为____________．

10. 直线ax＋y＋1＝0被圆x2＋y2－2ax＋a＝0截得的弦长为2，则实数a的值是____________． 11. 已知函数f(x)＝－x2＋2x，则不等式f(log2x)＜f(2)的解集为__________．

12. 将函数y＝sin2x的图象向左平移φ(φ＞0)个单位，若所得的图象过点π6，32，则φ的最小值为____________．

13. 在△ABC中，AB＝2，AC＝3，角A的平分线与AB边上的中线交于点O，若AO→＝xAB→＋yAC→(x，y∈R)，则x＋y的值为____________．

2020届高三年级第四次模拟考试答案及评分标准

数学I

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．

1．【答案】01， 2．【答案】3

3．【答案】32 4．【答案】16

5．【答案】1

3 6．【答案】10

7．【答案】4

5 8．【答案】3

9．【答案】2 10.

【答案】32

π

11．【答案】37

22， 12．【答案】n

4n＋4

13．

【答案】6

6 14．

【答案】5

5

二、解答题：本大题共6小题，共计90分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

15．（本小题满分14分）

（1）证明：在四棱柱

1111ABCDABCD中，//ABCD，

AB平面

11DDCC，

CD平面

11DDCC，

所以//AB平面

11DDCC． ……………6分

（2）证明：在四棱柱

1111ABCDABCD中，四边形

11AABB为平行四边形，又

1AAAB，

故四边形

11AABB为菱形．

从而

11ABAB． …………… 9分

又

1ABBC，而

1ABBCB，

1 AB，BC平面

1ABC，

所以

1AB平面

1ABC． …………… 14分

16．（本小题满分14分）

解：因为A为△ABC的内角，且cosA＝3

5，

所以sinA＝21cosA＝4

5． …………… 2分

因为△ABC的面积S＝1

2bcsinA＝3，所以cb＝6

sinA＝15

2． …………… 4分 所以1539

cos

252ABACbcA

． …………… 6分

（2）因为m

2sin1

2B，，n

coscos

2BB，，且m// n，

所以2sin

2Bcos

2B

＝cosB，即sinB＝cosB． …………… 8分

若cosB＝0，则sinB＝0，舍，

所以cosB≠0，所以tanB＝sinB

cosB＝1．

因为B为三角形的内角，所以B＝π

4． …………… 10分

由（1）知cosA＝3

5，sinA＝4

5， 所以3424

江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(一)

数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)

21. 【选做题】 在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

A. (选修4-1：几何证明选讲)

如图，已知AB为圆O的直径，BC切圆O于点B，AC交圆O于点P，E为线段BC的中点．求证：OP⊥PE.

B. (选修4-2：矩阵与变换)

设曲线2x2＋2xy＋y2＝1在矩阵A＝a 0b 1(a＞0)对应的变换作用下得到的曲线为x2＋y2＝1.求实数a，b的值．

C. (选修4-4：坐标系与参数方程)

在直角坐标系xOy中，已知曲线C1：x＝t＋1，y＝1－2t(t为参数)与曲线C2：x＝asinθ，y＝3cosθ(θ为参数，a＞0)有一个公共点在x轴上，P(m，n)为曲线C2上任一点，求m＋n的取值范围． D. (选修4-5：不等式选讲)

设a，b，c均为正数，且a＋b＋c＝1，证明：1a＋1b＋1c≥9.

【必做题】 第22、23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

22. 如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝2，AF＝1，M是线段EF的中点．

(1) 求二面角ADFB的大小；

(2) 试在线段AC上确定一点P，使PF与BC所成的角是60°.

23.设f(x，n)＝(1＋x)n，n∈N*.

(1) 求f(x，6)的展开式中系数最大的项；

(2) n∈N*时，化简C0n4n－1＋C1n4n－2＋C2n4n－3＋…＋Cn－1n40＋Cnn4－1；

(3) 求证：C1n＋2C2n＋3C3n＋…＋nCnn＝n×2n－1.

江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(二)

数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)

21. 【选做题】 在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．